空间向量与立体几何测试题答案
空间向量和立体几何练习题与答案
空间向量和立体几何练习题与答案
1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形就是( )
A.一个圆
B.一个点
C.半圆
D.平行四边形
答案:A
2.在长方体 ABCD-A₁B ₁C ₁D ₁中,下列关于AC₁的表达中错误的 一个就是( )
A. AA₁+A ₁B ₁+A ₁D ₁
B. AB+DD₁
+D ₁C ₁
C. AD+CC₁+D ₁C ₁
D.12(AB 1+CD 1)+A 1C 1
答案:B
3.若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，下列等式不一定成立的就是( )
A.(a+b)+c=a+(b+c)
B.(a+b)•c=a•c+b•c
C. m(a+b)=ma+mb
D.(a·b)·c=a·(b·c)
答案:D
4.若三点A, B, C 共线,P 为空间任意一点,且PA+αPB=βPC,则α-β的值为( )
A.1
B.-1
C.12
D.-2
答案:B
5.设a=(x,4,3), b=(3,2, z),且a ∥b,则xz 等于( )
A.-4
B.9
C.-9
D.649
答案:B
6.已知非零向量 e ，e₂不共线，如果AB=e₁+e ₂ A C=2e ₂ 8e ₂AD=3e ₁3 ,则四点 A. B C (
) A.一定共圆
B.恰就是空间四边形的四个顶点心
C.一定共面
D.肯定不共面
答案:C。
新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(有答案解析)
一、选择题1．如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（ ）A ．12B ．22C ．33D ．552．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，12AP PA =，点M 在侧面11AA B B 内.若1D M CP ⊥，则点M 的轨迹为（ ）A ．线段B ．圆弧C ．抛物线一部分D ．椭圆一部分3．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA ＝PC ＝4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B 2C ．2D ．124．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，且1,2AB BC ==，60ABC ∠=,AP ⊥平面ABCD ，AE PC ⊥于E ，下列四个结论：①AB AC ⊥；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ;④BE PC ⊥ .其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．正方体1111ABCD A B C D -中,动点M 在线段1A C 上,E ，F 分别为1DD ，AD 的中点.若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为（ ） A ．[,]63ππB ．[,]43ππC ．[,]62ππD ．[,]42ππ6．如图，正四棱锥P ABCD -中，已知PA a =，PB b =，PC c =，12PE PD =，则BE =（ ）A ．131222a b c -+ B ．111222a b c --- C ．131222a b c --+ D ．113222a b c --+ 7．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为（ ） A ．41B 41C 17D ．178．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥平面ABC ，点M ，N 分别AC ，PB 的中点，6MN =，Q 为线段AB 上的点，使得异面直线PM 与CQ 所成的角的余弦值为3434，则BQ BA为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．349．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．210．如图，在菱形ABCD 中，23ABC π∠=，线段AD 、BD 的中点分别为E 、F ．现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，当二面角A BD C --的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）A ．35 B ．16C ．26D ．1511．已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且3BM MC =，点N 是棱AD 的中点，若MN xAB y AC z AD =++其中,,x y z 为实数，则x y z ++的值是（ ）A ．12B ．12-C ．－2D ．212．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若2AB =1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．23D ．413．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是（ ） A ．OM OA OB OC =++ B ．23OM OA OB OC =++ C ．111222OM OA OB OC =++ D ．111333OM OA OB OC =++ 二、填空题14．若面α的法向量(1,,1)n λ=，面β的法向量(2,1,2)m =--，两面夹角的正弦值为346，则λ=________. 15．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为___16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为______17．a ，b 为空间两条互相垂直的直线，直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，30ABC ∠=︒，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成45°角； ⑤直线AB 与a 所成角的最大值为60°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为30°；其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）18．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点，给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为22，其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）19．在一直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为__________．20．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为_____．21．平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱AB 、AD 、AA 1的长均为1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠DAB 3π=，则对角线AC 1的长为_____．22．已知向量()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥-，则实数λ的值为______. 23．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，122AA =，若M 是1AA 的中点，则BM 与平面11B D M 所成角的正弦值是___________.24．正三棱柱ABC A B C '''-，2,22AB AA ='=，M 是直线BC 上的动点，则异面直线AB '与C M '所成角的范围为_____________．25．设向量(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，且//a b ，则a b ⋅的值为__________．26．若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】取AC 的中点E ，连接BE,DE,证明BE 垂直于平面ACD ，以点E 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD 和平面CDA 的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦. 【详解】如图示，取AC 中点E ，连结BE 、DE ，在正三角形ACB 与正三角形ACD 中， BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，因为面ACB ⊥面ACD ，面ACB 面=ACD AC ，所以BE ⊥面ADC ,以E 为原点，ED 为x 轴正方向，EC 为y 轴正方向，EB 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC =2，则())()()(0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,0,3E DC A B -,平面ACD 的一个法向量为(3EB = 而()()0,1,3,3,1,0CB CD =-=-，设(),,n x y z =为面BCD 的一个法向量，则：·0·0n CB n DC ⎧=⎨=⎩即 3030y z y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令x =1，则()1,3,1n = 设二面角B CD A --的平面角为θ，则θ为锐角， 所以35cos |cos ,||||||||35EB n EB n EB n θ⋅====⨯.故选：D 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．A解析：A 【分析】首先建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求点M 的轨迹. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设棱长为3，()3,0,2P ，()0,3,0C，()10,0,3D ，()3,,M y z ，()13,,3D M y z =-，()3,3,2CP =-， ()193230D M CP y z ⋅=-+-=，整理为：3230y z --=，点M 的轨迹方程是关于,y z 的二元一次方程，所以轨迹是平面11ABB A 平面内，直线3230y z --=内的一段线段.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何中的轨迹问题，本题的关键是解题方法，建立空间直角坐标系后，转化为坐标运算，根据方程形式判断轨迹.3．B解析：B 【分析】取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与PD 所成角的余弦值． 【详解】取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，PA PC =，AC OP ∴⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，OP ∴⊥平面ABC ，又AB BC =，AC OB ∴⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，PAC ∆是等腰直角三角形，4PA PC ==，ABC ∆为直角三角形，(22A ∴，0，0)，(22C -，0，0)，(0P ，0，22)， (2D ，6，0)，∴(42AC =-，0，0)，(2PD =，6，22)-，cos AC ∴<，2||||424AC PD PD AC PD >===-⨯．∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为24． 故选：B ．【点睛】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．4．D解析：D 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，， 由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-︒3=， 所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确，故选D ．5．A解析：A 【详解】以D 点为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 如图设DA 2=，易得()1,0,1EF=-,设()()()12,2,20122,2,2CM CA BM λλλλλλλλ==-≤≤=--，， 则cos θcos ,?BM EF =， 即())222201122321222823()33cos θλλλλλλ===≤≤-+-+-+.当13λ=时，cos θ31λ=时，cos θ取到最小值12，所以θ的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.6．A解析：A 【分析】连接AC BD 、交点为O ，根据根据向量加法运算法则1122PO PA PC =+，1122PO PD PB =+，求得PD ，然后由BE BP PE =+求解.【详解】 如图所示：连接AC BD 、交点为O ，则1122PO a c =+， 又1122PO PD PB =+， 所以PD a c b =+-， 又11112222PE PD a c b ==+-， 所以131222BE BP PE a b c =+=-+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】画出图形，作,AC CD BD CD ⊥⊥，则6,8,4AC BD CD ===，可得0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，故两异面直线,CA DB所成的角为60︒，结合已知，即可求得答案. 【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒．可得：.cos6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅= 故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅=2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB +++⋅⋅-⋅=36166448=++-68=||AB ∴=故选：D. 【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.8．A解析：A 【分析】以B 为原点，,,BA BC BP 坐标轴建立空间直角坐标系，设BQ BA λ=,由异面直线PM 与CQ 可列式22234343244PM CQ PMCQ，求出λ即可. 【详解】如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，AC =BA BC ∴⊥,PB ⊥平面ABC ，以B 为原点，,,BA BC BP 坐标轴建立空间直角坐标系，可知()0,0,0B ，()0,2,0C ，()1,1,0M ，2,6BM MN，222BN MN BM ，4PB ∴=，则()0,0,4P ，设BQBAλ=，且01λ<<，则2,0,0Q ，可知1,1,4,2,2,0PM CQ, 12124022PM CQ ， 22211432PM，244CQ，异面直线PM 与CQ 34， 22234343244PM CQ PM CQ ，解得14λ=或4λ=（舍去）， 14BQ BA∴=. 故选：A. 【点睛】本题考查向量法求空间线段的比例分点，属于中档题.9．B解析：B 【分析】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，由()()2211BD BA BB BC =++222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解.【详解】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，所以111111cos120,11cos6022BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=， 所以11BD BA BB BC =++， 所以()()2211BD BA BB BC =++，222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，113+22+2222⎛⎫=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以12BD =故选：B 【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．A解析：A 【分析】过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点，设二面角A BD C --的大小为α，设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，由向量数量积的运算律得出CF BE CF HE ⋅=⋅，由题意可得出12HE BE =，利用数量积的定义可求出cos ,CF BE <>的值，即可求出cos θ的值，进而利用同角三角函数的平方关系可求出sin θ的值. 【详解】如下图所示，过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点，设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， 记二面角A BD C --的大小为α，()CF BE CF BH HE CF HE ⋅=⋅+=⋅， 即()cos CF BE CF HE πα⋅=⋅-，即11cos ,23CF BE CF BE CF BE ⎛⎫⋅<>=⋅⋅- ⎪⎝⎭，1cos ,6CF BE ∴<>=-，所以1cos 6θ=，即35sin 6θ=，故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，同时也考查了二面角的定义，涉及利用空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.11．B解析：B 【分析】利用向量运算得到131442MN AB AC AD =--+得到答案. 【详解】()3113142442MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD =++=--+=--+ 故12x y z ++=- 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.12．B解析：B 【分析】由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2CD ，则CD 的长可求． 【详解】 解：CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB =，0BD AB =，()1||||cos 1801201212CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=．∴2124219CD =+++⨯=，||3CD ∴=，故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．D解析：D 【分析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在,λμ使得AM AB AC λμ=+，由此得出正确选项.【详解】不妨设()()()()0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1O A B C .对于A 选项，()1,1,3OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标31>，故M 不在平面ABC 上，故A 选项错误.对于B 选项，()231,3,6OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标61>，故M 不在平面ABC 上，故B 选项错误. 对于C 选项，111113,,222222OM OA OB OC ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M 的竖坐标312>，故M 不在平面ABC 上，故C 选项错误.对于D 选项，11111,,133333OM OA OB OC ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M 的竖坐标为1，故M 在平面ABC 上，也即,,,A B C M 四点共面.下面证明结论一定成立： 由111333OM OA OB OC =++，得()()1133OM OA OB OA OC OA -=-+-， 即1133AM AB AC =+，故存在13λμ==，使得AM AB AC λμ=+成立，也即,,,A B C M 四点共面.故选：D.【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题14．【分析】设平面的夹角为利用空间向量夹角公式得：由已知知建立关于的方程解方程即可得到答案【详解】设平面的夹角为又面的法向量面的法向量则利用空间向量夹角公式得：由已知得故故即解得：故答案为：【点睛】结论 解析：2±【分析】设平面,αβ的夹角为θ，利用空间向量夹角公式得：2cos 32⋅==+m n m nλθλ，由已知34sin 6=θ，知21cos 18=θ，建立关于λ的方程，解方程即可得到答案.【详解】设平面,αβ的夹角为θ，又面α的法向量(1,,1)n λ=，面β的法向量(2,1,2)m =--， 则利用空间向量夹角公式得：2222cos 1141432⋅--===+++++m n m nλλθλλ由已知得sin 6=θ，故22221cos 1sin 1118=-=-=-=⎝⎭⎝⎭θθ故2118=，即2222119(2)1822=⇒=++λλλλ，解得：λ=故答案为： 【点睛】结论点睛：本题考查利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则 ①两直线,l m 所成的角为θ(02πθ<≤),cos a b a bθ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=；③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u vθ⋅=15．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系写出向量的坐标利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值【详解】如下图所示以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则点因此直线与直线 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，写出向量1A E 、1B F 的坐标，利用空间向量法可求得直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值. 【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,0,4A 、()12,2,4B、()0,2,2E 、()1,1,0F ， ()12,2,2A E =--，()11,1,4B F =---，11111126cos ,2332A EB F A E B F A E B F⋅<>===⨯⋅， 因此，直线1A E 与直线1B F 26. 故答案为：269. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．3【分析】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系设根据则可得从而点在底面内的轨迹为一条线段从而可得答案【详解】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则由则即则当时设所以点在底面内解析：3 【分析】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设(),,0P x y ，根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ,从而可得答案.【详解】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则()()()112,2,2,1,2,0,0,0,2B E D ，设(),,0P x y ，则02,02x y ≤≤≤≤()12,2,2PB x y =--，()11,2,2ED =--由11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，即()22240x y -+⨯-+=，则220x y +-= 当0x =时，1y =,设()0,1,0F所以点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF , 所以()()2221224548B P x y y y =-+-+=-+，则01y ≤≤又二次函数2548t y y =-+的对称轴为25，当01y ≤≤时，当1y =时，1B P 有最大值3. 故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查根据垂直关系得出动点的轨迹从而求线段的长度的最值，解答的关键是建立坐标系，利用向量根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ，可得01y ≤≤，从而可出答案，属于中档题.17．②④【分析】由题意知abAC 三条直线两两相互垂直构建如图所示的长方体|AC|＝1|AB|=2斜边AB 以直线AC 为旋转轴则A 点保持不变B 点的运动轨迹是以C 为圆心为半径的圆以C 坐标原点以CD 为x 轴CB 为解析：②④ 【分析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的长方体，|AC |＝1，|AB |=2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，3为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出结果．【详解】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示的长方体高为13 故|AC |＝1，|AB |=2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 3为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D 3，0，0），A （0，0，1），直线a 的方向单位向量a =（0，1，0），|a |＝1， 直线b 的方向单位向量b =（1，0，0），|b |＝1，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B ′3θ3θ，0），其中θ为B ′C 与CD 的夹角，[02θπ∈，），∴AB ′在运动过程中的向量，'AB =3θ3θ，﹣1），|'AB |=2， 设'AB 与a 所成夹角为α∈[0，2π]， 则()()10103cos 233，，，，θθα--⋅=='⋅cos sin a AB |sin θ|∈[03， ∴α∈[6π，2π]，∴③错误，④正确． 设'AB 与b 所成夹角为β∈[0，2π]， ()()11003c 33os ，-，，，θθβ-⋅'⋅===''⋅⋅cos sin AB b AB bb AB θ|，当'AB 与a 夹角为60°时，即α3π=，|sin θ|3πα===，∵cos 2θ+sin 2θ＝1，∴cos β=|cos θ|=，∵β∈[0，2π]，∴4πβ=，此时'AB 与b 的夹角为45°，∴②正确，①错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及空间向量的知识点，属于中档题．18．①③④【分析】由三垂直可采用以为轴建立空间直角坐标系①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体再结合等体积法即可求解三棱锥解析：①③④ 【分析】由,,AB AD AP 三垂直，可采用以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体，再结合等体积法即可求解三棱锥E BCO -的体积为定值；④中将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，结合两点间直线最短即可判断正确 【详解】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1)P ，()1,0,0B ，(1,2,0)C ，设(0,,0)E y ，[]0,2y ∈，则(1,0,1)BP =-，(1,2,0)CE y =--，||cos ,||||2BP CE BP CE BP CE ⋅〈〉==≤⋅2y =时等号成立， 此时,4BP CE π〈〉=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒，①正确；(1,,0)(1,2,1)21BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误； 将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点， 1111112323226BCE E BCO O BCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，则22''2222CE PE C E PE PC +=+≥=+=，当'PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查向量法在立体几何中的实际应用，合理建系，学会将所求问题有效转化是解决问题的关键，如本题求线线角的最小值转化为求线线夹角的余弦值，求两直线垂直转化为数量积为0，求三棱锥体积的补形法和等体积法，利用旋转将异面直线的距离转化为共面直线的距离，属于中档题19．【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中已知现沿轴将坐标平面折成的二面角后在平面上的射影为作轴交轴于点所以所以所以故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题考 解析：17【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可 【详解】解：在直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角后，()1,6A -在平面xOy 上的射影为C ，作BD x ⊥轴，交x 轴于点D ， 所以AB AC CD DB =++,所以2222222AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅2221648268682=++-⨯⨯⨯=， 所以217AB =, 故答案为：17【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.20．4【分析】以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系设求出平面的一个法向量则则可以得到答案【详解】解：以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系设则故设平面的一个法向量为则解析：4 【分析】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系, 设1DD a =，求出平面1ACD 的一个法向量n ，则11cos ,3n CC <>=，则可以得到答案. 【详解】解：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1DD a =，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,)D a ，故(2,2,0)=-AC ，1(2,0,)AD a =-，1(0,0, )CC a =，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则122020n AC x y n AD x az ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，可取21,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故112122cos ,||||4242n CC n CC n CC a a a⋅<>===+⋅+， 又直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，21324a ∴=+，解得4a =．故答案为：4．【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.21．【分析】由题知：再给式子平方即可求出的长度【详解】如图由题意可知所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度解题时要认真审题注意向量法的合理应用属于中档题 6【分析】由题知：11AC AB AD AA =++，再给式子平方即可求出1AC 的长度 【详解】如图，由题意可知，111AC AB AD CC AB AD AA =++=++，所以1221())(AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA +=++++1112(cos 60cos 60cos 60)6+++++==.所以16AC =6 【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度，解题时要认真审题，注意向量法的合理应用.属于中档题.22．2【分析】由题意知向量所以由空间向量的坐标运算即可求解【详解】由题意知向量所以又由解得【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算及空间向量的数量积的运算其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式准确运算解析：2【分析】由题意知，向量()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，由空间向量的坐标运算，即可求解． 【详解】由题意知，向量()a ab λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=， 又由()()()()222222132112311470a a b a a b λλλλ⎛⎫⎡⎤⋅-=-⋅=-++--⨯-+⨯+⨯=-=⎪⎣⎦⎝⎭，解得2λ=． 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．23．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值【详解】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系则设平面的法向量为由可得令则可 解析：63【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可求得直线BM 与平面11B D M 所成角的正弦值.【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()2,2,0B、(12,2,B、(10,0,D、(M ，设平面11B D M 的法向量为(),,n x y z =，()112,2,0D B =，(12,0,D M =，由111100n D B n D M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得22020x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1x =，则1y =-，z =()1,1,n =-，(0,2,2BM =-，cos ,32n BM n BM n BM⋅<>===⨯⋅， 因此，BM 与平面11B D M 所成角的正弦值是3. . 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.24．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系设由向量法求两异面直线所成角的余弦表示为的函数求出最大值和最小值后得的范围这里需引入函数用导数求出函数的最小值从而得出的最大值【详解】以为轴为轴建立如图所示的空间解析：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设CM kCB =，由向量法求两异面直线所成角的余弦cos θ表示为k 的函数，求出最大值和最小值后得θ的范围．这里需引入函数()f x 用导数求出函数的最小值，从而得出cos θ的最大值． 【详解】以AB 为x 轴，AA '为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,B '，(2,0,0)B ，(1,3,0)C，(1,3,2C '，设CM kCB =，则k ∈R ，(1,CB =，(0,0,(1,(,,C M C C CM k k ''=+=-+=-．又(2,0,AB '=， 设直线AB '与C M '所成角为θ， 则cos 2AB C M AB C M θ''⋅==''=， 4k =时，min (cos )0θ=，设()f x =，则32224()(2)x f x x +'==+，12x <-时，()0f x '<，()f x 递减，12x >-时，()0f x '>，()f x 递增，∴12x =-时，()f x 取得极小值也是最小值132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4x <时，()0f x <，4x >时，222(4)8162x x x x -=-+<+1<，∴max ()3f x =，max (cos )2θ==， 即0cos 2θ≤≤，∴,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故答案为：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角．解题方法是空间向量法．求异面直线所成角的方法：（1）几何法（定义法）：作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得解；（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量的夹角余弦的绝对值得异面直线所成角的余弦值，从而得角．25．168【分析】根据向量设列出方程组求得得到再利用向量的数量积的运算公式即可求解【详解】由题意向量设又因为所以即解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算以及向量的数量积的运算其解析：168 【分析】根据向量//a b ，设λab ，列出方程组，求得12λ=，得到(2,4,8),(4,8,16)a b ==，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，向量//a b ，设λab ，又因为(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-， 所以(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，即2423(21)2(32)m m n n λλλ=⨯⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩，解得17,,622m n λ===，所以(2,4,8),(4,8,16)a b ==， 所以2448816168a b ⋅=⨯+⨯+⨯=.故答案为：168. 【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.26．【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可【详解】解：两个平面的法向量分别为则这两个平面所成的锐二面角的大小是这两个平面所成的锐二面角的余弦值为故答案为：【点睛】本题考查空间二面解析：5【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可． 【详解】解：两个平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u →=，(1,1,0)v →=-， 则这两个平面所成的锐二面角的大小是θ，2cos 4a ba bθ→→→→+===这两个平面所成的锐二面角的余弦值为5.故答案为：5. 【点睛】本题考查空间二面角的求法，空间向量的数量积的应用，考查计算能力．。
空间向量与立体几何测试题及答案
高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++Ｃ．111AD CC D C ++Ｄ．11111()2AB CD AC ++答案：Ｂ3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．12Ｄ．2-答案：Ｂ5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ．649答案：Ｂ6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点，则2a 等于（ ）Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·Ｃ．2FG CA ·Ｄ．2EF CB·答案：Ｂ8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ）Ａ．51122--，， Ｂ．51122-，， Ｃ．51122--，， Ｄ．51122，，答案：ＡＡ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或255Ｄ．2或255-答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，答案：Ｄ11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ）Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos3Ｄ．3arccos6答案：Ｄ12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ二、填空题13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055⎛⎫- ⎪⎝⎭，，14．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ= ．答案：21515．已知线段AB ⊥面α，BC α⊂，CD BC ⊥，DF ⊥面α于点F ，30DCF ∠=°，且D A ，在平面α的同侧，若2AB BC CD ===，则AD 的长为 ． 答案：2216．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ． 答案：64三、解答题17．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k，试问是否存在实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在，请写出证明．答案：解：假设4123a a a a λμν=++成立． 1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵， (22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴． 22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，． 所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-． 理由即为解答过程．18．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则113(000)(00)(002)222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，aA B a A a C a a ． 由于(100)=-，，n 是面11ABB A 的法向量，1111312cos 6023a AC AC AC a AC ===⇒=，，·°n n n n．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30°．19．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =，则1221(200)(020)(001)(202)(1)333a a A a B a D A a E a a G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，．从而2(021)333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，，，，，．由0GE BD GE BD ⊥⇒=·，得1a =，则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，．自1A 作1A H ⊥面AED 于M ，并延长交xOy 面于H ，设(0)H x y ，，， 则1(22)A H x y =--，，． 又(201)AD =- ，，，(111)AE =- ，，． 由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，．又1111cos A M A A A A A M = ，·111426cos 2326A A A A A H ==⨯=，·．20．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =，确定P Q ，的位置，使11QB PD ⊥．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP t =， 得22(2)CQ t =--，222(2)DQ t =---．那么211(202)(022)(20)(22(2)20)B D P t Q t ---，，，，，，，，，，，， 从而21(2(2)22)QB t =--- ，，，1(222)PD t =-- ，，， 由11110QB PD QB PD ⊥⇒=·， 即222(2)2(2)401t t t -----+=⇒=． 故P Q ，分别为BC CD ，的中点时，11QB PD ⊥．21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥面ABCD ，112SA AB BC AD ====，，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则1(000)(100)(110)00(001)2A B C D S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．延长CD 交x 轴于点F ，易得(100)F ，，， 作AE SF ⊥于点E ，连结DE ，则DEA ∠即为面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角．又由于SA AF =且SA AF ⊥，得11022E ⎛⎫⎪⎝⎭，，，那么102EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，，12，111222ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，，，从而6cos 3EA ED EA ED EA ED ==，·， 因此2tan 2EAF ED =，． 故面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为22． 22．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，试问：当1CDCC 的值为多少时，1AC ⊥面1C BD ？请予以证明． 解：欲使1AC ⊥面1C BD ，只须11AC C D ⊥，且11AC C B ⊥． 欲证11AC C D ⊥，只须证110CA C D = ·， 即11()()0CA AA CD CC +-=·， 也就是11()()0CD CB CC CD CC ++-= ·，即22111cos cos 0CD CC CB CD BCD CB CC C CB -+∠-∠=．由于1C CB BCD ∠=∠，显然，当1CD CC =时，上式成立； 同理可得，当1CD CC =时，11AC C B ⊥． 因此，当11CDCC =时，1AC ⊥面1C BD ．一.选择题：(10小题共40分)1.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C一定共面的是 ( ) A.OC OB OA OM ++= B.OC OB OA OM --=2C.OC OB OA OM 3121++= D.OC OB OA OM 313131++=2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则 ( )A.c b a -+B.c b a +-C.c b a ++-D.c b a -+-3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ ( )A.n m //B.n m ⊥C.n m n m 也不垂直于不平行于,D.以上三种情况都可能4.以下四个命题中,正确的是 ( ) A.若OB OA OP3121+=,则P 、Ａ、Ｂ三点共线 B.设向量},,{c b a 是空间一个基底，则{a +b ，b +c ，c +a }构成空间的另一个基底 C.cb ac b a ⋅⋅=⋅)(D.△ABC 是直角三角形的充要条件是0=⋅AC AB 5.对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的充要条件是( )A.b a =B.b a -=C.a b λ=D.b a λ= 6.已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 ( )A.0°B.45°C.90°D.180°7.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M为AC与BD的交点，若c A A b D A a B A ===11111,,，则下列向量中与M B 1相等的是 ( ) A.c b a 212121++-B.c b a 212121++C.c b a +-2121D.-c b a +-2121 8.已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+=( )A.21,51 B.5，2C.21,51--D.-5，-29.已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+= ( )A.-15B.-5C.-3D.-110.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值是( )A.52-B.52 C.53 D.1010 二.填空题: (4小题共16分)11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= . 12.已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .13.已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .14.已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为 .三.解答题:(10+8+12+14=44分)15.如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点， (1)求证：MN ⊥平面PCD ；(2)求NM 与平面ABCD 所成的角的大小.16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17.正四棱锥S —ABCD 中，所有棱长都是2，P 为SA 的中点，如图. (1)求二面角B —SC —D 的大小；(2)求DP 与SC 所成的角的大小.18.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点； (1)求;的长BN(2)求;,cos 11的值><CB BA (3).:11M C B A ⊥求证(4)求CB 1与平面A 1ABB 1所成的角的余弦值.高中数学选修2-1测试题(10)—空间向量(1)参考答案DDBB DCDA AB 11.0 12.(1，1，1) 13.60014.3 15.(1)略 (2)45016.45017.(1) 13-(2) π 18.(1)3 (2)3010 (3) 略 (4)3101018.如图，建立空间直角坐标系O —xyz.（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA . 图（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121 +0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M. 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.。
空间向量与立体几何测试题及答案
10．已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点，且 ,则点的坐标是( )
A． B． C． D．
11．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足 ，则△BCD是（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定
12．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）
（2）证明 平面EFD．
20．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，
SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ．
（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；
（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．
21．（本小题满分12分）
如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD= ,点E在PD上，且PE:ED=2:1.
空间向量与立体几何测试题答案
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
101112Fra bibliotek答案D
A
D
C
B
A
A
D
C
C
C
B
二．填空题
13． 、 ．14．60°15．90°16
三．解答题（本大题6小题，共74分）
17．解：(1)A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)
(2)．
A． B． C． D．
二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）。
13．已知向量a=( +1,0,2 )，b=(6,2 -1,2),若a∥b,则 与 的值分别是．
空间向量与立体几何试题与答案
空间向量与立体几何测试题1．已知向量),2,3(),1,,(z b y x a ==，且b a //，则yz xz +的值是（ ） （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）32．已知向量)2,0,1(),1,1,0(=-=b a ，若向量b a k +与向量-互相垂直，则k 的值是（ ） （A ）23 （B ）2 （C ）45 （D ）47 3．下面命题正确的个数是（ ） ①若23p x y =+，则p 与x 、y 共面；②若23MP MA MB =+，则M 、P 、A 、B 共面；③若0OA OB OC OD +++=，则A 、B 、C 、D 共面；④若151263OP OA OB OC =+-，则P 、A 、B 、C 共面； （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）（A ）448(,,)333 （B ）123(,,)234（C ） 131(,,)243 （D ）447(,,)333 5．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把ABD ∆和ACD ∆折成互相垂直①0≠⋅AC BD ；②60=∠BAC ；③三棱锥ABC D -是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直. 其中正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④CC6．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共 面，则实数λ等于（ ） （A ）627 （B ）637 （C ）647 （D ）6577．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E 是11B A 的中点，则E 到平面11D ABC 的距离（ ） （A ）23 （B ）33 （C ）21 （D ）22 8. 如图，正方体1111ABCD A BC D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变； ②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线 其中真命题的编号是（ ）（A ）①③④ （B ）③④ （C ）①③ （D ）①②③9. 已知空间三点)1,1,0(),0,1,1(),0,0,0(B A O -, 在直线OA 上有一点H满足OA BH ⊥，则点H 的坐标为 ．10. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中 点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
(完整版)空间向量与立体几何测试题答案
(完整版)空间向量与立体几何测试题答案空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点,则这些向量的终点构成的图形是答案：ＡＡ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ b ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++Ｄ．11111()2AB CD AC ++3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ d ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =····4．若三点，，A B C 共线,P 为空间任意一点,且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为(b ） Ａ．1Ｂ．1-Ｃ．12Ｄ．2-5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（b ) Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6496．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ c ）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ,点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点,则2a 等于（b ）Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·Ｃ．2FGCA ·Ｄ．2EFCB · 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为( a ）(完整版)空间向量与立体几何测试题答案 Ａ．51122--，，Ｂ．51122-，，Ｃ．51122--，，Ｄ．51122，，9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为89，则λ=(c ） Ａ．2Ｂ．2-Ｃ．2-或255Ｄ．2或255-10．已知ABCD 为平行四边形,且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（d ） Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点,则1C O 与1A D 所成角的( d ） Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．3arccos3Ｄ．3arccos612．给出下列命题：①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面；③已知⊥a b ,则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ c ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 二、填空题13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055⎛⎫-⎪⎝⎭，， 14．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C，，共面，那么λ= ． 答案:21515．已知线段AB ⊥面α,BC α⊂，CD BC ⊥，DF ⊥面α于点F ,30DCF ∠=°，且D A ，在平面α的同侧，若2AB BC CD ===,则AD 的长为 ． 答案:2216．在长方体1111ABCD A B C D -中,1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ． 答案：64三、解答题17．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在，请写出证明．答案:解:假设4123a a a a λμν=++成立．1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵,(22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴． 22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，． 所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-．18．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系,则113(000)(00)(002)222⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，aA B a A a C a a ． 由于(100)=-，，n 是面11ABB A 的法向量，1111312cos 6023aAC AC AC a AC ===⇒=，，·°n n n n．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30°．19．如图3,直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形,90ACB ∠=°,侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =，则1221(200)(020)(001)(202)(1)333a a A a B a D A a E a a G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，． 从而2(021)333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，，，，． 由0GE BD GEBD ⊥⇒=·，得1a =, 则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，．自1A 作1A H ⊥面AED 于M ，并延长交xOy 面于H ,设(0)H x y ，，,则1(22)A H x y =--，，． 又(201)AD =-，，，(111)AE =-，，． 由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，．又1111cos A M A A A A A M =，·111426cos 2326A AA A A H ==⨯=，·． 20．已知正方体1111ABCD ABCD -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =，确定P Q ，的位置，使11QB PD ⊥．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP t =， 得22(2)CQ t =--,222(2)DQ t =---．那么211(202)(022)(20)(22(2)20)B D P t Q t ---，，，，，，，，，，，，从而21(2(2)22)QB t =---，，，1(222)PD t =--，，， 由11110QB PD QB PD ⊥⇒=·, 即222(2)2(2)401t t t -----+=⇒=． 故P Q ，分别为BC CD ，的中点时，11QB PD ⊥．21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥面ABCD ,112SA AB BC AD ====，，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则1(000)(100)(110)00(001)2A B C D S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． 延长CD 交x 轴于点F ，易得(100)F ，，，作AE SF ⊥于点E ，连结DE ，则DEA ∠即为面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角．又由于SA AF =且SA AF ⊥,得11022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 那么102EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，12，111222ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，, 从而6cos 3EA ED EA ED EA ED ==，·， 因此2tan 2EAF ED =，． 故面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为22．22．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形,且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，试问：当1CDCC 的值为多少时，1A C ⊥面1C BD ?请予以证明．解：欲使1A C ⊥面1C BD ,只须11AC C D ⊥，且11AC C B ⊥． 欲证11AC C D ⊥，只须证110CA C D =·， 即11()()0CA AA CD CC +-=·， 也就是11()()0CD CB CC CD CC ++-=·， 即22111cos cos 0CD CC CB CD BCD CB CC C CB -+∠-∠=． 由于1C CB BCD ∠=∠，显然，当1CD CC =时，上式成立; 同理可得，当1CD CC =时，11AC C B ⊥．因此，当11CDCC =时，1A C ⊥面1C BD ．。
高中数学——空间向量与立体几何练习题(附答案)
空间向量练习题1. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的 坐标分别是A （0，0，0），B （1，0，0），3(,,0),22C 1(,22D P （0，0，2）,(1,,0).2E （Ⅰ）证明因为BE =， 平面PAB 的一个法向量是0(0,1,0)n =， 所以0BE n 和共线.从而BE ⊥平面PAB . 又因为BE ⊂平面PBE ， 故平面PBE ⊥平面PAB .(Ⅱ)解易知(1,0,2),(0,02PB BE =-=）， 1(0,0,2),(,,0)22PA AD =-= 设1111(,,)n x y z =是平面PBE 的一个法向量，则由110,n PB n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩得111122020,000.2x y z x y z +⨯-=⎧⎪⎨⨯++⨯=⎪⎩所以11110,2.(2,0,1).y x z n ===故可取 设2222(,,)n x y z =是平面PAD 的一个法向量，则由220,0n PA n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2222220020,100.2x y z x y z ⨯+⨯-=⎧⎪⎨++⨯=⎪⎩所以2220,.z x y ==故可取2(3,1,0).n =-于是，12121223cos ,5n n n n n n <>===⨯故平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是 2. 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有 棱长都为2，D 为CC 1中点。
（Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面A 1BD 的距离；（Ⅰ）证明 取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A，(00A ，1(120)B ，，，1(12AB ∴=，，(210)BD =-，，，1(12BA =-．12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）解 设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(11AD =--，，，1(020)AA =，，．AD ⊥n ，1AA ⊥n ，令1z =得(1)=，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n ，1113222AB AB AB ->===n n ．∴二面角1A A D B --的大小为 （Ⅲ）解 由（Ⅱ），1AB 为平面1A BD 法向量，1(200)(12BC AB =-=，，，，．∴点C 到平面1A BD 的距离1122BC AB d AB -===． 3.如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点， （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离． ⑴ 证明 连结OC,BO DO BC CD ==，CO BD ⊥．在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO ==而2AC =，222,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O =∴AO ⊥平面BCD ． (2)解 以O 为原点，如图建立空间直角坐标系， 则(1,0,0),(1,0,0),B D -2cos ,4BA CD BA CD BA CD⋅∴<>==⋅， ∴ 异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为4．⑶解 设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则(,,)(1,0,1)0(,,)1)0n AD x y z n AC x y z ⎧⋅=⋅--=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩， ∴0x z z +=⎧⎪-=，令1,y =得(3,1,n =-是平面ACD 的一个法向量．又1(2EC =- ∴点E 到平面ACD 的距离377EC n h n⋅===． 4.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=½AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. （Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小. 证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。
空间向量与立体几何测试题(含答案)
[学生用书P151(单独成册)][A 基础达标]1．已知a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，5，－1)，则a ·(a ＋3b )＝( ) A ．(0，34，10) B ．(－3，19，7) C ．44D.23解析：选C.a ＋3b ＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a ·(a ＋3b )＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44.2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→等于( ) A.AD 1→ B.AC 1→ C.AD →D.AB →解析：选A.AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→＝AC 1→＋C 1D 1→＝AD 1→.3.如图所示，在几何体A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 中点，则AE 的长为 ( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选B.AE →＝AB →＋BC →＋CE →， 因为|AB →|＝|BC →|＝1＝|CE →|， 且AB →·BC →＝AB →·CE →＝BC →·CE →＝0. 又因为AE →2＝(AB →＋BC →＋CE →)2，所以AE →2＝3，所以AE 的长为 3.故选B.4.如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D.30° 解析：选B.将题中图补成正方体ABCD -PQRS ，如图，连接SC ，AS ，则PB ∥SC ，所以∠ACS (或其补角)是PB 与AC 所成的角．因为△ACS 为正三角形，所以∠ACS ＝60°，所以PB 与AC 所成的角是60°，故选B.5．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，D 为AA 1上一点．若二面角B 1-DC -C 1的大小为60°，则AD 的长为( )A.2B. 3 C ．2 D.22解析：选A.如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Cxyz ，则C (0，0，0)，B 1(0，2，2)．设AD ＝a ，则点D 的坐标为(1，0，a )，CD →＝(1，0，a )，CB 1→＝(0，2，2)．设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB 1→＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m＝(a ，1，－1)．又平面C 1DC 的一个法向量为(0，1，0)，记为n ，则由cos 60°＝|m ·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝ 2.故选A. 6．已知平行六面体OABC -O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→＝b ，D 是四边形OABC 的对角线的交点，则O ′D →＝________．解析：O ′D →＝OD →－OO ′→＝12(OA →＋OC →)－OO ′→＝12a ＋12c －b .答案：12a ＋12c －b7．已知平面α的一个法向量为n ＝(1，－1，0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为________．解析：y 轴的一个方向向量s ＝(0，1，0)，cos 〈n ，s 〉＝n ·s |n |·|s |＝－22，即y 轴与平面α所成角的正弦值是22，故其所成的角的大小是π4. 答案：π48．直角三角形ABC 的两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P到斜边AB 的距离是________．解析：以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CP 所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4，0，0)，B (0，3，0)，P (0，0，95)，所以AB →＝(－4，3，0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫－4，0，95.所以AP →在AB →上的投影为|AP →·AB →||AB →|＝165，所以点P 到斜边AB 的距离d ＝|AP →|2－⎝⎛⎭⎫1652＝16＋8125－25625＝3.答案：39.如图，已知点P 在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求异面直线DP 与CC ′所成角的大小； (2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．解：如图，以D 为坐标原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz .则DA →＝(1，0，0)，CC ′→＝(0，0，1)．连接BD ，B ′D ′，在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于点H . 设DH →＝(m ，m ，1)(m >0)，由〈DH →，DA →〉＝60°及DH →·DA →＝|DH →||DA →|cos 〈DH →，DA →〉， 可得2m ＝2m 2＋1，解得m ＝22， 所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即异面直线DP 与CC ′所成的角为45°. (2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0，1，0)． 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，即DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.10．(2018·武汉高二检测)在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，△ACD 与△ACB 是边长为2的等边三角形，BE ＝2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：(1)证明：由题意知，△ABC ，△ACD 都是边长为2的等边三角形， 取AC 的中点O ，连接BO ，DO ， 则BO ⊥AC ，DO ⊥AC . 又平面ACD ⊥平面ABC ，所以DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么EF ∥DO ，根据题意，点F 落在BO 上，因为BE 和平面ABC 所成的角为60°，所以∠EBF ＝60°， 因为BE ＝2，所以EF ＝DO ＝3，所以四边形DEFO是平行四边形，所以DE ∥OF . 因为DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC . (2)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ， 则B (0，3，0)，C (－1，0，0)， E (0，3－1，3)， 所以BC →＝(－1，－3，0)， BE →＝(0，－1，3)，平面ABC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)， 设平面BCE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0n 2·BE →＝0，所以⎩⎨⎧－x －3y ＝0－y ＋3z ＝0，取z ＝1，所以n 2＝(－3，3，1)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1313，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E -BC -A 的余弦值为1313. [B 能力提升]11.(2018·河南洛阳模拟)如图，已知三棱锥A -BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD ＝BD ＝2，CD ＝23，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，P 为线段BC 上一点，且CP ＝2PB .(1)求证：AP ⊥DE ；(2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值． 解：(1)证明：作PG ∥BD 交CD 于G .连接AG . 所以CG GD ＝CPPB ＝2，所以GD ＝13CD ＝233.因为AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥DC ， 因为在△ADG 中，tan ∠GAD ＝33， 所以∠DAG ＝30°，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝4＋12＝16，所以AC ＝4，又E 为AC 的中点，所以DE ＝AE ＝2，又AD ＝2，所以∠ADE ＝60°，所以AG ⊥DE .因为AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥BD ，又因为BD ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，所以BD ⊥平面ADC ， 所以PG ⊥平面ADC ，所以PG ⊥DE .又因为AG ∩PG ＝G ，所以DE ⊥平面AGP ，又AP ⊂平面AGP ，所以AP ⊥DE .(2)以D 为坐标原点，DB 、DC 、DA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0，0，0)，A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)， 所以DF →＝(1，3，0)，DE →＝(0，3，1)，AC →＝(0，23，－2)． 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧DF →·n ＝0，DE →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，令x ＝3，则n ＝(3，－3，3)． 设直线AC 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AC →，n 〉|＝|AC →·n ||AC →|·|n |＝|－6－6|421＝217，所以AC 与平面DEF 所成角的正弦值为217.12．(2017·高考山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E -AG -C 的大小． 解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ， AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ， 所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP ，又∠EBC ＝120°， 因此∠CBP ＝30°. (2)法一：取EC ︵的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为∠EBC ＝120°， 所以四边形BEHC 为菱形，所以AE ＝GE ＝AC ＝GC ＝32＋22＝13. 取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ， 则EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，所以∠EMC 为所求二面角的平面角． 又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13－1＝2 3. 在△BEC 中，由于∠EBC ＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC ＝23，因此△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°. 法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0，0，3)，E (2，0，0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2，0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2，0，3)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎨⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0.取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0，可得⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0.取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12.因此所求的角为60°.13．(选做题)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A -MC -B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz .则A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)，所以AP →＝(0，3，4)，BC →＝(－8，0，0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)假设存在满足题意的点M ，设PM →＝λP A →，0≤λ<1， 则PM →＝λ(0，－3，－4)， 所以BM →＝BP →＋PM →＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4) ＝(－4，－2－3λ，4－4λ)， AC →＝(－4，5，0)．设平面BMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－（2＋3λ）y 1＋（4－4λ）z 1＝0－8x 1＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0AC →·n 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0－4x 2＋5y 2＝0，即⎩⎨⎧x 2＝54y 2z 2＝－34y2，可取n 2＝(5，4，－3)．由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故AM ＝35|AP →|＝35×32＋42＝3.综上所述，线段AP 上存在点M 符合题意，此时AM ＝3.。
空间向量与立体几何答案
空间向量与立体几何(理)1、答案 B 解析设正方体的棱长为2，以D 为原点建立如图所示空间坐标系，则CM →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)，∴cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，∴sin 〈CM →，D 1N →〉＝459.2、答案 A 解析 设AB ＝1，则CE →·BD →＝(AE →－A C →)·(AD →－AB →)＝12AD →2－12AD →·AB →－AC →·AD→＋AC →·AB →＝12－12cos60°－cos60°＋cos60°＝14.∴cos 〈CE →，BD →〉＝CE →·BD →|CE →||BD →|＝1432＝36.故选A.3、答案 C 解析 AP →可为下列7个向量：AB →，AC →，AD →，AA 1→，AB 1→，AC 1→，AD 1→，其中一个与AB →重合，AP →·AB →＝|AB →|2＝1；AD →，AD 1→，AA 1→与AB →垂直，这时AP →·AB →＝0；AC →，AB 1→与AB→的夹角为45°，这时AP →·AB →＝2×1×cos π4＝1，最后AC 1→·AB →＝3×1×cos ∠BAC 1＝3×13＝1，故选C.4、答案 B 解析如图所示，设△ABC 的中心为O ，S ABC ＝12×3×3×sin60°＝334.∴VABC －A 1B 1C 1＝S ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OPOA＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.5、答案 B 解析 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图．设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0,1,0)， 所以A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2，所以n 1＝(1,2,2)．因为平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， 所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪23×1＝23.即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.故选B.6、答案 D 解析不妨设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F ，如图． 因为∠EPM ＝∠FPN ＝45°，所以PE ＝22a ，PF ＝22b ，所以EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →) ＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →＝ab cos60°－a ×22b cos45°－22ab cos45°＋22a ×22b ＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0.所以EM →⊥FN →， 所以二面角α－AB －β的大小为90°.7、答案 1 解析 由向量a ，b ，c 共面可得c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )， 故有⎩⎪⎨⎪⎧11＝2x －y ，5＝－x ＋4y ，λ＝x －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3，λ＝1.8、答案22解析由题意可知，OA ，OB ，OC 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O －xyz ，设OA ＝OB ＝OC ＝1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，故AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，OM →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0. 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AB →，n ⊥AC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．故cos 〈n ，OM →〉＝13×22＝63，sin 〈n ，OM →〉＝1－⎝⎛⎭⎫632＝33， tan 〈n ，OM →〉＝sin 〈n ，OM →〉cos 〈n ，OM →〉＝22.9、答案 23 解析如图，建立空间直角坐标系．设DA ＝1，由已知条件得A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，13，F ⎝⎛⎭⎫0，1，23， AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，13， AF →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，23， 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 平面AEF 与平面ABC 所成的二面角为θ，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎨⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，得z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3)， 平面ABC 的法向量为m ＝(0,0，－1)，cos θ＝cos 〈n ，m 〉＝311，tan θ＝23.10、解(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，E (0,0，λa )， ∴AC →＝(－a ，a,0)，BE →＝(－a ，－a ，λa )， ∴AC →·BE →＝0对任意λ∈(0,1]都成立， 即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE .(2)显然n ＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量， 设平面ACE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵AC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(－a,0，λa )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －ax ＋ay ＝0，－ax ＋λaz ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －λz ＝0.令z ＝1，则x ＝y ＝λ，∴m ＝(λ，λ，1)．∵二面角C －AE －D 的大小为60°， ∴cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝λ1＋2λ2＝12，∵λ∈(0,1]，∴λ＝22.11、解 (1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点， 所以AB ∥DE .又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .(2)因为P A ⊥底面ABCDE ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，BC →＝(1,1,0)． 设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1,1)．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)，即(u ，v ，w －2)＝λ(2,1，－2)， 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ.因为n 是平面ABF 的法向量， 所以n ·AH →＝0，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝23.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，23，23. 所以PH ＝ ⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫－432＝2. 12、解 (1)证明：ABCD 为矩形，故AB ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PD .(2)过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG . 故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG ，在Rt △BPC 中，PG ＝233，GC ＝263，BG ＝63，设AB ＝m ，则OP ＝ PG 2－OG 2＝ 43－m 2，故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13·6·m · 43－m 2＝m 38－6m 2.因为m 8－6m 2＝ 8m 2－6m 4＝ －6⎝⎛⎭⎫m 2－232＋83， 故当m ＝63，即AB ＝63时，四棱锥P －ABCD 的体积最大．此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为O (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫63，－63，0，C ⎝⎛⎭⎫63，263，0，D ⎝⎛⎭⎫0，263，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，63.故PC →＝⎝⎛⎭⎫63，263，－63，BC →＝(0，6，0)， CD →＝⎝⎛⎭⎫－63，0，0. 设平面BPC 的法向量n 1＝(x ，y,1)，则由n 1⊥PC →，n 1⊥BC →，得⎩⎪⎨⎪⎧63x ＋263y －63＝0，6y ＝0， 解得x ＝1，y ＝0，n 1＝(1,0,1)．同理可求出平面DPC 的法向量n 2＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12· 14＋1＝105.13、解 (1)证明：以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0. ∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)(0≤z 0≤1)，使得DP ∥平面B 1AE . 此时DP →＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．由n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量 n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ， ∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D .∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C . 又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1. ∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ， 则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|＝－a 2－a 2 1＋a 24＋a2. ∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，∴|cos θ|＝cos30°，即3a 22 1＋5a24＝32， 解得a ＝2，即AB 的长为2.。
高中数学《空间向量与立体几何》练习题(含答案解析)
高中数学《空间向量与立体几何》练习题（含答案解析）一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（ ）A ．()1,2,1--B ．()1,2,1-C ．()1,2,1---D ．()1,2,1--2．在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（ ）A ．7-B ．5-C ．5D ．73．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（ ）．A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．D ．5．平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．492π B ．49π C ．812π D ．81π7．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A ．OA 、OB 、OC 共线B ．OA 、OB 共线C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，则（ ）A ．1AB ⊥平面11A BCB ．异面直线1AB 与11AC 所成的角为30° C ．平面11ABD ∥平面1BC Q D ．平面1B CD ⊥平面1B DP二、填空题11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________. 12．若直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是______.13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==，BC =则四面体P ABC 的外接球的表面积为______．14．设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．三、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC △平面1CDB ．(2)若1AA ⊥平面ABC ，AC BC =，求证：CD ⊥平面11ABB A ．16．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：（1）EH △平面BCD ；（2）BD △平面EFGH .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点.(1)求证：EO平面PDC ；(2)求证：平面PAC ⊥平面PBD .18．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.参考答案与解析1．A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--.故选：A.2．D【解析】求出(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-，利用与(1,,)n λμ=数量积为0，求解即可.【详解】(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-120n AB λμ⋅=-+-=20n BC μ⋅=-+=可得2μ=，5λ=，7λμ+=故选：D3．B【分析】利用空间向量的坐标运算求得B 的坐标.【详解】设O 为空间坐标原点，()()()3,1,02,5,35,4,3OB OA AB =+=-+-=-.故选：B4．B【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==，直接求解其面积即可．【详解】解：由直观图画法规则，可得OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==， △11641222OAB S OA OB =⋅=⨯⨯=． 故选：B ．5．C【分析】由题设知6m n =-，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. 【详解】平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-， ∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．D 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9， 所以该圆柱的侧面积为929812ππ⨯⨯=. 故选：D7．D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC 共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D8．B【分析】连接1AD ，AE ，得到11//AD BC ，把异面直线1D E 与1BC 所成角转化为直线1D E 与1AD 所成角，取1AD 的中点F ，在直角1D EF 中，即可求解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD ，AE ，可得11//AD BC ，所以异面直线1D E 与1BC 所成角即为直线1D E 与1AD 所成角，即1AD E ∠为异面直线1D E 与1BC 所成角，不妨设12AA =，则1AD =1D E AE =取1AD 的中点F ，因为1D E AE =，所以1EF AD ⊥，在直角1D EF中，可得111cos D F AD E D E ∠==. 故选：B.9．C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.10．D【分析】A 项反证法可得；B 项由平移法计算异面直线所成角；C 项由面面平行的判断和性质可得结果；D 项建立空间直角坐标系可得结果.【详解】对于选项A ，假设1AB ⊥面11A BC ，则111AB AC ⊥，这与已知1AB 与11A C 不垂直相矛盾，所以假设不成立.故选项A 错误； 对于选项B ，连接1DC ，1DA ，因为11AB DC ∥，所以11DC A ∠为异面直线1AB 与11A C 所成的角或补角，又因为△11AC D 为等边三角形，所以1160DC A ∠=︒，故选项B 错误；对于选项C ，因为11B D BD ∥，11AD BC ∥，由面面平行的判定定理可得平面11AB D ∥平面1BDC ，而平面1BQC 与平面1BDC 相交，所以平面11AB D 与平面1BC Q 也相交，故选项C 错误；对于选项D ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则()0,0,0D ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，11,,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()11,1,1DB =，()0,1,0DC =，11,,02DP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面1B CD 的法向量为()1,,n x y z =， 则11100n DB x y z n DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取1x =，则0y =，1z =-，即()11,0,1n =-， 设平面1B DP 的法向量为()2,,b c n a =，则2120102n DB a b c n DP a b ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 可取1a =，则2b =-，1c =，可得平面1B DP 的一个法向量为()21,2,1n =-，由121010n n ⋅=+-=，所以12n n ⊥，即平面1B CD ⊥平面1B DP ，故选项D 正确. 故选：D.11．135°【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB △CD ，可得180BCD α︒∠=-，进而得出结论.【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB △CD ，180135BCD α︒︒∴∠=-=，即135β︒=.故答案为：135°.【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.12．-1【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.【详解】直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，直线l ⊥平面α， 必有//m n ，即向量m 与向量n 共线，m n λ∴= ，△11222x -==--，解得=1x -； 故答案为：-1.13．16π 【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于PA ⊥平面ABC ，因此PA 与底面上的直线,,AC AB BC 都垂直，从而AC 与AB 不可能垂直，否则PBC 是锐角三角形，由于<AC BC ，因此有AC BC ⊥， 而PA 与AC 是平面PAC 内两相交直线，则BC ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥， 所以PB 的中点O 到,,,P A B C 四个点的距离相等，即为四面体P ABC 的外接球球心．2222222222216PB PA AB PA AC BC =+=++=++=，4PB =， 所以所求表面积为224()42162PB S πππ=⨯=⨯=． 故答案为：16π．14．1【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则(a xi y j r x --=-当,r x s y ==时a xi y j --的最小值是2，2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5.取(),,2a x y =- 则()3,,1a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1.故答案为：1.15．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接1BC ，交1B C 于点E ，连接ED ，用中位线证明1ED AC ∥即可；(2)证明CD △AB ，CD △1AA 即可.【详解】（1）连接1BC ，交1B C 于点E ，连接.ED△111ABC A B C 是三棱柱，△四边形11BCC B 为平行四边形，△E 是1BC 的中点.△点D 是AB 的中点，△ED 是1ABC 的中位线，△1ED AC ∥，又ED ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，△1AC △平面1CDB .（2）△1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，△1AA AB ⊥，△AC BC =，AD BD =，△CD AB ⊥，△1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，△CD ⊥平面11ABB A .16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）推导出EH △BD ，由此能证明EH △平面BCD ；（2）由BD △EH ，由此能证明BD △平面EFGH .【详解】（1）△EH 为△ABD 的中位线，△EH △BD .△EH △平面BCD ，BD △平面BCD ，△EH △平面BCD ；（2）△FG 为△CBD 的中位线，△FG △BD ，△FG △EH ，△E 、F 、G 、H 四点共面，△BD △EH ，BD △平面EFGH ，EH △平面EFGH ，△BD △平面EFGH .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：△四边形ABCD 为正方形，△O 为BD 的中点，△E 为PB 的中点，△OE PD ∥，又△OE ⊄平面,PDC PD ⊂平面PDC ，△OE 平面PDC ；（2）证明：△四边形ABCD 为正方形，△AC BD ⊥，△PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，又△,PD BD ⊂平面PBD ，且PD BD D ⋂=，△AC ⊥平面PBD ，又△AC ⊂平面PAC ，△平面PAC ⊥平面PDB .18．(1)证明见解析； 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=， 设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--． 又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA ==1m =． 又点C 到平面ABD 112132A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=， 所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCD BOC V S O S OA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． [方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．△使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα=．△ 将△△两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=， 由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=， 根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =，结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD - 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.。
(完整word版)空间向量与立体几何测试题及答案
高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1 •若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量 的终点构成的图形是（）A. —个圆 E. —个点 C.半圆 D.平行四边形答案：A2 .在长方体 ABCD -ABQD i 中，下列关于 AG 的表达中错误的一个是（ ）答案：E3.若a , b, c 为任意向量， A. (a 亠b ) c =a - (b c )B. (a 亠b )・c =a ・c b-cC.m(a 亠 b ) =m a 亠 m bD. (a ・b )・c=a ・( b-c ) 答案：D1A. 1B. -1C.丄D -22答案：BA.B. AB DD^ De lC. AD CC 1 DC 1D.1(AB i CD i ) - AC im R ，下列等式不一定成立的是（4.若三点A B , e 共线,P 为空间任意一点, 且 PA 叱iPB = 1 PC ,^y - 的值为5. 设 a =(x,4,3), b= (3,2, z)，且 a II b , A. -4 B. 9 C. -9答案：B6 . 已知非零向量 e b e 2不共线， 如果A B, C , D ( )A. 一定共圆则四点亠A DB.恰是空间四边形的四个顶点心C. 一定共面D. 肯定不共面答案：C则xz 等于（AB = e AC =2 e 2 8 e AD =3 e -3 e 2,答案：B则x, y , z 的值分别为( )9 .若向量a =(1, ,2)与b= (2, -1,2)的夹角的余弦值为答案：c答案：D12.给出下列命题：① 已知 a _b ，则 a-(b c ) c-(b a ) =b c ；② A, B, M , N 为空间四点，若BA,B M ,BN 不构成空间的一个基底， 那么A , B, M , N 共面; ③ 已知a_b ，则a , b 与任何向量都不构成空间的一个基底; ④ 若a, b 共线，则a, 正确的结论的个数为(A. 1B. 2 答案：C 二、填空题13.已知 a =(3,15), b = (1,2,3)，向量 c 与 z 轴垂直，且满足 c-a = 9, c-b - -4，则 c =7.如图1空间四边形 ABCD 的四条边及对 角线长都是a ,点E , F , G 分别是AB, AD , CD 的中点，贝U a 2等于() B. 2AD-BD C. 2FG-CAD. 8 .右 a = e e 2 - e 3, b =e ^ - e 2 ■ e 3, c =e<i • e 2 — e 3,d =e 2 e 2 3 e ，且 d = x a y b z c ,1.1,2 5 厶D1 - 1「25 /1 - 1「2 5 ~1 - 2-A. 2B. -2C.-2或—55D. 2 或-5510 •已知ABCD 为平行四边形，且A(413),A. -,4,12答案：DB. (2,4,1) 11 .在正万体 ABCD - A| B 1C 1D 1 中,A. 60°B. 90°B(2,— 5,1), C(3,7, -5)，则顶点D 的坐标为(C. (24,1)D. (513, -3)O 为AC , BD 的交点，则 C品C. arccos ——3GO 与AD 所成角的(D. arccos ——6b 所在直线或者平行或者重合.)D. 4A. 2EF-CB答案：22, -21 , 0 5 514.已知A B, C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量 ■ OC 确5 3 定的点P 与A, B, C 共面，那么，二 ____________ . 答案：-1515.已知线段 AB_面〉，BC 二卅，CD _BC , DF _ 面〉于点 F , / DCF =30°，且 D , A 在平面:-的同侧，若 AB =BC 二CD =2，则AD 的长为 ____________________ . 答案：2 216.在长方体ABCD —ABQ i D i 中，BQ 和CQ 与底面所成的角分别为 60°和45°,则异面直 线BC 和CQ 所成角的余弦值为 _____________________ . 答案：—4 三、解答题17 .设 a t =2i - j +K 逊=i +3 j -2 k 爲=-2 i + j 弋 k a =3 i +2 j +5 k,试问是否存在实 数-,7，使a 4 a 「；［_a 2 •a 3成立？如果存在，求出 \ ;如果不存在，请写出证明.答案：解：假设a 4 = ■ a^ ''a 2亠、.①成立. •- a 1 =(2, -1,1), a 2 =(13, -2), a 3 =(-21,3), a^(3,2,5), ••• (2 •-2、，-，3二朕:，• -2」- 3、)=(3,2,5).◎人+4-2v=3, j\ = -2, •. -2,解得」=1,■ -2」-3.. =5,- -3.所以存在，=-2, " =1 , v = -3 使得 a 4 = -2a 1 a 2 -3a 3. 理由即为解答过程.18 .如图2,正三棱柱AB^ -A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为 所成的角.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0, 0, B(0 , a , 0, A (0,0, V2a) , C 「一亟 a, - , ,7a2 2 由于n = ( -1,0, 0)是面ABB 1A ］的法向量,1*122a ,求AC 1与侧面ABB 1A\故AC i与侧面ABB i A所成的角为30°.19 •如图3，直三棱柱ABC- ABC中，底面是等腰直角三角形, .ACB 二90°，侧棱AA i =2, D, E分别是CC i与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是求点A i到平面AED的距离. △ ABD的重心G ,解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=2a ,则A(2a,0,0, B(0,2a,0, D(0,0,1), A(2a,0,2) E(a, a,),-(0 , -2a,1).由GE_BD=GE・BD=0,得a=1,则A i(2,0,2) A(2,0,0) E(1,1,1).自A1作AH —面AED于M，并延长交xOy面于H，设H (x, y,0), —I则AH =(x —2, y, -2).又AD =(-2,0,1) , AE =(—1,1,1).丄AH _AD, —2(x—2)—2=0, x =1, ZR由1得H (1,1,0)."H _ AE -(x -2) y -2 =0 y =1,又AM =A1A90s A1AAM = AA^cos A1AAH =2 —=20.已知正方体ABCD -ABGD1的棱长为2, P, Q分别是BC, CD上的动点，且PQ = . 2 ,确定P, Q的位置，使QB1 _PD . 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP =t ,得CQ = 2 -(2 -t)2, DQ =2 - 2 -(2 -t)2.那么B(2,0, 2) D1(0,2,2, P(2 , , 0) Q(2 - 2-(2-t)2,2,0),从而QB =( 2 -(2 -t)2, -2 ,2) , PD1 =(22 -t,2),T —+由QB _ PD = QB^PD t =0 ,即-2 2 -(2 -t)2 -2(2 -t) 4 =0二t =1 .故P, Q分别为BC, CD的中点时，QB i _PD i .21.如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，.ABC=90°,SA_面ABCD ,1SA二AB二BC =1, AD ，求面SCD与面SBA所成二面角的正切2值.解：建立如图所示的空间直角坐标系，(1\则A(0,0,0, B(—1,0,0, C(—1,1,0) D .0, 2 0 , S(0,0,1).延长CD交x轴于点F ,易得F(1,0, 0),作AE _SF于点E ,连结DE ,则ZDEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角.又由于SA二AF且SA_AF，得E -€5那么从而乩一1,°,」，ED…丄,1,V 2 2 丿V 2 2cos EA, EDEA-ED因此tan EAF , ED 二彳.故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为22.平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且.GCB =. GCD = BCD ,试问:CD的值为多少时，AQ _面GBD ?请予以证明.当CG解：欲使AQ _面GBD ,只须AC _GD ,且AC _GB .欲证AC丄GD ,只须证CA・CD =0 ,t —t T 即(CA AA)・(CD -CG) =0 ,也就是(CD CB CC)(CD _CCJ =0,|C^2 -|C CJ2+|CB|C D|COS^BCD由于• GCB =/BCD , 显然，当CD |CC1时，上式成立；cos _GCB = 0 .同理可得，当时，AC —GB .CD因此，当时, AC _面G BD ..选择题：(10小题共40分)定共面的是2.直三棱柱 ABC — A B i G 中，若 CA = a, CB = b, CC r = C,则 A )B =3.若向量m 垂直向量a 和b ，向量n = ■ a h ：b(',」：=只且■、，北0)则A. m 〃 nB. m _ nC. mi 不平行于n,m 也不垂直于nD.以上三种情况都可台匕 冃匕4.以下四个命题中，正确的是C. (a b)c5.对空间任意两个向量 a,b(b o),a//b 的充要条件是6.已知向量a =(0,2,1),b =(-1,1,-2),则a 与b 的夹角为A B i = a, A i D i = b, A A = c ,则下列向量中与B 1M 相等的是1.已知A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点 M 与点A. OM = OA 亠 OB 亠 OCB . OM = 2OA _ OB _ OCC . OM =OA !OB !OC2 3D.OM =1OA 」0B -OC3 3 3A. a b —cB. a — b eC. 一 a b cD. - a b - cA.若00=丄0入+丄0目 则P 、 2 3 'A 、E 三点共线 B.设向量｛a,b,c ｝是空间一个基底,c + a ｝构成空间的另一个基底D. △ ABC 是直角三角形的充要条件是 AB AC =0A. a 二 bB. a - -bC. b - ■ aA.0 °B.45C.90o.D.180 °7.在平行六面体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与 BD 的A. -lalb lc B. la 」b 」c C. 2 2 2 28.已知 a =(• 1,0,2 Jb =(6,2」 -1,2),若a 〃b,则•与•啲值分别为9.已知a =3i 2j - k,b = i - j 2k,则5a 与3b 勺数量积等于10.在棱长为1的正方体ABC —A i B i CD 中，M 和N 分别为AB 和BB 的中点，那么直线CN所成角的余弦值是二.填空题：(4 小题共16分)11.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9) 12.已知 A(0, 2, 3), B(-2 , 1, 6), C( 1, -1 , 5),若|a |二.3,且a _ AB,a _ AC,则向量 a的坐标为13.已知a,b 是空间二向量，若心|=3,闪|=2扁4卜.7,则a 与b 的夹角为 14.已知点 G 是厶ABC 的重心，O 是空间任一点，若 OA • OB • OC 」OG,贝，的值三.解答题：(10+8+12+14=44 分)15. 如图：ABCD 为矩形，PAL 平面 ABCD PA=AD M N 分别是PC AB 中点,16. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内， 它和两个面所成的角都是300,求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小B.5, 2D.-5 , -2-b c 2A.-15B.-5C.-3D.-1AM 与2 B.-5C.35 D 」10三点共线，则 m+n= (1)求证：MN L 平面PCD (2)求NM 与平面 ABCD 所成的角的大小•17. 正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2, P为SA的中点，如图(1) 求二面角B—SC- D的大小；(2)求DP与SC所成的角的大小18. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ ABC中，CA=CB=1 / BCA=90，棱AA=2, M N分别是A1B1, AA的中点；(1)求BN的长;⑵求cos ：：： BA1,CB1的值;⑶求证：AB _CM•(4)求CB与平面AABB所成的角的余弦值高中数学选修2-1测试题（10）—空间向量⑴参考答案DDBB DCDA AB 11.0 12.(1 ,1 , 1) 13.60 0 14.315.(1) 略⑵45 016.45 0 17.(1) 1 3⑵18.(1) 3 (2) ■ 30(3) 略(4) 3 1010 1018.如图，建立空间直角坐标系O—xyz. (1 )依题意得B ( 0, 1, 0)、N( 1, 0, 1) •••I BN |= .(1 一0)2(0 一1)2 (1 - 0)2「3.(2) 依题意得A1 (1, 0, 2)、B ( 0, 1 , 0)、C (0, 0, 0)、B…BA ={ —1, —1, 2}, CB1 ={0, 1, 2, }, BA| • CB1 =3,BA. CB 11CB 1 |= J5 ••• cos< BA 1 , CB 1 >=(3)证明：依题意，得 G (0, 0, 2)、M( 1,1,2), A 1B ={ - 1 , 1 , 2} , CM,2 2 1 2 2评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识 .考查空间两向量垂直的充要条件——-1 . 30. |BAJ|CB i |102‘20}. • A , B • C 1M =-1 12+ 2+0=0，AB 丄 C 1M ,• AB 丄CM.。
第三章 空间向量与立体几何测试卷与答案
第三章 空间向量与立体几何测试卷与答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) ①AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →； ②2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →； ③AB →＋CA →＋BD →； ④AB →－CB →＋CD →＋AD →. A ．①② B ．②③ C ．②④D ．①④解析： ①中，原式＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →，不符合题意；②中，原式＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋(AC →＋CD →＋DA →)＝0；③中，原式＝CD →，不符合题意；④中，原式＝(AB →－AD →)＋(CD →－CB →)＝0.故选C.答案： C2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析： ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，则32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152.答案： D3．在下列四个命题中，真命题为( )A ．已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一地写成p ＝x a ＋y b ＋z cB ．若a ，b ，c 三向量两两不共线，则空间任意一个向量p 总可以写成p ＝x a ＋y b ＋z cC ．若a ，b ，c 不共面，则空间任意一个向量p 总可以唯一地写成p ＝x a ＋y b ＋z cD ．若a ，b ，c 三向量两两不共线，则x a ＋y b ＋z c ＝0的充要条件是x ＝y ＝z ＝0 解析： 对于空间作为基底的三向量a ，b ，c 必须要有限制，即不共面，故C 正确． 答案： C4．若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析： AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)， 则|AB →|＝(1－x )2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2 ＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57. 故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案： C5．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析： AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴〈AB →，AC →〉＝60°. 答案： C6．已知向量AM →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AN →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，1，则平面AMN 的一个法向量是( ) A ．(－3，－2,4) B ．(3,2，－4) C ．(－3，－2，－4)D ．(－3,2，－4)解析： 设平面AMN 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝0，n ·AN →＝0，即⎩⎨⎧y ＝－z 2，x ＝34z ，令z ＝4，则n ＝(3，－2,4)，由于(－3,2，－4)＝－(3，－2,4)，可知选项D 符合． 答案： D7．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( )A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)或(1,1,1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)解析： 设a ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．答案： B8．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A.34a 2B.12a 2C.14a 2 D ．a 2解析： 如下图，AE →＝12(AB →＋AC →)，AF →＝12AD →，AE →·AF →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案： C9．已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.34解析： 建系如图，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB →＝(3，1,0)，SB →＝(3，1，－3)，SC →＝(0,2，－3)．设面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB →＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC →＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)．设AB 与面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|n ·AB →||n ||AB →|＝3＋34×2＝34.答案： D10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析： 建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，A (0,0,0)．∴BA 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(0,1,1)． ∴cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝BA 1→·AC 1→|BA 1→||AC 1→|＝12·2＝12. ∴〈BA 1→，AC 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°. 答案： B11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22解析： 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，则DA 1→＝(1,0,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12. 设平面A 1DE 的法向量n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA 1→＝0，n 1·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＋z2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－z ，y ＝z 2.令z ＝1，∴n 1＝⎝⎛⎭⎫－1，12，1. 平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝11＋14＋1·1＝23. 答案： B12．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A.12B.24C.22D.32解析： 连接A 1D ，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0，1,1)．易知平面ABC 1D 1的一个法向量n ＝DA 1→＝(1,0,1)，与之同向的单位向量为n 0＝⎝⎛⎭⎫22，0，22，∴d ＝|C 1O →·n 0|＝24.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．如图所示，在几何体A －BCD 中，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 中点，则AE 的长为________．解析： AE →＝AB →＋BC →＋CE →， ∵|AB →|＝|BC →|＝1＝|CE →|， 且AB →·BC →＝AB →·CE →＝BC →·CE →＝0.又∵AE →2＝(AB →＋BC →＋CE →)2，∴AE →2＝3，∴AE 的长为 3. 答案：314．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析： 如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1，1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63. 答案：6315．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则λ＝________. 解析： 由已知可发现a 与b 不共线，由共面向量定理可知，要使a ，b ，c 共面，则必存在实数x ，y ，使得c ＝x a ＋y b ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7－x ＋4y ＝53x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337y ＝177λ＝657.答案：65716．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.解析： GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案： －112AB →－13AC →＋34AD →三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.解析： BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .18．(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，若存在，求出AF ；若不存在，说明理由．解析： 假设存在F 点，使CF ⊥平面B 1DF ， 不妨设AF ＝b ，则F (2a,0，b )，CF →＝(2a ，－2a ，b )，B 1F →＝(2a,0，b －3a )， B 1D →＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.∵CF →·B 1D →＝a 2－a 2＋0＝0，∴CF →⊥B 1D →恒成立．由B 1F →·CF →＝2a 2＋b (b －3a )＝b 2－3ab ＋2a 2＝0，得b ＝a 或b ＝2a . ∴当AF ＝a 或AF ＝2a 时，CF ⊥平面B 1DF .19．(本小题满分12分)三棱柱OAB －O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°且OB ＝OO 1＝2，OA ＝ 3.求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．解析： 以O 为原点，分别以直线OA ，OB 为x 轴、y 轴，过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则O 1(0,1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，1，3)，B (0,2,0)， A 1B →＝(－3，1，－3)，O 1A →＝(3，－1，－3)． 设A 1B 与AO 1所成的角为α，则 cos α＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →||O 1A →|＝17.故异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.20．(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．解析： (1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t ，0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)． 因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0. 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)． 因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →， 即AC ⊥B 1D .(2)由(1)知，AD 1→＝(0,3,3)，AC →＝(3，1,0)，B 1C 1→＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 21．(本小题满分12分)在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M ，N 分别为AB ，SB 的中点．(1)证明：AC ⊥SB ；(2)求二面角N －CM －B 的余弦值．解析： (1)证明：取AC 中点O ，连接SO ，BO ，由于SA ＝SC ， ∴SO ⊥AC .又∵△ABC 为正三角形， ∴BO ⊥AC .又∵BO ∩SO ＝O ，且BO ，SO 在平面SBO 上，∴AC ⊥平面SBO ，∴AC ⊥SB . (2)∵平面SAC ⊥平面ABC ，SO ⊥AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，∴SO ⊥OB .以点O 为原点，OA ，OB ，OS 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (0,23，0)，S (0，0，22)，C (－2,0,0)．∴M (1，3，0)，N (0，3，2)，∴MN →＝(－1,0，2)，MC →＝(－3，－3，0)． 设平面MNC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·MC →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2z ＝0，－3x －3y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝2z ，y ＝－3x .取z ＝1，得n ＝(2，－6，1)．又OS →＝(0,0,22)是平面BCM 的法向量，易知所求二面角θ为锐角，∴cos θ＝|n ·OS →||n ||OS →|＝223×22＝13， ∴二面角N －CM －B 的余弦值为13. 22．(本小题满分14分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)求证：BC 1∥平面A 1CD .(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．解析： (1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0. 可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0，可取m ＝(2,1，－2)．从而cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝33，故sin〈n，m〉＝63.即二面角D－A1C－E的正弦值为6 3.。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学 空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c,x,y,z ∈R ． 其中正确命题的个数为 （ ）A.0B.1C.2D.32．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ）Ａ．1Ｂ．1-Ｃ．12Ｄ．2- 3．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6494．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A.627 B. 637 C. 647 D. 6575．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点，则2a 等于（ ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·Ｃ．2FGCA ·Ｄ．2EFCB ·6．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.已知点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA ,则点O 是△ABC 的（ ） A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点 8．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)33310．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面；③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 12．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与AB C ，，共面，那么λ= ． 13.已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 .14．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点， BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．15.在平行四边形ABCD 中，AB=AC=1，∠ACD=900,将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成600角，则B,D 两点间的距离为16．如图,二面角α-ι-β的棱上有A,B 两点，直线AC,BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=68， 二面角α-ι-β的大小 ．三、解答题（本大题共5小题,满分70分），17．（10分）设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在，请写出证明．18．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ； （3）求二面角D -PB -C 的大小．EM GDCBAιβα AD CBE z y xC 1B 1A 1D GC BA19．（12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°．侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ． （1）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小． （2）求A 1到平面ABD 的距离．20.(12分)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,顶点A 1在底面ABC 上的射影恰为点B,且AB=AC=A 1B=2. (1) 求棱AA 1与BC 所成角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P,使AP=14，并求出二面角P-AB-A 1的平面角的余弦值.21.（12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.（Ⅰ）证明：AB =AC（Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小ABCC B 1A 1ACBA 1B 1C 1DE22.（12分）P 是平面ABCD 外的点，四边形ABCD 是平行四边形，()2,1,4,AB =--()4,2,0,AD =()1,2,1AP =--.（1）求证：PA ⊥平面ABCD.（2）对于向量111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，定义一种运算：()a b c ⨯⋅=123231312132213321x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++---，试计算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系，并由此猜想向量这种运算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD 叫四棱锥，锥体体积公式：V=13⨯⨯底面积高）.空间向量与立体几何(2)参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDDABCACCB二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．（0，15，25） 12．0 13． 1,-3 14．90° 15。
高二数学空间向量与立体几何试题答案及解析
高二数学空间向量与立体几何试题答案及解析1.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°【答案】B【解析】用立体几何方法。
作BC中点D,连AD, D,易得AD垂直于BC,AD垂直于平面BC, D为A在平面BC上的射影,易证D垂直于B,所以A垂直于B,A与B所成角为90度,故选B。
【考点】本题主要考查正三棱柱的几何性质及异面直线所成角的求法。
点评：根据题目特点，可灵活采用不同方法，这里运用几何方法，使问题得解，体现解题的灵活性。
2.正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（）A．B．C．D．【答案】C【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，．，．令向量，且，则，，，，．异面直线和之间的距离为：．【考点】本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。
点评：通过建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化成空间向量问题.3.已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面的距离（）A．B．C．D．【答案】A【解析】为正方形，，又平面平面，面，是平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则===．【考点】本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。
点评：通过建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化成空间向量问题.4.在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（）A． B． C． D．【答案】D【解析】题目中给出了建立空间直角坐标系的条件。
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图），利用向量知识可计算得到直线OD与平面PBC所成角的正弦值为，故选D。
【考点】本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。
点评：通过建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化成空间向量问题.5.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值．【答案】【解析】解：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1）设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,由可解得＝（1，0，1）设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则，【考点】本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。
空间向量和立体几何练习题及答案
1.如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为正方形，平■面PADL平面ABCR 点M 在线段PB上，PD//平面MAC, PA=PD*, AB=4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B- PD- A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【分析】(1)设ACA BD=0,则O为BD的中点，连接OM,利用线面平行的性质证明OM // PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；(2)取AD中点G,可得PGLAD,再由面面垂直的性质可得PGL平面ABCD则PGLAD,连接OG, WJ PGLOG,再证明OGLAD.以G为坐标原点，分别以GD G。
GP 所在直线为x、v、z轴距离空间直角坐标系，求出平■面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD- A的大小；(3)求出百i的坐标，由百i与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【解答】(1)证明：如图，设ACA BD=O,ABCD为正方形，二O为BD的中点，连接OM,.• PD//平面MAC, PD?平面PBD,平面PBDA 平面AMC=OM,••• PD// OM,则豆鸟，即M为PB的中点；BD BP(2)解：取AD中点G,.• PA=PD • . PGL AD,•.•平■面PAM平面ABCD 且平■面PADA平面ABCD=AD••• PGL平面ABCD WJ PGLAD,连接OG, WJ PGL OG,由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG// DC, WJ OGLAD.以G为坐标原点，分别以GCk GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD旅,AB=4,得 D (2, 0, 0), A ( - 2, 0, 0), P (0, 0,姬)，C (2,4, 0), B (-2, 4, 0), M (- 1, 2,竺)，而二（-幻 0,血），瓦二（-4, 4, 0）-取平■面PAD 的一个法向量为三二（0,1, Q ）. cox 二，n > =「一 "n Mini 2X1 2.二面角B- PD- A 的大小为60°; （3）解：E-3・-2・丰），平面BDP 的一个法向量为叙1, 1,血）.直线 MC 与平■面 BDP 所成角的正弦值为| cos ＜衣，盘〉【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，届中 档题.2. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PH 底面ABC, ZBAC=90.点D, E, N 分别为 棱PA PC BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA=AC=4 AB=2.（I ）求证：MN //平面BDE;（皿）求二面角C-EM - N 的正弦值；设平■面PBD 的一个法向量为 *化 y,工），m*DP=0 "曰 卜，侍 则由仁罚 Lm*DB=0 口育气取gg —仞 mF - 11（用）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为圭，求线段AH的长.【分析】(I)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF//平■面BDE NF//平面BDE 得到平■面MFN //平■面BD巳WJ MN //平■面BDE(n)由PH底面ABC, ZBAC=90.可以A为原点，分别以AB AC、AP所在直线为x、v、z轴建立空间直角坐标系.求出平■面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM- N的余弦值，进一步求得正弦值；(用)设AH=t,则H (0, 0, t)，求出前、瓦的坐标，结合直线NH与直线BE 所成角的余弦值为夺列式求得线段AH的长.【解答】(I )证明：取AB中点F,连接MF、NF,.• M 为AD 中点，二MF// BD,.• BD?平面BDE, MF?平面BDE •,- MF // 平面BDE.• N 为BC中点，. . NF// AC,乂D、E分别为AP、PC的中点，二DE// AC, WJ NF// DE.. DE?平面BDE, NF?平面BDE,二NF//平面BDE.乂MFA NF=F.平面MFN//平面BDE, WJ MN//平面BDE(U)解：PH底面ABC, Z BAC=90..••以A为原点，分另U以AB、AG AP所在直线为x、v、z轴建立空间直角坐标系. PA=AC=4 AB=2,••• A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (0, 4, 0), M (0, 0, 1), N (1, 2, 0), E (0, 2, 2),则福二(L 2, -1),无=(0, 2, 1),设平■面MEN 的一个法向量为y,如击 m*NN=O z 0 x+2y-z=0 w ^_Q .曰-,、 由， ___ ，侍、 A ，取z =2,侍旷(4, -L 2)・ lm-ME=O Uy+z=O由图可得平■面CME 的一个法向量为冒二(1, °, 0).cos <.••二面角C- EM - N 的余弦值为华I,则正弦值为寸亟；21 21（m ）解：设 AH=t,则 H （。
(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(含答案解析)
一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A ．85B ．97C ．12D ．2302．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（ ） A ．313B ．95C ．18D ．213．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ，④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为＝（a ，b ，c ）的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0；过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为d ＝（u ，v ，w ）（uvw≠0）的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y ﹣2z ﹣4＝0，直线l 是两平面3x ﹣2y ﹣7＝0与2y ﹣z+6＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（ ） A ．arcsin 1414 B ．arcsin 421C ．arcsin51442D ．arcsin123773775．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π6．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③7．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A ．3B ．2C ．1D ．32-8．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（ ）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 9．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．11+22+a b c B ．1122a b c -+ C ．1122-++a b c D ．1122+-a b c 11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）A 5B ．23C 5D 512．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．259二、填空题13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．14．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）15．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H.且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．16．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．17．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,,0)22b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 18．如图所示，三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在棱OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =__________．（用a ，b ，c 表示）19．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．20．已知平行六面体中，则____．三、解答题21．如图，平面ABCDE ⊥平面CEFG ，四边形CEFG 为正方形，点B 在正方形ACDE 的外部，且5,4AB BC AC ===．（1）证明：AD CF ⊥．（2）求平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．22．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．23．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.（1）证明：//GF 平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值.24．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===，D 为AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1DAC ；（2）求平面1DAC 与平面11AAC C 所成的锐二面角．．．．的余弦值． 26．如图，在多面体EF ABCD -中，AD //BC ，CD //EF ，1AD DC DE ===，2BC EF ==，2CDE CDA π∠=∠=.（1）若M 为EF 中点，求证：CD ⊥BM ； （2）若二面角A DC E --的平面角为3π，求直线AE 与平面EFB 所成角的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c'=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=85AC '=． 故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C 【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩.故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则222(12)6(12)18EF =++=.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.3．C解析：C 【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC ⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确. 【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=，所以AN GC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以CF 与EN 所成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=，所以②正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所以45EBF ∠=，故④正确. 综上所述，正确的命题个数为3个. 故选：C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.4．B解析：B 【分析】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解. 【详解】平面α的法向量为n ＝（1，2，﹣2），联立方程组3270260x y y z --=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，得y ＝﹣2，z ＝2，令x ＝3，得y ＝1，z ＝8，故点P （1，﹣2，2）和点Q （3，1，8）为直线l 的两个点，∴PQ ＝（2，3，6）为直线l 的方向向量， ∵44cos ,3721||||PQ n PQ n PQ n ⋅-<>===-⨯ ，∴直线l 与平面α所成角的正弦值为421，【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.5．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan22，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．7．D解析：D【分析】由DB ED FE BF=++，利用数量积运算性质展开即可得到答案【详解】BD ED FE BF=++,22222221112 BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED∴=+++++=++故32BD=-故选D【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．8．D解析：D【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+ 211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 9．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的， 综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 10．C解析：C【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到11122BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112BM BB B M AA B D =+=+ 1111111111111()()222222AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++. 故选：C.【点睛】在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.11．A解析：A【分析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解.【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AACC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=， ∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+，∴MN 最小值为5 故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题. 12．B解析：B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值.【详解】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=, 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=， tan θ∴的最大值为53. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是线面所成角，解题的关键是找到线面所成角的平面角，是中档题.二、填空题13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所 解析：2-【分析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解.【详解】以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图则()()()()()10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,由111A P A B λ=可得()11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则00n NM n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即)03120x z x y z λλ+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 令1z =-，可得()()321,,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45， 所以1cos45n m n m n ⋅︒==，即2n =，所以21211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭，解得2λ=-. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.14．①②【分析】取D 的中点N 连接MNEN 根据四边形MNEB 为平行四边形判断①②假设DE ⊥C 得出矛盾结论判断③【详解】取D 的中点N 连接MNEN 则MN 为△CD 的中位线∴MN ∥CD 且MN=CD 又E 为矩形ABC解析：①②【分析】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，根据四边形MNEB 为平行四边形判断①，②，假设DE ⊥1A C 得出矛盾结论判断③．【详解】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，则MN 为△1A CD 的中位线，∴MN ∥12CD ，且MN=12CD 又E 为矩形ABCD 的边AB 的中点，∴BE ∥12CD ，且BE=12CD ∴MN ∥BE ，且MN=BE 即四边形MNEB 为平行四边形，∴BM ∥EN ，又EN ⊂平面A 1DE ，BM ⊄平面A 1DE ，∴BM ∥平面1A DE ，故①正确；由四边形MNEB 为平行四边形可得BM ＝NE ，而在翻折过程中，NE 的长度保持不变，故BM 的长为定值，故②正确；取DE 的中点O ，连接1A O ，CO ，由1A D ＝1A E 可知1A O ⊥DE ，若DE ⊥1A C ，则DE ⊥平面1A OC ，∴DE ⊥OC ，又∠CDO ＝90°﹣∠ADE ＝45°，∴△OCD 为等腰直角三角形，故而CD 2=OD ， 而OD 12=DE 2=，CD ＝4，与CD 2=OD 矛盾，故DE 与1A C 所成的角不可能为90°． 故③错误．故答案为①②．【点睛】本题考查命题真假，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，空间想象和推理运算能力，属于中档题．15．【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角 解析：452【解析】【分析】利用SB 平面DEFH 可以得到DHSB ，从而H 为SA 中点，同理可得F 为SC 中点，再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥，故四边形HDEF 为矩形，从而可计算其面积．【详解】因为SA SB SC ==，故S 在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC ∆为等边三角形，故S 在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以SB AC ⊥．因SB 平面DEFH ，SB ⊂平面ABS ，平面ABS平面DEFH DH =，故SB DH ，因AD DB =，故AH HS =，1,2DH BS DH BS =，同理1,2EF BS EF BS =， 故,DH EF DH EF =，所以四边形DEFH 为平行四边形，又由,D E 为中点可得DEAC ，故DH DE ⊥，故四边形DEFH 为矩形． 又153,2DE DH ==，故矩形DEFH 的面积为452． 【点睛】 （1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心． （2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．16．【解析】以正方形的中心为原点平行于的直线为轴平行于的直线为轴为轴建立如图所示空间直角坐标系设四棱锥棱长为则所以∴故异面直线所成角的余弦值为 解析：33【解析】以正方形ABCD 的中心O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，平行于AD 的直线为y 轴， SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设四棱锥S ABCD -棱长为2，则(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，2)S ，(1,1,0)D -，112,,222E ⎛- ⎝⎭，所以312,22AE ⎛= ⎝⎭，(1,1,2)SD =--，∴311cos,AE SD-+-==故异面直线AE，SD所成角的余弦值为3．17．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题解析：【分析】设空间向量(),,c m n z=，由已知条件可得m、n的值，由对任意x，y R∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b-+-+=得：||1z=，进而得到答案．【详解】解：空间向量(1,0,0)a=，13(,22b=，设空间向量(),,c m n z=，2c a⋅=，52c b⋅=，2m∴=，1522m =2m∴=，3n=，∴空间向量()2,3,c z=，又由对任意x，y R∈，()()001c xa yb c x a y b-+≥-+=，则||1z=，故(22c=+=故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．18．【解析】解析：211322a b c-++【解析】MN MA AB BN=++11()32OA OB OA BC =+-+ 21()32OA OB OC OB =-++- 211322OA OB OC =-++ 211322a b c =-++． 19．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案解析：2【解析】因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。
空间向量与立体几何 单元测试 有答案
第三章空间向量与立体几何单元测试(时间：90分钟满分：120分）第Ⅰ卷（选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．以下四组向量中，互相平行的组数为()①a＝(2，2,1），b＝(3，－2，－2)；②a＝(8,4，－6)，b＝（4，2,－3)；③a＝(0，－1，1),b＝（0，3，－3)；④a＝（－3,2,0），b＝（4,－3,3）A．1组B．2组C．3组D．4组解析：∵②中a＝2b，∴a∥b;③中a＝－错误!b，∴a∥b；而①④中的向量不平行．答案：B2．在以下命题中,不正确的个数为(）①｜a｜－|b|＝｜a＋b｜是a，b共线的充要条件;②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C,若错误!＝2错误!－2错误!－错误!，则P,A,B，C四点共面；④若{a，b，c｝为空间的一组基底,则{a＋b，b＋c,c＋a｝构成空间的另一组基底；⑤｜（a·b)·c｜＝｜a｜·|b|·|c|.A．2个B．3个C．4个D．5个解析：①|a｜－|b｜＝｜a＋b|⇒a与b共线，但a与b共线时|a｜－|b|＝｜a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确;③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C3．如图，已知四边形ABCD为矩形,P A⊥平面ABCD,连接AC,BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是()A.错误!与错误!B。
错误!与错误!C。
错误!与错误!D。
错误!与错误!解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设矩形ABCD的长、宽分别为a，b，P A长为c，则A（0,0，0)，B（b，0，0)，D(0，a,0)，C(b，a,0），P（0,0，c）．则错误!＝(b，a，－c),错误!＝(－b,a，0），错误!＝（0，－a，0），错误!＝（b，0，－c），错误!＝(0，a，－c)，错误!＝（b，0,0），错误!＝（0,0，－c），错误!＝（－b，0，0）．∴错误!·错误!＝－b2＋a2不一定为0.错误!·错误!＝0,错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0。
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空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是答案：Ａ Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ b ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++Ｃ．111AD CC D C ++Ｄ．11111()2AB CD AC ++3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ d ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =····4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（b ） Ａ．1Ｂ．1-Ｃ．12Ｄ．2- 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（b ） Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6496．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ c ）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点，则2a 等于（b ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·Ｃ．2FGCA ·Ｄ．2EFCB · 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ a ）Ａ．51122--，，Ｂ．51122-，，Ｃ．51122--，，Ｄ．51122，，9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为89，则λ=（c ）Ａ．2Ｂ．2-Ｃ．2-或255 Ｄ．2或255- 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（d ） Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ d ）Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos3Ｄ．3arccos612．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面；③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（ c ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 二、填空题13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055⎛⎫- ⎪⎝⎭，，14．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ= ． 答案：21515．已知线段AB ⊥面α，BC α⊂，CD BC ⊥，DF ⊥面α于点F ，30DCF ∠=°，且D A ，在平面α的同侧，若2AB BC CD ===，则AD 的长为 ． 答案：2216．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ． 答案：64三、解答题17．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在，请写出证明．答案：解：假设4123a a a a λμν=++成立． 1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵， (22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴． 22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，． 所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-． 18．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则113(000)(00)(002)222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，aA B a A a C a a ． 由于(100)=-，，n 是面11ABB A 的法向量，1111312cos 6023aAC AC AC a AC ===⇒=，，·°n n n n．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30°．19．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，在90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E 平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =，则1221(200)(020)(001)(202)(1)333a a A a B a D A a E a a G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，．从而2(021)333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，，，，．由0GE BD GEBD ⊥⇒=·，得1a =， 则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，．自1A 作1A H ⊥面AED 于M ，并延长交xOy 面于H ，设(0)H x y ，，， 则1(22)A H x y =--，，． 又(201)AD =-，，，(111)AE =-，，． 由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，．又1111cos A M A A A A A M =，·111426cos 2326A AA A A H ==⨯=，·． 20．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =，确定P Q ，的位置，使11QB PD ⊥．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP t =， 得22(2)CQ t =--，222(2)DQ t =---．那么211(202)(022)(20)(22(2)20)B D P t Q t ---，，，，，，，，，，，，从而21(2(2)22)QB t =---，，，1(222)PD t =--，，， 由11110QB PD QB PD ⊥⇒=·， 即222(2)2(2)401t t t -----+=⇒=． 故P Q ，分别为BC CD ，的中点时，11QB PD ⊥．21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥面ABCD ，112SA AB BC AD ====，，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则1(000)(100)(110)00(001)2A B C D S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．延长CD 交x 轴于点F ，易得(100)F ，，， 作AE SF ⊥于点E ，连结DE ，则DEA ∠即为面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角．又由于SA AF =且SA AF ⊥，得11022E ⎛⎫⎪⎝⎭，，，那么102EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，12，111222ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，从而6cos 3EA ED EA ED EA ED ==，·， 因此2tan 2EAF ED =，． 故面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为22． 22．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，试问：当1CDCC 的值为多少时，1A C ⊥面1C BD ？请予以证明． 解：欲使1A C ⊥面1C BD ，只须11AC C D ⊥，且11AC C B ⊥． 欲证11AC C D ⊥，只须证110CA C D =·， 即11()()0CA AA CD CC +-=·， 也就是11()()0CD CB CC CD CC ++-=·， 即22111cos cos 0CD CC CB CD BCD CB CC C CB -+∠-∠=． 由于1C CB BCD ∠=∠，显然，当1CD CC =时，上式成立； 同理可得，当1CD CC =时，11AC C B ⊥．因此，当11CD CC =时，1A C⊥面1C BD．。