高中数学选修圆锥曲线总结

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2

3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=

（2）设椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交

椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点

的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在x 轴上

中心在原点，焦点在y 轴上

标准方程 )0,0(122

22>>=-b a b

y a x )0,0(122

22>>=-b a b

x a y 图 形

顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B -

对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2

焦 点 )0,(),0,(21c F c F -

),0(),,0(21c F c F -

焦 距 )0(2||21>=c c F F 222

b a c

+=

离心率 )1(>=

e a

c

e （离心率越大，开口越大） 渐近线 x a

b y ±

= x b

a y ±

= 通 径

22b a

（3）双曲线的渐近线：

①求双曲线12

2

22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b

±=。

②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b

y a x ；

（4）等轴双曲线为2

22t y x =-，其离心率为2

（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(1222

2

>>=-b a b

y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=

（2）设双曲线)0,0(12

222

>>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直

线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ

三、抛物线：

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0>p 焦点在x 轴上， 开口向右

焦点在x 轴上， 开口向左

焦点在y 轴上，

开口向上

焦点在y 轴上，

开口向下

标准方程

px y 22=

px y 22-=

py x 22= py x 22-=

图 形

顶 点 )0,0(O

对称轴 x

轴

y 轴

焦 点 )0,2

(p

F )0,2

(p F -

)

2

,0(p F

)2

,0(p F -

离心率 1=e

准 线 2

p x -

= 2

p x =

2

p y -

= 2

p y =

通 径 p 2

焦半径 2

||||0p x PF +

= 2

||||0p y PF +

= 焦点弦

焦准距

p

四、弦长公式： |

|14)(1||1||2212212212A k x x x x k x x k AB ∆⋅

+=-+⋅+=-+= 其中,∆,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程 的判别式和2

x 的系数

求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的

一元二次方程,02

=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出A

B x x -

=+21，A

C

x x =

21；（3）代入弦长公式计算。 法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y 的一元二次方程,02

=++C By Ay 则相应的弦长公式是：|

|)1(14)()1(1||)1(1||2212212212A k y y y y k y y k AB ∆⋅

+=-+⋅+=-+= 注意（1）上面用到了关系式|

|4)(||2122121A x x x x x x ∆=

-+=

-和 |

|4)(2122121A y y y y y y ∆=

-+=- 注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法

法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的一元二次方程,02

=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出A

B

x x -=+21；（3）设中点),(00y x M ，由中点坐标公式得2

2

10x x x +=

；再把0x x =代入直线方程求出0y y =。 法（二）：用点差法，设),(11y x A ，),(22y x B ，中点),(00y x M ，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A 、B 两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出00,y x 。 六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c ，再代入公式

法二、建立a,b,c 满足的关系，消去b,再化为关于e 的方程，最后解方程求e (求e 时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e ﹤1，而双曲线离心率取值范围是e ﹥1)