高中数学选修圆锥曲线总结
高中数学圆锥曲线知识点总结5篇
高中数学圆锥曲线知识点总结5篇高中数学圆锥曲线知识点总结5篇教育的现代化和大众化是推进知识普及和人才培养的重要策略。
科学科研的公正性和透明度是科研活动的重要保障。
下面就让小编给大家带来高中数学圆锥曲线知识点总结，希望大家喜欢!高中数学圆锥曲线知识点总结11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x ，y+y )。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x ,y ) 则 a-b=(x-x ,y-y ).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ 0时，λa与a同方向;当λ 0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
高中圆锥曲线公式总结大全
高中圆锥曲线公式总结大全
高中数学中，圆锥曲线是一个重要的内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线的公式是
几何、物理、工程等领域中常用的，下面是圆锥曲线公式总结：
1. 椭圆公式
椭圆的标准方程为：((x-h)^2)/a^2 + ((y-k)^2)/b^2 = 1。
其中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x和y方向上的半轴长度。
2. 双曲线公式
双曲线的标准方程为：((x-h)^2)/a^2 - ((y-k)^2)/b^2 = 1。
其中，(h,k)表示双曲线的中心坐标，a和b分别表示双曲线在x和y方向上的半轴长度。
3. 抛物线公式
抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c分别为常数，a表示抛物线的开口方向、大小，b表示抛物线水平方向位置，c表示抛物线的最低点（也就是y轴截距）。
4. 曲率半径公式
曲线在某一点的曲率半径R可以使用以下公式计算：R = [(1+(y')^2)^(3/2)]/|y''|。
其中，y'和y''分别表示曲线在该点处的一阶和二阶导数。
5. 弧长公式
曲线在两点之间的弧长可以使用以下公式计算：L = ∫(a to b)[((1+(y')^2)^(1/2)]dx。
其中，a和b分别代表起点和终点，在这个区间内，x的取值范围满足 a≤x≤b。
总之，圆锥曲线的公式是高中数学中的重要内容，不仅在理论研究方面有着广泛的应用，也
在实际问题的建模和解决中具有重要意义。
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的知识点对于解决相关的数学问题至关重要。
下面我们来详细总结一下圆锥曲线的相关知识。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a＞b＞0\））焦点在y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a＞b＞0\））其中，＼（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）为椭圆的半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
3、椭圆的性质（1）范围：焦点在 x 轴上时，＼（a ≤ x ≤ a\），＼（b ≤ y ≤ b\）；焦点在 y 轴上时，＼（b ≤ x ≤ b\），＼（a ≤ y ≤ a\）。
（2）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（3）顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（±a, 0)＼），＼（（0, ±b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ±a)＼），＼（（±b, 0)＼）。
（4）离心率：＼（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），离心率反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）其中，＼（a\）为双曲线的实半轴长，＼（b\）为双曲线的虚半轴长，＼（c\）为双曲线的半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结
一、圆锥曲线的基本概念
1、圆锥曲线：平面内以圆为母线的曲线，又称为圆锥线，是数学上的一类曲线。
2、离心率：圆锥曲线的离心率是有两个参数确定的：它们是焦距a和准线焦距c。
3、双曲线：双曲线是一类特殊的圆锥曲线，a>0, c>0时，它概括了圆锥曲线的一般情况，称为双曲线。
二、圆锥曲线的性质
1、改变离心率可以改变圆锥曲线的形状，当离心率大于1时，曲线呈双曲线，当离心率小于1时，曲线呈凹凸线；
2、圆锥曲线的焦点与顶点之间的距离是两个焦距的和，a+c；
3、圆锥曲线的切线方程的斜率是1/（a+c）；
4、圆锥曲线的半矢量的方向是以焦点为圆心，从焦距a出发的方向；
5、圆锥曲线的曲率半径是2a+c；
6、圆锥曲线的弧长是一定积分的表达式，是确定的；
7、圆锥曲线的曲线方程是确定的，但极坐标表示法有两种形式，要根据离心率来确定；
三、圆锥曲线的应用
1、圆锥曲线的应用着重于机械设计领域，如齿轮的设计和制造；
2、圆锥曲线的半径可以用于圆弧的求解和曲线的精度检验；
3、圆锥曲线的弧长可以用于求解同轴运动的轮毂的周长；
4、圆锥曲线的曲线方程可以用于二维图形的绘制；
5、圆锥曲线的曲线方程可以用于求解曲面曲线的面积和表面积；
6、圆锥曲线的曲线方程可以用于求解椭圆锥曲线的主曲线参数，以求解椭球面的曲线参数；
7、圆锥曲线的曲率半径可以用于求解圆的曲率半径参数；
8、圆锥曲线的切线可以用于求解圆弧的切线参数；
9、圆锥曲线的球面可以用于求解曲面的曲率方向；
10、圆锥曲线的曲线可以用于运动学分析和机器学习算法中的运动路径规划。
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们是高中数学中重要的知识点之一。
圆锥曲线是由平面与圆锥的交线所形成的曲线，其基本概念包括焦点、准线和离心率等。
1. 焦点：圆锥曲线的焦点是到曲线的两个顶点距离相等的点，焦点到曲线的顶点的距离称为焦距。
椭圆和双曲线的焦点位于其对称轴上，而抛物线的焦点则位于其准轴上。
2. 准线：圆锥曲线的准线是与焦点垂直的直线，准线与曲线有两个交点。
在椭圆和双曲线中，准线是与主轴垂直的直线，而在抛物线中，准线是与主轴平行的直线。
3. 离心率：圆锥曲线的离心率是焦点到顶点的距离与准线到顶点的距离之比，离心率的大小可以反映曲线的形状。
椭圆的离心率在0和1之间，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1。
二、圆锥曲线的公式1. 椭圆的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)性质：椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
2. 双曲线的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ (a>0, b>0)性质：双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
3. 抛物线的标准方程及性质标准方程：$y^{2} = 2px$ ($p > 0$)或$x^{2} = 2py$ ($p > 0$) 性质：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
三、圆锥曲线的应用1. 椭圆的应用：椭圆在光学、机械、工程等领域有着广泛的应用。
例如，椭圆镜片可以纠正近视和远视，椭圆形状的机械零件可以减少振动和提高稳定性。
2. 双曲线应用：双曲线在热学、光学、工程等领域有着广泛的应用。
例如，双曲线冷却塔可以优化散热效果，双曲线形状的桥梁可以增强承受能力。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(E D--半径是2422FE D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E)2=44F-E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
高中数学中的圆锥曲线知识点总结
高中数学中的圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中重要的几何概念之一，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在本文中，我们将对这些圆锥曲线的基本概念、性质和相关公式进行总结。
一、椭圆1. 概念：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
2. 基本性质：- 长轴和短轴：椭圆的两个焦点F1和F2之间的距离为2c，椭圆的长轴为2a，短轴为2b，有关系式c^2 = a^2 - b^2。
- 离心率：离心率e定义为离焦距离2c与长轴2a之比，即e = c/a。
椭圆的离心率小于1。
- 焦点与定点关系：椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
- 弦与切线性质：椭圆上任意一条弦与该点处的切线垂直。
3. 相关公式：- 椭圆标准方程：(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 或 (y^2)/(a^2) +(x^2)/(b^2) = 1（其中a > b）。
- 焦点坐标公式：F1(-c,0)，F2(c,0)。
- 离心率公式：e = c/a。
- 曲率半径：任意一点P在椭圆上的曲率半径为a^2/b。
二、双曲线1. 概念：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点的轨迹。
2. 基本性质：- 长轴和短轴：双曲线的两个焦点F1和F2之间的距离为2c，双曲线的长轴为2a，短轴为2b，有关系式c^2 = a^2 + b^2。
- 离心率：离心率e定义为离焦距离2c与长轴2a之比，即e = c/a。
双曲线的离心率大于1。
- 焦点与定点关系：双曲线上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之差等于常数2a，即|PF1 - PF2| = 2a。
- 弦与切线性质：双曲线上任意一条弦与该点处的切线垂直。
3. 相关公式：- 双曲线标准方程：(x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1 或 (y^2)/(a^2) -(x^2)/(b^2) = 1（其中a > b）。
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线 知识点考点重点难点解题规律归纳总结
第二章 圆锥曲线1 椭圆 ........................................................................................................................... - 1 -1.1 椭圆及其标准方程 ......................................................................................... - 1 - 1.2 椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 6 - 2 双曲线 ..................................................................................................................... - 11 -2.1 双曲线及其标准方程 ................................................................................... - 11 - 2.2 双曲线的简单几何性质 ............................................................................... - 15 - 3 抛物线 ..................................................................................................................... - 19 -3.1 抛物线及其标准方程 ................................................................................... - 19 - 3.2 抛物线的简单几何性质 ............................................................................... - 23 - 4 直线与圆锥曲线的位置关系 .................................................................................. - 28 -4.1 直线与圆锥曲线的交点 ............................................................................... - 28 - 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 ....................................................................... - 28 -1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．1．椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示] 当距离之和等于|F 1F 2|时，动点的轨迹就是线段F 1F 2；当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0) 焦点 (－c ，0)，(c ，0)(0，－c )，(0，c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 22．椭圆x 29＋y 216＝1的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上？[提示] 椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在y 轴上．疑难问题类型1 椭圆定义及应用【例1】 (1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点A 到焦点F 的距离为2，B 为AF 的中点，O 为坐标原点，则|OB |的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．32(2)已知B (－5，0)、C (5，0)，且△ABC 的周长等于24，则顶点A 的轨迹方程为________．(3)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，过F 1的直线AB 与椭圆交于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．(1)B (2)x 249＋y 224＝1(y ≠0) (3)4a [(1)设F ′为椭圆的另一焦点，则|AF |＋|AF ′|＝2a ＝10，∴|AF ′|＝8，∵O ，B 分别为FF ′，AF 的中点．∴|OB |＝12|AF ′|＝4．(2)由已知得，|AB |＋|AC |＝14，由椭圆的定义可知，顶点A 的轨迹是椭圆， 又2c ＝10，2a ＝14，即c ＝5，a ＝7， 所以b 2＝a 2－c 2＝24．当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是x 249＋y 224＝1(y ≠0)．(3)∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a．]由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：(1)实现两个焦半径之间的相互转化；,(2)将两个焦半径之和看成一个整体，求解定值问题.类型2求椭圆的标准方程[探究问题]1．同一椭圆在不同坐标系下的方程相同吗？[提示]不同．2．在椭圆标准方程的推导过程中，为什么令b2＝a2－c2，b＞0?[提示]令b2＝a2－c2可以使方程变得简单整齐，在今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义．3．椭圆x2a2＋y2b2＝1和y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)有何异同点？[提示]因为椭圆标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状、大小，所以椭圆x2a2＋y2b2＝1和y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的形状、大小相同，但这两个椭圆的位置不同，焦点坐标也不同．【例2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，并且过点(－5，3)；(2)经过点P1(6，1)，P2(－3，－2)．[思路点拨](1)设出相应焦点位置的椭圆方程，利用关系式b2＝a2－c2及点(－5，3)在椭圆上求待定系数；(2)由于焦点位置不明确，可将其设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)的形式，再进一步确定A ，B ．[解] (1)依题意知椭圆的焦点在x 轴上，可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得c ＝4，所以a 2－b 2＝16．①因为点(－5，3)在椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1．② 由①②得a 2＝20，b 2＝4．因此，所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1．(2)设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)，由已知得 ⎩⎨⎧6A ＋B ＝13A ＋2B ＝1， 解得A ＝19，B ＝13．∴所求的椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1．1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法：设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a 2、b 2的值，其一般步骤是：①定位：确定椭圆的焦点在x 轴还是y 轴上，从而设出相应的标准方程的形式． ②定量：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组，求出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．2．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的正常数．类型3 椭圆标准方程的简单应用【例3】 (1)已知方程x 25－2m ＋y 2|m |－1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．(2)已知椭圆方程为kx 2＋3y 2－6k ＝0，焦距为4，则k 的值为________． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 (2)1或5 [(1)∵椭圆焦点在y 轴上，∴其标准方程应为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∴|m |－1＞5－2m ＞0，解得2＜m ＜52，∴m 的取值范围为2＜m ＜52．(2)将方程kx 2＋3y 2－6k ＝0化为x 26＋y 22k ＝1．∵焦距为4，∴2c ＝4，即c ＝2．当焦点在x 轴上时，6－2k ＝4，解得k ＝1； 当焦点在y 轴上时，2k －6＝4，解得k ＝5． 综上，k ＝1或5．]1．判断焦点所在坐标轴的依据是看x 2项，y 2项的分母哪个大，焦点在分母大的对应的坐标轴上．2．对于方程x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n ＞m ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．归纳总结1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF 1|＋|PF 2|＝2a 求解，回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免分类讨论．1.2椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)、A2(a，0)，B1(0，－b)、B2(0，b)A1(0，－a)、A2(0，a)，B1(－b，0)、B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca(0＜e＜1)(1)椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义是什么？(2)椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？[提示](1)在方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．(2)最大距离：a＋c；最小距离：a－c．疑难问题类型1 椭圆的几何性质 [探究问题]1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，到中心O 和焦点F 1(－c ，0)的距离最近和最远的点分别在什么位置？[提示] 椭圆上，到中心O 的距离最近的点是短轴端点B 1和B 2；到中心O 的距离最远的点是长轴端点A 1和A 2．点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F 1的最远距离和最近距离．2．利用椭圆方程如何判断点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系？ [提示] 点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1； 点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1； 点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2＞1．3．椭圆的离心率是如何刻画椭圆的扁平程度的？ [提示] e 的大小决定了椭圆的扁圆程度． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以ba ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，ba 越接近于0，椭圆越扁； 当e 越趋近于0时，ba越接近于1，椭圆越接近于圆．【例1】 (1)椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等(2)已知椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1，O 为坐标原点，则椭圆上的点P 到椭圆中心|OP |的范围为( )A ．[6，10]B ．[6，8]C ．[8，10]D ．[16，20](3)(一题两空)椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长为________，短轴长为________． (1)D (2)C (3)6 4 [(1)椭圆x 225＋y 29＝1中c 21＝25－9＝16，椭圆x 29－k ＋y 225－k＝1中c 22＝25－k －(9－k )＝16，∴两椭圆焦距相等．(2)设P (x 0，y 0)，则|OP |＝x 20＋y 20．由椭圆的范围，知|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8， 又∵P 在椭圆上，∴x 20100＋y 2064＝1， ∴y 20＝64－1625x 20，∴|OP |＝925x 20＋64.∵0≤x 20≤100，∴64≤925x 20＋64≤100，∴8≤|OP |≤10．(3)把已知方程化为椭圆的标准方程为：x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴长轴长为2a ＝6，短轴长为2b ＝4．]用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a ，b ，c . (4)写出椭圆的几何性质.类型2 由椭圆的简单性质求方程【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，a ＝2，离心率e ＝12；(2)一焦点坐标为(－3，0)，一顶点坐标为(0，5)； (3)过点(3，0)，离心率e ＝63．[思路点拨](1)由a＝2，e＝ca＝12，易得c，代入b2＝a2－c2可求得b2，此时可写出焦点在y轴上的椭圆方程；(2)由已知可以确定焦点在x轴上及c，b的值，从而可写出椭圆的标准方程；(3)不能确定焦点所在的坐标轴，需分类讨论．[解](1)由a＝2，e＝12，可得a2＝4，且c2＝12，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3．已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为y24＋x23＝1．(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3，0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3．又由一顶点坐标为(0，5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34．因此所求的标准方程为x234＋y225＝1．(3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝63，所以c＝6，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x29＋y23＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝63，所以a2－b2a＝63，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为y227＋x29＝1．综上，所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1．已知椭圆的简单性质求标准方程：(1)先看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴，当不能确定焦点所在的坐标轴时，需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论.(2)然后依据关系式e＝ca，b2＝a2－c2确定a，b的值，从而求出椭圆的标准方程.类型3求椭圆的离心率【例3】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．[思路点拨]根据已知条件得出a、c的关系即可．[解]不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，∴e＝2c2a＝3x3x＝33．求椭圆的离心率通常有两种方法：(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置先求a2、b2，再求出a、c的值，利用公式e＝ca直接求解；(2)若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c之间的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e.归纳总结1．已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定位，再定量”，常用的方法是待定系数法．3．椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，常用来求解与椭圆有关的最值与范围问题．4．椭圆的对称性是椭圆的重要几何性质，在解题时，恰当使用对称性能简化求解过程．2双曲线2.1双曲线及其标准方程1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．双曲线定义中，将“差的绝对值”改为“差”，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]动点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2ca、b、c的关系c2＝a2＋b23．确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？[提示]a，b的值及焦点所在的位置．疑难问题类型1双曲线的定义及应用双曲线中，焦点三角形的面积问题【例1】 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解] 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5．由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝163．利用双曲线定义求点的轨迹方程【例2】 已知定点A (0，7)，B (0，－7)，C (12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．[思路点拨] 考查点F 的几何性质，利用双曲线的定义求解． [解] 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， 因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，所以|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)． 所以|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |．所以|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋(－5)2＝2，即|F A |－|FB |＝2． 由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x248＝1(y ≤－1)．1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系．2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程， 其基本步骤为 ①寻求动点M 与定点F 1，F 2 之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0)；③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c ；④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．类型2 求双曲线的标准方程【例3】 (1)已知双曲线过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程． [思路点拨] 用待定系数法求解．[解] (1)设所求双曲线方程为Ax 2－By 2＝1()AB >0， 则⎩⎪⎨⎪⎧9A －32B ＝1，8116A －25B ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝－116，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1．(2)法一：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由题意易求得c ＝25．又双曲线过点(32，2)， ∴(32)2a 2－4b 2＝1．又∵a 2＋b 2＝(25)2， ∴a 2＝12，b 2＝8．故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1．法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1．待定系数法求双曲线方程的步骤类型3曲线类型的判定【例4】已知曲线C：x2t2＋y2t2－1＝1(t≠0，t≠±1)．(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．[思路点拨]方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参数A，B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A，B进行讨论．[解](1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；当|t|<1时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线．(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．当|t|<1时，双曲线C的方程为x2t2－y21－t2＝1，∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．方程Ax2＋By2＝1(A，B≠0)表示双曲线的充要条件为AB<0，若A<0，B>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B<0，A>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线.即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的.归纳总结1．对双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．(2)双曲线定义的应用：①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线．②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．2．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：确定a2，b2的数值．提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，其中mn<0．2.2双曲线的简单几何性质双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 顶点(－a，0)，(a，0)(0，－a)，(0，a)对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b渐近线xa±yb＝0或y＝±ba xxb±ya＝0或y＝±ab x离心率e＝ca(e＞1)(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．疑难问题类型1双曲线的简单性质【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[思路点拨]先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质．[解]双曲线的方程化为标准形式是x29－y24＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝13．又曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程为y＝±23x．1．由双曲线方程探究其简单几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数a，b，c值的关键．2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系．类型2利用双曲线的性质求双曲线方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)实轴长为16，离心率为5 4；(2)双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．[思路点拨]由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c 的值．[解](1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．由题意知2a＝16，ca＝54，c2＝a2＋b2，解得c＝10，a＝8，b＝6，所以双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1．(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝3，c＝2，∴b2＝c2－a2＝1．∴双曲线的标准方程为x23－y2＝1．1．求双曲线方程，关键是求a，b的值，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ．类型3双曲线的离心率【例3】已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C的离心率．[思路点拨]确定四边形中为60°的内角，通过解三角形得a，b，c的关系，进而求出离心率．[解]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，由于在双曲线中c>b，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2＝30°，所以bc＝tan 30°，c＝3b，所以a＝2b，离心率e＝ca＝32＝62．求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解.(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝ca，转化为关于e的n次方程求解.归纳总结1．由已知双曲线的方程求双曲线的几何性质时，注意首先应将方程化为标准形式，并要特别注意焦点所在的位置，防止将焦点坐标和渐近线方程写错．2．注意双曲线性质间的联系，尤其是双曲线的渐近线斜率与离心率之间的联系，并注意数形结合，从直观入手．3．椭圆、双曲线的标准方程都可写成Ax2＋By2＝1的形式，当A>0，B>0且A≠B 时表示椭圆，当AB<0时表示双曲线．3 抛物线3.1 抛物线及其标准方程1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线，定点F 叫作抛物线的焦点，定直线l 叫作抛物线的准线．1．抛物线的定义中，若点F 在直线l 上，那么动点的轨迹是什么？ [提示] 点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线． 2．抛物线的标准方程 图形标准 方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px(p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) 焦点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 准线 方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 22．抛物线的标准方程y 2＝2px (p >0)中p 的几何意义是什么？ [提示] 焦点到准线的距离．3．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ [提示] 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．疑难问题类型1 抛物线的定义【例1】 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A ．34B ．1C ．54D ．74[思路点拨] 如图，过A 、B 分别作准线l 的垂线AD ，BC ，垂足分别为D ，C ，M 是线段AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABCD 的中位线，所以|MN |＝|AD |＋|BC |2．C [由抛物线的定义知|AD |＋|BC |＝|AF |＋|BF |＝3，所以|MN |＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－14，所以线段AB 中点到y 轴的距离为32－14＝54，故选C ．]1．解答本题的关键是利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离．2．与抛物线有关的问题中，涉及到焦点的距离或到准线的距离时，一般是利用定义对两个距离进行相互转化．类型2 求抛物线的标准方程求抛物线的焦点坐标或准线方程【例2】 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)y 2＝40x ；(2)4x 2＝y ；(3)6y 2＋11x ＝0．[解] (1)焦点坐标为(10，0)，准线方程为x ＝－10． (2)由4x 2＝y 得x 2＝14y ． ∵2p ＝14，∴p ＝18．∴焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116．(3)由6y 2＋11x ＝0，得y 2＝－116x ， 故焦点坐标为(－1124，0)，准线方程为x ＝1124．求抛物线的标准方程【例3】 求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3，2)； (2)已知抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3．[思路点拨] 确定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．[解] (1)设所求的抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1＞0)或x 2＝2p 2y (p 2＞0)，∵过点(－3，2)，∴4＝－2p 1×(－3)或9＝2p 2×2．∴p 1＝23或p 2＝94．故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)由题意知，抛物线标准方程为x 2＝2py (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)且p ＝3， ∴抛物线标准方程为x 2＝6y 或x 2＝－6y ．1．根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，这样才能准确写出抛物线的准线方程．2．求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．类型3 抛物线的实际应用【例4】 一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．[思路点拨] 解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用抛物线的方程解决问题．[解] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 4，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，∴m ＝－a ．即抛物线方程为x 2＝－ay ． 将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a ． 欲使卡车通过隧道，应有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＞3，即a 4－0.82a ＞3． ∵a ＞0，∴a ＞12.21．∴a 应取13．1．解答本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．归纳总结1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m 4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4． 2．设M (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，焦点为F ，则根据抛物线的定义，抛物线的焦半径|MF |＝x 0＋p 2．3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离与到准线的距离相互转化．4．对于抛物线的四种形式的标准方程，应准确把握、熟练应用，能利用图形分析性质，学习时应能根据一种类型归纳出另外三种的相关性质，注意数形结合思想的应用．3.2 抛物线的简单几何性质1．抛物线的几何性质 标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) 图形性质 范围x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 对称轴 x 轴 y 轴顶点(0，0) 离心率e ＝1 2．过焦点的弦若直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则(1)抛物线的焦半径|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2；(2)过焦点的弦|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(3)当直线AB 垂直于抛物线的对称轴时，弦AB 叫作抛物线的通径，它的长为2p ，通径是过焦点最短的弦．直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．疑难问题类型1抛物线几何性质的应用【例1】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上．求这个正三角形的边长．[思路点拨]正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们的公共对称轴，则容易求出等边三角形的边长．[解]设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y21＝2px1，y22＝2px2．由|OA|＝|OB|，得x21＋y21＝x22＋y22，即(x1＋x2)(x1－x2)＝2px2－2px1．∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．∵x1>0，x2>0，2p>0，∴x1－x2＝0，即x1＝x2．由此可知|y1|＝|y2|，即点A、B关于x轴对称，∴AB⊥x轴，且∠AOx＝30°，∴y1x1＝tan 30°＝33．∵x1＝y212p，∴y1＝23p，|AB|＝2y1＝43p．∴这个正三角形的边长为43p．抛物线各元素间的关系,抛物线的焦点在其对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离与顶点到准线的距离均为p 2.类型2与中点弦、焦点弦有关的问题【例2】 (1)过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，则AB 所在直线的方程为________．(2)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝9．则该抛物线的方程为________．[思路点拨] (1)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，用点差法求k AB ；法二：设直线AB 的方程，建立方程求解．(2)设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解．(1)4x －y －15＝0 (2)y 2＝8x [(1)法一：设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2， ∴k ＝4．∴所求弦AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0．法二：设弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1．联立⎩⎨⎧ y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k ．又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4．∴所求弦AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0．(2)设直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，化简得4x 2－5px ＋p 2＝0，∴x 1＋x 2＝5p 4，∵|AB |＝9＝x 1＋x 2＋p ，∴5p 4＋p ＝9，∴p ＝4，∴抛物线的方程为y 2＝8x ．]直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．(1)一般的弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|．(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．(3)“中点弦”问题解题策略两种方法类型3抛物线中的最值问题【例3】已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．[思路点拨]利用抛物线的定义可将|PF|转化为P到准线的距离来考虑．[解]由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，则|P A|＋|PF|＝|P A|＋d．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6．∵6＞2，∴点A在抛物线内部．由图可知，当P A⊥l时，|P A|＋d最小，最小值为7 2，即|P A|＋|PF|的最小值为7 2，此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2．∴此时点P坐标为(2，2)．1．本题若设P(x，y)，利用两点间的距离公式建模求解，难以得到答案，而由抛物线的定义将|PF|转化为点P到准线的距离，则当P，A，Q三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值，从而使问题迎刃而解．2．解决这类题，就是用抛物线的定义与平面几何的知识把折线段变为直线段，即知最小值．归纳总结1．抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心．2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，设抛物线y2＝2px(p>0)上任一点A(x0，y0)，则|AF|＝x0＋p 2．3．抛物线的顶点也在抛物线上，作为抛物线上的一个特殊点，它到焦点的距离也等于到准线的距离，解题时注意应用．4．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．。
(完整版)圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线选知识点总结一、椭圆1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：2222二、双曲线1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．2、双曲线的几何性质：22x y 22y x 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 三、抛物线1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．4、关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸112.||||FA FB P+= 四、直线与圆锥曲线的位置关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有)位置关系主要适用于直线与圆的(几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线.12.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
高三数学圆锥曲线知识点
高三数学圆锥曲线知识点在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的概念。
它由圆、椭圆、双曲线和抛物线四种曲线构成。
掌握圆锥曲线的知识对于解决各种数学问题和应用是至关重要的。
本文将介绍高三数学圆锥曲线的知识点。
一、圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是一个平面上到一个定点和一个定直线的距离之比保持不变的点的轨迹。
圆锥曲线分为四种类型：圆、椭圆、双曲线和抛物线。
1. 圆：圆是所有到一个点的距离相等的点的轨迹。
圆的特点是中心坐标为(h, k)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆是所有到两个定点之和的距离之比为定值的点的轨迹。
椭圆的特点是有两个焦点F1和F2，两个焦点之间的距离为2a，离心率为e，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
3. 双曲线：双曲线是所有到两个定点之差的距离之差为定值的点的轨迹。
双曲线的特点是有两个焦点F1和F2，两个焦点之间的距离为2a，离心率为e，离心率小于1。
4. 抛物线：抛物线是所有到一个定直线的距离与到一个定点的距离相等的点的轨迹。
抛物线的特点是焦点为F，准线为L，焦距为p，焦点到准线的距离为x，焦点到点P的距离为y。
二、圆锥曲线的方程1. 圆的方程：$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
2. 椭圆的方程：$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$，其中(h, k)为椭圆中心的坐标，a和b分别为椭圆长半轴和短半轴的长度。
3. 双曲线的方程：$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} =1$，其中(h, k)为双曲线中心的坐标，a和b分别为双曲线长半轴和短半轴的长度。
4. 抛物线的方程：$y^2 = 4ax$，其中焦点为原点，准线为x轴，焦距为p。
三、圆锥曲线的性质和应用1. 圆的性质：圆的切线与半径垂直，圆的弦与半径垂直于弦的中点。
2. 椭圆的性质：椭圆的离心率介于0和1之间，焦点和对称轴平行。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，由平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到。
在高中数学课程中，学习圆锥曲线是必不可少的。
本文将对圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用进行总结。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线就是平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到的曲线，在平面上的图像可以呈现出不同的形状。
二、圆锥曲线的基本方程1. 双曲线：双曲线的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
2. 椭圆：椭圆的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
3. 抛物线：抛物线的基本方程为：$y^2=2px$。
其中，p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质1. 双曲线的性质：双曲线的两个分支镜像对称于原点，焦点到曲线的距离之差为常数。
双曲线还具有渐近线，即曲线趋近于两根直线。
2. 椭圆的性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且焦点到任意点的距离之和为常数。
此外，椭圆也具有主轴、短轴和焦距等重要概念。
3. 抛物线的性质：抛物线的焦点位于抛物线的顶点上，且焦点到抛物线上任意点的距离等于焦点到该点的法线距离。
四、圆锥曲线的应用1. 双曲线的应用：双曲线在电磁学中有广泛的应用，例如电磁波的传播、天线的辐射以及电磁场分布等方面。
2. 椭圆的应用：椭圆在力学、天文学和导航等领域有着重要的应用。
例如椭圆轨道运动的物体、天体运动规律的研究以及导航系统中的卫星轨道等。
3. 抛物线的应用：抛物线在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如自由落体运动、射击运动以及卫星的发射轨道等。
综上所述，圆锥曲线是解析几何中的重要内容，通过本文的总结，我们了解了圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用。
在学习过程中，我们需要深入理解每个曲线的特点和应用领域，为解决实际问题提供有力的数学工具。
希望本文对你对圆锥曲线的学习有所帮助。
圆锥曲线重点知识点总结
圆锥曲线重点知识点总结圆锥曲线是高中数学中一个重要的内容，是解析几何的重点之一。
在学习圆锥曲线时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对圆锥曲线的基本概念、方程与性质进行总结。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由切割一个锥体的过程中所得到的曲线。
根据切割方式的不同，圆锥曲线可分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆：通过一点F（焦点）到平面上任意一点P的距离之和恒定的点集所构成的曲线称为椭圆。
这个常数称为椭圆的焦距，用c表示。
椭圆还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
2. 双曲线：通过一点F到平面上任意一点P的距离之差恒定的点集所构成的曲线称为双曲线。
这个常数称为双曲线的离心率，用e表示。
双曲线还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
3. 抛物线：通过平面上任意一点P到一个定点F的距离等于点P到一条直线l的距离的点集所构成的曲线称为抛物线。
二、圆锥曲线的方程在解析几何中，我们常常使用方程描述曲线。
圆锥曲线的方程可以用多种形式表示，例如标准方程、一般方程和参数方程等。
1. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 （a > b > 0），其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
2. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （a > 0，b > 0），其中a和b分别代表双曲线的距离焦点的距离和离心率。
3. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px，其中p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质掌握圆锥曲线的性质对于解析几何的问题求解非常重要。
1. 椭圆的性质：a) 椭圆的离心率满足0<e<1，离心率越小，椭圆越圆。
b) 长半轴和短半轴的长度之间的关系是a>b。
c) 椭圆的离心率e满足等于c/a（其中c代表焦距）。
2. 双曲线的性质：a) 双曲线的离心率满足e>1，离心率越大，双曲线越开口。
高中圆锥曲线学习的个人心得
高中圆锥曲线学习的个人心得高中圆锥曲线学习的个人心得：高中阶段不同于初中，初中主要培养兴趣，使同学们能够掌握基本的解题方法，了解几何知识在实际生活中的应用;而高中则注重于在分析问题的基础上，运用几何方法来证明或推导出某些定理。
在新课程标准下，我们必须要加强课堂效率，提高课堂效益。
在学习时就应该将基础打好，在日常的学习和复习过程中也应如此。
比如多做题目、多看例题，找规律等等都有助于提高学习成绩。
对基本概念及其结论的理解要透彻，并且要学会举一反三，要能够做到由一个类型的题目可以通过简单的变形转化为另外一种题型。
这样才能真正达到学以致用的目的。
1、对基本概念及其结论的理解要透彻，掌握扎实。
2、要认真听讲，做笔记，弄懂基本概念和原理。
3、学习与课本相关的习题，不放过任何一次训练机会，并且要独立完成。
4、学习圆锥曲线中典型的题目。
例如：二面角的求法，弧长公式，弦切角，圆锥曲线综合题。
5、加强对题型的总结和归纳，了解各种题型的特点，掌握解题思路。
6、最后就是要经常巩固练习，避免前学后忘。
其实圆锥曲线并不难，关键是要牢记基本概念及其结论，勤动手、多思考，深刻理解圆锥曲线的基本性质和解题技巧。
我们要明确它们是高考命题的重点和热点，在备考过程中要紧跟命题趋势，抓住核心内容。
“亡羊补牢”总比“为时已晚”好，所以同学们在平时复习过程中应特别注意对基本概念的理解，掌握扎实，千万不要抱着侥幸的心理应付老师和家长。
在复习中要精讲精练，注重方法，适当提高做题速度。
注意在练习中提高解题技巧。
圆锥曲线是高中数学重点学科之一。
它主要是考查学生的空间想象力和逻辑思维能力。
很多学生对圆锥曲线感到非常困惑，甚至无从下手。
现结合自己的教学实践，谈谈在教学中遇到的问题以及怎样突破圆锥曲线教学这一难点。
一、对高中学生而言，圆锥曲线教学有两大困难，一是由于高中知识抽象，空间观念不强，二是数学思想方法缺乏，圆锥曲线复杂的计算和较高的技巧是造成失分的重要原因。
高中数学圆锥曲线的知识点总结
高中数学圆锥曲线的知识点总结高中数学中的圆锥曲线是一类重要的曲线，它在高中数学中都有所涉及，对学生的理解具有重要的作用。
圆锥曲线的定义：圆锥曲线是椭圆的一类特殊形式，它是以一条直线为锥面，以点为锥顶，以椭圆的圆周组成锥体所组成的曲线。
一般用参数方程表示。
圆锥曲线一般有半径与切线长相等的正圆锥曲线和小于半径的负圆锥曲线。
正圆锥曲线的半径及切线长是有正负方向区分的，如螺旋线，假设曲线沿正方向旋转，负方向切线围绕它沿正方向旋转，负方向半径为负，如椭圆拱起来的圆锥曲线，半径随距离锥顶的距离递减，从而产生了负圆锥曲线。
参数方程表示：给定椭圆上一点选择点P（x0，y0），向x轴引一条角等于α的切线，以此点P为锥顶，椭圆上一点和此切线的交点M（x1， y），称此点M为锥轴上的右端点；它与点P连成直线称为锥轴，则圆锥曲线参数方程为：x=(x1-x0)cos t+x0其中0≤t≤2π。
圆锥曲线的特征：1、圆锥曲线是一种有界曲线，有开口和封闭两种形式；2、圆锥曲线的曲率K在x=x0点为0，随着t值的增大，K值却不断增大，此点叫曲率极值点；3、圆锥曲线的中心曲率等于曲率，等于锥面切线的长度；4、圆锥曲线是对称曲线，对称轴在椭圆上一点P。
椭圆拱起来的正圆锥曲线可以进行求积分，例如求椭圆拱起来的正圆锥曲线的面积S。
设椭圆的参数方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1。
其中a,b为椭圆的长轴和短轴，设M（x1, y1）为圆锥曲线的锥轴上的右端点（x1=a^2/b, y1=0），α为椭圆上点P（x0, y0）的切线的角，示意图如下：则S=∫a^2/b到x1的y方向的矩形的面积+∫x1到x0的平行四边形的面积+∫点O到点M的扇形面积，如下式：S=1/2b∫[(x1-a^2/b)cosα+(x^2-a^2/b)αsinα-a^3/b]dx+1/2b∫[x2-x1cosα-a^2/bcosα]dx+1/2b∫[x-x1sinα+(a^2/bcosα-x1)αcosα]dy1、圆锥曲线本身就是椭圆的一种特殊形式，它可以在科学仪器、飞机发动机以及航天工程中应用；2、圆锥曲线及它的参数方程可以用于是描述动力学系统中运动界面，在导弹领域有广泛的应用；3、由圆锥曲线可求出直线间的最短距离，广泛应用于计算机视觉原理中；4、用圆锥曲线及它的参数方程可以描述人脸、构建三维实体模型等。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学中，圆锥曲线是重要的内容之一。
以下是对圆锥曲线的知识点进行总结：1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个到该点的固定距离之比（离心率）确定的曲线。
2. 椭圆：-定义：椭圆是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。
-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴。
-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，离心率满足$0<e<1$。
3. 双曲线：-定义：双曲线是所有到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表双曲线的半长轴和半短轴。
-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$，离心率满足$e>1$。
4. 抛物线：-定义：抛物线是所有到一个焦点的距离等于到直线（准线）的距离的点的集合。
-基本方程：$y^2=4ax$，其中$a$为抛物线的焦点到准线的距离的一半。
5. 圆：-定义：圆是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
-基本方程：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$为圆心的坐标，$r$为半径的长度。
6. 圆锥曲线的性质：-焦点和准线：椭圆和双曲线有两个焦点和一条准线，抛物线有一个焦点和一条准线，圆只有一个焦点和没有准线。
-对称性：椭圆和双曲线关于$x$轴、$y$轴对称，抛物线关于$y$轴对称。
-焦点与离心率的关系：椭圆和双曲线的离心率小于1，抛物线的离心率等于1，圆的离心率为0。
-焦点与直径的关系：椭圆和双曲线的焦点在直径上，抛物线的焦点在对称轴上。
7. 焦点和准线的性质：-椭圆和双曲线：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离等于焦点到曲线上任意点的距离之差的一半。
同时，准线也是曲线的对称轴。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结高中数学圆锥曲线知识点总结一、基本概念1、圆锥曲线：圆锥曲线是由一系列圆及其与它们的共轭切面围成的曲线，也可以看作是由一条曲线以及一个光滑曲面所围成的曲线空间。
2、圆弧：圆弧是曲线上一定角度范围内的闭合曲线，实际中常用于表示圆的片段。
3、渐开线：渐开线是由来自同一个圆的两个圆弧构成的弧线，渐开线的共轭切面是一条直线，而此直线又可在空间上做一个新的圆锥曲线。
二、圆锥曲线的性质1、圆锥曲线的曲线部分是由圆弧和渐开线组成的，曲线上每个点都是圆切弧上的一个点；2、圆锥曲线的表面部分是一个椭圆锥曲面，其参数方程由三个椭圆锥参数函数组成，其积分可以计算出圆锥曲面上的面积；3、点P（x，y，z）在圆锥曲线上，则其有连续的x，y，z三个坐标参数，并且满足圆锥曲线的参数方程；4、圆锥曲线的曲线部分是椭圆锥曲线，并且任一点在曲线上的切线方向都是一致的；5、圆锥曲线的曲线与曲面的连接，是一条中间缝合曲线，即渐开线，渐开线也可以看作是空间曲线上的锥面的交线。
6、圆锥曲线的曲线部分与表面部分的连接，是一条中间缝合曲线，被称为椭圆锥曲线，椭圆锥曲线也是一条空间曲线上的椭圆锥面的交线。
7、圆锥曲线的曲线部分与表面部分之间的交点的曲线，也被称为椭圆锥曲线，它也可以看作是圆锥曲线上的椭圆锥线的交点的曲线。
三、圆锥曲线的应用1、圆锥曲线在建筑学上常用于建造拱顶、圆顶、屋顶等，这些曲线具有很好的象征性；2、圆锥曲线在航空和航天工程上常用于设计飞机、火箭的运动轨迹；3、圆锥曲线在汽车制造上常用于设计汽车的底盘，以实现更好的操控性能；4、圆锥曲线在计算机渲染上常用于设计三维物体，以获得更加逼真的渲染效果；5、圆锥曲线在绘画上常用于创作凹凸有致的曲线，以实现更加自然的线条。
总之，圆锥曲线是一种非常有用的曲线，它在不同领域有着广泛的应用。
高中数学圆锥曲线选知识点总结
高中数学圆锥曲线选知识点总结高中数学圆锥曲线是高中数学的一门重要内容，主要包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本曲线。
以下是一份完整的高中数学圆锥曲线选知识点总结：1.定义：圆锥曲线是平面上的一条曲线，它是由一个交角不为直角的平面截一个圆锥所得到的截面图形。
2.椭圆：椭圆是一条平面曲线，它的定义是所有到两个给定点的距离之和等于定值的点所形成的轨迹。
椭圆的性质包括离心率、焦点、焦距、长轴、短轴、半焦距等。
3.双曲线：双曲线是一条平面曲线，它的定义是所有到两个给定点的距离之差等于定值的点所形成的轨迹。
双曲线的性质包括离心率、焦点、焦距、渐近线等。
4.抛物线：抛物线是一条平面曲线，它的定义是所有到一个给定点的距离等于定值的点所形成的轨迹。
抛物线的性质包括焦点、焦距、准线、对称轴、顶点等。
5.圆锥曲线的参数方程：圆锥曲线也可以用参数方程表示，例如椭圆的参数方程为x = a cos t，y = b sin t；双曲线的参数方程为x = a sec t，y = b tan t；抛物线的参数方程为x = at^2，y = 2at。
6.圆锥曲线的应用：圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
例如，在天文学中，行星轨道和彗星轨道就是圆锥曲线；在工程学中，喷气式飞机的外形和空气动力学研究中也常常使用圆锥曲线。
7.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
可以通过椭圆的焦点坐标和离心率求得椭圆的方程。
8.双曲线的方程：双曲线的标准方程为(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) =1，其中a和b分别为双曲线的顶点到两条渐近线的距离。
同样可以通过双曲线的焦点坐标和离心率求得双曲线的方程。
9.抛物线的方程：抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
抛物线的顶点坐标为(-b / 2a, c - b^2 / 4a)，焦距为1 / 4a。
高中数学_圆锥曲线知识点小结
高中数学_圆锥曲线知识点小结《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：2a |F1F2|表示椭圆；2a |F1F2|表示线段F1F2；2a |F1F2|没有轨迹；（2F1F2|）的点的轨迹。
22xy3．常用结论：（1）椭圆1(a b 0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两a2b2点，则ABF2的周长= （2）设椭圆x2y22 1(a b 0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线2ab交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|PQ|二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2|迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：|F1F2|PF1| |PF2| 2a与|PF2| |PF1| 2a（2a |F1F2|）表示双曲线的一支。
2a |F1F2|表示两条射线；2a |F1F2|没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：标准方程中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上x2y21(a 0,b 0) a2b2y2x22 1(a 0,b 0) 2ab图形B1(0, a),B2(0,a)顶点对称轴焦点焦距离心率渐近线通径（3）双曲线的渐近线：A1( a,0),A2(a,0)x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2aF1( c,0),F2(c,0)|F1F2| 2c(c 0) ceF1(0, c),F2(0,c)a2 b2c(e 1)（离心率越大，开口越大）aybx a2b2 ayax b2222①求双曲线x y 1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x y 0，因式分解得到x y 0。
aba2b2a2b2x2y2x2y2②与双曲线2 2 1共渐近线的双曲线系方程是2 ；2ab（4）等轴双曲线为x2y2 t2，其离心率为yx（4）常用结论：（1）双曲线2 1(a 0,b 0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交双曲线的2ab同一支于A,B两点，则ABF2的周长x2y22 1(a 0,b 0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的2ab（2）设双曲线直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|三、抛物线：PQ|（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
高中数学圆锥曲线总结
数学圆锥曲线总结1、圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。
若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
Attention：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
（2）（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。
（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。
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《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2
3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=
（2）设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交
椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ
二、双曲线：
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点
的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在x 轴上
中心在原点，焦点在y 轴上
标准方程 )0,0(122
22>>=-b a b
y a x )0,0(122
22>>=-b a b
x a y 图 形
顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B -
对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2
焦 点 )0,(),0,(21c F c F -
),0(),,0(21c F c F -
焦 距 )0(2||21>=c c F F 222
b a c
+=
离心率 )1(>=
e a
c
e （离心率越大，开口越大） 渐近线 x a
b y ±
= x b
a y ±
= 通 径
22b a
（3）双曲线的渐近线：
①求双曲线12
2
22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b
±=。
②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b
y a x ；
（4）等轴双曲线为2
22t y x =-，其离心率为2
（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(1222
2
>>=-b a b
y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=
（2）设双曲线)0,0(12
222
>>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直
线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ
三、抛物线：
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。
（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0>p 焦点在x 轴上， 开口向右
焦点在x 轴上， 开口向左
焦点在y 轴上，
开口向上
焦点在y 轴上，
开口向下
标准方程
px y 22=
px y 22-=
py x 22= py x 22-=
图 形
顶 点 )0,0(O
对称轴 x
轴
y 轴
焦 点 )0,2
(p
F )0,2
(p F -
)
2
,0(p F
)2
,0(p F -
离心率 1=e
准 线 2
p x -
= 2
p x =
2
p y -
= 2
p y =
通 径 p 2
焦半径 2
||||0p x PF +
= 2
||||0p y PF +
= 焦点弦
焦准距
p
四、弦长公式： |
|14)(1||1||2212212212A k x x x x k x x k AB ∆⋅
+=-+⋅+=-+= 其中,∆,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程 的判别式和2
x 的系数
求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的
一元二次方程,02
=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出A
B x x -
=+21，A
C
x x =
21；（3）代入弦长公式计算。
法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y 的一元二次方程,02
=++C By Ay 则相应的弦长公式是：|
|)1(14)()1(1||)1(1||2212212212A k y y y y k y y k AB ∆⋅
+=-+⋅+=-+= 注意（1）上面用到了关系式|
|4)(||2122121A x x x x x x ∆=
-+=
-和 |
|4)(2122121A y y y y y y ∆=
-+=- 注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法
法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的一元二次方程,02
=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出A
B
x x -=+21；（3）设中点),(00y x M ，由中点坐标公式得2
2
10x x x +=
；再把0x x =代入直线方程求出0y y =。
法（二）：用点差法，设),(11y x A ，),(22y x B ，中点),(00y x M ，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A 、B 两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出00,y x 。
六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c ，再代入公式
法二、建立a,b,c 满足的关系，消去b,再化为关于e 的方程，最后解方程求e (求e 时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e ﹤1，而双曲线离心率取值范围是e ﹥1)。