初三数学：《随机事件》知识点归纳

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新人教版九年级上册数学[随机事件和概率--知识点整理及重点题型梳理]

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件【 391875 名称：随机事件与概率初步：随机事件】1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.【 391875 名称：随机事件与概率初步：经典例题1】举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？（2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x=4×5，解得：x=8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）A．B．C．D．【答案】D.【 391875 名称：随机事件与概率初步：例6及思考题】投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】（1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ)9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。

初中数学知识归纳随机事件与概率计算

初中数学知识归纳随机事件与概率计算初中数学知识归纳：随机事件与概率计算在初中数学学习的过程中，随机事件和概率计算是一个重要的内容，对于日常生活和实际问题的解决具有很大的帮助。

本文将归纳初中数学中与随机事件和概率计算相关的知识点，从基础概念到计算方法，帮助读者更好地理解和应用。

一、随机事件的基本概念随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

在计算概率前，我们首先要了解和掌握以下几个基本概念：1. 样本空间：所有可能发生的结果构成的集合，用S表示。

样本空间是随机事件的全体，包含所有可能的结果。

2. 随机事件：样本空间中的一个子集，用A、B、C等大写字母表示。

随机事件是我们感兴趣的一部分，它是样本空间中的若干个元素的集合。

3. 必然事件和不可能事件：样本空间S本身就是一个必然事件，它一定会发生；而空集∅是一个不可能事件，它一定不会发生。

4. 事件的运算：对事件的运算有交、并、差、对立等。

事件的交表示同时发生的可能性，事件的并表示至少一个事件发生的可能性，事件的差表示一个事件发生而另一个事件不发生的可能性，事件的对立表示不发生某事件的可能性。

二、概率的定义与性质概率是用来描述随机事件发生可能性大小的数值，介于0和1之间。

根据统计学原理，概率的定义如下：P(A) = n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A中所包含的元素个数，n(S)表示样本空间S中所包含的元素总数。

根据概率的定义，我们可以得到以下几个概率的性质：1. 非负性：概率值始终大于或等于0，即P(A) ≥ 0。

2. 规范性：必然事件的概率为1，即P(S) = 1。

3. 可加性：对于互不相容的事件A和B，它们的并事件的概率等于各自概率之和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

4. 对立事件的概率：事件A与其对立事件A'互为对立事件，它们的概率之和等于1，即P(A) + P(A') = 1。

人教版九年级第二十五章概率初步知识点

第二十五章概率初步知识点总结25.1 概率1.随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：2.可能性大小（1）理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．（2）实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．3.概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．25.2 用列举法求概率1.概率的公式（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．2. 几何概型的概率问题是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即P=g的测度G的测度简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．3.列举法和树状法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率=所求情况数总情况数．25.3 利用频率估计概率1. 利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．2.模拟实验（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验．（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟实验即可．。

随机事件及其概率(知识点总结)

随机事件及其概率一、随机事件1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件.【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.三、频率与概率1、频数与频率在相同条件S 下进行了n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n=为事件A 出现的频率.对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，则把这个常数称为事件A 的概率，简称为A 的概率，记作()P A .3、频率与概率的关系（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.四、事件的关系与运算1、包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则我们称事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇（或A B ⊆）.2、相等关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，并且如果事件B 发生时，事件A 一定发生，即若B A ⊇且A B ⊇，则我们称事件A 与事件B 相等，记作A B =.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件A 或事件B 发生，则我们称该事件为事件A 与事件 B 的并事件（或和事件），记作A B ⋃（或A B +）.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则我们称该事件为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记作A B⋂（或A B⋅）.5、互斥事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），则我们称事⋂为不可能事件（即A B件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.6、对立事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），而事件A与⋂为不可能事件（即A B事件B的并事件A B⋃=Ω），则我们称事件A与事件B互⋃为必然事件（即A B为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件A包含事件B 类比集合A包含集合B；事件A与事件B相等类比集合A与集合B相等；事件A 与事件B的并事件类比集合A与集合B的并集；事件A与事件B的交事件类比集合A与集合B的交集……五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.2、互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件1A ，2A ，…，n A 两两互斥，那么事件“12n A A A ⋃⋃⋃发生”（指事件1A ，2A ，…，n A 中至少有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件A 与B 而言，由于在一次试验中，事件A 与事件B 不会同时发生，因此事件A 与事件B 互斥，并且A B ⋃=Ω，即事件A 或事件B 必有一个发生，所以对立事件A 与B 的并事件A B ⋃发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，且和为1，即()()()()1P P A B P A P B Ω=⋃=+=，或()1()P A P B =-.【注】上述这个公式为我们求事件A 的概率()P A 提供了一种方法，当我们直接求()P A 有困难时，可以转化为先求其对立事件B 的概率()P B ，再运用公式()1()P A P B =-即可求出所要求的事件A 的概率()P A .4、求复杂事件的概率的方法求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在01之间，即对于任一事件A，都有0()1≤≤.P A2、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3、若事件A与事件B互斥，则()()()⋃=+.P A B P A P B4、两个对立事件的概率之和为1，即若事件A与事件B对立，则()()1+=.P A P B。

随机事件九年级知识点

随机事件九年级知识点【正文】随机事件是概率论中的一个重要概念，也是九年级数学中的知识点之一。

本文将详细介绍随机事件的定义、性质和相关的计算方法，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识。

一、随机事件的定义随机事件是指在一次试验中可能发生也可能不发生的现象，通常用大写字母 A、B、C 等表示。

例如，抛一枚硬币的结果可以是正面朝上（用事件 A 表示）、也可以是反面朝上（用事件 B 表示）。

二、随机事件的性质1. 确定性：在一次试验中，随机事件只能是发生或不发生两种情况中的一种，不存在其他可能性。

2. 互斥性：如果两个随机事件不可能同时发生，那么它们就是互斥的。

例如，抛一次硬币，事件 A 表示正面朝上，事件 B 表示反面朝上，显然 A 与 B 互斥。

3. 对立性：如果一个随机事件发生的概率等于它不发生的概率的补数，那么这两个事件就是对立的。

例如，在抛一次硬币的例子中，事件 A 和事件 B 就是对立的，因为 P(A) = 1 - P(B)。

4. 包含性：一个随机事件发生所需的条件可以是另一个事件的发生。

例如，事件 A 表示掷一次骰子得到奇数点数，事件 B 表示掷一次骰子得到倍数点数（2、4、6）。

显然，事件 B 包含了事件A。

三、随机事件的计算方法1. 否定事件的概率：一个随机事件的否定事件是指这个事件不发生的情况。

设随机事件 A 发生的概率为 P(A)，则事件 A 的否定事件发生的概率为 P(A') = 1 - P(A)。

2. 事件的和事件的概率：设随机事件 A 和事件 B 分别发生的概率分别为 P(A) 和 P(B)，则事件 A 和事件 B 的和事件发生的概率为 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。

3. 对立事件的概率：设随机事件 A 和事件 B 为对立事件，即P(A) = 1 - P(B)，则事件 A 发生的概率为 P(A) = 1 - P(B)。

随机事件的基本概念和性质

随机事件的基本概念和性质1. 随机事件的定义随机事件是指在相同的条件下，可能发生也可能不发生的事件。

在数学中，随机事件通常用字母表示，如A、B、C等。

2. 随机事件的样本空间样本空间是指所有可能结果的集合。

在随机实验中，样本空间S包含所有可能的基本结果。

例如，抛一枚硬币，样本空间S={Head, Tail}。

3. 随机事件的集合表示随机事件可以用集合表示。

如果一个事件包含n个基本结果，那么这个事件可以用集合{x1, x2, x3, …, xn}表示。

4. 随机事件的概率随机事件的概率是指这个事件发生的可能性。

假设随机事件A包含n个基本结果，样本空间S包含m个基本结果，那么事件A的概率P(A)可以表示为：[ P(A) = ]5. 随机事件的性质（1）非空性：任何随机事件都至少包含一个基本结果。

（2）互斥性：两个事件A和B不能同时发生，即A∩B=∅。

（3）可加性：如果两个事件A和B互斥，那么它们的概率满足P(A∪B)=P(A)+P(B)。

（4）独立性：如果事件A的发生不影响事件B的发生，那么称事件A和B是独立的。

即P(A∩B)=P(A)P(B)。

6. 随机事件的概率计算（1）基本事件概率：单个基本事件的概率为1/m，其中m为样本空间的大小。

（2）组合事件概率：如果事件A由n个基本结果组成，那么事件A的概率为：[ P(A) = ]（3）条件概率：在给定事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的概率，记作P(A|B)。

条件概率满足以下公式：[ P(A|B) = ]（4）独立事件的概率：如果事件A和B相互独立，那么它们同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积，即：[ P(A∩B) = P(A)P(B) ]7. 随机事件的例子（1）抛一枚硬币：样本空间S={Head, Tail}，事件A={Head}，事件B={Tail}。

概率P(A)=1/2，P(B)=1/2。

（2）掷一个六面骰子：样本空间S={1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件C={掷出偶数}，事件D={掷出大于3的数}。

九年级上册数学概率--知识点梳理

随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？　①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；　②没有空气，动物也能生存下去；　③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；　　④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；　⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.　【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球.【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球； (2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球； (3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？（2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x 个．由题意得：4+8+x=4×5，解得：x=8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y 个红球．由题意得：3（4+y ）=20+y ，或2（4+y ）=8+8，解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D.4. 某篮球运动员在近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6 8 9 7 12 7 进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】（1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近.举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ) 9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)； (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.概率的计算--知识讲解【学习目标】1、通过具体情境了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率； 2、能够通过实验，获得事件发生的频率；利用稳定后的频率值来估计概率的大小，理解频率与概率的区别与联系.【要点梳理】要点一、古典概型满足下列两个特点的概率问题称为古典概型. （1）一次试验中，可能出现的结果是有限的；（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率. 要点诠释：如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=. mn要点二、用列举法求概率常用的列举法有两种：列表法和树形图法. 1. 列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.2. 树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.要点三、利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【典型例题】类型一、用列举法求概率1．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是( ) A. B. C. D.【答案】C.【解析】从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有８种，其中是黄球的情况有３种，故摸到黄球的概率是.【总结升华】这是一道典型的古典概型题.举一反三：　【变式】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.【答案】P （停在阴影部分）=. 232.（2015•朝阳）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）【思路点拨】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．【答案与解析】解：（1）甲同学的方案不公平．理由如下：列表法，小明小刚 2 3 4 5 2 （2，3）（2，4）（2，5） 3 （3，2）（3，4）（3，5） 4 （4，2）（4，3）（4，5） 5 （5，2）（5，3）（5，4）所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：=，则小刚获胜的概率为：，故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；（2）不公平．理由如下：小明小刚 2 3 4 2 （2，3）（2，4） 3 （3，2）（3，4）举一反三：【变式】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为. 12（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球的概率.【答案】（1）1个；（2）P （两次摸到白球）=. 16类型二、利用频率估计概率3. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： (1)计算并完成表格：转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？ (3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？ (4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701； (2)　0.69；(3) 由（1）的频率值可以得出P （获得铅笔）=0.69； (4) 0.69×360°≈248°.【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．举一反三：　【变式】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条．【答案】条 .4.（2015•本溪）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）　A．16个B．20个C．25个D．30个【思路点拨】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【答案】A.【解析】设红球有x个，根据题意得，4：（4+x）=1：5，解得x=16．故选A．【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”.。

初三数学《随机事件》知识点归纳

初三数学《随机事件》知识点归纳
初三数学《随机事件》知识点归纳
一、求复杂事件的概率：
1.有些随机事件不可能用树状图和列表法求其发生的概率，只能用试验、统计的方法估计其发生的概率。

2.对于作何一个随机事件都有一个固定的概率客观存在。

3.对随机事件做大量试验时，根据重复试验的特征，我们确定概率时应当注意几点:
(1)尽量经历反复实验的过程，不能想当然的作出判断;(2)做实验时应当在相同条件下进行;(3)实验的次数要足够多，不能太少;(4)把每一次实验的.结果准确，实时的做好记录;(5)分阶段分别从第一次起计算，事件发生的频率，并把这些频率用折线统计图直观的表示出来;(6)观察分析统计图，找出频率变化的逐渐稳定值，并用这个稳定值估计事件发生的概率，这种估计概率的方法的优点是直观，缺点是估计值必须在实验后才能得到，无法事件预测。

二、判断游戏公平：
游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。

三、概率综合运用：
概率可以和很多知识综合命题，主要涉及平面图形、统计图、平均数、中位数、众数、函数等。

【初三数学《随机事件》知识点归纳】。

(完整版)数学随机事件与概率知识点归纳

数学随机事件与概率知识点归纳一、随机事件主要掌握好(三四五)(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差；注意差A-B可以表示成A与E 的逆的积。

(2)四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。

(3)事件的五种关系：包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。

二、概率定义(1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率；(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率；(3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算；(4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0, 1]的映射。

三、概率性质与公式(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB),特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B);(2)差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特别地，如果B包含于A,贝U P(A-B)=P(A)-P(B);(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A 与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B);(4)全概率公式：P(B)=刀P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果，贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/ 刀P(Ai)P(B|Ai). 它是由果索因；如果一个事件E可以在多种情形(原因) A1,A2,....,A n 下发生，则用全概率公式求E发生的概率；如果事件E已经发生，要求它是由A j引起的概率，则用贝叶斯公式.(5)二项概率公式：Pn(k)=C(n,k)pAk(1-pF(n-k),k=0,1,2,•…,n.当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式.。

随机事件运算知识点总结

随机事件运算知识点总结一、概率基本概念1. 随机事件及其概率随机事件是指在一定条件下，产生不确定的结果的事件。

概率是描述随机事件发生可能性的数学量，通常用P(A)表示事件A发生的概率。

2. 随机事件的分类随机事件可以分为简单事件和复合事件。

简单事件是指只有一个结果的事件，而复合事件是指由若干个简单事件组合而成的事件。

3. 概率的性质概率具有以下几个基本性质：非负性、规范性、可列可加性和互斥性。

二、事件的概率1. 事件的必然概率与不可能概率必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。

2. 单个事件的概率单个事件的概率可通过实验次数与事件发生次数之比来近似估计，也可以通过已知概率公式计算得出。

3. 互补事件的概率互补事件是指事件A的对立事件A'，其概率满足P(A)+P(A')=1。

4. 事件的发生概率事件A与事件B的并事件即A或B发生的概率可以通过P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)来计算。

而事件A与事件B的交事件即A和B同时发生的概率可以通过P(A∩B)=P(A)P(B|A)来计算。

三、条件概率1. 条件概率的概念条件概率是指在已知发生某一事件的条件下，另一事件发生的概率。

2. 总概率法则当事件A可以分解为若干个互斥事件的并集时，称这些互斥事件为事件B的一个完备组，事件A的概率可以表示为P(A)=ΣP(A|B_i)P(B_i)，即事件A在每个事件Bi发生的条件下的概率与事件Bi发生的概率的乘积之和。

3. 贝叶斯定理贝叶斯定理是描述在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率的定理，其公式为P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)。

四、随机变量及其分布1. 随机变量及其分布随机变量是对随机事件结果的数值化描述，其分布是指随机变量取值和对应概率的关系。

2. 离散型随机变量离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可数个数值的随机变量。

3. 连续型随机变量连续型随机变量是指在一定范围内取无穷个数值的随机变量。

随机事件及其概率知识点整理

随机事件及其概率知识点整理1. 什么是随机事件？随机事件是指在某个试验或观察中，可能发生或不发生的事件。

例如，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上都是可能的结果。

2. 随机事件的分类随机事件可以分为互斥事件和非互斥事件。

- 互斥事件：两个事件不能同时发生。

例如，抛硬币时，正面和反面是互斥事件。

- 非互斥事件：两个事件可以同时发生。

例如，掷骰子时，得到奇数和得到小于等于3的数是非互斥事件。

3. 概率的定义概率是用来描述随机事件发生可能性的数值。

概率的范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

4. 概率的计算方法根据事件的性质和条件，可以使用以下概率计算方法：- 经典概率：对于等可能的事件，经典概率可以通过事件的数量比上总的可能性数量来计算。

- 相对频率概率：通过观察事实事件发生的频率来计算概率。

- 主观概率：基于主观估计和判断来计算概率。

5. 概率的性质概率具有一些重要的性质，包括：- 加法法则：对于互斥事件，概率可以通过事件的概率求和来计算。

- 乘法法则：对于独立事件，概率可以通过事件的概率相乘来计算。

6. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率可以通过将事件的交集概率除以条件事件的概率来计算。

7. 贝叶斯定理贝叶斯定理是用于计算逆条件概率的定理。

它通过已知条件发生的条件下，计算另一个事件发生的概率。

8. 期望值期望值是一个随机变量可能取值的加权平均值。

它可以通过将每个可能值乘以其概率，然后求和来计算。

以上是对随机事件及其概率知识点的简要整理，希望能对您有所帮助。

如有更多问题，请随时提问。

人教版九年级数学上《随机事件》知识全解

《随机事件》知识全解课标要求：了解必然事件、不可能事件、随机事件的特点.知识结构：⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩必然事件确定事件事件不可能事件随机事件内容解析：知识点1：必然事件、不可能事件、随机事件的定义在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件。

相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件. 必然事件与不可能事件统称确定事件。

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.注意：在叙述必然事件、不可能事件和随机事件时，一定要强调在一定条件下。

这是因为必然事件、不可能事件和随机事件都必须受到一定条件的制约.知识点2：事件发生的可能性的大小要知道事件发生的可能性的大小，首先要确定这个事件是什么事件。

必然事件一定发生；不可能事件一定不会发生；随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能相同.注意：不大可能发生的事件是指事件发生的可能性很小，但还是有可能发生，因此必是随机事件.不可能发生事件是可以预知、确定的事件.两者不能混为一谈.重点难点本节重点是随机事件的特点数学重点的解决方法：通过大量丰富多彩的案例，激发学生的学习热情，调动学生的学习兴趣，使学生对随机事件有比较充分的感知，从不同的侧面，不同的视角进一步对随机事件的理解与认识.本节的难点是判断生活中哪些事件是随机事件相对于学生以前学习过的传统的数学知识，作为概率的第一节课，对随机事件的提法与描述，学生是会感到陌生而且困难的. 因此，多举一些例子加深学生对随机事件及其特点的理解与认识.教法引导心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源。

在课堂中，通过案例及演示实验，小组讨论，大组交流，逐步形成对随机事件的特点及定义的理性认识，注意调动学生的积极性. 引导学生积极参与教学活动.学法建议学生通过活动、细心观察、阅读、思考、同学之间的交流，讨论、探究、总结随机事件的定义，为本章的学习打下坚实的基础.。

随机事件九年级知识点梳理

随机事件九年级知识点梳理在数学中，随机事件是指在一定条件下可能发生的结果。

九年级学生需要对随机事件有一定的了解和掌握。

本文将对九年级随机事件的知识点进行梳理和总结。

一、基本概念随机事件是指在进行一次随机试验中，可能发生的结果。

例如，掷一颗骰子，出现的点数就是一个随机事件。

随机事件通常用字母 A、B、C 等来表示。

二、样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果构成的集合，通常用 S表示。

对于抛一颗骰子，样本空间 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。

而对于一个硬币的正反面结果，样本空间 S = {正面，反面}。

三、事件的分类事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件三种类型。

1. 必然事件：在进行一次随机试验中，必然发生的事件。

例如，掷一颗骰子，点数一定是1到6之间的数字。

2. 不可能事件：在进行一次随机试验中，不可能发生的事件。

例如，掷一颗骰子，点数是7。

3. 随机事件：在进行一次随机试验中，有可能发生也有可能不发生的事件。

例如，掷一颗骰子，点数是奇数。

四、事件的关系事件之间有多种关系，包括包含关系、互斥关系和对立关系。

1. 包含关系：如果事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生，则称事件 B 包含事件 A。

表示为 A ⊂ B。

2. 互斥关系：如果事件 A 和事件 B 不可能同时发生，则称事件 A 和事件 B 互斥。

表示为A ∩ B = ∅。

3. 对立关系：如果事件 A 的发生与事件 B 的不发生互为对立事件，则称事件 A 和事件 B 对立。

表示为A ∩ B = ∅，且 A ∪ B = S。

五、事件的概率概率是对随机事件发生可能性的度量，用数字表示。

概率的范围是从0到1，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

1. 经典概型：当随机事件满足每个结果出现的可能性相等时，可以使用经典概型进行概率计算。

例如，抛一颗均匀的六面骰子，每个点数出现的可能性都相等。

2. 相对频率概率：通过实验观察事件发生的次数与实验总次数的比值来估计概率。

随机事件九年级知识点总结

随机事件九年级知识点总结随机事件是数学中的一个重要概念，也是九年级数学知识体系中的一个重要组成部分。

通过对随机事件的学习，我们可以更好地理解概率与统计，掌握相关的计算方法和应用技巧。

下面是对九年级随机事件知识点的总结：一、基本概念1. 随机事件：指在一定条件下可能发生的事件，具有不确定性。

2. 样本空间：指随机试验所有可能结果的集合，用S表示。

3. 事件：样本空间S的子集，表示某种结果的集合。

4. 必然事件：指在样本空间S中的所有样本点都属于该事件。

5. 不可能事件：指在样本空间S中不存在样本点属于该事件。

二、事件运算1. 事件的包含关系：若事件A的发生必然导致事件B的发生，则称事件A包含事件B，记作A⊇B。

2. 事件的并：事件A和事件B至少有一个发生，称为事件A和事件B的并，记作A∪B。

3. 事件的交：事件A和事件B同时发生，称为事件A和事件B 的交，记作A∩B。

4. 事件的对立：与事件A不可能同时发生的事件，称为事件A 的对立事件，记作A'。

三、概率计算1. 频率与概率的关系：频率是指某一事件发生的次数与试验总次数的比值，在大量重复实验中，频率逼近于概率。

2. 概率的性质：概率是一个介于0和1之间的实数，表示随机事件发生的可能性。

3. 概率的计算：a. 等可能概型的概率：如果样本空间S中n个样本点出现的机会相同且有限，事件A包含m个样本点，则事件A的概率为P(A) = m/n。

b. 特殊情况下的概率：如果事件A和事件B互斥（即A∩B=∅），则事件A和事件B的概率之和为P(A∪B) = P(A) +P(B)。

四、事件独立性1. 事件独立：指事件A的出现与事件B的出现相互不影响，即P(A|B) = P(A)，同时也有P(B|A) = P(A)。

2. 事件相互依赖：指事件A的出现与事件B的出现相互影响，即P(A|B) ≠ P(A)，同时也有P(B|A) ≠ P(B)。

五、应用技巧1. 排列与组合：排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行顺序安排的方法数，组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行无序选择的方法数。

初三数学：《随机事件》知识点归纳

初三数学：《随机事件》知识点归纳随机事情的概率知识点总结事情的分类1、确定事情肯定发作的事情：当A是肯定发作的事情时，P(A)=1不能够发作的事情：当A是不能够发作的事情时，P(A)=02、随机事情：当A是能够发作的事情时，发作的频率mn会动摇在某个常数p左近，那么这个常数p就叫做事情A的概率。

概率的表示方法普通地，事情用英文大写字母A，B，C，…，表示事情A的概率p，可记为P(A)=P概率的求解方法1.应用频率预算法：少量重复实验中，事情A发作的频率mn 会动摇在某个常数p左近，那么这个常数p就叫做事情A的概率(有些时分用计算出A发作的一切频率的平均值作为其概率).2.狭义定义法：假设在一次实验中，有n种能够的结果，并且它们发作的能够性都相等，调查事情A包括其中的m中结果，那么事情A发作的概率为P(A)=nm3.列表法：当一次实验要设计两个要素，能够出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出一切能够的结果，通常采用列表法.其中一个要素作为行标，另一个要素作为列标.特别留意放回去与不放回去的列表法的不同.如：一只箱子中有三张卡片，下面区分是数字1、2、3，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字1和2或许2和1的概率是多少?假定不放回去，两次抽到数字为数字1和2或许2和1的概率是多少?放回去P(1和2)=92不放回去P(1和2)=624.树状图法：当一次实验要设计三个或更多的要素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出一切能够的结果，通常采用树状图法求概率.留意：求概率的一个重要技巧：求某一事情的概率较难时，可先求其他事情的概率或思索其反面的概率再用1减即正难那么反易.概率的实践意义对随机事情发作的能够性的大小即计算其概率.一方面要评判一些游戏规那么对参与游戏者能否公允，就是要看各事情发作概率.另一方面经过对概率的学习让我们愈加明智的看待一些买彩票抽奖活动.。

优品课件之九年级数学下册《随机事件》知识点总结

九年级数学下册《随机事件》知识点总结九年级数学下册《随机事件》知识点总结随机事件的概率知识点总结事件的分类 1、确定事件必然发生的事件：当A是必然发生的事件时，P(A)=1 不可能发生的事件：当A是不可能发生的事件时，P(A)=0 2、随机事件：当A是可能发生的事件时，0 发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P(A)=P 概率的求解方法1.利用频率估算法：大量重复试验中，事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(有些时候用计算出A发生的所有频率的平均值作为其概率). 2.狭义定义法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P(A) =nm 3.列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标. 特别注意放回去与不放回去的列表法的不同.如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字1、2、3，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字1和2或者2和1的概率是多少?若不放回去，两次抽到数字为数字1和2或者2和1的概率是多少? 放回去 P(1和2) =92 不放回去P(1和2) =62 (3,3)(3,2)(3,1)3(2,3)(2,2)(2,1)2(1,3)(1,2)(1,1)1第一次结果321第二次 (3,2)(3,1)3(2,3)(2,1)2(1,3)(1,2)1第一次结果321第二次 4.树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率. 注意：求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率或考虑其反面的概率再用1减――即正难则反易. 概率的实际意义对随机事件发生的可能性的大小即计算其概率.一方面要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是要看各事件发生概率.另一方面通过对概率的学习让我们更加理智的对待一些买彩票抽奖活动.优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。

初三下学期数学第27章知识点汇总--沪教版

初三下学期数学第27章知识点汇总--沪教
版
27.1随机事件
随机事件的概率知识点总结事件的分类1、确定事件必然发生的事件：当A是必然发生的事件时，P(A)=1不可能发生的事件：当A是不可能发生的事件时，P(A)=02、随机事件：当A是可能发生的事件时，0
gt;gt;gt;gt;九年级数学下册《随机事件》知识点总结
27.2等可能情形下的概率计算
一.预学提纲初步感知、激发兴趣
1.等可能条件下概率(二)(即几何概型)的特点是什么?
2. 如何求等可能条件的概率(二)(能化归为古典概型的几何概型)中
gt;gt;gt;gt;九年级数学知识点：等可能情形下的概率计算知识点
27.3用频率估计概率
gt;gt;gt;gt;初三下册数学《用频率估计概率》知识点初三下学期数学第27章知识点就到这儿了，体会每篇文章的不同，摘取自己想要的，友情提醒，理解最重要哦!!!
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