07递归
简述递归算法的执行过程
简述递归算法的执行过程摘要：1.递归算法的定义和基本原理2.递归算法的执行过程3.递归算法的应用实例4.递归算法的时间复杂度和优化方法5.总结正文：递归算法是一种自调用算法，通过将问题分解为更小的子问题来解决问题。
它在计算机科学和数学领域中广泛应用，具有可读性和实用性。
下面详细介绍递归算法的执行过程、应用实例、时间复杂度和优化方法。
一、递归算法的定义和基本原理递归算法是一种算法，它通过将问题分解为更小的子问题来解决问题。
这些子问题与原始问题具有相似的特征，从而使得算法可以通过重复调用自身来解决这些子问题。
在递归算法中，有一个基本情况（base case）和递归情况（recursive case）。
基本情况是问题规模足够小，可以直接给出答案的情况；递归情况则是将问题分解为更小的子问题，并重复调用算法本身来解决这些子问题。
二、递归算法的执行过程1.初始化：定义问题的初始条件，通常是基本情况。
2.判断基本情况：如果问题规模足够小，直接给出答案。
3.划分问题：将问题分解为更小的子问题，并确保这些子问题与原始问题具有相似的特征。
4.递归调用：将子问题传递给算法本身，重复执行步骤1-3，直到基本情况出现。
5.合并结果：将递归调用返回的结果合并，得到最终答案。
三、递归算法的应用实例1.计算阶乘：递归算法可以用于计算一个正整数的阶乘。
例如，计算5的阶乘：```def factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n-1)```2.计算Fibonacci 数列：递归算法可以用于计算Fibonacci 数列。
例如，计算第n个Fibonacci 数：```def fibonacci(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```四、递归算法的时间复杂度和优化方法1.时间复杂度：递归算法的时间复杂度通常为O(2^n)，其中n为问题的规模。
线性递归数列
第２ ２卷 第 ２期
２０ ０ ２年 ６月
承 德 民族 师专 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｅ ｇ ｅＴｅ ｃ ｅ ｓＣｏｌｇ ｏ ｏ ａｉｉｓ ｏ ｒ ａ ｆＣｈ ｎ ｄ ａ ｈ ｒ ｌ ｅｆ ｒＮａ ｉｎ ｌ ｅ ｅ ｔ ｔ
其中 ｎ ∈Ｎ， Ｐ ，… ｐ 是 常 数 且 ｐ ≠ ０则 称 ｐ， ｋ ｋ
｛ 为 ｋ阶线 性 递 归 数 列 ． １ 叫 ｛ 的递 归 方 程 ． ａ｝ （） ａ｝
ｂ 一 ｃ Ｕ １ 十 Ｃ ｖ ２ ＋ … ＋ Ｃ ｗ 一 ｋ
其 特 征 方程 为
ｘ 一 ｐ ｘ 一 １ ＋ ｐ２ ＋ … ＋ ｐｋ ｘ一
数列 ， 递 归 方程 为 其
Ｓ ＋ ＋１ ｎｋ 一 （ １＋ Ｐ１ Ｓ ＋ ＋ ）ｎｋ （２ ｐ 一 Ｐ１ Ｓ ＋ —ｌ ） ｎ ｋ ＋ … ＋ （ — Ｐｋ １ ｓ ＋ｌ Ｐ Ｓ ｐｋ — ） — ｋ
收 稿 日期 ： ０ １ １ — １ ２０— １ ９
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ２ １２ ．
Ｊ ｎ ２ ０ ｕ ．０ ２
线 性 递 归 数 列
陈 军
（ 德 民族 师 专 数 学 系 ， 河北 承 德 承 ０７ ０ ） ６ ０ ０
摘 要 ： 论 线性 递 归￣ ７ 的性 质 ， 讨 ｃ， １ 由递推 公 式和特 征 方程 解的 情 况得 出通项 公 式 。
是 由 （ ） 定 的数 列 。 １确
ｗ — ｐ１ ＋ 一１ Ｐ２ ＋ｋ ２ … ＋ｋ ｗ ｋ ＋ ｗ 一 ＋
＋ ｐＫ Ｗ
以 Ｃ， ， Ｃ Ｃ … 分别 乘 以 （ ） ３ 的各 式再 相 加 ， 得
ＣＵ＋ ＋ Ｃｖ＋ ＋ … ＋ ＣＷ ＋ ＝ Ｃ ［ １ ｎｋ１ １ｎｋ ２ ｋ ｋ ｋ ｌｐ ａ＋ 一 ＋
递归法求原点矩
ｊ 一 注： 萎 】 意
， ｔ
注 ：用递归法还可 以得到其它一些 离散随 机变 量的高阶原点矩 的直接计算公式或递推公式 。
２ 几何分布的 原点 矩的递推公式
（ ）
＋。
ｋ ＋Ｐ。 Ｐ ＋
＝
蒌 ’ ｃ － ｃ ＋ ： ： 萎
艺： ＋ ｃ ～ ｃ 妻： ＋ ’ ～ ｋ
Ｐ ＝ ） 而・ ｏ１ … 。 （＝ 百 ≈ ＇．
Ｉ ｌ１－ ， 口
求 的ｎ 阶原点矩 ＝ 村 解 ：如果 用特 征函数法 ， 有 的特征 函数
川 ＝
＝砉 １ ＝１ 击［ ＝。 砑 爵 去
商
＋
南砉 南 ｌ ＋ ＋ ａ ａ
ｌ ＋“
ｗ ｏ
设随机变量 遵从几何分 布律 ： Ｐ ｐ ＝ ＝ ． （＋ ；． ＜．＝ … “ ＾ （ ） ｑ Ｐ Ｊ ｑ １ ｑ １ ０ ） ， ０ ｋ １ ２ 引文 （ ） １ 得到 了含导数形式 的高阶原点矩的递推公式 ：
＝ｑ
＝
。 ． ＋
＝
薹 ｌ ） …ｃ ＋ ＋ ：
＋） ． １ｐ
Ｉ＿ 』 ■ Ｔ ｕ ｙ
ｃ 一ｐ ＋＋ ： 七 。 ｌ ａ
Ｉ； ｎ … ’● ｎ
于 的 阶 点 是， 二 原 矩为ｒ： ： ； ＋ ） ￡ ＇ 』
当然可以继续求 下去，不过 ，求三阶 以后 的各 阶导数值 时 ，是 非常麻烦的。所 以 ，下面改 用递 归法求 的 ｎ 阶段原点矩 公式 。 首先 ，用数学 归纳法证明递归关 系
ｆＯ 得 ｉ（ 求 的 阶原 矩 ） Ｋ 点
丁
一
。
但 是 ，同予 计算中高阶 导数
＝
＋ ～ｋ ｌ Ｐ Ｉ￣ ｖ＋
07DFS BFS及剪枝问题
第 7 章 DFS 与 BFS 以及剪枝问题
图 7.1
分析 局面估价函数：给每个局面 State 规定一个估价函数值 f，评价它对于己方的有 利 程 度 。胜 利 者 的 估 价 函 数 值 为 正 无 穷 ，而 失 败 者 的 估 价 函 数 值 为 负 无 穷 。假 设 没 有 和局。 终结局面：如果双方都不能走，显然胜负已分。这就是最单纯的极大极小算法 对于一个局面，递归计算它所有子局面的估价函数值。
NewState:= DoMove（state, move）; Value:=minmax（NewState,Next（Player））; if Value<min then min:=value; if Value>max then max:=value; end; If Player=MyProgram then minmax:=max; If Player=Opponent then minmax:=min; End; End;
主观估价值 所有的 f 值不是正无穷就是负无穷。如果双方都采用最优策略，任意局面都是必胜的 或必败的。但是在实际比赛中，完整地计算出一个局面的 f 值计算量太大，通常规定计算 的最大递归深度 maxDepth，如果达到了该深度，f 值就是按照某种主观方法得出的估价值。 只需要在过程参数里加上一个 depth，当 depth 比较大的时候直接把局面估价函数作为 minmax 的返回值。
struct SnakeAndLadder {
int from,to; };
接下来要考虑的是解决问题的方法。贪心算法被否定之后，我们的选择可能会是搜索， 对于本题所采用的搜索显然应该以广度优先的方式进行，但是稍加分析我们就会发现如果 单纯地采用广度优先搜索会产生许多重复的结点，现在我们将指示物处于某格的结点简称 为结点 X，那么比如在例 1 中，第 1 步过后，队列中存放的结点是 2，23，4，16，6，7， 在第二步时，当结点 2 成为扩展结点时将生成结点 23、4、16、6、7、8，其中只有 8 不存 在于当前活结点队列中，即使加以判断，不把重复的结点再次加入队列中，那至少也需要 对活结点队列进行搜索。实际上我们完全有更好的方法。
归并排序课件
向
减少递归次数的方法
添加 标题
减少递归次数：在归并排序中，递归次数过多会导 致算法效率降低。可以通过优化算法来减少递归次 数，从而提高算法效率。
添加 标题
优化递归算法：在归并排序中，递归算法是关 键。可以通过优化递归算法来减少递归次数。 例如，可以使用迭代算法代替递归算法，或者 在递归过程中使用记忆化技术来避免重复计算。
添加 标题
减少比较次数：在归并排序中，比较次数过多 也会导致算法效率降低。可以通过优化比较算 法来减少比较次数。例如，可以使用哈希表等 数据结构来快速查找元素，从而减少比较次数。
添加 标题
优化数据结构：在归并排序中，数据结构的选择也 会影响算法效率。可以选择适合归并排序的数据结 构，例如使用平衡二叉树等数据结构来存储待排序 的元素，从而减少比较次数和递归次数。
归并排序算法在文件系统中的实 现细节
内存中的排序算法
归并排序算法的时间复杂度
归并排序算法的空间复杂度
归并排序算法的原理
归并排序算法与其他排序算 法的比较
并行计算中的排序算法
并行计算中的归 并排序算法
并行计算中的快 速排序算法
并行计算中的堆 排序算法
并行计算中的希 尔排序算法
归并排序的改进方
07
归并排序适用于 链表：归并排序 可以适用于链表 数据结构，但需 要做一些修改。
归并排序的实现过
03
程
合并两个有序列表
归并排序的基本思想 合并两个有序列表的步骤 合并过程中需要注意的问题 合并后的有序列表的特点
递归合并更小的有序列表
递归分解：将待排序的序列不 断分解为更小的子序列
合并有序：将分解后的有序子 序列合并成一个有序序列
2007福建专升本真题C语言含答案
07年专升本C一、单向选择题（本大题共30小题，每小题2分，共60分）在每一小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，请将正确答案代码填写在答题纸相应的位置上。
写在试卷上不得分。
1. 下列选项中，合法的C语言关键字是______。
A. VARB. cherC. integerD. default2. 若a为int类型，且其值为3，则执行完表达式a+=a-=a*a后，a的值是______。
… .A. -3 B. 9 C. -12 D. 6a=a-a*a a=3-9=-6 a=a+a a= - 123. 设x、y、t均为int型变量，则执行语句：x=y=3;t=++x || ++y;后，y的值为______。
A. 不定值B. 4C. 3D. 1注意题目问的是y的值，++y没有算。
4. 有以下程序段int k=0while(k=1)k++; 注意k=1不是k= =1while 循环执行的次数是______。
A. 无限次B. 有语法错，不能执行C. 一次也不执行D. 执行1次5. 以下程序执行后sum的值是______。
main(){ int i , sum;for(i=1;i<6;i++) sum+=i; 注意没有初值printf("%d\n",sum);}A. 15B. 14C. 不确定D. 06. 若变量a是int类型，并执行了语句：a=’A’+1.6；，则正确的叙述是______。
A. a的值是字符CB. a的值是浮点型C. 不允许字符型和浮点型相加D. a的值是’A’的ASCII值加17. 下列字符中,ASCⅡ码值最小的是______。
A. AB. aC. ZD. x8. 不能把字符串:Hello!赋给数组b的语句是______。
A. char b[10]={'H','e','l','l','o','!'};B. char b[10];b="Hello!";P257C. char b[10];strcpy(b,"Hello!");D. char b[10]="Hello!";9. C语言中运算对象必须是整型的运算符是______。
算法设计与分析实验报告
本科实验报告课程名称：算法设计与分析实验项目：递归与分治算法实验地点：计算机系实验楼110专业班级：物联网1601 学号：2016002105 学生姓名：俞梦真指导教师：郝晓丽2018年05月04 日实验一递归与分治算法1.1 实验目的与要求1．进一步熟悉C/C++语言的集成开发环境；2．通过本实验加深对递归与分治策略的理解和运用。
1.2 实验课时2学时1.3 实验原理分治（Divide-and-Conquer）的思想：一个规模为n的复杂问题的求解，可以划分成若干个规模小于n的子问题，再将子问题的解合并成原问题的解。
需要注意的是，分治法使用递归的思想。
划分后的每一个子问题与原问题的性质相同，可用相同的求解方法。
最后，当子问题规模足够小时，可以直接求解，然后逆求原问题的解。
1.4 实验题目1．上机题目：格雷码构造问题Gray码是一个长度为2n的序列。
序列无相同元素，每个元素都是长度为n的串，相邻元素恰好只有一位不同。
试设计一个算法对任意n构造相应的Gray码（分治、减治、变治皆可）。
对于给定的正整数n，格雷码为满足如下条件的一个编码序列。
（1）序列由2n个编码组成，每个编码都是长度为n的二进制位串。
（2）序列中无相同的编码。
（3）序列中位置相邻的两个编码恰有一位不同。
2．设计思想：根据格雷码的性质，找到他的规律，可发现，1位是0 1。
两位是00 01 11 10。
三位是000 001 011010 110 111 101 100。
n位是前n-1位的2倍个。
N-1个位前面加0，N-2为倒转再前面再加1。
3．代码设计：}}}int main(){int n;while(cin>>n){get_grad(n);for(int i=0;i<My_grad.size();i++)cout<<My_grad[i]<<endl;My_grad.clear();}return 0;}运行结果：1.5 思考题（1）递归的关键问题在哪里？答：1.递归式，就是如何将原问题划分成子问题。
同直径圆形片条带剪切排样的递归算法
计 算 机 辅 助 排 样 是 计 算 机 辅 助 设 计 与 制 造 （Ａ Ｃ Ｃ Ｄ／ ＡＭ） 术 的重 要 分 支 之 一 ， 广 泛 地 应 用 技 它
出应用 多级 方式 ， 通过 递归算 法 生成最 优多 级方 式 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
于线材 、 卷材 和板材 的分割排 样 ， 过 提供 高质量 的 通 排 样 方案 ， 到节 约原 材料 ， 低 产 品成本 的 目 达 降
ＺＨＡＯ ｎ ｆ ｎ ＹＡＮＧ ｎ ＣＵＩ Ｙａ — ｏ ｇ， Ｘｉ —ａ ｇ， Ｙｉ ｇ， ｏ ｄ ｎ ＹＵ ｎ Ｐｅ ｇ
（ 广西 师范大 学计 算机科 学 系 ， 西桂林 ５ １ ０ ） 广 ４ ０ ４
（ ｐ ｒｍｅ ｔ ｆＣ ｍ ｐ ｔｒＳ ｉｎ ｅ Ｄｅ ａｔ ｎ ｏ ｕ ｅ ｃｅ ｃ ，Ｇｕ ｎ ｘ ｒ ａ Ｕｎｖ ｒｉ Ｇｕｌ Ｇｕ ｎ ｘ ， ４ ０ ４， ｉａ ｏ ａｇ ｉ Ｎｏ ｍ ｌ ｉｅｓｔ ｙ， ｉｎ， ａ ｇ ｉ５ １ ０ Ｃｈｎ ） ｉ 摘 要 ： 用 简 单 的 多级 排 样 方式 和递 归 方 法 ， 出一 种 新 的 解 决 同直 径 圆形 片 条 带 剪 切 排 样 问 题 的 递 归 算 法 ， 采 提
ｉ ｒａ ｅ ｙ １ ｎｃ ｅ ｓ ｓ ｂ ．２３ ， ｎ ｆ ｒ ｙ— ｉｅ ｔｏ ａ ｕ ｙ ２．０ ． ｈ ｓ ａｇｏ ｉｈ ｓ ｅ ｆ ｉｎ ｏ ｈ ｉ ａ ｄ ｏ ｄ ｒ ｃ ｉｎ ｌｙｏ ｔ ｂ １ Ｔ ｉ ｌ ｒｔ ｍ ｉ ｆｉ ｅ ｔ ｂ ｔ ｎ ｃ ｍ ａ ｅ ｉｌｕ ａ ｎ ｎ ｃ ｍ ｐ ａ ｉ ｉ ｅ， ｎ ａ ｓ ｄ ｔ ｕ ｄ ｒ ｃ ｉｅ ｔ ｒａ ｓ ｇｅａ ｄ ｉ ｏ ｕｔ ｔ ｏｎ ｔｍ ａ ｄ ｃ ｎ ｂｅ ｕ ｅ ｏ ｇ ｉ ｅ ｐ ａ ｔｃ ． Ｋｅ ｒ ： ｗｏ ｄ ｍ ｅ ｓｏｎ ｌｃ ｔｉ ｇ， ｕ ｔｎ ｔ ｃ ｃｒ ｕ ａ ｌｎｋｓ ｒ ｃ ｓｖ ｌ ｏ ｉｈｍ ｙ ｗｏ ｄｓ ｔ — ｉ ｎ ｉ ａ ｕ ｔｎ ｃ ｔ ｉｇ ｓ ｏ ｋ， ｉｃ ｌ ｒｂ ａ ， ｅ ｕｒ ｉｅ ａｇ ｒｔ
concepts nrec设计原理
concepts nrec设计原理引言概述：在计算机科学领域，Concepts NRec是一种设计原理，它旨在提供一种规范化的方法来处理非递归的概念。
本文将介绍Concepts NRec的设计原理，包括其背景、主要特点以及应用领域。
通过深入了解Concepts NRec，我们可以更好地理解其在计算机科学领域中的重要性和应用。
正文内容：1. 背景1.1 概念的重要性- 概念是计算机科学中的基本概念，它们用于描述和组织计算机系统中的数据和操作。
- 概念的准确定义对于开发高效和可靠的计算机系统至关重要。
1.2 递归和非递归概念- 在计算机科学中，递归概念是指可以通过自身的定义来描述的概念。
- 非递归概念是指不能通过自身的定义来描述的概念。
2. Concepts NRec的主要特点2.1 非递归概念的处理- Concepts NRec提供了一种规范化的方法来处理非递归概念，使其能够被计算机系统理解和处理。
- Concepts NRec使用一种特殊的语法和语义来描述非递归概念，从而使其能够在计算机系统中被准确地表示和操作。
2.2 概念的组合和扩展- Concepts NRec允许将多个概念组合起来形成新的概念，从而实现对复杂问题的建模和求解。
- Concepts NRec还支持对概念进行扩展，使其能够适应不同应用领域的需求。
2.3 概念的重用和共享- Concepts NRec鼓励概念的重用和共享，以提高软件开发的效率和质量。
- 通过定义和描述通用的概念，可以在不同的应用中重复使用这些概念，从而减少开发工作量和提高代码的可维护性。
3. Concepts NRec的应用领域3.1 软件开发- Concepts NRec可以用于软件开发中的需求分析、系统设计和编码等环节，提高开发效率和代码质量。
- 通过使用Concepts NRec，开发人员可以更好地理解和描述系统中的非递归概念，从而减少错误和提高系统的可靠性。
递归算法题目
《递归算法题目》
同学们，今天咱们来聊聊递归算法题目。
啥是递归算法呢？简单说，就是一个函数自己调用自己。
听起来有点绕，对吧？别担心，咱们通过例子来理解。
比如说，计算阶乘。
咱们要算 5 的阶乘，也就是5! 。
正常算法是
5×4×3×2×1 ，那用递归算法呢，就是这样：先定义一个函数，假设叫factorial ，如果要算n 的阶乘，当n 等于0 或者 1 时，结果就是 1 ；如果n 大于 1 ，那结果就是n 乘以factorial(n - 1) 。
再比如，计算斐波那契数列。
这个数列前两个数是0 和 1 ，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
用递归算法，咱们也能搞定。
那为啥要学递归算法呢？因为它能让一些复杂的问题变得简单。
就像走迷宫，有时候直接往前走找不到出口，但是退一步，换个角度，可能就柳暗花明啦。
不过，递归算法也有它的小麻烦。
要是不小心，可能会陷入无限循环，就像在一个圈圈里一直转，出不来啦。
那怎么才能做好递归算法的题目呢？首先，得把问题分析清楚，搞明白啥时候该停止递归。
然后，要仔细设计递归的条件和步骤。
同学们，递归算法就像一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。
只要咱们多练习，多思考，就一定能掌握它，让它为咱们的编程之路助力！
加油吧，同学们，相信你们都能搞定递归算法题目！。
递归算法的实现教学设计
《递归算法的实现》教学设计海南省儋州市那大二中刘其政一、教材分析“算法的程序实现”是高中信息技术教育科学出版社《算法与程序设计》选修模块第三单元的内容，本节课是“递归算法的程序实现”，前面学习了用解析法解决问题、穷举法解决问题、在数组中查找数据、对数进行排序以及本节的前一小节知识点“什么是自定义函数”的学习，在学习自定义函数的基础上，学习递归算法的程序实现是自定义函数的具体应用，培养学生“自顶向下”、“逐步求精”的意识起着重要的作用。
二、学情分析教学对象是高中二年级学生，前面学习了程序设计的各种结构，在学习程序设计各种结构的应用过程中,培养了用计算机编程解决现实中的问题，特别的学习循环语句的过程中，应用了大量的循环结构进行“递推”算法。
前一节课学习了如何自定义函数，在此基础上学习深入学习和体会自定义函数的应用。
以递推算法的逆向思维进行求解问题，在学习过程中体会递归算法的思想过程。
多维度的思考问题和解决问题是提高学生的学习兴趣关键。
三、教学三维目标知识与技能：1、理解什么是递归算法，学生用递归算法的思想分析问题2、能够应用自定义函数方法实现递归算法的编程过程与方法：学生参与讨论，通过思考、动手操作，体验递归算法的方法情感态度与价值：结合数学中的实例，激发学生的数学建模的意识，培养学生多维度的思考问题和解决问题。
四、教学重点与难点重点：理解什么是递归算法，学生用递归算法的思想分析问题应用自定义函数方法实现递归算法的编程难点：应用自定义函数方法实现递归算法的编程五、教学策略教递归算法的实现思想是比较抽象，比较理论化的教学内容。
本着培养学生的发现问题、分析问题、解决问题的意识与能力入手。
知识主要是靠学生学会的，学习就是发生在学生头脑的建构。
因此，教师必须明确学生是学习的主体，研究学生学习的真实心理活动，分析其认识过程、机制及心智变化。
确定教学方法。
六、教学环境网络教室，教学软件VB，大屏幕投影,音响播放视频七、教学资源准备从本学科的特点（学生可能不会花太多的时间进行知识的记忆和拓展学习）、学生的认知水平及学习心理特征（做自己可能做到的事，如果感觉到繁杂自己很难实现可能会放弃），为更好的激发学生的学习动机与信心，为保持学生的学习激情，不可能每位同学都喜欢程序设计，可能因素比较多，特此在教学过程中我设计了学生学习支持材料（智能化半成品加工程序），目的是为了学生在有限的课堂中能清楚的了解算法与程序设计思想和方法。
24点规律总结(一)
24点规律总结(一)前言•24点是一种数学智力游戏，通过组合四个数字使用加、减、乘、除等数学运算符得出结果为24的过程。
•在此篇文章中，我们将探索24点规律，并提供一些相关的解决方法和技巧。
正文24点规律简介•24点规律是一种基于四则运算的数字游戏。
•游戏目标是将四个数字通过加、减、乘、除等运算符组合起来得出结果为24。
常用的解决方法以下是一些常用的解决方法，供您参考：方法一：试错法1.将输入的四个数字随机排列，例如：2、3、4、5。
2.随机选择两个数字进行运算，例如：2+3。
3.计算结果，并将结果和剩下的两个数字继续进行运算。
4.直到得到结果为24，或者无法得到结果为24时，重新选择两个数字进行运算。
5.重复以上步骤，直到找到结果为24的组合。
方法二：递归法1.将输入的四个数字随机排列，例如：2、3、4、5。
2.从左到右选择两个数字和运算符进行运算，例如：2+3。
3.将计算结果作为新的数字，和剩下的两个数字继续使用相同的方法进行运算。
4.直到得到结果为24，或者无法得到结果为24时，重新选择两个数字进行运算。
5.重复以上步骤，直到找到结果为24的组合。
Tips与技巧以下是一些技巧，可以帮助您在解决24点游戏时更加高效：•优先使用乘法和除法，因为它们会产生更大的数值。
•如果有负数，可以通过将负号移到括号内解决。
•使用括号可以改变运算顺序，从而得到不同的结果。
•如果无法找到结果为24的组合，可以尝试将球数换成更多个数字，例如5个或6个。
结尾通过本文，我们了解了24点规律的基本原理，并提供了一些解决方法和技巧。
希望这些内容能帮助您在解决24点游戏时取得更好的成绩。
挑战自我，享受智力游戏的乐趣吧！前言•24点是一种数学智力游戏，通过组合四个数字使用加、减、乘、除等数学运算符得出结果为24的过程。
•在此篇文章中，我们将探索24点规律，并提供一些相关的解决方法和技巧。
正文24点规律简介•24点规律是一种基于四则运算的数字游戏。
化妆品分类规则和分类目录
化妆品分类规则和分类目录第一条为规范化妆品生产经营活动，保障化妆品的质量安全，根据《化妆品监督管理条例》及有关法律法规的规定，按照化妆品的功效宣称、作用部位、产品剂型、使用人群，同时考虑使用方法，制定本规则和目录。
第二条本规则和目录适用于在中华人民共和国境内生产经营化妆品的分类。
第三条化妆品注册人、备案人应当根据化妆品功效宣称、作用部位、使用人群、产品剂型和使用方法，按照本规则和目录进行分类编码。
第四条化妆品应当按照本规则和目录所附的功效宣称、作用部位、使用人群、产品剂型和使用方法的分类目录（附表1—5）依次选择对应序号，各组目录编码之间用“-”进行连接，形成完整的产品分类编码。
同一产品具有多种功效宣称、作用部位、使用人群或者产品剂型的，可选择多个对应序号，各序号应当按顺序依次排列，序号之间用“/”进行连接。
第五条化妆品应当根据功效宣称分类目录所列的功效类别选择对应序号，功效宣称应当有充分的科学依据。
第六条作用部位应当根据产品标签中的具体施用部位合理选择对应序号。
宣称作用部位包含“眼部”或者“口唇”的化妆—1 —品，编码中应当包含对应序号，并按照“眼部”或“口唇”化妆品的安全性和功效宣称要求管理。
第七条宣称使用人群包括“婴幼儿”“儿童”的化妆品，编码中应当包含对应序号，并按照“婴幼儿”“儿童”化妆品的安全性和功效宣称要求管理。
第八条使用方法同时包含淋洗和驻留的，应当按驻留类化妆品选择对应序号，并按照驻留类化妆品的安全性和功效宣称要求管理。
第九条功效宣称、作用部位或者使用人群编码中出现字母的，应当判定为宣称新功效的化妆品。
第十条包含两个或者两个以上必须配合使用或者包装容器不可拆分的独立配方的化妆品，按一个产品进行分类编码。
第十一条本办法自2021年5月1日起施行。
附表：1.功效宣称分类目录2.作用部位分类目录3.使用人群分类目录4.产品剂型分类目录5.使用方法分类目录—2 —附表1功效宣称分类目录—3 ——4 —附表2作用部位分类目录—5 —附表3使用人群分类目录—6 —附表4产品剂型分类目录—7 —附表5使用方法分类目录1.递归基本概念所谓递归，简而言之就是应用程序自身调用自身，以实现层次数据结构的查询和访问。
例外信息
69：BOM组件可能是递归的，即自己的子集中包括了自己。
02：订单创建日期在过去，可能是没有及时处理，这个建议表明希望计划员尽快转化计划订单。
05：采购申请或者采购订单的创建日期落在了过去，就会显示该例外。
第二类（02）：03：订单开始日期在过去，可能是没有及时处理06：订单建议的开始日期落在了过去，需要计划员处理。
63：生产日期，早于订单的开始日期。
这个原因是由于物料主数据中维护的生产周期和工艺路线排产中得出的日期不一致导致的。
第三类（03）：04：订单结束日期在过去；需要计划员检查向前向后的调度方式，确定是否重新计划。
07：订单建议的结束日期在过去；由计划员确定是否重新计划。
64：生产在订单的完成日期之后完成。
导致的原因和63类似，需要计划员检查物料主数据和工艺路线中的数据是否一致。
第四类（04）：01：例行提示，告诉你此订单已由系统自动改变，适用于没有作过任何处理的订单42：订单的建议已经被系统改变，用于数量的变化44：订单建议所依赖的BOM被重新定义。
46：订单建议被人工修改。
61：对于调度，后台定制不一致。
62：主数据不一致，检查看是否自制件没有工艺路线80：和零售的增加相关；检查订单建议，因为需求是由于零售的增加引起的。
82：采购订单的行项目被锁定。
检查是否可以解锁、第五类（05）：50：没有BOM。
需要创建BOM。
52：没有BOM被系统选中。
检查BOM在当前时间是否有效。
53：由于缺少特性值BOM无法展开。
常见于该物料是可配置的。
通常和52是一起显示的。
55：BOM展开的时候，虚拟装配无法被激活。
检查BOM。
25：库存水平超出了最大库存水平。
只是在库存按照动态安全库存的计算逻辑计算的时候才会出现这个例外。
26：库存水平超过了单个段。
通常这是和物料主数据中的计划策略相关的，比如：按订单生产，客户要求减少销售订单的量时会产生该例外。
40：没有被主计划覆盖，检查物料可用性检查逻辑。
56：在计划时界内短缺。
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分形几何
分形的一般技术： 逃逸时间分形：由空间 （如复平面）中每一点 的递推关系式所定义 迭代函数系统：分形都 有固定的几何替代规则 随机分形：由随机而无 确定过程产生 奇异吸引子：以一个映 射的迭代或一套会显出 混沌的初值微分方程所 产生。
（华东）
斐波那契数列
例：砖头的大小为1x2，要把砖头摆成1排，要求高 度为2，长度为n（n≥1），请找出可能的排法 解：这是一个斐波那契数列，其摆法如下
n=1，需1块砖 n=2，需2块砖
n块砖的摆法等于 n-1、n-2块砖的摆 法之和
n=3，需3块砖
n=4，需4块砖
（华东）
斐波那契数列
（华东）
x1
x0
x0 x2
（2）去除点x1后，再取对称点x2
（1）取黄金分割点x0和其对称点x1
（华东）
优选法
某公司要配制一种新 型饮料，需要试验研 究加入某种化学成分 K的量。根据已往经 验，估计每100 kg饮 料大约可加入K的量 在1000～2000g之间。 如果以每10g作一次 试验，就要作100次 试验，显然不划算 用一条有刻度的纸带表示1000～ 2000g ，在纸带的1618处划一条线， 取1618g成分K加入100kg饮料中做 一次试验。然后把纸带对折，在前一 划线处（即1382）再划一线，再取 1382g成分K加入100kg饮料中，再 做一次试验。 比较两次试验的效果。如果认为 1382g的浓度较低，则在1382处把纸 带的左边一段剪掉。反之，就在 1618处剪掉右边的一段。 把剩下的纸带再对折，再划线，再做 试验，如此反复，直到满意为止。
（华东）
杨辉三角形
如果不考虑杨辉三角形的高度，那么： 任何正整数都会出现 只有1无限次出现，其他整数只出现有限次 2只出现1次，而且只出现1次的数只有2 出现2次的数很多，如3、4、5等 出现3次的数也很多，如6、20、70等 出现4次的数也很多，如10、15、21等 120出现了6次 第一个出现8次的数是3003 出现5次的数呢？还没发现 ……
（华东）
正交试验法
正交试验法是在多因素优 化试验中，利用数理统计 学与正交性原理，从大量 的试验点中挑选有代表性 和典型性的试验点，应用 “正交表”科学合理地安 排试验，从而用尽量少的 试验得到最优的试验结果 的一种试验设计方法
正交表L4(23)
行数4表示4次试验 列数3表示有3个因素 水平2表示每个因素只有2 个数字
// x -> z // x -> y // z -> y
（华东）
汉诺塔
64层的汉诺塔的移动次 数为264-1，若僧人搬动 盘子的速度为1次/秒， 那么搬动64层汉诺塔约 需5845亿年，人类也许 真的灭亡了。 舍罕王打算奖赏国际象棋 的发明人──宰相西 萨· 班· 达依尔。国王问他 想要什么，他对国王说： 达依尔要的是填满棋盘上 的格子的小麦
（华东）
汉诺塔
二十世纪福克斯公司拍摄 的《猩球崛起》，由罗 柏· 韦斯导演，于2011年8 月5日在北美上映，上译 配音版于2011年10月28 日在中国大陆上映。片中 使用汉诺塔测试猩猩的智 力。
（华东）
汉诺塔
2层汉诺塔
3层汉诺塔 4层汉诺塔 …… n层汉诺塔
动手试一试： /swf/3588.html
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（华东）
分形几何
分形（Fractal）通常被定义为 “一个粗糙或零碎的几何形状， 可以分成数个部分，且每一部 分都（至少近似地）是整体缩 小后的形状”，即具有自相似 的性质。分形一词由法国数学 家B.B.Mandelbrot于1975年创 造，现在医学、土力学、地震 学和技术分析中都有应用。
（华东）
分形几何
17世纪，数学家莱布尼茨思 考过递归的自相似，但他误 认为只有直线会自相似 1872年，卡尔· 魏尔施特拉 斯才给出一个具有处处连续 但处处不可微的函数例子 1904年，海里格· 冯· 科赫给 出了一个类似的函数，并绘 制了科赫雪花
（华东）
分形几何
1915年瓦茨瓦夫· 谢尔宾 斯基造出了谢尔宾斯基三 角形；隔年，又造出了谢 尔宾斯基地毯。 1960年代， Mandelbrot 开始研究自相似，发表了 论文《英国的海岸线有多 长？统计自相似和分数维 度》。 1975年， Mandelbrot提 出了“分形”一词。
（华东）
斐波那契数列
意大利数学家Leonardo Fibonacci（1170~1240）是第 一个研究了印度和阿拉伯数 学理论的欧洲人，120年，他 撰写出版了“Liber Abaci”， 系统介绍记账、利息、汇率 等计算问题。有人把该书翻 译为《珠算原理》，可能觉 得其中的大多数问题都来源 于中国的珠算。
（华东）
递归
递归是一种程序调用自身的编程技巧。在程序设计 中，递归广泛应用于将复杂问题转化为与之相似的 简化问题。 递归有3种应用形式：
数据是按递归定义的，如Fibonacci数列
问题解法按递归算法实现，如汉诺塔
数据的结构形式是按递归定义的，如链表
递归策略可以简化程序设计，但相对常用的算法如 普通循环等，递归算法的执行效率不高。由于递归 调用使用了系统中的栈，存在栈溢出。因此，应该 尽量避免使用递归，而转化为非递归。
（华东）
阶乘
（华东）
阶乘
问题1：请写出高斯求和问题的递归公式 解：sum(n)=n+sum(n-1) 等差、等比数列都可以用递归实现 问题2：试编程用递归实现字符串的反转 解： void reverse(char *s, int left, int right) { if(right>left) { char c=s[left]; s[left]=s[right]; s[right]=c; reverse(*s, left+1, right-1); } }
列号 1 2 3 4 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2 1
水平 试验号
（华东）
杨辉三角形
杨辉，字谦光，汉族，钱塘人， 生卒不详，著名数学家、教育家， 与秦九韶、李治、朱世杰并称宋 元数学四大家。 杨辉的著名数学书有《详解九章 算法》等共五种二十一卷，还有 《算法通变本末》等教材。
（华东）
1
杨辉三角形与谢尔 宾斯基三角形 的关系
1 1 1 1 1 1 1 10 9 45 8 36 120 7 28 6
1 1 1 4 5 15 21 56 84 210 126 252 35 70 10 20 3 6 2
1 1 3 4 10 15 35 56 126 210 84 120 21 28 36 45 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1
/subview/1816/15861619.htm
（华东）
黄金分割
（华东）
优选法
常说的优选法是指基于黄金分割法的单一因素优化 方法 优选法是美国数学家基弗于1953 年提出的，1970 年代传入我国，著名数学家华罗庚穷20年时间大力 推广，为我国农业生产做出了巨大贡献
（华东）
汉诺塔
（华东）
汉诺塔
void hanoi(int n, char x, char y, char z) { if(n>0) { hanoi(n-1, x, z, y); printf("%c->%c ", x, y); hanoi(n-1, z, y, x); } } int main() { int n; scanf("%d", &n); hanoi(n, 'A', 'B', 'C'); printf("\nEnd\n"); }
（华东）
分形几何
龙形曲线
（华东）
分形几何
（华东）
分形几何更多分形几何图形，参见百科，输入“分形几何”（华东）
本章结束……
第7章 递归
recursion
主要内容
汉诺塔 阶乘 斐波那契数列 黄金分割和优选法 杨辉三角形 分形几何
（华东）
汉诺塔
法国数学家爱德华· 卢卡斯讲述了 一个故事：在古印度的某寺院有块 黄铜板，上面固定了三根柱子，其 中一根柱子上串有64个金盘子，盘 子由下到上依次变小。僧人们根据 预言，按规则将盘子从一根柱子移 到另一根柱子：（1）每次只能移 动一个盘子；（2）大盘不能叠在 小盘上面。预言说，当这些盘子全 部移完，世界就会灭亡。这就是梵 天寺之塔问题(Tower of Brahma puzzle）