命题公里定理
13.1.2 公理、定理
3、回顾已学过的一些公理：
⑴一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
⑵两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
⑶全等三角形的对应边、对应角相等。
注：在本书中我们将这些真命题均作为公理
㈡定理：真命题
1、定义：用逻辑推理的方法证明得到的真命题
直角三角形的两个锐角互余。
活动：学生阅读课本，教师板书证明过程。
评析：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理。
注：定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。
三、随堂练习：
课本练习第பைடு நூலகம்、2题。
四、课时总结
1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理。
2、可作为判断其他命题真假的原始依据
3、回顾已学过的一些定理
⑴两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
石 狮蚶中 教 学 笔 记
教学过程（内容、步骤及师生行为）
备 注
⑵内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
⑶三角形的内角和等于180°。
⑷直角三角形的两锐角互余。
㈢例题与证明
例题：用“三角形的内角和等于180°”这条定理，证明命题：
石 狮蚶中 教 学 笔 记
课 题
公理、定理
教学目标
1、了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性。
2、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识；
3、初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。
教学重点
知道什么是公理，什么是定理
教学难点
《几何原本·命题、定理与公理》
例题
将下列命题写成“如果……，那么……”的形式 锐角大于它的补角。 如果一个角是锐角，那么它大于它的补角。 互为邻补角的两个角的平分线相互垂直。 如果两条射线分别是一对邻补角的角平分线，那 么这两条射线相互垂直。 圆是轴对称图形。 如果一个图形是圆，那么它是轴对称图形。
真命题（判断正确的命题）
定理：经过证明
假命题（判断错误的命题）
例题
请判断下列命题的真假性： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相 等，那么这两条直线平行。 如果xy>0，那么x,y同号 锐角大于它的补角。 错，对，对，错
请判断下列命题的真假性：
学过的公理
直线公理：两点确定一条直线。 线段公理：两点间线段最段。 平行线公理：经过直线外的一点有且仅有一 条直线与已知直线平行。 平行线性质一：两直线平行，同位角相等
定理
有些命题的正确性是从公理或已知的真命题 出发，用逻辑推理的方法判断它பைடு நூலகம்是真确的， 并且进一步作为判断其他命题真假的依据， 这样的真命题叫做定理。
互为邻补角的两个角的平分线相互垂直。 圆是轴对称图形。 等腰三角形的高就是中线，也是角平分线。 有两条高相互垂直的三角形是直角三角形。 对，对，错，对
例题
请看下列句子，判断它是否是定义、命题，如果 是定义，说出是谁的定义；如果是命题，请说出 真假性： 在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线。 一般地，我们把式子 a a 0 叫做二次根式。 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 等腰三角形的三条边互不相等。 这个题目
命题定理知识点总结
命题定理知识点总结一、命题逻辑命题逻辑是经典逻辑的一个重要分支，研究的对象是命题。
命题是陈述语句，它要么是真，要么是假，不会同时具有真和假。
命题逻辑研究命题的连接与关系，包括命题的合取、析取、蕴含、等价等逻辑连接词，以及它们的基本性质和推导定理等内容。
1. 命题命题是能够表达一个正确或错误观点的陈述，它可以是一个简单的陈述，也可以由多个简单的陈述通过逻辑连接词组成。
例如，“1 + 1 = 2”、“今天下雨了”、“数学是一门科学”等都是命题。
2. 逻辑连接词逻辑连接词是用来连接命题的词语，常见的有合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）、等价（↔）等。
这些逻辑连接词在命题逻辑中有着重要的地位，它们代表了命题之间的不同逻辑关系。
3. 命题的真值表命题的真值表是对命题逻辑中各种逻辑连接词组合的真值进行排列和计算的表格，它能够清晰地展现不同命题之间的逻辑关系。
通过真值表的排列，可以方便地求解某个命题的真值。
4. 命题的合取、析取、蕴含、等价命题的合取是指两个命题同时为真时，结果为真；否则为假。
命题的析取是指两个命题至少有一个为真时，结果为真；否则为假。
命题的蕴含是指当前提成立时，结论一定成立；否则为假。
命题的等价是指两个命题具有相同的真值。
5. 命题逻辑的定理命题逻辑有许多重要的定理，例如德摩根定律、双重否定律、等值推演律等。
这些定理为推导命题的真假提供了重要的工具和方法。
二、谓词逻辑谓词逻辑是经典逻辑的另一个重要分支，研究的对象是命题中的主语和谓语部分。
谓词逻辑比命题逻辑更加复杂和灵活，它包括了谓词、量词、谓词逻辑连接词等内容。
1. 谓词谓词是能够说明主语属性或动作的词语，它可以是单一的谓词，也可以是复合的谓词。
谓词逻辑研究的重点就是如何对复合谓词进行分解和推导。
2. 量词量词是表示范围或数量的词语，它包括了全称量词（∀）和存在量词（∃）等。
量词在谓词逻辑中有着重要的地位，它能够帮助我们描述主语的属性和范围。
上册第二章第1-3节定义;命题;公理和定理
【本讲教育信息】一. 教学内容：§2.1 定义§2.2 命题§2.3 公理与定理［教学目标］知识与技能：1. 了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的条件和结论，奠定推理论证的基础。
2. 了解公理与定理的含义以及二者的区别。
过程与方法：3. 初步体会命题真假判断的过程，体会公理化思想。
情感、态度与价值观：4. 探索命题真假的过程，体会学数学的乐趣。
5. 通过欧几里得的原本，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。
二. 重点、难点：（一）教学重点：1. 了解定义的概念、命题的构成，会区分真命题和假命题。
2. 公理与定理是作为判断命题真假过程中的依据。
一般来说，命题真假的判断不能凭直觉和想当然，每一步推理必须有理有据，而定义、公理、定理就是我们推理过程的主要依据。
（二）教学难点：1. 能举反例说明一个命题是假命题。
2. 判定逆定理的存在性。
［方法指导］1. 会判定一个语句是否为命题，注意两条：（1）命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句）。
（2）必须对某件事情作出肯定或者否定的判断。
2. 要能找出命题的条件和结论，一般情况下，命题也可写成“如果……，那么……”或“若……，则……”等形式。
其中“如果”或“若”引出的部分是条件，有时这些字样前面还有前提条件。
这个前提条件也属于条件，“那么”或“则”引出的部分是结论。
对于条件和结论不明显的命题，要经过分析，先把它改写成“如果……，那么……”的形式，然后再确定条件和结论。
3. 要会判定一个命题是真命题还是假命题。
真命题需要依据公理、定理等推理证明，假命题需要举出反例加以说明。
4. 公理是人们在长期的实践中总结出来的公认的正确的命题，是判定其他命题真假的根据；定理是经过推理论证为真命题的命题。
［主要内容］（一）定义1. 定义是对于一个概念的特征性质的描述。
（1）定义必须是严密的，要避免使用含糊不清的术语，比如：“一些”，“大概”，“差不多”等不能在定义中出现。
人教版初中数学八年级下册 原(逆)命题原(逆)定理-“黄冈杯”一等奖
例4．说出命题“如果一个四边形是平行四边形，那么它的一条对角线把它分为两个全等三角形“的逆命题，判断这个命题的真假，并给出证明。幻灯片演示
注意：①用反例证明。（学生初次接触，教师必须强调）
②原命题正确，而它的逆命题不一定正确。源自四、小结：这节课我们学到了什么
①逆命题、逆定理的概念。
2、等腰三角形两底角相等。
如果三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等。
如果三角形的两底角相等，那么它是等腰三角形。
两角相等的三角形是等腰三角形。
4、角平分线上的点到角两边的距离相等。
1）如果一个点在角的角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等。
2）如果一个点到角两边距离相等，那么这个点在叫的角平分线上。
学情分析
学生比较容易会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，但如何写“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”逆命题以及证明逆命题为真的表述都有些难度。通过本课的教学活动，再次让学生感受我们常常从正、反两个方面来研究某一个问题，这种研究思路使我们可以对一件事物的认识得以深化，也是我们发现新性质、新结论常经的途径，同时这样的研究方法有利于培养学生的逆向思维和发展思维的批判性、深刻性等品质。
思考:所有的命题都有逆命题
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，
所以每个命题都有逆命题。
二、写出逆命题的步骤：
1、把原命题写成:“如果题设，那么结论的形式”。
2、确定命题的题设和结论。
3、形成逆命题的形式：“如果原命题的结论，
那么原命题的题设”。
4、整理句子，确定逆命题。
例1写出下列命题的逆命题
教学重难点
重点
会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．
新教材高中数学第2章常用逻辑用语1命题定理定义2
判断下列各命题中p是q的什么条件: (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:t≠2,q:t2≠4; (3)p:0<x<3,q:|x-1|<2.
解析 (1)x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0, (x-2)(x-3)=0⇒x-2=0或x-3=0. ∴“x-2=0”是“(x-2)(x-3)=0”的充分不必要条件. (2)t≠2 t2≠4(当t=-2时,t2=4), t2≠4⇒t≠2且t≠-2. ∴“t≠2”是“t2≠4”的必要不充分条件. (3)令A={x|0<x<3},B={x||x-1|<2}={x|-1<x<3}. 易知A⫋B,∴p是q的充分不必要条件.
探求充分条件、必要条件的步骤 (1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向; (2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条 件; (3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成立的必要不充分条件 或充分不必要条件.
求方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0有一个公共实数根的充要条件. 思路点拨 设两个方程的公共实数根为x0,列方程组求出k的值,再检验k取此值时两个方程是否有 一个公共实数根,从而解决问题.
1 | 命题、定理、定义的概念 1.命题 在数学中,我们将① 可判断真假 的陈述句叫作命题.许多命题可表示为“如果p, 那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的② 条件 ,q叫作命题的③ 结论 . 2.定理 在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为 定理. 3.定义 定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
2 | 充分条件、必要条件的证明与探求
命题定理与证明课件
详细描述
在命题的证明练习中，学生需要学习如何根据已知条件 和定义，通过逻辑推理和演绎法，推导出结论。这种练 习有助于学生理解命题证明的基本步骤和技巧，培养他 们的逻辑推理能力。
定理的证明练习
总结词
通过定理的证明练习，学生可以深入理解定理的证明过程，掌握定理的应用方法和技巧。
详细描述
在定理的证明练习中，学生需要学习如何根据定理的证明过程，理解和应用定理。这种练习有助于学生深入理解 定理的本质和应用，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
相对论
在相对论中，光速不变原理、质能方程等都是重要的命题 和定理，它们为理解宇宙的基本规律提供了基础。
在计算机科学中的应用
数据结构
在数据结构中，各种排序和查找 算法的效率定理、图的遍历定理 等都是关键的命题和定理，它们 为设计和分析算法提供了依据。
算法分析
在算法分析中，时间复杂度、空 间复杂度等概念都是重要的命题 和定理，它们为评估算法的效率 和可行性提供了标准。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
命题与定理的应用
在数学中的应用
代数
概率统计
命题和定理在代数中有着广泛的应用 ，例如在解决方程、不等式和函数问 题时，需要运用各种基本定理和推论 。
在概率和统计中，命题和定理的应用 也十分重要，例如大数定律、中心极 限定理等，都是解决概率统计问题的 基石。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
命题定理与证明课件
目录
CONTENTS
• 命题与定理的基本概念 • 命题的证明方法 • 定理的证明技巧 • 命题与定理的应用 • 命题与定理的实践练习
北师大版八年级上册数学第27讲《命题、证明及平行线的判定定理》知识点梳理
北师大版八年级上册数学第 27 讲《命题、证明及平行线的判定定理》知识点梳理【学习目标】1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；2.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.【要点梳理】要点一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.要点四、平行公理及平行线的判定定理1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2．平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1.请说出下列名词的定义：（1）无理数（2）直角三角形【答案与解析】解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.举一反三：【变式】指出下列句子哪些是定义.(1)两直线平行,内错角相等；(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；(4)等腰三角形的两底角相等；(5)平行四边形的对角线互相平分；(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【答案】（2），（3），（6）是定义.2.说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（1）如果a >b, b >c ，那么a >c ；（2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.【答案与解析】解：（1）条件：a >b, b >c ；结论：a >c .它是真命题.（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.a 2 举一反三：【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（）.A ．若 = m ，则a = mB ．若 a ＞b ，则 am ＞bmC ．两个等腰三角形必定相似D ．位似图形一定是相似图形【答案】D类型二、公理、定理及证明 3. 证明：等角的余角相等．【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.求证：∠3＝∠4.证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等量代换）.【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.举一反三：【变式】“垂线段最短”是（ ）.A ．定义B ．定理C ．公理D ．不是命题【答案】B类型三、平行线的判定定理4. （2016•淄博）如图，一个由 4 条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°， 找出图中的平行线，并说明理由．【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC．【答案与解析】解：OA∥BC，OB∥AC．∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．【总结升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•宁城）如图，下列能判定AB∥CD 的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．∴正确的为（1）、（3）、（4），共3 个；故选：C．5.（2015•日照期末）如图，AB∥CD，AE 平分∠BAD，CD 与AE 相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．【答案与解析】证明：∵AE 平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．举一反三：【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB 与CD 平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，即∠3＝∠4．∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．。
定义、公理、定理、推论、命题和引理
定义、公理、定理、推论、命题和引理
定义：
对于⼀种事物的本质特征或⼀个概念的内涵和外延所作的简要说明。
相当于数学上的对未知数的设定赋值，⽐如“设某未知数为已知字母x以便于简化计算，”对某个命名的词汇赋与⼀定的意义或形象，则有利于交流中的识别及认同。
公理：
在数学中，公理这⼀词被⽤于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和⾮逻辑公理。
在这两种意义之下，公理都是⽤来推导其他命题的起点。
和不同，⼀个公理（除⾮有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本⾝，⽽是能够从起点得出的某种结果—可以⼲脆被归为定理了。
定理：
经过受逻辑限制的证明为真的陈述。
⼀般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。
证明定理是数学的中⼼活动。
推论：
从⼀个或者⼀些已知的命题得出新命题的思维过程或思维形式。
其中已知的命题是前提，得出的命题为结论。
命题：
在现代哲学、数学、逻辑学、语⾔学中，命题是指⼀个判断（陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。
命题不是指判断（陈述）本⾝，⽽是指所表达的语义。
当相异判断（陈述）具有相同语义的时候，他们表达相同的命题。
在数学中，⼀般把判断某⼀件事情的陈述句叫做命题。
引理：
引理是为证明某个定理或解某个问题所要⽤到的命题。
引理和定理没有严格的区分，如果论证某个命题时，还没有直接根据，需要某些还没有被证明的结论，把它提出来加以证明，就是所谓的构造引理。
kmt定理
KMT定理，即Kantorovich-Rubinstein定理，是数学中用于度量空间中两点间距离的一个重要定理。
这个定理主要应用于优化理论、变分不等式和对策论等领域。
在具体的数学表达上，假设有两个概率分布P和Q，定义了它们之间的距离函数为：
R(P,Q) = sup E[f(X)] - E[g(Y)]
其中，sup表示上确界，E表示期望，f和g是满足一定条件的可测函数，X和Y是P和Q的样本。
根据KMT定理，当P和Q的相对熵（relative entropy）D(P||Q)和运输距离（transportation distance）T(P||Q)满足以下条件时：lim sup[T(P_n||Q) - D(P_n||Q)] ≤0
其中，P_n是P的离散化概率分布，则存在一个最优的运输计划，使得总运输成本最小。
这个最优的运输计划可以用来计算两点间的最短路径或最短时间。
KMT定理在优化理论中有着广泛的应用，它可以用来解决各种优化问题，如变分不等式、对策论等。
此外，KMT定理还可以用于机器学习和数据挖掘等领域，例如在分类、聚类和降维等问题中，可以利用KMT定理来度量不同数据点之间的距离或相似性。
数学中 公理 定理 定义 命题的区别
数学中公理定理定义命题的区别【最新版】目录一、引言二、公理、定义、命题的区别1.公理的概念及其特点2.定义的概念及其特点3.命题的概念及其特点三、定理与定律的区别1.定理的概念及其特点2.定律的概念及其特点3.定理与定律的联系与区别四、结论正文一、引言在数学的学习和研究中，我们经常遇到一些专业术语，如公理、定义、命题、定理和定律等。
对于这些概念，我们不仅需要理解它们的意义，还要区分它们之间的差别。
本文将对这些概念进行详细解析，以帮助读者更好地理解它们。
二、公理、定义、命题的区别1.公理的概念及其特点公理是数学中的一种基本原理，它是不需要证明的、显然成立的命题。
公理通常是基于实践和观察得出的结论，它们为数学体系的建立和发展提供了基础。
公理的特点是：不言自明、无需证明、具有普遍性。
2.定义的概念及其特点定义是对一个概念或事物的准确描述，它通过列举事物的基本属性和特征来规范这个词或概念的意义。
定义的特点是：准确、简洁、明确。
在数学中，定义通常用来描述一个概念的内涵和外延，以便于理解和研究。
3.命题的概念及其特点命题是能够判断真假的陈述句，它由题设和结论两部分组成。
命题的特点是：具有判断性、可以证明或证伪。
在数学中，命题通常用来描述公理和定理之间的关系，以及它们在数学体系中的地位。
三、定理与定律的区别1.定理的概念及其特点定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。
在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。
定理的特点是：有一个设定（一大堆条件），然后有一个结论（在条件下成立的数学叙述）。
通常写作若条件，则结论。
用符号逻辑来写就是条件结论。
而当中的证明不视为定理的成分。
2.定律的概念及其特点定律是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实归纳而成的结论。
定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确。
定律的特点是：具有普遍性、基于客观事实、可以部分描述现实世界。
命题定理全
1、动物都需要水 ；
是
2、两条直线相交，只有一个交点； 是
3、过直线外一点做直线m的平行线 ；否
4、四边形是正方形；
是
5、你的作业做完了吗？
否
6、同位角相等，两直线平行； 是
7、三角形两边之和大于第三边； 是
8、垂直于同一直线的两直线平行； 是
9、过点P画线段MN的垂线；
否
10、2＞3
是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
真命题 真命题
条件是：两个角是同一个角的补角 结论是：这两个角相等
练习：把下列命题改写成“如果……那 么……”的形式，并判断其是真命题，还 是假命题。若是假命题，举出一个反例。
（1）内错角相等，两直线平行。
（2）内错角相等。
（3）等角的补角相等。
（4）在同一平面内，平行于同一条直线 的两直线平行。
（5) 3<2
【勇攀高峰】：
对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：
①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.
以其中两个论断为条件，一个论断为结论组成一个你认为正确
的命题是
.
有些命题如果题设成立，那么结论一定成立； 而有些命题题设成立时，结论不一定成立。 如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能 被2整除”就是一个真命题。 如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补 角”就是一个假命题。 确定一个命题真假的方法：
两直线平行， 同位角相等。
题设（条件） 结论
同位角相等， 两直线平行
题设（条件）
结论
命题一般都写成“如果…，那么…”的形式。
命题一般都写成“如果…，那么…”的形式。 “如果”后接的部分是题设，“那么”后接的 部分是结论。
命题定理证明的定义
命题定理证明的定义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：命题定理证明是数学逻辑学中的一个重要概念，它指的是将一个命题从已知的前提出发，通过一系列的推理步骤和规则，推导出结论的过程。
在数学领域中，命题定理证明是严格而且严密的，是数学研究和应用的基础之一。
在进行命题定理证明时，首先需要准确地描述问题或命题，并且列出相关的前提条件。
然后通过严格的逻辑推理和推导，依据已知的数学公理和定理，逐步地推演出结论。
在整个证明过程中，必须遵循一定的逻辑规则和严密的证明步骤，确保结论的正确性和可靠性。
命题定理证明通常包括以下几个步骤：1. 前提条件和问题描述：首先确立要证明的命题或问题，并且清楚列出所有的前提条件和已知信息。
在这个阶段，需要对问题进行充分的分析和理解，确保问题的表述准确清晰。
2. 证明方法和思路确定：在确定了问题和前提条件之后，需要选择适当的证明方法和思路。
有些证明可能需要采用归纳法、反证法、直接推理等不同的方法，以达到证明的目的。
3. 逻辑推理和推导：在进行证明的过程中，需要进行严密的逻辑推理和推导。
通过运用数学公理和定理，以及已知的逻辑关系，逐步地推演出结论。
在每一步骤中，都需要严格按照逻辑规则进行推理，确保每一步都是合理的。
4. 结论的得出和总结：最终，通过一系列的推理和推导，得出最终的结论。
在得出结论之后，还需要对整个证明过程进行总结和回顾，确保证明的完整性和严密性。
通过命题定理证明，我们可以深入理解数学问题的本质和逻辑结构，提高自己的逻辑思维能力和数学推理能力。
命题定理证明也是数学教育和研究的重要方法之一，通过证明定理，可以推动数学领域的发展和进步。
第二篇示例：命题定理证明是数学中的一个重要概念，指的是用逻辑推理和推导有效地证明一个命题为真的过程。
在数学证明中，命题是一个陈述性的句子，可以是真或假，我们通过一系列的推理和推导过程来证明这个命题的真实性。
在数学领域，命题定理证明是非常常见的，它是数学研究的基础，也是数学推理的基础。
八年级数学上册《 公理、定理》教案
八年级数学上册《公理、定理》教案预设目标1、知识与技能：了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性。
2、过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。
3、情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。
教学重难点 1、重点：知道什么是公理，什么是定理。
2、难点：理解证明的必要性。
教具准备三角尺教法学法讲解、讨论、练习教学过程一、复习引入教师讲解：前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了。
这节课，我们将探究怎样证明一个命题是真命题。
二、探究新知（一）公理教师讲解：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
我们已经知道下列命题是真命题：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；……在本书中我们将这些真命题均作为公理。
（二）定理教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的。
从而说明证明的重要性。
1、教师讲解：请大家看下面的例子：当n=1时，（n2-5n+5)2=1;当n=2时，（n2-5n+5)2=1；当n=3时，（n2-5n+5)2=1。
我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5)2=25。
2、教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞ b时，a2＞ b2。
这个命题是真命题吗？［答案：不正确，因为3＞-5，但 3 2 ＜（-5）2］我们把经过证明为真的命题叫做定理。
如“三角形的内角和等于180度”称为“三角形内角和定理”定理也可以作为判断其他命题(三）例题与证明例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余。
数学中 公理 定理 定义 命题的区别
数学中的公理、定理、定义和命题是数学领域中非常重要且基础的概念。
它们在数学推理、证明和理论构建中起着至关重要的作用。
在本篇文章中，我们将深入探讨这些概念的区别和联系，并就其在数学中的重要性进行全面评估。
1. 公理公理是数学体系中最基本的、不需证明的假设或命题。
它们通常是在数学体系中的起点，其他的结论和定理都是基于这些公理推导出来的。
公理是数学体系的基石，没有公理就无法建立一个完整的数学理论体系。
公理是数学体系的基本前提，它们为数学的发展提供了必要的逻辑基础。
在几何学中，欧几里德的五个公设就是著名的公理，它们被视为几何学理论的基础。
欧几里德的第一个公设是“通过两点可以作一条直线”，这一公设被视为几何学中不需要证明的基本假设。
2. 定理定理是在给定公理或已经证明的命题的基础上，通过严密的推理和证明所得到的命题。
定理通常是数学中的重要结论，它们是基于公理和已知事实推导出来的新命题。
定理在数学推理和理论构建中扮演着重要的角色，它们扩展了数学知识的边界，推动了数学领域的进步。
费马大定理是数论领域中的一个重要定理，它是由皮耶尔·德费尔玛在17世纪提出的。
这个定理在300多年来一直是数学家们苦苦追寻的目标，直到1994年由安德鲁·怀尔斯成功证明。
费马大定理的证明不仅深刻影响了数论领域，也对整个数学领域的发展产生了重要的影响。
3. 定义定义是数学中非常重要的概念，它规定了数学对象的基本性质和特征。
定义在数学中的作用是非常突出的，它们为数学领域中的各种概念和对象确立了明确的含义和范围。
没有清晰准确的定义，就无法进行深入的数学研究和推理。
在微积分中，对于导数和积分的定义是非常重要的。
导数的定义是函数在某一点的变化率，积分的定义是曲线下方的面积，这些清晰的定义为微积分的理论和应用提供了坚实的基础。
4. 命题命题是陈述形式的有关某种性质的说法，它可以是真的，也可以是假的。
命题通常是对某个问题的断言或主张，它们可以通过推理和证明来确定其真假。
命题定理
7、平行线的性质定理：
两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。
公理举例： 1、直线公理：经过两点有且只有一条直线。 2、线段公理：两点的所有连线中，线段最短。 3、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条 直线与已知直线平行。
4、平行线判定公理： 同位角相等，两直线平行。
5、平行线性质公理： 两直线平行，同位角相等。
定理举例： 1、补角的性质：
同角或等角的补角相等。
2、余角的性质：
同角或等角的余角相等。
3、对顶角的性质： 对顶角相等。
4、垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直； ②垂线段最短。
5、平行公理的推论： 如果两条直线都和第三条 直线平行，那么这两条直定定理：
内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。
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李素珍
一、复习与练习：
1、判断下列语句是不是命题？如果是命题，则判断其 真假。
（是，假命题 ） （1）三角形的一个外角大于三角形的每一个内角。
（2）在直线AB上取一点C。 （3）直角都相等。 （4）画∠B的平分线。 （5）明天是小王的生日吗？
（不是命题） （是， 真命题 （不是命题 ） （不是命题） ）
2、将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式， 并指出命题的题设和结论。
（1）等角对等边。
（2）同角的补角相等。 （3）平行于同一直线的两条直线平行。 解（1）如果在一个三角形中有两个角相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，那么这两 结论 个角所对的边也相等。题设 （2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等。
题设 结论 结论
3、画图，写出已知、求证。（不用证明）
（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分 线互相垂直。
（2）有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角 形全等。
（3）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行。
题设
二、证明的步骤： 1、如何证明下列命题是假命题：（只需举一个反例） （1）如果a<b，那么a2<b2。
（2）同位角相等。
（3）如果两个角互补，那么这两个角是邻补角
2、如何证明下列命题是真命题：
求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分 线互相平行。 第一步：（自己）画图，标字母。 第二步：（自己）写已知，求证。 第三步：进行证明。