福建省宁德市2013届高中毕业班质量检查数学理科试题

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2013年高考理科数学福建卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013福建，理1)已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：由z＝1＋2i，得z＝1－2i，故复数z对应的点(1，－2)在第四象限．2．(2013福建，理2)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：若a＝3，则A＝{1,3}⊆B，故a＝3是A⊆B的充分条件；而若A⊆B，则a不一定为3，当a＝2时，也有A⊆B．故a＝3不是A⊆B的必要条件．故选A．3．(2013福建，理3)双曲线24x－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()．A．25B．45C D答案：C解析：双曲线24x－y2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为12y x=±，即x－2y＝0和x＋2y＝0.故其顶点到渐近线的距离5d===.4．(2013福建，理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()．A．588 B．480 C．450 D．120答案：B解析：×10×(15．(2013福建，理5)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()．A．14 B．13 C．12 D．10答案：B解析：a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2都有解；a≠0时，若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝22－4ab≥0，即ab≤1.当a＝－1时，b可取－1,0,1,2.当a＝1时，b可取－1,0,1.当a＝2时，b可取－1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.6．(2013福建，理6)阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是()．A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和答案：A解析：当k＝10时，执行程序框图如下：S＝0，i＝1；S＝1，i＝2；S＝1＋2，i＝3；S＝1＋2＋22，i＝4；……S＝1＋2＋22＋…＋28，i＝10；S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11.7．(2013福建，理7)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为()．AB． C ．5 D ．10 答案：C解析：∵AC ·BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC ⊥BD .又|AC |=，|BD |==S 四边形ABCD ＝12|AC ||BD |＝5. 8．(2013福建，理8)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )．A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点答案：D解析：选项A ，由极大值的定义知错误；对于选项B ，函数f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点，故不正确；对于C 选项，函数f (x )与－f (x )图象关于x 轴对称，x 0应是－f (x )的极小值点，故不正确；而对于选项D ，函数f (x )与－f (－x )的图象关于原点成中心对称，故正确．9．(2013福建，理9)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )． A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2 D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案：C解析：∵{a n }是等比数列， ∴1mn m m n ma a +(-)+＝q mn＋m －m (n －1)－m＝q m ，∴1n nc c +＝1211121··mn mn mn m m n m n m n m a a a a a a +++(-)+(-)+(-)+⋅⋅⋅⋅＝(q m )m ＝qm 2. 10．(2013福建，理10)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )．A．A＝N*，B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0＜x≤10}C．A＝{x|0＜x＜1}，B＝RD．A＝Z，B＝Q答案：D解析：由题意(1)可知，S为函数y＝f(x)的定义域，T为函数y＝f(x)的值域．由(2)可知，函数y＝f(x)在定义域内单调递增，对于A，可构造函数y＝x－1，x∈N*，y ∈N，满足条件；对于B，构造函数8,1,51,13,2xyx x-=-⎧⎪=⎨(+)-<≤⎪⎩满足条件；对于C，构造函数ππtan22y x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈(0,1)，满足条件；对于D，无法构造函数其定义域为Z，值域为Q且递增的函数，故选D．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013福建，理11)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＞0”发生的概率为________．答案：2 3解析：由3a－1＞0得13a>，由几何概型知112313P-==.12．(2013福建，理12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．答案：12π解析：由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径2r==r=S球＝4πr2＝4π×3＝12π.13．(2013福建，理13)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝3，AB＝AD＝3，则BD的长为________．解析：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝π2 .∵sin∠BAC＝3，∴πsin2BAD⎛⎫∠+=⎪⎝⎭∴cos∠BAD.由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝2＋32－2××3×3＝3.∴BD.14．(2013福建，理14)椭圆Γ：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2C．若直线y x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．1解析：由直线y(x＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|＝C．又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴1)c＝2a，即1e==.15．(2013福建，理15)当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1＋x＋x2＋…＋x n＋…＝11x -.两边同时积分得：111112222220000011d d d d d1nx x x x x x x xx +++++=-⎰⎰⎰⎰⎰，从而得到如下等式：23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：2310121111111C C C C 2223212n n nn n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.答案：113112n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦解析：由0122C C C C n nn n n n x x x ++++…＝(1＋x )n ，两边同时积分得：1111012222220C1d Cd Cd Cd n n nnnnx x x x x x x ++++⎰⎰⎰⎰120(1)d n x x =+⎰，＝1111201111131|11112112n n n x n n n n +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫(+)=+-=-⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(2013福建，理16)(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”，因为P (X ＝5)＝2243515⨯=，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B 22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 2～B 22,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以E (X 1)＝24233⨯=，E (X 2)＝24255⨯=，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)＞E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，因为P (X ＝0)＝22111355⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (X ＝2)＝2221355⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，P (X ＝3)＝22213515⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115. (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×9＝3，E(X2)＝0×25＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)＞E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．17．(2013福建，理17)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x .(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2x(x＞0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝x ax，x＞0知：①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝A．又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．18．(2013福建，理18)(本小题满分13分)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9.连结OB i，过A i作x轴的垂线与OB i交于点P i(i∈N*,1≤i≤9)．(1)求证：点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10i x . 设P i 的坐标为(x ，y )，由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得y ＝110x 2，即x 2＝10y . 所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由210.10.y kx x y =+⎧⎨=⎩得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400＞0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则121210,100,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩①②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1·x 2＜0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得222310,4100,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得32k =±. 所以直线l 的方程为y ＝32±x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0. 解法二：(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10i x . 由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得P i 的坐标为2,10i i ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)同解法一．19．(2013福建，理19)(本小题满分13分)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值； (3)现将与四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f (k )，写出f (k )的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)．解：(1)取CD 的中点E ，连结BE . ∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0，6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由10,0,AC AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得460,30.kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝11||||AA AA ⋅⋅n n 67=，解得k ＝1，故所求k 的值为1.(3)共有4种不同的方案．f (k )＝2257226,0,1853636,.18k k k k k k ⎧+<≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩20．(2013福建，理20)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭.将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象． (1)求函数f (x )与g (x )的解析式；(2)是否存在x 0∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得f (x 0)，g (x 0)，f (x 0)g (x 0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x 0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a 与正整数n ，使得F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．解法一：(1)由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2πT＝2. 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，φ∈(0，π)，故ππsin 2044f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ϕ=，所以f (x )＝cos 2x . 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数π()=cos 2g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以g (x )＝sin x .(2)当x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭时，12＜sin x ＜2，0＜cos 2x ＜12，所以sin x ＞cos 2x ＞sin x cos 2x .问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin x cos 2x 在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内是否有解．设G (x )＝sin x ＋sin x cos 2x －2cos 2x ，x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭，则G ′(x )＝cos x ＋cos x cos 2x ＋2sin 2x (2－sin x )．因为x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以G ′(x )＞0，G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增．又π1<064G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π42G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且函数G (x )的图象连续不断，故可知函数G (x )在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点x 0，即存在唯一的x 0∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意． (3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ，令F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝0.当sin x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时，cos 2x ＝1，从而x ＝k π(k ∈Z )不是方程F (x )＝0的解，所以方程F (x )＝0等价于关于x 的方程cos2sin x a x =-，x ≠k π(k ∈Z )．现研究x ∈(0，π)∪(π，2π)时方程cos2sin x a x=-的解的情况．令()cos2sin x h x x=-，x ∈(0，π)∪(π，2π)，则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )，x ∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况．22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令h ′(x )＝0，得π2x =或3π2x =. 当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：当x＜π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞，当x＞π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，当x＜2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞.故当a＞1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a＜－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1＜a＜1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．由函数h(x)的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内恰有2 013个交点；又当a＝1或a＝－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)∪(π，2π)内有3个交点，由周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1 342.综上，当a＝1，n＝1 342或a＝－1，n＝1 342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2 013个零点．解法二：(1)、(2)同解法一．(3)依题意，F(x)＝a sin x＋cos 2x＝－2sin2x＋a sin x＋1.现研究函数F(x)在(0,2π]上的零点的情况．设t＝sin x，p(t)＝－2t2＋at＋1(－1≤t≤1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，又p(0)＝1＞0，p(－1)＝－a－1，p(1)＝a－1.当a＞1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)(另一个零点t2＞1，舍去)，F(x)在(0,2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(π，2π)；当a＜－1时，函数p(t)有一个零点t1∈(0,1)(另一个零点t2＜－1，舍去)，F(x)在(0,2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(0，π)；当－1＜a＜1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)，另一个零点t2∈(0,1)，F(x)在(0，π)和(π，2π)分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当a≠±1时，函数F(x)在(0，nπ)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意．当a＝1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)，另一个零点t2＝1；当a ＝－1时，函数p (t )有一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0,1)，从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F (x )在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．21．(2013福建，理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵 1 20 1A ⎛⎫=⎪⎝⎭对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. ①求实数a ，b 的值；②若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点P 的坐标． (2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为π4⎫⎪⎭，，直线l 的极坐标方程为ρπcos 4θ⎛⎫-⎪⎝⎭＝a ，且点A 在直线l 上． ①求a 的值及直线l 的直角坐标方程；②圆C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系． (3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲设不等式|x －2|＜a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ． ①求a 的值；②求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．(1)选修4—2：矩阵与变换解：①设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由 1 220 1x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2,.x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得=1,2=1,a b ⎧⎨+⎩解得=1,1.a b ⎧⎨=-⎩ ②由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002,,x x y y y =+⎧⎨=⎩解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1,0)．(2)选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：①由点A π4⎫⎪⎭在直线ρπcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a上，可得a =所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.②由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d2＜1，所以直线l 与圆C 相交．(3)选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：①因为32∈A ，且12∉A ，所以32<2a -，且122a -≥，解得12＜a≤32.又因为a∈N*，所以a＝1.②因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号．所以f(x)的最小值为3.。

2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷参考答案及评分标准

2013年福州市高中毕业班质量检查数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共50分．1.A2.C3.C4.A5.D6.B7.A8.C9.D 10.D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共20分．11．1 12．3 13．②③④ 14．81 15．122三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）依题意得()sin 33f x x x ππ=+………………………………………1分2sin()33x ππ=+ …………………………………………………………………3分所以函数()f x 的值域为[2,2]-．………………………………………………………5分（Ⅱ）方法一由（Ⅰ）知，()2sin()33f x x ππ=+(1)2sin 33f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3f π=-=………………………………6分从而 (3),3,3)M N .………………………………………………7分∴2,OM ON ====4,MN ==……………………………………………9分根据余弦定理得222cos 02OM ON MN MON OM ON +-∠===. ∴90MON ∠= ，…………………………………………………………………10分 △MON的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=…………13分方法二同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分则(1(3,OM ON == . ………………………………………………8分13(0OM ON ⋅=⨯= .……………………………………………10分所以90MON ∠=， OM ON ⊥ 即 △MON的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=……………13分方法三同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分直线OM的方程为y =0y -=. …………… …………………8分点N 到直线OM的距离为d ==分又因为2,OM =，………………………………………………………………11分所以△MON的面积为11222S OM d =⋅=⨯⨯=分 17．本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，满分13分．解：（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人． X 的所有可能取值为0,1,2．……………………………………………………1分所以25212C 5(0)C 33P X ===，1175212C C 35(1)C 66P X ===，27212C 217(2)C 6622P X ====．…4分故X 的分布列为分∴53577()0123366226E X =⨯+⨯+⨯=． ……6分（Ⅱ…………7分 2K 的观测值212(6411) 5.1827557k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯>3.841，……………………………9分所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． ……………………10分（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ……………………11分由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． ……………………13分 18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）如图，连接ED ，∵⊥EA 底面ABCD 且EA FD //，∴⊥FD 底面ABCD ,∴AD FD ⊥,∵D CD FD AD DC =⋂⊥，,∴⊥AD 面FDC , ----------------1分∴32221213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-FDC FCD E S AD V , --------2分E ABCD V -=13EA ⋅ ABCD S 1822233=⨯⨯⨯= , -------------3分 ∴多面体EABCDF 的体积310=+=--ABCD E FCD E V V V 多面体．--------------5分（Ⅱ）以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (0,0,0),E (0,0,2),B (2,0,0),C (2,2,0),F (0,2,1),所以)1,2,0(,),2,0,2(),222(-=-=-=EF EB ，，EC ------7分设平面ECF 的法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF n n 得：⎩⎨⎧=-=-+,02,0222z y z y x 取y =1,得平面ECF 的一个法向量为(1,1,2)=n ------9分设直线EB 与平面ECF 所成角为θ，所以sin |cos ,|EB θ= n ||||||EB EB ⋅=⋅ nn ==----11分（Ⅲ）取线段CD 的中点Q ；连接KQ ，直线KQ 即为所求． ---------------12分图上有正确的作图痕迹………………………………13分19．本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）设曲线C 上任意一点P 的坐标为),(y x ．依题意22ab a x y a x y k k PB PA -=-⋅+=⋅，且a x ±≠，………………３分整理得12222=+b y a x ．所以，曲线C 的方程为：12222=+by a x ，a x ±≠．………5分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,12222h kx y b y a x 得0)(2)(22222222=-+++b h a hkx a x k a b ，()422222222222244()0,a h k b a k a h b b a k h ∴∆=-+-<+<即，……7分由已知条件可知)0,-(khM ，),0(h N ，所以 ab b a k a k b b a k a b k k a b h k h MN 2||2222222222222222222++≥+++=+++>+=，从而22)(||b a MN +>，即b a MN +>||． ………………13分20．（本小题满分14分）本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：2)2(211)(+-+='x a x x f 22)2)(1()24()24(++-+-+=x x a x a x ．（Ⅰ）当0=a 时，0)0(=f ，切线的斜率1)0(='=f k ，所以切线方程为x y =，即0=-y x ． ……3分（Ⅱ）当0>a 时，因为0>x ，所以只要考查)24()24()(2a x a x x g -+-+=的符号．由0)24(4)24(2≤---=∆a a ，得20≤<a ，当20≤<a 时，0)(>x g ，从而0)(>'x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增；当2>a 时，由0)(=x g 解得a a a x 222-+-=． ……6分当x 变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：函数)(x f 在区间)22,0(2a a a -+-单调递减，在区间),22(2+∞-+-a a a 上单调递增． ……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2=a 时，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增；所以0)0(22)1ln()(=>+-+=f x x x x f ，即)1ln(22x x x +<+对任意),0(+∞∈x 成立． ……11分取kx 1=，n k ,,3,2,1 =，得121ln(1)12k k k<++，即k k k ln )1ln(122-+<+，n k ,,3,2,1 =．……13分将上述n 个不等式求和,得到:∑∑==-+<+n k nk k k k 11]ln )1[ln(122，即不等式1ln 1215131+<++++n n 对任意*N ∈n 成立． ……14分21．（1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．满分7分．解：（Ⅰ）依题意⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2213T ，所以42213det ==T ，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-432141211T ． ----------3分（Ⅱ）由βα=T ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-2165432141211βαT ． ----------7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．解：（Ⅰ）由θθρsin 8cos 6+=，得θρθρρsin 8cos 62+=，所以圆C 的直角坐标方程为08622=--+y x y x ，即2225)4()3(=-+-y x ．………………………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 54,cos 53y x （θ为参数）. 所以)4sin(257πθ++=+y x ， ………………………5分因此当ππθk 24+=，Z ∈k 时，y x +取得最大值为257+，且当y x +取得最大值时点P 的直角坐标为)2254,2253(++．……………7分（3）选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．解：（Ⅰ）依题意，当1=x 时不等式成立，所以3|1|3≤-+m ，解得1=m ，经检验，1=m 符合题意． ---------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知132222=++c b a ．根据柯西不等式，得6])3()2()[321()32(2222222=++++≤++c b a c b a ，-----------------5分所以6326≤++≤-c b a ，当且仅当66===c b a 时，取得最大值6，66-===c b a 时，取得最小值6-，因此c b a 32++的取值范围是]6,6[-． --------------------7分。

2013年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年福建，理1，5分】已知复数z 的共轭复数12i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】D【解析】z 的共轭复数12i z =+，则12i z =-，对应点的坐标为(1,2)-，故选D ．（2）【2013年福建，理2，5分】已知集合{}1,A a =，{}1,2,3B =，则“3a =”是“A B ⊆”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】3a A B =⇒⊆，2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件，故选A ．（3）【2013年福建，理3，5分】双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（）（A ）25 （B ）45（C （D【答案】C【解析】2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d =C ．（4）【2013年福建，理4，5分】某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40)50,，[50)60,，[60)70,，[70)80,，[80)90,，[90)100,加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）（A ）588 （B ）480 （C ）450 （D ）120 【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=，故分数在60以上的人数为6000.8480⨯=人，故选B ．（5）【2013年福建，理5，5分】满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（）（A ）14 （B ）13 （C ）12 （D ）10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对；②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为12（,），21（,），22（,）．(,)a b 共有4*416=中实数对，故答案应为16313-=，故选B ．（6）【2013年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（）（A ）计算数列{}12n -的前10项和（B ）计算数列{}12n -的前9项和（C ）计算数列{}21n -的前10项和（D ）计算数列{}21n -的前9项和【答案】A【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==<…．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和，故选A ．（7）【2013年福建，理7，5分】在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（）（A（B）（C ）5 （D ）10 【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即11(****)(*)22S AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD =+++=，则算出5S =，故选C ．（8）【2013年福建，理8，5分】设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（）（A ）0,()()x R f x f x ∀∈≤ （B ）0x -是()f x -的极小值点（C ）0x -是()f x -的极小值点（D ）0x -是()f x --的极小值点【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点；B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点；C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确，故选D ．（9）【2013年福建，理9，5分】已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++，(1)1(1)2(1)...n m n m n m n m c a a a -+-+-+=⋅⋅⋅则以下结论一定正确的是（）（A ）数列{}n b 为等差数列，公差为m q （B ）数列{}n b 为等比数列，公比为2m q （C ）数列{}n c 为等比数列，公比为2m q （D ）数列{}n c 为等比数列，公比为mm q 【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q ，()()2221111121m mm m a a q a a qa a ++==⋅=⋅ 同理可得 22222m m a a a ++==⋅，22m m m m m a a a ++==⋅，112...m c a a a =⋅⋅⋅，212...m m m mc a a a +++=⋅⋅⋅，321222...m m m m c a a a +++=⋅⋅⋅2213c c c ∴=⋅∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅，故选C ．（10）【2013年福建，理10，5分】设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：（ⅰ）(){}f x x =∈T S ；（ⅱ）对任意12,x x ∈S ，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（）（A ）*A N =，B N = （B ）{}13A x x =-≤≤，{}8010B x x x ==-<≤或（C ）{}01A x x =<<，B ∈R （D ）A =Z ，B =Q 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确；令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年福建，理11，4分】利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为．【答案】23【解析】13103a a ->∴>，a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==．（12）【2013年福建，理12，4分】已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是．【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，2412R S R ππ∴====球表．（13）【2013年福建，理13，5分】如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，sin BAC ∠=，AB =3AD =，则BD 的长为．【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•，BD ==．（14）【2013年福建，理14，4分】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左．右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于．1-【解析】由直线方程)y x c +⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点()1,0F c -12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12Rt F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =+∴==-．（15）【2013年福建，理15，4分】当x ∈R ，1x <时，有如下表达式：2111n x x x x+++++=-，两边同时积分得：1111122222200000111ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰．从而得到如下等式：23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+++= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．请根据以下材料所蕴含的数学思想方法计算：23101211111112223212n n nn n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭_．【答案】113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n n n n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：1111101222222201......(1).n n n nnnnC dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：0122311111111113()()...()[()1]222321212n n n n n n n C C C C n n ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2013年福建，理16，13分】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？解：（1）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3X ≤”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5X =”，()22453515P X ==⨯=，()()111515P A P X ∴=-==，∴这两人的累计得分3X ≤的概率为1115．（2）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B ，124()233E X ∴=⨯=，224()255E X =⨯=，118(2)2()3E X E X ∴==，2212(3)3()5E X E X ==，12(2)(3)E X E X >，∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．（17）【2013年福建，理17，13分】已知函数()()ln f x x a x a R =-∈．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程；（2）求函数()f x ()f x 的极值．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1af x x'=-．（1）当2a =时，()2ln f x x x =-，2()1(0)f x x x'=->，(1)1,(1)1f f '∴==-，()y f x ∴=在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=．（2）由()1,0a x a f x x x x-'=-=>可知： ①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值；②当0a >时，由()0f x '=，解得x a =；(0,)x a ∈时，()0f x '<，(,)x a ∈+∞时，()0f x '>， ()f x ∴在x a =得极小值，且极小值为()ln f a a a a =-，无极大值．综上：当0a ≤时，函数()f x 无极值当0a >时，函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -，无极大值．（18）【2013年福建，理18，13分】如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()10,0，点C 的坐标为()0,10．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,A A A 和129,B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点()*,19i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线的方程．解：（1）依题意，过()*,19i A i N i ∈≤≤且与x 轴垂直的直线方程为x i =，(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10i y x =设i P 坐标为(,)x y ，由10x ii y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得：2110y x =，即210x y =， ∴*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210x y =．（2）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为10y kx =+，由21010y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2101000x kx --=，此时2100+4000k ∆=>，直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N ．设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100x x kx x +=⎧⎨⋅=-⎩，4OCM OCN S S ∆∆=，∴124x x =，又120x x ⋅<，∴124x x =-分别带入21010y kx x y=+⎧⎨=⎩，解得32k =±直线的方程为3+102y x =±，即32200x y -+=或3+2200x y -=．（19）【2013年福建，理19，13分】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥ 底面ABCD ，//AB CD ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，()60DC k k =>．（1）求证：CD ⊥平面11ADD A ；（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值；（3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）．解：（1）取CD 中点E ，连接BE ，//AB DE ，3AB DE k ==，∴四边形ABED 为平行四边形，//BE AD ∴且4BE AD k ==，在BCE 中，4,3,5BE k CE k BC k ===222BE CE BC ∴+=，90BEC ∴∠=︒，即BE CD ⊥，又//BE AD ，所以CD AD ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =，CD ∴⊥平面11ADD A ．（2）以D 为原点，1,,DA DC DD 的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k ，所以(4,6,0)AC k k =-，1(0,3,1)AB k =，1(0,0,1)AA =，设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩，取2y =，得(3,2,6)n k =-，设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA n AA n AA n θ=〈〉=⋅26673613k k ==+，解得1k =．故所求k 的值为1．（3）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩．（20）【2013年福建，理20，14分】已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ-+><<的周期为π，图像的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）是否存在0,64x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()()()0000,,f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由；（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x ==在()0,n π内恰有2013个零点．解：（1）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω=，又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =，将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =．（2）当(,)64x ππ∈时，12sin 22x <<，10cos 22x <<，所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>，问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解，设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++-，因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()04G π=>，且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意．（3）解法一：依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=，当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时， cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈，现研究(0,)(,2)x πππ∈时方程解的情况．令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈，则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈的交点情况，22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π=．当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞；当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞，故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在()0,n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在()()0,,2πππ内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，67121342n ∴=⨯=，综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在()0,n π内恰有2013个零点．解法二：依题意，()2sin cos22sin sin 1F x a x x x a x =+=-++．现研究函数()F x 在(0]2π，上的零点的情况．设sin t x =，()()22111p t t at t =-++-≤≤，则函数()p t 的图象是开口向下的抛物线，又()010p =>，()11p a -=--，()11p a =-．当1a >时，函数()p t 有一个零点10()1t ∈-，（另一个零点21t >，舍去）， ()F x 在(0]2π，上有两个零点1x ，2x ，且1x ，22()x ππ∈，；当1a <-时，函数()p t 有一个零点1)1(0t ∈，（另一个零点21t <-，舍去），()F x 在(0]2π，上有两个零点1x ，2x ，且1x ，20()x π∈,；当11a -<< 时，函数()p t 有一个零点10()1t ∈-，，另一个零点2)1(0t ∈，，()F x 在(0)π,和(2)ππ，分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当1a ≠±时，函数()F x 在(0)n π,内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当1a =时，函数()p t 有一个零点10()1t ∈-，，另一个零点21t =；当1a =-时，函数()p t 有一个零点11t =-，另一个零点2)1(0t ∈，，从而当1a =或1a =-时，函数()F x 在(0]2π，有3个零点．由正弦函数的周期性，20133671=⨯，所以依题意得67121342n =⨯=．综上，当1a =，1342n =或1a =-，1342n =时，()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（21）【2013年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=．（1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标．解：（1）设直线:1l ax y +=上任意一点(),M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(),M x y ''' 由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x yy y'=+⎧⎨'=⎩，又点(),M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即()21x b y ++=，依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩．（2）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩，解得00y =，又点()00,P x y 在直线上，所以01x =故点P 的坐标为()1,0．（21）【2013年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为)4π，直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线上．（1）求a 的值及直线的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．解：（1）由点4A π⎫⎪⎭在直线cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上，可得a cos sin 2ρθρθ+=，从而直线的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由已知得圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，所以圆心为()1,0，半径1r =，以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交．（21）【2013年福建，理21（2），7分】（选修4-5：不等式选讲）设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉．（1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．解：（1）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥，解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a =．（2）因为()()12123x x x x ++-≥+--=，当且仅当()()120x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3．。

2013届福建省普通高中毕业班质量检查理综综合试卷(2013.04)word版

2013年福建省普通高中毕业班质量检查理科综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第II卷。

第I卷为必考题，第II卷包括必考题和选考题两部分。

本试卷共12页，满分300分，考试时间150分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效；按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4. 做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

5. 保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损；考试结束后，将答题卡交回。

相对原子质量：H 1 N 14 Cl 35. 5第I卷（选择题共108分）本卷共18小题，每小题6分，共108分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.下列有关生命活动调节的描述，正确的是A. 细胞外液渗透压升高能促使抗利尿激素释放增加B. 甲状腺激素分泌受到下丘脑的直接影响C. 神经递质作用于突触后膜导致电信号向化学信号转变D. 植物生长素从产生部位运送到作用部位直接参与细胞代谢2. 右图为某种细胞的结构示意图，正常生理状态下，下列选项中的变化都会在该种细胞中发生的是A. 氨基酸→胰岛素；ATP→ADP+ PiB. 葡萄糖→淀粉；H20→[H] +O2C. 氨基酸→RNA聚合酶；[H]+02→H20D. 葡萄糖→丙酮酸；染色质→染色体3. 外来物种薇甘菊入侵某生态系统后，随时间推移，植物种类数及碳储量变化如右策。

据表分析，随着薇甘菊入侵程度加强，生态系统中A. 生产者固定的总能量逐渐增加B. 植物的丰富度和种群密度均下降C. 土壤中分解者的分解作用逐渐减弱D. 植被凋落程度有增大的趋势4. 科研人员研究外源PLCEl基因在裸小鼠（无胸腺的小鼠）结肠癌肿瘤发生过程中的作用。

2013年福州市高中毕业班质量检查理科数学试卷

2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷（完卷时间120分钟；满分150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1.i 是虚数单位，复数(2)(1)z x i i =++，R ∈x ．若z 的虚部为4，则x 等于A ．2B ．-2C ．1D ．-12. 要得到函数tan(2)3y x π=+的图象，只须将x y 2tan =的图象上的所有的点A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D.向右平移6π个单位长度3. 根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是 A.300 B. 305C.315D. 320 ４.已知函数()af x x x=+，则“4a =”是“函数()f x 在(2,)+∞上为增函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.已知命题“直线l 与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题：第3题图①直线l 上的点都在平面α内； ②直线l 上有些点不在平面α内；③平面α内任意一条直线都不与直线l 平行．其中真命题的个数是 A.3 B.2 C.1D.06.已知等比数列{}n a 的公比2=q ，且462,,48a a 成等差数列，则{}n a 的前8项和为 A.127B.255C.511D.10237.设88018(1),x a a x a x +=+++ 则0,18,,a a a 中奇数的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．58.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若2(1)PD PA CB λ=-+ ，其中R ∈λ，则点P 一定在 A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC 的内部9.对于任意给定的实数m ，直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点，则双曲线的离心率等于 A ．2B ．2C ．3D ．1010.对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00()()1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出两个函数：①2()f x x =，22)(-=x x g ； ②()f x =()2g x x =+；③x x f -=e )(，1()g x x=-； ④()f x ln x =，x x g =)(，则在区间()0,+∞上的存在唯一“友好点”的是A ．①②B ．③④C ． ②③D ．①④第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）11.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为 .12.已知函数()f x cos ,0,1,0,x x x ≥⎧=⎨<⎩，则22()d f x x π-⎰的值等于．13. 已知程序框图如右图所示，执行该程序，如果输入10=x ，输出4=y ，则在图中“？”处可填入的算法语句是（写出以下所有满足条件的序号）． ①1-=x x； ②2-=x x ； ③3-=x x ；④4-=x x．14.在区间]2,0[上任取两个数a ，b ，能使函数()f x 1ax b =++在区间]1,1[-内有零点的概率等于________.15.设数列}{n a 是由集合t s ts<≤+0|33{，且s ，}Z ∈t 中所有的数从小到大排列成的数列，即41=a ，102=a ，123=a ，284=a ，a 5＝30，a 6＝36，…，若2013a ＝n m 33+(0m n ≤<，且m ，}n ∈Z ，则n m +的值等于____________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分13分）已知平面向量a (sin3x π=，b =)3cos,1(x π，定义函数=)(x f a ⋅b（Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）若函数()f x 图象上的两点M 、N 的横坐标分别为1和3，O 为坐标原点，求△MON 的面积．17.(本小题满分13分)某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：第13题图（Ⅰ）从甲．抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）请你根据乙．抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.下面的临界值表供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）18.(本小题满分13分) 如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，⊥EA 底面ABCD ，EA FD //，且121==EA FD ．（Ⅰ）求多面体EABCDF 的体积；（Ⅱ）求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值；乙抽取的样本数据甲抽取的样本数据（Ⅲ）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．19. (本小题满分13分)已知>a 0>b ，曲线C 上任意一点P 分别与点)0,(a A -、)0,(a B 连线的斜率的乘积为22ab -．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线)0,0(:≠≠+=h k h kx y l 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，若曲线C 与直线l 没有公共点，求证：||MN a b >+．20.(本小题满分14分) 已知函数2)1ln()(+-+=x axx x f ．（Ⅰ）当0=a 时，求曲线)(x f y =在原点处的切线方程；（Ⅱ）当0>a 时，讨论函数)(x f 在区间),0(+∞上的单调性；（Ⅲ）证明不等式1ln 1215131+<++++n n 对任意*N ∈n 成立．21.本题有(1)．(2)．(3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知线性变换τ：⎩⎨⎧+='+='y x y y x x 22,3对应的矩阵为T ，向量β⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=65．（Ⅰ ）求矩阵T 的逆矩阵1-T；（Ⅱ ）若向量α在τ作用下变为向量β，求向量α．(2)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 6+=．现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C 上的动点P 的直角坐标为),(y x ，求x y +的最大值，并写出y x +取得最大值时点P 的直角坐标．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知不等式3|||2|≤-++m x x 的解集为}12|{≤≤-x x ．（Ⅰ ）求m 的值；（Ⅱ ）若m c b a =++22232，求c b a 32++的取值范围．2013年福州市高中毕业班质量检查数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共50分． 1.A 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.C 9.D 10.D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共20分． 11．112．313．②③④14．81 15．122三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）依题意得()sin33f x x x ππ=…………ks5u……………………1分2sin()33x ππ=+…………………………………………………………………3分所以函数()f x 的值域为[2,2]-．………………………………………………………5分（Ⅱ）方法一由（Ⅰ）知，()2sin()33f x x ππ=+(1)2sin 33f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3f π=-=………………………………6分从而 (3),3,3)M N .………………………………………………7分∴2,OM ON ====4,MN ==……………………………………………9分根据余弦定理得222cos 02OM ON MNMON OM ON+-∠===.∴90MON ∠=，…………………………………………………………………10分△MON 的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=…………13分方法二同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分则 (1(3,OM ON ==. ………………………………………………8分13(0OM ON ⋅=⨯=.……………………………………………10分所以90MON ∠=， OM ON ⊥即△MON 的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=……………13分方法三同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分直线OM 的方程为y =0y -=. …………… …………………8分点N 到直线OM 的距离为d ==. ……………………10分又因为2,OM =，……………………………………ks5u…………………11分所以△MON 的面积为11222S OM d =⋅=⨯⨯=分17．本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，满分13分．解：（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人． X 的所有可能取值为0,1,2．……………………………………………………1分所以25212C 5(0)C 33P X ===，1175212C C 35(1)C 66P X ===，27212C 217(2)C 6622P X ====．…4分故X分∴53577()0123366226E X =⨯+⨯+⨯=． ……6分（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得列联表如下：…………7分2K 的观测值212(6411) 5.1827557k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯>3.841，……………………………9分所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． ……………………10分（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ……………………11分由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． ……………………13分18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）如图，连接ED ，∵⊥EA 底面ABCD 且EA FD //，∴⊥FD 底面ABCD , ∴AD FD ⊥,∵D CD FD AD DC =⋂⊥，,∴⊥AD 面FDC , ----------------1分∴32221213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-FDC FCD E S AD V , --------2分 E ABCD V -=13EA ⋅ ABCD S 1822233=⨯⨯⨯= , -------------3分∴多面体EABCDF 的体积310=+=--ABCD E FCD E V V V 多面体．--------------5分（Ⅱ）以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (0,0,0),E (0,0,2),B (2,0,0),C (2,2,0),F (0,2,1), 所以)1,2,0(,),2,0,2(),222(-=-=-=EF EB ，，EC ------7分设平面ECF 的法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EC n n 得：⎩⎨⎧=-=-+,02,0222z y z y x ks5u…取y =1,得平面ECF 的一个法向量为(1,1,2)=n ------9分设直线EB 与平面ECF 所成角为θ，所以sin |cos ,|EB θ= n ||||||EBEB ⋅=⋅nn ==----11分（Ⅲ）取线段CD 的中点Q ；连接KQ ，直线KQ 即为所求． ---------------12分图上有正确的作图痕迹………………………………13分19．本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）设曲线C 上任意一点P 的坐标为),(y x ．依题意22ab a x y a x y k k PBPA -=-⋅+=⋅，且a x ±≠，………………３分整理得12222=+b y a x ．所以，曲线C 的方程为：12222=+b y a x ，a x ±≠．………5分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,12222h kx y b y a x 得0)(2)(22222222=-+++b h a hkx a x k a b ，()422222222222244()0,a h k b a k a h b b a k h ∴∆=-+-<+<即，……7分由已知条件可知)0,-(khM ，),0(h N ，所以ab b a k a kb b a k a b k k a b h k h MN 2||2222222222222222222++≥+++=+++>+=，从而22)(||b a MN +>，即b a MN +>||．………………13分20．（本小题满分14分）本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：2)2(211)(+-+='x ax x f 22)2)(1()24()24(++-+-+=x x a x a x ．（Ⅰ）当0=a 时，0)0(=f ，切线的斜率1)0(='=f k ，所以切线方程为x y =，即0=-y x ．……3分（Ⅱ）当0>a 时，因为0>x ，所以只要考查)24()24()(2a x a x x g -+-+=的符号．由0)24(4)24(2≤---=∆a a ，得20≤<a ，当20≤<a 时，0)(>x g ，从而0)(>'x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增；当2>a 时，由0)(=x g 解得a a a x 222-+-=． ……6分当x 变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：函数)(x f 在区间)22,0(2a a a -+-单调递减，在区间),22(2+∞-+-a a a 上单调递增．……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2=a 时，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增；所以0)0(22)1ln()(=>+-+=f x xx x f ，ks5u… 即)1ln(22x x x+<+对任意),0(+∞∈x 成立． ……11分取k x 1=，n k ,,3,2,1 =，得121ln(1)12k k k<++，即k k k ln )1ln(122-+<+，n k ,,3,2,1 =．……13分将上述n 个不等式求和,得到:∑∑==-+<+nk nk k k k 11]ln )1[ln(122，即不等式1ln 1215131+<++++n n 对任意*N ∈n 成立． ……14分21．（1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．满分7分．解：（Ⅰ）依题意⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2213T ，所以42213det ==T ，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-432141211T ． ----------3分（Ⅱ）由βα=T ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-2165432141211βαT ． ----------7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．解：（Ⅰ）由θθρsin 8cos 6+=，得θρθρρsin 8cos 62+=，所以圆C 的直角坐标方程为08622=--+y x y x ，即2225)4()3(=-+-y x ．………………………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 54,cos 53y x （θ为参数）. 所以)4sin(257πθ++=+y x ， ………………………5分因此当ππθk 24+=，Z ∈k 时，y x +取得最大值为257+，且当y x +取得最大值时点P 的直角坐标为)2254,2253(++．……………7分（3）选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．解：（Ⅰ）依题意，当1=x 时不等式成立，所以3|1|3≤-+m ，解得1=m ，经检验，1=m 符合题意． ---------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知132222=++c b a ．根据柯西不等式，得6])3()2()[321()32(2222222=++++≤++c b a c b a ，-----------------5分所以6326≤++≤-c b a ，当且仅当66===c b a 时，取得最大值6，66-===c b a 时，取得最小值6-，因此c b a 32++的取值范围是]6,6[-． ks5u…-------------7分。

福建省宁德市2013届高三临考适应性检测理科数学卷10

福建省宁德市2013届高三临考适应性检测理科数学卷10第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．计算2(1)i i -等于（）A ．22i -B ．22i +C ．2-D ． 2 【解析】原式22i i =-⋅=，因此选D. 2．已知命题:2p x >是24x >的充要条件，命题b a cb c a q >>则若,:22，则 ( ) A.“p 或q ”为真 B.“p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. ,p q 均为假【解析】由已知命题p 是假命题，命题q 是真命题，因此选A.3．如图所示程序框图运行后输出的结果为 ( ) A ．36 B ．45 C ．55 D ．56【解析】其实质是求1＋2＋3＋…＋9＝45，因此选B. 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题的是（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αC ．若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ= n ，则m ∥nD ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β【解析】可以利用作图排除法得到C 是正确的，因此选C. 5．已知函数)(x f y =的大致图象如图所示，则函数)(x f y =的解析式应为（）A.)ln()(x e x f x= B. |)ln(|)(x ex f x-=C. |)ln(|)(x e x f x =D. |)ln(|)(||x e x f x =【解析】如图，因为函数定义域是{}0x x ≠排除A 选项，当,()0x f x →-∞→排除B ，D ，因此选C.6A ．36B ．72C ．144D ．288 【解析】恰有一个景点没有旅行团游览，先从4个旅游团中任选2个，有C 24种方法，然后与其余2个旅游团看成三组，分别游览4个景点中的3个，有A 34种方法．由分步计数原理，知共有C 24A 34＝144种不同的放法，因此选C ．7. 函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB ∙+= （）A ．6-B ．4-C ． 4D ．6【解析】可知(2,0),(3,1)A B ，()(5,1)(1,1)6OA OB AB ∙+==，因此选D 。

宁德月质检福建省宁德市届高三月质检数学理试题Word版含答案

2013年宁德市普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差锥体体积公式s = 13V Sh =其中x -为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若2ia bi i+=+（,,a b R i ∈为虚数单位），a b +=则（） A. 3 B. 1 C.－1 D.－32．如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是（）A ．B ．C ．D ．3．某社区以“周末你最喜爱的一个活动”为题，对该社区2000个居民进行随机抽样调查（每位被调查居民必须而且只能从运动、上网、看书、聚会、其它等五项中选择一个项目）。

若抽取的样本容量为50，相应的条形统计图如图所示，据此可估计该社区最喜欢运动的居民人数为（） A ．80 B ．160 C ．200 D ．3204．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A ．127B ．64C ．63D ． 315．“非零向量,a b 共线”是“非零向量,a b 满足||||||a b a b +=+”的（） A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6．某公司有10万元资金，计划投资甲、乙两个项目，项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润.按要求每个项目的投资不能低于2万元，且对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23，则该公司规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（）A ．5.6万元B ．5.2万元C ．4.4万元D ．2.6万元7．已知函数()f x 的图象如右图所示，则()f x 的解析式可以是（）A ．ln ||()x f x x = B ．()x e f x x=C ．21()1f x x =- D ．1()f x x x=- 8．右图是函数sin(),(0,0)2y x πωϕωϕ=+><<在区间5[,]66ππ-上的图象，将该图象向右平移m （m>0）个单位后，所得图象关于直线4x π=对称，则m 的最小值为（） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 9．已知12(,0),(,0)F c F c -是双曲线:C 12222=-by a x (0a >，0)b >的左、右焦点。

2013福建高考数学理科试题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学（理工农医类）乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（）A ．25 B ．45C D 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70),[70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（） A ．588 B ．480 C ．450 D ．1205．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（）A ．14B ．13C ．12D ．10 6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（）A B ． C ．5 D ．108．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m qD ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过iA 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线的方程．19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值；（3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=．（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若点00(,)p x y 在直线上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标．（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线上．（1）求a 的值及直线的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．（3）（本小题满分7分）不等式选讲：设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉．（1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．参考答案一、选择题1．D 【解析】z 的共轭复数12zi =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．A 【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．C 【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d =． 4．B 【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．B 【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对 ②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．A 【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==<…．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．C 【解析】由题意，容易得到ACBD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S=11(****)(*)22AO DO AO BOCO DO CO BO ACBD +++=．容易算出，则算出S=5．故答案C8．D 【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．C 【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C 10．D 【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确；令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．11．23 【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．12π 【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，2412R S R ππ∴====球表13【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB ADBD BAD AB AD +-∠=∙BD ==14．1 【解析】由直线方程)y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF Fππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF Fπ∠=∠=即12F M F M⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =+∴==-15．113[()1]12n n +-+ 【解析】由01221......(1)n nn nn n n C C x C x C x x +++++=+ 两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n n n n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 16．解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115．（Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X 由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-af x x．（Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值；②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i Ni 且与x 轴垂直的直线方程为=x i (10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得：2110=y x ，即210=x y ， ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k 直线的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y 19．解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥ 1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由10AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意（Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x a x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况令cos 2()sin x h x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯= 综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点21．解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y ''' 由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y'=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线上，所以01x =故点P 的坐标为(1,0)（2）解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a = 所以直线的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=从而直线的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交（3）解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。

福建省宁德市2013届高三数学质检试题理(含解析)新人教A版

某某省某某市2013届高三质量检查数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2013•某某模拟）若集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|﹣1≤x≤2}，则（）A．N⊊M B．M∪N=N C．M=N D．M∩N=∅考点：交、并、补集的混合运算．分析：解出集合M中二次不等式，再求两集合的交集或并集，对照选项进行判断即可．解答：解：M={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，N={x|﹣1≤x≤2}，∴M∩N={x|0≤x≤2}，M∪N={x|﹣1≤x≤2}=N，故选B．点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（5分）（2013•某某模拟）已知x，y∈R，则“x=y”是“|x|=|y|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，我们可先假设“x=y”成立，然后判断“|x|=|y|”是否一定成立；然后假设“|x|=|y|”成立，再判断“x=y”是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论．解答：解：当“x=y”成立时，“|x|=|y|”一定成立，即“x=y”⇒“|x|=|y|”为真假命题；但当“|x|=|y|”成立时，x=±y即“x=y”不一定成立，即“|x|=|y|”⇒“x=y”为假命题；故“x=y”是“|x|=|y|”的充分不必要条件故选A点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的X围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（5分）（2013•某某模拟）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点（，），则tanθ等于（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，），根据三角函数的第二定义，终边过（x，y）的点tanθ=，代入可得答案．解答：解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，），故tanθ==故选B点评：本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中熟练掌握三角函数的第二定义是解答的关键．4．（5分）（2013•某某模拟）一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）A．4B．2C．2D．4考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：通过三棱柱的俯视图，求出底面三角形的高，然后求出棱柱的底面面积，利用棱柱的体积求出棱柱的高，然后求出侧视图的面积．解答：解：由题意可知棱柱的底面面积为S，底面是等腰直角三角形，由俯视图可知斜边长为：2，斜边上的高为：1，底面面积S，所以S==1，因为棱柱的体积为4，所以V=Sh=4，所以棱柱的高为：4，侧视图是矩形，底边长为：1，高为4，所以侧视图的面积为：1×4=4．故选D．点评：本题考查几何体的三视图的应用，侧视图的面积的求法，考查计算能力．5．（5分）（2013•某某模拟）下列函数f（x）中，满足“∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0“的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=|x﹣1| C．f（x）=﹣xD．f（x）=ln（x+1）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：易得所求函数在区间（0，+∞）上为减函数，逐个验证：A为增函数；B在（1，+∞）单调递增；C符合题意；D在（﹣1，+∞）上单调递增，可得答案．解答：解：由题意可得函数在区间（0，+∞）上为减函数，选项A为指数函数，为增函数，故不合题意；选项B，f（x）=，故函数在（1，+∞）单调递增，不合题意；选项C，由f′（x）=＜0可知函数在（0，+∞）上为减函数，符合题意；选项D，函数在（﹣1，+∞）上单调递增，故不合题意，故选C点评：本题考查函数的单调性，借用常用函数的单调性是解决问题的捷径，属基础题．6．（5分）（2013•某某模拟）曲线y2=x与直线y=x所围成的图形的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：作出两个曲线的图象，求出它们的交点坐标，由此可得所求面积为函数﹣x在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：∵曲线y2=x和曲线y=x的交点为A（1，1）和原点O ∴曲线y2=x和曲线y=x所围图形的面积为S=（﹣x）dx=（﹣x2）=（）﹣（）=故选：A点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．7．（5分）（2013•某某模拟）已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，直线m⊂平面a，直线n⊥平面β，给出命题：①n⊥m⇒α∥β；②n∥m⇒α⊥β；③α∥β⇒n⊥m；④α⊥β⇒n∥m．其中正确命题为（）A．①③B．②③C．②④D．①④考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：结合图形演示判断①是否正确；根据面面垂直的判定定理判断②是否正确；根据线面垂直的性质判断③是否正确；根据空间直线与平面的位置关系判断④是否正确．解答：解：①如图平面α、β的关系不定，故①错误；②∵m∥n，n⊥平面β，∴m⊥β，m⊂α∴α⊥β，②正确；③∵α∥β，n⊥β，∴n⊥α，m⊂α，∴m⊥n，③正确；④α⊥β，n⊥β，∴n⊂α或n∥α．m⊂α，∴m、n的位置关系不确定．故选B点评：本题借助考查命题的真假判断，考查空间直线与直线、平面与平面的位置关系．8．（5分）（2013•某某模拟）平面上动点P 到定点F与定直线/的距离相等，且点F与直线l 的距离为1．某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y﹣1，则他的建系方式是（）A．B．C．D．考点：曲线与方程．专题：计算题．分析：通过曲线的轨迹方程，判断曲线的焦点坐标与对称轴的位置，然后确定选项．解答：解：因为点P的轨迹方程为x2=2y﹣1，即所求的抛物线方程：y=x2+，抛物线的对称轴为：y轴，顶点坐标为（0，）．所以该同学建系方式是C．故选C．点评：本题考查曲线与方程的关系，注意抛物线的性质的应用，也可以利用曲线图形变换解答．9．（5分）（2013•某某模拟）在△ABC中，sin2A=sin 2B+sin2C﹣sinBsinC，且=2，则AC+2AB的最小值为（）A．4B ．4C．4D．4考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由已知结合正弦定理可得，a2=b 2+c2﹣bc ，然后利用余弦定理可得，cosA=可求A，再由=2，结合数量积的定义可求bc，而AC+2AB=b+2c，利用基本不等式可求解答：解：∵sin2A=sin2B+sin2C﹣sinBsinC，由正弦定理可得，a2=b2+c2﹣bc，由余弦定理可得，cosA==∴∵=2，由数量积的定义可知，∴bc=4∴AC+2AB=b+2c=4当且仅当b=2c=2时取等号故选D点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，及基本不等式在求解最值中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键．10．（5分）（2013•某某模拟）若函数f（x）对于任意x∈[a，b]，恒有|f（x）﹣f（a）﹣（x﹣a）|≤T（T为常数）成立，则称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”．下列函数中：①f（x）=2x+1；②f（x）=x2；③f（x）=；④f（x）=x3．则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”的定义，判断各个选项中的函数在区间[1，2]上是否满足“级线性逼近”的定义，从而得出结论．解答：解：f（x）=2x+1在区间[1，2]上，由于|f（x）﹣f（1）﹣（x﹣1）|=|0|≤，故f（x）=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近”，故满足条件．f（x）=x2 在区间[1，2]上，由于|f（x）﹣f（1）﹣（x﹣1）|=|（x﹣1）（x﹣2）|=﹣（x﹣1）（x﹣2）≤，故f（x）=x2在区间[1，2]上具有“级线性逼近”，故满足条件．f（x）=在区间[1，2]上，由于|f（x）﹣f（1）﹣（x﹣1）|=|+﹣|=﹣（+）≤﹣2=﹣≤，故f（x）=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近”，故满足条件．f（x）=x3在区间[1，2]上，由于|f（x）﹣f（1）﹣（x﹣1）|=|x3﹣7x+6|=|（x﹣1）（x﹣3）（x+2）|=﹣（x﹣1）（x﹣3）（x+2），由于﹣（x3﹣7x+6）的导数为﹣3x2+7，令﹣3x2+7=0 可得 x=，在[1，]上，3x2﹣7＜0，﹣（x﹣1）（x﹣3）（x+2）为增函数，同理可得在[，2]上，﹣（x﹣1）（x﹣3）（x+2）为减函数，故﹣（x﹣1）（x﹣3）（x+2）的最大值为（﹣1）（3﹣）（+2）＞，故不满足“级线性逼近”，故不满足条件．故选C．点评：本题主要考查新定义：“T级线性逼近”的定义，不等式的性质应用，式子的变形是解题的难点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置. 11．（4分）（2013•某某模拟）若（1+ai）i=﹣3+i，其中a∈R，i是虚数单位，则a= 3 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边展开，然后利用复数相等的条件求a的值．解答：解：由（1+ai）i=﹣3+i，得﹣a+i=﹣3+i，∴﹣a=﹣3，则a=3．故答案为3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．12．（4分）（2013•某某模拟）运行如图所示的程序，输入3，4时，则输出 4 ．考点：伪代码．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，由a=3，b=4，易得答案．解答：解：由已知中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，当a=3，b=4时，满足a≤b故m=b=4故答案为：4点评：本题考查的知识点是伪代码，分段函数，其中由已知中的程序代码，分析出分段函数的解析式是解答的关键．13．（4分）（2013•某某模拟）若直线x﹣y+t=0与圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0相交所得的弦长为4，则t的值等于﹣2或6 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再在弦心距与半径构成的直角三角形中求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0化为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=16．圆心到直线的距离为d==4=2，解得t=﹣2或t=6．故答案为：﹣2或6点评：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及弦长问题，属于基础题．14．（4分）（2006•某某）已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y （其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值X围为a．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．解答：解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，由图知，﹣a＜﹣解得a＞故答案为a＞点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15．（4分）（2013•某某模拟）某种平面分形如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，则n级分形图中所有线段的长度之和为．9﹣9•．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：设n级分形图中所有线段的长度之和为a n，先根据题意可得a1、a2、a3、a4的值，找到其中的关系，进而可得到数列的通项公式．解答：解：设n级分形图中所有线段的长度之和为a n，依题意a1=3，a2=3+2×3×=3+2，a3=3+2×3×+2×2×3×=3+2+，a4=3+2++，…，它们构成一个首项为3，公比为的等比的和，∴a n==9﹣9•．故答案为：9﹣9•点评：本题主要考查归纳推理，数列通项公式的求法．数列的通项公式在数列学习中占据很重要的地位，要强化学习．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤. 16．（13分）（2013•某某模拟）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，且f（﹣1）=﹣1．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2﹣k）x在区间[﹣2，2]上单调递减，某某数k的取值X 围．考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（I）由偶函数的图象关于y轴对称，可得b值，进而根据f（﹣1）=﹣1，可得a值，进而可得函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2﹣k）x在区间[﹣2，2]上单调递减，可得区间[﹣2，2]在对称轴的右侧，进而得到实数k的取值X围解答：解：（I）∵二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，故函数f（x）的图象关于y轴对称即x=﹣=0，即b=0又∵f（﹣1）=a+1=﹣1，即a=﹣2．故f（x）=﹣2x2+1（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2﹣k）x=﹣2x2+（2﹣k）x+1 故函数g（x）的图象是开口朝下，且以x=为对称轴的抛物线故函数g（x）在[，+∞）上单调递减，又∵函数g（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，∴≤﹣2解得k≥10故实数k的取值X围为[10，+∞）点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．17．（13分）（2013•某某模拟）已知函数，f（x）=cos（﹣2ωx）+2sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（I ）求函数y=f（x）的最值及其单调递增区间；（II ）函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用降次升角公式，及和差角公式（辅助角公式），可将函数y=f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，结合函数y=f（x）的最小正周期为π，可得ω的值，进而结合正弦函数的图象和性质，可得答案．（II）根据函数图象的变换法则，结合变换前后函数的解析式，可分析出函数变换的方法．解答：解：（I）∵f（x）=cos（﹣2ωx）+2sin2ωx=sin2ωx+1﹣cos2ωx=2sin（2ωx ﹣）+1又∵ω＞0，f（x）的最小正周期为π故ω=1故f（x）=2sin（2x﹣）+1∵A=2，B=1故函数y=f（x）的最大值为3，最小值为﹣1由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z故函数y=f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）（II）将函数y=2sin2x（x∈R）的图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数y=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）（x∈R）的图象；再将函数y=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）（x∈R）的图象上的所有点向上平移1个单位长度得到函数f（x）=2sin（2x﹣）+1的图象．点评：本题考查的知识点是两角差的正弦函数，二倍角公式，正弦型函数的单调性，周期性，函数图象的变换，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．18．（13分）（2013•某某模拟）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=．（I）若点F在直线l：x﹣y+1=0上，求椭圆E的方程；（II）若0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点F在直线l：x﹣y+1=0上，把F的坐标代入直线方程可求c的值，与离心率e=联立后可求a的值，则椭圆E的方程可求；（Ⅱ）假设椭圆E上存在点P，使得，设出P点坐标，求出向量和，代入后求出点P的横坐标，由题目给出的a的X围推出点P横坐标不在[﹣a，a]内，从而得出矛盾，假设错误．解答：解：（Ⅰ）∵F（﹣c，0）在直线l：x﹣y+1=0上，∴﹣c+1=0，即c=1，又，∴a=2c=2，∴b=．从而椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，得，∴，椭圆E的方程为，其左焦点为，右顶点为A（a，0），假设椭圆E上存在点P（x0，y0）（﹣a≤x0≤a），使得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴，由====1．解得：x0=a±2，∵0＜a＜1，∴x0=a±2∉[﹣a，a]，故不存在点P，使得．点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的标准方程，训练了存在性问题的处理方法，对于存在性问题，解决的思路是假设结论成立，把假设作为已知条件进行推理，得出正确的等式关系则假设成立，肯定结论，否则假设不成立，否定结论．此题是中档题．19．（13分）（2013•某某模拟）如图（1），在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形AB′C′E，如图（2）．（I）求证：EA⊥B′B；（II）线段B′C′上是否存在点M，使得EM∥平面DB′B，若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由；（III）求平面C B′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）通过证明EA⊥平面ABB′，然后证明EA⊥B′B；（II）存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．利用直线与平面平行的判定定理证明即可；（III）通过建立空间直角坐标系，求出平面CB′D与平面BB′A的法向量，利用斜率的数量积求出两个平面所成的锐二面角的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：∵CD=CD=2AB=2，∴CE=AB，又AB∥CD，且∠C=90°，∴四边形ABCD 为矩形．∴AB⊥EA，EA⊥AB′，又AB∩B′=A，∴EA⊥平面ABB′，∵BB′⊂平面ABB′，∴EA⊥B′B；（Ⅱ）解：存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．理由如下：设AE与BD 交于N，连结B′N．∵AB∥DE且AB=DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴N为AE的中点．∵M为B′C′中点，四边形AB′C′E为矩形，∴MB′∥EN，MB′=EN．∴四边形MB′NE为平行四边形，∴EM∥B′N，又∵EM⊄平面DBB′，B′N⊂平面DBB′，∴EM∥平面DB′B．（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，E﹣xyz，如图所示则D（1，0，0），B′0，，1），E（0，0，0），C（﹣1，0，0）所以=（﹣1，，1），=（﹣2，0，0）设面DCB′的法向量为=（x，y，z），则，⇒不妨设=（0，1，）…（10分）设面AB′B的法向量=（0，1，0），所以cos==所以平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小为60°…（12分）．点评：本题考查直线与平面的垂直与平行的判定定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．（14分）（2013•某某模拟）一学生参加市场营销调查活动，从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料．资料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台（t为常数），期间某天由于商家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天共售出8台，11月5日的销售量为18台．（I）若商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量．（II）若11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数．考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；综合题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（I）由题意，在11月1日至15日之间该商场家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列{a n}，结合等差数列的通项公式解出首项a1和公差t，从而由等差数列求和公式得到这15天家电M的总销售量．（II）设从11月1日起，第n天的销售量最多（1≤n≤30，n∈N*）．根据（I）前15天的销售量大于414，可得n＜15；通过假设n=5算出销售量为120＜414，得n＞5．因此n为大于5而小于15的整数，因此结合题中数据列出S15关于n的式子，解方程S15=414，即可得到n=15，可得在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．解答：解：（I）根据题意，商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t 的等差数列{a n}，∵，∴，解之得因此，这15天家电M的总销售量为S15=15×2+=450台．…（6分）（II）设从11月1日起，第n天的销售量最多，1≤n≤30，n∈N*由（I），若商家在11月1日至15日之间未提价，则这15天家电M的总销售量为450台，而450＞414不符合题意，故n＜15；若n=5，则S15=5×2++10×16+=120＜414，也不符合题意，故n＞5因此，前n天每天的销售量组成一个首项为2，公差为4的等差数列，第n+1天开始每天的销售量组成首项为4n﹣4，公差为﹣2的等差数列．…（10分）∴S15=[2n+]+[（15﹣n）（4n﹣4）+]=﹣3n2+93n﹣270由已知条件，得S15=414，即﹣3n2+93n﹣270=414解之得n=15或n=19（舍去19）∴n=12，出售家电M的台数为2+11×4=46台故在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．点评：本题给出商场家电的销售量成等差数列的模型，求家电M哪一天的销售量为最多．着重考查了函数、数列的基本知识及其应用能力，考查了函数方程思想和转化化归思想的应用，属于中档题．21．（14分）（2013•某某模拟）已知函数f1（x）=x2，f2（x）=alnx（a∈R）•（I）当a＞0时，求函数．f（x）=f1（x）•f2（x）的极值；（II）若存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，某某数a的取值X围；（III）求证：当x＞0时，lnx+﹣＞0．（说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…）考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（I）求出导函数，通过对导函数为0的根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值；（II）根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，设g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，则问题转化为g（x）min≤0即可，再利用导数工具得出g′（x），对a时行分类讨论①当a≤1时，②当1＜a＜e时，③当a≥e时，利用导数研究其单调性及最小值，求出a的X围，最后综上得到实数a的取值X围即可；（III）问题等价于x2lnx＞，构造函数h（x）=，利用导数研究其最大值，从而列出不等式f（x）min＞h（x）max，即可证得结论．解答：解：（I）f（x）=f1（x）•f2（x）=x2alnx，∴f′（x）=axlnx+ax=ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），由f′（x）＞0，得x＞e，由f′（x）＜0，得0＜x＜e．∴函数f（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，∴f（x）的极小值为f（e）=﹣，无极大值．（II）根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，设g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，则g（x）min≤0即可，又g′（x）=x+﹣（a+1）=，①当a≤1时，由x∈[1，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，e]上是增函数，∴g（x）min=g（1）=﹣（a+1）≤0，得﹣≤a≤1．②当1＜a＜e时，由x∈[1，a]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，a]上是减函数，由x∈[a，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，a]上是增函数，∴g（x）min=g（a）=﹣a2+alna﹣a=﹣a2﹣a（1﹣lna）≤0恒成立，得1＜a＜e．③当a≥e时，由x∈[1，e]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，e]上是减函数，∴g（x）min=g（e）=）=﹣e2+a﹣ae﹣e≤0，得a≥，又＜e，∴a≥e．综上，实数a的取值X围a．（III）问题等价于x2lnx＞，由（I）知，f（x）=x2lnx的最小值为﹣，设h（x）=，h′（x）=﹣得，函数h（x）在（0，2）上增，在（2，+∞）减，∴h（x）max=h（2）=，因﹣＞0，∴f（x）min＞h（x）max，∴x2lnx＞，∴lnx﹣（）＞0，∴lnx+﹣＞0．点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，先通过导数求出函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用．。

福建省宁德市高三数学质检试题理(含解析)新人教A版

福建省宁德市2013届高三质量检查数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）23．（5分）（2013•宁德模拟）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点（，），则tanθ等于（）轴的非负半轴重合，终边经过点（，，代入可得答案．，）=4．（5分）（2013•宁德模拟）一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）5．（5分）（2013•宁德模拟）下列函数f（x）中，满足“∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0“的是（）==2由此可得所求面积为函数（（﹣x）﹣（）7．（5分）（2013•宁德模拟）已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，直线m ⊂平面a ，直线n⊥平面β，给出命题： ①n⊥m ⇒α∥β； ②n∥m ⇒α⊥β； ③α∥β⇒n⊥m； ④α⊥β⇒n∥m．8．（5分）（2013•宁德模拟）平面上动点P 到定点F 与定直线/的距离相等，且点F与直线l的距离为1．某同学建立直角坐标系后，得到点P 的轨迹方程为x 2=2y ﹣1，则他的建系方式x，抛物线的对称轴为：）9．（5分）（2013•宁德模拟）在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C﹣sinBsinC，且=2，4bc可求，再由=2bc=，=4b=2c=210．（5分）（2013•宁德模拟）若函数f（x）对于任意x∈[a，b]，恒有|f（x）﹣f（a）﹣（x﹣a）|≤T（T为常数）成立，则称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”．下列函数中：①f（x）=2x+1；②f（x）=x2；③f（x）=；④f（x）=x3．则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的个数为（）上是否满足“）﹣（，故级线性逼近”，故满足条件．）﹣（，上具有“级线性逼近”，故满足条件．在区间﹣（|=|+ |=﹣（+）≤﹣=﹣，级线性逼近”，故满足条件．）﹣（x=，，﹣﹣（）＞，故不满足“级线性逼近”，故不满足条件．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置. 11．（4分）（2013•宁德模拟）若（1+ai）i=﹣3+i，其中a∈R，i是虚数单位，则a= 3 ．12．（4分）（2013•宁德模拟）运行如图所示的程序，输入3，4时，则输出 4 ．m=m=13．（4分）（2013•宁德模拟）若直线x﹣y+t=0与圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0相交所得的弦长为4，则t的值等于﹣2或6 ．==214．（4分）（2006•重庆）已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y （其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为a．根据已知的约束条件＜﹣＞15．（4分）（2013•宁德模拟）某种平面分形如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，则n级分形图中所有线段的长度之和为．9﹣9•．=3+2+2×2×3×=3+2++，公比为的等比的和，=9﹣9•﹣9•三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤. 16．（13分）（2013•宁德模拟）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，且f（﹣1）=﹣1．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2﹣k）x在区间[﹣2，2]上单调递减，求实数k的取值范围．﹣x=[≤﹣17．（13分）（2013•宁德模拟）已知函数，f（x）=cos（﹣2ωx）+2sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（I ）求函数y=f（x）的最值及其单调递增区间；（II ）函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？cos﹣x=））﹣≤2x﹣≤2k+≤x≤k，，+个单位长度）﹣）﹣）18．（13分）（2013•宁德模拟）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=．（I）若点F在直线l：x﹣y+1=0上，求椭圆E的方程；（II）若0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由．联立后可求，使得点坐标，求出向量和．的方程为．（Ⅱ）由的方程为，其左焦点为，使得）在椭圆上，∴，使得19．（13分）（2013•宁德模拟）如图（1），在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形AB′C′E，如图（2）．（I）求证：EA⊥B′B；（II）线段B′C′上是否存在点M，使得EM∥平面DB′B，若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由；（III）求平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小．，B′0，，== DCB′的法向量为=，则=的法向量=cos=20．（14分）（2013•宁德模拟）一学生参加市场营销调查活动，从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料．资料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台（t为常数），期间某天由于商家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天共售出8台，11月5日的销售量为18台．（I）若商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量．（II）若11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数．，∴，解之得=15×2+=450=5×2++10×16+=120]+[21．（14分）（2013•宁德模拟）已知函数f1（x）=x2，f2（x）=alnx（a∈R）•（I）当a＞0时，求函数．f（x）=f1（x）•f2（x）的极值；（II）若存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，求实数a的取值范围；（III）求证：当x＞0时，lnx+﹣＞0．（说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…）=x=axlnx+ax=ax，由．）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，e﹣x﹣（，﹣（≤a≤1．﹣﹣e，又＜的最小值为﹣，﹣＞）＞﹣＞。