2016-2017年广东省深圳市福田中学高二上学期期中数学试卷及解析(理科)

2016-2017学年广东省深圳市福田中学高二（上）期中数学试卷

（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答题卷相应的位置上）

1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）

A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0

C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤0

2．（5分）已知命题p：x＞y；则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y；则x2＜y2；在命题①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q中，真命题是（）

A．①③B．①④C．②③D．②④

3．（5分）下列有关命题的叙述，错误的个数为（）

①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件

③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0

④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．（5分）方程的图象是双曲线，则k取值范围是（）

A．k＜1 B．k＞2 C．k＜1或k＞2 D．1＜k＜2

6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）

A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1

7．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）

A．B．3 C．m D．3m

8．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）

A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等

9．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）

A．B．C．D．

10．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）

A．B．C．D．

11．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若

=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）

A．﹣++B．C．D．﹣﹣+

12．（5分）已知双曲线﹣=1（b∈N*）的两个焦点F1，F2，点P是双曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．D．

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分

13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是．14．（5分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x0∈R，使x02+2ax0+2﹣a=0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是．

15．（5分）已知P（4，﹣1），F为抛物线y2=8x的焦点，M为此抛物线上的点，且使|MP|+|MF|的值最小，则M点的坐标为．

16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的右焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．

18．（12分）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

19．（12分）已知动点P与双曲线﹣=1的两个焦点F1，F2所连线段的和为

6，

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若•=0，求点P的坐标；

（3）求角∠F1PF2余弦值的最小值．

20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设=，

=，=．

（1）试用，，表示出向量；

（2）求BM的长．

21．（12分）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；

（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

22．（12分）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；

（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

2016-2017学年广东省深圳市福田中学高二（上）期中数

学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答题卷相应的位置上）

1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）

A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0

C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤0

【解答】解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．

∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0．

故选：B．

2．（5分）已知命题p：x＞y；则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y；则x2＜y2；在命题①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q中，真命题是（）

A．①③B．①④C．②③D．②④

【解答】解：根据不等式的性质可知，若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，

当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，

则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q 为假命题，

故选：C．

3．（5分）下列有关命题的叙述，错误的个数为（）

①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件

③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0

④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2