人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结
人教版A版高中数学选修2-1：小结
基础训练
x2
(7)已知椭圆
y2
1上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，
25 9
35
则点 P 到椭圆右准线的距离为 4
x2 y2
(8)以椭圆 1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线
25 16
100
的抛物线与椭圆的右准线交于 A、B 两点，则 AB= 3
小结：要熟练掌握圆锥曲线的基础知识，以解决基 本问题。
基础训练
x2 y2
(1)一个焦点为 0, 7 , 短轴长为 6 的椭圆的标准方程为 9 __1_6___1_ (2)已知方程 x 2 y 2 1表示椭圆，则 k 的
3k 2k
取值范围为 _3_ k 2 (3)若双曲线的实半轴长为 2,焦距为 6,那么双曲线
e 3
的离心率为 ___2
2a 3 2b
则此：时所a92 求 b的42 椭1，圆解方此程方为程x组2 ， y得2
a 2 b 2
1
45 5
45 5
(2)当焦点在y轴上时，同理得，椭圆方程为
x2 y2 5 85
1
小结：本题用待定系数法求椭圆的标准方程， 9
但在无法判断焦点所在的坐标轴时，要分情况讨论
基础训练
(4)经过点 Ax（2 -3y，2 1），且对称轴是坐标轴的等轴双曲线 方程是 8 8 1
（5）抛物线 y 1 x 2 的焦点坐标是 (0,-1) 4
(6)已知 M 为抛物线 y 2 4x 上一动点， F 为抛物线的
焦点，定点 P3 , 1，则 MP MF 的最小值为 4
【例1】 过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、 l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段 AB的中点M的轨迹方程． 解 法一 设点M的坐标为(x，y)． ∵M为线段AB的中点， ∴A的坐标为(2x，0)，B坐标为(0，2y)． ∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2，4)，
高二数学选修2-1：第三章 圆锥曲线的概念及性质 含解析
重点列表：椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合1212P={M||MF|+|MF |=2a |FF |=2c.} ①若a c >，则集合P 为椭圆； ②若a c =，则集合P 为线段； ③若a c <，则集合P 为空集．椭圆的标准方程：焦点在x 轴时，2222=1(a>b>0)x y a b +；焦点在y 轴时，2222=1(a>b>0)y x a b+ 椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴，2222+=1(a>b>0)x y a b；（2）焦点在y 轴，2222y +=1(a>b>0)x a b.满足条件：22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．双曲线的标准方程重点1：椭圆的定义及性质【要点解读】1．熟悉椭圆定义、标准方程，在熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程中所使用的数学思想方法．2．在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|＜2a”这个条件，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在．3．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定．4．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值．5．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．6．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．7．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．【考向1】利用定义求椭圆的方程【例题】如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程．解：由题意得||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||AF 2＋||BF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.【评析】椭圆的定义是高考的常考点，应掌握椭圆的定义以及参数a ，b ，c ，e 的几何意义和相互关系． 【考向2】椭圆定义的应用【例题】如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．求该椭圆的离心率和标准方程．解：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．易知||OB 1＝||OB 2＝12||OF 1＝c2，||AB 1＝||AB 2，又∵△AB 1B 2为直角三角形，∴∠B 1AB 2＝90°.∴||OA ＝||OB 1，即b ＝c 2，有b 2＝a 2－c 2＝c 24，得e 2＝45，e ＝255.∵S △AB 1B 2＝12||B 1B 2·||AO ＝12bc ＝12·c 2·c ＝c 24＝4，∴c 2＝16，b 2＝4，a 2＝20.∴椭圆方程为x 220＋y 24＝1. 【考向3】椭圆的离心率【例题】设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c －c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1.∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选D.【评析】(1)对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化．在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因．(2)对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易．(3)整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化．正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在．重点2：双曲线的定义及性质【要点解读】1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．4．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． 5．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．【考向1】双曲线的定义【例题】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(－5，2)，焦点为(6，0)； (2)实半轴长为23，且与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点． 解：(1)∵焦点坐标为(6，0)，焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵双曲线过点(－5，2)， ∴25a 2－4b 2＝1，得a 2＝25b 2b 2＋4. 联立⎩⎨⎧a 2＝25b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝6，解得a 2＝5，b 2＝1，故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)由双曲线x 216－y 24＝1得其焦点坐标为F 1(-25，0)和F 2(25，0)，由题意知，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．易知a ＝23，c ＝25，∴b 2＝c 2－a 2＝8.∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1. 【评析】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．【考向2】双曲线的离心率【例题】(1)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 经过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点，若AF →＝4FB →，则C 的离心率为________．解：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右准线为l ，过A ，B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，作BD ⊥AM 于点D ，由直线AB 的斜率为3知直线AB 的倾斜角为60°，∴∠BAD ＝60°，|AD |＝12|AB |.又|AM |－|BN |＝|AD |＝1e (|AF →|－|FB →|)＝12|AB |＝12(|AF →|＋|FB →|)．又AF →＝4FB →， ∴1e ·3|FB →|＝52|FB →|，得e ＝65.故填65. (亦可联立直线与双曲线的方程求解，但计算较繁)【评析】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解．(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c 的运用，对于变式2(2)，还可利用双曲线的另一种定义(见人教A 版教材选修2－1P59例5)||PF 1＝e ⎝⎛⎭⎪⎫x P ＋a 2c ＝4a ，x P ＝3a 2c ≥a ，得1<e ≤3.(3)过焦点的弦被焦点所分成的线段成比例，一般可以寻找相似三角形，使用相似比【考向3】双曲线的渐近线【例题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ． y ＝±12xD ． y ＝±x【评析】本题考查双曲线的离心率，a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的不同点，对双曲线的渐近线的概念要注意理解．2．双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，即c 最大．6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．7．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线．重点3：抛物线的定义及性质【要点解读】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 【考向1】抛物线的定义及标准方程【例题】(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出抛物线的方程．②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，准线方程可统一为x ＝－a2.由题意可得⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋m ＝5，2am ＝9， 解得⎩⎨⎧a ＝1，m ＝92， 或⎩⎨⎧a ＝－1，m ＝－92， 或⎩⎨⎧a ＝9，m ＝12， 或⎩⎨⎧a ＝－9，m ＝－12.∴当m ＝92时，抛物线的方程为y 2＝2x ；当m ＝－92时，抛物线的方程为y 2＝－2x ；当m ＝12时，抛物线的方程为y 2＝18x ；当m ＝－12时，抛物线的方程为y 2＝－18x .(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2B ．3C ．115D ．3716解：易知直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小．因此最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即d min＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2.故选A.【评析】(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率；(2)把“数”、“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁．1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，可以优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．提倡作出合理的草图，图形合理，才能观察出图形的几何性质，并加以研究，为准确的代数化打下基础．难点列表：椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为2222e?b b c a=等．设椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处． 椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。
高中数学选修2-1圆锥曲线基本知识点与典型题举例(后附答案)
高中数学选修2--1圆锥曲线 基本知识点与典型题举例一、椭圆 1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定值2a (2a >|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e (0<e <1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l 叫做椭圆的准线,常数e 叫做椭圆的离心率.标准方程 22221(0)x y a b a b+=>> 22221(0)x y a b b a+=>> 图形顶点 (,0)a ±,(0,)b ± (0,)a ±,(,0)b ±对称轴 x 轴，y 轴，长轴长为2a ，短轴长为2b焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c1(0,)F c -、2(0,)F c焦距 焦距为122(0),F F c c => 222c a b =-离心率e =c a(0<e <1)例1. F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( )(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例 2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3. 若F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a±) 2()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在例4 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +22y b=1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )(A)2 (B)32 (D)3例5. P 点在椭圆1204522=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 .例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____.(4)离心率为23，经过点(2，0); .例7. 12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．二、双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定值2a (0<2a <|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e (e >1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线,常数e 叫做双曲线的离心率例8 .命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。
高中数学选修2-1、2-2知识点小结
选修2-1、2-2知识点选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 例：“a=1”是“0,21ax x x∀>+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B.C. 充要条D. 既不充分也不必要条件 1.（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；②点差法（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：12122100212,2,22x x y y y yx y k x x ++-===-） （2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）① 直线具有斜率k ，两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y1212AB x y =-==- ② 直线斜率不存在,则12AB y y =-.例1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（ ）；A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF例2已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程（ ）例3 已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上，若由焦点到直线的距离为3.（1）求椭圆分方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M,N ，当|AM|=|AN|时，求m 的取值范围。
（ ）例4过点A （2，1）的直线与双曲线x y2221-=相交于两点P 1、P 2，求线段P 1P 2中点的轨迹方程。
高中数学选修(2-1)第二章圆锥曲线与方程(知识点汇总)
圆锥曲线与方程--椭圆1、椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离和等于常数2a （2a>||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
2、椭圆的标准方程与几何性质:近于a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，则c 越接近于0，从而22c a b -=越大，这时椭圆就越接近于圆；故离心率e 越小椭圆越圆，离心率e 越大椭圆越扁。
4、弦长公式（一）：;12222⎪⎩⎪⎨⎧=++=b ya x m kx y 由)0(02≠=++a c bx ax y 得：消去⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+;;2121a c x x a b x x 由韦达定理知：，则，，，弦端点设)()(2211y x B y x A[]212212221222122212212214)()1())(1()()()()(x x x x k x x k x x k x x y y x x AB -++=-+=-+-=-+-=∴5、弦长公式（二）：;12222⎪⎩⎪⎨⎧=++=b yax mkx y 由)0'(0'''2≠=++a c y b y a x 得：消去⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+;;''21''21a c y y a b y y 由韦达定理知：[]212212221222122122212214)()11())(11()()(1)()(y y y y k y y ky y y y k y y x x AB -++=-+=-+-=-+-=直线和椭圆相交，求其弦长，通常利用根与系数的关系，设出交点坐标，但是不求出，从而求出弦长。
这种方法称为设而不求，这个公式叫做弦长公式。
1、双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数2a （2a<||21F F ）的点的轨迹叫做双曲线。
2、双曲线的标准方程与几何性质:1122222-=-=-==e ac a a c a b k ；所以e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
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21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装第二章圆锥曲线与方程本章知识结构：圆锥曲线的实际背景本章知识要点：标准方程简单的几何性质椭圆双曲线抛物线※※※※※※※※※※※※简单应用订2.1曲线与方程一、曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线.二、求曲线的方程1.解析几何：用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质.2.求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合PMp(M)；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)0；第1页共6页※※※※※※※※※※※※线※※※※※※※※※※盘点知识夯实基础逐步提高（4）化方程f(x,y)0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.简言之：①建系、取点②列式③代换④化简⑤证明.2.2椭圆一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2；当2aF1F2时，表示线段F1F2时，轨迹不存在.二、椭圆的标准方程与几何性质：标准方程当椭圆焦点在x轴上时当椭圆焦点在y轴上时x2y221(ab0)2aby2x221(ab0)2ab图形范围对称轴对称中心axa，bybaya，bxbx轴、y轴坐标原点O(0,0)x轴、y轴坐标原点O(0,0)第2页共6页高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装长轴短轴顶点坐标焦点坐标离心率长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b(a,0)，(0,b)(c,0)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a(0,a)，(b,0)(0,c)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a※※※※※※※※※※※※注意：1.a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a2b2c2.e叫做椭圆的离心率，e的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.c且0e1，e可以刻画椭圆a2.点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则PFmaxac，PFminac.3.点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，F1PF2取最大值.4.椭圆的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线订※※※※※※※※※※※※线ca2l：x的距离的比是常数e(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的ac焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.x2y25.椭圆方程221(ab0)常用三角换元为xacos,ybsin.ab三、点与椭圆位置关系※※※※※※※※※※x2y2点P(x0,y0)与椭圆221(ab0)位置关系：abx02y02（1）点P(x0,y0)在椭圆内221（含焦点）ab（2）点P(x0,y0)在椭圆上x0y012222abx02y02（3）点P(x0,y0)在椭圆外221ab第3页共6页盘点知识夯实基础逐步提高四、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系相交相切相离（2）弦长公式：设直线ykxb交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2)2x1x2，或|PP则|PP12|1k12|1公共点有两个公共点有且只有一个公共点无公共点判定方法000直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式1y1y2(k0).k22.3双曲线一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1、F2为端点的两条射线；当2aF1F2时，表示分别以F1F2时，轨迹不存在.二、双曲线的标准方程与几何性质：标准方程当双曲线焦点在x轴上时当双曲线焦点在y轴上时x2y221(a0,b0)2aby2x221(a0,b0)2ab图形第4页共6页高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装范围对称轴对称中心实轴虚轴顶点坐标焦点坐标渐近线离心率xa，或xaya，或yax轴、y轴坐标原点O(0,0)实轴长2a，虚轴长2bx轴、y轴坐标原点O(0,0)实轴长2a，虚轴长2b※※※※※※※※※※※※(a,0)(c,0)，其中c2a2b2xyb0，即yxabace(其中e1)a(0,a)(0,c)，其中c2a2b2yxa0，即yxabbce(其中e1)a订注意：1.a、b、c、e的几何意义：a叫做半实轴长；b叫做半虚轴长；c叫做半焦距；a、※※※※※※※※※※※※线b、c之间满足c2a2b2.e叫做椭圆的离心率，e张口就越大.c且e1.e越大，双曲线的a2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e2.3.双曲线的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定ca2直线l：x的距离的比是常数e(e1)时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双ac曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.4.直线与双曲线位置关系同椭圆.特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.※※※※※※※※※※x2y25.共渐近线的双曲线可写成22(0)；abx2y221(b2a2).共焦点的双曲线可写成2ab第5页共6页盘点知识夯实基础逐步提高2.4抛物线一、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.注意：当定点F在定直线l上时，点的轨迹为过点F与直线l垂直的直线.二、抛物线的标准方程与简单几何性质：标准y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程图形焦点坐标准线方程范围对称性顶点离心率注意：1.p的几何意义：p表示焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.22.若点M(x0,y0)是抛物线y2px(p0)上任意一点，则MFx02p(,0)2px2x0(p,0)2px2x0p(0,)2py2p(0,)2py2y0y轴y0y轴x轴(0,0)e1x轴(0,0)e1(0,0)e1(0,0)e1p.23.若过焦点的直线交抛物线y2px(p0)于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长ABx1x2p.第6页共6页扩展阅读：21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程椭圆一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2时，表示线段F1F2；当2aF1F2时，轨迹不存在.二、椭圆的标准方程与几何性质：当椭圆焦点在x轴上时当椭圆焦点在y轴上时2标准方程xy21(ab0y2x2a2b2)a2b21(ab0)图形范围axa，bybaya，bxb对称轴x轴、y轴x轴、y轴对称中心坐标原点O(0,0)坐标原点O(0,0)长轴、短轴长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b顶点坐标(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)焦点坐标(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2离心率eca(其中0e1)eca(其中0e1)1.a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a2b2c2.e叫做椭圆的离心率，eca且0e1，e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.2.点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则PFmaxac，PFminac.3.点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，F1PF2取最大值.当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线l：xa24.椭圆的第二定义：c的距离的比是常数eca(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.三、点与椭圆位置关系P(xx2y2x22点0y00,y0)与椭圆a2b21(ab0)位置关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆内a2b21（2）点P(xy22（3）点P(xx220y00,0)在椭圆上x0y0b210,y0)在椭圆外a2a2b21四、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系公共点判定方法相交有两个公共点0直线与椭圆方程首相切有且只有一个公共点0先应消去一个未知数得一元二次方程相离无公共点0的根的判别式（2）弦长公式：设直线ykxb交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2)则|PP12|1k2x1x2，或|PP12|11k2y1y2(k0).双曲线一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2时，表示分别以F1、F2为端点的两条射线；当2aF1F2时，轨迹不存在.二、双曲线的标准方程与几何性质：当双曲线焦点在x轴上时当双曲线焦点在y轴上时2标准方程xy21(a0,y2a2b2b0)a2x2b21(a0,b0)图形范围xa，或xaya，或ya对称轴x轴、y轴x轴、y轴对称中心坐标原点O(0,0)坐标原点O(0,0)实轴、虚轴实轴长2a，虚轴长2b实轴长2a，虚轴长2b顶点坐标(a,0)(0,a)焦点坐标(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2渐近线xayb0，即ybyxaaxab0，即ybx离心率eca(其中e1)eca(其中e1)1.a、b、c、e的几何意义：a叫做半实轴长；b叫做半虚轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足c2a2b2.e叫做椭圆的离心率，eca且e1.e越大，双曲线的张口就越大.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线为yx离心率e2.a23.双曲线的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线l：xc的距离的比是常数eca(e1)时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.4.直线与双曲线位置关系同椭圆.特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.2.4抛物线一、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.注意：当定点F在定直线l上时，点的轨迹为过点F与直线l垂直的直线.二、抛物线的标准方程与简单几何性质：标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形焦点坐标(p2,0)(p2,0)(0,p2)(0,p2)准线方程xpppp2x2y2y2范围x0x0y0y0对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e1e11e1e1.p的几何意义：p表示焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.2.若点M(x2p0,y0)是抛物线y2px(p0)上任意一点，则MFx02.3.若过焦点的直线交抛物线y22px(p0于)A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长ABx1x2p.友情提示：本文中关于《21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程：该篇文章建议您自主创作。
2019年人教版 高中数学【选修 2-1】第二章 圆锥曲线与方程章末总结word版含答案
2019 年编·人教版高中数学章末总结知识点一 圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重 要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总 之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2，F 1，F 2 为左、右焦点，P 为双曲线上 一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝12 3，求双曲线的标准方程．知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点， 二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是 一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲 线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 )，反映在消元后的方程上，该方程 是一次的．例 2如图所示，O 为坐标原点，过点 P(2，0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y 2＝2x 于 M(x 1， y 1)，N(x 2，y 2)两点． (1)求 x 1x 2 与 y 1y 2 的值； (2)求证：OM ⊥ON.知识点三 轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y)，根据几何条件直接寻求 x 、y 之间的关 系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为 已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标 x 、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动 点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标 x 、y 之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可 直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点 P(x ，y)的坐标 x ，y 所满足的关系式时，借助第 三个变量 t ，建立 t 和 x ，t 和 y 的关系式 x ＝φ(t)，y ＝Φ(t)，再通过一些条件消掉 t 就间 接地找到了 x 和 y 所满足的方程，从而求出动点 P(x ，y)所形成的曲线的普通方程． 例 3 设点 A 、B 是抛物线 y 2＝4px (p>0)上除原点 O 以外的两个动点，已知 OA ⊥OB ， OM ⊥AB ，垂足为 M ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点， 解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题 必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、 数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点例 4 若直线 l ：y ＝kx ＋m 与椭圆 ＋ ＝1 相交于 A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)， 例 5 已知 A(4,0)，B(2,2)是椭圆 ＋ ＝1 内的两定点，点 M 是椭圆上的动点，求|MA| 或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．x 2 y 2 4 3A 2 为椭圆的右顶点且 AA 2⊥BA 2，求证：直线 l 过定点．知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建 立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．x 2 y 2 25 9＋|MB|的最值．y 2 例 6 已知 F 1、F 2 为椭圆 x 2＋ 2 ＝1 的上、下两个焦点，AB 是过焦点 F 1 的一条动弦， 求△ABF 2 面积的最大值．∵e ＝ ＝2，∴c ＝2a.∴所求的双曲线方程为 － ＝1.1 在)，则直线 OB 的方程为 y ＝－ ，进而可求 A ⎝ k2 ， k ⎭、k章末总结重点解读例 1 解x 2y 2如图所示，设双曲线方程为a 2－b 2＝1 (a>0，b>0)．c a 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c ，在 △PF 1F2 中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF2|2－2|PF 1||PF2|cos 60°＝(|PF 1|－|PF2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos 60°)，即 4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.①又 S △PF 1F 2＝12 3，1 ∴2|PF 1||PF 2|sin 60°＝12 3，即|PF 1||PF 2|＝48.②由①②，得 c 2＝16，c ＝4，则 a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，x 2 y 24 12 例 2 (1)解 过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为：y ＝k(x －2)．把 y ＝k(x －2)代入 y 2＝2x ，消去 y 得 k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0，由于直线与抛物线交于不同两点，故 k 2≠0 且 Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，2x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋k 2，∵M 、N两点在抛物线上，∴y 2· y 2＝4x 1· x 2＝16，而 y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.例 3 解 设直线 OA 的方程为 y ＝kx (k ≠±1，因为当 k ＝±1 时，直线 AB 的斜率不存x ⎛4p 4p ⎫1－k 2从而 k OM ＝ k ∴直线 OM 的方程为 y ＝ x ，① ⎧Δ＝64m k －16(3＋4k )(m －3)>0， －1 ⎩x x ＝4(m －3). ⎧3＋4k －m >0， ⎩x x ＝4(m －3). ＋4k ＋4k 3＋4k 2 3＋4k 2 3＋4k 2 3＋4k 2B(4pk 2，－4pk)．于是直线 AB 的斜率为 k AB ＝k ， k 2－1 ， k 2－1 k－k 直线 AB 的方程为 y ＋4pk ＝k 2 (x －4pk 2)．②将①②相乘，得 y 2＋4pky ＝－x(x －4pk 2)，即 x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p(k 2x －ky)，③又 k 2x －ky ＝x ，代入③式并化简，得(x －2p)2＋y 2＝4p 2.当 k ＝±1 时，易求得直线 AB 的方程为 x ＝4p.故此时点 M 的坐标为(4p,0)，也在(x －2p)2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)上．∴点 M 的轨迹方程为(x －2p)2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为 2p 的圆，去掉坐标原点．例 4证明 设 A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)， ⎧⎪y ＝kx ＋m ， 联立⎨x 2 y 2 ⎪⎩ 4 ＋ 3 ＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，2 2 2 2 则即⎨x 1＋x 2＝－38mk 2， 2 1 2 3＋4k 2 2 2 ⎨x 1＋x 2＝－38mk 2，2 1 2 3＋4k 2 又 y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m) ＝k 2x 1x 2＋mk(x 1＋x 2)＋m 2 3(m 2－4k 2) ＝ . ∵椭圆的右顶点为 A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0. ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. 3(m 2－4k 2) 4(m 2－3) 16mk ∴ ＋ ＋ ＋4＝0.时，l 的方程为y ＝k ⎝x －7⎭，直线过定点⎝7，0⎭，＋2 ＋2 k 2＋2 ＝2 2× ≤2 2× ＝2. ∴7m 2＋16km ＋4k 2＝0，2k 解得 m 1＝－2k ，m 2＝－ 7 ，且均满足 3＋4k 2－m 2>0.当 m 1＝－2k 时，l 的方程为 y ＝k(x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当 m 2＝－ 2k 7 ⎛ 2⎫ ⎛2 ⎫ ∴直线 l 过定点．例 5 解 因为 A(4,0)是椭圆的右焦点，设 A ′为椭圆的左焦点，则 A ′(－4,0)，由椭圆定义知|MA|＋|MA ′|＝10.如图所示，则 |MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA ′|＋|MB|－|MA ′|＝10＋|MB|－|MA ′|≤10＋ |A ′B|.当点 M 在 BA ′的延长线上时取等号．所以当 M 为射线 BA ′与椭圆的交点时，(|MA|＋|MB|)max ＝10＋|A ′B|＝10＋2 10.又如图所示，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA ′|－|MA ′|＋|MB|＝10－(|MA ′|－|MB|)≥10－|A ′B|，当 M 在 A ′B 的延长线上时取等号．所以当 M 为射线 A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|＋|MB|)min ＝10－|A ′B|＝10－210.例 6 解由题意，|F1F2|＝2.设直线 AB 方程为 y ＝kx ＋1，代入椭圆方程 2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，2k 1则 x A ＋x B ＝－k 2 ，x A ·x B ＝－k 2 ，∴|x A －x B |＝ 8(k 2＋1).1 k 2＋1S △ABF 2＝2|F 1F 2|·|x A －x B |＝2 2× k 2＋21 1 12 k 2＋1＋ k 2＋1当 k 2＋1＝ 1 ，即 k ＝0 时，k 2＋1S △ABF 2有最大面积为 2.。
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高中数学选修2--1 圆锥曲线基本知识点与典型题举例一、椭圆1. 椭圆的定义：第必定义：平面内到两个定点1 2的距离之和等于定值a a 1 2 的F 、F 2 (2 >|F F |)点的轨迹叫做椭圆 , 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义 : 平面内到定点 F 与到定直线的轨迹是椭圆, 定点叫做椭圆的焦点, 定直线的离心率 . l的距离之比是常数 e(0< e<1) 的点l 叫做椭圆的准线 , 常数e叫做椭圆2.椭圆的标准方程及其几何性质 ( 以下表所示 )标准x2 y21(a b 0)方程a2 b2图形极点( a,0) , (0, b) 对称x 轴，y轴，长轴长为轴焦点F1( c,0) 、 F2 (c,0)x2y2b2a21(a b 0)(0, a) , (b,0) 2a ，短轴长为 2bF1(0,c) 、 F2 (0,c)焦距离心率例1. F 迹方程是 ( )(A) 椭圆焦距为 F1F22c(c 0),c2a2b2ec(0< e<1)a1，F2 是定点，且|F 1F2|=6，动点M知足 |MF1|+|MF 2 |=6 ，则 M点的轨(B)直线(C)圆(D)线段例 2. 已知ABC 的周长是 16，A( 3,0) ， B (3,0) , 则动点的轨迹方程是( )(A) x 2 y2 (B) x2 y 21( y 0) (C)x2 y225125 16 161 16 25(D) x2 y 2 1( y 0)16 25例3.F c，0)是椭圆 x2 y21的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大若 ( a2 b2值为 M，最小值为 m，则椭圆上与 F 点的距离等于M m的点的坐标是 ( ) 2(A)( c，b2 ) ( B)( c, b2 ) (C)(0，± b)(D) 不存在a a例 4 设 1 c，0) 、 2 c，0) 是椭圆 x2 + y2 a b 的两个焦点，P 是以F (- F ( 2 2 =1( > >0)a bF1F2为直径的圆与椭圆的一个交点 , 若∠ PF1F2=5∠PF2F1 , 则椭圆的离心率为 ( )(A) 3 (B) 6 (C) 2 (D) 22 3 2 3例 5. P 点在椭圆的坐标是. x 2 y 2PF2，则P点451 上，F1、F2是两个焦点，若 PF120例 6. 写出知足以下条件的椭圆的标准方程：(1) 长轴与短轴的和为 18，焦距为 6;.(2) 焦点坐标为 ( 3,0) , ( 3,0) , 而且经过点 (2 ，1); .(3) 椭圆的两个极点坐标分别为 ( 3,0) , (3,0),且短轴是长轴的 1;3____.(4) 离心率为3，经过点 (2，0);.22例 7. F 1、F 2 是椭圆xy 2 1 的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则4| PF 1 | | PF 2 |的最大值是 ．二、双曲线1. 双曲线的定义：a 第必定义：平面内到两个定点 F 1 、 F 2 的距离之 差的绝对值 等于定 值 a F 1F 2|) 的点的轨迹叫做双曲线 , 这两个定点叫做双曲线的焦点 , 两焦点2 (0<2 <|的距离叫做双曲线的焦距 .第二定义 : 平面内到定点 F 与到定直线 l 轨迹是双曲线 , 定点叫做双曲线的焦点 , 定直线双曲线的离心率的距离之比是常数 e( e>1) 的点的 l 叫做双曲线的准线 , 常数 e 叫做例8 . 命题甲：动点 P 到两定点 A 、B 的距离之差的绝对值等于 a a >0) ；命2 (题乙： 点 P 的轨迹是双曲线。
人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程总结复习优质
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的 几何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲 线的几何性质 3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形，并了解圆锥曲线的初步应用。
一、知识回顾
椭圆 标准方程 几何性质 第二定义
圆 锥
双曲线 几何性质 标准方程
点P 到 F1，F2 的距离的差的绝对值等于 10，求动点的轨迹方程
自主解答：∵双曲线的焦点在 x 轴上， x2 y2 ∴设它的标准方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)． ∵2a＝10，∴a＝5. 又 c＝13，∴b2＝132－52＝144. x2 y2 ∴双曲线的标准方程为25－144＝1.
例三：一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内 切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
Y
P O1
X
O2
例三：一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内 切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。 分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0 配方，得 （x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
P 的轨迹是椭圆，
a2 A（2，0）所以 c 2 ，定直线 x 8 所以 x 5 解得 c
解法二：因为定点
2
x2 y2 1 a 10 ，故所求的轨迹方程为 10 6
16 4、 如图， 设 M x, y 与定点 F 5, 0 的距离和它到直线 l ： x 5
人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结
数学选修2-1圆锥曲线知识归纳、复习总结:抛物线:二、知识点：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹， 由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质”1.椭圆定义： 在平面内，到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点 的轨迹.2 2 2 27 7 1，7 1( a b 0)(2) 对称性：图象关于y 轴对称•图象关于 X 轴对称•图象关于原点对称 ”原点叫椭圆的对称 中心，简称中心.X 轴、y 轴叫椭圆的对称轴•从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对 称的截距.(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 椭圆共有四个顶点： A ( a,0), A 2(a,O) , B (0, b),B 2(O,b)•加两焦 F 1( c,0), F 2(c,O)共有六个特殊点∙ A 1A 2叫椭圆的长轴，B 1B 2叫椭圆的短轴.长分别为2a,2b .a,b 分别为椭圆 的长半轴长和短半轴长•，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.2 •椭圆的标准方程:3. 椭圆的性质:2Y由椭圆方程—a2yy1( a b 0)b 2⑴范围： a X a , b y b ,椭圆落在Xa,y b 组成的矩形中.⑷离心率：椭圆焦距与长轴长之比.e 上 e 、1(b )2,0 e 1a ∖ a椭圆形状与e 的关系：e 0,c 0 ,椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆 为椭圆在e 0时的特例.e 1,ca,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F 1F 2 ,此时也可认为圆为椭圆在 e 1时的特例.(识记方法)以下4-7点要求不高，或者不要求4. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆，其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数5. 椭圆的准线方程2X 对于 一2a2y b 21 ,左准线I 1 : X2a—；右准线l 2 : XC2 a —* C2222对于y 2X 2 1,下准线l 1 : ya；上准线l 2 : ya ■ abCC2 26.椭圆的焦半径公式： 椭圆x 2 y2 1(a b 0)焦半径公式a b22IPF1I e(x ——)a ex , ∣PF2∣ e(——x) a ex C C其中e 是离心率.其中F" F 2分别是椭圆左右焦点.焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：PF 1 a ey 0 PF 2 a ey 0其中e 是离心率一其中F 1, F ?分别是椭圆的下上焦点.-焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关， 而与点在左在右无关-可以记为:左加右减，上减下加-X a cos7椭圆的参数方程(为参数)•y bsi n(O ,I)内常数e 就是离心率-以下为椭圆重要结论：（要求记忆1、2、3条，了解21.准线到中心的距离为a ,焦点到对应准线的距离C （焦准距）P2 2 I 2 a Cb过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为: 2g b2∙a2 2•椭圆笃a2yr 1（a b 0）两焦半径与焦距构成三角形的面积2 F PFS F1PF2C1 y p 1 b tan3椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点•例：今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c,当静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线l击出，经椭圆壁反弹后再回到A ,若I与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是（D ）A.4bB.2（a-c）C.2（a+c）D.4a4.椭圆的的内外部：（1）点P（χo, y o）在椭圆2X22y1(a b 0）的内部a b222（2）点P（x o,y o）在椭圆X2y21(a b 0）的外部a b5.椭圆的切线方程：a2b22X o22y。
选修2-1圆锥曲线章复习
选修2-1圆锥曲线章复习知识点一 定义和性质的应用设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．解 由题意知，a ＝3，b ＝2，则c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝ 5. 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. (1)若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2， |PF 1|2－|PF 2|2＝20. 即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43. 所以|PF 1||PF 2|＝72.(2)若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2. 即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去)．所以|PF 1||PF 2|＝2.知识点二 圆锥曲线的最值问题已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最值．解 因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(-4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA ′|=10.如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|+|MB|-|MA ′|=10+|MB|-|MA ′|≤10+|A ′B|. 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A ′B|=10+210.又如图所示，|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|-|MA ′|+|MB|=10- (|MA ′|-|MB|)≥10-|A ′B|，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10-|A ′B|=10- 210. 知识点三 轨迹问题抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF ，BF 为邻边作平行四边形F ARB ，求顶点R 的轨迹方程．解 设直线AB ：y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x ，y )，由题意F (0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2＝4y，可得x 2－4kx ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4k .又AB 和RF 是平行四边形的对角线， ∴x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y ＋1. 而y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝4k 2－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4ky ＝4k 2－3，消去k 得x 2＝4(y ＋3)． 由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2－16>0， ∴k >1或k <－1，∴x >4或x <－4.∴顶点R 的轨迹方程为x 2＝4(y ＋3)，且|x |>4.知识点四 直线与圆锥曲线的位置关系已知直线l ：y ＝kx ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当k ＝0,0<b <1时，求△AOB 的面积S 的最大值；(2)⊥OB →，求证直线l 与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．解 (1)把y ＝b 代入x 22＋y 2＝1，得x ＝±2－2b 2.∴∴S △AOB=21× b22·2212b b +-= ，当且仅当b 2 =21，即 时取等号．∴△AOB 的面积S (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由 得(1+2k 2)x 2+4kbx+2b 2-2=0，∴x 1+x 2=-241kb k +，x 1·x 2= 222212b k-+. 又∵OA ⊥OB ， ∴(x 1，y 1)·(x 2，y 2)=0， 即x 1x 2+y 1y 2=0.又x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2 +( k x 1+b)(k x 2+b)=(k 2+1)·x 1x 2+kb(x 1 + x 2) +b 2=(k 2+1) 222212b k-+-kb 241kb k ++b 2 =222322012b k k--=+， ∴3b 2 = 2k 2+2.又设原点O 到直线l 的距离为d ，则d = ==∴l与以原点为圆心，以3该圆的方程为x 2 + y 2 = 32.考题赏析1．(陕西高考)已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使· = 0？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解(1)如图所示，设A(x 1 , 2 x 12)， B(x 2,2x 22)，把y=kx +2代入 y = 2x 2，得2x 2-kx -2=0， 由韦达定理得x 1 + x 2 = 2k ， x 1x 2 = -1，∴x N = x M =1224x x k+= ， ∴N 点的坐标为2(,)48k k .设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y -28k = m ()4k x -，将y=2x2代入上式得2x 2-mx +248mk k -0= ∵直线l 与抛物线C 相切，∴Δ=m 2-8（248mk k -） = m 2-2mk +k 2 = (m -k)2=0， ∴m=k ，即l ∥AB.（2）假设存在实数k ，使·NB →＝0，则NA ⊥NB .又∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |.由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2. ∵MN ⊥x 轴，∴|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.又|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫k 22－4×(－1) ＝12k 2＋1·k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.即存在k=±2 , 使·NB →＝02．(福建高考)如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的一个焦点为F (1,0)，且过点(2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ， (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值．解 方法一 (1)由题设a=2，c=1，从而b 2=a 2-c 2=3，所以椭圆C 的方程为22143x y += (2)(ⅰ)由题意得F(1,0)、N(4,0)．设A(m ，n)，则B(m ，-n)(n ≠0)，22143m n +=.① AF 与BN 的方程分别为：n (x －1)－(m －1)y ＝0，n (x －4)＋(m －4)y ＝0.设M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n (x 0－1)－(m －1)y 0＝0， ②n (x 0－4)＋(m －4)y 0＝0， ③由②③得x 0＝5m －82m －5，y 0＝3n2m －5.由于x 204＋y 203＝(5m －8)24(2m －5)2＋3n 2(2m －5)2＝(5m －8)2＋12n 24(2m －5)2＝(5m －8)2＋36－9m 24(2m －5)2＝1.所以点M 恒在椭圆C 上．(ⅱ)设AM 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0.设A (x 1，y 1)、M (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－6t3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝43·3t 2＋33t 2＋4.令3t 2＋4＝λ (λ≥4)，则|y 1－y 2|＝43·λ－1λ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ2＋1λ ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ－122＋14，因为λ≥4,0<1λ≤14，所以当1λ＝14，即λ＝4，t ＝0时，|y 1－y 2|有最大值3，此时AM 过点F .△AMN 的面积S △AMN ＝12|NF |·|y 1－y 2|有最大值92.方法二 同方法一．(2)(ⅰ)由题意得F (1,0)、N (4,0)，设A (m ，n )，则B (m ，－n ) (n ≠0)，m 24＋n 23＝1.①AF 与BN 的方程分别为n (x －1)－(m －1)y ＝0，② n (x －4)＋(m －4)y ＝0.③由②③得：当x ≠52时，m ＝5x －82x －5，n ＝3y2x －5.④把④代入①，得x 24＋y 23＝1 (y ≠0)．当x ＝52时，由②③得⎩⎨⎧32n －(m －1)y ＝0，－32n ＋(m ＋4)y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，y ＝0，与n ≠0矛盾．所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (y ≠0)，即点M 恒在椭圆C 上．(ⅱ)同方法一.讲练学案部分 章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1C ．－1020 D.102答案 A解析 化双曲线的方程为x 21m －y 23m ＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m －1m ＝4，即－4m ＝4，∴m ＝－1.2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2 答案 B解析 由题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．则抛物线的准线方程为y ＝p2，由抛物线的定义知|PF |＝p 2－(－2)＝p2＋2＝4，所以p ＝4，抛物线方程为x 2＝－8y ，将y ＝－2代入，得x 2＝16，∴k ＝x ＝±4.3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B. 5 C.52D ．5 答案 B解析 由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2， ∴c 2＝5a 2， ∴c 2a 2＝5.∴e ＝ca＝ 5.4．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0 答案 A解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.由x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴(x 1－x 2)＋2(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝－12.∴弦所在的方程为y －1＝－12(x －1)即x ＋2y －3＝0.5．以x 24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 答案 D解析 方程可化为y 212－x 24＝1，该方程对应的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．由题意知椭圆方程可设为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c 2＝a 2－b 2＝12，∴b 2＝a 2－12＝16－12＝4.∴所求方程为x 24＋y 216＝1.6．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2cos θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 答案 C解析 由于没有x 或y 的一次项，方程不可能是抛物线，故选C.7．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 答案 B解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k4.又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k4<4，解得－12<k <0.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ， 即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ， ∴c ≤3a .又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<ca≤3，即1<e ≤3.9．已知A 为椭圆x 216＋y 212＝1的右顶点，P 为椭圆上的点，若∠POA ＝π3，则P 点坐标为( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫455，±4155 C.⎝⎛⎭⎫12，±32 D ．(4，±83)答案 B解析 由y ＝±3x 及x 216＋y 212＝1 (x >0)得解．10．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( ) A.65 B.125 C.32 D ．3 答案 D解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412. 可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2. ∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32.11．过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(0<b <a )中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是( )A ．abB ．acC ．bcD ．b 2 答案 C 解析 S △ABF 2＝S △OAF 2＋S △OBF 2 ＝12c ·|y 1|＋12c ·|y 2|(y 1、y 2分别为A 、B 两点的纵坐标)，∴S △ABF 2＝12c |y 1－y 2|≤12c ·2b ＝bc . 12．抛物线x 2＝ay (a <0)的准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒π12弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒后，恰与抛物线第一次相切，则t 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 由已知得准线方程为y ＝－a4，∴P 点坐标为(0，－a4)．设抛物线的切线l 1的方程为y ＝kx －a 4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －a 4x 2＝ay ，得x 2－akx ＋a 24＝0，由题意得Δ＝a 2k 2－4×a 24＝0，解得k 2＝1，∴y ＝x －a4，∴∠MPN ＝π4，∴π4π12＝3，∴t ＝3.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，则AB 的长为________．答案 8解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．则直线方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1.得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1， |AB |＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(36－4)＝8.14．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．答案 x 2＋4y 2＝1解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)由题意知 x 0＝x ，y 0＝2y ，∵P (x 0，y 0)在圆上，有x 20＋y 20＝1，∴x 2＋4y 2＝1.即为所求的轨迹方程．15．F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，P 为抛物线上任意一点，以PF 为直径作圆，则该圆与y 轴的位置关系是__________．答案 相切 解析 设P (x 0，y 0)，PF 中点为M ，则M 到y 轴距离d ＝x 0＋p 22＝12|PF |.16．椭圆x 225＋y29＝1上一点P 到两焦点的距离积为m ，则当m 最大时，点P 的坐标是________．答案 (0,3)或(0，－3)解析 设椭圆的两焦点分别为F 1、F 2由椭圆定义知： |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 由基本不等式知：m ＝|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25.当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．即|PF 1|＝|PF 2|＝5，m 取最大值． 所以P 点为椭圆短轴的端点．三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a (a>0)，|CD|=2b (b>0)，动点P 满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．解 以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立坐标系，设P(x ，y)是曲线上的任意一点，则A(-a,0)，B(a,0)，C(0，- b)，D(0，b)． 由题意知：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，化简得：x 2-y 2= 222a b -即动点P 的轨迹方程为x 2-y 2=222a b - .18．(12分)k 代表实数，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线．解 当k <0时，曲线y 24－x 2－8k ＝1为焦点在y 轴的双曲线；当k ＝0时，曲线2y 2－8＝0为两条平行于x 轴的直线y ＝2或y ＝－2；当0<k <2时，曲线x 28k＋y 24＝1为焦点在x 轴的椭圆；当k ＝2时，曲线x 2＋y 2＝4为一个圆；当k >2时，曲线y 24＋x 28k＝1为焦点在y 轴的椭圆．19．(12分)已知椭圆x 29＋y 24＝1及点D (2,1)，过点D 任意引直线交椭圆于A ，B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝36， ①4x 22＋9y 22＝36. ②①－②，得4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，因为M (x ，y )为AB 中点，所以x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y .所以4×2x (x 1－x 2)＋9×2y (y 1－y 2)＝0.当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 9y .又y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，所以y －1x －2＝－4x9y .化简得4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.因为当x 1＝x 2时，中点M (2,0)满足上述方程，所以点M 的轨迹方程为4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.20．(12分)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线的隧道，已知拱口AB 的宽恰好为拱高CD 的4倍，若|AB |＝a 米，求能使卡车通过的a 的最小整数的值．解以拱顶为原点，拱高所在的直线为y 轴建立坐标系，如图，点B 的坐标为(,)24aa -，设抛物线方程为x 2=-2py (p>0)，将点B 的坐标代入得2()2a =-2p ·()4a -，解得p = 2a，所以抛物线方程为x 2=-ay.将点E(-0.8，y)代入抛物线方程得y=-0.64a，依题意点E 到拱底AB 的距离为4a -|y| =4a -0.64a≥3，解得a ≥12.21. 所以能使卡车通过的a 的最小整数值为13.21．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上的点M ⎝⎛⎭⎫1，32到它的两焦点F 1、F 2的距离之和为4，A 、B 分别是它的左顶点和上顶点．(1)求此椭圆的方程及离心率；(2)平行于AB 的直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，求|PQ |的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)由题意2a ＝4，∴a ＝2.将M ⎝⎛⎭⎫1，32代入椭圆方程得：14＋94b 2＝1， ∴b 2＝3，因此所求椭圆方程为： x 24＋y 23＝1，e ＝c a ＝12. (2)由题意，直线l 的斜率k ＝k AB ＝3－00－(－2)＝32.∴设l 的方程为y ＝32x ＋b . 由⎩⎨⎧y ＝32x ＋b ，x 24＋y23＝1.得：6x 2＋43bx ＋4b 2－12＝0. 由Δ＝48b 2－24(4b 2－12)>0，得：－6<b <6，x 1＋x 2＝－233b ，x 1·x 2＝2b 2－63.∴|PQ |＝⎝⎛⎭⎫1＋34[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝73(6－b 2)，∴b ＝0时，|PQ |max ＝14.∴l 的方程为y ＝32x . ∴|PQ |的最大值为14，此时l 的方程为y ＝32x . 22.（14分）已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，而·=0，||=| |.·PF →＝0，||＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，OA ·OB →＝－4，且46≤|AB |≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．解 (1)设动点N 的坐标为(x ，y )，||＝|PN →|，得M (－x,0)(x >0)，P (0，y 2)，＝(－x ，－y 2)， PF →＝(1，－y 2)，由·PF →＝0，得－x ＋y 24＝0，因此，动点N 的轨迹方程为y 2＝4x (x >0)． (2)设l 与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，·OB →＝－4， 得y 1＝22，y 2＝－22， |AB |＝42<46，不合题意． 故l 与x 轴不垂直．可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ·OB →＝－4， 得x 1x 2＋y 1y 2＝－4，由点A ，B 在抛物线y 2＝4x (x >0)上，有y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，故y 1y 2＝－8.又y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ， 得ky 2－4y ＋4b ＝0，所以4bk ＝－8，b ＝－2k .∵Δ＝16(1＋2k 2)>0， ∴|AB |2＝1＋k 2k 2(16k2＋32)，因为46≤|AB |≤430， 所以96≤1＋k 2k 2(16k2＋32)≤480，解得直线l 的斜率的取值范围为[－1，－12]∪[12，1]．。
高二数学选修2-1第二章圆锥曲线_知识点+习题+答案讲述
第二章圆锥曲线与方程1、平面内与两个定点F1， F 2的距离之和等于常数（大于F1 F 2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位焦点在 y 轴上焦点在 x 轴上置图形标准方程x2 y2 1 a b 0 y2 x2 1 a b 0a2 b2 a2 b2范围 a x a 且 b y b b x b 且 a y a极点 1a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a0, b 、 2 0,b b,0 、 2 b,01 1轴长短轴的长2b 长轴的长2a焦点F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,c焦距F1 F2 2c c2 a2 b2对称性对于 x 轴、y轴、原点对称离心率准线方程c 1b 2e 2 0 e 1a aa2 a2 x yc c3、设是椭圆上任一点，点到 F1对应准线的距离为d1，点到 F2对应准线的距离为d2，则F1 F2 e．d1 d24、平面内与两个定点F1， F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1 F 2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、双曲线的几何性质：焦点的位置图形标准方程范围极点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程渐近线方程焦点在 x 轴上焦点在y轴上x2 y21 a 0, b 0y2 x21 a 0, b 0 a2 b2 a2 b2x a 或 x a ， y R y a 或 y a ， x R1 a,0、2 a,01 0,a 、 2 0,a虚轴的长2b 实轴的长2aF1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,cF1 F2 2c c2 a2 b2对于 x 轴、y轴对称，对于原点中心对称ec b211a2eaxa2ya2c cy b x y a xa b6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．7、设是双曲线上任一点，点到 F1对应准线的距离为d1，点到 F2 对应准线的距离为 d2，则F1 F2 e．d1 d28、平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p ．10、焦半径公式：若点若点若点若点x0 , y0x0 , y0x0 , y0x0 , y0在抛物线在抛物线在抛物线在抛物线y 2 2px p 0 上，焦点为 F ，则 F x0 p ；2y 2 2 px p 0 上，焦点为 F ，则 F x0 p ；2x2 2py p 0 上，焦点为 F ，则 F y0 p ；2x2 2 py p 0 上，焦点为 F ，则 F y0 p ．211、抛物线的几何性质：标准方程图形极点对称轴焦点准线方程y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 2 2 py p 0p0p 0p00,0x 轴y 轴Fp, 0 Fp, 0 F 0,pF 0, p2 2 2 2 xp p pyp 2x y22 2离心率 e 1范围x 0 x 0 y 0 y 0圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点 M 的坐标知足方程 13x 2y 2 | 12x5 y 12 | ，则动点 M 的轨迹是（ ）A. 抛物线B. 双曲线C.椭圆D.以上都不对2．设 P 是双曲线x 2 y 2 上一点，双曲线的一条渐近线方程为a 2193x 2y 0, F 1 、 F 2 分别是双曲线的左、右焦点，若 |PF 1 | 5，则 |PF 2 |（ ）A. 1或 5B. 1 或 9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为 F 1、、 F 2，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若△ 12 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.P F PFA.2 B.2 1C.2 2D.2 1224．过点 (2,-1) 引直线与抛物线 y x 2 只有一个公共点 , 这样的直线共有 ( ) 条 A. 1B.2C.3D.45．已知点 A( 2,0) 、 B(3,0) ，动点 P( x, y)知足 PA PBy 2 ，则点 P 的轨迹是( )A．圆 B ．椭圆C．双曲线D．抛物线6．假如椭圆x2 y 2 1的弦被点(4，2)均分，则这条弦所在的直线方36 9程是（） A x 2 y 0 B x 2 y 4 0 C 2x 3 y 12 0 D x 2 y 8 07、不论为什么值，方程x2 2 sin y 2 1所表示的曲线必不是（）A. 双曲线B. 抛物线C. 椭圆D. 以上都不对8．方程mx ny2 0 与 mx2 ny2 1 ( m n 0) 的曲线在同一坐标系中的示企图应是（）A B C D二、填空题：9．对于椭圆x2 y 2 1和双曲线x2 y2 1有以下命题：16 9 7 9①椭圆的焦点恰巧是双曲线的极点; ②双曲线的焦点恰巧是椭圆的极点;③双曲线与椭圆共焦点;④椭圆与双曲线有两个极点同样 .此中正确命题的序号是.10．若直线11、抛物线(1 a)x y 1 0 与圆x2 y 2 2 x 0 相切，则 a 的值为y x 2上的点到直线4x 3y 8 0 的距离的最小值是12、抛物线 C: y 2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标 。
数学选修2-1圆锥曲线复习
=4-12+4=-4
∴OA⊥OB
(理科） 例3.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆
x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说
明它是什么样的曲线
Y
解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。
分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0
e>1
X轴 （p/2,0)
e=1 x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a)x
一、选择题：
1.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值
范围是( D )
A.(0, +∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
2.设F1，F2分别是双曲线
x2 a2
y2 b2
1
的左、右焦点，若双
2
2
A的轨迹是以BC为焦点的双曲线的右支 不含顶点
其方程为 x2 a2
y2 3a2
1 x 0.
16 16
探索提高
练习2.ABC顶点为A(0, 2),C(0, 2),三边长a,b, c 成等差数列,公差d 0,求动点B的轨迹方程.
解：由题意 BC BA 2 AC 8且 BC BA 动点B的轨迹是以A、C为焦点，以8为长轴长 的椭圆在y轴右边的部分，故所求轨迹方程为
配方，得（x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
P
O1
O2
当⊙P与⊙O1: (x+3)2+y2=4外切时，有 |O1P|=R+2
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人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结数学选修2-1圆锥曲线知识归纳一、复习总结：名称椭圆双曲线图象xOyxOy定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆即aMFMF221=+当2a﹥2c时，轨迹是椭圆当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21F F）的动点的轨迹叫双曲线即aMFMF221=-当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a=2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：12222=+byax焦点在y轴上时：12222=+bxay注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222=-byax焦点在y轴上时：12222=-bxay常数cba,,的关系222bca+=222bac+=，渐近线焦点在x轴上时：=-byax焦点在y轴上时：=-bxay抛物线：图 形xyOFl xyOFl方程 )0(22>=p px y )0(22>-=p px y)0(22>=p py x)0(22>-=p py x焦点 )0,2(p )0,2(p -)2,0(p )2,0(p -准线 2p x -=2p x =2p y -=2p y =二、知识点：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，12222=+b x a y （0>>b a ）xyO FlxyOFl3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+b y a x (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距． （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，,0(),,0(2b B b B -两焦)0,(),0,(21c F c F -21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2.b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点．(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c =⇒2)(1abe -=<<e椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．（识记方法）以下4-7点要求不高，或者不要求.4. 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率5．椭圆的准线方程 对于12222=+by a x ，左准线ca x l 21:-=；右准线ca x l 22:=对于12222=+b x a y ，下准线ca y l 21:-=；上准线ca y l 22:=6.椭圆的焦半径公式：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式:21()a PF e x a exc=+=+，22()a PF e x a exc=-=-其中e 是离心率 其中21,F F 分别是椭圆左右焦点．焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a PF ey a PF其中e 是离心率 其中21,FF 分别是椭圆的下上焦点．焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加7椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x以下为椭圆重要结论：（要求记忆1、2、3条，了解4、5）1.准线到中心的距离为2a c，焦点到对应准线的距离(焦准距)cb c c a c c a p 2222=-=-=过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22b a.2. 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>两焦半径与焦距构成三角形的面积:1221||tan2F PF P F PF S c y b ∆∠==．3椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.例：今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，当静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线l 击出，经椭圆壁反弹后再回到A ，若l 与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是( D )A.4bB.2(a-c)C.2(a+c)D.4a 4.椭圆的的内外部: （1）点0(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>.5.椭圆的切线方程:(1) 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点0(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）过椭圆22221x y a b +=外一点0(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b +=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是 22222A aB bc +=.8．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即aMF MF221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关9．双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-by a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b x a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c+=成立，且0,0,0>>>c b a其中a 与b的大小关系:可以为a b a b a ><=,,10．焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上11．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性 由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心. （2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为a 2, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这（3）渐近线过双曲线12222=-by a x 的渐近线x a b y ±=（0=±bya x ） （4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，12．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e13．共渐近线的双曲线系 如果双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x以下14-17点要求不高，或者不要求. 14．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 15．双曲线的准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线ca x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线ca y l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线ca y l 22:=16.双曲线的焦半径（了解）定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF（21,F F 分别是左、右焦点）焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF（21,F F 分别是下、上焦点）17．双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时： )(221x x e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221x x e a AB ++-= 当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221y y e a AB +--= 过右焦点与右支交于两点时：)(221y ye a AB ++-=18．双曲线的重要结论：(识记（1）-（4）点，了解（5）点)（1）双曲线焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c=．（2）过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22b a.（3）两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot2F PF F PF S b ∆∠=.（4）焦点到渐近线的距离总是b . （5）双曲线的切线方程:(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点0(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=. (2)过双曲线22221x y a b -=外一点0(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221x y a b -=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.19 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线20．抛物线的准线方程： (1))0(22>=p px y , 焦点:)0,2(p ，准线l ：2x = (2))0(22>=p py x , 焦点:)2,0(p ，准线l ：2y = (3))0(22>-=p px y, 焦点:)0,2(p-，准线l ：2x =(4) )0(22>-=p py x, 焦点:)2,0(p-，准线l ：2y =相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p =不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为x （2）开口方向在X轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号21．抛物线的几何性质 （1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性 以－y 代y ，方程()022>=p px y不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．22抛物线的焦半径公式：（画图即可）抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x pp x PF-=-=抛物线)0(22>=p py x ，0022y p p y PF+=+= 抛物线)0(22>-=p py x，0022y pp y PF-=-=23．直线与抛物线： （1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy AxC ，消去y ，得到关于x 的二次方程2=++c bx ax（*）若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）<∆，无公共点 （相离）（2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=，（3）焦点弦公式： 抛物线)0(22>=p px y ， )(21x xp AB ++=（识记）抛物线)0(22>-=p px y ， (21x xp AB +-=抛物线)0(22>=p py x ， (21y y p AB ++=抛物线)0(22>-=p py x，(21y yp AB +-=（4）通径：通径：p d 2=通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦．（5）若已知过焦点的直线倾斜角θ（识记这条结论） 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y yθsin 24422221p p k p y y =+=-⇒ θθ221sin 2sin 1.1py y AB =-=结论θsin 2.22p S AOB=∆结论（6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和4)2(22222=++-p k x p p k x k221.3p y y -=⇒结论和421xx =（7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p（8）过抛物线pxy22=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，则pFQ PF 211=+． 24．抛物线)0(22>=p px y 的参数方程：⎩⎨⎧==222pt y pt x （t 为参数）25.提示.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法：设为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系：推导：。