第3章切线分析

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摩擦学原理第3章

第3章摩擦
（5）按摩擦副表面的材质分类
金属材料的摩擦：摩擦副由金属材料(钢、铸铁及有色金属等)组成的摩擦。非金属材料的摩擦：摩擦副由高聚物、无机物等与金属配对时的摩擦。
（6）按摩擦副的工况条件分类
一般工况下的摩擦：即常见的工况(速度、压力、温度)下的摩擦。特殊工况下的摩擦：指在高速、高温、高压、低温、真空等特殊环境下的摩擦。 7
分子——机械摩擦理论
F＝F分＋F机因而，在载荷作用下的接触表面的相互作用形式分为两种：机械作用 (取决于变形)和分子作用(取决于原子相互作用)。
第3章摩擦
分子相互作用发生在极表层中，可触及到固体表层几百微米的深度。机械相互作用的过程发生在固体本身厚度为几十微米和更厚的各层中。机械作用与分子作用的比例与表面光洁度、材料种类、载荷大小有关。光洁度高时，分子作用比例大；而光洁度低时，则机械作用大。对于金属，分子作用大；而对于橡胶等，则分子作用小。 19
分子作用理论
第3章摩擦
nE＝μpx也就是说，根据机械功与原子一原子碰撞总能
量消耗相平衡可得出摩擦系数μ为
μ＝nE/px
(3-2)
而n＝αn0x/e，其中α为概率因子，小于l。因此上式也可改写为
此式表明摩擦系数与摩擦副材料本身的性质有关。 16
分子——机械摩擦理论
第3章摩擦
如上所述，简单的摩擦理论无论是机械的或分子的摩擦理论都是很不完善的，它们得出的摩擦系数与粗糙度的关系都是片面的。
在二十世纪三十年代末期，人们从分子—机械联合作用的观点出发较完整地发展了固体摩擦理论．在英国【鲍登(F.P.Bowden)和泰伯(D.Tabor) 提出】和苏联（克拉盖尔斯基提出）相继建立了两个学派，前者以粘着理论为中心，后者以摩擦二项式为特征，这些理论莫定了现代固体摩擦的理论基础。

北师大版九年级下册九年级下册第三章3.7切线长定理

北师大版九年级下册九年级下册第三章3.7切线长定理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A．2 B．3 C D．2．如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上，若BG－1，则△ABC的周长为( )A．4＋B．6 C．2＋D．4二、填空题3．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．若AB＝5 cm，AC＝3 cm，则BD的长为________ cm.4．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_____．5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆半径等于__________．6．如图，四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 和O 相切，且10cm AB =，5cm CD =，则AD BC +=________cm.三、解答题7．如图，AB 是O 的直径，过O 外一点P 作O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD ．（1）求证：OP CD ⊥；（2）连接AD ，BC ，若50DAB ∠=︒，70CBA ∠=︒，2OA =，求OP 的长．8．如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP=10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A ，B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为ts ．（1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？参考答案1．D【解析】【分析】标注A、B、C点，连接AD，OB，则AD过O，求出∠OBD=30°，求出OB，根据勾股定理求出BD，同法求出CD，求出BC即可．【详解】如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，连接AD，OB，则AD过O(因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上,也在底边的垂直平分线上)，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60∘，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠OBC=12∠ABC=30∘，∵⊙O切BC于D，∴∠ODB=90∘，∵OD=1，∴OB=2，由勾股定理得：同理求出即.故选D.【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质.2．A【分析】连接OD，OE，证四边形ODCE是正方形，△OEB是等腰直角三角形，设OE=r，则BE=OG=r，建立关于r的方程，即可求解【详解】解：如图，连接OD，OE，∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°，∴四边形ODCE是矩形．∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形．∴CD=CE=OE．∵∠A=∠B=45°，∴△OEB是等腰直角三角形．设OE=r，则BE=OG=r﹣1+r．r﹣r，解得r=1．∴AC=BC=2r=2，AB=2OB=2×（﹣1）．∴△ABC的周长为：．故选A.【点睛】熟练掌握圆中的相关性质和定理是解本题的关键.3．2【解析】【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．【详解】∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB-AP=5-3=2．故答案是：2．【点睛】考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．4．70°【解析】分析：先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD=1 2∠ABC=20°，然后利用互余计算∠BOD的度数．详解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，∴∠OBD=12∠ABC=12×40°=20°，∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．故答案为70°．点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．5．2【分析】设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE＝CF＝12（AC＋BC−AB），由此可求出r的长．【详解】如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8；根据勾股定理AB10；四边形OECF中，OE＝OF，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF；∴CE＝CF＝12（AC＋BC−AB）；即：r＝12（6＋8−10）＝2．故答案是：2．【点睛】此题主要考查三角形内切圆与圆心，勾股定理，需要熟练掌握直角三角形内切圆的性质及半径的求法．6．15.【解析】【分析】根据切线长定理，结合题意证明AB+CD=AD+BC，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和O分别切于L、M、N、P，∴AP=AL，BM=BL，CM=CN，DN=DP，∴AL+BL+DN+CN=AP+BM+DP+CM，即AB+CD=AD+BC，∵AB=10cm，CD=5cm，∴AB+CD =AD BC+=15cm，故答案为15.【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是掌握切线长定理.7．（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据切线的性质定理得到PC PD =，OP 平分CPD ∠．根据等腰三角形的性质即可得到PQ CD ⊥于Q ，即OP CD ⊥．（2）连接OC 、OD ．根据等腰三角形的性质和平角的性质得到18060COD AOD BOC ∠=︒-∠-∠=︒．进而得到1302DOQ COD ∠=∠=︒．在Rt ODP 中，解直角三角形即可.【详解】（1）证明：∵PC 、PD 与O 相切于C 、D ．∴PC PD =，OP 平分CPD ∠．在等腰PCD 中，PC PD =，PQ 平分CPD ∠．∴PQ CD ⊥于Q ，即OP CD ⊥．（2）解：连接OC 、OD ．∵OA OD =∴50OAD ODA ∠=∠=︒∴18080AOD OAD ODA ∠=︒-∠-∠=︒同理：40BOC ∠=︒∴18060COD AOD BOC ∠=︒-∠-∠=︒．在等腰COD △中，OC OD =．OQ CD ⊥ ∴1302DOQ COD ∠=∠=︒． ∵PD 与O 相切于D ．∴OD DP ⊥．∴90ODP ∠=︒．在Rt ODP 中，90ODP ∠=︒，30POD ∠=︒∴cos cos30OD OA OP POD ====∠︒ 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形等，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．8．（1）8cm ．（2）当t 为0.5s 或3.5s 时直线AB 与⊙O 相切．【分析】（1）根据切线的性质得∠OQP=90°，在直角△OPQ 中根据勾股定理就可以求出PQ 的值；（2）过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ．直线AB 与⊙O 相切，则△PAB ∽△POQ ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t 的值．【详解】（1）连接OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP=90°.∵OP=10，OQ=6，∴PQ=√102−62=8（cm ）．（2）过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm/s ，点B 的运动速度为4cm/s ，运动时间为ts ，∴PA=5t ，PB=4t.∵PO=10，PQ=8，∴PA PO =PB PQ .∵∠P=∠P ，∴△PAB ∽△POQ.∴∠PBA=∠PQO=90°.∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，∴四边形OCBQ 为矩形．∴BQ=OC ．∵⊙O 的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置，BQ=PQ －PB=8－4t ，∵BQ=6，∴8－4t=6.∴t=0.5（s）．②当AB运动到如图2所示的位置，BQ=PB﹣PQ=4t－8，∵BQ=6，∴4t－8=6.∴t=3.5（s）．∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．。

北师大版九年级下数学第3章圆3.7切线长定理(教案)

一、教学内容
本节课选自北师大版九年级下数学第3章圆中的3.7节，主要内容为切线长定理。具体内容包括：
1.探索并掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
2.应用切线长定理解决实际问题。
3.通过切线长定理的学习，加深对圆的性质的理解，培养学生的逻辑思维能力和空间观念。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解切线长定理的基本概念。切线长定理是指从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。这个定理在几何学中有着重要的地位，它不仅帮助我们理解圆的性质，还能解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有一个圆形花坛，我们要确定从花坛边缘到两个不同位置的最短距离。通过应用切线长定理，我们可以轻松找到这个距离。
4.结合切线长定理，解决与圆相关的综合问题，提高学生的综合运用能力。
二、核心素养目标
1.通过对切线长定理的探究，培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提升数学抽象思维。
2.结合实际问题的解决，发展学生的数学建模素养，使其能够运用数学知识解释和解决现实生活中的问题。
3.在合作探究中，增强学生的团队协作能力和交流表达能力，培养良好的学习习惯和探究精神。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调切线长定理的概念和实际应用这两个重点。对于难点部分，如定理的证明和在不同图形中的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过使用尺规作图，学生将直观地看到切线长定理的应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）

九年级数学下册第3章圆 3.7 切线长定理教案北师大版

《切线长定理》◆模式介绍“探究式教学”是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去主动探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法．它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成概念，建立自己的认知模型和学习方法架构．探究式教学法能充分发挥了学生的主体作用．探究式教学通常包括以下五个教学环节：创设情境——启发思考——探究问题——形成结论——巩固提高◆设计说明首先通过问题1回顾圆的切线性质定理和判定定理，为学习切线长定理打下基础；问题2通过确定圆形工艺品的半径问题引出本节内容，激发学生探究新课的欲望，同时让学生明白“生活处处有数学”；问题3通过解决圆形工艺品的半径问题引出圆的切线长概念，为下一步探究切线长定理作准备；问题4承上启下，引导学生用轴对称性来探索切线长定理，引出本节课所要研究的内容；问题5进一步利用切线长研究圆外切四边形边之间的关系．最后通过例、习题的巩固，突出圆的切线长定理的运用．◆教材分析本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第7节《切线长定理》的教学内容，本节课是在学生学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．切线长定理的探究，通过设计让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出的，使学生的直观操作与逻辑推理有机的结合在一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性．切线长定理为证明线段，角相等，弧相等，线段的垂直关系等问题提供了理论依据．本节知识属于选学内容．◆教学目标【知识与能力目标】1、了解切线长的概念；2、探索并证明切线长定理．【过程与方法】探索并证明切线长定理，发展推理能力．【情感态度与价值观】通过轴对称的性质证明切线长定理的过程，让学生感受数学知识的美感．◆教学重难点【教学重点】探索并证明切线长定理．【教学难点】切线长定理的运用．◆课前准备多媒体课件、教具等．◆教学过程【创设情境】问题1 我们在前面学过圆的切线的性质定理和判定定理，请大家回忆一下它们的具体内容．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．问题2 如图是一件圆形工艺品，现只有一个曲尺，你能测出它的半径吗？设计意图：问题1回顾圆的切线性质定理和判定定理，为学习切线长定理打下基础；问题2通过确定圆形工艺品的半径问题引出本节内容，激发学生探究新课的欲望，同时让学生明白“生活处处有数学”．【启发思考】问题3 （1）观察下图的左图，如果这样放置曲尺，能得出圆形工艺品的半径吗？为什么？（2）观察下图的右图，如果这样放置曲尺，可以得出圆形工艺品的半径吗？为什么？（3）以上两种方法，哪些一种方法更简便呢？方法二：引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连结OB，OA，则四边形OBAP是正方形，所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA=PB．切线长概念：右图中的PA、PB是从⊙O外点P引出的两条切线，线段PA、PB的长称之为P点到⊙O的切线长，即从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段长叫做这点到圆的切线长．追问：如果这把曲尺的夹角不是90°，是否还能得到PA=PB？设计意图：问题3通过解决圆形工艺品的半径问题引出圆的切线长概念，为下一步探究切线长定理作准备．【探究问题】问题4 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）在这个图形中你能找到相等的线段吗？说说你的理由．结论：对称轴是直线OP，图中相等的线段是PA和PB．猜想：过圆外一点所画的图的两条切线长相等．已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．求证：PA=PB．证明：连接OA、OB．∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴∠APO=∠BPO=90°.在Rt△POA和Rt△POB中，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△POA≌Rt△POB．∴PA=PB．设计意图：问题4承上启下，引导学生用轴对称性来探索切线长定理，引出本节课所要研究的内容．问题5 如图，四边形ABCD的四条边都与相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴交流．结论：AB+CD=BC+AD，即圆的外切四边形的两组对边的和相等．设计意图：利用切线长研究圆外切四边形边之间的关系．【形成结论】切线长定理：过圆外一点所画的图的两条切线长相等．圆的外切四边形性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等．【巩固提高】例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =10，BC =24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，求⊙O 的半径.解：连接OD ，OE ，OF ，则OD =OE =OF ，设OD =r ．在Rt △ABC 中，AC =10，BC =24，∴2222102426AB AC BC =+=+=． ∵⊙O 分别AB ，BC ，AC 相切于点D ，E ，F ，∴四边形OECF 为正方形.∴CE =CF =r ．∴BE =24-r ，AF =10-r ．∴AB =BD +AD =BE +AF =24-r +10-r =34-2r ．而AB =26，∴34-2r =26，∴r =4，即⊙O 的半径4．例2 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB 分别相切与点D ，E ，F ，且AB =9，BC =14，CA =13，求AF ，BD ，CE 的长．解：设AF =x ，则AE =x ，CD =CE =AC -AE =13-x ，BD =BF =AB -AF =9-x ，由BD +CD =BC 可得(13-x )+(9-x )=14，解得x =4．因此AF =4，BD =5，CE =9．学生练习课本95页随堂练习．课堂小结：本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？1、切线长定理：过圆外一点所画的图的两条切线长相等．2、圆的外切四边形性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等．布置作业：1、教科书习题3.9第1题、第2题、第3题．（必做题）2、教科书习题3.9第4题．（选做题）◆教学反思略．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

第3章刚体力学基础

将圆盘视为一个系统，破裂后其受合外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用三、转动动能对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。
第三章刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述一、刚体（rigid body）刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生改变的物体。说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。

《高等数学》第三章

1
1

2
(b
a)
，所以
arctan b arctan a

1
12
(b a)
„baBiblioteka ．第一节微分中值定理例 3 证明 arctan x arccot x π ． 2
证明令 f (x) arctan x arccot x ，则 f (x) 在 R 上可导，且 xR 有
x
第一节微分中值定理
例 4 如果 f (x) 在 [a ，b] 上连续，在 (a ，b) 内可导，并且
f (a) f (b) 0 ．证明，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () f () ．
证明令 F (x) f (x)ex ，由已知，不难验证（1） F(x) 在闭区间[a ，b] 上连续；（2） F(x) 在开区间 (a ，b) 内可导．又因为 f (a) f (b) 0 ，所以 F(a) F(b) 0 ．因此， F(x) 在 [a ，b] 满足
f (b) f (a) f ( ) ． g(b) g(a) g( )
第二节洛必达法则
在讲述极限运算法则的时候，经常会遇到类似下面的问题：
（1） lim x2 1 ； x1 x 1
（2） lim x ． x 1 x2
第一节微分中值定理
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
定理 2 （拉格朗日中值定理）如果函数 f (x) 满足：（1） f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续；（2） f (x) 在开区间 (a ，b) 内可导．则在 (a ，b) 内至少存在一点，使
f ( ) f (b) f (a) ．

(管理经济学课件)第3章需求弹性与需求分析

什么影响。
1、求需求的价格弹性
弧弹性
❖ 如果价格变化的幅度很小，可以用点弹性； ❖ 如果价格变化的幅度比较大，则须用弧弹性。
❖处理方法是，取两点连线的中点作为衡量价格与需求量变化的基础。
EP Q (Q2 Q1) • (P2 P1) P (P2 P1) (Q2 Q1)
例
假定在某企业的需求曲线上，当P=2时，Q=20；当 P=5时，Q=5。求价格从2元到5元之间的弧价格弹性。
❖ 产业的收入弹性是影响产业发展的主要因素之一。
❖ 需求的收入弹性较高的产业，随着人均收入水平的提高，其发展前景也就会很大。
❖ 应当选择进入需求收入弹性较大的产业。
收入弹性与企业决策
❖ 家用空调普及率与人均可支配收入 ❖ P91，表3-4，收入越高，弹性越小。 ❖ 对于低收入家庭，需求收入弹性大，空调属
需求点弹性的四种类型
图(c) 中，直角双曲线，K为大于零的常数，价格弹性等于
1；图(d)中，斜率
只有一个。
证明：如果PQ=k，则价格弹性为1.
证明： P
k , dP Q dQ
k Q2
,
dP dQ
k Q2
dQ Q2 Q2 Q , dP k PQ P
EP dQ P 1 dP Q
解：已知Q1=20,Q2=5;P1=2,P2=5;
EP
Q2 Q1 P2 P1
P2 P1 Q2 Q1
5 20 5 2 1.4 5 2 5 20
即价格从2元到5元之间的弧价格弹性为1.4。
需求曲线与价格弹性
❖ 一般地，越平坦的需求曲线，价格弹性越大；越陡峭的需求曲线，价格弹性越小。
❖ ① dP > 0涨价，则 dQ < 0，可知 dTR < 0，即销售收入减少；

北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品说课稿

北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章3.7《切线长定理》是本章的重要内容。

切线长定理是圆的性质定理之一，它揭示了圆上一点到圆外一点的切线长与该点到圆心的距离之间的关系。

这一定理在解决几何问题时具有广泛的应用，是学生进一步学习圆的性质和解决实际问题的关键。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。

但是，对于切线长定理的理解和应用，部分学生可能会感到抽象和难以理解。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线长定理的内容，理解切线长、圆心角和圆周角之间的关系。

2.过程与方法：通过观察、实验、证明等方法，培养学生探究和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：切线长定理的内容及其应用。

2.教学难点：切线长定理的证明和灵活运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作探究法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入切线长定理的概念。

2.自主学习：学生阅读教材，了解切线长定理的内容。

3.小组讨论：学生分组讨论，探究切线长定理的证明方法。

4.教师讲解：讲解切线长定理的证明过程，引导学生理解定理的含义。

5.应用练习：学生进行课堂练习，巩固切线长定理的应用。

6.拓展提高：引导学生思考切线长定理在实际问题中的应用，进行拓展训练。

7.课堂小结：总结本节课的主要内容和收获。

七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：圆上一点到圆外一点的切线长等于该点到圆心的距离。

2.证明：利用圆的性质和几何变换进行证明。

3.应用：解决实际问题，如圆的切割、角度计算等。

【铁道工程-课件】第3章线路平面和纵断面设计

2 l0 p ( m) 2 4R
m
l0 ( m) 2
90l 0 R

2 m
缓和曲线角 0 切线长曲线长
度
Tபைடு நூலகம் ( R p) tan
L
R( 2 0 )
180
2l 0
⒉曲线起终点里程的推算
ZH里程：平面图上量取 HZ里程＝ZH里程＋L HY里程＝ZH里程＋l。 YH里程＝HZ里程－l。具体设计时： R—根据地形选配 α —用量角器量出 L。—根据线路等级和地形条件选配思考题：已知: JDi，( Xi 、Yi 、Ri、lo ) 如何编程计算曲线要素，推算线路中线里程。
2.3圆曲线
设置目的：改变线路方向机车驾驶室内没有方向盘，列车靠钢轨导向。通过曲线时，轮轨间产生很强的作用力。摇摆、振动、撞击、挤压主要与半径R有关，而半径与工程量有很大关系。
2.3.1曲线半径对工程和运营的影响
⒈曲线限制速度
V hSH hQ 11.8 R (km / h)
⒉曲线半径对工程的影响
3.1.1限制坡度
⒈限制坡度对工程和运营的影响
⑴输送能力由输送能力计算公式可知，输送能力取决于通过能力和牵引质量。在牵引种类和机车类型一定的情况下，由牵引质量计算公式可知，牵引质量由限制坡度决定。
365NH· j G C= ———— (Mt/a) 106β
圆曲线
曲线缓和曲线
⒈曲线要素 ⑴未加设缓和曲线的曲线（概略定线）偏角α —平面图上量得半径 R—选配
切线长
T y R * tan

2
( m)
曲线长
Ly
R
180
( m)
⑵加设缓和曲线的曲线（详细定线）曲线要素：偏角α ，半径 R，缓和曲线长L。（选配），切线长，曲线长

高中地理第3章大气的运动微专题等压线图的判读新人教版选择性必修1

[解析] 第6题，水平气压梯度力是由高压指向低压，据图中的等压线分布可知甲地的水平气压梯度力方向是由北指向南，而北半球地转偏向力右偏，从而形成东北风，A正确，B、C、D错误。故选A。第7题，沙尘暴形成的动力条件是大风，从图中看出，乙地位于冷锋锋后，等压线密集，风力较大，因此最易发生沙尘暴，B正确；甲地位于高压中心附近，受高压影响大，风力较小，A错误；丙和丁两地在锋前位置，等压线较为稀疏，风力较小，排除C、D选项。故选B。第8题，图中丁地位于冷锋锋前，锋面过境时，气温下降，A错误；锋面过境时以阴天为主，可能出现降水，天气并不是转晴，B错误；锋后的冷气团势力强(图中锋后等压线密集)，锋面过境时冷气团会影响丁地，出现降温，且风力增强，C正确，D错误。故选C。
在温度等其他因子相近的情况下，湿空气比干空气密度小，当干空气向湿空气移动时，会将湿空气强迫抬升，形成类似冷锋的天气过程。这类锋线过境会出现湿度的显著下降(温度不会明显下降)，因此称为“干线”。下图示意某区域近地面天气图。据此完成3～5题。
3．图示区域的天气系统是( B )
A．北半球的气旋
B．北半球的反气旋
②确定南北半球，画出偏转方向。 “高压”和“低压”是针对同一水平面上的气压差异而言的。
(2)判断气压场 ①高气压中心：中心气压高，周围气压低，如A处。 ②低气压中心：中心气压低，周围气压高，如B处。 ③高压脊：等压线由高压中心向外凸出的部分，如C处。 ④低压槽：等压线由低压中心向外凸出的部分，如D处。
微专题等压线图的判读
1．等压线图的判读要领
高(低) 值区
①等压线数值内大外小为高压中心，高压区气流下沉，天气晴朗；②等压线数值内小外大为低压中心，低压区气流上升，多阴雨天气

第3章3.7切线长定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)

-举例：给定圆的半径和圆外一点，求解该点到圆的切线长度。
2.教学难点
（1）切线长定理的证明过程：学生对几何证明的逻辑推理能力要求较高，理解切线长定理的证明过程可能存在困难。
-突破方法：采用直观图形和动画演示，逐步引导学生通过观察和思考，理解证明的每一步逻辑。
（2）切线长定理在复杂图形中的应用：在实际问题中，圆与其他几何图形结合，学生可能难以识别和运用切线长定理。
-突破方法：提供解题思路和方法，如先找切点、再利用定理等，通过分步骤解析，帮助学生建立解题框架。
本节课的教学难点与重点是密切相关的，教师需在教学过程中针对重点内容进行详细讲解和反复强调，同时针对难点内容采取有效方法，帮助学生克服困难，确保学生对切线长定理的理解和应用能力得到全面提升。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
2.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调切线长定理的证明和应用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中的逻辑推理，我会通过逐步引导和举例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规来实际作图，演示切线长定理的基本原理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第3章3.7切线长定理（教案）2023-2024学年九年级下册数学（教案）(北师大版)

环境工程第三章(1)

环境工程第三章(1)
（一）、个数分布
1.个数频率指粒径由dP至dP +dP之间的颗粒个数ni与颗粒总个数N=ni之比(或百分比)，即
环境工程第三章(1)
颗粒个数分布的测定数据及其计算结果
分级号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
总计
粒径范围颗粒个数频率间隔上限筛下累粒径间隔频率密度
180 2.75 3.2 0.9 0.207 0.460 0.230 20.79 3743
4 3.2-4.5
220 3.85 4.5 1.3 0.253 0.713 0.195 57.07 12555
5 4.5-6.0
190 5.25 6.0 1.5 0.218 0.931 0.145 144.7 27493
∑gi=1.00
环境工程第三章(1)
个数分布和质量分布函数p、q以及F、G之间关系曲线
环境工程第三章(1)
计算过程
i
dpi
1
0.75
ni
fi
nidpi
fidpi
fidpi2 fidpi3 gi/dpi gi/dpi3
80 0.092 60 0.069 0.052 0.04 0.00067 0.00118
1000 1.000
算术平均粒径dL=11.8 m 中位粒径d50=9.0 m
众径dd=6.0 m
几何平均粒径dg=8.96 m
环境工程第三章(1)
颗粒个数分布直方图
环境工程第三章(1)
2．个数筛下累积频率
为小于第I间隔上限粒径的所有颗粒个数与颗粒总个数之比（百分比），即
或
环境工程第三章(1)
2
1.9

机械原理第三章3-8速度瞬心法

切线加速度是物体在瞬心坐标系下各点的加速度大小和方向，描述物体沿着曲线路径运动的加速度变化。径向加速度则表示物体远离或接近瞬心点的加速度。
角加速度和瞬心加速度
角加速度是用于描述物体在旋转运动中角速度变化的物理量。瞬心加速度则表示物体在不同位置上的切线加速度和径向加速度。
应用瞬心法解题
瞬心法广泛应用于机械原理和运动学的相关问题。通过使用瞬心法，我们可以分析物体在复杂运动中的速度和加速度，并解决实际问题。
机械原理第三章3-8速度瞬心法
瞬心法是一种用于分析物体在运动中速度和加速度的方法。通过确定瞬心坐标系，我们可以计算出切线速度、径向速度、切线加速度和径向加速度等重要参数。
概述瞬心法
瞬心法是一种基本的运动学概念，用于描述运动物体在不同位置的速度和加速度。它是分析机械系统和各种运动装置的关键工具。
瞬心法的实际应用
瞬心法在工程领域有广泛应用，特别是在设计和分析各种运动装置和机械系统时。它帮助工程师了解物体的运动特性，优化设计，并解决与速度和加速度相种特殊的坐标系，用于描述物体在运动中不同位置的速度和加速度。它的选择通常依赖于具体的运动情况，以简化计算和分析。
切线速度和径向速度
切线速度是物体在瞬心坐标系下各点的速度大小和方向，用于描述物体沿着曲线路径运动的速度变化。径向速度则表示物体远离或接近瞬心点的速度。
切线加速度和径向加速度

北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品教学设计

北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章3.7《切线长定理》的内容是在学生掌握了直线与圆的位置关系、圆的方程等知识的基础上，进一步研究圆的切线性质。

本节内容主要介绍了切线长定理，即从圆外一点引出两条切线，分别与圆相交，那么这两条切线的长度相等。

教材通过例题和练习题，使学生掌握切线长定理的应用，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直线、圆的基本知识，对几何图形的认识有一定的基础。

但是，对于切线长定理的理解和应用，还需要通过实例和练习来进一步巩固。

学生在学习过程中，需要充分调动已有的知识储备，进行逻辑推理和空间想象，从而掌握切线长定理。

三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，掌握切线长定理的证明过程。

2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和几何思维。

四. 教学重难点1.重点：切线长定理的理解和应用。

2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过问题引导，激发学生的思考；通过案例分析，使学生理解并掌握切线长定理；通过小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：内容包括切线长定理的定义、证明过程和应用实例。

2.练习题：包括基础题和拓展题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：直尺、圆规、三角板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个生活中的实例：在圆形操场跑步时，从同一点出发，沿两条不同的路径跑完全程，问两条路径的长度是否相等？引发学生的思考，引出本节课的内容——切线长定理。

2.呈现（15分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。

通过PPT展示切线长定理的图形，引导学生观察、思考，然后给出证明过程。

在此过程中，强调切线长定理的关键点：圆外一点引出两条切线，分别与圆相交，这两条切线的长度相等。

新培优数学选修课件第章切割线定理

新培优数学选修课件第章切割线定理
汇报人：XX 20XX-02-04
目录
• 引言 • 切割线定理的基本概念 • 切割线定理的证明方法 • 切割线定理的应用举例 • 切割线定理的拓展与延伸 • 课程总结与回顾
01
引言
切割线定理的背景与意义
几何学中重要定理
切割线定理是平面几何中的一个重要定理，对于理解和解决与圆有关的问题具有重要意义。
预备知识回顾
01
02
03
圆的基本概念
回顾圆的定义、性质以及圆心角、弧、弦等基本概念。
相似三角形
回顾相似三角形的定义、性质和判定方法，为学习切割线定理打下基础。
勾股定理
回顾勾股定理的内容和应用，了解其在几何证明中的作用。
02
切割线定理的基本概念
切割线的定义及性质
切割线的定义
一条直线与一个圆相交于两点，这条直线就叫做这个圆的切割线。
在一个圆形池塘边有一棵树，树与池塘的距离为3米，树高为5米。现在要从池塘边的一点A拉一条绳子到树的顶端B，使得绳子最短。求绳子的长度。
设圆心为O，OA为半径r，AB为要求的绳子长度。根据切割线定理，有 AB^2=OA*(2*OA+OB)。由于 OB=3米（树与池塘的距离），OA=r （半径），所以AB^2=r*(2*r+3)。为了使AB最小，需要使AB^2最小。对AB^2求导并令其为0，解得r的值。将r的值代入AB^2的表达式中，得到AB的最小值。注意这里需要用到微积分的知识来求解最小值问题。
向量坐标法
通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，利用坐标法证明切割线定理。
解析法证明切割线定理
直角坐标系中的证明

三次函数及其切割线的关系

三次函数及其切割线的关系曾文远中国/北京市/北京十一学校指导教师：潘国双本文共七章，主要研究了三次函数上一点的切线，割线和三次函数的关系；三次函数上一点切线，割线斜率的性质；三次函数图像的性质和分类；以及三次函数的一种新定义。

全文结构安排如下：第一章介绍了文章的研究背景，基本记号，一些基本定义，引理和定理。

第二章研究了三次函数上一点处的切线和该三次函数相交的问题。

包括切点，交点的坐标关系和切线与三次函数围成图形的面积。

第三章中类比圆锥曲线的极坐标形式，研究了三次函数上一点到一定直线距离的问题，并给出了三次函数新的定义形式。

第四章研究了三次函数图像的对称问题。

第五章研究了三次函数零点处切线斜率的性质，并利用范德蒙德行列式将部分结论推广到n次函数。

第六章研究了平面上一点和三次函数三个零点连线的斜率问题，并推广到n次函数。

第七章研究了三次函数的图像类型与其对应的三次方程的解之间的关系。

关键词：三次函数三次函数图像零点极值点拐点斜率切线割线对称中心面积n次函数范德蒙德行列式摘要1第一章4 1.1 4 第二章82.1 8第三章123.1 123.2 13第四章154.1 15附录参考文献致谢第一章…2.1 …3.1 …4.1 …附录参考文献[1]人教版高中数学必修1. 人民教育出版社,2007.[2]人教版高中数学选修1-1. 人民教育出版社,2007.[3]刘玉琏傅沛仁林玎苑德馨刘宁数学分析讲义（第五版）上册.高等教育出版社,2008.[4]卢刚线性代数第三版. 高等教育出版社,2009.[5]Wikipedia致谢感谢指导老师对我的鼓励与帮助.感谢我的家长和同学们，是他们的支持和鼓励给了我勇气和信心来完成这篇论文.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

第3章圆题型解读5 五大性质定理之切线定理-北师大版九年级数学下册

题型全解5 五大性质定理之切线定理【知识梳理】一.切线定理-----“知二推一”：①垂直于切线；②过切点；③过圆心（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心概括：如果圆的一条直线满足以下三个条件的任意两个，一定能推出另一个结论：①垂直于切线；②过切点；③过圆心。

（2）有切线时，常作辅助线是连接圆心和切点，利用垂直关系解题二.切线判定（1）三条判定：①半径+垂直+过切点=切线；②直线与圆只有一个交点；③到圆心的距离等于半径的直线是切线；（2）两种添辅助线方法①若已知直线经过圆上一点：连半径，证垂直；②若不知直线与圆有无交点：作垂直，算距离；三.补充1.切线长定理（1）切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

（2）切线长定理：①PA=PB；②△PAB是等腰三角形；③∠APB+∠AOB=180°；④OP垂直平分AB；⑤OP是∠APB、∠AOB的角平分线；⑥△APO≌△BPO；2.弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

证明：如图3，连接CD、OC、OP，因为∠CPO=∠PCO,所以∠COP=180︒-2∠CPO而∠CPO=90︒-∠APC,故∠COP=2∠APC,即∠CDP=∠APC。

（3）典型用法，如图4，①∠APC=∠PBC,②△APC∽△ABP,③PA²=AC·AB（切割线定理）;3.与圆有关的比例线段⊙OCD于⊙O为直径，CD⊥AB⊙O切⊙O割线⊙OPB的两条割线，A【典型例题】1.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD=MC；（2）若⊙O的半径为5，AC=4√5，求MC的长．【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．解：（1）连接OC，∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC=，∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴，即，可得：OD=2.5，设MC=MD=x，在Rt △OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=，即MC=．2.如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．（1）求证：AD⊥CD；̂爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程．（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--CE--CB【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∵点C是的中点，∴∠DAC=∠EAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得，∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC=OC=3，BE=3, ==π，∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π3.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF ⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．解析：（1）已知切线与切点，连半径。