2-5+功+动能+势能f

§2-5 功 动能 势能 机械能守恒定律 一.功 功率
1.功定义：力在位移方向上的投影与该物体位移大 功定义： 功定义 b 小的乘积. 小的乘积
dA = F ⋅ dr
力沿路径 l 的线积分
A = ∫ F ⋅ dr
a b
dr
θ
F
a
直角坐标系中
F = F x i + F y j + Fz k dr = dxi + dyj + dzk
r2
4
3.弹簧弹性力的功 x
0
x
F = − kxi
A = ∫ F ⋅ dr = ∫
1
2
x2
x1
1 2 1 2 − kxi ⋅ dxi = − ( kx2 − kx1 ) 2 2
保守力
∫F
l
⋅ dr ≡ 0
一质点相对于另一质点沿闭合路径运动一周时， 一质点相对于另一质点沿闭合路径运动一周时， 它们之间的保守力做的功必然是零。 它们之间的保守力做的功必然是零。
A = ∫ F ⋅ dr = ∫ ( y 2 − x 2 )dx + ∫ 3 xydy
(1)由点 由点(0,0)沿x轴到 轴到(2,0).此时 ＝0，dy＝0 此时y＝ ， ＝ 由点 沿 轴到 此时
A1 = ∫ − x 2dx = - 8/3 J
0
2
由点(2,0)平行 轴到点 平行y轴到点 此时x＝ ， ＝ 由点 平行 轴到点(2,4).此时 ＝2，dx＝0 此时
A = ∫ F ⋅ dr = ∫ Fx dx + ∫ F y dy + ∫ Fz dz
a x1 y1 z1
1
b
x2
y2
z2
功值的图示法
Fcosθ
dA 0
说明： 说明：
a
b
s
(1)功是标量，有正、负之分。 功是标量，有正、负之分。
(2)功是过程量，与初末位置及运动路径有关。 功是过程量，与初末位置及运动路径有关。 功是过程量 2.功率 2.功率 单位时间内所作的功称为功率
例： E p 弹
1 2 = kx 2
1 2 ∂ ∂ ∂ F = −( i + j+ k ) kx ∂x ∂y ∂z 2
F = − kx i
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六、质点系的动能定理与功能原理
1.质点系的动能定理 质点系的动能定理 i质点 质点
Fi外
2 1
i fij
∫
2
1
Fi 外 ⋅ dri + ∫
∑
j
f ji ⋅ dri = ∫
A=∫
− ( H + h) −H
o H y dy
h
ρgsydy = 1 ρsg[( H + h) 2 + H 2 ]
2
6
质点所受外力F＝ 例: 质点所受外力 ＝(y2－x2)i＋3xyj，求质点由点 ＋ ，求质点由点(0,0) 运动到点(2,4)的过程中力 所做的功： 的过程中力F所做的功 运动到点 的过程中力 所做的功： (1)先沿 轴由点 先沿x轴由点 运动到点(2,0)，再平行 轴由点 先沿 轴由点(0,0)运动到点 运动到点 ，再平行y轴由点 (2,0)运动到点 运动到点(2,4)； 运动到点 ； (2)沿连接 沿连接(0,0)，(2,4)两点的直线； 两点的直线； 沿连接 ， 两点的直线 (3)沿抛物线 ＝x2由点 沿抛物线y＝ 由点(0,0)到点 到点(2,4)(SI单位制 单位制). 沿抛物线 到点 单位制 解:
Mm F = −G r 3 r
dr
Mm dA = −G 3 r ⋅ dr r 1 r ⋅ dr = d ( r ⋅ r ) = rdr 2
F
r21
F/Βιβλιοθήκη r/ 21r2
m
r1
M
Mm dA = −G 2 dr r
− GMm − GMm Mm )−( ) ∴ A = − ∫ G 2 dr = − ( r1 r2 r1 r
2
1
1 d ( miυ i2 ) 2
A外 + A内 = Eik2 − Eik1 i i
对 i 求和
∑
i =1
n
( Ai外 + Ai内 ) = ∑ E ik 2 − ∑ E ik 1
i =1 i =1
n
n
A 外 + A内 = E k 2 − E k 1
所有外力和内力对质点系所做功之和等于质点系 所有外力和内力对质点系所做功之和等于质点系 总动能的增量。 总动能的增量。——质点系的动能定理 质点系的动能定理
∂ ∂ ∂ F = −( i + j+ k )E p ∂x ∂y ∂z
F = −∇ E p
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平衡位置: 势能曲线斜率为零处，质点受力为零.这 平衡位置 势能曲线斜率为零处，质点受力为零 这 些位置即为平衡位置. 些位置即为平衡位置
Ep Ep Ep
0
x0
x
0
x0
x
0
x0
x
稳定平衡
不稳定平衡
随遇平衡
∫
r2
r1
F保 ⋅ dr = − ( E p 2 − E p1 ) = − ∆ E P
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或
F保 ⋅ dr = − dE p
保守力的功等于系统势能增量的负值。 保守力的功等于系统势能增量的负值。
E p1 =
∫
r2
r1
F保 ⋅ dr + E p 2
零点 p
若选定势能零点为 Ep2=0
Ep = ∫
F保 ⋅ dr
F ⋅ dr = − dE P (r )
dE P ( x , y , z ) = − ( Fx dx + F y dy + Fz dz )
若保持y， 不变， 若保持 ，z 不变， 则dy＝dz＝0 ＝ ＝
F ( x) = − ∂E p ∂x
∂E p ∂E p ∂E p
i− j− k F = F x i + F y j + Fz k = − ∂x ∂y ∂z
1 E k = mυ 2 令 2 2 2 1 F ⋅ dr = ∫ d ( m υ 2 ) ∫1 1 2 2 1 1 2 F ⋅ d r = m υ 2 − m υ 12 ∫1 2 2
•Ek是状态量，相对量， 是状态量，相对量， 与参照系的选择有关 。
合力对质点作的功等于质点动能的增量 合力对质点作的功等于质点动能的增量
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一轻弹簧一端系于固定斜面的上端， 例: 一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连着 质量为m的物块 物块与斜面的摩擦系数为µ 的物块， 质量为 的物块，物块与斜面的摩擦系数为µ ，弹簧 的劲度系数为k，斜面倾角为θ，今将物块由弹簧的 的劲度系数为 ，斜面倾角为θ 自然长度拉伸l后由静止释放 后由静止释放， 自然长度拉伸 后由静止释放，物块第一次静止在什 么位置上？ 么位置上？ 以弹簧、 解: 以弹簧、物块和地球为系统 取弹簧自然伸长处为原点， 取弹簧自然伸长处为原点， 且弹性势能和重力势能零点 功能原理
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五、势能曲线
将势能随相对位置变化的函数关系用一条曲 线描绘出来，就是势能曲线。 线描绘出来，就是势能曲线。
Ep(h) Ep(l)
h 0 (a) Ep(r) 0 r （c） ） 0 (b)
l
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(1)质点在轨道上任意位置时， 质点在轨道上任意位置时， 质点在轨道上任意位置时 质点系所具有的势能值。 质点系所具有的势能值。 (2) 势能曲线上任一点钭率的负值， 势能曲线上任一点钭率的负值， 表示质点在该点处所受的保守力。 表示质点在该点处所受的保守力。
∑
i =1
n
( Ai外 + Ai内保 + Ai内非 ) = ∑ E ik 2 − ∑ E ik 1
i =1 i =1
n
n
Ai内保 =
∫
i2
i1
Fi内保 ⋅ dri = − ( E ip 2 − E ip 1 )
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∑
i =1
n
( Ai外 + Ai内非 ) = ∑ ( E ik 2 + E ip 2 ) − ∑ ( E ik 1 + E ip1 )
i =1 i =1
n
n
机械能） 若引入 E=Ek+Ep (机械能） 则可得 机械能
A 外 + A内非 = E 2 − E 1 dA 外 + dA 内非 = dE
系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守 力功之和。 力功之和。 运用功能原理解题时，应先指明系统的范围， 运用功能原理解题时，应先指明系统的范围， 并确定势能零点. 并确定势能零点
a
b
z2 a x z1 0
b y
= ∫ ( − mgk ).(d xi + d yj + dzk )
a
b
mg
=∫
z2
z1
− mgdz
A = − (mgz2 − mgz1 )
重力的功只由质点始、末位置来决定，而与 重力的功只由质点始、末位置来决定， 所通过的路径无关. 所通过的路径无关
3
2. 万有引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M 所在处为原点,M指向 的方向为矢径的正方向。 指向m的方向为矢径的正方向 所在处为原点 指向 的方向为矢径的正方向。m 受的引力方向与矢径方向相反。 受的引力方向与矢径方向相反。
• 重力势能： 重力势能： 选地球表面为势能零点
Ep 重 = mgz
•万有引力势能 万有引力势能: 万有引力势能 通常选两质点相距无限远时的势能为零. 通常选两质点相距无限远时的势能为零
Ep 万 = ∫
∞ r