2012届高考数学(理)一轮复习课时卷：第七章_立体几何第六节____空间向量及其运算(北师大版)

2012届高考数学（理）一轮复习课时卷： 第七章 立体几何第六节 空间向量及其运算

一、选择题

1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.

其中能够化简为向量BD 1→

的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④

D ．①④

答案：A

解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→

； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；

④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→

，综上①②符合题意．

2．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →

可表示为(用a ，b ，c 表示)．( )

A.12a ＋1

4b ＋14c B.12a ＋13b －1

2c C.13a ＋14b ＋1

4c

D.13a －14b ＋14

c 答案：A

解析：OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →

)

＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →

)

＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14

c . 3．若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b

D ．(a·b )c ＝a (b·c )

答案：D

4．已知空间四边形ABCD 中，M 、G 分别为BC 、CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →

)等于

( )

A.AG →

B.CG →

C.BC →

D.12

BC → 答案：A

解析：如图所示：

12

(BD →＋BC →)＝BG →，AB →＋BG →＝AG →

.

5．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC AB ＝1

3，则C 点的坐标为( )

A ．(72，－12，5

2)

B ．(8

3，－3,2)

C ．(103，－1，73)

D ．(52，－72，32

)

答案：C

解析：由题意知2AC →＝CB →

，设C (x ，y ，z )， 则2(x －4，y －1，z －3)＝(2－x ，－5－y,1－z )， ∴⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －8＝2－x ，2y －2＝－5－y ，2z －6＝1－z .∴⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝103

，

y ＝－1，

z ＝73，

即C (103，－1，73

)

6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝

2

3

a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交

B ．平行

C ．垂直

D ．不能确定

答案：B

解析：如右图，建立空间直角坐标系B

1－xyz ， 则M (0，23a ，13a )、N (a 3，2

3a ，a )，

∴MN →

＝(a 3，0，23a )．

∴MN →

∥平面BB 1C 1C . 二、填空题

7．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →

＝________. 答案：0

解析：设AB →＝b ，AC →＝c ，AD →

＝d ， 则CD →＝d －c ，BD →＝d －b ，BC →

＝c －b . 原式＝b ·(d －c )＋d ·(c －b )－c (d －b )＝0.

8．已知空间三点A (1,1,1)、B (－1,0,4)、C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________． 答案：120°

解析：AB →＝(－2，－1,3)，CA →

＝(－1,3，－2)， cos 〈AB →，CA →

〉＝AB →·CA →

|AB →||CA →|＝2－3－614×14

＝

－714＝－1

2

， ∴〈AB →，CA →

〉＝120°，即θ＝120°.

9．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2

解析：∵A 、B 、C 共线，∴AB →∥BC →.

由已知AB →＝(1，－1,3)，BC →

＝(p －2，－1，q ＋1)， ∴

p －21＝－1－1

＝q ＋1

3. ∴p ＝3，q ＝2. 三、解答题

10．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：