江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
江苏省淮安市淮阴中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题只有一个正确选项.）1.顶点在原点，焦点是()0,2F 的抛物线方程（ ） A. 28y x =B. 28x y =C. 218y x =D.218x y =【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求得答案．【详解】由题意设抛物线的方程为22x py =()0p >，因焦点坐标为()0,2F ，则22p=， 4p ∴=，∴抛物线的方程为28x y =.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，由焦点位置确定方程类型以及p 的值是关键，属于基础题．2.圆锥的母线为2、底面半径为1，则此圆锥的体积．．是（ ）C. 2πD.23π 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的母线以及底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】由圆锥的母线为2，底面半径为1，得圆锥的高h =，所以此圆锥的体积21131333V S h ππ=⋅=⨯⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查圆锥的体积公式，求出圆锥的高是关键，属于基础题.3.如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD +12（BC -BD ）等于A. ADB. FAC. AFD. EF 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算的法则计算．【详解】BC -BD ＝DC ，11()22BC BD DC DF -==，∴AD +12（BC -BD ）AD DF AF =+=．故选C ．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础． 4.已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A. –4 B. –2 C. 4 D. 2【答案】D【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点. 5.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是边1AA 和AB 的中点，则EF 和1BC 所成的角是（ ）A. 30B. 60︒C. 45︒D. 120︒【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线1BC 平移和直线EF 相交，找到异面直线EF 与1BC 所成的角，解三角形即可求得结果．【详解】如图，取11A D 的中点G ，连接EG ，FG ，在正方体1111ABCD A B C D -中，设正方体边长为2， 易证GEF ∠（或补角）为异面直线EF 与1BC 所成的角， 在GEF ∆中，2EF =，2EG =，6FG =， 由余弦定理得2261cos 42GEF +-∠==-，即120GEF ︒∠=， 所以异面直线EF 与1BC 所成的角为60︒. 故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法，属于基础题． 6.将等腰直角三角形ABC 沿底边上的高线AD 折成60︒的二面角，则折后的直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值（ ）A. 12B.3 C.22D.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折易知直线BC 与平面ABD 所成角为DBC ∠，即可得到答案.【详解】将等腰直角三角形ABC 沿底边上的高线AD 折成60︒的二面角，如图所示：在等腰直角三角形ABC 中，AD BC ⊥，易知直线BC 与平面ABD 所成角为DBC ∠，又BD DC =，60BDC ︒∠=， 所以DBC ∆为正三角形，故60DBC ︒∠=， 所以直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值为3. 故选：D.【点睛】本题考查学生的翻折问题，立体几何的空间想象能力，属于基础题. 7.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.8.椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，则a 的值为（ ）A. 1B. 1或2-C. 1或12D.12【答案】A 【解析】 【分析】先判断焦点位置，再依据椭圆与双曲线中,,a b c 的关系，列出方程，即可求出．【详解】由双曲线2212x y a -=知，0a >，焦点在x 轴上，所以依据椭圆与双曲线中,,a b c 的关系可得，242a a -=+，解得1a =，故选A ． 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质应用．9.如图，在四面体ABCD 中，已知,AB AC BD AC ⊥⊥那么D 在面ABC 内的射影H 必在（ ）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. ABC ∆内部【答案】A 【解析】由,,AB AC BD AC ⊥⊥可得AC ABD ⊥平面，即平面ABC 内的射影H 必在平面ABC 与平面ABD 的交线AB 上，故选A10.已知圆C 的方程为22220x x y ay ++-=，其中a 为常数，过圆C 内一点()1,2的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为20x y -=，则a 的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点()1,2的直线与直线20x y -=垂直，再由斜率的关系列式求解．【详解】将圆C ：22220x x y ay ++-=化为()()22211x y a a ++-=+， 圆心坐标为()1,C a -，半径21r a =+，如图：由题意可得，过圆心与点()1,2的直线与直线20x y -=垂直时，ACB ∠最小，此时21112a -=---，即3a =. 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x xlnx =，则下列大小关系正确的是（ ）A. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦B. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦C. ()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦D. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行求导得出()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，而根据1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出2x x <，从而得出()()()21f x f x f <<，从而得出选项．【详解】∵()f x xlnx =，∴()1ln f x x '=+，由于1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，由于112x <<，故2x x <，所以()()()210f x f x f <<=， 而()20f x ⎡⎤>⎣⎦，所以()()()22f x f x f x <<，故选D. 【点睛】本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.12.过双曲线M ：()22210y x b b-=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且32OB OA OC =+，则双曲线的离心率是（ ） D.3【答案】B【解析】 【分析】根据双曲线方程，得渐近线方程为y bx =或y bx =-，设过左顶点的直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立解得B ，C 的横坐标关于b 的式子，由32OB OA OC=+得B 为AC 的三等分点，利用向量坐标运算建立关于b 的方程并解之可得2b =，由此算出c =.【详解】由题可知()1,0A -，所以直线l 的方程为1y x =+，因双曲线M 的方程为()22210y x b b-=>，则两条渐近线方程为y bx =或y bx =-，由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1,11b B b b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得1,11b C b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因32OB OA OC =+，又()1,0OA =-，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭∴311b bb b =+-，解得2b =，在双曲线中，c =，所以双曲线的离心率ce a==. 故选：B.【点睛】本题给出双曲线的渐近线与过左顶点A 的直线相交于B ，C 两点且B 为AC 的三等分点，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题． 二、填空题13.曲线x y e =在点()0,1处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.【答案】12【解析】 【分析】求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在0x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【详解】依题意得e x y '=，因此曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率01k e ==， 所以相应的切线方程为1y x =+， 当0x =时，1y =；当0y =时，1x =-；所以切线与坐标轴所围三角形的面积为111122S =⨯⨯-=.故答案为：12.【点睛】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知(),P x y 是椭圆C ：2214x y +=上一点，若不等式20x y a -+≥恒成立，则a的取值范围是______.【答案】)+∞【解析】 【分析】根据椭圆方程表示出椭圆的参数方程，即设()2cos ,sin P θθ，代入不等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出a 的取值范围.【详解】根据题意设()2cos ,sin P θθ，即2cos x θ=，sin y θ=，代入不等式得：()124cos sin 0tan 4x y a a a θθθϕϕ⎛⎫-+=-+=++≥=⎪⎝⎭恒成立， 即()a θϕ-≤+恒成立，又()1cos 1θϕ-≤+≤，a -≤，即a ≥，故a 的取值范围为)+∞.故答案为：)+∞.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，解题的关键是利用参数正确设点，属于基础题.15.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱．．．．称之为“堑堵”，已知某“堑的等腰三角形，面积最大的侧面是正方形，则该“堑堵”的外接球．．．的表面积为______. 【答案】8π 【解析】 【分析】由题意可知该直三棱柱是底面为直角三角形，又面积最大的侧面是正方形，则直三棱柱的高为2，进而可得外接球的半径R =.的等腰直角三角形，又最大侧面为正方形，则该直三棱柱的高为2，所以该“堑堵”的外接球的半径R ==248S R ππ==.故答案为：8π.【点睛】本题考查了空间几何体的外接球的表面积的计算问题，属于基础题.16.设()2,4n D m n R =∈，则D 的最小值为______.1 【解析】 【分析】设()222ln 4n S x n x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（其中m x e =，则ln m x =），其几何意义为两点(),ln x x ，2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方，令()ln f x x =，()24x g x =，则()211D g x +=+，而()21g x +是抛物线24x y =上的点到准线1y =-的距离，从而1D +可以看作抛物线上的点()()22,x g x 到焦点距离和到()ln f x x =上的点的距离的和，即1D +的最小值是点()0,1F 到()ln f x x =上的点的距离的最小值.【详解】设()222ln 4n S x n x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（其中m x e =，则ln m x =），其几何意义为两点(),ln x x ，2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方，令()ln f x x =，()24x g x =，由ln y x =的导数为1y x'=，11k x ∴=，点2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线24x y =上，又2x y '=，22x k ∴=令()ln f x x =，()24x g x =，则()211D g x +=+，而()21g x +是抛物线24x y =上的点到准线1y =-的距离，即抛物线24x y =上的点到焦点()0,1F 的距离，从而1D +可以看作抛物线上的点()()22,x g x 到焦点距离和到()ln f x x =上的点的距离的和，即AF AB +，如图所示：由两点之间线段最短，得1D +的最小值是点()0,1F 到()ln f x x =上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，则1D +就最小，即D 最小， 设()00,ln B x x ，则000ln 1110x x x -⋅=--，即200ln 10x x +-=，解得01x =，即()10B , ∴点()0,1F 到()10B ,的距离就是点()0,1F 到()ln f x x =上的点的距离的最小值，故1D +2，即D 21. 21.【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查导数、抛物线、两点间距离、点到直线距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥.（1）求证：AD CE ⊥；（2）求证：平面//ABF 平面DCE . 【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得DE AD ⊥，AD DC ⊥，从而AD ⊥平面DCE ，由此即可得证AD CE ⊥；（2）由题意可得//AB DC ，进而可得//AB 平面CDE ，又//AF DE ，即可得//AF 平面CDE ，由此即可得证平面//ABF 平面DCE . 【详解】证明：（1）∵矩形ABCD ，∴AD CD ⊥， 又∵DE AD ⊥，且CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDE ，∴AD ⊥平面CDE ，又∵CE ⊂平面CDE ，∴AD CE ⊥.（2）∵矩形ABCD ，∴//AB CD ，又CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，∴//AB 平面CDE .又∵//AF DE ，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄平面CDE .∴//AF 平面CDE ，又ABAF A =，,AB AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面CDE .【点睛】本题考查线线垂直、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18.已知圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，圆心C 在直线2y x =-上. （1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线210x y -+=上，过P 点作圆C 的两条切线，分别与圆切于M 、N 两点，求四边形PMCN 周长的最小值.【答案】(1) ()()22122x y -+=+ (2) 2322 【解析】 【分析】（1）由题意设(),2C a a -，半径为()0r r >，则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=，由题意圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，得到关于a ，r 的方程解得即可；（2）由题意得：四边形PMCN 周长2c PM PN r =++，其中PM PN ==，利用点到直线的距离即可求得答案.【详解】（1）因为圆心C 在直线2y x =-上，所以可设(),2C a a -，半径为()0r r >， 则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=；又圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，所以()()222212a a r r ⎧-+-+==，解得1a r =⎧⎪⎨=⎪⎩C 的方程为()()22122x y -+=+.（2）由题意：四边形PMCN 周长2c PM PN r =++，其中PM PN =， 即PC 取最小值时，此时周长最小，又因P 在直线210x y -+=上，即圆心C 到直线210x y -+=的距离时，PC ∴的最小值为PC ==所以周长c ≥=， 故四边形PMCN周长的最小值为【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，属于中档题. 19.2019年11月2日，中国药品监督管理局批准了治疗阿尔茨海默病（老年痴呆症）新药GV-971的上市申请，这款新药由我国科研人员研发，我国拥有完全知识产权.据悉，该款药品为胶囊，从外观上看是两个半球和一个圆柱组成，其中上半球是胶囊的盖子，粉状药物储存在圆柱及下半球中.胶囊轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD ，其周长为50毫米，药物所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD 的长为2x 毫米.（注：343V R =π球，V Sh =柱，其中R为球半径，S 为圆柱底面积，h 为圆柱的高）（1）求胶囊中药物的体积y 关于x 的函数关系式； （2）如何设计AD 与AB 的长度，使得y 最大？【答案】(1) 2322253y x x πππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (2) AD 为10032π-毫米，AB为255032ππ--毫米【解析】 【分析】（1）利用已知条件结合体积公式求出胶囊中药物的体积y 关于x 的函数关系式； （2）通过函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可得到答案.【详解】解：（1）由2250AB x π+=得25AB x π=-，0AB >，所以250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以药物体积()322321422525233y x x x x x ππππππ⎛⎫=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭，250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）求导得2222350'x y x x πππ=-+，令'0y =，得5032x π=-或0x =（舍）， 当500,32x π⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，'0y >，y 在区间500,32π⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调增， 当5025,32x ππ⎛⎫∈⎪-⎝⎭，'0y <，y 在区间5025,32ππ⎛⎫⎪-⎝⎭上单调减， 所以当5032x π=-时，y 有最大值，此时100232AD x π==-，255032AB ππ-=-， 答：当AD 为10032π-毫米，AB 为255032ππ--毫米时，药物的体积有最大值.【点睛】本题考查函数的单调性的应用，函数的数据应用，考查计算能力，属于基础题．20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AB ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11AAC C ；（2）若11CC CB =，2CA CB ==，3AB =，平面11CC B B ⊥平面ABC ，求二面角1B NC M --的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 7【解析】 【分析】（1）利用已知条件证四边形AMNP 为平行四边形即可得//MN 平面11AAC C ； （2）利用几何关系作出二面角1B NC M --的平面角，利用解三角形即可得到答案.【详解】证明：（1）取11A C 的中点，连接AP ，NP ， ∵11C N NB =，11C P PA =，∴11//NP A B ，1112NP A B =.在三棱柱111ABC A B C -中，∵11//A B AB ，11A B AB =. ∴//NP AB ，且12NP AB =.∵M 为AB 的中点，∴12AM AB =. ∴NP AM =，且//NP AM .∴四边形AMNP 为平行四边形.∴//MN AP ，∵AP ⊂平面11AAC C ，MN ⊄平面11AAC C ，∴//MN 平面11AAC C .其他方法：（2）∵11CC CB =，N 是11B C 中点，∴11CN B C ⊥.又∵三棱柱， ∴11//BC B C ，∴CN BC ⊥，又∵平面11CC B B ⊥平面ABC ， 平面11CC B B平面ABC BC =，CN ⊂平面11CC B B ，∴CN ⊥平面ABC ，又,CB CA ⊂平面ABC ，∴CN CB ⊥，CN CA ⊥，BCM ∠为二面角1B NC M --的平面角，如图：在三角形CAB 中，2CA CB ==，3AB =，∴中线72CM =222732227cos 7222BCM ⎛⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴∠==⨯⨯， 故二面角1B NC M --7. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 21.已知函数()()21ln 2f x x a b x =+-，,a b ∈R . （1）当0a =，2b =时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值；（2）设1b =-，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21f x x 的取值范围.【答案】(1) 1ln2-. (2) 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）当0a =，2b =时，求出函数的导数，通过函数()f x在区间(上单调递减；在)+∞上单调递增，求得最小值；（2）当1b =-时，()2'11x ax x a x f x x+++=+=，得到1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，从而12x x a +=-，121x x ⋅=，推出()21f x x 的表达式，记()()1ln 12x g x x x x=+>，利用函数的导数求得单调性，即可得到答案. 【详解】（1）当0a =，2b =时，()212ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞，则()()2'220x x x x f x x-=-=>，∴当(x ∈时，()'0f x <；当)x ∈+∞时，()'0f x >，∴()f x在(上单调递减；在)+∞上单调递增，∴()min 1ln 2f x f==-.（2）当1b =-时，()2'11x ax x a x f x x+++=+=，∴1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，∴12x x a +=-，121=x x ， ∵12x x <且1>0x ，20x >，∴21>x ，221a x x =--， ∴()()2222221221ln 12ln 12x a x f x x x x x x ++==+，令()()1ln 12x g xx x x =+>，则()2'1ln 102x xg x =-++>，∴()g x 在()1,+∞上单调递增，∴()()112g x g >=，即：()211,2f x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.22.如图，A 为椭圆22142x y +=的左顶点，过A 的直线l 交抛物线()220y px p =>于B 、C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C 的横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m 过C 点，且倾斜角和直线l 的倾斜角互补，交椭圆于M 、N 两点，求p 的值，使得BMN ∆的面积最大.【答案】(1)证明见解析，定值1. (2) 928p = 【解析】 【分析】（1）由题意可求()2,0A -，设()11,B x y 、()22,C x y ，l ：2x my =-，联立直线与抛物线，利用C 是AB 的中点得122y y =，计算可得点C 的横坐标是定值；（2）由题意设直线m 的方程为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，联立方程，利用C 是AB 的中点，可得BMN AMN S S ∆∆=，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求BMN ∆的面积最大值，由取等条件解得p 的值.【详解】（1）()2,0A -，过A 的直线l 和抛物线交于两点，所以l 的斜率存在且不为0，设l ：2x my =-，其中m 是斜率的倒数，设()11,B x y 、()22,C x y ，满足222x my y px =-⎧⎨=⎩，即2240y pmy p -+=，>0∆且121224y y pmy y p+=⎧⎨=⎩，因为C 是AB 中点，所以122y y =，所以223pm y =，292m p =，所以222222133pm p x m m =⋅-=-=，即C 点的横坐标为定值1. （2）直线m 的倾斜角和直线l 的倾斜角互补，所以m 的斜率和l 的斜率互为相反数.设直线m 为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即4x my =-+，联列方程224240x my x y =-+⎧⎨+-=⎩得()2228120m y my +-+=， ()()222848216960m m m ∆=-+=->，所以26m >；且12212282122m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=， 设()2,0A -到MN的距离d =，12MN y =-，12132AMNS MN d y y ∆=⋅⋅=-=26t m =-，AMN S ∆==≤=8t =，214m =时取到， 所以9142p =，928p =. 法二：因为B 点在抛物线()220y px p =>上，不妨设2,2t B t p ⎛⎫⎪⎝⎭，又C 是AB 中点，则24,42t p t C p ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：224224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：28t p =，- 21 - ∴8414C p p x p-==为定值. （2）∵直线l 的斜率()02126t t k -==--，直线m 斜率'6t k =-， ∴直线m 的方程：()126t t y x -=--，即64x y t =-+，令6m t=代入椭圆方程整理得： ()2228120m y my +-+=，设()11,B x y 、()22,C x y ，下同法一.【点睛】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．。
江苏省淮安市2019-2020学年第一学期期末调研测试高二数学试题及答案
江苏省淮安市2019-2020学年度第一学期期末调研测试高二数学试题 2020.01一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 命题“R x ∈∃，0322<+−x x ”的否定是( ).A R x ∈∃,0322≥+−x x .B R x ∈∀,0322<+−x x .C R x ∉∃,0322<+−x x .D R x ∈∀,0322≥+−x x 【答案】D7.“2<x ”是“022<−x x ”的( )条件.A 充分不必要 .B 必要不充分 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要 【答案】B3. 准线方程为1=y 的抛物线的标准方程为( ).A y x 42−= .B x y 42−= .C y x 22−= .D y x 42= 【答案】A4. 若直线l 的方向向量)2,1,(−=x m ，平面α的法向量)4,2,2(−−=n，且直线⊥l 平面α，则实数的x 值是( ).A 1 .B 5 .C 1− .D 5− 【答案】C 5. 函数122−+=x x y )1(>x 的最小值是( ) .A 2 .B 4 .C 6 .D 8 【答案】C6. 已知数列}{n a 是等比数列，42014=a ，162020=a ，则=2017a ( ).A 24 .B 24± .C 8 .D 8± 【答案】D7. 已知21,F F 分别为双曲线:C 12222=−by a x 的左,右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于B A ,两点，若AB F 1∆为等边三角形，则该双曲线的离心率是( ).A 3 .B 33.C 2 .D 5 【答案】A8.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是( ) .A 112.B 118 .C 1116 .D 1118 【答案】C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
江苏省淮安市2019-2020学年高二上学期期末数学试题
江苏省淮安市2019-2020学年高二上学期期末数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 命题“，”的否定是( )A．，B．，C．，D．，2. “”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3. 准线方程为的抛物线的标准方程为( )A．B．C．D．4. 若直线l的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数x的值是( )A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣55. 函数的最小值是( )A．2 B．4 C．6 D．86. 已知数列是等比数列，，，则( ) A．B．C．8 D．±87. 如图，已知分别为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线与双曲线C相交于A，B两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是( )C．D．A．B．8. 《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是( )A．B．C．D．二、多选题9. 已知函数，则的充分不必要条件是( ) A．B．C． D．10. 与直线仅有一个公共点的曲线是( )A．B．C．D．11. 已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )B．A．C．D．12. 如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有( )A．B．C．D．三、填空题13. 已知数列的前项和为，点在函数的图象上，则________.14. 在空间直角坐标系中，，，，若，则实数t的值为________.15. 若关于x的一元二次不等式的解集为，则实数的值为________.四、双空题16. 已知椭圆()的焦点为，，如果椭圆C上存在一点P，使得，且的面积等于4，则实数b的值为_______，实数a的取值范围为_______.五、解答题17. 已知为等差数列的前n项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18. 已知抛物线()经过点，直线l过抛物线C焦点F 且与抛物线交于M、N两点，抛物线的准线与x轴交于点B.（1）求实数p的值；（2）若，求直线l的方程.19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，点E是棱SD的中点.（1）求异面直线CE与BS所成角的余弦值；（2）求二面角的大小.20. 随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入. （1）若该批小型货车购买n年后盈利，求n的范围；（2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(的离心率为，焦距为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M是椭圆C上一点，过点O作OM的垂线交直线于点N，设OM的斜率为k().求证：为定值.22. 已知数列的前n项和为，且满足().（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.。
2019-2020学年江苏省淮安市高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“x R ∃∈，2230x x -+<”的否定是( ) A ．x R ∃∈，2230x x -+≥ B ．x R ∀∈，2230x x -+< C ．x R ∃∉，2230x x -+< D ．x R ∀∈，2230x x -+≥【答案】D【解析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到结果. 【详解】因为x R ∃∈的否定为x R ∀∈，2230x x -+<的否定为2230x x -+≥， 所以命题的否定为：x R ∀∈，2230x x -+≥. 故选：D. 【点睛】本题考查特称命题的否定，难度较易.注意特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题.2．“2x <”是“220x x -<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据2x <与220x x -<的互相推出情况，确定出2x <是220x x -<的何种条件. 【详解】当220x x -<时，02x <<，所以2x <不能推出220x x -<，220x x -<能推出2x <， 所以“2x <”是“220x x -<”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.注意一个基本事实：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围.3．准线方程为1y =的抛物线的标准方程为( ) A ．24x y =- B ．24y x =- C ．22x y =- D ．24x y =【答案】A【解析】先根据准线方程确定出抛物线方程的基本形式，然后求解出p 的值即可得到抛物线的标准方程. 【详解】因为准线方程为1y =，所以设抛物线方程为()220x py p =->，又因为准线方程12py ==，所以2p =， 所以抛物线标准方程为：24x y =-. 故选：A. 【点睛】本题考查根据抛物线的准线方程求解抛物线的标准方程，难度较易.解答此类问题的思路：根据焦点或准线设出标准方程，求解出方程中p 的值即可得到标准方程.4．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=u r ，平面α的法向量2,2(),4n -=-r，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．5C ．﹣1D ．﹣5【答案】C【解析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】因为直线l ⊥平面α，所以//m n u r r，所以12224x -==--，所以1x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a r ，平面α的法向量为b r ，若//l α则有a b ⊥r r，若l α⊥则有//a b r r.5．函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】将221x x +-变形为()22121x x -++-，然后根据基本不等式求解出y 的最小值即可. 【详解】 因为22(1)1y x x x =+>-，所以()2222122611y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2211x x -=-，即2x =， 所以min 6y =. 故选：C. 【点睛】本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，难度较易.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.6．已知数列{}n a 是等比数列，20144a =，202016a =，则2017a =( )A ．B ．±C ．8D ．±8【答案】D【解析】根据等比数列下标和的性质，得到2017a 是2014a 、2020a 的等比中项，从而可计算出2017a 的值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，且2014202022017+=⨯， 所以220172014202064a a a =⋅=，所以20178a =±.故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的性质运用，难度较易.在等比数列{}n a 中，已知()*2,,,,m n p q c m n p q c N +=+=∈，则有2m n p q c a a a a a ==.7．如图，已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1F AB V 为等边三角形，则该双曲线的离心率是( )A 3B 3C 2D 5【答案】A【解析】根据等边三角形的特点，用c 表示出12,AF AF ，再结合122AF AF a -=即可计算出双曲线的离心率. 【详解】因为122F F c =且1F AB V 是等边三角形， 所以12143cos30F F AF ==︒，21223tan 30AF F F =︒=， 由双曲线的定义可知：12232AF AF a -==， 所以3==ce a故选：A. 【点睛】本题考查根据几何图形的性质求解双曲线离心率，难度一般.求解椭圆或者双曲线的离心率时，若出现了特殊几何图形，可借助几何图形的性质（边、角等）求解离心率. 8．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是( ) A ．211B ．811C ．1611D ．1811【答案】C【解析】将问题转化为等差数列问题，根据已知条件列出方程组求解出数列的首项和公差，然后即可求解出5a 的值. 【详解】将等差数列记为{}n a ，其中第n 节的容积为()*19,n a n n N≤≤∈，因为478946S a a a =⎧⎨++=⎩，所以1146472a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1811211a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5116411a a d =+=，所以第5节的容积为1611. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列及其前n 项和的简单综合应用，难度较易.已知关于等差数列的两个等式求解等差数列通项的常用方法：（1）构造关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差即可求解出通项公式；（2）利用等差数列的性质求解通项公式.二、多选题9．已知函数2()43f x x x =-+，则()0f x ≥的充分不必要条件是( )A ．[1,3]B ．{1,3}C ．1[3)+(]-∞⋃∞，， D ．(3,4) 【答案】BD【解析】先求解出()0f x ≥的解集A ，则充分不必要条件B 应是A 的真子集，由此作出判断即可. 【详解】因为()0f x ≥即2430x x -+≥的解集为：{|3x x ≥或}1x ≤， 所以()0f x ≥的充分不必要条件应是{|3x x ≥或}1x ≤的真子集， 所以{}()1,3,3,4满足条件.故选：BD. 【点睛】本题考查命题成立的充分不必要条件的判断，难度较易.判断命题成立的充分不必要条件或必要不充分条件，可从命题成立的对象所构成集合的真子集关系考虑.10．与直线0x y +=仅有一个公共点的曲线是( ) A ．221x y += B ．2212x y +=C ．221x y -=D ．2y x =【答案】AC【解析】A ．根据圆心到直线的距离进行判断；B ．联立直线与椭圆方程利用∆进行判断；C ．根据双曲线的渐近线与直线的位置关系进行判断；D ．联立直线与抛物线方程利用∆进行判断. 【详解】A．圆心到直线的距离1d r ===，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合；B．因为22012x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，所以2320x -+=，所以322480∆=-=>，所以直线与椭圆有两个交点，不符；C ．因为221x y -=的渐近线方程为y x =±，所以0x y +-=平行于渐近线且不与渐近线重合，所以0x y +=与双曲线仅有一个公共点，符合；D．因为20x y y x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以20y y +-=，所以10∆=+>，所以直线与抛物线有两个交点，不符. 故选：AC. 【点睛】本题考查直线与曲线的位置关系，难度一般.（1）判断直线与圆的交点个数可通过圆心到直线的距离和半径作比较得到结果；（2）判断直线与双曲线的交点个数，可先判断直线与双曲线的渐近线是否平行，若不平行可考虑通过联立方程利用∆进行判断. 11．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( ) A ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}2log n aC ．{}1n n a a +⋅D ．{}12n n n a a a ++++【答案】ACD【解析】先假设等比数列的通项公式，然后利用等比数列的通项公式逐项判断即可. 【详解】设11n n a a q -=，A ．11111111n n n a a q a q --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，此时1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为11a ，公比为1q 的等比数列；B ．因为()()()12212121log log log1log 0,0n n a a qa n q a q -==+->>，此时{}2log n a 是首项为21log a ，公差为2log q 的等差数列；C ．因为()()()()112212211111n n n n n n a q a q q a a q a a q --+-=⋅==⋅⋅，所以{}1n n a a +是首项为21a q ，公比为2q 的等比数列；D ．因为()()122221111n n n n n n n n a a q a q q q a a q q q a a a +-+++⎡⎤=++=++=++⋅⎣⎦， 所以{}12n n n a a a ++++是首项为()211a q q ++，公比为q 的等比数列.故选：ACD. 【点睛】本题考查等比数列的判断，对学生的分析证明能力要求较高，难度一般.常用的判断等比数列的方法：通项公式法、定义法、等比中项法.12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC uuu r的有( )A ．AB BC CD ++u u u r u u u r u u u rB ．11111AA BC DC ++u u u r u u u u r u u u u rC ．111AB C C BC -+u u u r u u u u r u u u u rD ．111AA DC B C ++u u u r u u u r u u u u r 【答案】BCD【解析】利用向量加法、减法以及向量的可平移性逐项进行化简计算即可得到结果. 【详解】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，故错误；B ．11111111111AA BC DC AA A D DC AC ++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，故正确； C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，故正确； D ．111111111AA DC BC AA A B BC AC ++=++=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，故正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查空间向量的化简运算，难度较易. 注意利用向量的可平移性进行化简运算.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在函数2()f x x x =-的图象上，则3a =________.【答案】4【解析】将点的坐标代入到()f x 中，求解出n S 的表达式，根据()12n n n a S S n -=-≥求解出n a ，即可求解出3a 的值. 【详解】因为(),n n S 在()f x 的图象上，所以2n S n n =-，所以()()()22111222n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=-=-----=-≥⎣⎦，所以32324a =⨯-=.故答案为：4. 【点睛】本题考查根据n a 与n S 的关系求解{}n a 的通项公式，难度一般.根据1n n n a S S -=-求解数列通项公式时，注意*2,n n N ≥∈.14．在空间直角坐标系中，1(1)A t -,,，()20B t ,,，2(1,),C t -，若AB BC ⊥u u u r u u u r，则实数t 的值为________. 【答案】12【解析】先根据点的坐标得到,AB BC u u u r u u u r的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出t 的值即可. 【详解】因为()()1,1,,1,0,2AB t t BC =+-=--u u u r u u u r ，且AB BC ⊥u u u r u u u r ，所以0AB BC ⋅=u u u r u u u r，所以120t -+=，所以12t =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查根据空间向量的垂直关系求解参数，难度较易.已知()()111222,,,,,a x y z b x y z ==r r ，若a b ⊥r r，则有1212120x x y y z z ++=.15．若关于x 的一元二次不等式220ax bx a -+<的解集为(,1)m m + ，则实数ba的值为________. 【答案】±3 【解析】根据一元二次不等式解集的特点，计算出m 的值，然后将m 和1m +的值代入到对应的一元二次方程中即可得到,a b 的关系，从而可求ba的值. 【详解】因为220ax bx a -+<的解集为(),1m m +， 所以()21am m a+=，所以2m =-或1m =， 当1m =时，204220a b a a b a -+=⎧⎨-+=⎩，所以3b a =，所以3ba =，当2m =-时，422020a b a a b a ++=⎧⎨++=⎩，所以3b a =-，所以3ba =-，所以3ba=±. 故答案为：3±. 【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求参数关系，难度一般.注意一元二次不等式解集的端点值是对应的一元二次方程的根.16．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的焦点为1F ，2F ，如果椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，且12PF F △的面积等于4，则实数b 的值为_______，实数a 的取值范围为_______.【答案】2 )⎡+∞⎣【解析】根据椭圆的定义以及勾股定理、12PF F △面积即可求解出b 的值；再根据120PF PF ⋅=u u u r u u u u r以及椭圆中x 的取值范围即可求解出a 的范围.【详解】因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以12PF PF ⊥， 又因为122PF PF a +=，所以122221224PF PF a PF PF c⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2122PF PF b ⋅=， 又因为1212242PF FP S b PF F ⋅===V ，所以2b =； 又因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，设(),P x y 且22214x y a+=， 所以2220x c y -+=，所以2222440x x c a-+-=，所以222244a x c a -=-，所以()2222444a x a a-=--， 又因为()2222280,4a a x a a -⎡⎤=∈⎣⎦-且2a >，所以28a ≥，所以)a ⎡∈+∞⎣. 故答案为：2；)⎡+∞⎣. 【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形的面积求解以及根据椭圆方程中,x y 的范围求解参数范围，难度一般.其实，椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点P （非左右顶点）与两焦点围成的焦点三角形的面积等于212tan2F PF b ∠.四、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且47a =-，39S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1()2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-+；（2）2112n nT n =-+-. 【解析】（1）根据34,S a 求解出等差数列的公差，再根据()n m a a n m d =+-即可求解出{}n a 的通项公式；（2）采用分组求和的方法分别对等差数列和等比数列进行求和，最后将结果相加即可. 【详解】（1）∵n S 是数列{}n a 前n 项和,且39S =- ∴239a =-，23a =- 又∵47a =- ∴427(3)2422a a d ----===-- ∴2(2)n a a n d =+-32(2)n =---21n =-+∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-+. （2）由（1）知2(1)(2)2n n n S n n -=-+-=- 令nS '是数列12n⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和∴11112211212n n nS '⎛⎫- ⎪⎝⎭==-- ∵12nn n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其前n 项和为n T ∴2112n n n nT S S n '=+=-+-. 【点睛】本题考查等差、等比数列的综合运用，难度较易.求解形如n n n a b c =+的前n 项和（{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列），注意采用分组求和的方法.18．已知抛物线2:2C y px =(0p >)经过点(1,2)A -，直线l 过抛物线C 焦点F 且与抛物线交于M 、N 两点，抛物线的准线与x 轴交于点B . （1）求实数p 的值；（2）若4BM BN ⋅=u u u u r u u u r，求直线l 的方程.【答案】（1）2；（2）10x y --=或10x y +-=.【解析】（1）直接将点的坐标代入到抛物线方程，即可求解出p 的值；（2）设出直线l 的方程，将直线方程与抛物线方程联立得到对应的韦达定理形式，将4BM BN ⋅=u u u u r u u u r改写成韦达定理形式即可求解出直线l 的方程.【详解】（1）∵抛物线C 过点()1,2- ∴2(2)21p -=⋅⋅∴2p =（2）抛物线C 为24y x =，焦点F 为()1,0，准线为1x =-∵抛物线准线与x 轴交于点B ，∴(1,0)B - ∵过焦点F 的直线l 与抛物线有两个交点.∴直线l 的斜率不为0，故设直线l 为1x my =+，设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭∴214x my y x=+⎧⎨=⎩，化简得：2440y my --=，∴121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩ ∵4BM BN ⋅=u u u u r u u u r ，∴2212121,1,444y y y y ⎛⎫⎛⎫+⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形得：()21121212222()3164y y y y y y y y +-++=即21681434m +-+=，解得1m =±故直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解以及根据坐标的韦达定理形式求解直线方程，难度一般.直线与圆锥曲线的综合问题中，若出现向量数量积运算，可优先考虑利用坐标的韦达定理形式解决问题.19．如图，在四棱锥—S ABCD 中，底面ABCD 是矩形，SA ⊥平面ABCD ，2AD SA ==，1AB =，点E 是棱SD 的中点.（1）求异面直线CE 与BS 所成角的余弦值； （2）求二面角E BC D --的大小. 【答案】（1）15；（2）4π.【解析】（1）建立空间直角坐标系，根据两条直线方向向量的夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值；（2）利用平面法向量夹角的余弦值结合具体图形，即可计算出二面角E BC D --的大小. 【详解】（1）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2)S ，(0,2,0)D ，点E 为SD 中点，则(0,1,1)E ，(1,2,0)C∴(1,1,1)CE =--u u u r∵(1,0,0)B ，∴(1,0,2)BS =-u u u r设异面直线CE 、BS 所成角为θ∴||cos ||||CE BS CE BS θ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ∴异面直线CE 与BS所成角的余弦值为5； （2）设平面EBC 的法向量()1111,,n x y z =u r ，(0,2,0)BC =u u u r ，(1,1,1)CE =--u u u r则1111200y x y z =⎧⎨--+=⎩，令11x =，得111101x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴1(1,0,1)n =u r取平面BCD 的一个法向量2n AS =u u r uu r ，求得2(0,0,2)n =u u r∴122121cos ,2n n n n n n ⋅<===⋅>u u r r ru u r u r u r ∴法向量11,n n u r u r的夹角为4π. 即二面角E BC D --的大小为4π. 【点睛】本题考查利用向量法求解异面直线所成角以及二面角，难度一般.（1）向量法求解异面直线所成角时，注意异面直线所成角的余弦值等于直线方向向量所成角余弦值的绝对值；（2）向量法求解二面角的大小时，平面法向量夹角的余弦值不一定等于二面角的余弦值，需要结合具体图形判断.20．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入. （1）若该批小型货车购买n 年后盈利，求n 的范围；（2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？【答案】（1）()4,16 n *∈N ；（2）该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12.【解析】（1）列出利润的表达式，盈利则利润大于零，由此求解出n 的取值范围；（2）列出平均利润的表达式，利用基本不等式求解出平均利润的最大值. 【详解】 （1）由题意得：(1)6919212602n n n n ----⋅> 化简得：220640n n -+< 解得：416n <<，答：该批小型货车购买n 年后盈利，n 的范围为()4,16,且n *∈N （2）设批小型货车购买n 年后的年平均利润为y则2360192643()6032646012n n y n n n-+-==-++≤-⨯+=当且仅当8n =时取“=”，答：该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12. 【点睛】本题考查二次函数模型以及基本不等式的实际应用，难度一般.解答问题的关键是能通过题意列出对应的表达式，同时在利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为32，焦距为23.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 上一点，过点O 作OM 的垂线交直线23y =N ，设OM 的斜率为k (0k ≠).求证：2211OM ON +为定值. 【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据离心率以及焦距先求解出,a c 的值，然后即可求解出22,a b 的值，从而C 的方程可求；（2）设出直线OM 的方程，根据点到点的距离公式表示出2OM ，再根据斜率的关系亦可表示出2ON ，由此可判断出2211OM ON+为定值. 【详解】（1）∵∴c a =∵椭圆的焦距为∴2c =c =2a =∴2222221b a c =-=-=∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）∵OM 的斜率为k ，∴设直线OM 为y kx =.2244x y y kx ⎧+=⎨=⎩，求得：22414x k =+∴M OM ==∴()2224114k OM k +=+∵ON OM ⊥，∴1ON k k=-∴3N ON y ==，∴()22413k ON +=∴()()()222222214344141141114k k k k k OM ON ++=+==++++ ∴2211OM ON+为定值1. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解以及椭圆中的定值问题，对学生的的分析和计算能力要求较高，难度一般.求解椭圆方程的两种思路：（1）根据椭圆的定义求解方程；（2）根据,,a b c 的值求解椭圆方程.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-(N n *∈). （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的N n *∈，不等式1()15n n n a a λ+-+≤恒成立，求实数λ的最大值.【答案】（1）2nn a =；（2）278. 【解析】（1）由22n n S a =-写出1n -时对应的等式，两式作差即可证明{}n a 为特殊数列，由此求解出{}n a 的通项公式；（2）将不等式1()15n n n a a λ+-+≤采用分离参数的方法分离出λ，由此得到λ与关于n 的式子的大小关系，通过数列的单调性可分析出关于n 的式子的最值，即可求出λ的范围. 【详解】（1）∵22n n S a =-① ∴1122(2)n n S a n --=-≥② ①-②得122n n n a a a -=-，即12nn a a -= ∴当2n ≥时，数列{}n a 是等比数列 ∵11122S a a =-=，∴12a = ∵221222S a a a =-=+，∴24a = ∴212a a =，即当1n =时，符合等比数列 ∴当*N n ∈时，{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列∴111222n n nn a a q --=⋅=⋅=；（2）要使1()15n n n a a λ+-+„恒成立，则1()2215n nn λ+-⋅+„，参变分离得1min15122n n λ+⎛⎫+- ⎪⎝⎭„ 令115122n n b n +=+-，∴212215215122n n n n n b b ++++--=-= ∴当2n ≥时，10n n b b +->，即1n n b b +> 当1n =时，10n n b b +-<，即21b b <.∴1234n b b b b b ><<<<<L L ∴当2n =时，n b 有最小值为278. ∴278λ…∴实数λ的最大值为278. 【点睛】本题考查根据()12n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式以及根据数列单调性求解参数最值，难度一般.（1）数列{}n a 的单调性的证明方法：将1n n a a +-的结果与0比较大小，若大于零，则是递增数列，若小于零，则是递减数列.；（2）数列求通项时若出现了1n -的下标则需要标注2n ≥，要注意验证1n =是否符合条件.。
精品解析：江苏省2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
P 使 PA1 2c, PA2 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，
也且仅有一个点 P 使 PA2 2c, PA1 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，同理可得第二三四象限每
个象限也有且仅有两个点，一共八个，
所以 C 是真命题；
0
A1PA2 2
F1PF2 2
2
，根据焦点三角形面积的二级结论 SPF1F2
A. PA1 PA2 2a
B.
直线
PA1,
PA2
的斜率之积等于定值
b2 a2
C. 使得 PF1F2 为等腰三角形的点 P 有且仅有 8 个
b2 D. PF1F2 的面积为 tan A1PA2
2
【答案】BC 【解析】 【分析】 结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.
【详解】在 A1PA2 中，两边之差小于第三边，即 PA1 PA2 A1A2 2a ，所以 A 不是真命题；
1(a＞b＞0) 的离心率为
3 ，过右焦点 F 且斜率为 k(k＞0) 的直线与 C 相交于 2
A、B 两点．若 AF 3FB ，则 k
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
因为 e c a
3 ，所以 c 2
3 2
a ，从而 b2
a2
c2
a2 4
，则椭圆方程为
x2 a2
+
4y2 a2
9.若 a 0,b 0, a b 2 ，则下列不等式,其中正确的有（ ）
A. ab 1
B. a b 2
C. a2 b2 2
【答案】ACD 【解析】 【分析】
D. 1 1 2 ab
江苏省淮安市淮阴中学2019_2020学年高二数学上学期10月月考试题含解析
故选B。
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的极大值，考查函数单调区间的求法,考查乘法的导数运算,属于基础题.
7.已知点 为椭圆 : 在第一象限内一点， 为椭圆 两焦点，且 ，则 的面积为(）
A。 B. C. D.
【答案】A
【详解】对于（1），可能直线 在平面 内，故（1）错误.
对于(2）,直线 可能是异面直线,故（2)错误.
对于(3)，直线 可能在平面 内或与平面斜交，或与平面平行，故（3）错误。
对于（4），直线 可能在平面 内，故（4）错误。
终上所述，正确命题有 个.
故选A.
【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系判断，属于基础题.
【详解】根据斜二测画法可知,原三角形为直角三角形, ，且在原图中 ,故原三角形的面积为 .
故选B.
【点睛】本小题主要考查斜二测画法的概念，考查已知直观图求原图的面积，属于基础题。
5。长方体 中， , 为 中点，则异面直线 与 所成角为（）
A. B. C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
连接 ，根据 ，可得异面直线 与 所成的角为 ,解三角形求得 的大小.
故选B。
【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，考查勾股定理，考查数形结合的思想方法,属于基础题.
12.已知曲线 与x轴交于 , 两点，点 的坐标为 ．圆 过 三点，当实数 变化时，存在一条定直线 被圆 截得的弦长为定值,则此直线方程为（）
A。 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】画出长方体如下图所示，连接 ，由于 ，所以异面直线 与 所成的角为 ，在三角形 中, ,故三角形 是等边三角形，所以 .
2019-2020年高二上学期期末综合测试数学试题 含答案
2019-2020年高二上学期期末综合测试数学试题 含答案一、 选择题（12×5分＝60分） 1、下列命题为真命题的是（ ）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。
2、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、已知、为实数,则是的 ( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知命题[]2:"1,2,0"p x x a ∀∈-≥,命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=,若命题“”是真命题,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D.5，如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 14，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )A ．1517B ．12C ．817D ．326、设和为双曲线()的两个焦点, 若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.37、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A. B. C. D.8、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=09、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.; B.; C.; D..10、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（ ） A. 2cm; B.; C.4cm; D.8cm。
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二（上）期末数学试卷、选择题C . 4|PF 1|= 3，则 |PF 2|等于( A . 112 2（5分）双曲线 mx+y = 1的虚轴长是实轴长的 2倍，贝V m =（1. （5分）抛物线2. （5分）已知方程 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A . 1 v m v 2C . -v vD . 1v m v 2 且3.（5分）已知△ ABC 的顶点B ,2 C 在椭圆一y = 1上, 顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则厶ABC 的C .D . 12（5分）若双曲线E :—1的左、右焦点F 1,F 2,点P 在双曲线E 上，且5.（5分）已知双曲线 1 （a > 0, b > 0）的一条渐近线过点（2,）,且双曲线的一个焦点在抛物线y 2= 4 "x 的准线上，则双曲线的方程为（ 6. （5分）已知双曲线1 （a >0, b > 0）的一条渐近线方程为 y —x ,且与椭圆一1有公共焦点，则 C 的方程为（C . 57.1 （a> b> 0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P, F2为右（5分）过椭圆一焦点，若/ F1 PF2= 60°,则椭圆的离心率为（）第1页（共15页）A . —B . —C .-D .—9. （5分）已知椭圆C: —— 1 （a> b>0）的离心率为- —,短轴长为2，过右焦点F且斜率为k （k> 0）的直线与椭圆C相交于A、B两点•若，则k=（）A • 1B •- C. 一 D • 210. （5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足？0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A. ( 0, 1) B• (0, -]C. (0,—) D .[— , 1)11 . （5分）若双曲线C: —— 1 (a > 0,b >0)的一条渐近线被圆2 2 ▲仃广(x - 2) +y = 4 所截得的弦长为2,则C的离心率为（）A . 2B . 一C . —D .12. （5分）椭圆一一> > 的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是（）A . （0, —]B • （0, -] C. [—, 1）D. [-, 1）二.填空题.2 ■13. （5分）若双曲线x — 1的离心率为，则实数m= •14. （5分）已知x, y满足 - ____ ，则的取值范围是•15. （5分）已知F1、F2是椭圆C: ——（a> b> 0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且.若△ PF1F2的面积为9则b = ____________ .16 . （5分）曲线C是平面内与两个定点F1 （- 1, 0）和F2 （1, 0）的距离的积等于常数2 a （a> 1）的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△ F1PF2的面积不大于-a2•其中，所有正确结论的序号是_________ .第2页（共15页）三、解答题.17. (10 分)已知三点P ( 5, 2)、F1 (- 6, 0)、F2 (6, 0).(1)求以F i、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；(n)设点p、F i、F2关于直线y=X的对称点分别为P'、F i'、F2',求以F i'、F2‘ 为焦点且过点P'的双曲线的标准方程.18. (12分)已知椭圆一一> > 离心率一，过左焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点P,且|PF|= 2.(1 )求椭圆的方程；(2)点Q (x, y)在椭圆上，求一的最大值.19. (12分)已知椭圆一一 .(1)椭圆的左右焦点为F1, F2,点P在椭圆上运动，求的取值范围；(2)倾斜角为锐角的直线I过点M (1, 0)交椭圆于A, B两点，且满足，求直线I的方程.20. (12分)已知椭圆C：9x2+y2= m2( m>0),直线I不过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A, B,线段AB的中点为M .(1)证明：直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值；(2)若I过点(一，m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时I的斜率；若不能，说明理由.21. (12分)已知椭圆一上两个不同的点A, B关于直线y= mx -对称.(1)求实数m的取值范围；(2 )求厶AOB面积的最大值(O为坐标原点).22. (12分)已知双曲线C的方程为一一> , > ，离心率一，顶点到渐近线的距离为(1 )求双曲线C的方程；(2)若关于x的不等式f ( 2x) - m v 0恒成立，求实数m的取值范围且分别位于第(3)设P是双曲线C上F点，A, B两点在双曲线C的两条渐近线上，二象限，若入，入廿,2],求厶AOB面积的取值范围.2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题21. （5分）抛物线y= 8x的焦点到准线的距离是（）A . 1B . 2 C. 4 D. 82【解答】解：由y = 2px= 8x,知p= 4,又焦点到准线的距离就是p.故选：C.2.（5分）已知方程————表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A . 1 v m v 2C . - v vD . 1 v m v2 且 _【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，/• m- 1 > 2- m,解得m> -,又••• 2- m>0,/• m v 2,m的取值范围：—v m v 2,故选：C .23. （5分）已知△ ABC的顶点B, C在椭圆一y = 1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ ABC的周长是（）A . -B . 6C . -D . 12【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得△ ABC的周长为4a 一，故选：C .4. （5分）若双曲线E：—— 1的左、右焦点分别为F1, F2,点P在双曲线E上，且|PF1|= 3，则|PF2|等于（）A. 11B. 9C. 5 D . 3【解答】解：由题意，双曲线 E:—•••|PF i |= 3,「. P 在双曲线的左支上，•••由双曲线的定义可得|PF 2| - |PF 1|= 6, ••• |PF 2|= 9. 故选：B .的一个焦点在抛物线 y 2= 4 一x 的准线上，则双曲线的方程为（【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为 y -x ,2 ——•.•抛物线y 2= 4 X 的准线方程为X 上，• a 2+b 2 = c 2= 7,•••双曲线的方程为 一一1. 故选：D .椭圆一 一 1有公共焦点，则 C 的方程为（C. — — 1D. — — 1【解答】解：椭圆一一1的焦点坐标（土 3, 0）, 则双曲线的焦点坐标为（土 3, 0）,可得c = 3,5. （5分）已知双曲线—— 1 （a > 0, b > 0）的一条渐近线过点（ 2,_）,且双曲线6. （ 5分）已知双曲线 C :—一 1 （a >0, b > 0）的一条渐近线方程为 y 一x ,且与2 ——,双曲线的一个焦点在抛物线y 2= 4 x 的准线。
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴区淮阴中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴区淮阴中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】先根据抛物线的方程求出p 的值，再根据抛物线的简单性质即可得到． 【详解】由228y px x ==，知p ＝4，而焦点到准线的距离就是p ．故选C ． 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属于基础题．2．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．12m << B ．31 2m <<C ．322m << D ．12m <<且32m ≠【答案】C【解析】根据焦点在x 轴上的椭圆方程的特点可得不等式，解不等式求得结果. 【详解】22112x y m m +=--Q 表示焦点在x 轴上的椭圆 120m m ∴->->，解得：322m <<故选：C 【点睛】本题考查根据方程表示椭圆及椭圆焦点位置求解参数范围的问题，属于基础题.3．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A ．23 B ．6C ．43D ．12【答案】C【解析】根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解. 【详解】设另一焦点为F ，由题F 在BC 边上，所以ABC ∆的周长232343l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++=+= 故选：C 【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.4．若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 在双曲线E 上,且13PF =,则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B【解析】根据双曲线方程可知26a =，由双曲线定义构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程得：26a =由双曲线定义知：21236PF PF PF -=-=，解得：29PF =或3-（舍） 故选：B 【点睛】本题考查双曲线定义的应用，属于基础题. 5．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D ．【考点】双曲线的标准方程．6．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】由双曲线渐近线方程可知5b =；利用椭圆焦点坐标和双曲线中222c a b =+可构造方程求得22,a b ，进而得到双曲线方程. 【详解】由双曲线渐近线方程知：5b a =，即5b = Q 椭圆221123x y +=焦点坐标为()3,0± 2229c a b ∴=+= 22594a a ∴+=，解得：24a = 22554b a ∴==∴双曲线C 的方程为22145x y -=故选：B 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及到双曲线渐近线方程、椭圆焦点坐标的求解等知识，属于基础题. 7．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4C ．－14D ．14【答案】C【解析】先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的2倍列方程，解方程求得m 的值. 【详解】依题意，双曲线的标准方程为2211x y m-=-，即2211,a b m ==-，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，即224b a =，也即114,4m m -==-.故选C. 【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题.8．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o，则椭圆的离心率为（ ） A 3B ．22C ．12D ．13【答案】A【解析】【详解】根据题意，焦点在x 轴上，设22221x y a b+= 左焦点(-c ，0)，故P 坐标可求为(-c ，±2b a )12F F =2c ，所以1F P =332b a 2233c a c a -=22310c +-=, 同时除以a²，22310e +-=, 求得3e =9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r，则k =A ．1B 2C 3D ．2【答案】B【解析】因为3c e a ==，所以3c =，从而22224a b a c =-=，则椭圆方程为222241x y a a =+。
2019-2020学年江苏省淮阴中学高二10月阶段性测试数学试题
江苏省淮阴中学2019-2020学年度高二上学期阶段检测高二数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每题5分，共60分）1. 椭圆1522=+y x 的焦距为................................................................................（ ▲ ） A. 52 B. 1 C. 2 D.42. 双曲线1422=-y x 的渐近线方程为.................................................................（▲ ） A. 554±=x B. 02=±y x C. 02=±y x D. 552±=x 3. 若椭圆C :)012222>>=+b a by a x （的上顶点与右顶点的连线1l 垂直于下顶点与右焦点连线2l ，则椭圆的离心率e 为....................................................................... （ ▲ ） A. 21 B. 22 C. 21-5 D.234. 用斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图为∆OAB （如图），且1==OB OA ,则原三角形的面积为...........................................（ ▲ ）A.22 B. 1 C. 2 D.25. 长方体1111D C B A ABCD -中，2,11===AB AD AA ,E 为11B A中点，则异面直线1AD 与BE 所成角为..........................................................................................（ ▲ ）A.︒30 B. ︒45 C. ︒60 D.︒90 6. 函数x e x x x f )13()(2+-=的极大值为..........................................................（ ▲ ） A. 2-e B. 15-e C. 2345-e D.e 2- 7. 已知点P 为椭圆C :1422=+y x 在第一象限内一点，21,F F 为椭圆C 两焦点，且021=⋅PF PF ，则21F PF ∆的面积为................................................................ ....（ ▲ ）A. 1B. 2C. 22D.328. 若直线x y 2=与圆1)22=+-y t x （有公共点，则实数t 的取值范围是....（ ▲ ）A.]25,25[- B. ]215,215[-+- C. ]525,525[-+- D. ]55,55[- 9. 抛物线)0(22>=p py x 上的点到直线5-=x y 的最短距离为2，则正数p 的值为...................................................................................................................................（ ▲ ）A. 3B. 4C. 5D.610. 下列命题正确的有................................................................................................（ ▲ ）个（1）//,//a b a 平面α，则//b 平面α；（2）//a 平面α，α⊂b ，则b a //;（3）//,b b a ⊥平面α，则α⊥a ；（4）⊥a 平面α，a b ⊥，则//b 平面α.A.0 B. 1 C. 2 D. 311. 已知双曲线1-2222=by a x 的左右焦点为21,F F ,右支上一点B 与1F 的连线交双曲线左支于点A ，若5,3,422===AF BF AB ,则21AF F ∆的面积为...................（ ▲ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.512. 已知曲线22-+=mx x y 与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为)1,0(．圆Q 过C B A ,,三点，当实数m 变化时，存在一条定直线l 被圆Q 截得的弦长为定值，则此直线方程为.....................................................................................................................（ ▲ ）A. 0=xB. 0=yC. 1-=x yD.1+=x y二、填空题（每题5分，共20分）13. 函数221ln )(x x x f -=的递减区间为 ▲ 14. 直线l 交椭圆1422=+y x 于B A ,两点，线段AB 中点坐标为），（5154-，则直线l 的方程为 ▲15. 函数]1,0[,14)(3∈+-=x ax x x f ，若0)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是▲16. 扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯。
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江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高二上学期
期末考试数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 抛物线的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是
（）
A．
B．
C．D．且
3. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2B．6 C．4D．12
4. 若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）
A．11 B．9 C．5 D．3
5. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）
A．B．C．D．
6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）
A．B．
C．D．
7. 双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．4 B．－4
C．－D．
8. 过椭圆的左焦点做轴的垂线交椭圆于点，为其右焦点，若，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
9. 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为
的直线与相交于两点．若，则
A．1 B．C．D．2
10. 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A．
B．C．D．
11. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆
所截
得的弦长为2，则的离心率
为（）
A．2 B．C．
D．
12. 椭圆的右焦点为，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13. 若双曲线的离心率为，则实数__________．
14. 已知,满足，则的取值范围是_____.
15. 已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若的面积为9，则________．
16. 曲线C是平面内与两个定点F
1（-1，0）和F
2
（1，0）的距离的积等于常数
a2 (a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：
① 曲线C过坐标原点；
② 曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F PF的面积大于a．
其中，所有正确结论的序号是_________．
三、解答题
17. 已知平面上的三点、、 . （1）求以、为焦点且过点的椭圆的标准方程；
（2）设点、、关于直线的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.
18. 已知椭圆离心率，过左焦点且垂直于轴的
直线交椭圆于点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)点在椭圆上，求的最大值.
19. 已知椭圆.
(1)椭圆的左右焦点为,,点在椭圆上运动，求的取值范围;
(2)倾斜角为锐角的直线过点交椭圆于，两点，且满足,求直线的方程.
20. 已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，
与有两个交点，，线段的中点为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
21. 已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称．
（1）求实数的取值范围；
（2）求面积的最大值（为坐标原点）．
22. 已知双曲线的方程为，离心率,顶点到渐近
线的距离为
(1)求双曲线的方程;
(2)设P是双曲线C上的点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一,二象限,若,,求面积的取值范围.。