北大附中23届高三数学一轮复习单元综合测试：空间向量与立体几何(2)
2023北京高三一模数学汇编：空间向量与立体几何
2023北京高三一模数学汇编空间向量与立体几何1．（2023·北京房山·统考一模）如图，已知正方体1111ABCD A B C D −，则下列结论中正确的是（ ）A ．与三条直线111,,AB CCD A 所成的角都相等的直线有且仅有一条 B ．与三条直线111,,AB CC D A 所成的角都相等的平面有且仅有一个 C ．到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等的点恰有两个 D ．到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等的点有无数个2．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ⊥，2AC =，1BC =，12AA =，点D 在棱AC 上，点E 在棱1BB 上，给出下列三个结论：①三棱锥E ABD −的体积的最大值为23；②1A D DB +③点D 到直线1C E ． 其中所有正确结论的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．（2023·北京西城·统考一模）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 上．给出下列四个结论： ①MN 的最小值为2； ②四面体NMBC 的体积为43； ③有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直； ④存在点M ，N ，使MBN △为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____．4．（2023·北京海淀·统考一模）如图，直三棱柱111ABC A B C 中，1AC BC ==，12AA =，AC BC ⊥，D 是1AA 的中点．(1)证明：1C D ⊥平面BCD ；(2)求直线CD 与平面1BC D 所成角的正弦值．5．（2023·北京西城·统考一模）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AB =，2PA AD CD ===．E 为棱PC 上一点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题(1)求证：F 为PD 的中点； (2)求二面角B FC P −−的余弦值． 条件①：//BE AF ；条件②：BE PC ⊥．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．6．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面是边长为2的菱形，AC 交BD 于点O ，60BAD ∠=︒，PB PD =．点E 是棱P A 的中点，连接OE ，OP ．(1)求证：//OE 平面PCD ；(2)若平面P AC 与平面PCD 知，求线段OP 的长．条件①：平面PBD ⊥平面ABCD ； 条件②：PB AC ⊥．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．7．（2023·北京东城·统考一模）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AD ==，1BD 和1B D 交于点E ，F 为AB 的中点.(1)求证：EF ∥平面11ADD A ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 （i ）平面CEF 与平面BCE 的夹角的余弦值； （ii ）点A 到平面CEF 的距离. 条件①：1CE B D ⊥；条件②：直线1B D 与平面11BCC B 所成的角为4π. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.8．（2023·北京房山·统考一模）如图，四棱锥P ABCD −的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，2PD DC AD ===，M 为BC 的中点.(1)求证：AM ⊥平面PBD ；(2)求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值； (3)求D 到平面APM 的距离.9．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AC ，11A C的中点，AB BC ==12AC AA ==．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值； (3)求点D 到平面ABE 的距离．10．（2023·北京石景山·统考一模）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等腰直角三角形，且π2PAD ∠=，点F 为棱PC 上的点，平面ADF 与棱PB 交于点E .(1)求证：//EF AD ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD 与平面ADFE 所成锐二面角的大小.条件①：AE =条件②：平面PAD ⊥平面ABCD ；⊥.条件③：PB FD注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.参考答案1．D【分析】所成的角都相等的直线有无数条，A 错误，成的角相等的平面有无数个，B 错误，距离相等的点有无数个，C 错误，D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：根据对称性知1AC 与三条直线的夹角相等，则与1AC 平行的直线都满足条件，有无数条，错误；对选项B ：根据对称性知平面1A BD 与三条直线所成的角相等，则与平面1A BD 平行的平面都满足条件，有无数个，错误；对选项C ：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，()1,0,0A ，()1,1,0B ，1DB 上一点(),,P a a a ，则()0,1,0AB =，()1,,PA a a a =−，(cos ,AB PA AB PA AB PAa ⋅==⋅P 到直线AB的距离为21cos ,PA PA AB ⋅−==，同理可得P 到直线1CC 和11D A 1DB 上的点到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等，故有无数个，错误；对选项D ：1DB 上的点到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等，故有无数个，正确； 故选：D 2．C【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将ABC 翻折到与矩形11ACC A 共面时连接1A B 交AC 于点D ，此时1A D DB +取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C 中1BB ⊥平面ABC ，对于①：因为点E 在棱1BB 上112A B A B ==，所以[]0,2BE ∈，又13E ABD ABDV BE S−=⋅，又AC BC ⊥，2AC =，1BC =，点D 在棱AC 上，所以[]0,2AD ∈，[]110,122ABDSAD BC AD =⋅=∈，所以1233E ABD ABDV BE S−=⋅≤，当且仅当D 在C 点、E 在1B 点时取等号，故①正确； 对于②：如图将ABC 翻折到与矩形11ACC A 共面时连接1A B 交AC 于点D ，此时1A D DB +取得最小值，因为1112A C CC ==，1BC =，所以13BC =，所以1A B == 即1A D DB +对于③：如图建立空间直角坐标系，设(),0,0D a ，[]0,2a ∈，()0,1,E c ，[]0,2c ∈，()10,0,2C ，所以()1,0,2C D a =−，()10,1,2C E c =−，则点D 到直线1C E 的距离221111CD CE d C D C E ⎛⎫⋅ ⎪=−=⎪⎝⎭=当2c =时2d =≥， 当02c ≤<时()2024c <−≤，()21142c ≤−，()215142c +≥−，则()241601512c <≤+−，所以当()()224221c c −−+取最大值165，且20a=时min d = 即当D 在C 点E 在B 点时点D 到直线1C E ，故③正确；故选：C 3．①②④【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以M 为顶点，NBC 为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，利用空间坐标即可求解.【详解】对于①，由于M 在1AD 上运动，N 在11B C 上运动，所以MN 的最小值就是两条直线之间距离11D C ，而112D C =，所以MN 的最小值为2；对于②，111233M BNC BNC BNC V SD C S −=⋅⋅=⋅，而12222BNCS=⨯⨯=，所以四面体NMBC 的体积为43；对于③，由题意可知，当M 与1D 重合，N 与1C 重合时， 111D C AD ⊥，又根据正方体性质可知，111AD A B CD ⊥，所以当M 为1AD 中点，N 与1B 重合时，此时1MN AD ⊥，故与1AD 垂直的MN 不唯一，③错误；对于④，当MBN △为等边三角形时，BM BN =，则此时1AM B N =.所以只需要BM 与BN 的夹角能等于π3即可.以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如下图，设1AM B N n ==，则由题意可得2M ⎛⎝，()2,2,0B ，()2,2,2N n −，则可得BM ⎛=− ⎝，(),0,2BN n =−，则12cos2n BM BN MBN BM BN ⋅∠===⋅，整理可得2120n n ⎫−+=⎪⎪⎝⎭，该方程看成关于n的二次函数，44140⎫∆=−⨯⨯=>⎪⎪⎝⎭，所以存在n 使得MBN △为等边三角形. 故答案为：①②④ 4．(1)证明见解析(2)3【分析】（1）以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明出1C D CB ⊥，1C D CD ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线CD 与平面1BC D 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在直三棱柱111ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,2C 、()1,0,1D ，()0,1,0CB =、()1,0,1CD =、()11,0,1C D =−，所以，10CB C D ⋅=，11010CD C D ⋅=+−=，则1C D CB ⊥，1C D CD ⊥， 又因为CB CD C =，CB 、CD ⊂平面BCD ，因此，1C D ⊥平面BCD . （2）解：设平面1BC D 的法向量为(),,m x y z =，()10,1,2BC =−， 则11200m BC y z m C D x z ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取1z =，可得()1,2,1m =，所以，cos ,2CD m CD m CD m⋅===⋅ 因此，CD 与平面1BC D . 5．(1)证明见解析【分析】（1）若选条件①，利用线面平行判定定理和性质定理即可得出四边形ABEF 为平行四边形，又12AB CD =即可得EF 为PCD 的中位线即可得出证明；若选条件②，利用勾股定理可得E 为PC 的中点，再利用线面平行判定定理和性质定理即可得CD EF ∥，即可得出证明；（2）建立以A 为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面BCF 的法向量为(2,1,3)m =−，易知AF 是平面PCD 的一个法向量，根据空间向量夹角与二面角之间的关系即可求得结果. 【详解】（1）选条件①：BE AF ∥因为//AB CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以//AB 平面PCD因为平面ABEF ⋂平面PCD EF =， 所以AB EF ∥又//BE AF ， 所以四边形ABEF 为平行四边形． 所以AB EF ∥且AB EF =．因为//AB CD 且12AB CD =，所以//EF CD 且12EF CD =．所以EF 为PCD 的中位线． 所以F 为PD 的中点． 选条件②：BE PC ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．在Rt PAB 中，PB 在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =PB BC =． 因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点． 因为ABCD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以//AB 平面PCD ．因为平面ABEF ⋂平面PCD EF =，所以AB EF ∥． 所以CD EF ∥， 所以F 为PD 的中点；（2）由题可知因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥． 又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A x y z −，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．所以(1,2,0)BC =，(,,)111BF =−，(0,1,1)AF =．设平面BCF 的法向量为(,,)m x y z =，则·0·0m BC m BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20,0.x y x y z +=⎧⎨−++=⎩ 令1y =−，则2x =，3z =．于是(2,1,3)m =−．因为AB ⊥平面PAD ，且//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂平面PAD ，所以AF CD ⊥．又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．,,CD PD D CD PD ⋂=⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，所以AF 是平面PCD 的一个法向量． 7cos ,7m AFm AF m AF ⋅==由题设，二面角B FC P −−的平面角为锐角，所以二面角B FC P −−． 6．(1)证明见解析【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算表示出平面P AC 与平面PCD 的夹角的余弦值，即可求解.【详解】（1）因为底面ABCD 是菱形，所以O 是AC 中点，因为E 是棱P A 的中点，所以//OE PC ，又因为PC ⊂平面PCD , OE ⊄平面PCD ,所以//OE 平面PCD.（2）选择条件①:因为PB PD =，O 是BD 的中点，所以PO BD ⊥,因为平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD 平面ABCD BD =, PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以PO AC ⊥，又AC BD ⊥，所以,,OB OC OP 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz −,因为菱形的边长为2，60BAD ︒∠=所以2,BD AC ==所以(1,0,0),C D −设(0,0,)(0),P t t > 所以(1,3,0),(1,0,)DC DP t ==，设(,,)n x y z =为平面PCD 的一个法向量，由,,n DC n DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得0,0,n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x x tz ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取,,x y t z ==−=，所以(3,,n t t =−， 因为BO ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为1(1,0,0)=n ,平面P AC 与平面PCD 的夹角的余弦值为所以115cos ,5n n <>=所以22543t t =+，所以23t =，因为0t >，所以0t >，所以t =.所以线段OP选择条件②:因为PB AC ⊥.在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，因为BD ⊂平面,PBD PB ⊂平面,PBD PBBD B =,所以AC ⊥平面PBD ,因为PO ⊂平面PBD ，所以AC PO ⊥，因为,PO BD AC BD ⊥⊥,所以,,OB OC OP 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz −,因为菱形的边长为2，60BAD ︒∠=所以2,BD AC ==所以(1,0,0),C D −设(0,0,)(0),P t t > 所以(1,3,0),(1,0,)DC DP t ==，设(,,)n x y z =为平面PCD 的一个法向量，由,,n DC n DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得0,0,n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x x tz ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取,,x y t z ==−=，所以(3,,n t t =−， 因为BO ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为1(1,0,0)=n ,平面P AC 与平面PCD所以115cos ,5n n <>=所以22543t t =+，所以23t =，因为0t >，所以0t >，所以t =.所以线段OP7．(1)证明见解析(2)（ⅰ）（ⅱ） 1【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；（2）若选条件①，利用1CE B D ⊥，通过推理论证得到1CD B C ==向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解；若选条件②，利用1B D 与平面11BCC B 所成角为4π，通过推理论证得到1CD B C ==，建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．【详解】（1）如图，连接1AD ，11B D ，BD .因为长方体1111ABCD A B C D −中,1BB ∥1DD 且11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形.所以E 为1BD 的中点，在1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点，所以EF ∥1AD .因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以EF ∥平面11ADD A .（2）选条件①：1CE B D ⊥.(ⅰ)连接1B C .因为长方体中12AA AD ==，所以1=B C .在1CBD △中,因为E 为1B D 的中点，1CE B D ⊥，所以1CD B C ==如图建立空间直角坐标系D xyz −，因为长方体中12A A AD ==,CD =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A，(0,C，B，F ，1B，E .所以(1,CE =，(2,CF =，(2,0,0)CB =.设平面CEF 的法向量为111(,,)m x y z =，则0,0,m CE m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111110,20.x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令11x =，则1y =11z =，可得(1,2,1)m =.设平面BCE 的法向量为222(,,)n x y z =，则0,0,n CE n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22220,20.x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 令21y =，则20x =，2z =(0,1,2)n =.设平面CEF 与平面BCE 的夹角为θ ， 则||6cos |cos ,|.3||||mn m n m n θ⋅=<>== 所以平面CEF 与平面BCE(ⅱ)因为(0,AF =，所以点A 到平面CEF 的距离为||1||AF m d m ⋅==. 选条件②：1B D 与平面11BCC B 所成角为4π. 连接1B C . 因为长方体1111ABCD A B C D −中，CD ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以1CD B C ⊥.所以1DB C ∠为直线1B D 与平面11BCC B 所成角，即14DB C π∠=. 所以1DB C 为等腰直角三角形.因为长方体中12AA AD ==，所以1=B C .所以1CD B C ==以下同选条件① .8．(1)证明过程见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为2DC AD ==，M 为BC 的中点，所以AD AB AB AM=， 因为四棱锥P ABCD −的底面是矩形，所以π2DAB MBA ∠=∠=， 所以Rt Rt DAB ABM ∽，所以DBA AMB ∠=∠，而π2MBD DBA ∠+∠=，即π2MBD ANB AM DB ∠+∠=⇒⊥， 因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ，所以PD AM ⊥，而,,DBPB B DB PB =⊂平面PBD ，所以AM ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ，所以,PD AD PD DC ⊥⊥，因为因为四棱锥P ABCD −的底面是矩形，所以AD DC ⊥，建立如下图所示的空间直角坐标系，()()())0,0,0,0,0,2,,2,0D P A M ， 因为PD ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量为()0,0,2DP =，设平面APM 的法向量为(),,n x y z =，()22PA =−，()2,2,0MA =−，于是有()202,1,220n PA z n n MA y ⎧⎧⊥−=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⊥−=⎪⎪⎩⎩，平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值为(DP n DP n⋅==⋅ （3）由（2）可知平面APM的法向量为()2,1,2n=，4cos ,7DP n 〈〉= 所以D 到平面APM的距离为cos ,2DP DP n ⋅〈〉=9．(1)证明见解析；. 【分析】（1）根据线面垂直的性质得到DE AC ⊥，根据等腰三角形三线合一的性质得到AC BD ⊥，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【详解】（1）在三棱柱中，D ，E 为AC ，11A C 的中点，∴1DE AA ∥，∵1AA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵AC ⊂平面ABC ，∴DE AC ⊥，在三角形ABC 中，AB BC =，D 为AC 中点，∴AC BD ⊥，∵DE BD D ⋂=，,DE BD 平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE .（2）如图，以D 为原点，分别以,,DA DB DE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，在直角三角形ABD 中，AB =112AD AC ==，∴2BD =， ()0,0,0D ，()0,0,2E ，()1,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,2DE =，()1,2,0AB =−，()1,0,2AE =−，设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，2020AB m x y AE m x z ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，令2x =，则1y =，1z =，所以()2,1,1m =， 设直线DE 与平面ABE 所成角为θ，所以sin cos ,2DE mDE m DE m θ⋅====⨯⋅（3）设点D 到平面ABE 的距离为d ，所以26DE md m ⋅=== 10．(1)证明见解析(2)π3 【分析】（1）根据条件可以证明//AD 平面PBC ，再利用线面平行的性质定理即可证明出结论；（2）选条件①②可以证明出,,AB AD AP 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz −，求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果;选条件①③或②③同样可以证明求解.【详解】（1）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ,所以//AD 平面PBC ，又因为平面ADF 与PB 交于点E .AD ⊂平面ADFE ，平面PBC ⋂平面,ADFE EF = 所以//EF AD .（2）选条件①②侧面PAD 为等腰直角三角形，且π,2PAD ∠=即2PA AD ==，PA AD ⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD , 则PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形， 所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)A P C B D 因为2AE =，所以点E 为PB 的中点，则(1,0,1)E 从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PC AD AE =−==， 设平面ADFE 的法向量为：(,,)n x y z =， 则020n AE x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1x =，可得(1,0,1)n =−设平面PCD 的法向量为：(,,)n a b c =，则2202220n PD b c n PC a b c ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩， 令1b =，可得(0,1,1)n = 所以1cos ,2PB nPB n PB n ⋅== 则两平面所成的锐二面角为π3选条件①③侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠=即2,PA AD PA AD ==⊥,AD AB PA AB A ⊥⋂=，且两直线在平面内，可得AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥. 又因为,,PB FD AD FD D ⊥⋂=且两直线在平面内， 则PB ⊥平面ADFE ,AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥ 因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点又因为AE PAB 为等腰直角三角形， 下面同①②选条件②③侧面PAD 为等腰直角三角形，且2PAD π∠=，即2,PA AD PA AD ==⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD , 则PA ⊥平面,ABCD ABCD 为正方形，所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.又因为,,PB FD AD FD D ⊥⋂=且两直线在平面内，则PB ⊥平面ADFE ，AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点. 下面同①②。
高考数学一轮复习《空间向量与立体几何》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《空间向量与立体几何》练习题（含答案）一、单选题1．已知空间向量()3,4,5AB =-，则AB =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．522．设直线1l 、2l 的方向向量分别为a ，b ，能得到12l l ⊥的是（ ） A ．(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =- B ．(2,2,1)a =-，(3,2,10)b =- C ．(1,0,0)a =，(3,0,0)b =-D ．(2,3,5)a =-，(2,3,5)b =3．已知正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为（ ） A ．16B ．23C ．2121D ．421214．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，12CM BM =，N 是PD 的中点，向量MN AB x AD y AP =-++，则（ ）A ．13x =，12y =-B ．16x =-，12y =C ．13x，12y =D ．16x =，12y =-5．有以下命题：①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行 ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直 其中真命题的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，则cos ,a b 〈〉=（ ） A ．48585B ．48585-C ．0D ．17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1111,C D A D 上的动点．给出下面四个命题①直线EF 与直线AC 平行；②若直线AF 与直线CE 共面，则直线AF 与直线CE 相交； ③直线EF 到平面ABCD 的距离为定值； ④直线AF 与直线CE 所成角的最大值是3π．其中，真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．在以下命题中：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--，则P ，A ，B ，C 四点共面④若a ，b 是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底⑤若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底； 其中真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．已知向量(4,2,4),(6,3,2)a b =--=-，则下列结论正确的是（ ） A ．(10,5,2)a b +=- B ．(2,1,6)a b -=-C ．(24,6,8)a b ⋅=-D ．||6a =10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为1BB ，CD 的中点．有下列结论：①三棱锥11A MND -在平面11D DCC 上的正投影图为等腰三角形； ②直线//MN 平面11A DC ；③在棱BC 上存在一点E ，使得平面1AEB ⊥平面MNB ；④若F 为棱AB 的中点，且三棱锥M NFB -的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为6π． 其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中5SA AO =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是( )A 235B 665C 13D 312．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90BAD ∠=︒，112PA AB BC AD ====，//BC AD ，已知Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为30，则ADQ △面积的取值范围是（ ）A ．2150,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．250,5⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．2100,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．3100,5⎛⎤ ⎥ ⎝⎦二、填空题13．已知a =(3，2，－1)，b = (2，1，2)，则()()2a b a b -⋅+=___________． 14．若空间中有三点()()()1,0,1,0,1,1,1,2,0A B C - ，则点()1,2,3P 到平面ABC 的距离为______.15．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，3AB =，点N 为侧面11BCC B 上一动点（不含边界），且满足1D N CN ⊥.记直线1D N 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的取值范围为_________.16．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111AC B D F =，若1AF xAB yAD zAA =++，则x y z ++=___________.三、解答题17．如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，3BC =3AC =，E 是AB 的中点，D 在AC 上，DE AB ⊥.沿着DE 将ADE 折起，得到几何体A BCDE -，如图2(1)证明：平面ABE ⊥平面BCDE ；(2)若二面角A DE B --的大小为60︒，求直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值.18．已知正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2a ，M 是棱1DD 的中点.求证：1DB ∥平面11A MC .19．四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，90PDA BAD ∠=∠=︒，12PD DA AB CD ===，S 为PC中点，BS CD ⊥．（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）平面SAD 交PB 于Q ，求CQ 与平面PCD 所成角的正弦值．20．如图，在多面体ABCDEF 中，AD ⊥平面ABF ，AD ∥BC ∥4EF AD =，，3,2BC AB BF EF ====，120ABF ︒∠=．（1）证明：AC DE ⊥；（2）求直线AE 与平面CDE 所成角的大小．21．如图（1）,在直角梯形ABCD 中,AB CD ∥,AB BC ⊥,22CD AB BC ==,过A 点作AE CD ⊥,垂足为E ,现将ADE ∆沿AE 折叠,使得DE EC ⊥,如图（2）.（1）求证:平面DAB ⊥平面DAE ; （2）求二面角D AB E --的大小.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，24CD AB ==，2AD =，PAB 为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)求证：//AE 平面PBC ； (2)求二面角A EB C --的余弦值.23．如图所示，边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且2DE =，//ED AF 且90DAF ∠=︒．(1)求BD 和面BEF 所成的角的正弦； (2)求点C 到直线BD 的距离；(3)线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF 的比值：若不存在，说明理由．24．如图，在三棱锥A BCD -中，ABD △是等边三角形，2AC =，2BC CD ==，BC CD ⊥，E 为空间内一点，且CDE 为以CD 为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）若2BE =，试求平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值参考答案1．D2．B3．B4．B5．A6．B7．B8．D9．D10．D11．B12．A 13．21415．13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．2 17．（1）证明：因为在图1中DE AB ⊥，沿着DE 将ADE 折起， 所以在图2中有DE AE ⊥，DE BE ⊥， 又AEBE E =，所以DE ⊥平面ABE ， 又因为DE ⊂平面BCDE ， 所以平面ABE ⊥平面BCDE ； （2）解：由（1）知，DE AE ⊥，DE BE ⊥， 所以AEB ∠是二面角A DE B --的平面角， 所以60AEB ∠=︒， 又因为AE BE =， 所以ABE 是等边三角形， 连接CE ，在图1中，因为90C ∠=︒，BC =，3AC = 所以60EBC ∠=︒，AB =因为E 是AB 的中点，所以BE BC == 所以BCE 是等边三角形. 取BE 的中点O ，连接AO ，CO ， 则AO BE ⊥，CO BE ⊥，因为平面ABE ⊥平面BCDE ，平面ABE ⋂平面BCDE BE =，所以AO ⊥平面BCDE ， 所以OB ，OC ，OA 两两垂直，以O 为原点，OB ，OC ，OA 为x ，y ，z 轴建系，如图所示.30,0,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3B ⎫⎪⎪⎝⎭，30,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 所以3322AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，330,,22AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，332AD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即330,2330.22z y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩取1z =，得平面ABC 的一个法向量为()3,1,1n =，所以33311125cos ,52n AD AD n n AD ⎛⎛⎫⨯+-⨯ ⎪⋅⎝⎭===⨯设直线AD 与平面ABC 所成角为θ，则5sin θ=. 18．以点D 为原点，分别以DA ､DC 与1DD 的方向为x ､y 与z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则()0,0,0D ､()2,0,0A a ､()0,2,0C a ､()2,2,0B a a ､()10,0,2D a ､()12,0,2A a a ､()10,2,2C a a ､()12,2,2B a a a ，M 是棱1DD 的中点得()0,0,M a ，()12,2,2DB a a a =.设面11A MC的一个法向量为(),,n x y z =，()12,0,MA a a =，()10,2,MC a a =，则1120,0,20,0,ax az n MA ay az n MC ⎧+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩令1y =，则()1,1,2n =-.又110DB n DB n ⋅=⇒⊥，因为1DB ⊄平面11A MC ，所以1DB ∥平面11A MC .19．（1）取CD 中点为M ，则DM AB =且//DM AB ， 所以四边形ABMD 为平行四边形，可得//BM AD ， 所以BM CD ⊥，又由BS CD ⊥，BM BS B ⋂=，所以CD ⊥平面BSM ，又因为SM ⊂平面BSM ，所以CD SM ⊥, 又由//SM PD ，所以CD PD ⊥，AD PD ⊥，CDAD D =，所以PD ⊥平面ABCD ．（2）延长CB ，DA 交于N ，连SN 与PB 交点即为Q ，因为B 为CN 中点，S 为PC 中点，故Q 为PNC △的重心，故2PQ QB =，以D 为原点，,,DA DC DP 方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设1AB =，则()1,1,0B ，()0,0.1P ，设(),,Q x y z 且2PQ QB =，可得()()()212112x x y y z z ⎧=-⎪=-⎨⎪-=-⎩，所以221,,333x y z ===，可得241,,333CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为AD PD ⊥，AD CD ⊥且PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ． 平面PCD 的法向量为()1,0,0DA =，可得2cos ,211CQ DA CQ DA CQ DA⋅===⋅⋅．即CQ 与平面PCD20．（1）因为AD∥BC∥EF，AD⊥平面ABF，所以BC⊥平面ABF，EF⊥平面ABF，所以四边形ABCD与四边形BCEF都是直角梯形，以B为坐标原点,BA BC所在直线分别为x轴、y轴，过点B且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(1,0,3),(1,2,3),(0,3,0),(2,4,0)A F E C D--，所以(2,3,0),(3,2,3)AC DE=-=--，所以6600AC DE⋅=-+=，所以AC DE⊥.（2）由（1）知，(3)AE=-，(2,1,0)CD=，(3,23)DE=--，，设平面CDE的法向量为(,,)n x y z=，则CD nDE n⎧⋅=⎨⋅=⎩，即203230x yx y z+=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取=1x -，则32,3y z ==，所以31,2,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面CDE 的一个法向量， 设直线AE 与平面CDE 所成的角为0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 则|||341|3sin |cos ,|2||||4343AE n AE n AE n θ⋅++=〈〉===⋅⨯，所以3πθ=， 所以直线AE 与平面CDE 所成角的大小为3π. 21．证明：（1） AE CD ⊥,AB CD ∥,∴ AE AB ⊥DE EC ⊥,AB EC ∥, ∴DE AB ⊥又AE DE E =,故:AB ⊥平面DAE ,AB ⊂平面DAB ,故:平面DAB ⊥平面DAE .（2）以E 为原点,EA 为x 轴,EC 为y 轴,ED 为z 轴,建立空间直角坐标系,如图:设2DE EC ED ===,∴ ()2,0,0A ,()0,0,2D ,()0,0,0E ,()2,2,0B ,可得:()2,0,2AD =-,()0,2,0AB =,设平面DAB 的法向量(),,n x y z =,则22020n AD x z n AB y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩,取1x =,得()1,0,1n =, 平面ABE 的法向量()0,0,1m =,设二面角D AB E --的大小为θ,则12cos 22m n m n θ⋅===⋅, ∴ 45θ=︒,∴二面角D AB E --的大小为45︒.22．（1）如图，取PC 的中点F ，连接EF ，BF ，∵PE DE =，PF CF =，∴//EF CD ，2CD EF =，∵//AB CD ，2CD AB =，∴//AB EF ，且EF AB =.∴四边形ABFE 为平行四边形，∴//AE BF .∵BF ⊂平面PBC ，AE ⊄平面PBC ，故//AE 平面PBC .（2）取AB 中点O ，CD 中点M ，以O 为原点，OM 为x 轴，AB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系：则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()1,2,0C ，()0,0,1P ，()1,2,0D -，11,1,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则11,2,22BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,0AB =，()1,1,0BC =， 设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，平面CBE 的一个法向量为()222,,n x y z =， 则111120112022m AB y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x =，则()1,0,1m =-， 222220112022n BC x y n BE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，21x =，则()1,1,5n =--， 设m 与n 的夹角为θ，则66cos 3233m n m n θ⋅===⋅，由二面角A EB C --为钝角，则余弦值为63-.23．（1）解：（1）因为AC 、AD 、AB 两两垂直，建立如图坐标系，则()2,0,0B ，()0,0,2D ，()1,1,2E ，()2,2,0F ，()0,2,0C ，则(2,0,2),(1,1,2),(0,2,0)DB BE BF =-=-=设平面BEF 的法向量(,,)n x y z =，则200n BE x y z n BF y ⎧⋅=-++=⎨⋅==⎩令1z =，则2x =，0y =，所以(2,0,1)n =， ∴向量DB 和()2,0,1n =所成角的余弦为2222220210212(2)DB nDB n ⋅+-=⋅++-．即BD 和面BEF 10 （2）解：因为()2,0,2DB =-，()2,2,0BC =-，所以()()2202024DB BC ⋅=⨯-+⨯+⨯-=-，22DB =，22BC =C 到直线BD 的距离()2222422622DB BC d BC DB ⎛⎫⋅-⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）解：假设线段EF 上存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，不妨设EP 与PF 的比值为m ，即EP mPF =，设(),,P x y z ，即()()1,1,22,2,x y z m x y z ---=---，所以()()12122x m x y m y z mz ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得12112121m x m m y m z m +⎧=⎪+⎪+⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩集P 点坐标为12122(,,)111m m m m m +++++， 则向量12122(,,)111m m AP m m m++=+++，向量1212(,,)111m CP m m m +=-+++， 因为()2,0,2DB =-所以()()12122202011112122020111m m m m m m m m m ++⎧⨯+⨯+-⨯=⎪⎪+++⎨+-⎪⨯+⨯+-⨯=⎪+++⎩，解得12m =． 所以存在p ，求EP 与PF 的比值1224．解：（1）取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为ABD △是等边三角形，2BD =，所以AO BD ⊥，且3AO =，又因为2BC CD ==，所以OC BD ⊥112CO BD ==，又2AC = 222AO OC AC AO OC ∴+=∴⊥又AO BD ⊥，因为CO BD O ⋂=，二面角A BD C --的平面角AOC ∠是直角，∴平面ABD ⊥平面BCD ；（2）由（1）以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系， 不妨令E 在平面BCD 上方取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，则,OF CD EF CD ⊥⊥．OF EF F ⋂=，,OF EF ⊂平面EOF ，∴CD ⊥平面EOF ，CD ⊂平面OCD ，∴平面EOF ⊥平面OCD ，OF =，EF =， 设EFO πθ∠=-，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D，A ，(0,1,0)B -11111113cos ,cos ,cos ,cos 22222222E BE θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13322,cos ,sin ,244BE E θθ⎛==∴=∴=∴ ⎝⎭所以(1,1,0)CD =-，13,44CE ⎛=- ⎝⎭，设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，013044x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-+=⎪⎩， 令1x =，则1,1,n ⎛=- ⎝⎭因为平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)OC =，所以1|cos ,|4OC n〈〉==，即平面ABD 与平面ECD。
北京师范大学大兴附属中学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测(有答案解析)
一、选择题1．长方体12341234A A A A B B B B -的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合12{|i j x x A B A B =⋅，{1,2,3,4},{1,2,3,4}}i j ∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知空间三点坐标分别为A （4,1,3），B(2,3,1），C （3,7，-5），又点P （x,-1,3) 在平面ABC 内，则x 的值 （ ） A ．-4B ．1C ．10D ．113．已知长方体1111ABCD A BC D -的底面AC 为正方形，1AA a =，AB b =，且a b >，侧棱1CC 上一点E 满足13CC CE =，设异面直线1A B 与1AD ，1A B 与11D B ，AE 与11D B 的所成角分别为α，β，γ，则 A ．αβγ<<B ．γβα<<C ．βαγ<<D ．αγβ<<4．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1BC 所成角的余弦值是( )A 3B ．12C ．14D ．05．已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =-- C ．1123OM OA OB OC =++ D ．111236OM OA OB OC =++ 6．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，点M 在1AC 且112AM MC =，N 为1B B 的中点，则MN 为( ) A 21B 6C 15D 157．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（ ）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 8．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为,3π=,,a AB b CD =则=a b ⋅A ．5-B ．1-C ．3-D ．6-9．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．810．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60︒，若对角线1AC 的长是棱长的m 倍，则m 等于（ ）A 2B 3C ．1D ．212．在平面直角坐标系中，()2,3A -、()32B -，，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则AB 的长为（ ） A 2B ．211C ．32D ．42二、填空题13．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则有以下四个结论，其中结论正确的是__________________.（请将你认为正确的结论的序号都填上，注意：多填、错填、少填均不得分.）①//AC 截面PQMN ； ②AC BD ⊥； ③AC BD =；④异面直线PM 与BD 所成的角为045.14．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ,若BCD 是正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为________． 15．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ，且AA 1=AB=AC ，则异面直线AB 1与BC 1所成角为_____．16．空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是__________．17．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 是异面直线；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为22.其中正确命题的序号是______________.（将你认为正确的命题序号都填上）18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为________.19．如图，已知边长为1的正'A BC ∆的顶点'A 在平面α内，顶点,B C 在平面α外的同一侧，点','B C 分别为,B C 在平面α内的投影，设''BB CC ≤，直线'CB 与平面''A CC 所成的角为ϕ.若'''A B C ∆是以角'A 为直角的直角三角形，则tan ϕ的最小值__________. 20．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.三、解答题21．如图.四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，BC ∥AD ，AB AD ，AD=2BC=2，四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.（1）证明；平面ABB 1A 1平面ABCD ； （2）求二面角B 1 CD-A 的余弦值.22．如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为矩形，1DD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是1BB ，1DC 的中点，1DA =，12DC DD ==.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）求直线1DC 与平面EAD 所成角的正弦值. 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，6π∠=CAD ，且321,2AD CD PA ABC ===和PBC 均是等边三角形，O 为BC 的中点.（I ）求证：PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求CB 与平面PBD 所成角的正弦值.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，4PD =，底面ABCD 是边长为2的正方形，E ，F 分别为PB ，PC 的中点．（1）求证：平面ADE ⊥平面PCD ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值．25．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 是PC 的中点．（1）直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值． （2）点A 到平面BDM 的距离．26．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解． 【详解】由题意，因为正方体12341234A A A A B B B B -的底面为班车为1的正方形，高为2， 建立如图所示的空间直角坐标系，则12341234(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,2),(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2)A A A A B B B B ， 则12(1,0,2)A B =-， 与11(0,0,2)A B =相等的向量为223344A B A B A B ==，此时1211224A B A B ⋅=⨯=， 与14(0,1,2)A B =-相等的向量为23A B ，此时1214224A B A B ⋅=⨯=， 与41(0,1,2)A B =相等的向量为32A B ，此时1241224A B A B ⋅=⨯=， 与21(1,0,2)A B =相等的向量为34A B ，此时1221143A B A B ⋅=-+=， 与12(1,0,2)A B =-相等的向量为43A B ，此时1212145A B A B ⋅=+=， 体对角线向量为13(1,1,2)A B =--，此时1213145A B A B ⋅=+=， 24(1,1,2)A B =-，此时1224143A B A B ⋅=-+=，31(1,1,2)A B =，此时1231143A B A B ⋅=-+=， 42(1,1,2)A B =-，此时1242145A B A B ⋅=+=，综上集合11{|,{1,2,3,4},{1,2,3,4}}{3,4,5}i j x x A B A B i j =⋅∈∈=，集合中元素的个数为3个． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．D解析：D 【分析】利用平面向量的共面定理即可求出答案 【详解】(),1,3P x -点在平面ABC 内,λμ∴存在实数使得等式AP AB AC λμ=+成立()()()4,2,02,2,21,6,8x λμ∴--=--+--42226028x λμλμλμ-=--⎧⎪∴-=+⎨⎪=--⎩，消去λμ，解得11x = 故选D 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，熟练掌握平面向量的共面定理是解决本题的关键，属于基础题。
北京大学附属中学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测(有答案解析)
一、选择题1．在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．512D ．7122．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A ．85B ．97C ．12D ．2303．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ，④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（ ） A 2B 3C 5D ．135．已知空间三点坐标分别为A （4,1,3），B(2,3,1），C （3,7，-5），又点P （x,-1,3) 在平面ABC 内，则x 的值 （ ） A ．-4B ．1C ．10D ．116．如图，点P 在正方体1111ABCD A BC D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变； 1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB 平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．正方体ABCD —A′B′C′D′中，AB 的中点为M ，DD′的中点为N ，则异面直线B′M 与CN 所成角的大小为 A ．0°B ．45°C ．60 °D ．90°8．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P CM ⊥，则PBC ∆的面积的最小值为（ ）A 25B 5C ．45D ．19．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，点M 在1AC 且112AM MC =，N 为1B B 的中点，则MN 为( )A ．216a B ．66a C ．156a D ．153a10．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A 7B ．75C ．72D ．7411．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11AC 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为710时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A ．155B 15C ．510D 512．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）A ．53B ．23C ．56D ．52二、填空题13．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为______．14．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标是______．15．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．16．空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是__________．17．如图所示，三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在棱OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =__________．（用a ，b ，c 表示）18．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．19．已知＝(2，－1,3)，＝(－1,4，－2)，＝(7,5，λ)，若、、三向量共面，则实数λ＝_________．20．向量()1,,2a λ=与()2,1,1b =-互相垂直，则λ=__________．三、解答题21．在①()()DE CF DE CF +⊥-，②17||2DE =，③0cos ,1EF DB <<这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -.已知点1D 的坐标为()0,0,2，E 为棱11D C 上的动点，F 为棱11B C 上的动点，___________，试问是否存在点E ，F 满足1EF AC ⊥？若存在，求AE BF ⋅的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC折起，得到四棱锥P ABCD -，连结MN .（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求二面角B PC D --的余弦值.23．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．24．如图，三棱台111ABC A B C -中，,30AB BC ACB ︒⊥∠=，侧面11ACC A 为等腰梯形，11112224AC AA AC C C ====，13A B =.（1）求证：1AC A B ⊥.（2）求直线1BC 与平面11ACC A所成角的正弦值. 25．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11C D 的中点，F 为11B C 的中点.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）求直线1B D 与平面BDEF 所成的角的正弦值.26．如图，四边形PABC 中，90,23,4PAC ABC PA AB AC ︒∠=∠====，现把PAC ∆沿AC 折起，使PA 与平面ABC 成60︒角，点P 在平面ABC 上的投影为点O (O 与B 在CA 同侧)（1）证明：//OB 平面PAC ；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据向量共面定理求解． 【详解】由题意1126MA OA OM OA OB OC λ=-=--， 1526MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，11(1)26MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-，∵MA ，MB ，MC 共面，∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA mMB nMC =+，1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得132313m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．故选：B ． 【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OA OB OC 是不共面的向量，OM xOA yOB zOC =++，则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=．2．A解析：A 【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c'=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=AC '=． 故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．3．C解析：C 【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC ⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确. 【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=，所以ANGC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以CF 与EN 所成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=，所以②正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所以45EBF ∠=，故④正确. 综上所述，正确的命题个数为3个.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.4．A解析：A 【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 【详解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0）， ()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1,AE DC ＞26922=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．D解析：D 【分析】利用平面向量的共面定理即可求出答案 【详解】(),1,3P x -点在平面ABC 内,λμ∴存在实数使得等式AP AB AC λμ=+成立()()()4,2,02,2,21,6,8x λμ∴--=--+--42226028x λμλμλμ-=--⎧⎪∴-=+⎨⎪=--⎩，消去λμ，解得11x = 故选D 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，熟练掌握平面向量的共面定理是解决本题的关键，属于基础题。
北师大版高二数学空间向量与立体几何单元测试题二
高二（2）部数学《空间向量与立体几何》单元测试卷二班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿一、选择题（每小题5分，共60分）1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是A .－21a +21b +c B .21a +21b +c C .21a －21b +c D .－21a －21b +c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A.--=23 B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++D.0=++3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ⋅等于A.41 B.41- C.43 D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设)2,1,1(-=，)8,2,3(=，)0,1,0(=，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为A.213 B.253 C.453D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A .9πB .10πC .11πD .12π8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BDC .AC 1⊥平面CB 1D 1D .异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 AB .552 CD10.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为 A.5 B.41 C.4 D.5211.已知AB =(1, 5, －2)，BC =(3, 1, z )，若AB ⊥BC ，BP=(x －1, y , －3)且BP ⊥平面ABC ，则BP=( )（A ）(407, －157, －4) （B ）(407, －157, －3) （C ）(337, －157, 4) （D ）(337, －157, －3)12．已知)32,2,2(=+b a ，)0,2,0(=-b a ，则><b a,cos 等于( )(A)36 (B) 66(C) 31 (D) 61二、填空题（每小题6，共24）13.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy . 14.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________.15.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ 的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ．俯视图正(主)视图 侧(左)视图16.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A BC D -是正方体，其中2,AB PA ==1B 到平面P AD 的距离为 .三、解答题（共64分）17.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,．（1）试用c b a ,,表示出向量；（2）求BM 的长．18.如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG ..正视图MPDC BA俯视图侧视图正视图E D CA P 19．已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论;（3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．20．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E AF C --的余弦值．PBECDFA。
高考数学北师大理一轮复习 第章 立体几何与空间向量 空间向量及其运算 文档
1．空间向量的有关概念名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b相反向量 方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①交换律：a ·b ＝b ·a ；②分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ； ③λ(a·b )＝(λa )·b (λ∈R )． 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )(5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ )(6)对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．( × )1.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .2．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫3210，4210，－22和⎝⎛⎭⎫－3210，－4210，22 B.⎝⎛⎭⎫3210，4210，－22 C.⎝⎛⎭⎫－3210，－4210，22 D.⎝⎛⎭⎫3210，4210，22或⎝⎛⎭⎫－3210，－4210，－22 答案 A解析 因为与向量a 共线的单位向量是±a|a |，又因为向量(－3，－4,5)的模为(－3)2＋(－4)2＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±152(－3，－4，5)＝±210(－3，－4,5)，故选A.3.如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 4．(教材改编)已知a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________． 答案 1或－3解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4＋4y ＋2x ＝0，4＋16＋x 2＝36解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1.5．(教材改编)正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________． 答案2解析 |EF →|2＝EF 2→＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC 2→＋CD 2→＋DF 2→＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°) ＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.题型一 空间向量的线性运算例1 (1)已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( ) A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c (2)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．①化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________；②用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________. 答案 (1)B (2)①A 1A →②12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝－23a ＋12b ＋12c .(2)①A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO → ＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.②OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 引申探究1．若本例(1)中将“点M 在OA 上，且OM ＝2MA ”改为“M 为OA 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →”，则OG →＝______________. 答案 16a ＋13b ＋13c解析如图所示， ∵OG →＝OM →＋MG → ＝12OA →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23ON →－23OM → ＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → ＝16a ＋13b ＋13c .. 2．若本例(2)中条件不变，问题改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD→＋zAA 1→，试求x ，y ，z 的值． 解 EO →＝ED →＋DO → ＝－23DD 1→＋12(DA →＋DC →)＝12AB →－12AD →－23AA 1→， 由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →. 解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 题型二 共线向量定理、空间向量基本定理的应用 例2已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， (1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．证明 (1)如图，连接BG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD . 又EH平面EFGH ，BD平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG ，如图所示． 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形． 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分． 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 思维升华 (1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A ，B ，C 三点共线，即证明AB →，AC →共线，亦即证明AB →＝λAC →(λ≠0)． (2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC (x ＋y ＋z ＝1)即可．空间向量基本定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 上的点，F 是AC 上的点，且A 1E ＝2EB ，CF ＝2AF ，则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为________．答案 平行解析 取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 为基底， 易得EF →＝－13(a －b ＋c )，而DB 1→＝a －b ＋c ，即EF →∥DB 1→，故EF ∥DB 1， 且EF平面A 1B 1CD ，DB 1平面A 1B 1CD ，所以EF ∥平面A 1B 1CD .题型三 空间向量数量积的应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． (1)证明 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos60°＋a 2cos60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →.即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . (2)解 由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14[a 2＋a 2＋a 2＋2(a 22－a 22－a 22)]＝14×2a 2＝a 22.∴|MN →|＝22a .∴MN 的长为22a .(3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·(q －12p )＝12(q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ) ＝12(a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60°) ＝12(a 2－a 24＋a 22－a 24)＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华 数量积的应用(1)求夹角，设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角． (2)求长度(距离)，运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (3)解决垂直问题，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值． 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ， ∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b |·|c |cos60°－|a ||c |cos60°＝0. ∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.12．“两向量同向”意义不清致误典例 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________． 易错分析 将a ，b 同向和a ∥b 混淆，没有搞清a ∥b 的意义：a 、b 方向相同或相反．解析 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1，当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ， 两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.答案 1,3温馨提醒 (1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a ，b 满足a ＝λb (b ≠0)且λ>0则a ，b 同向；在a ，b 的坐标都是非零的条件下，a ，b 的坐标对应成比例．[方法与技巧]1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、空间向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．[失误与防范]1．向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．2．求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．1,1B ．1，12C.12，12D.12，1 答案 C解析 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →.∴x ＝12，y ＝12.3．(2014·广东)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1) D ．(－1,0,1)答案 B解析 各选项给出的向量的模都是2，|a |＝ 2.对于选项A ，设b ＝(－1,1,0)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1×(－1)2×2＝－12.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°.对于选项B ，设b ＝(1，－1,0)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1×12×2＝12.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝60°，正确．对于选项C ，设b ＝(0，－1,1)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1×12×2＝－12.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°.对于选项D ，设b ＝(－1,0,1)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1－12×2＝－1.因为0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝180°.故选B.4．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →<AE →·CD →B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较 答案 C解析 取BD 的中点F ，连接EF ，则EF 綊12CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉>90°，因为AE →·BC →＝0，AE →·CD →<0，所以AE →·BC →>AE →·CD →.5．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线a ，b 所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案 C 解析如图，设AC →＝a ，CD →＝b ，DB →＝c ，则AB →＝a ＋b ＋c ，所以cos 〈AB →，CD →〉＝(a ＋b ＋c )·b |a ＋b ＋c ||b |＝12，所以异面直线a ，b 所成的角等于60°，故选C.6．在空间四边形ABCD 中，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为________． 答案 0 解析 方法一如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →) ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0. 方法二如图，在三棱锥A －BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直．∴AB →·CD →＝0，AC →·DB →＝0， AD →·BC →＝0.∴AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝0.7．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)． 答案 锐角解析 因为BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →) ＝AC →·AD →－AC →·AB →－AB →·AD →＋AB →2 ＝AB →2>0，所以∠CBD 为锐角．同理∠BCD ，∠BDC 均为锐角．8．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为______________． 答案 (14，14，14)解析 如图所示，取BC 的中点E ，连接AE .OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→) ＝34OA →＋12AE →＝34OA →＋14(AB →＋AC →) ＝34OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴x ＝y ＝z ＝14.9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． 解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)． k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)， 且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， ∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时， 实数k 的值为2或－52.方法二 由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－52.∴当k a＋b与k a－2b互相垂直时，实数k的值为2或－52.10.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系．(1)写出点E、F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1、E、F、C1四点共面，求证：A1F→＝12A1C1→＋A1E→.(1)解E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)证明∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，∴A1F→＝(－x，a，－a)，C1E→＝(a，x－a，－a)，∴A1F→·C1E→＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴A1F→⊥C1E→，∴A1F⊥C1E.(3)证明∵A1、E、F、C1四点共面，∴A1E→、A1C1→、A1F→共面．选A1E→与A1C1→为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A1F→＝λ1A1C1→＋λ2A1E→，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x＝－aλ1，a＝aλ1＋xλ2，－a＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( ) A ．(4,0,3) B ．(3,1,3) C ．(1,2,3) D ．(2,1,3)答案 B解析 设p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为x ，y ，z . 则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，①因为p 在{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3) ∴p ＝4a ＋2b ＋3c ，② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2，z ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，z ＝3，即p 在{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(3,1,3)． 12．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确命题的序号是________． 答案 ①②解析 ①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3(A 1B 1→)2，故①正确； ②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，∵AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD 1→|＝0，故④也不正确．13．(2015·浙江)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝__________，y 0＝________，|b |＝________.答案 1 2 2 2解析 方法一 对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图像是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y 2，所以当x ＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y 2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.方法二 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12， ∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，e 2＝(1,0,0)， b ＝(m ，n ，t )．由题意知⎩⎨⎧ b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫52，32，t . ∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝⎛⎭⎫52－12x －y ，32－32x ，t ， ∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝⎛⎭⎫52－x 2－y 2＋⎝⎛⎭⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值．此时t 2＝1，故|b |＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322＋t 2＝2 2. 14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →；(3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， (1)EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14. (2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c ) ＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14. (3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ， |EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23， 由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.15.直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |. AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试卷(答案解析)(2)
一、选择题1．长方体1111ABCD A BC D -，110AB AA ==，25AD =，P 在左侧面11ADD A 上，已知P 到11A D ､1AA 的距离均为5，则过点P 且与1AC 垂直的长方体截面的形状为（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，AMB ∠=（ ）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π 3．如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =， 011120A AB A AD ∠=∠=，则线段1AC 的长为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．34．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．105B ．1010C ．32D ．625．在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )A ．111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭6．下列命题中是真命题的是( ) A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量,AB CD ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD >D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD7．在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，13AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B 5C 5D ．228．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC ∆的边长为1，AE ⊥平面,ABC CD AE ∥，且12CD AE =.设CE 与平面ABE 所成的角为,(0)AE k k α=>，若ππ[,]64α∈，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．22B ．1C ．2D ．39．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为4的正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为平面ABCD 上的动点，且满足•0MP MC =，则点M 到直线AB 的最远距离为（ ）A ．25B ．35+C ．45+D ．422+ 10．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A 3λB ．22C 2λD 511．已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．(2,2,4)B ．224(,,)333C ．5510(,,)333D ．448(,,)33312．如图所示，平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（ ）A ．33B ．66C ．217D ．213二、填空题13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P AB R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．14．已知空间直角坐标系中点()123p ，，，()321Q ，，，则||PQ =__________． 15．在四面体ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，AB ＝2，6AC ，则二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为_____．16．已知向量=211a -（，，），(,1,1)b λ=-，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.17．如图，已知平面α⊥平面β，A ，B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA β⊂，CB β⊂，且DA AB ⊥，CB AB ⊥，4=AD ，8BC =，6AB =，在平面α内有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB △的面积的最大值是______．18．已知在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=2,E 是侧棱BB 1的中点,则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为_____.19．正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则1AD 与平面11BB D 所成角的正弦值为__________．20．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________三、解答题21．在①()()DE CF DE CF +⊥-，②17||2DE =，③0cos ,1EF DB <<这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -.已知点1D 的坐标为()0,0,2，E 为棱11D C 上的动点，F 为棱11B C 上的动点，___________，试问是否存在点E ，F 满足1EF AC ⊥？若存在，求AE BF ⋅的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，90ACB ∠=，2AC BC ==，点D 为棱BC 的中点，点E 为棱PC 上一点；（1）求直线AD 与PB 的夹角的余弦值；（2）求二面角C PA D --的余弦值；（3）若直线ED 与平面PAD 的夹角的正弦值为227，求线段CE 的长度； 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，223AB DC ==，AC BD F ⋂=，且PAD △与ABD △均为正三角形，AE 为PAD △的中线，点G 在线段AE ，且2AG GE =.（1）求证：GF //平面PDC ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值. 24．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，3AD =，22SD CD AB ===，点E ，F 分别是BC ，SD 的中点.（1）求证：//EF 平面SAB ；（2）若SB SC =，2EF =，求二面角B SC D --的余弦值.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：BE DC ⊥；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，CF CP λ=且满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.26．已知三棱锥,A BCD ABD -和BCD △是边长为2的等边三角形，平面ABD ⊥平面BCD（1）求证：AC BD ⊥；（2）设G 为BD 中点，H 为ACD △内的动点(含边界)，且//GH 平面ABC ，求直线GH 与平面ACD 所成角的正弦值的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，再过Q 作//QF MN 交11B C 于F ，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，即可判断截面形状.【详解】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ，()125,10,10AC ∴=--， 设截面与11A D 交于(),0,10Q Q x ，则()20,0,5Q PQ x =-， ()12520500Q A C PQ x ∴⋅=---=，解得18Q x =，即()18,0,10Q ，设截面与AD 交于(),0,0M M x ，则()20,0,5M PM x =--，()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=，解得22Mx =，即()22,0,0M ， 设截面与AB 交于()25,,0N N y ，则()3,,0N MN y =，1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=，解得7.5N y =，即()25,7.5,0N ， 过Q 作//QF MN ，交11B C 于F ，设(),10,10F F x ，则()18,10,0F QF x =-， 则存在λ使得QF MN λ=，即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=，解得22F x =，故F 在线段11B C 上，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，设()25,10,E E z ，则()3,0,10E EF z =--， 则存在μ使得EF QM μ=，即()()3,0,104,0,10E z μ--=-，解得 2.5E z =，故E 在线段1BB 上，综上，可得过点P 且与1AC 垂直的长方体截面为五边形QMNEF .故选：B.【点睛】本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，即可利用平面的性质找出其它点的位置.2．B解析：B【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1z =，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π， 22||1cos 6||||1m n m n a b π∴==++， 解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，33BM a ==， 1tan 333AB AMB BM ∴∠===， 3AMB π∴∠=．故选B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．A解析：A【分析】由11AC AB BC CC =++，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出21AC 的值，从而可得结果.【详解】平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,120AA A AB A AD =∠=∠=， 11AC AB BC CC ∴=++，()2211AC AB BC CC ∴=++222111222AB BC CC AB CC BC CC AB BC =+++⋅+⋅+⋅ 114212cos120212cos12002=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=，∴线段1AC 的长为12AC =，故选A.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 4．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值.【详解】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C所成角的余弦值为1111cos ,10AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．5．A解析：A 【分析】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,利用空间向量的运算法则求得131114444OG OG OA OB OC ===++,即得(x,y,z). 【详解】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,1(2AE AB AC =+)=1(2OB -2OA OC +), 121(33AG AE OB ==-2OA OC +). 因为OG =31GG =3(1OG OG -), 所以OG=34OG 1. 则1133(44OG OG OA AG ==+)=31211114333444OA OB OA OC OA OB OC ⎛⎫+-+=++ ⎪⎝⎭ .故答案为A 【点睛】（1）本题主要考查空间向量的运算法则和基底法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果三个向量,,a b c 不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++．我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底，其中,,a b c 叫基向量.6．D解析：D 【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A 错误； 因为a b =仅表示a 与b 的模相等，与方向无关，选项B 错误；因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB CD >这种写法，选项C 错误；∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故AB //CD ，选项D 正确. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),D A B D ,所以11(1,0,3),(1,1AD DB =-=,因为1111111cos ,2AD DB AD DB AD DB ⋅-===⨯，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.8．C解析：C 【详解】分析：建立空间直角坐标系，利用直线CE 与平面ABE 所成的角，求解k 的最大值，进而求解平面BDE 和平面ABC 的一个法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，进而求得正切值，得到结果.详解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz - ，则31(0,1,0),(0,0,),(0,1,),(,0)22k A D E k B ， 取AB 的中点M ，则33(,0)4M ，则平面ABE 的一个法向量为33(,0)44CM =，由题意23sin 21CE CM CE CMk α⋅==⋅+又由ππ[,]64α∈，所以2132sin 2221kα≤=≤+，解得222k ≤≤，所以k 2 当2k =BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则20312022n DE y z n BE x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩， 取(3,12)n =--，由平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =， 设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ， 则3cos 3n m n m θ⋅==⋅，所以sin 6θ=tan 2θ= C.点睛：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系，求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，以及转化的思想方法的应用.9．B解析：B 【分析】建立空间直角坐标系，求出点M 的轨迹，然后求出点M 到直线AB 的最远距离 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系则(2,0,23P ,()0,4,0,C 设(),,0M a b ，04,04a b ≤≤≤≤(2,,23MP a b ∴=--,(),4,0MC a b =--•0MP MC =,22•240MP MC a a b b ∴=-+-+=，整理得()()22125a b -+-=M ∴为底面ABCD 内以()12O ，为圆心，以5r = 则点M 到直线AB 的最远距离为41535-=故选B 【点睛】本题考查了运动点的轨迹问题，需要建立空间直角坐标系，结合题意先求出运动点的轨迹，然后再求出点到线的距离问题10．D解析：D 【分析】由几何体为正方体，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面D 1EF 的法向量n ，结合向量的点到平面距离公式求得点M 到平面D 1EF 的距离，结合N 为EM 中点即可求解 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d ＝||225||5EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距离为55故选：D ．【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题11．D解析：D 【分析】设OM OC λ=，故(),,2M λλλ，()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅，计算得到答案.【详解】设OM OC λ=，即(),,2OM OC λλλλ==，故(),,2M λλλ，()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅---224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当43λ=时，向量数量积有最小值，此时448,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12．B解析：B 【分析】以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，表示出1BD 和AC ，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得． 【详解】由题意11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=．以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，AC AB AD =+，111BD AD AB AD AA AB =-=+-，221111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD AD AA AB AD ⋅=+⋅+-=⋅+⋅-++⋅-⋅1=，222()23AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=，222211111()2222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅=，∴11116cos ,632AC BD AC BD AC BD ⋅<>===⋅⋅．∴1BD 与AC 夹角的余弦值为66．故选：B ． 【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所 解析：2-【分析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解. 【详解】以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图则()()()()()10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,由111A P A B λ=可得()11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则00n NM n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即)0120x z x y z λλ+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 令1z =-，可得()()321,,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，所以1cos45n mn m n ⋅︒==，即2n =，所以21211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭，解得2λ=-. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.14．【解析】15．【分析】如图所示建立空间直角坐标系平面的法向量平面的法向量利用夹角公式计算得到答案【详解】设中点为则故故两两垂直如图所示建立空间直角坐标系平面的法向量设平面的法向量为则解得：则法向量夹角故二面角B ﹣解析：5【分析】如图所示建立空间直角坐标系，平面ABD 的法向量()11,0,0n =，平面ACD的法向量()21,n =，利用夹角公式计算得到答案.【详解】设BD 中点为O ，则AO CO ==AC =，故AO CO ⊥，故,,OA OC OD 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.平面ABD的法向量()11,0,0n=，设平面ACD 的法向量为()2,,n x y z =，()(),,0,1,0A CD ，则220,0n CD n AD ⋅=⋅=，解得：()21,n=，则法向量夹角1212cos 5n n n n θ⋅===⋅. 故二面角B ﹣AD ﹣C .【点睛】本题考查了二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．【解析】即 解析：12λλ<≠-且【解析】0a b a b ⋅<且与不共线 ，即212110,1λλ---<≠⇒ 12λλ<≠-且 17．12【解析】解析：12 【解析】31418．【分析】建立空间直角坐标系得到相关点的坐标后求出直线AE 的方向向量=(011)和平面A1ED1的法向量然后利用向量的共线可得直线AE 与平面A1ED1垂直于是得所求角为【详解】以D 为原点以DADCDD解析：90【分析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后，求出直线AE 的方向向量AE =(0,1,1)和平面A 1ED 1的法向量()0,1,1n =，然后利用向量的共线可得直线AE 与平面A 1ED 1垂直，于是得所求角为90． 【详解】以D 为原点,以DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0),E (1,1,1),A 1(1,0,2),D 1(0,0,2), 于是AE =(0,1,1),1AE =(0,1,-1),11A D =(-1,0,0)．设平面A 1ED 1的法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n A E y z n A D x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩得,0,y z x =⎧⎨=⎩令1z =，得()0,1,1n =． 所以AE ∥n ,故直线AE 与平面A 1ED 1垂直,即所成角为90°. 故答案为90° 【点睛】本题考查空间位置关系的向量解法，将几何问题转化为数的运算的问题处理，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系、正确地求出直线的方向向量和平面的法向量，由于解题时需要进行数的运算，因此还要注意计算的准确性．19．【解析】分析：建立空间直角坐标系求出平面的法向量利用向量法即可求AD1与面BB1D1D 所成角的正弦值详解：以D 为原点DADCDD1分别为x 轴y 轴z 轴建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz 设AB=1则D 解析：1010【解析】分析：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD 1与面BB 1D 1D 所成角的正弦值．详解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ．设AB=1，则D （0，0，0），A （1，0，0）， B （1，1，0），C （0，1，0），D 1（0，0，2）， A 1（1，0，2），B 1（1，1，2），C 1（0，1，2）．设AD 1与面BB 1D 1D 所成角的大小为θ，1AD =（﹣1，0，2），设平面BB 1D 1D 的法向量为n =（x ，y ，z ），DB =（1，1，0），1DD =（0，0，2）， 则x+y=0，z=0．令x=1，则y=﹣1，所以n =（1，﹣1，0），sinθ=|cos ＜1AD ，n ＞， 所以AD 1与平面BB 1D 1D所成角的正弦值为10．. 点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．20．【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2aPO 为三棱锥的高做PD 垂直于AB 连OD 则PD 为侧面的高OD 为底面的高的三分之一在三角形POD 中构造勾股定理列出方程得到斜高即可详解：设正三棱锥P-AB解析：4.【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD 中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．详解：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD中OD ==⇒=故全面积为：1111122⨯⨯⨯⨯点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到.三、解答题21．答案见解析 【分析】先利用已知条件写出点坐标，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，进而得到1,,,EF A A F C E B 的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示求出1,EF A AE BF C ⋅⋅；若选① ：利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量垂直的性质即可求解；若选② ：利用空间向量模的坐标表示公式即可得出结果；若选③ ：利用空间向量夹角的性质进行求解即可. 【详解】 解：由题意，正方体1111ABCD A BC D -棱长为2，则1(2,0,0),(2,2,0),(2,0,2),(0,0,0),(0,2,0)A B A D C ， 设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，则1(,2,0),(2,2,2),(2,,2),(2,0,2)EF b a A AE a BF b C =-=--=-=-， 所以142(),82EF A a b AE C BF b ⋅=-+⋅=-. 选择①：()()DE CF DE CF +⊥-， 所以22()()0,DE CF DE CF DE CF +⋅-==， 得a b =，若10EF AC ⋅=得42()0a b -+=， 则1a b ==，故存在点(0,1,2),(1,2,2)E F ，满足10EF AC ⋅=，826AE BF b ⋅=-=. 选择②：因为17||2DE =2=， 得12a =， 若10EF AC ⋅=， 即42()0a b -+=， 得32b =. 故存在点130,,2,,2,222E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 满足10EF AC ⋅=，825AE BF b ⋅=-=. 选择③：因为0cos ,1EF DB <〈〉<， 所以EF 与DB 不共线， 所以2b a ≠-， 即2a b +≠，则142()0EF AC a b ⋅=-+≠， 故不存在点,E F 满足10EF AC ⋅=. 【点睛】关键点睛：建立空间坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示、空间向量垂直的性质、空间向量模的坐标表示公式以及空间向量夹角的性质是解决本题的关键. 22．（1）26565；（2）67；（3）1.【分析】（1）根据PC AC ⊥，PC BC ⊥，AC BC ⊥，以点C 为原点，以CA 、CB 、CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，分别求得向量AD ，PB 的坐标，由cos ,AD PB AD PB AD PB⋅=⋅求解.（2）易知平面PAC 的一个法向量为1(0,1,0)n =，求得平面PAD 的一个法向量为2(,,)n x y z =，由121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅求解.（3）设(0,0,)E m ，[]0,3m ∈，(0,1,)DE m =-，根据直线ED 与平面PAD 的夹角的正弦值为227，由22222cos ,7DE n DE n DE n ⋅==⋅求解. 【详解】（1）因为PC AC ⊥，PC BC ⊥，AC BC ⊥，以点C 为原点，以CA 、CB 、CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系；则(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,1,0)D ，(0,0,3)P ， 所以()2,1,0AD =-，(0,2,3)PB =-， 则2cos ,65AD PB AD PB AD PB⋅==⋅ 所以直线AD 与PB 的夹角的余弦值是65. （2）设平面PAC 的一个法向量为1(0,1,0)n =， 平面PAD 的一个法向量为2(,,)n x y z =， 因为()2,1,0AD =-，(0,1,3)PD =-，则2200n AD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2030x y y z -+=⎧⎨-=⎩，设6y =，则3x =，2z =，则2(3,6,2)n =， 所以1212126cos ,7n n n n n n ⋅==⋅， 由图知：二面角C PA D --是锐角， 所以二面角C PA D --的余弦值为67； （3）设(0,0,)E m ，[]0,3m ∈，(0,1,)DE m =-， 则2226cos ,71DE nDE n DE n ⋅-==⋅，因为直线ED 与平面PAD 的夹角的正弦值为7， 7=， 解得：1m =， 所以1CE =. 【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅.2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．23．（1）证明见解析；（2）9331. 【分析】（1）连结EC ，证明GF ∥EC ，GF //平面PDC 即得证；（2））取AD 的中点O ，连结PO ，证明PO ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值. 【详解】解：（1）连结EC ，DC ∥AB ∴2AF ABFC CD==， 2AGGE=∴GF ∥EC ， EC ⊂平面PDC ,GF ⊄平面PDC ∴GF ∥平面PDC .（2）取AD 的中点O ，连结PO ，易知,,P G O 三点共线且PO AD ⊥， 平面PAD ⊥平面ABCD 且AD 为交线，∴PO ⊥平面ABCD ，连结BO ，易知BO AD ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面PAD 的法向量1(0,1,0)n →=， 易知(0,0,1)G ，(0,3,0)B ，333(,,0)22C -， ∴(0,3,1)GB →=-，333(,1)22GC →=--，设面GBC 的法向量2(,,)n x y z →=， ∴223033302n GB y z n GC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令2y =，则236,z x ==∴2(n →= .设所求锐二面角的平面角大小为θ，则1212cos n n n n θ→→→→⋅==所以平面PAD 与平面GBC所成锐二面角的余弦值为31. 【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n →→；再代入公式cos m nm nα→→→→=±（其中,m n →→分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）24．（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取AD 中点I ，推出//FI SA ，//IE AB ，证明//FI 平面SAB ，//IE 平面SAB ，推出 平面//EFI 平面SAB ，然后证明//EF 平面SAB ；（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，通过2SD =，SB SC =2EF =，求出()0,0,2S ，得出(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-，求出平面SBC 的法向量，然后利用空间向量的数量积可求出答案. 【详解】（1）取AD 中点I ，∵E ，F 分别是BC ，SD 的中点， ∴//FI SA ，//IE AB ，且FI EI I =，∵SA ⊂平面SAB ， FI ⊄平面SAB ，∴//FI 平面SAB ，同理AB 平面SAB ，IE ⊄平面SAB ，//IE ∴平面SAB ，又∵FIEI I =， ∴平面//EFI 平面SAB ，又∵FI ，IE ⊂平面FIE ，FI IE I =，∴平面//EFI 平面SAB ，∵EF ⊂平面EFI ，∴//EF 平面SAB .（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，则,,222x y z F ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为2SD =，SB SC =，2EF =，所以2222222222224(3)(1)(2)33422x y z x y z x y z x y z ⎧⎪++=⎪⎪-+-+=+-+⎨⎪--⎛⎫⎛⎫⎪++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求得0x y ==，24z =，不妨取()0,0,2S ， ∴(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-， 设(,,)n x y z =⊥平面SBC ， ∴320220n SB x y z n SC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，则31,z x ==，所以3,1,1n ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，因为AD ⊥平面SCD ，所以取(1,0,0)m =为平面SCD 的法向量，∴cos |cos ,|71m n mn m nθ⋅=〈〉===⋅+， 所以二面角B SCD --的余弦值为7. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与平面平行的判定定理、二面角平面角的求法，第二问关键点是建立空间直角坐标系，求出S 点坐标，考查了空间想象力及计算能力. 25．（1）证明见解析；（23 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出点的坐标，根据向量垂直的坐标表示可得证； （2）根据线面角的空间向量求解方法，可得答案；（3）由CF CP λ=，01λ≤≤.，由向量垂直的坐标表示，求得λ，再运用二面角的空间向量求解方法，可得答案. 【详解】解：（1）证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）.可得()()()()1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P .由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E 向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC ⋅=， 所以BE DC ⊥.（2）向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =-.设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量.则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量， 于是有cos ,||||6n BE n BE n BE ⋅〈〉===⋅ 所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为3. （3）向量()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =. 由点F 在棱PC 上，CF CP λ=，01λ≤≤.故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--.由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=，因此()() 212 2220λλ-+-=，解得34λ=.即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()1,,n x y z =为平面FAB 的法向量，则110 0n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩. 不妨令1z =，得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量. 取平面ABP 的法向量()20,1,0n =，则：12121233101010c 1os ,n n n n n n ⋅=-⋅==-⨯知，二面角F AB P --是锐角，所以其余弦值为31010.【点睛】求二面角的方法：1、几何法：做出二面角的平面角，运用解三角形的知识求解二面角的大小；2、建立空间直角坐标系，运用空间向量的数量积运算求得二面角的大小，运用此方法时，注意判断二面角的范围． 26．（1）证明见解析；（2）15655⎣⎦. 【分析】()1证明：取BD 中点G ，连接,AG CG .根据三角形的性质和线面垂直的判定和性质可得证；()2以G 为原点，以GC 所在直线为x 轴，以GD 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系. 取AD 中点,E CD 中点F ，连接,,GE GF EF ，则平面//GEF 平面,ABC 所以H 在线段EF 上运动，设1)0(EH EF λλ=≤≤，运用线面角的空间向量求解方法和二次函数的性质可求得范围. 【详解】()1证明：取BD 中点G ，连接,AG CG .ABD 和BCD △是等边三角形，AG BD CG BD AG BD G ⊥⎧⎪∴⊥⇒⎨⎪⋂=⎩BD ⊥面ACG ，AC ⊂面ACG ⇒AC BD ⊥； ()2以G 为原点，以GC 所在直线为x 轴，以GD 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系. 取AD 中点,E CD 中点F ，连接,,GE GF EF ，则平面//GEF 平面,ABC 所以H 在线段EF 上运动， 则()(),0,0,00,1,0G B -，()()3,0,00,1,,,(00,3)0,CD A ，,13310,,,,02222E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设1)0(EH EF λλ=≤≤，3133,,2222GH λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面ACD 的一个法向量(),,n x y z =，则00n AC n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3303+0x z x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，平面的一个法向量()1,3,1n =，设直线GH 与平面ACD 所成角为θ，则231526sin ,55335122GH n GH nθλλ⎡⎤⋅==∈⎢⎥⎣⎦⋅-+.所以直线GH 与平面ACD 所成角的正弦值的范围为1526,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，以及运用向量法求线面角的方法，关键在于得出动点运动的轨迹，运用向量的线性关系，设出动点的坐标，属于中档题.。
北京中国人民大学附属外国语中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（ ）A ．12B ．22C ．33D ．552．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．10 B ．64C ．10 D ．15 3．如图所示，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为A ．3010-B ．305-C ．305D ．30104．如图，在四面体A BCD -中，已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，则DE →等于（ ）A ．2133a b c →→→-++B ．2133a b c →→→++C ．2133a b c →→→-+D ．2133a b c →→→-+5．如图，正四棱锥P ABCD -中，已知PA a =，PB b =，PC c =，12PE PD =，则BE =（ ）A ．131222a b c -+ B ．111222a b c --- C ．131222a b c --+ D ．113222a b c --+ 6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值为（ ）A 2B ．322C 3D 57．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（ ）A 31B 21C 32-D 328．已知二面角l αβ--的两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>=，则二面角l αβ--的大小为（ ） A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．6π或3π9．以下四个命题中，正确的是（ ） A ．若1123OP OA OB =+，则P 、A 、B 三点共线 B ．若{,,}a b c 为空间的一个基底，则{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底 C ．()a b c a b c ⋅=⋅⋅D ．ABC 为直角三角形的充要条件是·0AB AC =10．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9B ．7C ．5D ．311．在正方体1111ABCD A B C D -中，在正方形11DD C C 中有一动点P ，满足1PD PD ⊥，则直线PB 与平面11DD C C 所成角中最大角的正切值为（ ）A ．1BC D 12．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是AB 、AD 的中点，则EF DC ⋅=（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-13．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ）A B ．±C D ．±二、填空题14．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为______．15．a ，b 为空间两条互相垂直的直线，直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，30ABC ∠=︒，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成45°角； ⑤直线AB 与a 所成角的最大值为60°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为30°；其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）16．如图：二面角α﹣l ﹣β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于__．17．已知(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________.18．平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知底面四边形ABCD 为正方形，且113A AB A AD π∠=∠=，其中，设1AB AD ==，1AA c =，体对角线12AC=，则c 的值是______.19．已知空间向量(0,1,1),(1,0,1)a b ==，则向量a 与b 的夹角为_____________.20．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于______.21．设空间任意一点O 和不共线三点A B C ，，，且点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++，若,,,P A B C 四点共面，则x y z ++=______．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是底边为1的菱形，60BAD ∠=，2PB =，PA PD =，当直线PB 与底面ABCD 所成角为30时，二面角P CD A --的正弦值为______.23．如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB =，4EF =，3CA CB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于__________．24．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.25．已知向量a =（4，﹣5，12），b =（3，t ，23），若a 与b 的夹角为锐角，则实数t 的取值范围为_____．26．平面α的法向量u =(x,1,-2),平面β的法向量v =1-1,,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,已知α∥β,则x+y=______.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】取AC 的中点E ，连接BE,DE,证明BE 垂直于平面ACD ，以点E 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD 和平面CDA 的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦. 【详解】如图示，取AC 中点E ，连结BE 、DE ，在正三角形ACB 与正三角形ACD 中， BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，因为面ACB ⊥面ACD ，面ACB 面=ACD AC ，所以BE ⊥面ADC ,以E 为原点，ED 为x 轴正方向，EC 为y 轴正方向，EB 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC =2，则())()()(0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,0,3E DC A B -,平面ACD 的一个法向量为(3EB = 而()()0,1,3,3,1,0CB CD =-=-，设(),,n x y z =为面BCD 的一个法向量，则：·0·0n CB n DC ⎧=⎨=⎩即 3030y z y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令x =1，则()1,3,1n = 设二面角B CD A --的平面角为θ，则θ为锐角， 所以35cos |cos ,||||5||||35EB n EB n EB n θ⋅====⨯.故选：D 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．C解析：C 【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值. 【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ， 则()()1122221610sin cos ,3312n BC n BC n BC θ⋅-=<>===⋅-+⨯+- 故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角； （2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.3．D解析：D 【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥BC ．过点A 作AE ∥CB ，又CB ⊥AB ，则AP ，AB ，AE 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AE ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (4，0，0)，C (4，−2，0)．因为D 为PB 的中点，所以D (2，0，1)．故CP =(−4，2，2)，AD =(2，0，1)．所以cos 〈AD ，CP 〉=AD CP AD CP⋅⋅==−.设异面直线PC ，AD 所成的角为θ，则cos θ=|cos 〈AD ，CP 〉|=.4．A解析：A 【分析】利用向量三角形法则与向量共线定理可得：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-，代入即可得出．【详解】解：已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，利用向量三角形法则和向量共线定理得出：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-， ∴112()()333DE AC AB AD AB c a b →→→→→→→→=---=-+，即：2133DE a b c →→→→=-++. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的三角形法则和向量基本定理的应用，考查了推理能力．5．A解析：A 【分析】连接AC BD 、交点为O ，根据根据向量加法运算法则1122PO PA PC =+，1122PO PD PB =+，求得PD ，然后由BE BP PE =+求解. 【详解】 如图所示：连接AC BD 、交点为O ，则1122PO a c =+， 又1122PO PD PB =+， 所以PD a c b =+-， 又11112222PE PD a c b ==+-， 所以131222BE BP PE a b c =+=-+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段1A P 长度取最小值. 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()12,0,0,1,2,0,0,2,1,2,0,2A E F A ，(1,2,0),(2,2,1)AE AF =-=-，设平面AEF 的法向量(),,n x y z =， 则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，取1y =，得()2,1,2n =，设(),2,,02,02P a c a c ≤≤≤≤，则()12,2,2A P a c =--， ∵1A P 平行于平面AEF ，∴()()1222220A P n a c ⋅=-++-=，整理得3a c +=， ∴线段1A P 长度222222139||(2)2(2)(2)4(1)222A P a c a a a ⎛⎫=-++-=-++-=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当32a c ==时，线段1A P 长度取最小值322. 故选：B. 【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.7．C解析：C 【分析】由11,BD AD AB AA =-+平方，根据向量的数量积运算法则及性质可求出1||BD . 【详解】 如图：由11,BD AD AB AA =-+2211()BD AD AB AA ∴=-+222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++-⋅-⋅+⋅21111211cos 45cos60c 12161os 0︒︒︒-⨯⨯=⨯+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 32=-,13||2BD ∴=-,故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的加法法则、向量数量积运算性质、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由于方向量的方向性，平面的法向量有正向量或负向量；当a 、b 为异号向量，二面角为π减去两法向量夹角；当a 、b 为同号向量，二面角即为两法向量的夹角，由此即可求得二面角l αβ-- 【详解】两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>=由于向量的方向性，法向量与平面有两种情况 当a 、b 为异号向量，如下图示：,a b 6π<>=∴有二面角l αβ--为56π当a 、b 为同号向量，如下图示：,a b 6π<>=∴有二面角l αβ--为6π 综上，有二面角l αβ--为6π或56π 故选：C 【点睛】本题考查了二面角与平面法向量夹角的关系，依据法向量的夹角判断平面所成二面角的大小，注意法向量的方向性，讨论在不同情况下二面角的大小9．B解析：B 【分析】对于A ,P ，A ， B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，故A 不正确；对于B ， ,,a b b c c a +++不共线，所以 {,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故B 正确；对于C ，设,a b θ<>=，则|()||||||||cos |a b c a b c θ=，故C 不正确；对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，反之也可以是B ，C ∠为直角，故D 不正确. 【详解】对于A ,P ，A ， B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，1123OP OA OB =+，P ∴，A ，B 三点共线不成立，故A 不正确；对于B ，若{,,}a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共线，∴,,a b b c c a +++不共线，∴{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故B 正确；对于C ，设,a b θ<>=，则|()||||||||cos |a b c a b c θ=，故C 不正确；对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，故ABC ∆为直角三角形，反之也可以是B ，C ∠为直角，故D 不正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查向量共线的条件，考查向量的数量积的计算，考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．10．D解析：D 【分析】利用中点坐标公式可得点B 的坐标，设(,,)C x y z ，利用||||3CO CB ==，1cos ,6EF BC <>=可解出点C 的纵坐标，最后利用数量积的坐标运算可得OC OF ⋅的值. 【详解】设(,,)C x y z ，(2,2,0)B ，(,,)OC x y z =，(2,)BC x y z =--，(EF =-，由(()1cos ,436EF BC x y z EF BC EF BC⋅-⋅-===⋅⋅，整理可得：2x y -=-，由||||3CO CB ==化简得x y +=以上方程组联立得x y =，则()(,,)3OC OF x y z =⋅==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.11．D解析：D 【分析】根据题意,可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点.由BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角可知当PC 取得最小值时,PB 与平面11DD C C 所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,与半圆的交点为P ,此时PC 取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得PC ,进而求得tan BPC ∠. 【详解】正方体1111ABCD A B C D -中,正方形11DD C C 内的点P 满足1PD PD ⊥ 可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:当直线PB 与平面11DD C C 所成最大角时,点P 位于圆心E 与C 点连线上 此时PC 取得最小值.则BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角 设正方体的边长为2,则51PC EC EP =-=,2BC = 所以51tan 51BC BPC PC +∠===-故选:D 【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.12．B解析：B 【分析】由题意作图，可得所求数量积为12BD DC ，由已知易得其模长和夹角，由数量积的定义可得答案． 【详解】解：如图连接空间四边形ABCD 的对角线AC ，BD ， 由空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1， 可知底面BCD 为等边三角形，故60BDC ∠=︒， 又点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以12EF BD =， 故11||||cos()22EF DC BD DC BD DC BDC π==-∠ 11111224⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 故选：B ．【点睛】本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的基本运算，属于基础题．13．C解析：C 【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可． 【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=，∴2122cos302λλ+︒=， ∴21264λλ+=，则0λ>， ∴62λ=． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．二、填空题14．【分析】本题首先可结合题意绘出空间直角坐标系然后根据空间直角坐标系得出以及最后根据即可得出结果【详解】因为四棱柱使直四棱柱为直角所以可以以为坐标原点以所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系 317【分析】本题首先可结合题意绘出空间直角坐标系，然后根据空间直角坐标系得出()0,1,0DC =以及()12,3,2BC =--，最后根据111cos ,DC BC DC BC DC BC ⋅=⋅即可得出结果.【详解】因为四棱柱1111ABCD A B C D -使直四棱柱，A ∠为直角，//AB CD ，所以可以以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,4,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ， 故()0,1,0DC =，()12,3,2BC =--， 因为1DC =，222123217BC =++=，所以1113317cos ,1717DC BC DC BC D BC C ⋅-===⋅， 故异面直线DC 与1BC 317， 故答案为：31717. 【点睛】方法点睛：求空间中两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式求出两向量的夹角的大小，从而得出结果.15．②④【分析】由题意知abAC 三条直线两两相互垂直构建如图所示的长方体|AC|＝1|AB|=2斜边AB 以直线AC 为旋转轴则A 点保持不变B 点的运动轨迹是以C 为圆心为半径的圆以C 坐标原点以CD 为x 轴CB 为解析：②④ 【分析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的长方体，|AC |＝1，|AB |=2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，3为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出结果．【详解】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示的长方体高为13故|AC|＝1，|AB|=2，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C3为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D 3，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量a=（0，1，0），|a|＝1，直线b的方向单位向量b=（1，0，0），|b|＝1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′3θ3θ，0），其中θ为B′C与CD的夹角，[02θπ∈，），∴AB ′在运动过程中的向量，'AB=3θ3θ，﹣1），|'AB|=2，设'AB与a所成夹角为α∈[0，2π]，则()()10103cos33，，，，θθα--⋅=='⋅cos sina ABθ|∈[0，32]，∴α∈[6π，2π]，∴③错误，④正确．设'AB与b所成夹角为β∈[0，2π]，()(1100c 33os ，-，，，θθβ-⋅'⋅===''⋅⋅cos sin AB b AB bb AB θ|， 当'AB 与a 夹角为60°时，即α3π=，|sin θ|3πα===， ∵cos 2θ+sin 2θ＝1，∴cos 2β=|cos θ|2=，∵β∈[0，2π]，∴4πβ=，此时'AB 与b 的夹角为45°，∴②正确，①错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及空间向量的知识点，属于中档题．16．2【分析】求CD 的长即为由向量的加法可得利用向量的数量积运算即可得出答案【详解】∵AB 是棱l 上两点ACBD 分别在半平面αβ内AC ⊥lBD ⊥l 因为所以因为所以故答案为：2【点睛】本题主要考查空间向量的解析：2 【分析】求CD 的长即为CD ，由向量的加法可得CD CA AB BD =++，利用向量的数量积运算即可得出答案. 【详解】∵A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，0,0∴⋅=⋅=CA AB BD AB ，,60︒<>=CA BD因为1AB AC BD ===，所以111cos602︒⋅=⨯⨯=CA BD ， 因为CD CA AB BD =++， 所以2()12=++==CD CA AB BD故答案为：2 【点睛】本题主要考查空间向量的加法，减法及几何意义和空间向量的数量积，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于一般题目.17．【分析】由根据与的夹角为钝角由且求解【详解】因为所以因为与的夹角为钝角所以且由得所以若与的夹角为则存在使即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】由(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据a 与b 的夹角为钝角，由0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠求解. 【详解】因为(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 所以2525(2)31355a b t t ⎛⎫⋅=⨯-++⨯-=- ⎪⎝⎭， 因为a 与b 的夹角为钝角， 所以0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠， 由0a b ⋅<，得52305t -<， 所以5215t <. 若a 与b 的夹角为180︒，则存在0λ<，使a b λ=，即2(5,3,1)2,,5t λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以523215t λλλ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得65t =-， 故答案为：6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】根据平方得到计算得到答案【详解】故解得故答案为：【点睛】本题考查了平行六面体的棱长意在考查学生的计算能力和空间想象能力解析：1根据11AC AB AD AA =+-，平方得到2224c c +-=，计算得到答案. 【详解】11AC AB AD AA =+-， 故2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA =+-=+++⋅-⋅-⋅2224c c =+-=，解得1c =.1.【点睛】本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19．【分析】根据两向量的夹角余弦公式即可求出两向量的夹角【详解】解：10向量与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题是基础题目 解析：3π【分析】 根据两向量的夹角余弦公式，即可求出两向量的夹角．【详解】解：(0a =，1，1)，(1b =，0，1)， ∴·1a b =，||2a =，||2b =， cos a ∴<，12||||2a b b a b >===⨯⨯， 向量a 与b 的夹角为3π． 故答案为：3π. 【点睛】 本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题，是基础题目．20．【分析】建立空间直角坐标系写出的坐标写出向量的坐标用两向量的夹角公式求出余弦值【详解】建立空间直角坐标系如图所示则所以异面直线和所成角的余弦值等于故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成的角属于基础题【分析】建立空间直角坐标系，写出1,,,D F O E 的坐标，写出向量1,FD OE 的坐标，用两向量的夹角公式求出余弦值.建立空间直角坐标系，如图所示则()()()()10,0,2,1,0,0,1,1,0,0,2,1D F O E ，()()111,0,2,1,1,1,5,3FD OE FD OE ∴=-=-==， 11115cos ,35OE FD OE FD OE FD ∴〈〉===⨯， 所以异面直线OE 和1FD 15. 故答案为：155. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于基础题. 21．【分析】先根据不共线三点用平面向量基底表示;再根据平面向量基本定理表示求和即得结果【详解】因为四点共面三点不共线所以因为因为是任意一点故可不共面所以故故答案为：1【点睛】本题考查用基底表示向量以及平 解析：1【分析】先根据不共线三点A B C ，，，用平面向量基底AB AC ，表示PA ;再根据平面向量基本定理表示,,x y z ，求和即得结果.【详解】因为,,,P A B C 四点共面，三点A B C ，，不共线，所以,,,m n R PA mAB nAC ∃∈=+()(),(1)OA OP m OB OA n OC OA OP m n OA mOB nOC -=-+-∴=++--因为OP xOA yOB zOC =++，因为O 是任意一点，故,,OA OB OC 可不共面，所以1,,x m n y m z n =++=-=-， 故1x y z ++=.故答案为：1【点睛】本题考查用基底表示向量以及平面向量基本定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．1【分析】取中点过作于点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得平面从而得到；再根据线面垂直判定定理得到面由线面角定义可知通过勾股定理可求得由此可知在直线上从而得到面面垂直关系可知二面角为从 解析：1【分析】取AD 中点E ，过P 作PF BE ⊥于F 点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得AD ⊥平面PBE ，从而得到AD PF ⊥；再根据线面垂直判定定理得到PF ⊥面ABCD ，由线面角定义可知30PBF ∠=，通过勾股定理可求得EF BE =，由此可知F 在直线CD 上，从而得到面面垂直关系，可知二面角为90，从而得到正弦值.【详解】取AD 中点E ，连接BE 并延长，过P 作PF BE ⊥于F 点PA PD =，E 为AD 中点 PE AD ⊥∴四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= ABD ∴∆为等边三角形 BE AD ∴⊥,PE BE ⊂平面PBE ，PE BE E ⋂= AD ∴⊥平面PBEPF ⊂平面PBE AD PF ∴⊥又PF BF ⊥，,BF AD ⊂平面ABCD ，BFAD E = PF ∴⊥面ABCD ∴直线PB 与底面ABCD 所成角为PBF ∠ sin 2sin301PF PB PBF ∴=⋅∠=⨯=在PBE ∆中，由余弦定理得：22232cos 444222PE PB BE PB BE PBE =+-⋅∠=+-⨯=EF ∴==，又BE = F ∴在CD 延长线上 PF ∴⊂平面PCD ∴平面PCF ⊥平面ABCD∴二面角P CD A --的大小为90，正弦值为1故答案为：1【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定定理、直线与平面所成角、勾股定理等知识的应用；关键是能够通过线面垂直关系确定直线与平面所成角的位置.23．【分析】由题意可得由此求得由以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得由数量积的定义即可得到结果【详解】由题意可得∴由可得∴即∴故答案为【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则以及其几何意义两个 解析：16【分析】由题意可得22 9()BC AC AB ==-，由此求得2AC AB ⋅=，由 7AB AE AC AF ⋅+⋅=以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得 2EF BC ⋅=，由数量积的定义即可得到结果.【详解】由题意可得()229BC AC AB==- 222AC AB AC AB =+-⋅ 942AC AB =+-⋅， ∴2AC AB ⋅=.由7AB AE AC AF ⋅+⋅=，可得 ()()AB AB BE AC AB BF ⋅++⋅+ 2AB AB BE AC AB AC BF =+⋅+⋅+⋅()42AB BF AC BF =+⋅-++⋅()1662BF AC AB EF BC =+⋅-=+⋅. ∴2EF BC ⋅=，即43cos ,2EF BC ⨯⨯=， ∴1cos ,6EF BC =，故答案为16. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、以及运算性质，属于中档题． 24．【分析】设建立空间直角坐标系由向量的垂直可得进而可得由基本不等式即可得解【详解】设如图建立空间直角坐标系则所以又所以所以所以当且仅当时等号成立所以当的面积取得最小值时其棱故答案为：【点睛】本题考查了 解析：32 【分析】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得1m n n -=，进而可得1221452MAD S n n =++△，由基本不等式即可得解. 【详解】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，则()10,0,D m ，()0,1,M n ，()3,0,0A ， 所以()10,1,M n m D =-，()3,1,AM n =-，又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-=，所以1m n n -=， 所以()122122111113114222MAD S M AM m n n n nD =⋅=+-++=++△()2222221114143415522222n n n n n n ⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当2n =322m =时，等号成立， 所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱1322AA =. 故答案为：322.【点睛】本题考查了空间向量及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.25．（﹣∞4）【分析】由题意利用两个向量的夹角的定义两个向量共线的性质求得实数的取值范围【详解】解：向量若与的夹角为锐角且与不共线即且不成立解得则实数的取值范为故答案为：【点睛】本题主要考查两个向量的夹 解析：（﹣∞，4）【分析】由题意利用两个向量的夹角的定义，两个向量共线的性质，求得实数t 的取值范围．【详解】 解：向量(4a =，5-，12)，(3b =，t ，2)3，若a 与b 的夹角为锐角， ∴·0a b >，且a 与b 不共线， 即24351203t ⨯-+⨯>，且2334512t ==- 不成立，解得4t <， 则实数t 的取值范为(,4)-∞，故答案为：(,4)-∞．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题．26．【解析】【分析】由α∥β可得∥利用向量共线定理即可得出【详解】因为α∥β所以u ∥v 则即故x+y=【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系向量共线定理考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：154【解析】【分析】由α∥β，可得u ∥v ．利用向量共线定理即可得出．【详解】因为α∥β,所以u ∥v .则1-21-12x y==, 即4,1-,4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故x+y=154. 【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
北京市中关村外国语学校选修一第一单元《空间向量与立体几何》检测题(有答案解析)
一、选择题1．如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（ ）A ．12B ．22C ．33D ．552．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱1BB 的中点 B ．线段MP 的最大值为32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+53．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，且1,2AB BC ==，60ABC ∠=,AP ⊥平面ABCD ，AE PC ⊥于E ，下列四个结论：①AB AC ⊥；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ;④BE PC ⊥ .其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+ B ．a b c +- C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 5．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 是1B C 的中点，点,H E 分别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HE α⊂平面α，平面11AC D 与平面α相交于一条线段，则该线段的长度是（ ）A ．144B ．114C ．142D ．1126．在三棱锥P ABC -中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）A ．1111B ．21111C 311D ．11117．空间四点()(1,0,0)010(0,0,1)(,2,3)A B C D x 、，，、、共面，则x =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．48．如图，在四面体O ABC -中，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且12OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（ ）A ．111(,, )222B ．222(, , )333C ．111(, , )333D ．222(,, )9999．如图，在三棱柱11ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，侧棱垂直于底面，14,6AB AA ==.若E 是棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A 13B 213C 313D 1310．正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP AD ⋅的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．4311．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 6：④二面角A BC D --2：其中正确结论的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．112．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是AB 、AD 的中点，则EF DC ⋅=（ ） A ．14B ．14-C ．34D ．34-13．如图，在棱长均相等的四面体O ABC -中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设OA a =，OB b =，OC c =，则OE =（ ）A ．111663a b c ++ B ．111333a b b ++C ．111663a b c +- D ．112663a b c ++ 二、填空题14．已知直二面角l αβ--的棱l 上有A ，B 两个点，AC α⊂，AC l ⊥，BD β⊂，BD l ⊥，若4AB =，3AC =，5BD =，则CD 的长是______．15．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，则1AC 与平面11BB C C 所成角的余弦值为_________.16．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，则11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为______________．17．已知向量()()0,1,1,4,1,0,29a b a b λ=-=+=，且0λ>，则λ=____________．18．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于______.19．设空间任意一点O 和不共线三点A B C ，，，且点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++，若,,,P A B C 四点共面，则x y z ++=______．20．在空间直角坐标系中， ()()()2,1,1,3,4,,2,7,1,A B C AB CB 若λ-⊥,则λ=____ 21．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，13AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC =___________．22．已知空间三点(0,A 2，3)，(2,B 5，2)，(2,C -3，6)，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为______．23．ABC ∆的三个顶点分别是(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，则AC 边上的高BD 长为__________．24．正三棱柱ABC A B C '''-，2,22AB AA ='=，M 是直线BC 上的动点，则异面直线AB '与C M '所成角的范围为_____________．25．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．26．已知向量a =（4，﹣5，12），b =（3，t ，23），若a 与b 的夹角为锐角，则实数t 的取值范围为_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】取AC 的中点E ，连接BE,DE,证明BE 垂直于平面ACD ，以点E 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD 和平面CDA 的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦. 【详解】如图示，取AC 中点E ，连结BE 、DE ，在正三角形ACB 与正三角形ACD 中， BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，因为面ACB ⊥面ACD ，面ACB 面=ACD AC ，所以BE ⊥面ADC ,以E 为原点，ED 为x 轴正方向，EC 为y 轴正方向，EB 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC =2，则())()()(0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,0,3E DC A B -,平面ACD 的一个法向量为(3EB = 而()()0,1,3,3,1,0CB CD =-=-，设(),,n x y z =为面BCD 的一个法向量，则：·0·0n CB n DC ⎧=⎨=⎩即 3030y z y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令x =1，则()1,3,1n = 设二面角B CD A --的平面角为θ，则θ为锐角， 所以35cos |cos ,||||5||||35EB n EB n EB n θ⋅====⨯. 故选：D 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．D解析：D 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，根据MP CN ⊥，确定点P 的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为1，,M N 分别为111,BD B C 的中点， 则()0,0,0D ，111,,222M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,12N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0C ， 所以1,0,12CN ⎛⎫=⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为MP CN ⊥， 所以1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，2430x z +-=，当1x =时，14z =；当0x =时，34z =； 取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 连接EF ，FG ，GH ，HE ，则()0,1,0EF GH ==，11,0,2EH FG ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以四边形EFGH 为矩形，则0EF CN ⋅=，0EH CN ⋅=，即EF CN ⊥，EH CN ⊥， 又EFEH E =，且EF ⊂平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，所以CN ⊥平面EFGH ， 又111,,224EM ⎛⎫=-⎪⎝⎭，111,,224MG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以M 为EG 中点，则M ∈平面EFGH ，所以，为使MP CN ⊥，必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体的表面上运动， 所以点P 的轨迹为四边形EFGH ， 因此点P 不可能是棱1BB 的中点，即A 错；又1EF GH ==，52EH FG ==，所以EF EH ≠，则点P 的轨迹不是正方形；且矩形EFGH 的周长为222+=+C 错，D 正确； 因为点M 为EG 中点，则点M 为矩形EFGH 的对角线交点，所以点M 到点E 和点G的距离相等，且最大，所以线段MP ，故B 错. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由MP CN ⊥，求出动点轨迹图形，即可求解.3．D解析：D 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，， 由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-︒3=， 所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确，故选D ．4．A解析：A 【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出BD 关于a 、b 、c 的表达式. 【详解】()11112222OD OA AD OA AC OA OC OA OA OC =+=+=+-=+， 因此，11112222BD OD OB OA OB OC a b c =-=-+=-+. 故选：A. 【点睛】本题考查利用基底表示空间向量，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得到E 是两个平面的一个交点，分析另一个交点的位置，可能在11A C 或1A D 上，设其交点坐标用向量计算可得答案. 【详解】如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，()12,0,2A ，()()1,2,10,1,1G E ，，()1,2,1DG =，因为HE ⊂平面α，所以E ∈平面α，因为E ∈1C D ，所以E ∈平面11AC D ， 所以E 是两个平面的一个交点，如果另一个交点在11A C 上，设为M 且设(),2,2M a a -，02a ≤≤所以(),1,1EM a a =-，因为EM ⊂平面α，DG ⊥平面α，所以0EM DG ⋅=， 即2210a a +-+=，解得3a =不合题意，所以另一个交点在1A D 上，不妨设为F ， 所以平面11AC D ⋂平面EF α=，即求EF 的长度，且(),0,F b b ，02b ≤≤， 因为EF ⊂平面α，DG ⊥平面α，所以0EF DG ⋅=，(),1,1EF b b =--， 即210b b -+-=，解得32b =，所以33,0,22F ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2231141222EF ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了用向量解决线面垂直、线线垂直的问题，关键点是建立空间直角坐标系和分析两个平面的交线的位置，考查了学生的空间想象力、推理能力和计算能力.6．C解析：C 【分析】首先利用线面角的定义，可知当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，此时BD 与平面PAC 所成角最大，再以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用向量坐标法求线面角的正弦值. 【详解】,AB AC AB PA ⊥⊥，且PA AC A =， AB ∴⊥平面PAC ，易证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，3tan AB ADB AD AD∠==， 当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值 在等腰Rt PAC ∆中，当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ， 则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC=-，(3,2,0)BC =-设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=，即220320y z x y -=⎧⎨-+=⎩令3y =，得(2,3,3)n =.因为311cos ,11222n AD 〈〉==⨯，所以AD 与平面PBC 所成角的正弦值为31111. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点D 的位置，首先利用线面角的定义确定点D 的位置，再利用向量法求线面角.7．A解析：A 【分析】由于四点A ，B ，C ，D 共面，可得存在实数λ，μ使得AD AB AC λμ=+，解出即可．【详解】(1,1,0),(1,0,1),(1,2,3)AB AC AD x =-=-=-，∵四点A ，B ，C ，D 共面，∴存在实数λ，μ使得AD AB AC λμ=+，(1,2,3)(1,1,0)(1,0,1)x λμ∴-=-+-123x λμλμ-=--⎧⎪∴=⎨⎪=⎩解得4x =-故选：A【点睛】本题主要考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于容易题．8．D解析：D【分析】根据空间向量线性运算进行计算，用,,OA OB OC 表示出OG ．【详解】因为E 是BC 中点，所以1()2OE OB OC =+， 1G 是ABC 的重心，则123AG AE =， 所以122()33AG AE OE OA ==-， 因为12OG GG = 所以112224()()3339OG OG OA AG OA OE OA ==+=+-2422222()9999999OA OE OA OB OC OA OB OC =+=++=++， 若OG xOA yOB zOC =++，则29x y z ===． 故选：D ．【点睛】本题考查空间的向量的线性运算，掌握向量线性运算的运算法则是解题关键． 9．A解析：A【分析】以{},,a b c 为基底表示出11,A E AC ，利用向量夹角公式计算出异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值.【详解】设1,,AB a AC b AA c===，则{},,a b c 构成空间的一个基底， 111112A E AB B E a c =+=-， 11AC AC CC b c =+=+， 111111cos ,||||A E AC A E AC A E AC ⋅〈〉=⋅1()21||2a cbc a c b c ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭=-⋅+ ()222112212a b b c a c c a c b c ⋅-⋅+⋅-=⎛⎫-⋅+ ⎪22222144cos 600062124a a c c b b c c ⨯⨯︒-+-⨯=-⋅+⋅+⋅+=13==-. 所以异面直线1A E 与1AC . 故选：A【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.10．C解析：C【分析】建立空间坐标系，设(),,P x y z ，求出AP AD ⋅关于,,x y z 的表达式，根据球的半径得出,,x y z 的取值范围，利用简单的线性规划得出答案.【详解】设BC 的中点为M ，以M 为原点建立如图所示的空间坐标系，则()326,0,,3,0,033A D⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设(),,P x y z ，则326,,AP x y z ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，2326,0,AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 23262AP AD x z ∴⋅=-+， P 在以M 为球心，以1为半径的球面上，2221x y z ∴++=，01y ≤≤，2201x z ≤+≤，23262x z m +=， 232620x z m -+-=与单位圆221x z +=相切时，截距取得最小值， 2221232633m-=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0m =或4m =∴AP AD ⋅的最大值为4.故选：C【点睛】本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于难题.11．A解析：A【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论.【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =， 1cos 22AD BCAD BC AD BC ⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确：设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =， 由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =，设BC 与面ACD 所成角为θ，则sin cos ,3BC t BC t BC t θ⋅====⋅③正确： 平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =，设平面ABC 的法向量(),,m x y z =，则0m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m nm n m n ⋅<>==⋅， ∴6sin ,m n <>=∴二面角A BC D --，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.12．B解析：B【分析】 由题意作图，可得所求数量积为12BD DC ，由已知易得其模长和夹角，由数量积的定义可得答案．【详解】解：如图连接空间四边形ABCD 的对角线AC ，BD ，由空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，可知底面BCD 为等边三角形，故60BDC ∠=︒，又点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以12EF BD =， 故11||||cos()22EF DC BD DC BD DC BDC π==-∠ 11111224⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 故选：B ．【点睛】本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的基本运算，属于基础题．13．D解析：D【分析】利用空间向量的加法和减法法则可将OE 用a 、b 、c 表示.【详解】 12CE ED =，()111111=333236CE CD CA AD CA AB CA AB ⎛⎫∴==+=++ ⎪⎝⎭， ()()11113636OE OC CE OC CA AB OC OA OC OB OA ∴=+=++=+-+-112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D.【点睛】 本题考查空间向量的基底分解，解题时要灵活利用空间向量加法和减法法则，考查计算能力，属于中等题.二、填空题14．【分析】首先然后利用向量数量积表示向量的模计算的长度【详解】由条件可知故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查空间几何中长度的计算本题的关键点是分析出从而利用数量积表示比较容易计算结果 解析：52【分析】首先CD CA AB BD =++，然后利用向量数量积表示向量的模，计算CD 的长度.【详解】CD CA AB BD =++，()()22222CD CA AB BD CA AB BD CA AB CA BD AB BD ∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 由条件可知CA AB ⊥，CA BD ⊥，AB BD ⊥，()22229162552CD CA AB BD CA AB BD ∴=++=++=++=. 故答案为：52【点睛】关键点点睛：本题考查空间几何中长度的计算，本题的关键点是分析出CA AB ⊥，CA BD ⊥，AB BD ⊥，从而利用数量积表示CD ，比较容易计算结果.15．【分析】取BC 的中点E 连接AE 证明面可得就是与平面所成的角解直角三角形即可【详解】如上图取BC 的中点E 连接AE 则∵正三棱柱中面面面面∴面∴就是与平面所成的角不妨设正三棱柱的所有棱长都为2则在中故答案 解析：104 【分析】取BC 的中点E ，连接1C E ，AE ，证明AE ⊥面11BB C C ，可得1E AC ∠就是1AC 与平面11BB C C 所成的角，解直角三角形1AC E 即可．【详解】如上图，取BC 的中点E ，连接1C E ，AE ，则AE BC ⊥，∵正三棱柱111ABC A B C -中，面ABC ⊥面11BB C C ，面ABC面11BB C C BC =， ∴AE ⊥面11BB C C ，∴1E AC ∠就是1AC 与平面11BB C C 所成的角，不妨设正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，则15C E =122AC = 在1Rt AC E ∆中，111510cos 22C E AC E AC ∠===. 10 【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.16．【详解】如图建立空间直角坐标系则所以设平面的一个法向量为由题可得令可得设与平面所成角为则故直线与平面所成角的正弦值为故答案为： 解析：13 【详解】 如图，建立空间直角坐标系Dxyz -，则1(0,0,1)D ，1(0,2,1)C ，1(1,0,1)A ，(1,2,0)B ，所以11(0,2,0)DC =，设平面11A BC 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由题可得111(,,)(1,2,0)20(,,)(0,2,1)20n AC x y z x y n A B x y z y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩， 令1y =，可得(2,1,2)n =，设11D C 与平面11A BC 所成角为θ，则11111121sin cos ,233D C nD C n D C n θ⋅====⨯⋅， 故直线11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为13． 故答案为：13．17．3【分析】利用向量的坐标运算求得求出根据空间向量模的公式列方程求解即可【详解】因为所以可得因为解得故答案为3解析：3【分析】利用向量的坐标运算求得求出()4,1,a b λλλ+=-，根据空间向量模的公式列方程求解即可.【详解】因为()()0,1,1,4,1,0,29a b a b λ=-=+=，所以()4,1,a b λλλ+=-，可得()2216129λλ+-+=，因为0λ>，解得3λ=，故答案为3. 18．【分析】建立空间直角坐标系写出的坐标写出向量的坐标用两向量的夹角公式求出余弦值【详解】建立空间直角坐标系如图所示则所以异面直线和所成角的余弦值等于故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成的角属于基础题解析：155【分析】建立空间直角坐标系，写出1,,,D F O E 的坐标，写出向量1,FD OE 的坐标，用两向量的夹角公式求出余弦值.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示 则()()()()10,0,2,1,0,0,1,1,0,0,2,1D F O E ，()()111,0,2,1,1,1,5,3FD OE FD OE ∴=-=-==， 11115cos ,535OE FD OE FD OE FD ∴〈〉===⨯， 所以异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于155. 15. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于基础题. 19．【分析】先根据不共线三点用平面向量基底表示;再根据平面向量基本定理表示求和即得结果【详解】因为四点共面三点不共线所以因为因为是任意一点故可不共面所以故故答案为：1【点睛】本题考查用基底表示向量以及平 解析：1【分析】先根据不共线三点A B C ，，，用平面向量基底AB AC ，表示PA ;再根据平面向量基本定理表示,,x y z ，求和即得结果.【详解】因为,,,P A B C 四点共面，三点A B C ，，不共线，所以,,,m n R PA mAB nAC ∃∈=+()(),(1)OA OP m OB OA n OC OA OP m n OA mOB nOC -=-+-∴=++--因为OP xOA yOB zOC =++，因为O 是任意一点，故,,OA OB OC 可不共面，所以1,,x m n y m z n =++=-=-， 故1x y z ++=.故答案为：1【点睛】本题考查用基底表示向量以及平面向量基本定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 20．【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题然后利用向量的数量积坐标运算计算的值即可【详解】又即解得故答案为【点睛】本题主要考查空间向量的应用向量垂直的充分必要条件等知识意在考 解析：3±【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题，然后利用向量的数量积坐标运算计算λ的值即可.【详解】()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-， ∴AB ()1,3,1,λ=+CB ()1,3,1λ=--， 又,AB CB ⊥0AB CB ∴⋅=，即()()()1133110λλ⨯+⨯-++-=，解得3λ=±，故答案为3±.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．【解析】【分析】首先画出图形然后结合=两边平方同时结合数量积的运算法则进行计算即可【详解】平行六面体如图所示：∵∠BAA1=∠DAA1=60°∴A1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上∴平面ACC【解析】【分析】首先，画出图形，然后，结合11AC AC CC =+=1AB AD AA ++，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可．【详解】平行六面体1111ABCD A B C D -，如图所示：∵∠BAA 1=∠DAA 1=60°∴A 1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上，∴平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，∵AB=1，AD=2，AA 1=3，∵11AC AC CC =+=1AB AD AA ++∴|1AC |2=（1AB AD AA ++）2 =|AB |2+|AD |2+|1AA |2+2AB AD ⋅+21AB AA ⋅+21AD AA ⋅ =1+9+4+0+2×1×3×12+2×2×3×12=23， ∴|1AC 23∴AC 123 23【点睛】本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．22．【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标求得对应的向量的坐标进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值应用平方关系求得正弦值由此可以求得以为邻边的平行四边形的面积详解：由题意可得所以所以所以以为邻边的平行 解析：5【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标，求得对应的向量的坐标，进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值，应用平方关系求得正弦值，由此可以求得以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积.详解：由题意可得(2,3,1),(2,1,3)AB AC =-=-，49114,41AB AC =++==+=，所以2)31(1)32cos7BAC -+⨯+-⨯∠==-，所以sin 7BAC ∠=，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为S == 点睛：该题考查的是有关空间向量的坐标以及夹角余弦公式，在解题的过程中，需要对相关公式非常熟悉，再者就是要明确平行四边形的面积公式，以及借助于向量的数量积可以求得对应角的余弦值. 23．5【解析】分析：设则的坐标利用求得即可得到即可求解的长度详解：设则所以因为所以解得所以所以点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算(2)解析：5 【解析】分析：设AD AC λ=，则,OD BD 的坐标，利用BD AC ⊥，求得45λ=-，即可得到 912(4,,)55BD =-，即可求解BD 的长度. 详解：设AD λAC =，则()()()OD OA λAC 1,1,2λ0,4,31,14λ,23λ=+=-+-=-+-， 所以()BD OD OB 4,54λ,3λ=-=-+-，因为BD AC ⊥，所以()BD AC 0454λ9λ0⋅=+++=，解得4λ5=-， 所以912BD 4,,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以(22912BD 5⎫⎛⎫=-=. 点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.24．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系设由向量法求两异面直线所成角的余弦表示为的函数求出最大值和最小值后得的范围这里需引入函数用导数求出函数的最小值从而得出的最大值【详解】以为轴为轴建立如图所示的空间解析：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设CM kCB =，由向量法求两异面直线所成角的余弦cos θ表示为k 的函数，求出最大值和最小值后得θ的范围．这里需引入函数()f x 用导数求出函数的最小值，从而得出cos θ的最大值．【详解】以AB 为x 轴，AA '为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,B '，(2,0,0)B ，(1,3,0)C，(1,3,2C '，设CM kCB =，则k ∈R，(1,CB =，(0,0,(1,(,,C M C C CM k k ''=+=-+=-． 又(2,0,AB '=，设直线AB '与C M '所成角为θ， 则cos 2AB C M AB C Mθ''⋅==''=， 4k =时，min (cos )0θ=，设()f x =，则32224()(2)x f x x +'==+， 12x <-时，()0f x '<，()f x 递减，12x >-时，()0f x '>，()f x 递增， ∴12x =-时，()f x 取得极小值也是最小值132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 4x <时，()0f x <，4x >时，222(4)8162x x x x -=-+<+1<，∴max ()3f x =，max (cos )2θ==， 即0cos 2θ≤≤，∴,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故答案为：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角．解题方法是空间向量法．求异面直线所成角的方法：（1）几何法（定义法）：作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得解；（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量的夹角余弦的绝对值得异面直线所成角的余弦值，从而得角．25．【分析】构造一个正方体三棱锥放入正方体中建立坐标系利用数量积公式求解即可【详解】将三棱锥放入如下图所示的正方体中且棱长为分别以为轴故答案为：【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积属于中档题 解析：12- 【分析】构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可.【详解】将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为22分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴222222222((((A C G E (0,02222,),(20,,2GE AC ==-- 12222(=2GE AC ∴⋅=--故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.26．（﹣∞4）【分析】由题意利用两个向量的夹角的定义两个向量共线的性质求得实数的取值范围【详解】解：向量若与的夹角为锐角且与不共线即且不成立解得则实数的取值范为故答案为：【点睛】本题主要考查两个向量的夹 解析：（﹣∞，4）【分析】由题意利用两个向量的夹角的定义，两个向量共线的性质，求得实数t 的取值范围．【详解】解：向量(4a =，5-，12)，(3b =，t ，2)3，若a 与b 的夹角为锐角， ∴·0a b >，且a 与b 不共线，即24351203t ⨯-+⨯>，且2334512t ==- 不成立，解得4t <， 则实数t 的取值范为(,4)-∞，故答案为：(,4)-∞．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题．。
北京师范大学附属中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(答案解析)
一、选择题1．如图，在正方形中，点,E F 分别是线段,AD BC 上的动点，且,AE BF AC =与EF 交于G ，EF 在AB 与CD 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．在EF 任一确定位置，将四边形EFCD 沿直线EF 折起，使平面EFCD ⊥平面ABFE ，则下列选项中错误的是（ ）A ．AGC ∠的角度不会发生变化B ．AC 与EF 所成的角先变小后变大 C ．AC 与平面ABFG 所成的角变小D ．二面角G AC B --先变大后变小2．如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（ ）A ．12B ．22C ．33D ．553．如图，在四面体A BCD -中，已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，则DE →等于（ ）A ．2133a b c →→→-++B ．2133a b c →→→++C ．2133a b c →→→-+D ．2133a b c →→→-+4．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．306B ．63C ．33D ．665．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 是DD 1的中点，则（ ）A ．直线B 1E //平面A 1BD B ．11B E BD ⊥C ．三棱锥C 1-B 1CE 的体积为313aD ．直线B 1E 与平面CDD 1C 1256．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（ ）A 31B 21C 32-D 327．在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ）A ．52B ．2C ．32D ．1168．已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,4B ．[]0,2C ．[]1,4D ．[]1,29．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11A C 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为14时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A ．62B ．64C ．104D ．10210．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．已知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．9B ．647C ．657D ．66712．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，23AD =，ADE 与BCF △都是等边三角形，且二面角E AD B --与F BC A --相等，则EF 长度的取值范围为（ ）A ．（2,14）B ．（2,8）C ．（0,12）D ．（2,12）13．()2,23,1a m =-，()4,2,32b n =--.若//a b .则实数mn 的值是（ ） A ．－2B ．13C ．2D ．0二、填空题14．在三棱锥P -ABC 中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为________.15．已知直二面角l αβ--的棱l 上有A ，B 两个点，AC α⊂，AC l ⊥，BD β⊂，BD l ⊥，若4AB =，3AC =，5BD =，则CD 的长是______．16．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，则1AC 与平面11BB C C 所成角的余弦值为_________.17．平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知底面四边形ABCD 为正方形，且113A AB A AD π∠=∠=，其中，设1AB AD ==，1AA c =，体对角线12AC=，则c 的值是______.18．设E ,F 是正方体1AC 的棱AB 和11D C 的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面1A ECF 成60︒角的对角线的数目是______.19．平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱AB 、AD 、AA 1的长均为1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠DAB 3π=，则对角线AC 1的长为_____．20．已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-，且//l α，则m =____21．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是面ABCD 的中心，点P 在棱11C D 上移动，则OP 的最小值时，直线OP 与对角面11A ACC 所成的线面角正切值为__________．22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，点E 、F 分别为1AA 、11A C 的中点，则直线BE 和CF 所成角的余弦值为___________.23．设向量()1,2,a λ=，()2,2,1b =-，若4cos ,9a b =，则实数λ的值为________. 24．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心E 是BD 上一点，3,BE ED =以,,AB AC AD 为基底，则GE =__________．25．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，122AA AB AC ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π，当1B M 最小时，AMB ∠=__________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】x y z轴，建立空间直角坐标系，设正方形以E为原点，EA，EF，ED所在的直线为,,=，利用空间向量的数量积可判断A，B；求出平面ABFG的一个法向的边长为1，AE a量，设AC与平面ABFG所成的角为θ，利用向量的数量积可求线面角，进而判断C；求出平面AGC的法向量以及平面AGC的法向量，利用空间向量数量积即可求解.【详解】x y z轴，以E为原点，EA，EF，ED所在的直线为,,建立空间直角坐标系，=，设正方形的边长为1，AE a()0,,0G a，()0,1,0F，()C a,0,0-，()A a，()0,1,1B a，,1,0对于A ，(),,0AG a a =-，()0,1,1GC a a =--，1cos 22AG GC AGC AG GC⋅∠===， 故AGC ∠的角度不会发生变化，所以A 正确； 对于B ，设AC 与EF 所成的角为θ，(),1,1AC a a =--，()0,1,0EF =， cos AC EF AC EFa θ⋅===，2222a a -+对称轴为12，且()0,1a ∈，所以2222a a -+先减小后增加， 所以cos θ先增加再减小，即AC 与EF 所成的角先变小后变大，故B 正确； 对于C ，平面ABFG 的一个法向量为()0,0,1m =， 设AC 与平面ABFG 所成的角为θ，sin cos ,AC mAC m ACma θ⋅======， ()0,1a ∈，则1a a+单调递减，sin θ单调递减， 所以AC 与平面ABFG 所成的角变小，故C 正确；对于D ，设平面AGC 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AG n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()11111010ax ay ax y a z -+=⎧⎨-++-=⎩，令11x =，11y =，11z =-， 不妨设1,1,1n，设平面ACB 的一个法向量为()222,,p x y z =，则00p AB P CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，()222010y ax a z =⎧⎨+-=⎩，令2z a =，21x a =-，即()1,0,p a a =-，()221cos ,31n p a a n p n pa a ⋅--==+-()222123312221221a a a a a -=⋅=⋅--+-+， 2221a a -+对称轴为12，在()0,1先减小后增大， 所以212221a a --+在()0,1先减小后增大， 二面角G AC B --为钝角，231cos ,23221n p a a ∴=---+ 先增大后减小， 故二面角G AC B --先减小后增大，故D 错误. 故选：D 【点睛】 思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.2．D解析：D 【分析】取AC 的中点E ，连接BE,DE,证明BE 垂直于平面ACD ，以点E 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD 和平面CDA 的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦. 【详解】如图示，取AC 中点E ，连结BE 、DE ，在正三角形ACB 与正三角形ACD 中， BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，因为面ACB ⊥面ACD ，面ACB 面=ACD AC ，所以BE ⊥面ADC ,以E 为原点，ED 为x 轴正方向，EC 为y 轴正方向，EB 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC =2，则())()()(0,0,0,,0,1,0,0,1,0,E DC A B -,平面ACD的一个法向量为(EB = 而()()0,1,3,3,1,0CB CD =-=-，设(),,n x y z =为面BCD 的一个法向量，则：·0·0n CB nDC ⎧=⎨=⎩即 00y y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令x =1，则()1,3,1n = 设二面角B CD A --的平面角为θ，则θ为锐角，所以cos |cos ,||||||||3EB n EB n EB n θ⋅====. 故选：D 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.3．A解析：A 【分析】利用向量三角形法则与向量共线定理可得：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-，代入即可得出．【详解】解：已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，利用向量三角形法则和向量共线定理得出：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-， ∴112()()333DE AC AB AD AB c a b →→→→→→→→=---=-+，即：2133DE a b c →→→→=-++.故选：A. 【点睛】本题考查向量的三角形法则和向量基本定理的应用，考查了推理能力．4．D解析：D 【分析】根据三棱柱的边长和角度关系，设棱长为1，分别求得AB AC ⋅、1AB AA ⋅、1AC AA ⋅的数量积，并用1,,AA AC AB 表示出1AB 和1BC ，结合空间向量数量积的定义求得11AB BC ⋅，再求得1AB 和1BC ，即可由向量的夹角公式求得异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值. 【详解】三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，设棱长为1，则111cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602AB AA ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602AC AA ⋅=⨯⨯︒=. 11AB AB AA =+，11BC AA AC AB =+-，所以()()1111AB BC AB AA AA AC AB ⋅=+⋅+-221111AB AA AB AC AB AA AA AC AA AB =⋅+⋅-++⋅-⋅11111112222=+-++-= 而()222111123AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=，()2111BC AA AC AB=+-==，所以111111cos 62AB BC AB BC AB BC ⋅<⋅>===⋅， 故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，空间向量数量积的定义与运算，异面直线夹角的向量求法，属于中档题.5．D解析：D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一验证即可； 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,A a a ，()1,,Ba a a ，0,0,2a E ⎛⎫⎪⎝⎭，(),,0B a a ，()0,0,0D ，()10,0,D a ，则1,,2a B E a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(),,0DB a a =，()1,0,DA a a =，()1,,BD a a a =--，设面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，所以00ax az ax ay +=⎧⎨+=⎩，取1x =，则1y z ==-，所以()1,1,1n =--，所以()()()()11111122a aB E n a =⨯-+-⨯-+-⨯=-，当2a ≠时10B E n ≠，故1B E 不一定平行面1A BD ，故A 错误；因为()()()()2115022a B E BD a a a a a a =-⨯-+-⨯-+⨯=≠，所以1B E 与1BD 不垂直，故B 错误； 111113111136C B CE B C EC C ECV V SB C a --===，故C 错误；面11CDD C 的法向量为()1,0,0m =，设直线B 1E 与平面CDD 1C 1所成的角为θ，则121222sin 312m B E m B Ea a a θ===⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭，所以25cos 1sin θθ=-= 所以2sin 253tan cos 5θθθ===，故D 正确； 故选：D【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.6．C解析：C 【分析】由11,BD AD AB AA =-+平方，根据向量的数量积运算法则及性质可求出1||BD . 【详解】 如图：由11,BD AD AB AA =-+2211()BD AD AB AA ∴=-+222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++-⋅-⋅+⋅21111211cos 45cos60c 12161os 0︒︒︒-⨯⨯=⨯+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 32=-,13||2BD ∴=-故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的加法法则、向量数量积运算性质、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．A解析：A 【分析】根据空间向量的线性运算，得出AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，结合题意，即可求出11,2y z ==，从而得出x y z ++的值. 【详解】解：由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++， 则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==，151122x y z ∴++=++=. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量的基本定理的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题.8．B解析：B 【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围. 【详解】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2.故选：B . 【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.9．B解析：B 【分析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为14，求出t 的值，由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则)3,1,0A，()0,0,0B ， ()0,2,0C ，33,22E t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，31,22F t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 31,22AE t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BF t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，因为AE 和BF BF 所成角的余弦值为14， 所以222112cos ,411t AE BF AE BF AE BFt t -⋅===++， 解得：1t =所以31,12AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，平面11BCC B 的法向量()1,0,0n =，所以AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为362sin 421AE nAE nα⋅===⨯ 故选：B 【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，属于中档题.10．B解析：B 【分析】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，由()()2211BD BA BB BC =++222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解.【详解】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，所以111111cos120,11cos6022BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=， 所以11BD BA BB BC =++， 所以()()2211BD BA BB BC =++，222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，113+22+2222⎛⎫=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以12BD =故选：B 【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由题知，a 、b 、c 三个向量共面,则存在常数,p q ，使得c pa qb =+，由此能求出结果. 【详解】因为()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，且a 、b 、c 三个向量共面, 所以存在,p q 使得c pa qb =+.所以()()7,5,2,4,32p q p q p q λ=--+- ，所以274532p q q p p q λ-=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得331765,,32777p q p q λ===-= . 故选:C. 【点睛】本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算.12．A解析：A【分析】求得EF 长度的两个临界位置的长度，由此求得EF 的取值范围. 【详解】由于ADE ∆与BCF ∆都是等边三角形，且边长为23，故高为3.当E AD B --和F BC A --趋向于0时，8332EF →--=，如下图所示.当E AD B --和F BC A --趋向于π时，83314EF →++=，如下图所示.所以EF 的取值范围是()2,14. 故选：A 【点睛】本小题主要考查空间线段长度范围的判断，考查空间想象能力，属于基础题.13．D解析：D 【分析】根据平行得到()()()()2,23,14,2,324,2,32m n n λλλλ-=--=--，计算得到答案. 【详解】()2,23,1a m =-，()4,2,32b n =--，//a b ，则λab ，即()()()()2,23,14,2,324,2,32m n n λλλλ-=--=--故()24232132m n λλλ⎧=-⎪-=⎨⎪=-⎩解得1,1,02m n λ=-==，故0mn =故选：D 【点睛】本题考查了根据向量平行计算参数，意在考查学生的计算能力.二、填空题14．【分析】首先可证平面PAC 则BD 与平面PAC 所成角为所以当D 为PC 的中点时取得最大值如图建立空间直角坐标系利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：因为PAABAC 两两垂直所以平面PAC 则BD 与 解析：311【分析】首先可证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，所以当D 为PC 的中点时ADB ∠取得最大值，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值； 【详解】解：因为PA ，AB ，AC 两两垂直，PA AC A =所以AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠， 所以3tan AB ADB AD AD∠==， 当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值在等腰Rt PAC △中， 当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，以A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ， 则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC=-，(3,2,0)BC =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=， 即220320y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令3y =，得(2,3,3)n =.因为311cos ,11222n AD 〈〉==⨯， 所以AD 与平面PBC 311. 311【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．15．【分析】首先然后利用向量数量积表示向量的模计算的长度【详解】由条件可知故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查空间几何中长度的计算本题的关键点是分析出从而利用数量积表示比较容易计算结果解析：【分析】首先CD CA AB BD =++，然后利用向量数量积表示向量的模，计算CD 的长度. 【详解】CD CA AB BD =++， ()(22222CD CA AB BDCA AB BD CA AB CA BD ∴=++=+++⋅+⋅+由条件可知CA AB ⊥，CA BD ⊥，AB BD ⊥，()22229CD CA AB BD CA AB BD ∴=++=++==故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查空间几何中长度的计算，本题的关键点是分析出CA AB ⊥，CA BD ⊥，ABBD ⊥，从而利用数量积表示CD ，比较容易计算结果.16．【分析】取BC 的中点E 连接AE 证明面可得就是与平面所成的角解直角三角形即可【详解】如上图取BC 的中点E 连接AE 则∵正三棱柱中面面面面∴面∴就是与平面所成的角不妨设正三棱柱的所有棱长都为2则在中故答案解析：4【分析】取BC 的中点E ，连接1C E ，AE ，证明AE ⊥面11BB C C ，可得1E AC ∠就是1AC 与平面11BB C C 所成的角，解直角三角形1AC E 即可．【详解】如上图，取BC 的中点E ，连接1C E ，AE ，则AE BC ⊥， ∵正三棱柱111ABC A B C -中，面ABC ⊥面11BB C C ，面ABC 面11BB C C BC =，∴AE ⊥面11BB C C ，∴1E AC ∠就是1AC 与平面11BB C C 所成的角，不妨设正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，则15C E =122AC = 在1Rt AC E ∆中，111510cos 422C E AC E AC ∠===. 故答案为：104. 【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.17．【分析】根据平方得到计算得到答案【详解】故解得故答案为：【点睛】本题考查了平行六面体的棱长意在考查学生的计算能力和空间想象能力 解析：13【分析】根据11AC AB AD AA =+-，平方得到2224c c +-=，计算得到答案. 【详解】11AC AB AD AA =+-， 故2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA =+-=+++⋅-⋅-⋅ 2224c c =+-=，解得31c =.31. 【点睛】本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18．【分析】由于平面不是特殊的平面故建系用法向量求解以为原点建系正方体三边为坐标轴求出平面的法向量求解面对角线和的夹角即可求得答案【详解】以点为原点所在直线为轴所在直线为轴所在直线为轴设正方体棱长为2如 解析：4【分析】由于平面1A ECF 不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以D 为原点建系,正方体三边为坐标轴,求出平面1A ECF 的法向量n ,求解面对角线和n 的夹角,即可求得答案. 【详解】以点D 为原点,AD 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,1DD 所在直线为z 轴 设正方体棱长为2,如图:则(2,0,0),(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A D B C1111(2,0,2),(2,2,2,),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ,(2,1,0),(0,1,2)E F ∴ 1(2,1,0),((0,1,2),(2,2,0)EC A E AC =-==-1(2,2,0),(2,0,2)BD BC =--=-- 11(0,2,2),(0,2,2)B A A B =--=-当面对角线与截面1A ECF 成60︒角,∴ 需保证直线与法向量的夹角为30︒,即其余弦值3±设平面1A ECF 的法向量(,,)n x y z =100n EC n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得:2020y z x y -=⎧⎨-+=⎩ ,取2y = ∴ (1,2,1)n = ,则||6n =33cos ,||||86n AC AC n n AC ⋅<>===≠⋅⋅3cos ,286BD n <>==⨯ 13cos ,286B C n <>=≠±⋅ 13cos ,86B A n <>==⋅1cos ,A B n <>=≠ 当两条面对角线平行时,求解其中一条与面1A ECF 的法向量n 夹角即可.平面11AA D D 中1AD 与EF 平行,故不符合题意.综上所述,符合题意的面对角线为:1111,,,BD B D AB DC 共4条.故答案为:4.【点睛】本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题. 19．【分析】由题知：再给式子平方即可求出的长度【详解】如图由题意可知所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度解题时要认真审题注意向量法的合理应用属于中档题【分析】由题知：11AC AB AD AA =++，再给式子平方即可求出1AC 的长度【详解】如图，由题意可知，111AC AB AD CC AB AD AA =++=++，所以1221())(AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA +=++++ 1112(cos 60cos 60cos 60)6+++++==.所以16AC =【点睛】 本题主要考查利用向量法求线段长度，解题时要认真审题，注意向量法的合理应用.属于中档题.20．【分析】由题意可得根据线面平行可得则进而得到解得即可【详解】解：由题意可得则解得【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系根据线面平行线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直考查了空间向 解析：1-【分析】由题意可得，根据线面平行可得d n ⊥，则=0d n ，进而得到4950m +-=，解得即可.【详解】解：由题意可得d n ⊥，则4950m +-=解得1m =-【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.21．【分析】由题意以为坐标原点为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系求得以当即为中点时求得和平面的一个法向量为利用向量的夹角公式即可求解【详解】由题意以为坐标原点为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则所以当即 解析：13【分析】由题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求得以当1x =，即P 为11C D 中点时，求得(0,1,2)OP =和平面11A ACC 的一个法向量为BD ，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()1,1,0O ，设()(),2,202P x x ≤≤．则OP == 所以当1x =，即P 为11C D 中点时，OP此时点(1,2,2)P ，所以(0,1,2)OP =,又由BD ⊥平面11A ACC ，且(2,2,0)BD =-,即平面11A ACC 的一个法向量为(2,2,0)BD =-，设OP 与平面11A ACC 所成的角为θ，由线面角的公式可得sin cos ,210OP BDOP BD OP BD θ⋅====⋅, 因为(0,)2πθ∈，由三角函数的基本关系式，可得1tan 3θ=.【点睛】本题主要考查了空间向量在空间角的求解中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，确定出点P 的位置，再利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22．【分析】作出图形设然后以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得直线和所成角的余弦值【详解】设由于平面以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则因此直线 解析：25【分析】作出图形，设12AB AC AA ===，然后以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线BE 和CF 所成角的余弦值.【详解】设12AB AC AA ===，由于1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()2,0,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1E 、()0,1,2F ，()2,0,1BE =-，()0,1,2CF =-， 2cos ,55BE CFBE CF BE CF ⋅<>===⋅. 因此，直线BE 和CF 所成角的余弦值为25. 故答案为：25. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.23．或【分析】由公式结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数的方程解出该方程可得出实数的值【详解】则解得或故答案为或【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列 解析：2或1227-. 【分析】 由公式4cos ,9a ba b a b ⋅==⋅结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数λ的方程，解出该方程可得出实数λ的值. 【详解】()1,2,a λ=，()2,2,1b =-，246a b λλ⋅=+-=-，25a λ=+，3b =， 24cos ,9a ba b a b λ⋅===+⋅，则606λλ->⇒<，解得2λ=或1227-. 故答案为2或1227-. 【点睛】 本题考查空间向量数量积的坐标运算，解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.24．【解析】由题意连接则故答案为解析：1131234AB AC AD --+ 【解析】由题意，连接AE ，则32 43GE AE AG AB BD AM =-=+- 321432AB AD AB AB AC =+--⨯+（）（）． 1131234AB AC AD =--+ . 故答案为1131234AB AC AD --+. 25．【分析】利用向量的加法公式得出再由得出的值即可得出的和【详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量属于中档题解析：78【分析】利用向量的加法公式得出111222MN OA OB OC =-++，再由1324OG OM MG OA MN =+=+，得出,,x y z 的值，即可得出,,x y z 的和. 【详解】 MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++ 133,,888x y z ∴=== 即78x y z ++=故答案为：78 【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题. 26．【分析】根据题意建立空间直角坐标系设出的长写出各个点的坐标求得平面与平面的法向量利用法向量及二面角大小求得的等量关系即可判断当取最小时各自的长即可求得的正切值进而求得的大小【详解】因为三棱柱中两两互 解析：6π【分析】根据题意,建立空间直角坐标系,设出,CN BM 的长,写出各个点的坐标,求得平面AMN 与平面ABC 的法向量,利用法向量及二面角大小,求得,CN BM 的等量关系.即可判断当1B M 取最小时,CN BM 各自的长.即可求得AMB ∠的正切值,进而求得AMB ∠的大小.【详解】因为三棱柱111ABC A B C -中,AB ,AC ,1AA 两两互相垂直,建立如下图所示的空间直角坐标系:122AA AB AC ==,M ,N 是线段1BB ,1CC 上的点可设,,1BM a CN b AB ===,则12,1AA AB ==所以()()0,0,0,1,0,0A B ,()()1,0,,0,1,M a N b则()()1,0,,0,1,AM a AN b ==设平面AMN 的法向量为(),,m x y z =则00AM m AN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得00x az y bz +=⎧⎨+=⎩,令1z =代入解得x a y b =-⎧⎨=-⎩ 所以(),,1m a b =--平面ABC 的法向量()0,0,1n =由题意可知平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π 则由平面向量数量积定义可知22cos31m n m n a b π⋅==⋅++ 化简可得223a b += 1B M 最小值,即a 取得最大值,当0b =时,a 取得最大值为3a = 所以3tan 33AB AMB MB ∠=== 所以6AMB π∠=故答案为:6【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用,由法向量法结合二面角求值,属于中档题.。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(含答案解析)
一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A ．85B ．97C ．12D ．230 2．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（ ）A ．25B ．105C ．155D ．2153．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC 的值为（ ）A ．0B ．22C ．12-D ．124．若直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，则1l 与2l 的位置关系是（ ）A ．12l l ⊥B ．12l lC ．1l 、2l 相交不垂直D ．不能确定 5．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为,3π=,,a AB b CD =则=a b ⋅A ．5-B ．1-C ．3-D ．6-6．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21=S S 且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠7．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A ．76 B ．75 C ．72 D ．748．三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是边长为2的菱形， 1160,CBB BC ︒∠=交1BC 于点,O AO ⊥侧面11BB C C ，且 1AB C 为等腰直角三角形．若建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则点1A 的坐标为（ ）A ．(1,3,2)-B ．(3,1,1)-C ．(1,2,3)-D ．(2,1,3)- 9．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．1010-B ．1510-C ．1010D ．151010．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>> 11．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（ ）A ．455B ．2C ．22D ．312．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）A ．53B ．23C ．56D ．52二、填空题13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若DG EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为______．14．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H.且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．15．如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-中，1,2,AB AD AA BAD BAA ===∠=∠''60DAA =='∠，则AC '的长为__________16．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．17．若空间直角坐标系中点()()2,5,1,1,4,2,C(3,3,)A B m n -----+-在同一条直线上，则m n +=_________．18．如图，已知平面α⊥平面β，A ，B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA β⊂，CB β⊂，且DA AB ⊥，CB AB ⊥，4=AD ，8BC =，6AB =，在平面α内有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB △的面积的最大值是______．19．在直三棱柱111ABC A B C -中,若1BAC 90,ABAC AA ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于_________20．已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是11B C 和11C D的中点，点1A 到平面DBEF 的距离为________________．三、解答题21．在几何体111ABC A B C -中，点1A 、1B 、1C 在平面ABC 内的正投影分别为A 、B 、C ，且AB BC ⊥，114AA BB ==，12AB BC CC ===，E 为1AB 的中点.（1）求证：//CE 平面111A B C ；（2）求二面角11B AC C --的大小.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，223AB DC ==，AC BD F ⋂=，且PAD △与ABD △均为正三角形，AE 为PAD △的中线，点G 在线段AE ，且2AG GE =.（1）求证：GF //平面PDC ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值. 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面//ABCD AB CD AD CD ⊥，，，且22AD CD PD AB ====.（I ）求证：AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角P BC A --的余弦值.24．如图，三棱台111ABC A B C -中，,30AB BC ACB ︒⊥∠=，侧面11ACC A 为等腰梯形，11112224AC AA AC C C ====，13A B =.（1）求证：1AC A B ⊥.（2）求直线1BC 与平面11ACC A所成角的正弦值. 25．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.（1）PB ∥平面AEC ；（2）设PA =1，ABC ∠60︒=，三棱锥E -ACD 3，求二面角D -AE -C 的余弦值. 26．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面,ABC 24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点.（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++， ∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c '=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=85AC '=．故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算． 2．C解析：C【分析】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ，则()2,1,0AG =，(3AE =，()2,1,0BG =-，设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =， 则20230n AG x y n AE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，3z = 所以，平面AGE 的一个法向量为(1,2,3n =-， 从而10cos ,5225n BGn BG n BG ⋅<>===⨯⋅， 故直线BG 与平面AGE 2101515⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h lθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．A解析：A【分析】利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解．【详解】由题意，可知OB OC =，则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅ cos cos 33OA OC OA OB ππ=⋅-⋅1()02OA OC OB =⋅-=， 所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=.故选A ．【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．A解析：A 【分析】求出直线1l 、2l 的方向向量数量积为0，由此得到1l 与2l 的位置关系．【详解】由题意，直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-， 2640a b ⋅=-+-=，∴1l 与2l 的位置关系是12l l ⊥．故选A ．【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查运算求解能力，属于基础题． 5．B解析：B【解析】设菱形中横向单位向量为,m 纵向单位向量为n ，则111,1122m n m n ==⋅=⨯⨯=，2a AB m n ==+，32b CD m n ==-+，()()232a b m n m n ⋅=+-+=223443421m n m n -+-⋅=-+-=-，故选B. 6．D解析：D【分析】试题分析：结合其空间立体图形易知，112222=⨯⨯=S ，2312222S S ==⨯⨯=，所以23S S =且13S S ≠，故选D ．考点：空间直角坐标系及点的坐标的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式． 7．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，03M （0，0，3P （x ，y ，0）． 于是有AM =（0，13MP =（x ，y ，3 由于AM ⊥MP ，所以（0，1，32）•（x ，y ，32-0， 即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2371()4-=． 故选C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题8．B解析：B 【分析】作1A D ⊥平面11BB C C 于点 D ，连接1B D ，1,C D OD ，则点1A 与点 D 的横纵坐标相同，点1A 竖坐标的值为1A D 的长度，由1//AA 平面 11BBC C ，得到A 和1A 到平面11BB C C 的距离相等．由 1//AD AO ，则1A 竖坐标的值为AO 的长度,由111//,OC C D OC C D OB ==，得到 11DB OC 为平行四边形，然后由1AB C 为等腰直角三角形面11BB C C 是边长为2的菱形， 160CBB ︒∠=求得坐标即可. 【详解】 如图所示，作1A D ⊥平面11BB C C 于点 D ，连接1B D ，1,C D OD ， 则点1A 与点D 的横纵坐标相同，点1A 竖坐标的值为1A D 的长度， 因为111//,AA CC CC ⊂平面 111,BB C C AA ⊄平面11BB C C ， 所以1//AA 平面11BB C C ，所以A 和1A 到平面11BBC C 的距离相等．而1A D ⊥平面11,BB C C AO ⊥平面 11BB C C ， 所以1A D AO =，1//A D AO ， 所以1AODA 为平行四边形， 所以11//,AA OD AA OD =， 所以11//,OD CC OD CC =， 所以1OCC D 为平行四边形． 所以111//,OC C D OC C D OB ==， 所以11DB OC 为平行四边形， 所以111,,B D OC C D OB ==．而在边长为2的菱形11CC B B 中，160CBB ︒∠=，所以111OC BO OC OB ===．所以点D 的坐标为(,0)， 而1AB C 为等腰直角三角形， 所以11OA OC OB ===，故点1A 的坐标为(,1)． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查直线，平面间的平行关系以及平面几何图形的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.9．C解析：C 【分析】本题首先可以根据题意建立空间直角坐标系，然后根据2AB =以及11BC CC ==得出12,0,1AB 、()10,1,1BC =，最后根据1111cos θAB BC AB BC 即可得出结果.【详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，且90ABC ∠=︒，所以可以以B 为原点、AB 为x 轴、BC 为y 轴、1BB 为z 轴构建空间直角坐标系， 如图：因为2AB =，11BC CC ==，所以()2,0,0A ，()10,0,1B ，()0,0,0B ，()10,1,1C ， 故12,0,1AB ，()10,1,1BC =，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则1111110cos θ1052AB BC AB BC ， 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，可借助空间向量来求解，能否合理的构建空间直角坐标系是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.10．D解析：D 【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案． 【详解】解：因为1AB AC ==，12BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，022)，1(2O ，12，0)，(0E ，02，1(1B ，12)， 111(,2)22OB =，112(,22OE =--，1122(,22OF =-，12EB =，2)EF =，设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·2022112·022m OB x y z m OE x y ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-，同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--， 平面OEF 的法向量272(,,3)22p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos 61||||m n m n α==，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11．D解析：D 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y ，根据110B P D E ⋅=得出x 、y 满足的关系式，并求出y 的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1B P 的最大值. 【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,2,2B 、()10,0,2D 、()1,2,0E ，设点()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤，()11,2,2D E =-，()12,2,2B P x y =---，11D E B P ⊥，()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=，得22x y =-，由0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，得01y ≤≤，()()2221224548B P x y y y ∴=-+-+=-+，01y ≤≤，当1y =时，1B P 取得最大值3.故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【分析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解. 【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AACC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=，∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+，∴MN 最小值为故选：A. 【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题.二、填空题13．【分析】建立空间直角坐标系设出的坐标求出向量利用求得关系式写出的表达式然后利用二次函数求最值即可【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系则由于则所以所以所以当时线段长度的最小值是当时线段长度的最大解析：5【分析】建立空间直角坐标系，设出F 、D 的坐标，求出向量DG ，EF ，利用GD EF ⊥求得关系式，写出DF 的表达式，然后利用二次函数求最值即可． 【详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，1(0,1,)2E ，1(,0,1)2G ，(,0,0)F x ，(0,,0)D y ， 由于GD EF ⊥，则0GD EF ⋅=，所以210x y +-=， 所以(,,0)(21,)DF x y y y =-=-+-，所以2DF x ===， 当25y =时，线段DF当0y =时，线段DF 长度的最大值是1， 而不包括端点，故0y =不能取；故答案为：5．【点睛】本题主要考查了点、线、面间的距离计算、棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识，着重考查了空间想象能力，以及运算求解能力，属于基础题．14．【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角 解析：452【解析】 【分析】利用SB 平面DEFH 可以得到DH SB ，从而H 为SA 中点，同理可得F 为SC 中点，再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥，故四边形HDEF 为矩形，从而可计算其面积． 【详解】因为SA SB SC ==，故S 在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC ∆为等边三角形，故S 在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以SB AC ⊥．因SB 平面DEFH ，SB ⊂平面ABS ，平面ABS 平面DEFH DH =，故SB DH ，因AD DB =，故AH HS =，1,2DH BS DH BS =，同理1,2EF BS EF BS =， 故,DHEF DH EF =，所以四边形DEFH 为平行四边形，又由,D E 为中点可得DE AC ，故DH DE ⊥，故四边形DEFH 为矩形．又153,2DE DH ==，故矩形DEFH 的面积为452． 【点睛】（1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心． （2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．15．【解析】所以 解析：11【解析】22222||222AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC =++=+++⋅+⋅'''⋅'+' 222000112211cos60221cos60212cos6011=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=所以11AC ='16．（）（）（）【解析】（）中①⑤②④③⑥相对（）中①④②⑤③⑥相对（）中①④②⑤③⑥相对（）中①④②⑤③⑥相对点睛：先由几何体的展开图还原几何体的形状根据熟悉的柱锥台球的图形明确几何体的展开对应关系结解析：（2）（3）（4） 【解析】（1）中①⑤、②④、③⑥相对， （2）中①④、②⑤、③⑥相对， （3）中①④、②⑤、③⑥相对， （4）中①④、②⑤、③⑥相对． 点睛：先由几何体的展开图还原几何体的形状．根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图．再在具体几何体中研究对应线面位置关系17．-10【解析】试题分析：因为点共线所以共线则解得所以考点：点共线与向量共线解析： -10 【解析】试题分析：(3,1,1)AB =--，(1,2,1)AC m n =++，因为点,,A B C 共线，所以,AB AC 共线，则121311m n ++==--，解得，所以10m n +=-．考点：点共线与向量共线．18．12【解析】解析：12 【解析】314 219．【分析】建立空间直角坐标系分别求得再利用即可得到所求角大小【详解】三棱柱为直三棱柱且以点为坐标原点分别以为轴建立空间直角坐标系设则又异面直线所成的角在异面直线与所成的角等于【点睛】本题考查了异面直线解析：60【分析】建立空间直角坐标系分别求得1=(0,1,1)BA，1(1,0,1)AC，再利用111111,cosBA ACBA ACBA AC即可得到所求角大小．【详解】三棱柱111ABC A B C-为直三棱柱,且BAC90︒∠=∴以点A为坐标原点，分别以AC，AB，1AA为,,x y z轴建立空间直角坐标系设1=1AB AC AA==，则(0,0,0)A ,(0,1,0)B ,1(0,0,1)A,1(1,0,1)C1=(0,1,1)BA，1(1,0,1)AC∴1111110110111co2,s22BA ACBA ACBA AC又异面直线所成的角在（0,90]∴异面直线1BA与1AC所成的角等于60︒．【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题．20．1【分析】以D点为原点的方向分别为轴建立空间直角坐标系求出各顶点的坐标进而求出平面的法向量代入向量点到平面的距离公式即可求解【详解】以为坐标原点的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系则所以设是平解析：1【分析】以D点为原点，1,,DA DC DD的方向分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDEF的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解．【详解】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(0,,1)2F ， 所以(1,1,0)DB =，1(0,,1)2DF，1(1,0,1)A D =--， 设 (,,)x y z =m 是平面BDFE 的法向量，则m DB m DF⎧⊥⎨⊥⎩，即0102m DB x y m DF y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1y =，可得112x z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故1(1,1,)2m =--， 设点A 在平面BDFE 上的射影为H ，连接1A D ，则1A D 是平面BDFE 的斜线段，所以点1A 到平面BEFE的距离1111A D m d m+⋅===．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）56π. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明平面111A B C 法向量与向量CE 垂直. （2）求二面角两个半平面的法向量所成角即可. 【详解】（1）因为点1B 在平面ABC 内的正投影为B ，所以1B B BA ⊥，1B BBC ，又AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -，()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,4A ，()10,0,4B ，()10,2,2C ，()1,0,2E ，设平面111A B C 的法向量()1,,n x y z =，()112,0,0A B =-，()110,2,2B C =-， 即20,220,x y z -=⎧⎨-=⎩取1y =，得1(0,1,1)n =，又()1,2,2CE =-，()10112210CE n ⋅=⨯+⨯-+⨯=， 所以1CE n ⊥，又CE ⊄平面111A B C 所以//CE 平面111A B C ；（2）设平面111A B C 的法向量()2,,n x y z =，()12,0,4B A =-，()110,2,2B C =-，即240,220,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1y =，得()22,1,1n =， 同理可求平面1ACC 的法向量()31,1,0n =， 所以2323233cos ,2n n n n n n ⋅==⋅，由图知二面角11B AC C --的平面角是钝角， 所以二面角11B AC C --的平面角是56π. 【点睛】关键点睛：利用题设垂直条件，建立空间直角坐标系. 22．（1）证明见解析；（293. 【分析】（1）连结EC ，证明GF ∥EC ，GF //平面PDC 即得证；（2））取AD 的中点O ，连结PO ，证明PO ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值.解：（1）连结EC ，DC ∥AB∴2AF ABFC CD==， 2AGGE=∴GF ∥EC ， EC ⊂平面PDC ,GF ⊄平面PDC ∴GF ∥平面PDC .（2）取AD 的中点O ，连结PO ，易知,,P G O 三点共线且PO AD ⊥， 平面PAD ⊥平面ABCD 且AD 为交线，∴PO ⊥平面ABCD ，连结BO ，易知BO AD ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面PAD 的法向量1(0,1,0)n →=， 易知(0,0,1)G ，(0,3,0)B ，333(,0)2C ， ∴(0,3,1)GB →=-，333(,1)22GC →=--，设面GBC 的法向量2(,,)n x y z →=， ∴223033302n GB y z n GC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令2y =，则236,z x == ∴223(3n →=- . 设所求锐二面角的平面角大小为θ，则121293cos 31n n n n θ→→→→⋅==所以平面PAD 与平面GBC 93方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n →→；再代入公式cos m nm nα→→→→=±（其中,m n →→分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号） 23．（I ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【分析】（I ）通过条件证明PD AB ⊥，AD AB ⊥，再根据线面垂直的判定定理证明出AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）以DA DC DP ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，根据平面PBC 与平面ABC 法向量夹角的余弦值求解出二面角P BC A --的余弦值. 【详解】（Ⅰ）因为PD ⊥平面ABCD AB ⊂，平面ABCD ， 所以PD AB ⊥.因为//AB CD AD CD ⊥，， 所以AD AB ⊥. 因为PD AD D ⋂=， 所以AB ⊥平面PAD .（Ⅱ）因为PD ⊥平面ABCD AD CD ⊥，，所以以D 为原点，分别以DA DC DP ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系D xyz -. 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)D A B C P ， 所以(2,1,2),(2,1,0)PB BC =-=-. 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，因为00n PB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即22020.x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，所以2,2.z x y x =⎧⎨=⎩令1x =，于是,,(1)22n =. 因为PD ⊥平面ABCD ，所以平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =，所以2cos ,3||||n m n m n m ⋅<>==⋅.由题知二面角P BC A --为锐角，所以其余弦值是23.【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值. 24．（1）证明见解析；（2334. 【分析】（1）过点B 作AC 的垂线，垂足为O ，可证1AO AC ⊥，从而得到AC ⊥平面1AOB ，即可得证；（2）求出平面11ACC A 的法向量，结合153(0,,)22CB =-．通过向量的数量积求解直线1BC 与平面11ACC A所成角的正弦值． 【详解】解：（1）如图，过点B 作AC 的垂线，垂足为O ，因为,30AB BC ACB ︒⊥∠=，11112224AC AA AC C C ==== 所以sin 302AB AC =︒=，sin 301AO AB =︒=，如图在平面四边形11ACC A 中，过1A 作1A M AC ⊥，1C 作1C N AC ⊥，则2MN =，1AM CN ==，所以M 与O 重合；所以190AOA ∠=︒，即1,AO AC ⊥ 则,BO AC ⊥1,AO AC ⊥1,BO AO O =1,BO AO ⊂平面1AOB ， 故AC ⊥平面1AOB . 又1A B ⊂平面1AOB ，故1AC A B ⊥. （2）以OB ､OC 所在直线为x 轴和y 轴建立空间直角坐标系.由（1）可得1AOB ∠为二面角1A AC B --的平面角， 由于113,3,3AO BO A B ==，则22211111cos 22AO BO A B AOB AO BO+-∠==-⋅， 10180AOB <∠<，故1120AOB ∠=. 则(0,1,0),(3,0,0),(0,3,0),A B C -133()2A . 考虑到()3,1,0AB =，则11131,0222A B AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 从而1113331,,022B B B x y z ⎛⎫⎫-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故点1130,,22B ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面11ACC A 的法向量为(,,)n x y z =，由于133(,0,),(0,3,0),22OA OC =-=且100n OA n OC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得30230x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，令x =0y =，1z =，()3,0,1n =∴，又153(0,,)22CB =-.设直线1BC 与平面11ACC A所成角为θ，则111sin cos ,||||n CB n CBn CB θ⋅=<>==⋅3因此，直线1BC 与平面11ACC A . 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>. 25．（1）证明见解析；（2）14. 【分析】(1 )连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，根据中位线定理可得//PB OE ，由线面平行的判定定理即可证明//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，根据24P ABCD P ACD E ACD V V V ---===2a =，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 【详解】(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 为BD 中点，E 为PD 的中点，所以//PB OE ，OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，23243P ABCD P ACD E ACD V V V ---===， 12331131323P ABCD ABCD V S PA a a -⨯⨯⨯⨯=⋅==，则2a =. 取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.()0,2,0D ，()0,0,0A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()3,1,0C10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =，由11,n AE n AC ⊥⊥，得10230y z x y ⎧+=⎪⎪+=⎩，令y =1,x z =-=- (11,n =∴--，平面ADE 的一个法向量为()21,0,0n =1212121cos<,>41n n n n n n ⋅===+⋅，即二面角D AE C --的余弦值为14. 【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n ；再代入公式cos m n m nα⋅=±（其中,m n 分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）26．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，由题中条件，推导出DO ⊥平面ABC ，//EF DO ，由此能证明EF ⊥平面ABC ；（2）以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DCE 与平面ADC 所成的角（锐角）的余弦值，即可得出正弦值. 【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，∵在DAC △中，DA DC =，∴DO AC ⊥，∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，得DO ⊥平面ABC ， ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =， 又//DE AB ，2AB DE =，所以OF DE =， ∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ， ∴EF ⊥平面ABC ；（2）∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ， 所以BC ⊥平面ADC ；∴以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点， 则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -，∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角为60EBF ∠=︒， ∴tan6023DO EF BF ==︒=，∴(0,0,23D ，(1,2,23E -， 取平面ADC 的一个法向量()0,1,0m =， 设平面DCE 的一个法向量(),,n x y z =， 因为(1,0,23CD =，(0,2,23CE =，则020n CD x n CE y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得()23,n =-， ∴(()234n =-+-+=，1m =，3m n ⋅=-∴3cos ,14m n m n m n⋅-<>===⨯⋅ 即因此平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角为θ，则3cos cos ,4m n θ==，所以sin 4θ== ∴平面DCE 与平面ADC 【点睛】 方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（ ）A ．25B ．105C ．155D ．2152．已知空间三点坐标分别为A （4,1,3），B(2,3,1），C （3,7，-5），又点P （x,-1,3) 在平面ABC 内，则x 的值 （ ） A ．-4B ．1C ．10D ．113．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边43,46AB AC ==，那么下面说法正确的是（ ）A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D ABC -的体积是86C ．二面角A BCD --的正切值是423D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2174．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B 2C ．13D ．165．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量,AB CD ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD > D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD6．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（ ）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 7．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个 ①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．11+22+a b c B ．1122a b c -+ C ．1122-++a b c D ．1122+-a b c 9．已知菱形ABCD 中，∠60ABC =︒，沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为（ ）.A ．2B ．12C ．33D ．5510．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A ．3λB ．22C ．23λ D ．5511．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1PA AB BC ===，则二面角A PCB --的大小是（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒12．已知a =（λ+1，0，6），b =（2λ+1，2μ﹣1，2）．若//a b ，则λ与μ的值分别为（ ）A ．﹣5，﹣2B ．1152--，C ．5，2D ．2152-，二、填空题13．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA === ,E F 分别是,BC 11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为104，则线段BD 的长为_______．14．设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，则AB 中点M 到C 的距离CM = _______. 15．若直线l 的一个方向向量(1,3)d =，则l 与直线10x y -+=的夹角为______． 16．如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别为_____．17．已知αβ⊥，平面α与平面β的法向量分别为m ，n ，且(1,2,5)m =-，(3,6,)n z =-，则z =__________.18．已知()()()2,1,2,1,3,3,13,6,a b c λ=-=--=，若向量,,a b c 共面，则λ=_________．19．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.20．如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==.若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是__________．三、解答题21．如图，在多面体ABCDEF 中，等腰梯形ABCD 所在平面垂直于正方形CDEF 所在平面，1,2DA AB BC CD ====．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BF 与平面ADE 所成角的正弦值．22．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，,,,E F G O 分别是,,,PC BC PD AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．23．如图，在三梭柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ，11AACC 均为菱形，12AA =，1160ABB ACC ∠=∠=︒，D 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1CDB ；（Ⅱ）若60BAC ∠=︒，求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.24．如图，在三棱台111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB =，11112A B AC ==，11AB BC ⊥.（1）求1AA 的长；（2）求二面角11B AC C --的正弦值.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，60APB BPD APD ∠=∠=∠=︒，4PB PD BC CD ====，6AP =.（Ⅰ）证明：AP BD ⊥；（Ⅱ）求PC 与平面PAD 所成角的正弦值.26．如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，2AB AD CD ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD △为等腰直角三角形，90APD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ， 则()2,1,0AG =，(3AE =，()2,1,0BG =-，设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =，则2020n AG x y n AE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，z = 所以，平面AGE的一个法向量为(1,2,n =-，从而cos ,522n BG n BG n BG⋅<>===⋅， 故直线BG与平面AGE =.故选：C. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.2．D解析：D 【分析】利用平面向量的共面定理即可求出答案 【详解】(),1,3P x -点在平面ABC 内,λμ∴存在实数使得等式AP AB AC λμ=+成立()()()4,2,02,2,21,6,8x λμ∴--=--+--42226028x λμλμλμ-=--⎧⎪∴-=+⎨⎪=--⎩，消去λμ，解得11x = 故选D 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，熟练掌握平面向量的共面定理是解决本题的关键，属于基础题。
北京北关中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》检测题(有答案解析)
一、选择题1．已知正三棱锥P ABC -的侧面PAB 上动点Q 的轨迹是以P 为焦点，AB 为准线的抛物线，若点Q 到底面ABC 的距离为d ，且2PQ d =，点H 为棱PC 的中点，则直线BH 与AC 所成角的余弦值为（ ） A ．8585B ．2114C ．38585D ．321142．在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则(AE CF ⋅= ) A ．0B ．2-C ．2D ．3-3．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．904．如图，在四面体A BCD -中，已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，则DE →等于（ ）A ．2133a b c →→→-++B ．2133a b c →→→++C ．2133a b c →→→-+D ．2133a b c →→→-+5．在直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，1AB BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．3-B ．34-C ．34D ．3 6．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） A ．一个球B ．一个圆C ．半圆D ．一个点7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱AD ，1CC ，11A D 的中点，则1B P 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．3010B ．15-C ．7010D ．158．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且6AB AP ==，2AD =，60BAD BAP DAP ∠=∠=∠=︒，E ，F 分别为PB ，PC 上的点，且2PE EB =，PF FC =，EF =（ ）A ．1B ．2C ．2D ．69．空间四点()(1,0,0)010(0,0,1)(,2,3)A B C D x 、，，、、共面，则x =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．410．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．2aB ．212a C ．214a D ．234a 11．如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A ．111333OA OB OC ++ B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++ D ．111446OA OB OC ++12．在正方体1111ABCD A B C D -中，在正方形11DD C C 中有一动点P ，满足1PD PD ⊥，则直线PB 与平面11DD C C 所成角中最大角的正切值为（ ） A ．1B 2C ．312D ．51213．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为3，底面边长11111A C B C ==，且11190A C B ∠=，D 点在棱1AA 上且12AD DA =，P 点在棱1C C 上，则1PD PB ⋅的最小值为（ ）A ．52B ．14-C ．14D ．52-二、填空题14．正四面体ABCD 的棱长为a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____________.15．设a =（1，1，0），b =（﹣1，1，0），c =（1，0，1），d =（0，0，1），,,,a b c d 存在正交基底，则四个向量中除正交基底外的向量用正交基底表示出来并写在填空处；否则在填空处写上“无正交基底”．你的答案是_____．16．一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角均为60︒，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为_________.17．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________18．已知向量()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥-，则实数λ的值为______. 19．如图，点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ABCD PD AD 底面，⊥=，则PA 与BD 所成角的度数为____________.20．正四面体ABCD 的棱长为2，半径为2的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅的最小值是__________．21．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4),(4,2,0),AB AD =--=(1,2,1)AP =--，对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD .其中正确的说法的序号是__________．22．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱111,,AA BC C D 的中点，设M 是该正方体表面上的一点，若(,)EM xEF yEG x y =+∈R ，则点M 的轨迹所形成的长度是________．23．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，14AA AB AC ===，点E 为棱1CC 上一点，且异面直线1A B 与AE 130CE 的长为______. 24．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1B B ，CD 的中点，有以下命题： ①//MN 平面1A BD ；②1MN CD ⊥；③平面1A MN ⊥平面1A AC ， 则正确命题的序号为______.25．已知直线l 的一个方向向量为()2,8,1m =--，平面α的一个法向量为1,,22n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//l α，则实数t =______.26．在△ABC 中，A （1，﹣1，2），B （2，1，1），C （﹣1，2，3），若向量n 与平面ABC 垂直，且n ＝15，则n 的坐标为_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求直线BH 与AC 所成角的余弦值 【详解】设△ABC 的中心为O ，如图示：以OA 为x 轴，过O 平行于BC 的Oy 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，不妨设|BC |=2，则有：()23330,0,0,,,1,0,,1,0333O A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭过Q 作QD ⊥底面ABC 于D ,QE ⊥AB 于E ，由抛物线的定义知：|QE |=|PD |=2d ，|QD |=d . 在Rt △QDE 中，∠QDE =90°，所以°s 1in ,302QD QDE QDE QE ∠==∴∠=， 即侧面于底面所成的二面角为30°. 设()0,0,P z 则有31333z ==， 所以()311331,,,,,3,1,0,626626H BH AC ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设直线BH 与AC 所成角为θ，则||cos |cos ,|||||BH AC BH AC BH AC θ==⨯(()()()()22222233|310|331310626⎛⎫+-⨯-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⨯-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭38585=即直线BH 与AC 所成角的余弦值为385故选：C 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．B解析：B 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用AB AC 、与CA CD 、表示出向量AE 与CF ，利用数量积的运算法则求解即可求． 【详解】如图所示，棱长为2的正四面体ABCD 中， 因为,E F 分别是,BC AD 的中点， 所以()()1122AE CF AB AC CA CD ⋅=+⋅+ ()14AB CA AB CD AC CA AC CD =⋅+⋅+⋅+⋅ ()122cos12022cos9022cos18022cos1204=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2=-，故选B ． 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算与数量积的运算法则，是基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.3．D解析：D 【分析】设向量12PP 与13PP 的夹角为θ，计算出向量12PP 与13PP 的坐标，然后由12131213cos PP PP PP PP θ⋅=⋅计算出cos θ的值，可得出θ的值.【详解】设向量12PP 与13PP 的夹角为θ， ()()()123,1,01,1,22,2,2PP =--=-，()()()130,1,31,1,21,2,1PP =--=-，则12131213cos 0PP PP PP PP θ⋅==⋅，所以，90θ=，故选D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.4．A解析：A 【分析】利用向量三角形法则与向量共线定理可得：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-，代入即可得出．【详解】解：已知AD a →→=，AB b →→=，AC c →→=，12BE EC →→=，利用向量三角形法则和向量共线定理得出：DE BE BD →→→=-，13BE BC →→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→=-，∴112()()333DE AC AB AD AB c a b →→→→→→→→=---=-+，即：2133DE a b c →→→→=-++.故选：A. 【点睛】本题考查向量的三角形法则和向量基本定理的应用，考查了推理能力．5．C解析：C 【分析】作出图形，分别取AC 、11A C 的中点O 、1O ，连接OB 、1OO ，然后以点O 为坐标原点，OA 、OB 、1OO 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设12AB BC CC ===，利用空间向量法可求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值.【详解】设12AB BC CC ===，分别取AC 、11A C 的中点O 、1O ，连接OB 、1OO ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC A C 且11AC A C =，O 、1O 分别为AC 、11A C 的中点，所以，11//AO AO 且11AO A O =，所以，四边形11AAO O 为平行四边形，11//OO AA ∴，1AA ⊥底面ABC ，1OO ∴⊥底面ABC ，AB BC =，O 为AC 的中点，OB AC ∴⊥，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、1OO 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，由于120ABC ∠=，则()3,0,0A、()0,1,0B、()10,1,2B 、()13,0,2C -，()13,1,2AB =-，()13,1,2BC =--， 1111113cos ,42222AB BC AB BC AB BC ⋅===⨯⋅，因此，异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为34. 故选：C.【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.6．B解析：B 【分析】利用共面向量的概念及向量的模即可得答案． 【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆． 故选：B ． 【点睛】本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题．7．A解析：A 【分析】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出1B P 和MN 的坐标，设1B P 与MN 所成的角为θ，利用11cos B P MN B P MNθ=⋅⋅即可求解.【详解】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,1,0M ，()2,2,1N ，()12,0,2B ，()0,1,2P ， 所以()12,1,0B P =-，()2,1,1MN =， 设1B P 与MN 所成的角为θ， 所以1122130cos 1056B P MN B P MNθ=⋅-⨯+==⨯⋅， 1B P 与MN 所成角的余弦值为3010，故选：A 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.8．B解析：B 【分析】把EF 用,,AB AD AP 表示出来，然后平方转化为数量积求模． 【详解】∵2PE EB =，PF FC =，∴1132EF EB BA AP PF BP AB AP PC =+++=--++ 1111()()()()3232AP AB AB AP AB BC AP AP AB AB AP AB AD AP =--+++-=---+++-111626AB AD AP =-++，又62cos606AB AD AP AD ⋅=⋅=⨯⨯︒=，66cos6018AB AP ⋅=⨯⨯︒=， ∴222211111111162636436618EF AB AD AP AB AD AP AB AD AB AP AD AP⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅ ⎪=． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：本题考查求向量的模，解题方法是用基底表示出向量，然后平方把模转化为数量积计算，本题在用基底表示向量时直接用向量的加法法则和数乘定义，如果结合减法可以更加容易理解，直接表示为：EF AF AE =-，再结合线性运算的结论分别基底去表示,AE AF ．9．A解析：A 【分析】由于四点A ，B ，C ，D 共面，可得存在实数λ，μ使得AD AB AC λμ=+，解出即可．【详解】(1,1,0),(1,0,1),(1,2,3)AB AC AD x =-=-=-，∵四点A ，B ，C ，D 共面，∴存在实数λ，μ使得AD AB AC λμ=+，(1,2,3)(1,1,0)(1,0,1)x λμ∴-=-+-123x λμλμ-=--⎧⎪∴=⎨⎪=⎩解得4x =-故选：A【点睛】本题主要考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于容易题．10．C解析：C【分析】把要求数量积的两个向量表示成以四面体的棱长为基底的向量的表示形式，写出向量的数量积，问题转化成四面体的棱之间的关系，因为棱长和夹角已知，得到结果．【详解】 解：11()22AEAF AB AC AD =+ 1()4AB AD AC AD =+ 1(cos60cos60)4a a a a =⨯⨯︒+⨯⨯︒ 2221111()4224a a a =+= 故选：C.【点睛】本题考查空间向量的数量积，解题的关键是把要用的向量写成以已知几何体的一个顶点为起点的向量为基地的形式，再进行运算．11．C解析：C【分析】因为在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,12OE OA AD =+,即可求得答案.【详解】在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点 ∴12OG OA AD =+ 11()22OA AB AC =+⨯+ 1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+- 111244OA OB OC =++ 故选:C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.12．D解析：D【分析】根据题意,可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点.由BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角可知当PC 取得最小值时,PB 与平面11DD C C 所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,与半圆的交点为P ,此时PC 取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得PC ,进而求得tan BPC ∠.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中,正方形11DD C C 内的点P 满足1PD PD ⊥可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:当直线PB 与平面11DD C C 所成最大角时,点P 位于圆心E 与C 点连线上此时PC 取得最小值.则BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角设正方体的边长为2,则51PC EC EP =-=-,2BC =所以51tan 51BC BPC PC +∠===- 故选:D【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题. 13．B解析：B【分析】由题易知1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设()03PC a a =≤≤，可知()0,0,P a ，进而可得1,PD PB 的坐标，然后求得1PD PB ⋅的表达式，求出最小值即可.【详解】由题意可知，1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,1,3B ，()1,0,2D ，设()03PC a a =≤≤，则()0,0,P a ，所以()1,0,2P a D =-，()10,1,3a PB =-，则()()2151002324a a a PD PB ⎛⎫=++--=-- ⎪⎝⋅⎭， 当52a =时，1PD PB ⋅取得最小值14-. 故选：B.【点睛】本题考查两个向量的数量积的应用，考查向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属二、填空题14．【分析】结合由数量积定义计算【详解】正四面体中点EF 分别是BCAD 的中点连接则而所以平面又平面所以即所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计 解析：24a 【分析】AE AB BE =+，结合AD BC ⊥，由数量积定义计算．【详解】 正四面体ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接,AE DE ，则,BC AE BC DE ⊥⊥，而AE DE E =，所以BC ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥，即AF BE ⊥，所以21()cos 6024a AE AF AB BE AF AB AF BE AF a a ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯︒=． 故答案为：24a ．【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算，解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计算的向量，然后由数量积定义计算，是基本方法，实质上也可以应用空间向量基本定理表示向量，把向量的运算转化为空间向量的基底进行运算．15．【分析】四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底除正交基底外的向量用正交基底表示出来【详解】1100若共面则存在使得化简得：无解故不共面则为正交基底设则解得：故答案为：【点睛】本题考察了空间向 解析：1122c a bd =-+【分析】四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底，除正交基底外的向量用正交基底表【详解】(1a =，1，0)，(1b=-，1，0)，(1c =，0，1)，(0d =，0，1)，∴0a b =，0a d =，0b d =，若,,a b d共面，则存在,x y使得a xb yd=+，化简得：11xxy=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故,,a b d不共面，则a，b，d为正交基底，设c xa yb zd=++，则11x yx yz=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩，解得：11,,122x y z==-=，∴1122c a b d=-+．故答案为：1122c a b d=-+．【点睛】本题考察了空间向量的基本定理，正交分解坐标表示，属于基础题．16．【分析】设根据平行四边形法则对角线再结合条件利用向量的模即可求出对角线长【详解】解：设因为所以所以对角线故答案为:【点睛】本题考查的知识点是点线面间的距离计算考查空间两点之间的距离运算根据已知条件构解析：【分析】设AB a=，AD b=，1AA c=，根据平行四边形法则，对角线1AC a b c=++，再结合条件，利用向量的模即可求出对角线长．【详解】解：设AB a=，AD b=，1AA c=，因为11AC AB AD AA a b c=++=++，所以()222221222363636666cos60216 AC a b c a b c a b a c b c=++=+++++=+++⨯⨯⨯︒=，所以对角线166AC=故答案为:66．【点睛】本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键． 17．【分析】用表示从而求出即可求出从而得出答案【详解】点在上且为的中点故故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算运用向量的加法法则来求解属于基础题解析：13【分析】用,,a b c 表示,ON OM ，从而求出MN ，即可求出,,x y z ，从而得出答案【详解】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点22=33OM OA a ∴= ()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+- 211,,322x y z ∴=-== 故21113223x y z ++=-++= 故答案为13【点睛】 本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题 18．2【分析】由题意知向量所以由空间向量的坐标运算即可求解【详解】由题意知向量所以又由解得【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算及空间向量的数量积的运算其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式准确运算 解析：2【分析】由题意知，向量()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，由空间向量的坐标运算，即可求解．【详解】由题意知，向量()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，又由()()()()22222132112311470a a b a a b λλλλ⎛⎡⎤⋅-=-⋅=-++--⨯-+⨯+⨯=-= ⎪⎣⎦⎝⎭， 解得2λ=．【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．19．【分析】以D 为坐标原点DA 所在的直线为轴DC 所在的直线为轴DP 所在的直线为轴建立空间直角坐标系令求得利用向量的夹角公式即可求解【详解】如图所示以D 为坐标原点DA 所在的直线为轴DC 所在的直线为轴DP 所 解析：60【分析】以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，令1PD AD ==，求得()()1,0,1,1,1,0PA BD =-=--，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面,ABCD PD AD =，令1PD AD ==，所以()()()()1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0A P B D ，所以()()1,0,1,1,1,0PA BD =-=--,所以1cos 22PA BDPA BD θ⋅===⋅，所以060θ=， 即异面直线PA 与BD 所成的角为060【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．【解析】很明显当四点共面时数量积能取得最值由题意可知：则是以点D 为顶点的直角三角形且：当向量反向时取得最小值： 解析：442-【解析】很明显当,,,O D M N 四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：OD OM ON ==，则MDN △是以点D 为顶点的直角三角形，且： ()()()2420,AM AN AD DM AD DNAD AD DM DN DM DN AD DO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+ 当向量,AD DO 反向时，AM AN ⋅取得最小值：4222442-⨯=-21．①②③【解析】由在①中所以所以所以是正确的；在②中所以所以所以是正确的；在③中由于且可知是平面的法向量所以是正确的；在④中假设存在实数使得则此时无解所以是不正确的所以正确命题的序号为①②③点睛：本题解析：①②③【解析】由(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB AD AP =--==--,在①中，2240AP AB ⋅=--+=，所以AP AB ⊥，所以AP AB ⊥，所以是正确的； 在②中，4400AP AD ⋅=-++=，所以⊥AP AD ，所以AP AD ⊥，所以是正确的； 在③中，由于AP AB ⊥，AP AD ⊥，且AB AD A ⋂=，可知AP 是平面ABCD 的法向量，所以是正确的；在④中，(2,3,4)BD AD AB =-=,假设存在实数λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此时无解，所以是不正确的，所以正确命题的序号为①②③.点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.22．【分析】首先确定点的轨迹再求长度【详解】在平面上取的中点则点的轨迹是正六边形轨迹长度是正六边形的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定在平面上并能作出平面与正方体的交线 解析：32【分析】首先确定点M 的轨迹，再求长度.【详解】(,)EM xEF yEG x y =+∈R ，M ∴在平面EFG 上，取11A D ，AB ，1CC 的中点,,N H P ，则点M 的轨迹是正六边形EHFPGN ，轨迹长度是正六边形的周长，632l EN ==.故答案为：32【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定M 在平面EFG 上，并能作出平面EFG 与正方体的交线. 23．【分析】利用基向量表示出结合异面直线所成角确定点E 的位置从而可求的长也可以建立空间坐标系利用空间向量坐标求解【详解】设则因为异面直线与所成角的余弦值为所以解得所以故答案为：【点睛】关键点睛:利用空间 解析：12【分析】利用基向量表示出1,A B AE,结合异面直线所成角，确定点E 的位置，从而可求1C E 的长，也可以建立空间坐标系，利用空间向量坐标求解.【详解】设1CE C C λ= ，则11A B AB AA =-，11AE AC CE AC CC AC AA λλ=+=+=+， 142A B =，21616AE λ=+，111()()16A B AE AB AA AC AA λλ⋅=-⋅+=-. 1121cos ,22A B AEA B AE A B AE λ⋅==+,因为异面直线1A B 与AE 所成角的余弦值为130130，所以200213213λ=+. 解得18λ=，所以12CE =. 故答案为：12.【点睛】关键点睛:利用空间向量解决异面直线所成角的问题，注意向量夹角与异面直线所成角的范围的不同.24．①②【分析】建立如图所示的空间直角坐标系把空间中的平行垂直关系归结为方向向量法向量之间的关系后可得正确的选项【详解】建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2则故所以故所以故②正确又设平面的法向 解析：①②【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，把空间中的平行、垂直关系归结为方向向量、法向量之间的关系后可得正确的选项.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()()()()2,0,0,0,0,0,0,2,0,2,2,0A D C B ，()()()()11112,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2A D C B ，故()()2,2,1,0,1,0M N ，所以()2,1,1MN =---，()10,2,2CD =-，故10MN CD ⋅=，所以1MN CD ⊥，故②正确.又()2,2,0DB =，()12,0,2DA =，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =， 由100n DB n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y x z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()1,1,1n =--， 因为0MN n ⋅=且MN ⊄平面1A BD ，故//MN 平面1A BD ，故①正确.又()10,2,1A M =-，设平面1A MN 的法向量为(),,m x y z =， 由100m MN m A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y z y z ---=⎧⎨-=⎩，取1y =，则3,1,22m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 平面1A AC 的法向量为()2,2,0a =，则0m a ⋅≠故平面1A MN ⊥平面1A AC 不成立，故③错，故答案为：①②.【点睛】本题考查空间中平行关系、垂直关系的判断，注意根据几何体的特征建立合适的空间直角坐标系后再利用空间向量来处理，本题属于中档题.25．-1【解析】【分析】由直线的一个方向向量为平面的一个法向量为得到由此能求出的值【详解】∵直线的一个方向向量为平面的一个法向量为∴解得故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法考查直线的方向向量平面的法向 解析：-1【解析】【分析】由直线l 的一个方向向量为m ，平面α的一个法向量为n ，//l α，得到 0m n ⋅=，由此能求出t 的值．【详解】∵直线l 的一个方向向量为()2,8,1m =--，平面α的一个法向量为1,,22n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，//l α，∴2420m n t ⋅=--+=，解得1t =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．26．（57）或（﹣5﹣7）【分析】求出23设向量与平面垂直列出方程组能求出结果【详解】∵在△ABC 中A （1﹣12）B （211）C （﹣123）∴（12﹣1）（﹣231）设∵向量与平面ABC 垂直∴解得∵∴1解析：n =（，n =（﹣，，﹣【分析】求出(1AB =，2，1)-，(2AC =-，3，1)，设(n x =，y ，)z ，向量n 与平面ABC 垂直，15n =，列出方程组能求出结果．【详解】∵在△ABC 中，A （1，﹣1，2），B （2，1，1），C （﹣1，2，3），∴AB =（1，2，﹣1），AC =（﹣2，3，1），设(),,n x y z =∵向量n 与平面ABC 垂直，∴20230n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=+-=⎨⋅=-++=⎩，解得57x y z y =⎧⎨=⎩，∵15n =，∴=15，解得3y =，x = 73z =或y =x =- z =-∴(53,n =或(53,n =--．【点睛】本题考查向量的坐标的求法，考查向量与平面垂直、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知三棱锥P ABC -的所有棱长均为2，点M 为BC 边上一动点，若AN PM ⊥且垂足为N ，则线段CN 长的最小值为（ ） A ．2133- B ．2733-C ．73D ．12．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A ．23B ．33C ．23D ．133．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A ．3B ．2C ．1D ．32-4．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B 2C ．13D ．165．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，点M 在1AC 且112AM MC =，N 为1B B 的中点，则MN 为( ) A ．216a B ．66a C ．156a D ．153a 6．在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )A ．111,,444⎛⎫⎪⎝⎭B ．333,,444⎛⎫⎪⎝⎭ C ．111,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫⎪⎝⎭7．若向量(3,1,0)a =，(1,0,)b z =，,3a b π=，则实数z 的值为（ ）A ．2B ．2C ．2±D ．2±8．正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是棱,CD BC 上的动点，且2BF CE =，当三棱锥1C C EF -的体积取得最大值时，记二面角1111,,C EF C C EF A A EF A ------的平面角分别为,,αβγ，则（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βαγ>>D ．βγα>>9．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．810．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21=S S 且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠11．已知菱形ABCD 中，∠60ABC =︒，沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为（ ）.A ．2B ．12C ．33D ．5512．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（ ）A ．455B ．2C ．22D ．3二、填空题13．在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，12AA =，则点A 到平面11BD A 的距离为_______ .14．在平面直角坐标系中，点(1,0,2)A 到点(3,4,0)B -之间的距离为__________． 15．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________． 16．已知，若向量互相垂直，则k 的值为____．17．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为 ．18．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列给出四个命题： (1)四边形ABC 1D 1的面积为1AB BC (2)11AD A B 与的夹角为60°；(3)22111111111111()3();(4)()0AA A D A B A B AC A B A D ++=⋅-=；则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)19．如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==.若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是__________．20．向量()1,,2a λ=与()2,1,1b =-互相垂直，则λ=__________．三、解答题21．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中60BAD ∠=︒，22AB AD ==，45BAE GAD ∠=∠=︒.（Ⅰ）求证：平面ADG ⊥平面BDG ； （Ⅱ）求直线BG 与平面AGFE 所成角的正弦值.22．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是一个菱形，3ABC π∠=，2AB =，23PA =（1）若Q 是线段PC 上的任意一点，证明：平面PAC ⊥平面QBD ； （2）求直线DB 与平面PBC 所成角θ的正弦值.23．如图菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，4AB AE ==．（1）求证：BD ⊥平面ACFE ； （2）当直线FO 与平面BED 所成的角为π4时，求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小．24．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是等腰梯形//,2,4,,AB DC BC CD AD AB M N ====分别是,AB AD 的中点.（1）证明：平面PMN ⊥平面PAD ；（2）若二面角C PN D --的大小为60°，求四棱锥P ABCD -的体积. 26．如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，2AB AD CD ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD △为等腰直角三角形，90APD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】取PA 中点O ，得点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，进一步可得N 的轨迹为一段圆弧，设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，可得当点N 在1CO 上时，CN 取最小值，求解三角形计算得答案． 【详解】解：取PA 中点O ，AN PM ⊥，∴点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，又点N 在平面PBC 上，故N 的轨迹为一段圆弧， 设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，且点1(O PS S ∈为BC 中点）， 则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，3PS AS ==，设A 到PS 的距离为h ，则221132(3)122h ⨯⨯=⨯⨯-，即263h =，得163OO =，21631()33PO =-=，22213PS =-=由N 在PS 上时，求得133NO =，求解Rt △1CO S ，得2212313213CO ⎛⎫=+ ⎪ ⎪=⎝⎭， 则当点N 在1CO 上时，CN 取最小值2133-， 故选：A ．【点睛】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，解答的关键是弄清动点的轨迹；2．A解析：A 【详解】试题分析：设1AB =112,5BD BC DC ∴===， 1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴==考点：线面角3．D解析：D 【分析】由DB ED FE BF =++，利用数量积运算性质展开即可得到答案 【详解】BD ED FE BF =++,22222221112BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED ∴=+++++=++-故32BD =- 故选D 【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．4．C解析：C 【分析】根据题意，以D 为坐标原点，直线1DADC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由AC ，1AD 即可求得平面1ACD 的法向量n ，而1D E 在n 上的投影即为点E 到面1ACD 的距离，即可求得结果【详解】以D 为坐标原点，直线1DADC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1101A ，，，()1001D ，，,()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩ 可得2a b a c =⎧⎨=⎩可取()212n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133D E n d n⋅+-=== 故选C 【点睛】本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(含答案解析)(2)
一、选择题1．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2AB =，E 为PB 的中点，若3cos ,3DP AE =，则PD =（ ）A ．1B ．32C ．3D ．22．定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： （1）a a b ⊥⨯，b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；（2）a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅（,a b 表示向量a 、b 的夹角）； 如图，在正方体1111ABCD A BC D -，有以下四个结论：①1AB AC ⨯与1BD 方向相反； ②AB AC BC AB ⨯=⨯；③6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等； ④()1AB AB CB ⨯⋅与正方体体积的数值相等. 这四个结论中，正确的结论有（ ）个 A ．4B ．3C ．2D ．13．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）A ．()0,6B ．()6,+∞C ．()0,63D ．()63,+∞4．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．2π 5．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1BC =，点E 为线段DC 上一动点，现将ADE ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 内的射影K 在直线AE 上，当点E 从D 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为（ ）A ．3 B ．23C ．3πD ．2π 6．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A 3B 2C ．1D 32-7．若向量(3,1,0)a =，(1,0,)b z =，,3a b π=，则实数z 的值为（ ）A 2B ．2C ．2±D ．2±8．已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，11114A E AC =，若1BE xAB yAD zAA =++，则x 的值为（ ） A ．14B ．34-C ．1D ．129．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA =,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>10．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形， Q 为BC 的中点，PQ ⊥面ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面 ABCD内运动，且PM 5=，则MN 长度的最小值为（ ）A 352B ．23C ．25-D 33211．在长方体1111ABCD A BC D -中，若13AC =111()AB AC AD AC ++⋅=（ ）A ．0B 3C ．3D ．612．在平面直角坐标系中，()2,3A -、()32B -，，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则AB 的长为（ ） A 2B ．211C ．32D ．42二、填空题13．设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，则AB 中点M 到C 的距离CM = _______. 14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为________.15．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,,0)22b =，若空间向量c满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 16．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为S ，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足114C R =；④当314CQ <<时，S 为五边形； ⑤当1CQ =时，S 的面积为6.17．直线1:(3)30l a x y ++-=与直线2:5(3)40l x a y +-+=，若的方向向量是的法向量，则实数_____．18．已知P 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11A D 上的动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值为__________．19．在平行六面体1111ABCD A BC D -中，面11A ADD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AD =，3CD =，面11A D DA 为菱形，160A AD ∠=，O 是AD 的中点，M 为CD 的中点，问AN =_______时，面DNC ⊥面1AOM ．20．已知平面α⊥平面β，且l αβ⋂=，在l 上有两点A ，B ，线段AC α⊂，线段BD β⊂，并且AC l ⊥，BD l ⊥，6AB =，24BD =，8AC =，则CD =______．三、解答题21．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、M 、N 分别是棱AB 、AD 、11A B 、11A D 的中点，点P 、Q 分别在棱1DD 、1BB 上移动，且()02DP BQ λλ==<<.（1）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.22．如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD O M ，，分别为线段AD DE ，的中点．四边形BCDO 是边长为1的正方形，,AE DE AE DE =⊥．（Ⅰ）求证：//CM 平面ABE ；（Ⅱ）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（Ⅲ）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别为棱,PD BC 的中点，2PA AB ==.(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.24．如图，已知ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，//AD EG 且2AD EG =，//GD CF 且2GD FC =，2DA DG ==.（1）求平面BEF 与平面CDGF 所成二面角的余弦值；（2）设M 为FG 的中点，N 为正方形ABCD 内一点（包含边界），当//MN 平面BEF 时，求线段MN 的最小值.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面//ABCD AB CD AD CD ⊥，，，且22AD CD PD AB ====.（I ）求证：AB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角P BC A --的余弦值.26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===，D 为AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1DAC ；（2）求平面1DAC 与平面11AAC C 所成的锐二面角．．．．的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由已知以D 为原点建立空间直角坐标系，设(0,0,)P a ，求得,DP AE 的坐标，由数量积公式可得答案. 【详解】由已知DP DA DC 、、两两垂直，所以以D 为原点，建立如图所示的坐标系， 设(0)PD a a =>，则(0,0,)P a ，(2,0,0)A ，连接BD 取中点F ，连接EF ，所以//EF PD ，EF ⊥平面ABCD ， 所以(1,1,)2aE ，所以(0,0,)DP a =，(1,1,)2a AE =-，由3 cos,DP AE=，得2232cos,114aDP AEDP AEDP AE aa⋅===⋅⋅++，解得2a=.故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公式求得a，考查了学生的空间想象力.2．D解析：D【分析】根据外积的定义逐项判断即可得到结果.【详解】对于①，根据向量外积的第一个性质可知1AB AC⨯与1BD方向相同，故①错误；对于②，根据向量外积的第一个性质可知AB AC⨯与BC AB⨯方向相反，不会相等，故②错误；对于③，根据向量外积的第二个性质可知sin4ABCDBC AC BC AC Sπ⨯=⋅⋅=，则6BC AC⨯与正方体表面积的数值相等，故③正确；对于④，1AB AB⨯与CB的方向相反，则()1AB AB CB⨯⋅<，故④错误.故选：D.【点睛】本题考查正方体的性质和信息迁移，解题的关键在于依据新概念的性质进行推理论证，属难题.3．C解析：C【分析】画出已知图形，可得出OBC∆是以OB为斜边的直角三角形，求出OB的长度，则线段BC长的范围即可求出.【详解】 如下图所示：AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO .OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，63tan 30AOOB ∴==.在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即063BC <<，因此，线段BC 长的取值范围是()0,63.故选C. 【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ，BN ⊥AC ，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND ，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN ⊥AC ，BN ⊥AC ．所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ，可得BO ⊥平面ACD ．因为在△BDN 中，3BN DN ==，所以，BD 2＝BN 2+DN 2﹣2BN •DN •cos ∠BND 1332343=+-⨯⨯=， 则BD ＝2．故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高为棱长的6，故662R =⨯=． 因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244()3R πππ=⨯=． 故选C ． 【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．5．C解析：C 【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度． 【详解】由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是12， 如图当E 与C 重合时，4=12，取O 为AD′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=3π，∴∠K0D'=23π， 其所对的弧长为1223π⨯=3π， 故选：C 【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K 的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目．6．D解析：D 【分析】由DB ED FE BF =++，利用数量积运算性质展开即可得到答案 【详解】BD ED FE BF =++,22222221112BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED ∴=+++++=++故32BD =- 故选D 【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．7．C解析：C 【解析】分析：根据两个向量的数量积的定义式，推导出其所成角的余弦公式，从而利用cos ,a b a b a b⋅<>=，结合22a a =，将有关量代入求得z 的值，得到结果.详解：根据题意得22331cos ,23101021a b z z ⨯===++⋅+++，化简得22z =，解得z = C.点睛：该题考查的是有关向量夹角余弦公式的问题，在解题的过程中，需要把握住向量夹角余弦公式，再者就是向量的模的平方和向量的平方是相等的，还有就是向量的模的坐标运算式.8．B解析：B 【分析】根据向量运算得到1113144BE BA AA A E AB AD AA =++=-++，得到答案. 【详解】()11111111131444BE BA AA A E AB AA A B A D AB AD AA =++=-+++=-++，故34x =-.故选：B . 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．D解析：D 【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案． 【详解】解：因为1AB AC ==，1BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，0，1(2O ，12，0)，(0E ，0，1(1B ，1，111(,22OB =，11(,22OE =--，11(,22OF =-，1EB =，EF =，设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·02211·0222m OB x y m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-，同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--， 平面OEF 的法向量272(,,3)p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos 61||||m n m n α==，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．C解析：C 【分析】若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解【详解】如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由PM 5=1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得5DQ ，1DN MQ ==，故552NM DN MQ -=故答案选：C 【点睛】本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题11．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系A xyz -，设1,,AB a AD b AA c ===，则111(,0,),(,,0),(0,,),(,,)AB a c AC a b AD b c AC a b c ====. 则111(2,2,2)2AB AC AD a b c AC ++==， 所以21111()2()6AB AC AD AC AC ++⋅==. 故选：D 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的模的概念，属于容易题.12．D解析：D 【分析】作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则AB AC CD DB =++，两边平方后代入数量积即可求得2||AB ，则AB 的长可求． 【详解】如图，()2,3A -，()3,2B -，作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则()2,0C -，()3,0D ，3AC ∴=，5CD =，2DB =，沿x 轴把坐标平面折成60︒的二面角，CA ∴<，60DB >=︒，且0AC CD CD DB ⋅=⋅=，222||()AB AB AC CD DB ∴==++222222AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅19254232322⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭．42AB ∴=即AB 的长为 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了空间角，向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】中点【解析】中点32,,32M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，MC == 14．【分析】以为原点分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求解点N 到平面的距离得到答案【详解】由题意以为原点分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则可得设平面的一个法向量为则令可得所以点N【分析】以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解点N 到平面1D EF 的距离，得到答案. 【详解】由题意，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则13(2,0,1),(2,,2),(2,,),(0,0,2),(2,2,1)22E M N DF λλ， 可得11(0,2,0),(0,,),(2,0,1)22EF EN ED λ===-， 设平面1D EF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则12020n EF y n ED x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，可得(1,0,2)n =，所以点N 到平面1D EF 的距离55n EN d n⋅===. 故答案为：5.【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法，以及空间中点、线、面的位置关系等知识的应用，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.15．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题 解析：22【分析】设空间向量(),,c m n z =，由已知条件可得m 、n 的值，由对任意x ，y R ∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b -+-+=得：||1z =，进而得到答案．【详解】 解：空间向量(1,0,0)a =，13(,2b =， 设空间向量(),,c m n z =，2c a ⋅=，52c b ⋅=， 2m ∴=，13522m = 2m ∴=，3n =∴空间向量()2,3,c z =，又由对任意x ，y R ∈，()()001c xa yb c x a y b -+≥-+=， 则||1z =， 故()22223122c =++=，故答案为：22 【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．16．①②④【解析】①项时为而时线段上同理存在一点与平行此时为四边形且是梯形故命题①为真；②项是等腰梯形故命题②为真；③项当时如图所示∵点是的中点∴∴∴与的交点满足故命题③为假④项如图所示为五边形故命题④解析：①②④ 【解析】 ①项，12CQ =时，S 为APQD ， 而102CQ <<时，线段1DD 上同理，存在一点，与PQ 平行， 此时，S 为四边形，且是梯形，故命题①为真；②项，1AP D Q =，1AD PQ ，1APQD 是等腰梯形，故命题②为真；③项当34CQ =时，如图所示，0AP DC ⋂=， ∵点P 是BC 的中点，∴CO CD AB ==，∴1113C R C Q CO QC ==， ∴S 与11CD 的交点R 满足113C R =， 故命题③为假．④项，如图所示，S 为五边形，故命题④为真；⑤项，如图所示，S 为菱形，面积为221526222222⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故命题⑤为假．综上所述，命题正确的是：①②④．17．【解析】试题分析：由题意得：即考点：两直线垂直【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时如果所给直线方程含有字母系数时要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0 解析：2-【解析】试题分析：由题意得：12l l ⊥，即5(3)302a a a ++-=⇒=- 考点：两直线垂直 【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)；(2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根． （3与,0l Ax By C ++=平行的直线可设为0Ax By C ++='，与,0l Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay C -+='18．【解析】试题分析：因为//所以即为异面直线与所成的角为因为是正方体所以因为所以所以当时考点：1异面直线所成的角；2线面垂直线线垂直【解析】试题分析：因为AB //CD ，所以PCD ∠即为异面直线AB 与CP 所成的角为α．因为1111ABCD A BC D -是正方体，所以11CD ADD A ⊥面，因为11DP ADDA ⊂面，所以DC DP ⊥．所以cos CD CP α=，当1CP CA =时，min1(cos )CD CA α=== 考点：1、异面直线所成的角；2、线面垂直、线线垂直．19．【分析】证明出平面然后以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系设点利用空间向量法结合面面可求得的值即可得出结论【详解】因为四边形为菱形则为的中点由余弦定理可得平面平面平面平面平面所以平面以点解析：43【分析】证明出1AO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OA 、1OA 所在直线分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()1,,0N t ，利用空间向量法结合面DNC ⊥面1AOM 可求得t 的值，即可得出结论. 【详解】因为四边形11A D DA 为菱形，2AD =，则12AA =，O 为AD 的中点，160A AD ∠=，1AO ∴=，由余弦定理可得22211112cos 3AO AA AO AA AO A AD =+-⋅∠=，22211AO AO AA ∴+=，1AO AD ∴⊥， 平面11A ADD ⊥平面ABCD ，平面11A ADD 平面ABCD AD =，1AO ⊂平面11A ADD ，所以，1AO ⊥平面ABCD ， 以点O 为坐标原点，OA 、1OA 所在直线分别为x 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O、(13A 、31,,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()1,0,0D -、(13C -,设点()1,,0N t ，设平面DNC 的法向量为()111,,m x y z =，()2,,0DN t =，(13DC =-，由11111120330m DN x ty m DC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取13x t =，则123y =-16z t =+， 可得()3,23,6m t t =-+，设平面1AOM 的法向量为()222,,n x y z =，(13OA =，31,,02OM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由12223032n OA z n OM x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取23x =，则22y =，20z =，可得()3,2,0n =， 因为平面DNC ⊥平面1AOM ，则(3322333430m n t t ⋅=⨯+⨯-=-=，解得43t =. 因此，当43AN =时，平面DNC ⊥平面1AOM . 故答案为：43. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用面面垂直求线段长度，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，将面面垂直的问题转化为法向量垂直来求解.20．26【分析】推导出=从而=（）2=由此能出CD 【详解】∵平面α⊥平面β且α∩β=l 在l 上有两点AB 线段AC ⊂α线段BD ⊂βAC ⊥lBD ⊥lAB=6BD=24AC=8∴=∴=（）2==64+36+57解析：26【分析】推导出CD =CA AB BD ++，从而2CD =（CA AB BD ++）2=222CA AB BD ++，由此能出CD ． 【详解】∵平面α⊥平面β，且α∩β=l ，在l 上有两点A ，B ，线段AC ⊂α，线段BD ⊂β， AC ⊥l ，BD ⊥l ，AB=6，BD=24，AC=8， ∴CD =CA AB BD ++， ∴2CD =（CA AB BD ++）2 =222CA AB BD ++ =64+36+576 =676， ∴CD=26． 故答案为26． 【点睛】本题考查两点间距离的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）存在，212λ=± 【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，证明出1//BC FP ，利用线面平行的判定定理可证得1//BC 平面EFPQ ； （2）计算出面EFPQ 与面PQMN 的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合02λ<<求出实数λ的值，即可得解. 【详解】（1）证明：以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,2,0B 、()10,2,2C 、()2,1,0E 、()1,0,0F ，当1λ=时，()0,0,1P ，()12,0,2BC =-，()1,0,1FP =-，12BC FP ∴=，1//BC FP ∴， 1BC ⊄平面EFPQ ，FP ⊂平面EFPQ ，因此，1//BC 平面EFPQ ；（2）()2,1,0E 、()1,0,0F 、()0,0,P λ、()1,0,2N 、()2,1,2M ，设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,m x y z =，()1,1,0EF =--，()1,0,FP λ=-，由00m EF m FP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得111100x y x z λ--=⎧⎨-+=⎩，取1x λ=，则1y λ=-，11z =，(),,1m λλ=-，设平面PQMN 的一个法向量为()222,,n x y z =，()1,1,0MN =--，()1,0,2NP λ=--，由00n MN n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得()2222020x y x z λ--=⎧⎨-+-=⎩，取22x λ=-，则22y λ=-，21z =，()2,2,1n λλ∴=--，若存在λ，使得面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m n ⊥. 且()()2210m n λλλλ⋅=---+=，整理可得22410λλ-+=，02λ<<，解得212λ=±因此，存在212λ=±EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角. 【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在． 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）63；（Ⅲ）53.【分析】（Ⅰ）取AE 中点P ，连接BP 、MP ，根据题意可得四边形BCMP 为平行四边形，根据线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）连接EO ，根据面面垂直的性质定理，可证得EO OB ⊥, EO OD ⊥，以O 为原点，分别以OB ，OD ，OE 为x ，y ，z 轴正方向建系，分别求得CM ，BD 的坐标，利用夹角公式，即可求得结果；（Ⅲ）设ON OD λ=，则可得N 点坐标，即可求得平面BMN 的法向量n ，同理可求得平面ABE 的法向量m ，根据题意，可得0m n ⋅=，即可求得λ的值，即可得答案. 【详解】解：（Ⅰ）取AE 中点P ，连接MP BP ，，因为M 为线段DE 的中点， 所以1//2MP AD MP AD =，， 因为四边形BCDO 是正方形， O 为线段AD 的中点，所以1//2BC AD BC AD =，，即//BC OD BC OD =，， 所以//BC MP BC MP =，所以四边形BCMP 为平行四边形．所以//MC BP ，又因为MC ⊂/平面ABE ，BP ⊂平面ABE ， 所以//CM 平面ABE ；（Ⅱ）因为AE DE O =，为线段AD 的中点，连接EO ，则⊥EO AD ， 因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，EO ⊂平面ADE所以EO ⊥平面ABCD ，又因为OB ⊂平面ABCD ，所以EO OB ⊥， 又因为OB OD ⊥，所以OE OB OD ，，三线两两垂直．以O 为原点，以OB 为x 轴，以OD 为y 轴，以OE 为z 轴建立直角坐标系，如图所示，依题意可知(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)A B E D -设平面ABE 的一个法向量为(,,)m x y z =，因为(1,1,0),(0,1,1)AB AE ==，因为00AB m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以0x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1z =得11y x =-=，，所以(1,1,1)m =- 因为(0,1,1)DE =-，设DE 与平面ABE 所成角为θ， 则6sin |cos ,|32m DE θ=〈〉==⨯， 所以直线DE 与平面ABE 6； （Ⅲ）设(0,,0)ON OD λλ==，则(0,,0)N λ， 因为11110,,,1,,,(1,,0)2222M MB BN λ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面BMN 的一个法向量为(,,)n x y z =，因为00MB n BN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以11022x y z x y λ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩， 令1y =得21x z λλ==-，，所以(,1,21)n λλ=-， 因为平面BMN ⊥平面ABE ，所以0m n ⋅= 故1210λλ-+-=，解得23λ=，即2(0,,0)3N ， 故线段25133AN AO ON =+=+=． 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 23．(1)证明见解析；(2)10. 【分析】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面PAB 内找一条直线与MN 平行； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角． 【详解】(1)在四棱锥P ABCD -中， 取PA 的中点E ，连接EB 、EM ， 因为M 是PD 的中点， 所以EMAD ，且12EM AD =．又因为底面ABCD 是正方形，N 是BC 的中点， 所以BN AD ∥，且12=BN AD ， 所以EM BN ∥且=EM BN ， 所以四边形MNBE 是平行四边形． 所以MN BE ∥． 由于EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .(2)因为底面ABCD 是正方形，所以AB ⊥AD ． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以可以以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴， 如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ，(0,1,1)M ,(2,1,0)N ． (2,2,2),(2,0,0)PC CD −−→−−→=-=-，设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =，有：0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x y z x +-=⎧⎨=⎩，令1y =，则=1z ， 所以(0,1,1)m =．(2,0,1)MN =-，设直线MN 与平面PCD 所成角为θ， 有：sin cos ,MN m θ==MN m MN m⋅⋅()02+10+11101025⨯⨯⨯-⋅． 所以直线MN 与平面PCD 10 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，通常用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算． 24．（1229，（222【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； （2）设(),,0N x y ，即可表示出MN ，再根据//MN 平面BEF ，即可得到0m MN =，即可得到x 与y 的关系，最后根据向量的模及二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()2,2,0B ，()2,0,0A ，()0,0,2G ，()0,2,1F ，()1,0,2E ，则()1,2,2BE =--，()1,2,1FE =-，()2,0,0DA =，设面BEF 的法向量为(),,n x y z =，则22020x y z x y z --+=⎧⎨-+=⎩，令2x =，则3y =，4z =，所以()2,3,4n =，而平面CDGF 的法向量为()2,0,0DA =设平面BEF 与平面CDGF 所成二面角为θ，显然二面角为锐角，所以222229cos 292234n DA n DAθ===++ （2）设(),,0N x y ，[],0,2x y ∈，依题意30,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3,1,2MN x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为//MN 平面BEF ，所以()23162390m MN x y x y =+--=+-= 所以()222913314714422MN x y y y =+-+=-+又因为函数2133147422y x x =-+，对称轴为313122131324x -=-=>⨯，且开口向上， 所以函数2133147422y x x =-+在[]0,2上单调递减，所以当2y =时，min 22MN =，此时3,2,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以线段MN 的最小值为22【点睛】本题考查二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 25．（I ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【分析】（I ）通过条件证明PD AB ⊥，AD AB ⊥，再根据线面垂直的判定定理证明出AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）以DA DC DP ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，根据平面PBC 与平面ABC 法向量夹角的余弦值求解出二面角P BC A --的余弦值. 【详解】（Ⅰ）因为PD ⊥平面ABCD AB ⊂，平面ABCD ， 所以PD AB ⊥.因为//AB CD AD CD ⊥，， 所以AD AB ⊥. 因为PD AD D ⋂=， 所以AB ⊥平面PAD .（Ⅱ）因为PD ⊥平面ABCD AD CD ⊥，，所以以D 为原点，分别以DA DC DP ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系D xyz -. 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)D A B C P ， 所以(2,1,2),(2,1,0)PB BC =-=-. 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，因为00n PB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即22020.x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，所以2,2.z x y x =⎧⎨=⎩令1x =，于是,,(1)22n =. 因为PD ⊥平面ABCD ，所以平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =， 所以2cos ,3||||n m n m n m ⋅<>==⋅.由题知二面角P BC A --为锐角，所以其余弦值是23.【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值. 26．（1）证明见解析；（2）15. 【分析】（1）以BC 的中点O 为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，求出法向量．根据法向量与已知直线的方向向量的数量积等于0，得到结论；（2）以BC 的中点O 为原点建系，算出平面11AAC C 的法向量，结合平面1DAC 的法向量可算出答案. 【详解】（1）证明：如图以BC 的中点O 为原点建系，设12AB BC CA AA ====． 设(,,)n x y z =是平面1DCA 的一个法向量，则1·0·0n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．又33()2CD =，1(13)CA =，∴30230x z x y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩．令1,3,1x z y ==-=，∴(1,1,3)n =- 1(2,2,0)BC =-，∴1·2200n BC =-++=．又1BC ⊂/平面1DCA ，1//BC ∴平面1DCA ．（2）解：设111(,,)m x y z =是平面11AAC C 的一个法向量，则11·0·0m CC m CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．又1(0,2,0)CC =，1(13)CA =，∴111030y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩．令111,3z x ==-∴(3,0,1)m =-．∴23cos ,25m n -==．∴ 【点睛】关键点睛：解答本类题目的关键是根据图形建立合适的空间直角坐标系和学生的计算能力.。
北京航空航天大学附中2022高三数学一轮高考单元辅导与练习单元检测：空间几何体
北京航空航天大学附中2022高三数学一轮高考单元辅导与练习单元检测：空间几何体本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时刻120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两条相交直线a ，b ，//a 平面α，则b 与α的位置关系是( ) A ．b ⊂平面α B ．b ⊥平面αC ．//b 平面αD ．b 与平面α相交，或//b 平面α【答案】D2．下面列举的图形一定是平面图形的是( )A ．有一个角是直角的四边形B ．有两个角是直角的四边形C ．有三个角是直角的四边形D ．有四个角是直角的四边形【答案】D3．圆锥的侧面展形图是( ) A ．三角形 B ．长方形C ．圆D ．扇形【答案】D[来源:学+科+网]4．底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是( ) A ．一定是正三棱锥 B ．一定是正四面体 C ．不是斜三棱锥 D ．可能是斜三棱锥【答案】D5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．π34 B ．2C ．π38D ．π310【答案】A6．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤C．模块②，④，⑥D．模块③，④，⑤【答案】A7．某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为( )A．3πB．4πC．6πD．10π【答案】B8．下列命题中，正确的是( )A．有两个面平行，其余各面差不多上四边形的几何体叫棱柱。
B．有两个面平行，其余各面差不多上平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面差不多上四边形，同时每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(有答案解析)
一、选择题1．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（ ）A ．25B ．105C ．155D ．2152．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（ ）A ．a c b +-B ．a +2b c -C ．c b a +-D ．a c +-2b3．如图，在几何体111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，111////AA BB CC ，1AA ⊥平面ABC ，若E 是棱11B C 的中点，且1112AB AA CC BB ===，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1313B ．21313 C ．2613D ．226134．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A 3B 2C ．1D 32-5．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15B ．56C ．55D ．226．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（ ）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．11+22+a b c B ．1122a b c -+ C ．1122-++a b c D ．1122+-a b c 8．四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（ ）A ．55B ．15C ．25D ．2559．已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．(2,2,4)B ．224(,,)333C ．5510(,,)333D ．448(,,)33310．如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大11．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（ ）A 45B ．2C ．22D ．312．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（ ） A ．111222OM OA OB OC =++ B ．OM OA OB OC =++C ．1133OM OA OB OC =-+ D ．2OM OA OB OC =--二、填空题13．若平面α的一个法向量为()n 122=，，，A(1，0，2)，B(0，-1，4)，A ∉α，B ∈α，则点A 到平面α的距离为__________．14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点,M N 分别是棱11,BC C D 的中点，点P 在平面1111D C B A 内，点Q 在线段1A N 上，若25PM =，则PQ 的最小值为______．15．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz 面对称的点的坐标为__________ 16．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标是______． 17．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA PD ==，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是__________.18．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心,则点O 到平面ABC 1D 1的距离为 .19．已知()()()2,1,2,1,3,3,13,6,a b c λ=-=--=，若向量,,a b c 共面，则λ=_________．20．已知P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值为__________．三、解答题21．在三棱台ABC DEF -中，2,60AB BC DE DAB EBA ∠∠====，平面ABED ⊥平面,.ABC BC BE ⊥（1）求证：平面ABED ⊥平面BCFE ； （2）求直线DF 与平面ABF 所成角的正弦值.22．如图，平面ABCDE ⊥平面CEFG ，四边形CEFG 为正方形，点B 在正方形ACDE 的外部，且5,4AB BC AC ===．（1）证明：AD CF ⊥．（2）求平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．23．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面//ABCD AB CD AD CD ⊥，，，且22AD CD PD AB ====.（I ）求证：AB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角P BC A --的余弦值.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知ABCD 是平行四边形，60DAB ∠=，AD AB PB ==，PC PA ⊥，PC PA =.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.26．如图，在底面为平行四边形的四棱锥A BCDE -中，AE AD ⊥，::1:2:2AE EB BC =，AED CDE ∠=∠，AC DC =，点O 为DE 的中点.（1）证明：CO ⊥平面ADE .（2）求平面ABE 与平面AOC 所成锐二面角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(3E ， 则()2,1,0AG =，(3AE =，()2,1,0BG =-， 设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =，则20230n AG x y n AE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，3z = 所以，平面AGE 的一个法向量为(1,2,3n =-， 从而10cos ,225n BG n BG n BG⋅<>===⨯⋅ 故直线BG 与平面AGE 2101515⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.2．D解析：D 【分析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解， 得到答案. 【详解】如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+， 在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-， 在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-， 故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值 【详解】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴， CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝AA 1＝CC 1＝2BB 1＝2，则A 131，2），A 310，，），C 1（0，0，2），B 1（0，2，1），E （0，1，32），1A E =（3-，0，12-），1AC =（3-，﹣1，2），设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ，则cosθ1111226131384A E AC A E AC ⋅===⋅⋅． ∴异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为2613． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．D解析：D 【分析】由DB ED FE BF =++，利用数量积运算性质展开即可得到答案 【详解】BD ED FE BF =++,22222221112BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED ∴=+++++=++-故32BD =-故选D 【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．5．C解析：C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),D A B D ,所以11(1,0,3),(1,1AD DB =-=,因为1111111cos ,52AD DB AD DB AD DB ⋅-===⨯，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.6．D解析：D 【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O 出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O 出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果. 详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+ 211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题.7．C解析：C 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到11122BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112BM BB B M AA B D =+=+1111111111111()()222222AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++.故选：C. 【点睛】在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.8．A解析：A【分析】求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n 与AP 的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离．【详解】解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n ABn AD ⎧⊥⎨⊥⎩，∴23020x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)， cos ,||||5n AP n AP n AP ∴<>==， 设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sinα=，于是P 到平面ABCD 的距离为||sin AP α，即四棱锥P ABCD -． 故选：A ．【点睛】 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．9．D解析：D【分析】设OM OC λ=，故(),,2M λλλ，()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅，计算得到答案. 【详解】设OM OC λ=，即(),,2OM OC λλλλ==，故(),,2M λλλ，()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅---224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 当43λ=时，向量数量积有最小值，此时448,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10．D解析：D【分析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，,02AE x x =≤≤，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出,,B D E 点的坐标，求出平面BDE 的法向量m ，底面ABC 的法向量坐标为(0,0,1)n =，将cos α表示为关于x 的函数，通过讨论cos α的增减变化，即可求出结论.【详解】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED⎧⊥⎨⊥⎩， 即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =1ts x =-=+， 所以平面BDE 的一个法向量(m x =+，底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，cos |cos ,|m n α=<>==当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小， 当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大.故选：D.【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题.11．D解析：D【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y ，根据110B P D E ⋅=得出x 、y 满足的关系式，并求出y 的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1B P 的最大值.【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,2,2B 、()10,0,2D 、()1,2,0E ，设点()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤，()11,2,2D E =-，()12,2,2B P x y =---，11D E B P ⊥，()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=，得22x y =-， 由0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，得01y ≤≤，()124B P x ∴=+= 01y ≤≤，当1y =时，1B P 取得最大值3.故选：D.【点睛】 本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.12．C解析：C【分析】由共面向量定理可得：若定点M 与点A 、B 、C 一定共面，则存在实数x ，y ，使得AM x AB y AC =+，即(1)OM x y OA xOB yOC =--++，判断标准是验证OA ，OB ，OC 三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M ，A ，B ，C 一定共面，由此规则即可找出正确的条件．【详解】由题意,,A B C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，对于A 由于向量的系数和是32，不是1，故此条件不能保证点M 在面ABC 上； 对于B ，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面对于C ，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M 与,,A B C 一定共面对于D ，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面综上知，能得到点M 与,,A B C 一定共面的一个条件为C .故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要熟练记忆．二、填空题13．【分析】利用点到直线的距离公式借助平面的法向量利用公式即可求解【详解】由题意平面的一个法向量为且则所以点A 到平面的距离为【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法其中解答中熟记空间向量在几何问题中的 解析：13 【分析】 利用点到直线的距离公式，借助平面的法向量，利用公式，即可求解. 【详解】由题意，平面α的一个法向量为,,(1)22n =，且(1,0,2),(0,1,4),,A B A B αα-∉∈，则(1,1,2)BA =-，所以点A 到平面α的距离为12413144BA n d n ⋅+-===++. 【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在几何问题中的应用，以及点到直线的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 14．【分析】取B1C1中点O 则MO ⊥面A1B1C1D1即MO ⊥OP 可得点P 在以O 为圆心2以半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上即O 到A1N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值作OH ⊥A1N 于N 可得OH解析：6525- 【分析】取B 1C 1中点O ，则MO ⊥面A 1B 1C 1D 1，即MO ⊥OP ，可得点P 在以O 为圆心，2以半径的位于平面A 1B 1C 1D 1内的半圆上．即O 到A 1N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作OH ⊥A 1N 于N ，可得OH=655，PQ 长度的最小值为6525-． 【详解】如图，取B 1C 1中点O ，则MO ⊥面A 1B 1C 1D 1，即MO ⊥OP ，∵25PM =OP=2，∴点P 在以O 为圆心，2以半径的位于平面A 1B 1C 1D 1内的半圆上．可得O 到A 1N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作OH ⊥A 1N 于N ，△A 1ON 的面积为4×1114242224222-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=6，∴1162A N OH ⨯⨯=，可得，∴PQ 2-．2- 【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．15．(-123)【分析】在空间直角坐标系中点（xyz ）关于平面yoz 对称的点坐标是（-xyz ）【详解】在空间直角坐标系中点（123）关于平面xoy 对称的点坐标是（-123）故答案为（-123）【点睛】本解析：(-1，2，3)【分析】在空间直角坐标系中，点（x ，y ，z ）关于平面yoz 对称的点坐标是（-x ，y ，z ）．【详解】在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于平面xoy 对称的点坐标是（-1，2，3）．故答案为（-1，2，3）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．16．【分析】根据对称关系确定点的坐标【详解】∵在空间直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标为∴点关于轴对称的点的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系考查基本分析求解能力属基础题解析：()2,1,4---【分析】根据对称关系确定点的坐标.【详解】∵在空间直角坐标系中，点(),,x y z 关于x 轴对称的点的坐标为(),,x y z --，∴点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---．【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【详解】以O 为坐标原点建立空间直角坐标系设因此设平面一个法向量为取因此直线与平面所成角的正弦值是解析：88585 【详解】 以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，设1(1,2,0),(1,2,0),(0,0,2)(,1,1)2B C P M -∴-因此3(,1,1)2BM =-- ,设平面PCO 一个法向量为(,,)(0,0,2)00(,,)(,,)(1,2,0)02x y z z n x y z x y z x y ⋅==⎧⎧=∴∴⎨⎨⋅-==⎩⎩，取(2,1,0)n = 因此直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是31885cos ,851754BM n --==⨯ 18．【详解】以D 为原点DADCDD1所在直线分别为x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系如图所示则A(100)B(110)D1(001)C1(011)O(1)=(010)=(-101)设平面ABC1D1的法向量解析：【详解】以D 为原点,DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如图所示,则A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),C 1(0,1,1),O (12，12,1), =(0,1,0),=(-1,0,1), 设平面ABC 1D 1的法向量n =(x,y,z), 由1·AB y 0{·AD x z 0n n ===-+=，，得令x =1,得n =(1,0,1).又=(-12,12-,0), ∴O 到平面ABC 1D 1的距离d=1·n OD n ==.19．3【解析】试题分析：由于三个向量共面所以存在实数使得即有解得考点：空间向量的正交分解及其坐标表示解析：3【解析】试题分析：由于a b c 、、三个向量共面，所以存在实数m n 、，使得=c ma nb +，即有13=2{6323m n m n m nλ-=-+=-，解得9{53m n λ===. 考点：空间向量的正交分解及其坐标表示.20．【解析】试题分析：因为//所以即为异面直线与所成的角为因为是正方体所以因为所以所以当时考点：1异面直线所成的角；2线面垂直线线垂直 3【解析】试题分析：因为AB //CD ，所以PCD ∠即为异面直线AB 与CP 所成的角为α．因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以11CD ADD A ⊥面，因为11DP ADD A ⊂面，所以DC DP ⊥．所以cos CD CP α=，当1CP CA =时，min 13(cos )33CD CD CA CDα===． 考点：1、异面直线所成的角；2、线面垂直、线线垂直．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）4214. 【分析】（1）过E 作EH AB ⊥于H ，由面面垂直得EH ⊥平面ABC ，从而有EH BC ⊥，再结合已知,BC BE ⊥可得线面垂直后得线线垂直；（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，设2AB =，得出各点坐标，求出平面ABF 的法向量，由空间向量法求得线面角的正弦值．【详解】解：（1）过E 作EH AB ⊥于H ，因为面ABED ⊥面ABC ，面ABED ⋂面ABC BC =，所以EH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以EH BC ⊥，又,BC BE ⊥BE EH E =，,BE EH ⊂平面ABED ，所以BC ⊥面ABED ，又BC ⊂平面BCFE所以平面ABED ⊥平面;BCFE（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，则,,D E F 分别是,,PA PB PC 的中点，PAB △是正三角形，设2AB =，以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，(()()13333,0,2,0,2,0,0,1,,,0,,2222P A C F D ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()()131,1,0,0,2,0,1,,22DF BA BF ⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎝⎭设平面ABF 的法向量为,,,n x y z由00n AB n FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，有013022y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令2z =得()3,0,2n =-. 42sin 14||||n DF n DF θ⋅∴==⋅∣．【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，求直线与平面所成的角．求线面角的常用方法（1）定义法，作出直线在平面内的射影（主要过直线上一点作平面的垂线），由直线与射影的夹角得出直线与平面所成的角（注意证明），然后解三角形得结论；（2）空间向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值得线面角的正弦值．22．（1）详见解析；（2373【分析】（1）易知GC CE ⊥,再根据平面ABCDE ⊥平面CEFG ，得到GC ⊥平面ABCDE ，进而有GC AD ⊥，再由CE AD ⊥,利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）以C 为原点，以CD ，CA ，CG ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得 平面BFG 的一个法向量(),,n x y z =，再由平面ABCDE 的一个法向量()0,0,1m =， 设平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角为α，由cos m n m n α⋅=⋅求解. 【详解】（1）因为四边形CEFG 为正方形，所以GC CE ⊥,又因为平面ABCDE ⊥平面CEFG ，且平面ABCDE ⋂平面CEFG CE =， 所以GC ⊥平面ABCDE ，又AD ⊂平面ABCDE ， 所以GC AD ⊥，又因为四边形ACDE 是正方形， 所以CE AD ⊥,又CE CG C ⋂=， 所以AD ⊥平面CEFG ， 又CF ⊂平面CEFG ， 所以AD CF ⊥.（2）以C 为原点，以CD ，CA ，CG ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：则((()0,0,42,4,4,42,1,2,0G F B -， 所以()(4,4,0,1,2,42GF BG ==-， 设平面BFG 的一个法向量为：(),,n x y z =，则00n GF n GF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即4402420x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则321,8y z =-=-，则321,1,n ⎛=- ⎝⎭， 又平面ABCDE 的一个法向量为：()0,0,1m =， 设平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角为α323738cos 7391132m n m nα⋅===⋅++【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅.2、利用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．23．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，根据面面垂直的性质定理，可得DO ⊥平面ABC ，根据O ，F 分别为AC ，BC 的中点，可得四边形DEFO 为平行四边形，即//EF DO ，即可得证；（2）如图建系，求得各点坐标，进而求得所需向量坐标，分别求得平面ADC 和平面DCE 的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，如图所示：∵在DAC △中，DA DC =，∴DO AC ⊥，∵平面DAC ⊥平面ABC ，且平面DAC ⋂平面ABC =AC ， ∴DO ⊥平面ABC ，∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点， ∴//OF AB ，且2AB OF =， 又//DE AB ，2AB DE =， ∴//OF DE OF DE =，，∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ， ∴EF ⊥平面ABC ； （2）∵DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ， DO AO ⊥，又AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点， ∴(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，(1,4,0)B -，∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角为60EBF ︒∠=， ∴tan 6023DO EF BF ︒=== ∴(0,0,23)D ，(1,2,23)E -， 取平面ADC 的一个法向量(0,1,0)m =， 设平面DCE 的一个法向量(,,)n x y z =， ∵(1,0,23)CD =，(0,2,23)CE =，则30230n CD x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得(23,3,1)n =-， ∴222||(23)(3)14n =-+-+=，||1m =，3m n ⋅=-，∴33cos ,||||144m n m n m n ⋅-<>===-⋅⨯， 设平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角为θ， 则3cos |cos ,|4m n θ=〈〉=， ∴平面DCE 与平面ADC 3 【点睛】解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理、性质定理，并灵活应用，利用空间向量求解二面角的步骤为：1，建系求得所需点的坐标；2，求得所需向量的坐标；3，求出两个平面的法向量12,n n ；4，代入公式121212cos ,n n n n n n ⋅<>=⋅即可求得二面角的余弦值；需要结合图象判断所求角为锐角还是钝角. 24．（I ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【分析】（I ）通过条件证明PD AB ⊥，AD AB ⊥，再根据线面垂直的判定定理证明出AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）以DA DC DP ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，根据平面PBC 与平面ABC 法向量夹角的余弦值求解出二面角P BC A --的余弦值. 【详解】（Ⅰ）因为PD ⊥平面ABCD AB ⊂，平面ABCD ， 所以PD AB ⊥.因为//AB CD AD CD ⊥，， 所以AD AB ⊥. 因为PD AD D ⋂=， 所以AB ⊥平面PAD .（Ⅱ）因为PD ⊥平面ABCD AD CD ⊥，，所以以D 为原点，分别以DA DC DP ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系D xyz -. 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)D A B C P ， 所以(2,1,2),(2,1,0)PB BC =-=-. 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，因为00n PB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即22020.x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，所以2,2.z x y x =⎧⎨=⎩令1x =，于是,,(1)22n =. 因为PD ⊥平面ABCD ，所以平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =， 所以2cos ,3||||n m n m n m ⋅<>==⋅.由题知二面角P BC A --为锐角，所以其余弦值是23.【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值. 25．（1）证明见解析；（2）35. 【分析】（1）首先证出AC BD ⊥，再证出BD OP ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）以O 为坐标原点，以,,OA OB OP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的一个法向量，以及平面PBC 的一个法向量，根据1212123cos 5n n n n n n ⋅==⋅，即可求解. 【详解】（1）证明：设2AD AB PB ===，ACBD O =，连接OP ，则∵AB AD =，且60DAB ∠=，∴四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥，且23AC =2BD =，1BO =， 又∵PC PA ⊥，PC PA =，∴PCA 是等腰Rt ，∴PO AC ⊥，6PC PA ==3PO =，在POB 中，3PO =，2PB =，1BO =，有222PB PO BO =+， ∴PO BO ⊥，即BD OP ⊥，又ACOP O =，∴BD ⊥平面PAC ；（2）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图：则(000)O ，，，30)A ，，，(010)B ，，，(30)C ，，，(003)P ，，则(33)AP =-，，，(310)AB =-，，，(013)BP =-，，，(310)BC =--，，， 设平面PAB 的法向量为1111()n x y z =，，，则1111113300030x z n AP n AB x y ⎧⎧=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪+=⎪⎩⎩，令11x =，则13y =11z =，则1(131)n =，，， 设平面PBC 的法向量为2222()n x y z =，，，则222222300030y z n BP n BC x y ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪--=⎪⎩⎩，令21x =-，则23y =、21z =，则2(31)n =-，，，∴1212123cos 5n n n n n n ⋅==⋅，， 设二面角A PB C --的平面角为θ，经观察θ为钝角，则123cos |cos |5n n θ=-<>=-，. 【点睛】 思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 26．（1）证明见解析；（25. 【分析】（1）先证明，CO ED ⊥，再证明CO AO ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证明；（2）以O 为原点，OC 为x 轴正半轴建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法计算. 【详解】（1）证明：由题意BCDE 为平行四边形，且::1:2:2AE EB BC = 可得四边形BCDE 为菱形，连接CE ，在Rt ADE △中，∵12AE DE =， ∴60AED ∠=︒，则60CDE ∠=︒，所以CDE △为正三角形. 由点O 为DE 的中点，得CO ED ⊥. ∵点O 为DE 的中点，∴12AO ED EO ==， 又AC DC =，∴AC EC =， ∴"AOC △≌EOC △，则CO AO ⊥. ∵AO DE O ⋂=，∴CO ⊥平面ADE .（2）解：如图，不妨设2DE =，以O 为原点，OC 为x 轴正半轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0D ，()0,1,0E -，)3,0,0C，()3,2,0B-，130,,22A ⎛- ⎝⎭. 设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11113013022m BE x y m EA y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，不妨令11z =，得()1,m =--.设平面AOC 的一个法向量为()222,,n x y z =，则22230102n OC x nOA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令2y ()0,3,1n=. ∵03cos ,55m n m n mn⋅-===⨯， ∴平面ABE 与平面AOC . 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．。
北京师范大学第二附属中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》检测卷(答案解析)
一、选择题1．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．104B ．64C ．105D ．1552．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+ B ．a b c +- C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 3．如图所示，在正四面体A -BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )A ．32B ．23C ．12D ．34．正方体1111ABCD A B C D -中,动点M 在线段1A C 上,E ，F 分别为1DD ，AD 的中点.若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为（ ） A ．[,]63ππB ．[,]43ππC ．[,]62ππD ．[,]42ππ5．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．906．已知(),(3,0,1),(131,2,3,1),55a b c =-==--给出下列等式：①a b c a b c ++=--；②()()a b c a b c +⋅=⋅+；③2222()a b c b c a =++++ ④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知二面角l αβ--的两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>=，则二面角l αβ--的大小为（ ） A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．6π或3π8．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9 B ．7C ．5D ．39．正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP AD ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．10．已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且3BM MC =，点N 是棱AD 的中点，若MN xAB y AC z AD =++其中,,x y z 为实数，则x y z ++的值是（ ）A ．12B ．12-C ．－2D ．211．如图四边形ABCD 中，2AB BD DA ===，2BC CD ==，现将ABD △沿BD折起，当二面角A BD C --的大小为56π时，直线AB 与CD 所成角的余弦值是（ ）A 52B ．328C 32D 2 12．有下列四个命题：①已知1e 和2e 是两个互相垂直的单位向量，a =21e +32e ，1b ke =-42e ，且a ⊥b ，则实数k ＝6；②已知正四面体O ﹣ABC 的棱长为1，则（OA OB +）•（CA CB +）＝1；③已知A （1，1，0），B （0，3，0），C （2，2，3），则向量AC 在AB 上正投影的数量是55④已知1a e =-223e e +，1b e =-+32e +23e ，c =-31e +72e （{1e ，2e ，3e }为空间向量的一个基底），则向量a ，b ，c 不可能共面． 其中正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个13．正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．-2B ．4C ．2D ．1二、填空题14．若面α的法向量(1,,1)n λ=，面β的法向量(2,1,2)m =--，两面夹角的正弦值为34，则λ=________. 15．已知下列命题：①若空间向量a ，b 满足a b =，则a b =；②已知()y f x =是R 上的连续可导函数，则“0x x =是函数()y f x =的一个极值点”是“()00f x '=”的充分不必要条件；③在空间中，已知A ，B ，C ，D 四点共面，若1136PA PB PC mPD =++，则12m =； ④已知函数()sin 2cos xf x x=+，当0x >时，函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是13k ≥(只填序号) 其中正确的命题是______.16．已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为2020，过其底面中心O 作动平面α交线段PC 于点S ，交,PA PB 的延长线于,M N 两点，则111PS PM PN++的取值范围为__________17．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,3,4AB BC AA ===，则点D 到平面11A D C 的距离是______．18．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________19．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当0AP BP ⋅=取最小值时，点P 的坐标为__________．20．已知()1,1,2AB =-，()1,1,BC z =-，()1,,1BP x y =--.若BP ⊥平面ABC ，则||CP 的最小值为___________.21．正三棱柱ABC A B C '''-，2,22AB AA ='=，M 是直线BC 上的动点，则异面直线AB '与C M '所成角的范围为_____________．22．如图所示，P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点，且OM xOA yOB zOC =++，则x y z ++=__．23．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则1||AC =__________.24．如图，在正四棱锥V ABCD -中，二面角V BC D --为60°，E 为BC 的中点.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为60°，则VFVA=_____________.25．已知ABC ∆的顶点A ∈平面α,点B ,C 在平面α异侧,且2AB =,3AC =若AB ,AC 与α所成的角分别为3π,6π,则线段BC 长度的取值范围为______.26．在空间直角坐标系中，(2,0,1)a x =--，(1,,2)b y =，且|2|13a b +=2m x y =+的取值范围是_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值. 【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =， 则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ， 则()()1122221610sin cos ,53312n BC n BC n BC θ⋅-=<>===⋅-+⨯+-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角； （2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.2．A解析：A 【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出BD 关于a 、b 、c 的表达式. 【详解】()11112222OD OA AD OA AC OA OC OA OA OC =+=+=+-=+， 因此，11112222BD OD OB OA OB OC a b c =-=-+=-+. 故选：A. 【点睛】本题考查利用基底表示空间向量，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A 在下底面的投影，进一步求出E 在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果. 【详解】在正四面体A BCD -中，设棱长为a ，E 为棱AD 的中点， 如下图所示过A 做AO ⊥平面BCD ，则O 为平面BCD 的中心，延长DO 交BC 于G ，过E 做EF GD ⊥， 连接FC ，所以ECF ∠就是所求的CE 与平面BCD 的夹角． 所以222GD CD CG =-，求得3GD a =， 所以3DO a =，利用222AO AD OD =-，解得6AO a =， 所以66EF a =，3CE a =， 在Rt EFC 中，2sin 3EF ECF CE ∠==，故选B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题．4．A【详解】以D 点为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 如图设DA 2=，易得()1,0,1EF=-,设()()()12,2,20122,2,2CM CA BM λλλλλλλλ==-≤≤=--，， 则cos θcos ,?BM EF =， 即())222201122321222823()33cos θλλλλλλ===≤≤-+-+-+.当13λ=时，cos θ31λ=时，cos θ取到最小值12，所以θ的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.5．D解析：D 【分析】设向量12PP 与13PP 的夹角为θ，计算出向量12PP 与13PP 的坐标，然后由12131213cos PP PP PP PP θ⋅=⋅计算出cos θ的值，可得出θ的值.设向量12PP 与13PP 的夹角为θ， ()()()123,1,01,1,22,2,2PP =--=-，()()()130,1,31,1,21,2,1PP =--=-，则12131213cos 0PP PP PP PP θ⋅==⋅，所以，90θ=，故选D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.6．D解析：D 【详解】由题设可得197(,3,)55a b c ++=，则635255a b c ++==； 923(,1,)55a b c --=-，63525a b c --=，则①正确；因1346()(4,2,2)(,1,)205555a b c +⋅=⋅--=-+-=， 1481424()(1,2,3)(,1,)205555a b c ⋅+=⋅-=+-=，故②正确；又因2635127()255a b c ++==，而22235714,10,255a b c ====， 所以22271272455a b c ++=+=，即③正确； 又3030a b ⋅=+-=，则()0a b c ⋅⋅=， 而330055b c ⋅=-++=，故()0a b c ⋅⋅=，也即④正确. 故选：D ．7．C解析：C 【分析】由于方向量的方向性，平面的法向量有正向量或负向量；当a 、b 为异号向量，二面角为π减去两法向量夹角；当a 、b 为同号向量，二面角即为两法向量的夹角，由此即可求得二面角l αβ-- 【详解】两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>=由于向量的方向性，法向量与平面有两种情况 当a 、b 为异号向量，如下图示：,a b 6π<>=∴有二面角l αβ--为56π 当a 、b 为同号向量，如下图示：,a b 6π<>=∴有二面角l αβ--为6π 综上，有二面角l αβ--为6π或56π 故选：C 【点睛】本题考查了二面角与平面法向量夹角的关系，依据法向量的夹角判断平面所成二面角的大小，注意法向量的方向性，讨论在不同情况下二面角的大小8．D解析：D 【分析】利用中点坐标公式可得点B 的坐标，设(,,)C x y z ，利用||||3CO CB ==，1cos ,6EF BC <>=可解出点C 的纵坐标，最后利用数量积的坐标运算可得OC OF ⋅的值. 【详解】设(,,)C x y z ，(2,2,0)B ，(,,)OC x y z =，(2,2,)BC x y z =--，(22,22,0)EF =-，由(22,22,0)(2,2,)1cos ,6EF BC x y z EF BC EF BC⋅-⋅--===⋅，整理可得：22x y -=-，由||||3CO CB ==，得2222(2)(2)x y x y +=-+-， 化简得2x y +=，以上方程组联立得232,x y ==， 则()(,,)0,22,0223OC OF x y z y =⋅==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9．C解析：C 【分析】建立空间坐标系，设(),,P x y z ，求出AP AD ⋅关于,,x y z 的表达式，根据球的半径得出,,x y z 的取值范围，利用简单的线性规划得出答案.【详解】设BC 的中点为M ，以M 为原点建立如图所示的空间坐标系，则)326,3,0,0A D ⎝⎭，设(),,P x y z ，则326,,33AP x y z ⎛=-- ⎝⎭，232633AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 2326233AP AD x z ∴⋅=-+， P 在以M 为球心，以1为半径的球面上， 2221x y z ∴++=，01y ≤≤，2201x z ≤+≤，23262x z m +=， 232620x z m -+-=与单位圆221x z +=相切时，截距取得最小值， 2221232633m-=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0m =或4m =∴AP AD ⋅的最大值为4. 故选：C【点睛】本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于难题.10．B解析：B 【分析】利用向量运算得到131442MN AB AC AD =--+得到答案. 【详解】()3113142442MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD =++=--+=--+ 故12x y z ++=- 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.11．A解析：A 【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与CD 所成角的余弦值． 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，2AB BD DA ===．2BC CD ==，CO BD ∴⊥，AO BD ⊥，且1CO =，3AO =，AOC ∴∠是二面角A BD C --的平面角，因为二面角A BD C --的平面角为56π， 56AOC π∴∠=以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0B ，1-，0)，(1C ，0，0)，(0D ，1，0)，33(,0,)2A -，∴33(,1,)2BA =-，(1,1,0)CD =-，设AB 、CD 的夹角为α， 则3|1|||522cos ||||22AB CD AB CD α+===， 故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．C解析：C 【分析】利用向量的基本概念逐一进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：①a =21e +32e ，1b ke =-42e ，且a b ⊥，2212121122(23)(4)2()(38)12()2120a b e e ke e k e k e e e k ∴=+-=+--=-=，解得6k =，所以①正确．②()()OA OB CA CB OA CA OA CB OB CA OB CB ++=+++11cos6011cos9011cos9011cos60001=⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒++=，所以②正确．③(1,1,3)AC =，(1,2,0)AB =-，向量AC 在AB 上正投影2221||(1)20AC AB AB ⨯===-++③正确． ④假设向量a ，b ，c 共面，则a xb yc =+， 所以123123122(32)(37)e e e x e e e y e e -+=-+++-+， 1231232(3)(37)2e e e x y e x y e xe -+=--+++，所以13x y =--，237x y -=+，12x =， 得12x =，12y ， 所以向量a ，b ，c 共面，所以④不正确． 即正确的有3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的基本概念，向量垂直，共面，正投影等，属于中档题．13．D解析：D 【解析】 【分析】如图所示，1()2AE AB AC =+，12AF AD =．代入AE AF ⋅，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】 解：如图所示，1()2AE AB AC =+，12AF AD =．∴111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD =+=+ 221(2cos602cos60)4=︒+︒ 1=．故选：D ．【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题14．【分析】设平面的夹角为利用空间向量夹角公式得：由已知知建立关于的方程解方程即可得到答案【详解】设平面的夹角为又面的法向量面的法向量则利用空间向量夹角公式得：由已知得故故即解得：故答案为：【点睛】结论 解析：2±【分析】设平面,αβ的夹角为θ，利用空间向量夹角公式得：2cos 32⋅==+m n m nλθλ，由已知34sin =θ，知21cos 18=θ，建立关于λ的方程，解方程即可得到答案.【详解】设平面,αβ的夹角为θ，又面α的法向量(1,,1)n λ=，面β的法向量(2,1,2)m =--， 则利用空间向量夹角公式得：2222cos 1141432⋅--===+++++m n m nλλθλλ由已知得34sin 6=θ，故222234341cos 1sin 1118=-=-=-=⎝⎭⎝⎭θθ 故2211832=+λλ，即2222119(2)1822=⇒=++λλλλ，解得：2λ=故答案为：2± 【点睛】结论点睛：本题考查利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则①两直线,l m 所成的角为θ(02πθ<≤),cos a b a bθ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=；③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u vθ⋅=15．②③④【分析】①根据向量相等的知识进行判断；②结合极值点和充分必要条件的知识进行判断；③根据四点共面的知识进行判断；④求得在处的切线方程结合切线的斜率基本不等式求得的取值范围【详解】①不正确方向不同解析：②③④ 【分析】①根据向量相等的知识进行判断；②结合极值点和充分、必要条件的知识进行判断；③根据四点共面的知识进行判断；④求得()f x 在0x =处的切线方程，结合切线的斜率、基本不等式求得k 的取值范围. 【详解】①不正确，,a b 方向不同，则a b ≠.②正确，由“极值点导数为0，导数为零不一定是极值点”以及充分、必要条件的知识可知正确.③正确，由四点共面结论可知1111362m m ++==⇒. ④正确，由()()2cos 2cos 21x x f x +'=+，由()103f '=，()00f =，则()f x 在()0,0处的切线方程为13y x =，令[]2cos 11,3t x =+∈-，则1cos 2t x -=，则()222co c 1s os x x ++可化为2246932t tt t t =+++⎛⎫⎪⎝⎭，当10t -≤<时，()0f x '<，()f x 递减， 当0t =时，()0f x '=，当03t <≤时，2441096936t t t t t <=≤=++++，()f x 递增，当且仅当9,3t t t==时等号成立. 所以()()22113cos cos 2f x x x +'=≤+. 所以当13k ≥时满足条件. 故答案为：②③④ 【点睛】本小题主要考查空间向量、导数与极值点、导数与切线方程等知识.16．【分析】设则根据空间四点共面的条件又四点共面则即得出答案【详解】设则由为底面中心又因为四点共面所以且所以即即故答案为：【点睛】本题考查空间四点共面的条件的应用属于中档题解析：32020⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】设,,PM x PN y PS z ===,则111333zPAPB PCPO PM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅,根据空间四点共面的条件，又,,,S M N O 四点共面，则202020202020+1333zx y +=，即得出答案. 【详解】设,,PM x PN y PS z ===. 则PA PA PM x=⋅,PB PB PN y=⋅,PC PC PS z=⋅.由O 为底面ABC 中心, ()2132PO PA AO PA AB AC =+=+⨯+ ()()133PA PB PCPA PB PA PC PA ++⎡⎤=+-+-=⎣⎦ 111333z PA PB PCPM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ 333zPA PB PC PM PN PS x y=⋅+⋅+⋅又因为,,,S M N O四点共面,所以+1 333zPA PB PCx y+=且2020PA PB PC===.所以202020202020+1333zx y+=，即1113+z2020x y+=即11132020PS PM PN++=.故答案为：32020⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查空间四点共面的条件的应用，属于中档题.17．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出点到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系设平面的法向量则即取得∴点到平面的距离：故答案为【点睛】空间中点到平面的距离解析：125【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面11A D C的距离．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0)D，1(3,0,4)A，1(0,0,4)D，(0,3,0)C，1(0,0,4)D D =-，11(3,0,0)D A =，1(0,3,4)DC =-， 设平面11A D C 的法向量(,,)n x y z =，则11100n D A n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30340x y z =⎧⎨-=⎩，取4y =，得(0,4,3)n =， ∴点D 到平面11A D C 的距离：112||5D D n d n ⋅==．故答案为125． 【点睛】空间中点到平面的距离的计算，应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算，注意在平面图形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）来求线段的长度、面积等.我们也可以利用空间向量来求，把点到平面的距离问题转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影问题.18．【分析】用表示从而求出即可求出从而得出答案【详解】点在上且为的中点故故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算运用向量的加法法则来求解属于基础题解析：13【分析】用,,a b c 表示,ON OM ，从而求出MN ，即可求出,,x y z ，从而得出答案 【详解】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点22=33OM OA a ∴=()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-==故21113223x y z ++=-++= 故答案为13【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题19．(00)【分析】设P(x00)求出·＝x(x －1)＋2＝(x －)2＋再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标【详解】设P(x00)则＝(x －1－20)＝(x －11)·＝x(x －1)＋2＝(x －解析：(12，0,0) 【分析】设P (x,0,0)，求出·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋，再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标. 【详解】 设P (x,0,0)，则＝(x －1，－2,0)，＝(x ，－1,1)，·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋， ∴当x ＝时，·取最小值，此时点P 的坐标为(，0,0)．故答案为(12，0,0) 【点睛】(1)本题主要考查空间向量的坐标表示和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 111222121212(,,),(,,),a x y z b x y z a b x x y y z z ==⋅=++.20．【分析】利用平面得到两个向量垂直从而利用坐标运算得到之间的关系然后再利用模的坐标表示求解最值即可【详解】因为平面都在平面内所以所以又因为所以解得所以所以所以的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：解答 5【分析】利用BP ⊥平面ABC ，得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到y ，x ，z 之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可． 【详解】因为BP ⊥平面ABC ，,AB BC 都在平面ABC 内， 所以,BP AB BP BC ⊥⊥， 所以,BP AB BP BC ⊥⊥，又因为()1,1,2AB =-，()1,1,BC z =-，()1,,1BP x y =--， 所以(1)20(1)0BP AB x y BP BC x y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=---=⎩，解得1y x =--，2x z =所以(2,1,1)CP BP BC x y z =-=-+--， 所以2222||(2)(1)(1)CP x y z =-+++--()()()222212x x x =-+-+--2655x =+，所以||CP【点睛】方法点睛：解答立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系设由向量法求两异面直线所成角的余弦表示为的函数求出最大值和最小值后得的范围这里需引入函数用导数求出函数的最小值从而得出的最大值【详解】以为轴为轴建立如图所示的空间解析：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设CM kCB =，由向量法求两异面直线所成角的余弦cos θ表示为k 的函数，求出最大值和最小值后得θ的范围．这里需引入函数()f x 用导数求出函数的最小值，从而得出cos θ的最大值． 【详解】以AB 为x 轴，AA '为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,B '，(2,0,0)B ，(1,3,0)C，(1,3,2C '，设CM kCB =，则k ∈R，(1,CB =，(0,0,(1,(,,C M C C CM k k ''=+=-+=-．又(2,0,AB '=， 设直线AB '与C M '所成角为θ， 则cos 2AB C M AB C Mθ''⋅==''=， 4k =时，min (cos )0θ=，设()f x =，则32224()(2)x f x x +'==+，12x <-时，()0f x '<，()f x 递减，12x >-时，()0f x '>，()f x 递增，∴12x =-时，()f x 取得极小值也是最小值132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4x <时，()0f x <，4x >时，222(4)8162x x x x -=-+<+，212x <+，∴max ()3f x =，max 3(cos )223θ==， 即30cos θ≤≤，∴,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故答案为：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角．解题方法是空间向量法．求异面直线所成角的方法：（1）几何法（定义法）：作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得解；（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量的夹角余弦的绝对值得异面直线所成角的余弦值，从而得角．22．【分析】用向量表示就能找到的值进而算出答案【详解】解：因为分别是四面体的边的中点是靠近的三等分点所以所以故答案为：【点睛】本题考查空间向量的表示考查空间向量加法法则等基础知识考查运算求解能力考查数形解析：23【分析】用向量OA ，OB ，OC 表示OM ，就能找到x ，y ，z 的值，进而算出答案． 【详解】解：因为P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点，所以1111()2323OM OP PM OA PQ OA PA AB BQ =+=+=+++，1111()2322OA OA OB OA BC =++-+， 1111(())2322OA OA OB OA OC OB =++-+-， 111366OA OB OC =++， 所以13x =，16y =，16z =，11123663x y z ++=++=，故答案为：23． 【点睛】本题考查空间向量的表示，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．23．【分析】设且利用数量积运算即得解【详解】设故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长数量积运算考查了学生空间想象数学运算能力属于中档题 解析：【分析】设1,,AB a AD b AA c ===,且1|||++|AC a b c =，利用数量积运算即得解. 【详解】设1,,||||||2,,,60o AB a AD b AA c a b c a b a c c b ===∴===<>=<>=<>=， 222221|||++|||||||22224AC a b c a b c a b a c c b ==+++⋅+⋅+⋅=||26AC ∴=故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长，数量积运算，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题.24．11【分析】由题意建立空间直角坐标系由二面角的定义得出从而写出的坐标由向量共线的性质设利用向量的加法得出由异面直线与所成角利用向量法得出的值从而得出的值【详解】取的中点G 与的交点为以O 为坐标原点分别解析：11 【分析】由题意建立空间直角坐标系，由二面角的定义得出60OEV ∠=︒，从而写出,,,V E B A 的坐标，由向量共线的性质设(1)VF VA λλ=≠，利用向量的加法得出BF ，由异面直线BF 与VE 所成角，利用向量法得出λ的值，从而得出VFVA的值. 【详解】取AB 的中点G ，AC 与DB 的交点为O ，以O 为坐标原点，分别以,,OG OE OV 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =因为二面角V BC D --为60°，所以60OEV ∠=︒ 则()()()()0,0,3,0,1,0,1,1,0,1,1,0V E B A -()()()1,1,3,1,1,3,0,1,3VA VB VE =--=-=-.设(1)VF VA λλ=≠，则()1,1,33BF VF VB λλλ=-=----+ 从而22||cos ,cos 60||||24(1)(1)BF VE BF VE BF VE λλ⋅===︒-++整理得210110λλ+-=，解得1λ=(舍)，11λ=- 故11VFVA=. 故答案为：11【点睛】本题主要考查了已知面面角，线线角求参数，属于中档题.25．【分析】由题意画出图形分别过作底面的垂线垂足分别为根据可知线段长度的最大值或最小值取决于的长度而即可分别求出的最小值与最大值【详解】如图所示：分别过作底面的垂线垂足分别为由已知可得∵而∴当所在平面与解析：7,13⎡⎣【分析】由题意画出图形，分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ， 根据()222111111274BC BB B C C CB C =++=+可知，线段BC 长度的最大值或最小值取决于11B C 的长度，而111111AB AC B C AB AC -≤≤+，即可分别求出BC 的最小值与最大值． 【详解】如图所示：分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ． 由已知可得，13BB =13CC =11AB =，132AC =． ∵1111BC BB BC C C=++， ()22222221111111111111132723344BC BB B C C CBB B C C C BB C C B C B C =++=+++⋅=+++=+而111111AB AC B C AB AC -≤≤+，∴当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点同侧时，BC 长度最小，此时111131122B C AB AC =-=-=，BC 2127724⎛⎫+= ⎪⎝⎭当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点异侧时，BC长度最大，此时111135122B C AB AC =+=+=，BC 25271324⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ∴线段BC 长度的取值范围为7,13⎡⎣． 故答案为：7,13⎡⎤⎣⎦．【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．26．【分析】推导出由得到从而由此能求出的取值范围【详解】在空间直角坐标系中整理得：的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查代数式的取值范围的求法考查空间向量坐标运算法则椭圆的参数方程等基础知识考查运算求解解析：⎡⎣【分析】推导出2(a b x +=，2y ，3)，由|2|13a b +=2214x y +=，从而2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(02)θπ≤<，由此能求出2m x y =+的取值范围． 【详解】在空间直角坐标系中，(2,0,1)a x =--，(1,,2)b y =，∴2(,2,3)a b x y +=，|2|13a b +=，∴=2244x y +=，∴2214x y +=， ∴2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(02)θπ≤<，2sin 4cos )m x y θθθα∴=+=+=+，tan 4α=．2m x y ∴=+的取值范围是[．故答案为：[． 【点睛】本题考查代数式的取值范围的求法，考查空间向量坐标运算法则、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，求解时注意三角函数中辅助角公式及有界性的应用．。
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北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：空间向量与立体几何（2）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．平面α的一个法向量n ＝(1，－1,0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】B2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．45° D ．以上都不正确 【答案】B3．在三棱柱111ABC A B C -中，设M 、N 分别为1,BB AC 的中点，则MN等于 ( ）A ．11()2AC AB BB ++B ．111111()2B A BC C C ++C ．11()2AC CB BB ++D ．11()2BB BA BC --【答案】B4． 空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则BA CB CD +-等于 ( ）A ．DBB ．ADC ．DAD ．AC【答案】C5．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有＝x ＋y ＋z (x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B6．在空间四边形ABCD 中，若AB a = ，BD b = ，AC c = ，则CD等于 ( ）A ．()a b c --B ．()c b a --C ．a b c --D ．()b c a --【答案】D7．点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s ＝(1，－1,1)的直线l 的距离为6，则点M 的坐标是( ) A ．(0,0，±2) B ．(0,0，±3) C ．(0,0，±3) D ．(0,0，±1) 【答案】B8．四棱柱1111ABCD A BC D -中，AC 与BD 的交点为点M ，设11111,,A B a A D b AA c ===，则下列与1B M相等的向量是 ( ）A ．1122a b c -+-B ． 1122a b c ++C ．1122a b c -+D ．1122a b c --+【答案】Ａ9．平面α，β的法向量分别是n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,0，－1)，则平面α，β所成角的余弦值是( )A ．33B ．－33C ．63 D ．－63【答案】C10．以下命题中，不正确的命题个数为( )①已知A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则A ＋B ＋C ＋D ＝0②若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；③对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若O ＝x ＋y ＋z (其中x ，y ，z ∈R)，则P 、A 、B 、C 四点共面．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B11．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若＝x ＋y ＋z ，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16【答案】D12．如图所示，已知在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝2，BO ＝6，D 为A 1B 1的中点，且异面直线OD 与A 1B 垂直，则三棱柱ABO －A 1B 1O 1的高是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，试用，，表示，则＝________.【答案】13＋13＋1314．若两点的坐标是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosβ,2sinβ,1)，则AB的取值范围是_________. 【答案】［1,5］15．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，则l1与l2的位置关系是________．【答案】平行16．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于________．【答案】6 4三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若PA ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； (3)当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长． 【答案】(1)因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD .又因为PA ⊥平面ABCD .所以PA ⊥BD . 因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC .(2)设AC ∩BD ＝O .因为∠BAD ＝60°，PA ＝AB ＝2， 所以BO ＝1，AO ＝CO ＝3．如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O －xyz ，则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)．所以＝(1，3，－2)， ＝(0,23，0)，设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝＝622³23＝64． (3)由(2)知＝(－1，3，0)．设P (0，－3，t )，(t >0)，则＝(－1，－3，t )． 设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则 ²m ＝0，²m ＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t ．所以m ＝(3，3，6t)．同理，平面PDC 的法向量n ＝(－3，3，6t)．因为平面PBC ⊥平面PDC .所以m ²n ＝0，即－6＋36t2＝0.解得t ＝6．所以PA ＝6．18．已知E,F 分别是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC 和CD 的中点，求： (1)A 1D 与EF 所成角的大小； (2)A 1F 与平面B 1EB 所成角的余弦值； (3)二面角C-D 1B 1-B 的余弦值.【答案】建立如图所示空间直角坐标系Dxyz.(1)∵1A D=(-1,0,-1),11EF (,,0)22=-- ,∴1111A D EF12cos<A D,EF>2|A D ||EF |222===⨯, ∴1<A D,EF>=60°.因此A 1D 与EF 所成角的大小为60°. (2)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， ∵AB ⊥平面B 1C 1CB,∴AB是平面B 1EB 的一个法向量， ∵AB=(1,1,0)-(1,0,0)=(0,1,0), 1A F =(0,12,0)-(1,0,1)=(-1,12,-1),∴1131|AB |1,|A F |,A F AB 22=== . 由11cos<A F,AB>3,可得A 1F 与平面B 1EB 所成角的余弦值为223. (3)连结AC 1,AC,∵AC 1⊥平面B 1D 1C,∴1AC是平面B 1D 1C 的一个法向量，∵AC ⊥平面B 1D 1B,∴AC是平面B 1D 1B 的一个法向量.∵1AC =(-1,1,1)，AC =(-1,1,0),1|AC |3=,1|AC|2,AC AC 2== ,∴16cos<AC ,AC>3=,故所求二面角的余弦值为63. 19．正方形ABCD,ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a(0＜a ＜2).当a 为何值时，MN 的长度最短？【答案】∵平面ABCD ⊥平面ABEF,平面ABCD ∩平面ABEF=AB,AB ⊥BE, ∴BE ⊥平面ABCD. ∴AB,BC,BE 两两垂直.∴以B 点为原点，射线BA,BE,BC 分别为x 轴，y 轴和z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则M(2a 2,0,1-2a 2),N(2a 2,2a 2,0),∴2222222MN (a a)(0a)(1a 0)2222=-+-+-- 2221a 2a 1(a )22=-+=-+. ∴当a=22时，MN 最短为22，此时，M,N 恰好分别为AC,BF 的中点. 20．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝4，点M 是棱D 1C 1的中点．求直线AB 1与平面DA 1M 所成角的正弦值．【答案】建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，C (0,2,0)，A 1(4,0,4)，B 1(4,2,4)，C 1(0,2,4)，D 1(0,0,4)．于是，M (0,1,4).＝(0,1,4)，＝(4,0,4)，＝(0,2,4)． 设平面DA 1M 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋4z ＝04x ＋4z ＝0．取z ＝－1，得x ＝1，y ＝4.所以平面DA 1M 的一个法向量为n ＝(1,4，－1)． 设直线AB 1与平面DA 1M 所成角为θ， 则sin θ＝＝1015， 所以直线AB 1与平面DA 1M 所成角的正弦值为1015． 21．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PBC ⊥底面ABCD ，且PB ＝PC ＝5． (1)求证：AB ⊥CP ；(2)求点B 到平面PAD 的距离；(3)设面PAD 与面PBC 的交线为l ，求二面角A －l －B 的大小．【答案】(1)证明 以BC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1,0,0)，A (1，－2,0)，C (－1,0,0)，P (0,0,2)，D (－1，－2,0)． ＝(0,2,0)，＝(1,0,2)， 则有²＝0，∴⊥.即AB ⊥CP .(2)解 设平面PAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由得⎩⎪⎨⎪⎧－x －2y －2z ＝0，－2x ＝0.令x ＝0，则y ＝1，z ＝－1，得n ＝(0,1，－1)，又＝(－1,0,2)，∴点B 到平面PAD 的距离d ＝＝|0＋0－2|2＝2．(3)解 由(2)知平面PAD 的法向量n ＝(0,1，－1)， 而平面PBC ⊥平面ABCD ，∴平面PBC的法向量m＝(0,1,0)．∴二面角A－l－B的余弦值为|m²n||m||n|＝22．由图形知二面角A－l－B为锐二面角，∴二面角A－l－B的大小为45°.22．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E 为AB的中点，点F为PD的中点.(1)证明：平面PED⊥平面PAB；(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.【答案】(1)连结BD,∵ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形.又E是AB的中点，则∠EDB=30°，∠BDC=60°，∴∠EDC=90°，如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设PD=AB=1，则PF=FD=12，ED=32，∴P(0，0，1)，E(32，0，0)，B(32，12，0)∴313PB (1)PE (01)222=-=- ，，，，，，平面PED 的一个法向量为DC=(0，1，0)，设平面PAB 的法向量为n=(x,y,1)由()()31x,y,1(,,1)0PB 22PE 3x,y,1(,0,1)02⎧-=⎪⎧⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎪⎩-=⎪⎩n n ⇒312x y 10x 22,33y 0x 102⎧⎧--=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎩⎪⎩∴n=(23,0,1), ∵DC ²n=0,即DC⊥n,∴平面PED ⊥平面PAB.(2)由(1)知：平面PAB 的法向量为n=(23,0,1), 设平面FAB 的法向量为n 1=(x 1,y 1,-1)，由(1)知：F(0，0，12)，311FB ()222=- ，，，31FE (0)22=- ，，，由()()111111311x ,y ,1(,,)0FB 222FE 31x ,y ,1(,0,)022⎧--=⎪⎧⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎪⎩--=⎪⎩ n n ⇒111113111x y 0x 222,331y 0x 022⎧⎧++=⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩∴n 1=(13-,0,-1).∴二面角P-AB-F 的平面角的余弦值11157cos |cos<>|||||||14θ===,n n n n n n .。