八年级人教版数学上册课件：12.3 角的平分线的性质 (共16张PPT)

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人教版八年级上册数学课件：角平分线的性质优秀课件

求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.
人教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
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证明（1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ，
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
l2
人教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
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角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
A
证明：过点P作PD⊥PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
一∵B点M是，△并ABC且的这角平点分到线，三B点边P在的BM距上，离E 相等C.

人教版八年级上册12.3角的平分线性质课件 (共24张PPT)

O
PC O
EB
DA PC
EB
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
已知：PD⊥OA，PE ⊥OB，
D
A
∠DOP=∠EOP
求证：PD=PE
O
证明：∵PD⊥OA，PE ⊥OB，
PC
E
B
∴∠ODP=∠OEP=90°
在Rt△ODP和Rt△OEP中，
∵∠ODP=∠OEP ∠DOP=∠EOP OP=OP
Ａ
ＯＢ
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，
•你画的是“甲”生的还是“乙”生的？
第二次折叠形成的两条折痕:
PD表示点P到_O_A_的距离; PE表示点P到_O_B_的距离.
O
由折叠知_P_D__＝_P_E__
A D
C P
EB
同样的做法再找一点Ｐ１, Ｐ２, Ｐ３.．．．．上述结论还成立吗？
DA
A
Ｍ
两弧在∠AOB的内部交于点C。Ｃ
（3）作射线OC。
射线OC即为所求。
Ｂ
Ｎ
O
B
试一试
两人结合，互相给对方画一个角，由对方用尺规作图法作出角的平分线。
你想画什么角？
你还能把一个角几等分？ 2等分，4等分，8等分……2n等分
操作实验探究性质
活动 3
将∠AOB对折,以第一条折痕为斜边再折出一个直角三角形,然后展开,两次折叠形成几条折痕？把它画出来。
垂足分别为E，F.
A
求证：EB=FC.
E
F
B
D
C
方法：（1）∵AD平分 ∠BAC
方法：（2）∵AD平分 ∠BAC，DE⊥AB，
A
∴∠1=∠2 又∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠AED=∠AFD

人教版八年级上册数学课件12.3角平分线的性质3

OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并
作比较，你得到什么结论？
A
在OC 上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角
D
的平分线的什么性质？
C
P
O
E
B
求证经；历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
求证：PD =PE．
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
线．你能说明它的道理吗？
的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严求证：PD =PE．
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
在△OPD和△OPE 中
格的逻辑推理证明这个结论吗？边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
CA=CA（公共边）
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
已知：如图，ＯC平分∠ＡOＢ，追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证在△ACD和△ACB中
D
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那
格的逻辑推理证明这个结论吗？
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
E

人教版数学八年级上册第十二章 12.3 角的平分线的性质第一课时课件(共33张PPT)

PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前谈到过，三条角分线一定交于一点，不过当时我们没有给出证明，而只是通过画图的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理，怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例题。
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等）即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
• 对折之后的折痕和这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的平分线。
• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明：在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个集贸中心，使它到铁路、公路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的

12.3角的平分线的性质课件(人教版八年级上册)5

E
B
A
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E。求证: PD=PE。证明： PD OA ,PE OB
D
1 2
P E
C B
O
∠ODP=∠OEP=90 OC平分∠AOB ∠1= ∠2 在△ ODP和△OEP中 ∠ODP=∠OEP ∠1 = ∠2 OP=OP △ ODP PD=PE △OEP AAS S
A
BБайду номын сангаас
M
A
练一练
填空：
1 2
E C D B
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
④ ① ②
③
由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
练习３：
如图：在△ ABC 中，∠ C=90 ° AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF；求证：CF=EB
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路

12.3.1角的平分线的性质(第一课时)课件人教版数学八年级上册

且 AC = 6cm，AB = 8cm，D是AB中点，则△AED的
周长是__1_0_cm___cm. C
E
1
2
A
D
B
4.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD，DE⊥AB，
DF⊥AC，求证: EB = FC
证明：∵ AD平分∠BAC
A
DE⊥AB ， DF⊥AC
∴ DE ＝DF
(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
O
DA
PC
EB
添辅助线
过角平分线上一点向两边作垂线段
提供证明线段相等的方法（节省一组全等的证明）：
☆全等三角形的对应边相等
☆角平分线的性质
拓展提高
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB交BC于D， DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( A )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
(2)分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径
画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
(3)作射线OC. 则射线OC即为所求.
O
A
M
C
N
B
பைடு நூலகம்议一议:
(1)在上面作法的第二步中,去掉“大于
1 2
MN的长”这个条件行吗?
(2)第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗?
动手操作
利用尺规作角的平分线：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线
人教版八年级数学上册
12.3.1 角的平分线的性质第一课时
学习目标
能掌握角的平分线的画法；通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理；能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.

八年级数学上册教学课件《角的平分线的性质(第2课时)》

于点D，PC＝3 cm，当PD＝__3__cm时，点P在∠AOB
的平分线上． 3
如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则
点P是∠ABC 的平分线与 ∠BCD 的平分线的交点．
探究新知
12.3 角的平分线的性质
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的
距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
A
(
∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，
3 P
4
∴∠1＝∠3．
12
同理，∠2＝∠4．
B E DFC
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
在何处（比例尺为1︰20000）？
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
巩固练习
12.3 角的平分线的性质
如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB
数学八年级上册
12.3 角的平分线的性质
12.3 角的平分线的性质（第2课时）
导入新知
12.3 角的平分线的性质
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？
素养目标
12.3 角的平分线的性质
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.

八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)

条件是：_______________，并给予证明.
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF，在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）

人教版初中数学八年级上册第十二章12.3角平分线的画法和性质(课件)

解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=4. ∴ MN=8.即AD与BC之间的距离为8.
课堂小结
定理（文字语言）: 符号语言：
探究1
问题4：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法
与仪器的关系.
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶
点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎
样在作图中体现这个过程呢?
O
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图
中体现这个过程呢？
A B
探究1
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法：A Ｍ已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
Ｃ
作法: ⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,
交OA于M,交OB于N.
⑵分别以M,N为圆心,大于
1 2
MN
的长为
半径画弧,两弧在∠AOBC, 射线OC即为所求.
B D
M P
A
EC
对应训练
变式1：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC
交BC于点P，若PC＝5, AB=16.
（1）则点P到AB的距离为__5_____.
B D
（2）求△APB的面积. 40
P
（3）求∆PDB的周长. 16
A
C
课堂练习
三角形的三条角平分线
1. 如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于交点于P,同求一证点：，点这P到一三点边叫AB、

八年级数学人教版(上册)12.3第1课时角平分线的性质

课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
课堂小结
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等
辅助线添加
过角平分线上一点向两边作垂线段 (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，
交OB于点F；
(2)分别以点E，F为圆心，大于1 EF的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；2
(3)画射线OC； (4)同理，作∠AOC的平分线OM.∠AOM即为所求 (如上图所示)．
侵权必究
2 角平分线的性质
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
侵权必究
已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线.
C
BO
A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
侵权必究
练一练
如图所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝ 1 ∠AOB.
4
A
O
B
导引：要作射线OM，使∠AOM＝ 1∠AOB，其实质是作 1 ∠AOB的平分线． 4
第十二章全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时角平分线的性质
侵权必究
目录页
新课导入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
侵权必究
新课导入
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
侵权必究
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）

人教版数学八年级上册 12.3 角的平分线的性质

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言描述： ∵ OP 平分∠AOB，且 PD⊥OA，PE⊥OB，
A ∴ PD = PE.
不必再证全等
D
P 到 OA 的距离
C 角平分线上的点 P
O
E
B P 到 OB 的距离
2. 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等. 那么在角的内部，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
命题正确吗？
猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
证明猜想已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别
是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
证明：作射线 OP. ∵ PD⊥°.
D
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直
于 AB，BC，CA，垂足分别为 ∵ BM 是△ABC 的角平分线，
D，E，F. N
D
A
F
点 P 在 BM 上，
PM
∴ PD = PE. 同理，PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
B
即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
E
C
想一想：点 P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形
A
EA DC
CF G D
EB
3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图
所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ A ）
A. SSS
A
B. ASA C. AAS
M C
D. 角平分线上的点到
角两边的距离相等
B
N
O
4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形12.3 第1课时角平分线的性质课件

O （3）垂直距离.
C P
定理的作用：证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个，必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A

人教版八年级上册数学课件：1角平分线的性质

作业布置
课本51页习题12.3第4、5题。
探究新知
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
题设：一个点在一个角的平分线上。
结论：它OC是∠AOB的平分线，
点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E。
O
求证：PD=PE。
D C
P
B E
探究新知
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
八年级上册
第十二章全等三角形角的平分线的性质
温故知新
1.什么是角平分线？角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线，
把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2.给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？
学习目标：
1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性。
2．探索并证明角的平分线的性质。 3．能用角的平分线的性质解决简单问题。
归纳总结
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
几何语言：
A
∵OC是∠AOB的平分线，
D
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE。
C P·
O
E B
归纳总结
由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？
1．明确命题中（已知）和（求证）的。 2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示（已知）和（求证）。 3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
A
B C E
探究新知
A
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
D
B
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）