课后习题解答

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答

徐芝纶

【2-8】在图2-16中，试导出无面力作用时AB 边界上的xy

,,x y σστ之间的关系式

【解答】由题可得：

()()()cos ,cos 90sin 0,0

x y l m f AB f AB ααα==-===o

将以上条件代入公式（2-15），得：

()()()()

()

2cos sin 0, sin ()cos 0

()tan tan x yx y xy AB AB AB AB x AB yx y AB

AB

σατασαταστασα

+=+=⇒=-=

【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

x

M

图2-17

图2-18

【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。

【解答】图2-17：

上（y =0）

左(x =0) 右（x =b ）

l

0 -1 1 m

-1

() x f s

()

1g y h ρ+

()

1g y h ρ-+

() y

f

s

1

gh ρ

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：

x

图2-16

()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0;

===-+=x xy x x g y h σρτ

②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：

()

()

,0y

xy y y gh σρτ===-=

③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：

()()2

2

0,0

====y h

y h u v

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1

δ时，可求得固定端约束反力分别为：

10,,0s N F F gh b M ρ==-=

由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

()()()22210000

0b y y h b

y y h b

xy y h dx gh b xdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩

⎰⎰⎰ ⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

m

x f (s)

y f (s)

2h y =-

0 -1 0 q

2

h y =

1

-1q

-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-

②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有

/20/2/2

0/2/20

/2()()()h xy x S

h h x x N h h x x h dx F

dx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰ ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

110,x

N N

N N F F F q l F q l F ''=+=⇒=-∑ 0,0y

S S S S F

F F ql F ql F ''=++=⇒=--∑

2

211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=⇒=---∑

由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故

/21/22/2

1/2/2/2

()()22()h x x l N N

h h x x l S h h xy x l S S

h dy F q l F

q lh ql ydy M M F l dy F ql F

σστ=-=-=-⎧'==-⎪⎪⎪'==---⎨⎪

⎪'==--⎪⎩⎰⎰⎰

【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA 边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？

【解答】由于h l ?，OA 为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

(a)上端面OA 面上面力q b

x f f y x =

=,0 由于OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有

()()()0

00020000002

2120b

b b y y y b b b y y y b

yx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===⎧=-=-=-⎪⎪

⎪⎛⎫

=-=-=

⎨ ⎪⎝⎭⎪

⎪=⎪⎩

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(对OA 中点取矩) (ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y 向为正，主矩为负，则

2

qb

212

qb 图2-19

M '