九年级数学下册 28.1 锐角三角函数 单元综合测试题 新人教版
人教版九年级下册数学第二十八章 锐角三角函数含答案(综合题)
人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、当45°<θ<90°时,下列各式中正确的是()A.tanθ>cosθ>sinθB.sinθ>cosθ>tanθC.tanθ>sinθ>cosθD.cosθ>sinθ>tanθ2、当锐角A的cosA>时,∠A的值为()A.小于45°B.小于30°C.大于45°D.大于30°3、sin45°的值等于()A. B. C. D.14、正方形网格中,如图放置,则tan的值是()A. B. C. D.25、如图,以原点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα) D.(sinα,cosα)6、在直角三角形中,若各边的长度都缩小5倍,那么锐角∠A的正弦值 ( )A.扩大5倍B.缩小5倍C.没有变化D.不能确定7、如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠BAC的正切值是()A.2B.C.D.8、锐角A满足cosA=,利用计算器求∠A时,依次按键则计算器上显示的结果是()A.30°B.45°C.60°D.75°9、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,tanB=()A. B. C. D.10、如图,以为圆心,任意长为半径画弧,与射线交于点,再以为圆心,长为半径画弧,两弧交于点画射线,则的值为()A. B. C. D.11、在Rt△ABC中,已知∠C=90°,AC=3,BC=4,那么∠A的余弦值等于()A. B. C. D.12、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=2,则cosA的值是()A. B. C. D.13、如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,点N 是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN,连结A’C,则A’C长度的最小值是().A. B. C. D.214、如图,一船向正北方向匀速行驶,在C处看见正西方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,在D处看见灯塔B在南偏西60°方向上,灯塔A在南偏西75°方向上,则该船的速度应该是( )海里/小时.A.10B.5C.10D.515、如图,在梯形ABCD中,∠ABC=90º,AE∥CD交BC于E,O是AC的中点,AB=,AD=2,BC=3,下列结论:①∠CAE=30º;②AC=2AB;③S△ADC =2S△ABE;④BO⊥CD,其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④二、填空题(共10题,共计30分)16、计算:________.17、如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2 ,则S△ABC=________.18、如图,点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且∠ACB=120°,点C在第一象限,随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线y=上运动,则k的值为________.19、如图,在Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D是AC上的一点,将△ABC沿着过点D的一条直线翻折,使点C落在BC边上的点E处,连接AE、DE,当∠CDE=∠AEB时,AE的长是________.20、计算﹣2sin45°的结果是________ .21、如图,在高出海平面100m的悬崖顶A处,观测海平面上一艘小船B,测得它的俯角为30°,则船与观测者之间的水平距离约为________.(精确到1m.)22、在平面直角坐标系xOy中,点A1, A2, A3,…和B1, B2,B 3,…分别在直线y=kx+b和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,…都是等腰直角三角形,如果A1(1,1),A2(),那么点An的纵坐标是________.23、如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D,若OD=2,cos∠OAB= ,则AB的长是________.24、如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则tanA=________ .25、如图,某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B ,如果AB=2000米,则他实际上升了________米.三、解答题(共5题,共计25分)26、计算:27、如图,点A、B、C表示某旅游景区三个缆车的位置,线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆,已知A、B、C三点在同一平面内,它们的海拔高度′、BB′、CC′分别为110米、310米、710米,钢缆AB的坡度,钢缆BC 的坡度,景区因为改造缆车线路,需要从A到C直线架设一条钢缆,那么钢缆AC的长度是多少米?28、在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.现测得AC=50m,BC=100m,∠CAB=120°,请计算A,B两个凉亭之间的距离.29、在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中,某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤,并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下:如图,首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°,然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°,最后测量出A,B两点间的距离为15m,并且N,B,A三点在一条直线上,连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果,计算人民英雄纪念碑MN的高度.(参考数据:sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7)30、已知:如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于E,BE=16cm,求此菱形的周长.参考答案一、单选题(共15题,共计45分)1、C2、A4、D5、C6、C7、D8、C9、B10、D11、A12、B13、B14、A15、D二、填空题(共10题,共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题,共计25分)26、27、29、30、。
人教版九年级下册《第二十八章 锐角三角函数》单元测试卷及答案
人教版九年级下册《第28章锐角三角函数》单元测试卷(1)一、单选题1.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,则tan A的值为()A.B.C.D.2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则()A.B.C.D.3.小明沿着坡度为1:2的山坡向下走了1000m,则他下降了()A.200m B.500m C.500m D.1000m4.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC的值为()A.B.C.D.5.如图,四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,CD=2米,BC=5米,,则AB =()A.8米B.10米C.12米D.14米6.如图所示,平地上一棵树高为5米,两次观察地面上的影子,第一次是当阳光与地面成45°时,第二次是阳光与地面成30°时,第二次观察到的影子比第一次长()米.A.B.C.D.7.如图,沿AC方向修山路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=145°,BD=1000米,∠D=55°,使A、C、E在一条直线上,那么开挖点E与D的距离是()A.1000sin55°米B.1000cos35°米C.1000tan55°米D.1000cos55°米8.如图,在矩形ABCD中,F是BC中点,E是AD上一点,且∠ECD=30°,∠BEC=90°,EF=4cm,则矩形的面积为()A.16cm2B.8cm2C.16cm2D.32cm29.如图,AB是圆锥的母线,BC为底面直径,已知BC=6cm,圆锥的侧面积为15πcm2,则cos∠ABC的值为()A.B.C.D.10.如图,边长为的等边三角形AOB的顶点B在x轴的正半轴上,点C为△AOB的中心,将△AOB绕点O以每秒60°的速度逆时针旋转,则第2021秒,△AOB的中心C 的对应点C2021的坐标为()A.(0,﹣2)B.C.D.二、填空题11.计算:=.12.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则tan C的值为.13.△ABC中,∠A、∠B均为锐角,且(tan A﹣)2+|2cos B﹣1|=0,则△ABC的形状是.14.若等边三角形的边长为6,则其边心距为.15.如图,为方便行人过某天桥,市政府在10米高的天桥两端修建斜道,设计斜坡满足sin A =,则斜道AC的长度是米.16.一艘邮轮从港口P处出发,沿北偏东60°方向行驶200海里到A港口,卸货后向正南方向行驶到B港口,此时P港口在邮轮的北偏西45°方向上,这时邮轮与港口P相距海里.(保留根号)17.如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,.分别以点A,B,C为圆心,以的长为半径画弧分别与△ABC的边相交,则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)三、解答题(一)18.计算:+|1﹣cos60°|﹣2tan45°•sin60°.19.如图,点P是∠α的边OA上的一点,已知点P的横坐标为6,若tanα=(1)求点P的纵坐标;(2)求∠α其它的三角函数值.20.某路口设立了交通路况显示牌(如图).已知立杆AB高度是3m,从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°,求路况显示牌BC的长度.(结果保留根号)四、解答题(二)21.如图,小锋将一架4米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,使梯子与地面所成的锐角α为60°.(1)求梯子的顶端与地面的距离AC(结果保留根号);(2)为使梯子顶端靠墙的高度更高,小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°,则需将梯子底端点B向内移动多少米(结果精确到0.1米)?参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75.22.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点,与x轴交于C点,线段OA=5,OC=3,E为x轴上一点,且tan∠AOE=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOB的面积.23.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,∠1=∠C.(1)求证:CB∥PD;(2)若BC=3,sin∠C=,求CD的长.五、解答题(三)24.图为某货站传送货物的平面示意图,为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4m.(1)求新传送带AC的长度;(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道,试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.25.问题探究(1)如图①,⊙O的半径为10,弦AB=16,则圆心O到AB的距离为;(2)如图②,线段BC和动点A构成△ABC,已知BC=9,∠BAC=60°,过点A作BC边上的高线AD.若点D在线段BC上,求线段AD长度的最小值;问题解决(3)周老师为了增加数学学习的趣味性,设计了一个“寻宝”游戏:如图③,在平面内,线段AB长为9cm,线段AB外有一动点P,且线段PA长为7cm,又有一点Q满足PB=BQ,且∠PBQ=90°,当线段AQ的长度最大时,点Q的位置即为藏宝地.请你确定藏宝地的位置及此时藏宝地到点A的距离.人教版九年级下册《第28章锐角三角函数》单元测试卷(1)参考答案与试题解析一、单选题1.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,则tan A的值为()A.B.C.D.【考点】互余两角三角函数的关系.【分析】利用余弦的定义得到cos B==,设BC=x,AB=3x,则可求出AC=2x,然后根据正切的定义求解.【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴cos B==,设BC=x,AB=3x,则AC=2x,∴tan A===.故选:C.2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则()A.B.C.D.【考点】锐角三角函数的定义.【分析】先利用勾股定理计算出AB,然后根据锐角三角函数的定义对各选项进行判断.【解答】解:∵∠C=90°,AC=4,BC=3,∴AB==5,∴sin A=cos B==,cos A==,tan B==.故选:B.3.小明沿着坡度为1:2的山坡向下走了1000m,则他下降了()A.200m B.500m C.500m D.1000m【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.【分析】根据坡度等于坡角的正切值,以及正切的定义可设下降了x m,则水平距离为2x m,再根据勾股定理求得答案.【解答】解:由题意得,BC:AB=1:2,设BC=x m,AB=2x m,则AC==x=1000(m),解得:x=200.故选:A.4.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC的值为()A.B.C.D.【考点】圆周角定理;锐角三角函数的定义;坐标与图形性质.【分析】首先设⊙A与x轴的另一个交点为D,连接CD,根据直角对的圆周角是直径,即可得CD是直径,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,可得∠OBC =∠ODC,继而可求得答案.【解答】解:设⊙A与x轴的另一个交点为D,连接CD,∵∠COD=90°,∴CD是直径,即CD=10,∵C(0,5),∴OC=5,∴OD==5,∵∠OBC=∠ODC,∴tan∠OBC=tan∠ODC===.故选:C.5.如图,四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,CD=2米,BC=5米,,则AB =()A.8米B.10米C.12米D.14米【考点】解直角三角形的应用;勾股定理.【分析】过D作DE⊥AB于E,利用四边形DEBC是矩形,得出BE=DC,DE=BC,根据三角函数得出AD,进而利用勾股定理解答即可.【解答】解:过D作DE⊥AB于E,∴∠DEB=∠B=∠C=90°,∴四边形DEBC是矩形,∴BE=DC=2米,DE=BC=5米,∵sin A=,∴,∴AD=13(米),∴AE=(米),∴AB=AE+BE=12+2=14(米),故选:D.6.如图所示,平地上一棵树高为5米,两次观察地面上的影子,第一次是当阳光与地面成45°时,第二次是阳光与地面成30°时,第二次观察到的影子比第一次长()米.A.B.C.D.【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题;平行投影.【分析】利用直角三角形的性质得出BC,BD的长,进而得出答案.【解答】解:如图所示:∵第一次是当阳光与地面成45°,∴AB=BC=5m,∵第二次是阳光与地面成30°,∴BD==5(m),∴第二次观察到的影子比第一次长:(5﹣5)m.故选:A.7.如图,沿AC方向修山路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=145°,BD=1000米,∠D=55°,使A、C、E在一条直线上,那么开挖点E与D的距离是()A.1000sin55°米B.1000cos35°米C.1000tan55°米D.1000cos55°米【考点】解直角三角形的应用.【分析】根据已知条件可得∠E=90°,即可在Rt△BED中利用锐角三角函数即可得结果.【解答】解:∵∠ABD=145°,∴∠EBD=35°,∵∠D=55°,∴∠E=90°,在Rt△BED中,BD=1000米,∠D=55°,∴ED=1000cos55°米,故选:D.8.如图,在矩形ABCD中,F是BC中点,E是AD上一点,且∠ECD=30°,∠BEC=90°,EF=4cm,则矩形的面积为()A.16cm2B.8cm2C.16cm2D.32cm2【考点】矩形的性质.【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC,再根据直角三角形两锐角互余求出∠BCE=60°,判断出△CEF是等边三角形,过点E作EG⊥CF于G,根据等边三角形的性质求出EG,然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解.【解答】解:∵F是BC中点,∠BEC=90°,∴EF=BF=FC,BC=2EF=2×4=8cm,∵∠ECD=30°,∴∠BCE=90°﹣∠EBC=90°﹣30°=60°,∴△CEF是等边三角形,过点E作EG⊥CF于G,则EG=EF=×4=2cm,∴矩形的面积=8×2=16cm2.故选:C.9.如图,AB是圆锥的母线,BC为底面直径,已知BC=6cm,圆锥的侧面积为15πcm2,则cos∠ABC的值为()A.B.C.D.【考点】圆锥的计算;解直角三角形.【分析】先根据扇形的面积公式S=L•R求出母线长,再根据锐角三角函数的定义解答即可.【解答】解:根据题意可知:,解得AB=5cm,∵,∴.故选:B.10.如图,边长为的等边三角形AOB的顶点B在x轴的正半轴上,点C为△AOB的中心,将△AOB绕点O以每秒60°的速度逆时针旋转,则第2021秒,△AOB的中心C的对应点C2021的坐标为()A.(0,﹣2)B.C.D.【考点】坐标与图形变化﹣旋转;规律型:点的坐标.【分析】因为360°÷60°=6,推出△AOB的位置6秒一循环,而2021=6×336+5,推出第2021秒,△AOB的位置如图所示,设点C的对应点C′,过C′作C′D⊥x轴于点D,连接OC′,BC′,则∠DOC′=30°,OD=DB=,求出点B′坐标即可.【解答】解:∵360°÷60°=6,∴△AOB的位置6秒一循环,而2021=6×336+5,∴第2021秒,△AOB的位置如图所示,设点C的对应点C′,过C′作C′D⊥x轴于点D,连接OC′,BC′,则∠DOC′=30°,OD=DB=,∴DC′=OD•tan∠DOC′=×tan30°=×=1,∴C′.故选:B.二、填空题11.计算:=0.【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值,然后计算乘法,最后合并同类项,求出算式的值是多少即可.【解答】解:=4﹣3+﹣2×﹣1=1+﹣﹣1=0.故答案为:0.12.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则tan C的值为.【考点】解直角三角形.【分析】过A作AD⊥BC于D,根据正切的定义计算,得到答案.【解答】解:过A作AD⊥BC于D,在Rt△ADC中,tan C==,故答案为:.13.△ABC中,∠A、∠B均为锐角,且(tan A﹣)2+|2cos B﹣1|=0,则△ABC的形状是等边三角形.【考点】特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:偶次方.【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出各角度数,即可得出答案.【解答】解:∵(tan A﹣)2+|2cos B﹣1|=0,∴tan A﹣=0,2cos B﹣1=0,则tan A=,cos B=,故∠A=60°,∠B=60°,则∠C=60°,即△ABC的形状是等边三角形.故答案为:等边三角形.14.若等边三角形的边长为6,则其边心距为.【考点】正多边形和圆;等边三角形的性质.【分析】已知正六边形的边长为6,欲求边心距,可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形,通过解直角三角形求解即可.【解答】解:如图所示,∵△ABC是等边三角形,边长BC=AB=AC=6,O为外心,∴∠OBD=30°,∵OD⊥BC,∴BD=CD=,在Rt△BDO中,OD=BD•tan∠OBD=3×,故答案为:.15.如图,为方便行人过某天桥,市政府在10米高的天桥两端修建斜道,设计斜坡满足sin A =,则斜道AC的长度是30米.【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.【分析】在Rt△ABC中,由锐角三角函数定义求出AC的长即可.【解答】解:在Rt△ABC中,BC=10米,sin A==,∴AC=3BC=30(米),故答案为:30.16.一艘邮轮从港口P处出发,沿北偏东60°方向行驶200海里到A港口,卸货后向正南方向行驶到B港口,此时P港口在邮轮的北偏西45°方向上,这时邮轮与港口P相距100海里.(保留根号)【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题.【分析】如图所示,作PD⊥AB于D点,解直角三角形即可得到结论.【解答】解:如图所示,作PD⊥AB于D点,根据题意可得∠APD=30°,AP=200海里,在Rt△APD中,AD=100海里,海里,又∵∠B=45°,∴△PBD为等腰直角三角形,∴海里,故答案为:.17.如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,.分别以点A,B,C为圆心,以的长为半径画弧分别与△ABC的边相交,则图中阴影部分的面积为8﹣2π.(结果保留π)【考点】扇形面积的计算;等腰直角三角形.【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AD,BD的长,再利用扇形面积求法以及直角三角形面积求法得出答案.【解答】解:等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,.∴AB=BC•sin45°=,=,∴S△ABC∵∠A+∠B+∠C=180°,∴,以2为半径,180°扇形是半圆=,阴影面积=8﹣2π.故答案为:8﹣2π.三、解答题(一)18.计算:+|1﹣cos60°|﹣2tan45°•sin60°.【考点】特殊角的三角函数值;绝对值.【分析】把特殊角的三角函数值代入原式,根据绝对值是性质计算即可.【解答】解:+|1﹣cos60°|﹣2tan45°•sin60°=﹣1+1﹣﹣2×1×=﹣.19.如图,点P是∠α的边OA上的一点,已知点P的横坐标为6,若tanα=(1)求点P的纵坐标;(2)求∠α其它的三角函数值.【考点】解直角三角形;坐标与图形性质.【分析】(1)过P作PM⊥x轴于M,则OM=6,由tanα=可得PM=8;(2)利用勾股定理求出OP=10,进而根据锐角三角函数的定义求出∠α其它的三角函数值.【解答】解:(1)如图,过P作PM⊥x轴于M,则∠PMO=90°,∵点P的横坐标为6,∴OM=6,∵tanα===,∴PM=8,∴点P的纵坐标是8;(2)∵在Rt△OMP中,∠PMO=90°,PM=8,OM=6,∴OP===10,∴sinα===,cosα===.20.某路口设立了交通路况显示牌(如图).已知立杆AB高度是3m,从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°,求路况显示牌BC的长度.(结果保留根号)【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.【分析】在Rt△ABD中,知道了已知角的对边,可用正切函数求出邻边AD的长;同理在Rt△ABC中,知道了已知角的邻边,用正切值即可求出对边AC的长;进而由BC=AC ﹣AB得解.【解答】解:∵在Rt△ADB中,∠BDA=45°,AB=3m,∴DA=3m,在Rt△ADC中,∠CDA=60°,∴tan60°=,∴CA=m∴BC=CA﹣BA=(3﹣3)米.四、解答题(二)21.如图,小锋将一架4米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,使梯子与地面所成的锐角α为60°.(1)求梯子的顶端与地面的距离AC(结果保留根号);(2)为使梯子顶端靠墙的高度更高,小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°,则需将梯子底端点B向内移动多少米(结果精确到0.1米)?参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75.【考点】解直角三角形的应用.【分析】(1)根据竖直的墙与梯子形成直角三角形,利用锐角三角函数即可求出AC的长;(2)将梯子向内移动后,移动的距离为BD,根据DE=AB=4m,利用锐角三角函数即可求出结果.【解答】解:(1)竖直的墙与梯子形成直角三角形,在Rt△ABC中,∠C=90°,∴(m);(2)如图所示,将梯子向内移动后,移动的距离为BD,∵DE=AB=4m,在Rt△ABC中,(m),在Rt△EDC中,DC=DE⋅cos70°≈4×0.34=1.36(m),∴BD=BC﹣DC≈2﹣1.36≈0.6(m),故向内移动0.6m.22.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点,与x轴交于C点,线段OA=5,OC=3,E为x轴上一点,且tan∠AOE=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOB的面积.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】(1)作AD⊥x轴于D,如图,先利用解直角三角形确定A(﹣3,4),再把A点坐标代入代入y=可求得m=﹣12,则可得到反比例函数解析式;然后把A和C点坐标分别代入y=kx+b得到关于k、b的方程组,再解方程组求出k和b的值,从而可确定一次函数解析式;=S△AOC+S△BOC求解.(2)先确定B点坐标,然后根据S△AOB【解答】解:(1)作AD⊥x轴于D,如图,在Rt△OAD中,tan∠AOE=,∴=,∵OA=5,∴AD=4,OD=3,∴A(﹣3,4),把A(﹣3,4)代入y=(m≠0)得m=﹣3×4=﹣12,所以反比例函数解析式为y=﹣;∵OC=3,∴C(3,0),把A(﹣3,4)、C(3,0)分别代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y=﹣x+2;(2)解得,∴B(6,﹣2),=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9.∴S△AOB23.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,∠1=∠C.(1)求证:CB∥PD;(2)若BC=3,sin∠C=,求CD的长.【考点】圆周角定理;解直角三角形.【分析】(1)欲证明CB∥PD,只要证明∠1=∠P即可.(2)根据三角函数的定义求出BE,再利用勾股定理求出EC可得结论.【解答】(1)证明:∵∠C=∠P,又∵∠1=∠C,∴∠1=∠P,∴CB∥PD.(2)解:连接AC.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,又∵CD⊥AB,∴,∴∠P=∠CAB,∴=,又∵BC=3,∴BE=2,∴CE===,∴CD=2EC=2.五、解答题(三)24.图为某货站传送货物的平面示意图,为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4m.(1)求新传送带AC的长度;(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道,试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质求出AD,根据直角三角形的性质求出AC;(2)根据余弦的定义求出CD,根据题意求出PC,根据题意判断即可.【解答】解:(1)在Rt△ABD中,∠ABD=45°,∴AD=AB=4(m),在Rt△ACD中,∠ACD=30°,∴AC=2AD=8(m),答:新传送带AC的长度为8m;(2)在Rt△ACD中,∠ACD=30°,∴CD=AC•cos∠ACD=4(m),在Rt△ABD中,∠ABD=45°,∴BD=AD=4(m),∴BC=CD﹣BD=(4﹣4)m,∴PC=BP﹣BC=4﹣(4﹣4)=4(m),∵4<5,∴货物MNQP需要挪走.25.问题探究(1)如图①,⊙O的半径为10,弦AB=16,则圆心O到AB的距离为6;(2)如图②,线段BC和动点A构成△ABC,已知BC=9,∠BAC=60°,过点A作BC边上的高线AD.若点D在线段BC上,求线段AD长度的最小值;问题解决(3)周老师为了增加数学学习的趣味性,设计了一个“寻宝”游戏:如图③,在平面内,线段AB长为9cm,线段AB外有一动点P,且线段PA长为7cm,又有一点Q满足PB=BQ,且∠PBQ=90°,当线段AQ的长度最大时,点Q的位置即为藏宝地.请你确定藏宝地的位置及此时藏宝地到点A的距离.【考点】圆的综合题.【分析】(1)如图1,过点O作OC⊥AB,连接OB,在Rt△OBC中,由勾股定理得,即可求解;(2)BC=9,∠BAC=60°,且点D在线段BC上,则△ABC应为锐角三角形或直角三角形,进而求解;(3)连接AC并延长交⊙C于点Q',当Q与Q'重合时,AQ的长度最大,即为AQ'的长度,点Q'即为藏宝地,即可求解.【解答】解:(1)如图1,过点O作OC⊥AB,连接OB,∵OB=10,,在Rt△OBC中,由勾股定理得,故答案为:6;(2)如图,作△ABC的外接圆⊙O,∵BC=9,∠BAC=60°,且点D在线段BC上,∴△ABC应为锐角三角形或直角三角形,∴点A在劣弧上,∴当点D与点B或点D与点C重合时,AD长度最小,此时∠A''BC=∠A'CB=90°,∴,即AD的最小值为;(3)如图3,∵PB=BQ,且∠PBQ=90°,∴将△PAB绕点B逆时针旋转90°,PB与QB重合,得到△QCB,则QC=PA=7cm,∴当点P运动时,点Q的运动路径为以C为圆心、半径为7cm的⊙C,QC=PA=7cm.连接AC并延长交⊙C于点Q',当Q与Q'重合时,AQ的长度最大,即为AQ'的长度,点Q'即为藏宝地.∵∠ABC=∠PBQ=90°,AB=BC=9cm,∴,∴,∴藏宝地到点A的距离为.。
人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷含参考答案.doc
人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元测试卷A. B. C. D.10.的值为()学校:班级:姓名:考号: __________ A. B.一、选择题(本题共计 10 小题,每题 3 分,共计30分) C. D.1. 在中,,下列各式中正确的是()二、填空题(本题共计 10 小题,每题3分,共计 30分,)A. B.11. 如图,一楼高,一只鸽子从地面的处沿倾斜角为的方向直飞楼顶的处,则鸽子飞行C. D.的路程是.2. 的值是()A. B. C. D.3. 在中,如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的,那么锐角的各个三角函数值()12. 如图,一艘轮船以海里 / 小时速度从南向北航行,当航行至处时,测得小岛在轮船的北偏A.都缩小B.都不变东度的方向处,航行一段时间后到达处,此时测得小岛在轮船的南偏东度的方向处.若C.都扩大倍 D.无法确定海里,则轮船航行的时间为.4. 为锐角,若,则的值为()A. B. C. D.5. 如图所示,已知是等腰底边上的高,且,上有一点,满足,则的值是()13. 中,,则三边之比.14. 如图是屋架设计图的一部分,立柱垂直于横梁,米,,则斜梁米.A. B. C. D.6. 如图,在边长为的小正方形组成的网格中,的三个顶点均在格点上,则的值为()15. 如图,一束光线从轴上点出发,经过轴上点反射后经过点,则光线从点到点经过的路线长是.A. B. C. D.7. 已知:,则锐角等于()16. 市政府决定今年将A. B. 长的大堤的迎水坡面铺石加固.如图,堤高,堤面加宽C. D.以上结论都不对坡度由原来的改成,则完成这一工程需要的石方数为________ .8. 在中,,,则的值为()A. B. C. D.9. 已知是锐角,且,那么等于()17. 如图,河堤横断面迎水坡的坡比是,则坡角________ .若,,,都是锐角,且.试判断、的大小,并给出证明.18. 如图,为了测量某建筑物的高度,在地面上的处测得建筑物顶端的仰角为,沿方向前进到达处,在处测得建筑物顶端的仰角为,则建筑物的高度等于 ________.19. 分别求出图中、的正切值:(其中),由上面的例子可以得出结论:直角三角形的两个锐角的正切值互为.23. 已知:如图,在中,,平分,,.20. 如图,一渔船由西往东航行,在点测得海岛位于北偏东的方向,前进海里到达点,求;此时,测得海岛位于北偏东的方向,则海岛到航线的距离等于海里.求.三、解答题(本题共计 6 小题,每题 10 分,共计 60 分,)21. 已知:如图,是的斜边上的高,用余弦、正切的定义证明:( 1);24. 如图,在坡角为的山顶上有一座电视塔,在山脚处测得电视塔顶部的仰角为,斜坡( 2 ).的长为米,求电视塔的高.22. 如图,已知和射线上一点(点与点不重合),且点到、的距离为、.若,,,试比较、的大小;25.天津北宁公园内的致远塔,塔高九层,塔内四周墙壁上镶钳着历史题材为内容的瓷板油彩画或青石刻浮雕,叠双向盘旋楼梯或电梯可达九层,津门美景尽收眼底,是我国目前最高的宝塔.某校数学情趣小组实地测量了致远塔的高度,如图,在处测得塔尖的仰角为,再沿方向前进到达处,测得塔尖的仰角为,求塔高(精确到,)26. 一架外国侦察机沿方向侵入我国领空进行非法侦察,我空军的战斗机沿方向与外国侦察机平行飞行,进行跟踪监视,我机在处与外国侦察机处的距离为米,为,这时外国侦察机突然转向,以偏左的方向飞行,我机继续沿方向以米 / 秒的速度飞行,外国侦察机在点故意撞击我战斗机,使我战斗机受损.问外国侦察机由到的速度是多少?(结果保留整数,参考数据,)答案1.C2.A3.B4.D5.B6.D7.A8.B9.B10.D11.12.小时13.14.15.16. ∴,即,17. 则;∵,18. ∴,又,19. 倒数∴,20.则.21. 解:∵ 是的斜边上的高,∴,24. 解:在中,米,,在中,∴米,,(米).在中,又,,,∴.∴(米)∴,即;∵∴米.,高米.∴电视塔∴,25. 塔高约为米.在中,26. 外国侦察机由到的速度是.,在中,,∴,即.22. 解:在中,在中,又∴;根据得,又∵∴∴.23. 解:在中,,,,根据勾股定理得:,∴,∴,又为的平分线,。
人教版九年级数学下册同步试题:28.1锐角三角函数 训练题(含答案)
28.1 锐角三角函数 训练题一、选择题.1.如图1,Rt △ABC 中,∠C=90°,D 为BC 上一点,∠DAC=30°,BD=2,AC 的长是( ).AB .C .3D.32D C BADBA(1) (2) (3)2.如图2,从地面上C 、D 两处望山顶A ,仰角分别为35°、45°,若C 、 D 两处相距200米,那么山高AB 为( ).A .100)米B .米C .米D .200米3.如图3,两建筑物的水平距离为s 米,从A 点测得D 点的俯角为α,测得C 点的俯角为β,则较低的建筑物的高为( ).A .s ·tan α米 B .s ·tan (β-α)米C .s (tan β-tan α)米D .米tan tan sβα-4.已知:A 、B 两点,若由A 看B 的仰角为α,则由B 看A 的俯角为( ).A .αB .90°-αC .90°+αD .180°-α5.如图4,从山顶A 望地面C 、D 两点,测得它们的俯角分别是45°和30°, 已知CD=100m ,点C 在BD 上,则山高AB 等于().A .100mB.C .mD .50+1)m(4) (5) (6)6.已知楼房AB高50m,如图5,铁塔塔基与楼房房基间水平距离BD为50m,塔高DCm,下列结论中正确的是().A.由楼顶望塔顶仰角为60°B.由楼顶望塔基俯角为60°C.由楼顶望塔顶仰角为30°D.由楼顶望塔基俯角为30°7.如图6,一台起重机的机身高AB为20m,吊杆AC的长为36m, 吊杆对水平线的倾角可以从30°转到80°,则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是().A.(36+20)m和36·tan30°m B.36·sin80°m和36·cos30°mC.(36sin30°+20)m和36·cos30°m D.(36sin80°+20)m和36·cos30°m8.观察下列各式:(1)sin59°>sin28°;(2)0<cosα<1(α是锐角);(3) tan30 °+tan60°=tan90°;(4)tan44°·cot44°=1,其中成立的有().A.1个B.2个C.3个D.4个9.角a为锐角,且cosα=,那么α在()。
人教版九年级下册数学《第28章 锐角三角函数》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一.选择题1.已知a=sin25°,b=tan46°,c=cot17°,m=cos20°,则a、b、c、m的大小关系()A.a<b<c<m B.b<m<c<a C.a<m<b<c D.m<a<b<c 2.下列等式中正确的是()A.cos2α+sin2α=1 B.cos30°+cos45°=cos75°C.tan30°﹣tan60°=D.2cot22°30′=cot45°=13.sin2θ+sin2(90°﹣θ)(0°<θ<90°)等于()A.0 B.1 C.2 D.2sin2θ4.的值为()A.﹣1B.C.﹣D.1﹣5.四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是()A.0.8857B.0.8856C.0.8852D.0.88516.正六边形的两条互相平行的对边相距12cm,这个正六边形的边长为()A.7.5cm B.cm C.cm D.cm7.某个水库大坝的横断面为梯形,迎水坡的坡度是1:,背水坡为1:1,那么两个坡的坡角和为()A.90°B.75°C.60°D.105°8.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=5,b=12,c=13,则cos A的值为()A.B.C.D.以上都不对9.甲、乙、丙三人放风筝,各人放出的风筝线长分别为60m、50m、40m,线与地平面所成的角分别为30°、45°、60°,假设风筝线近似看作是拉直的,则所放风筝最高的是()A.甲B.乙C.丙D.不能确定10.如图,某建筑物BC的楼顶上有一避雷针AB,在距此建筑物12米的D处安置﹣高度为1.5米的测倾器DE,测得避雷针顶端的仰角为60°,又知建筑物共有六层,每层层高为3米,则避雷针AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据≈1.41,≈1.73)为()A.2.76米B.2.8米C.4.26米D.4.3米二.填空题11.△ABC中∠A=40°,∠C=90°,a=4.2,则b≈,c≈(保留2个有效数字).12.已知α为锐角,若cosα=,则sinα=,tan(90°﹣α)=.13.斜坡AB=50m,水平距离40m,则垂直距离m,坡度是.14.如图,一个长为3米的梯子斜靠在墙壁上,若梯子与地面所成的角为60°,则此时梯子顶端到地面的距离为米.15.在△ABC中,AC=,BC=2,∠A=45°,则∠B=.16.若sin47°=cosα,则锐角α=.17.5sin2(90°﹣α)+5sin2α=.18.已知45°<α<90°,用“>”或“<”符号填空:sinαcosα;tanαcotα;sinαtanα.19.如图所示,在数学活动课上,老师带学生去测河宽,某学生在A处观测到河对岸有一点C,并测得∠CAD=45°,在距离A点30m的B处测得∠CBD=30°,则河宽CD是m.(答案保留根号)20.如图,某电视塔AB和楼CD的水平距离为100m,从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A。
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步测试题及答案
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步测试题及答案任务一 求锐角三角函数值子任务1 利用参数法求锐角三角函数值母题1 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3AC ,则tan B=( )A .13B .3C .√1010 D .3√1010变式练1:在直角三角形ABC 中,若2AB=AC ,则cos C 的值为( )A .12或2√35B .12或2√55 C .√32或2√55 D .√32或2√35子任务2 构造直角三角形求锐角三角函数值母题2 如图,已知钝角三角形ABC ,点D 在BC 的延长线上,连接AD ,若∠DAB=90°,∠ACB=2∠D ,AD=2,AC=32,求tan D 的值.变式练2:如图,△ABC与△BDC均为直角三角形,若∠ACB=30°,∠DBC=45°,求∠ADB的正切值.母题3如图,在△ABC中,CA=CB=4,cos C=14,则sin B的值为()A.√102B.√153C.√64D.√104变式练3:如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC.若tan B=53,则tan∠CAD的值为.子任务3利用等角转换法求锐角三角函数值母题4如图,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tan D=()A.2√2B.√24C.13D.2√23【关键点拨】变式练4:如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=1∠BAC,求sin∠BPC.2子任务4利用网格求锐角三角函数值母题5如图,这是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是.【关键点拨】变式练5:如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC=()A.√1313B.√66C.√2613D.√2626子任务5在折叠问题中求锐角三角函数值母题6如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D 处,EF为折痕,若AE=3,则sin∠BFD的值为.【关键点拨】变式练6:直角三角形纸片ABC,两直角边BC=4,AC=8,现将△ABC纸片按图中方式折叠,使点A 与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是()A.12B.34C.1D.43任务二 由一个锐角的三角函数值求三角形的边长母题7 在Rt △ABC 中,∠C=90°,sin A=35,AC=8 cm,则BC 的长度为( )A .3 cmB .4 cmC .5 cmD .6 cm变式练7:已知∠A 是锐角,sin A=35,则cos A 的值为( )A .35B .45C .34D .54任务三 由一个锐角的三角函数值求三角形的面积母题8 已知△ABC 中,tan B=23,BC=6,过点A 作BC 边上的高,垂足为点D ,且满足BD ∶CD=2∶1,则△ABC 面积的所有可能值为 .变式练8:在△ABC 中,AB=3√6,AC=6,∠B=45°,则BC= .任务四 锐角三角函数的探究问题母题9 如图1,在Rt △ABC 中,以下是小亮探究asinA 与bsinB 之间关系的方法:∵sin A=a c ,sin B=b c , ∴c=a sinA ,c=bsinB ∴asinA =bsinB .根据你掌握的三角函数知识,在图2的锐角三角形ABC 中,探究asinA ,bsinB ,csinC 之间的关系,并写出探究过程.图1 图2变式练9:把(sin α)2记作sin 2α,根据图完成下列各题:图1图2(1)如图1,sin 2A 1+cos 2A 1= ,sin 2A 2+cos 2A 2= sin 2A 3+cos 2A 3= .(2)观察上述等式后猜想:在Rt △ABC 中,∠C=90°,总有sin 2A+cos 2A= . (3)如图2,在Rt △ABC 中证明(2)题中的猜想.(4)已知在△ABC 中,∠A+∠B=90°,且sin A=1213,求cos A 的值.参考答案母题1 A 提示:在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3AC∴tan B=AC BC =AC 3AC =13.故选A .变式练1 C 提示:①当AC 为直角边时∵2AB=AC∴BC=√AB 2+AC 2=√5AB∴cos C=AC BC =2AB √5AB =2√55;②当AC 为斜边时 ∵2AB=AC∴BC=√AC 2-AB 2=√3AB∴cos C=BC AC =√3AB 2AB=√32. 综上,cos C=2√55或√32. 故选C .母题2 解:∵∠ACB=∠D+∠CAD ,∠ACB=2∠D∴∠CAD=∠D∴CA=CD. ∵∠DAB=90°∴∠B+∠D=90°,∠BAC+∠CAD=90° ∴∠B=∠BAC ∴AC=CB∴BD=2AC=2×32=3. 在Rt △ABD 中,∵∠DAB=90°,AD=2∴AB=√32-22=√5∴tan D=AB AD =√52.变式练2解:如图,过点A 作DB 延长线的垂线,垂足为点E 则∠E=90°,∠ABE=45°,AE=BE.设AE=BE=x ,则AB=√2x ,BC=√6x ,BD=CD=√3x∴DE=√3x+x ,∴tan ∠ADB=AE DE =(√3+1)x =√3+1=√3-12.母题3 D 提示:如图,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D在Rt △ACD 中,CD=CA ·cos C=1∴AD=√AC 2-CD 2=√15.在Rt △ABD 中,BD=CB-CD=3,AD=√15.∴AB=√BD 2+AD 2=2√6.∴sin B=AD AB =√104.故选D . 变式练3 15 提示:如图,延长AD ,过点C 作CE ⊥AD ,垂足为E.在Rt △BAD 中,tan B=AD AB =53. 可设AD=5x ,则AB=3x.∵∠CDE=∠BDA ,∠CED=∠BAD ∴△CDE ∽△BDA∴CE AB =DE AD =CD BD =12 ∴CE=32x ,DE=52x ∴AE=AD+DE=152x ∴在Rt △AEC 中,tan ∠CAD=CE AE =15.故答案为15.母题4 A 提示:如图,连接BC.∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. ∵☉O 的半径为3,∴AB=6 ∴BC=√AB 2-AC 2=√62-22=4√2∴tan D=tan A=BC AC =4√22=2√2. 故选A .变式练4 解:如图,作AD ⊥BC 于点D.∵AB=AC=5,BC=8∴BD=CD=4,∠BAD=12∠BAC. ∵∠ADB=90°,∴sin ∠BAD=BD AB =45.又∵∠BPC=12∠BAC∴∠BPC=∠BAD ∴sin ∠BPC=45. 母题5 2 提示:如图,过点Q 作QC ∥BA ,连接PC∴∠QMB=∠CQP. 由题意得CQ 2=22+22=8 PC 2=42+42=32 PQ 2=22+62=40∴PC 2+CQ 2=PQ 2∴△PCQ 是直角三角形 ∴∠PCQ=90°∴tan ∠CQP=PC CQ =√22√2=2∴tan ∠QMB=tan ∠CQP=2. 故答案为2.变式练5 D 提示:如图,延长AC 到点D ,连接BE 交CD 于点O∴BE ⊥CD ,AB=√22+32=√13,OB=12BE=12√12+12=√22∴sin ∠BAC=OB AB =√22√13=√2626. 故选D .母题6 13 提示:∵在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4∴∠A=∠B.由折叠的性质得到△AEF ≌△DEF∴∠EDF=∠A ∴∠EDF=∠B∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180° ∴∠CDE=∠BFD. 又∵AE=DE=3∴CE=4-3=1.在直角△ECD 中,sin ∠CDE=CEED =13∴sin ∠BFD=13. 故答案为13.变式练6 B 提示:根据题意,BE=AE.设BE=x ,则CE=8-x. 在Rt △BCE 中,x 2=(8-x )2+42 解得x=5∴CE=8-5=3∴tan ∠CBE=CE CB =34.故选B .母题7 D 提示:∵sin A=BCAB =35∴设BC=3x ,AB=5x. 又∵AC 2+BC 2=AB 2∴82+(3x )2=(5x )2解得x=2或x=-2(舍去)∴BC=3x=6 cm . 故选D .变式练7 B 提示:∵sin 2A+cos 2A=1∴cos A=√1−(35) 2=45. 故选B .母题8 8或24 提示:如图1所示∵BC=6,BD ∶CD=2∶1∴BD=4.∵AD ⊥BC ,tan B=23∴AD BD =23∴AD=23BD=83∴S △ABC =12BC •AD=12×6×83=8. 如图2所示∵BC=6,BD ∶CD=2∶1,∴BD=12.∵AD ⊥BC ,tan B=23,∴AD BD =23,∴AD=23BD=8 ∴S △ABC =12BC •AD=12×6×8=24. 综上所述,△ABC 面积的所有可能值为8或24. 故答案为8或24.图1 图2变式练8 3√3+3或3√3-3 提示:①当△ABC 为锐角三角形时 过点A 作AD ⊥BC 于点D ,如图1.图1∵AB=3√6,∠B=45°∴AD=BD=AB ·sin 45°=3√3∴CD=√AC 2-AD 2=3,∴BC=BD+CD=3√3+3. ②当△ABC 为钝角三角形时过点A 作AD ⊥BC 交BC 延长线于点D ,如图2.图2∵AB=3√6,∠B=45°∴AD=BD=AB ·sin 45°=3√3∴CD=√AC 2-AD 2=3∴BC=BD-CD=3√3-3.综上,BC 的长为3√3+3或3√3-3.故答案为3√3+3或3√3-3.母题9 解:a sinA =b sinB =c sinC .理由如下:如图,过点A 作AD ⊥BC ,过点B 作BE ⊥AC在Rt △ABD 中,sin B=AD c ,即AD=c sin B 在Rt △ADC 中,sin C=AD b ,即AD=b sin C∴c sin B=b sin C ,即b sinB =c sinC 同理可得a sinA =c sinC则a sinA =b sinB =c sinC .变式练9 解:(1)1;1;1 提示:sin 2A 1+cos 2A 1=122+√322=14+34=1 sin 2A 2+cos 2A 2=1√22+1√22=12+12=1 sin 2A 3+cos 2A 3=352+452=925+1625=1.故答案为1;1;1.(2)1.(3)在题图2中,∵sin A=a c ,cos A=b c ,且a 2+b 2=c 2 则sin 2A+cos 2A=a c 2+b c 2=a 2c 2+b 2c 2=a 2+b 2c 2=c 2c 2=1 即sin 2A+cos 2A=1.(4)在△ABC 中,∠A+∠B=90°,∴∠C=90°. ∵sin 2A+cos 2A=1,∴12132+cos 2A=1 解得cos A=513或cos A=-513(舍去),∴cos A=513.。
人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》单元测试卷(含答案)
新人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)1.sin60°的值等于()A. B. C. D.2.已知α为锐角,sin(α-20°)=,则α=()A. B. C. D.3.在正方形网格中,∠α的位置如图所示,则tanα的值是()A.B.C.D. 24.在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,下列各式成立的是()A. B. C. D.5.在Rt△ABC中,各边都扩大5倍,则角A的三角函数值()A. 不变B. 扩大5倍C. 缩小5倍D. 不能确定6.在△ABC中,∠C=90°,tan A=,则cos A的值为()A. B. C. D.7.在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sin B的值是()A. B. C. D.8.如图,山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米,此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°,则铁塔AB的高为()A. 3米B. 米C. 米D. 米9.坡度等于1:的斜坡的坡角等于()A. B. C. D.10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,≈1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为()A. 47mB. 51mC. 53mD. 54m二、填空题(本大题共7小题,共26.0分)11.求值:sin60°-tan30°= ______ .12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=10,则∠A= ______ 度.13.如图,∠AOB放置在正方形网格中,则cos∠AOB的值为______ .14.△ABC中,∠C=90°,斜边上的中线CD=6,sin A=,则S△ABC= ______ .15.如图,身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度,已知她与树之间的距离为6m,那么这棵树高为(其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高)______ .16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置.如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处,若以码头O为坐标原点,正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向,1千米为单位长度建立平面直角坐标系,则小岛A也可表示成______ .17.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=1,AB=2,则sin A= ______ .三、解答题(本大题共7小题,共64.0分)18.已知α为一锐角,sinα=,求cosα,tanα.19.如图,已知AC=4,求AB和BC的长.20.如图所示,把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知∠α=36°,求长方形卡片的周长.(精确到1mm)(参考数据:sin36°≈0.60,cos36°≈0.80,tan36°≈0.75)21.如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.求新传送带AC的长度.22.某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明,启智求真”的宣传牌CD.小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°.已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米,求这块宣传牌CD的高度.23.如图,在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站,A观测站在B观测站的正东方向,有一艘小船在点P处,从A处测得小船在北偏西60°方向,从B处测得小船在北偏东45°的方向,点P到点B的距离是3千米.(注:结果有根号的保留根号)(1)求A,B两观测站之间的距离;(2)小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察,航行一段时间后到达点C处,此时,从B测得小船在北偏西15°方向,求小船沿途考察的时间.24.如图,某办公楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE,而当光线与地面夹角是45°时,办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离(B,F,C在一条直线上).(1)求办公楼AB的高度;(2)若要在A,E之间挂一些彩旗,请你求出A,E之间的距离.(参考数据:sin22°≈,cos22°,tan22)答案和解析1.【答案】C【解析】解:sin60°=.故选:C.根据特殊角的三角函数值直接解答即可.此题考查了特殊角的三角函数值,是需要识记的内容,要注意积累.2.【答案】D【解析】解:∵α为锐角,sin(α-20°)=,∴α-20°=60°,∴α=80°,故选D.根据特殊角的三角函数值直接解答即可.本题考查的是特殊角的三角函数值,属较简单题目.3.【答案】D【解析】解:由图可得,tanα=2÷1=2.故选D.此题可以根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可.本题考查了锐角三角函数的定义,正确理解正切值的含义是解决此题的关键.4.【答案】D【解析】解:A、∵sinB=,∴b=c•sinB,故选项错误;B、∵cosB=,∴a=c•cosB,故选项错误;C、∵tanB=,∴a=,故选项错误;D、∵tanB=,∴b=a•tanB,故选项正确.故选D.根据三角函数的定义即可判断.本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.5.【答案】A【解析】解:∵各边都扩大5倍,∴新三角形与原三角形的对应边的比为5:1,∴两三角形相似,∴∠A的三角函数值不变,故选:A.易得边长扩大后的三角形与原三角形相似,那么对应角相等,相应的三角函数值不变.用到的知识点为:三边对应成比例,两三角形相似;相似三角形的对应角相等.三角函数值只与角的大小有关,与角的边的长短无关.6.【答案】D【解析】解:如图,∵tanA==,∴设BC=x,则AC=3x,∴AB==x,∴cosA===.故选D.根据正切的定义得到tanA==,于是可设BC=x,则AC=3x,根据勾股定理计算出AB,然后利用余弦的定义求解.本题考查了三角形函数的定义:在三角形三角形中,一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值;这个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值.也考查了勾股定理.7.【答案】B【解析】解:延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D,∵∠CAB=120°,∴∠DAC=60°,∴∠ACD=30°,∵AB=4,AC=2,∴AD=1,CD=,BD=5,∴BC==2,∴sinB===.故选:B.首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D,进而得出AD,CD,BC的长,再利用锐角三角函数关系求出即可.此题主要考查了解直角三角形,作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键.8.【答案】B【解析】解:设直线AB与CD的交点为点O.∴.∴AB=.∵∠ACD=60°.∴∠BDO=60°.在Rt△BDO中,tan60°=.∵CD=6.∴AB==6.故选:B.依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解.本题主要考查平行线分线段成比例定理,解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形.解:坡角α,则tanα=1:,则α=30°.故选A.根据坡度就是坡角的正切值即可求解.本题主要考查了坡度的定义,理解坡度和坡角的关系是解题的关键.10.【答案】B【解析】解:根据题意得:∠A=30°,∠DBC=60°,DC⊥AC,∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°,∴∠ADB=∠A=30°,∴BD=AB=60m,∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51(m).故选:B.由题意易得:∠A=30°,∠DBC=60°,DC⊥AC,即可证得△ABD是等腰三角形,然后利用三角函数,求得答案.此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题.注意证得△ABD是等腰三角形,利用特殊角的三角函数值求解是关键.11.【答案】【解析】解:原式=-=-=.故答案为.根据sin60°=,tan30°=得到原式=-,然后通分合并即可.本题考查了特殊角的三角函数值:sin60°=,tan30°=.也考查了二次根式的运算.解:∵∠C=90°,AC=5,AB=10,∴cosA===,∴∠A=30°,故答案为:30°.根据条件求出,即可得到cos∠A的值,再根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数.此题主要考查了锐角三角函数定义,以及特殊角的三角函数值,解决此题的关键是求出cosA.13.【答案】【解析】解:将∠AOB放在一直角三角形中,邻边为1,对边为2,由勾股定理得斜边,则cos∠AOB的值==.根据余弦的定义,cos∠AOB等于邻边比斜边,可以求得cos∠AOB的值.本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的余弦为邻边比斜边.14.【答案】【解析】解:在Rt△ABC中,∵斜边上的中线CD=6,∴AB=12.∵sinA==,∴BC=4,AC==8.∴S△ABC=AC•BC=16.根据直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半可求出AB;根据三角函数的定义求出AC,根据面积公式解答.本题利用了直角三角形的性质:直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半和锐角三角函数的概念求解.15.【答案】(2+1.6)m【解析】解:由题意得:AD=6m,在Rt△ACD中,tanA==∴CD=2,又AB=1.6m∴CE=CD+DE=CD+AB=2+1.6,所以树的高度为(2+1.6)m.已知小丽与树之间的距离为6m即AD=7m,可由直角三角形ACD及三角函数的关系可求出CD 的长度,再由AB=1.6m可得出树的高度.本题考查解直角三角形的应用,要注意利用已知线段及三角函数关系求未知线段.16.【答案】,【解析】解:过点A作AC⊥x轴于C.在直角△OAC中,∠AOC=90°-60°=30°,OA=14千米,则AC=OA=7千米,OC=7千米.因而小岛A所在位置的坐标是(7,-7).故答案为:(7,-7).过点A作AC⊥x轴于C,根据已知可求得小岛A的坐标.本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题,正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键.17.【答案】【解析】【分析】本题考查了锐角的三角函数值的定义,理解定义是关键.利用锐角三角函数的定义求解.【解答】解:sinA==.故答案为.18.【答案】解:由sinα==,设a=4x,c=5x,则b==3x,故cosα==,tanα==.【解析】根据sinα=,设出关于两边的代数表达式,再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosα的值,同理可得tanα的值.本题考查了同角三角函数的关系,求锐角的三角函数值的方法:利用锐角三角函数的定义,通过设参数的方法求三角函数值,或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值.19.【答案】解:作CD⊥AB于点D,在Rt△ACD中,∵∠A=30°,∴∠ACD=90°-∠A=60°,CD=AC=2,AD=AC•cos A=2.在Rt△CDB中,∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°,∴BD=CD=2,∴BC=2,∴AB=AD+BD=2+2.【解析】作CD⊥AB于点D,根据三角函数的定义在Rt△ACD中,在Rt△CDB中,即可求出CD,AD,BD,从而求解.本题考查了解直角三角形,作出辅助线是解题的关键,难度中等.20.【答案】解:作BE⊥l于点E,DF⊥l于点F.∵∠ ∠ ,∠ ∠ ,∴∠根据题意,得BE=24mm,DF=48mm.在Rt△ABE中,sin,∴mm在Rt△ADF中,cos∠ ,∴mm.∴矩形ABCD的周长=2(40+60)=200mm.【解析】作BE⊥l于点E,DF⊥l于点F,求∠ADF的度数,在Rt△ABE中,可以求得AB的值,在Rt△ADF中,可以求得AD的值,即可计算矩形ABCD的周长,即可解题.本题考查了矩形对边相等的性质,直角三角形中三角函数的应用,锐角三角函数值的计算.21.【答案】解:在Rt△ABD中,AD=AB sin45°=4×=4.在Rt△ACD中,∵∠ACD=30°,∴AC=2AD=8.答:新传送带AC的长度约为8米.【解析】根据正弦的定义求出AD,根据直角三角形的性质解答即可.本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.22.【答案】解:过B作BF⊥AE,交EA的延长线于F,作BG⊥DE于G.在Rt△ABF中,i=tan∠BAF==,∴∠BAF=30°,∴BF=AB=5,AF=5.∴BG=AF+AE=5+15.在Rt△BGC中,∵∠CBG=30°,∴CG:BG=,∴CG=5+5.在Rt△ADE中,∠DAE=45°,AE=15,∴DE=AE=15,∴CD=CG+GE-DE=5+5+5-15=(5-5)m.答:宣传牌CD高约(5-5)米.【解析】过B分别作AE、DE的垂线,设垂足为F、G.分别在Rt△ABF和Rt△ADE中,通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长,进而可求出EF即BG的长;在Rt△CBG中,∠CBG=30°,求出CG的长;根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度.此题综合考查了仰角、坡度的定义,能够正确地构建出直角三角形,将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键.23.【答案】解:(1)如图,过点P作PD⊥AB于点D.在Rt△PBD中,∠BDP=90°,∠PBD=90°-45°=45°,∴BD=PD=3千米.在Rt△PAD中,∠ADP=90°,∠PAD=90°-60°=30°,∴AD=PD=3千米,PA=6千米.∴AB=BD+AD=3+3(千米);(2)如图,过点B作BF⊥AC于点F.根据题意得:∠ABC=105°,在Rt△ABF中,∠AFB=90°,∠BAF=30°,∴BF=AB=千米,AF=AB=+3 千米.在△ABC中,∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°.在Rt△BCF中,∠BFC=90°,∠C=45°,∴CF=BF=千米,∴PC=AF+CF-AP=3千米.故小船沿途考察的时间为:3÷=3(小时).【解析】(1)过点P作PD⊥AB于点D,先解Rt△PBD,得到BD和PD的长,再解Rt△PAD,得到AD和AP 的长,然后根据BD+AD=AB,即可求解;(2)过点B作BF⊥AC于点F,先解Rt△ABF,得出BF和AF的长,再解Rt△BCF,得出CF的长,可求PC=AF+CF-AP,从而求解.本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,难度适中.通过作辅助线,构造直角三角形是解题的关键.24.【答案】解:(1)如图,过点E作EM⊥AB,垂足为M.设AB为x.Rt△ABF中,∠AFB=45°,∴BF=AB=x,∴BC=BF+FC=x+25,在Rt△AEM中,∠AEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,tan22°=,则=,解得:x=20.即教学楼的高20m.(2)由(1)可得ME=BC=x+25=20+25=45.在Rt△AME中,cos22°=.∴AE=,即A、E之间的距离约为48m【解析】(1)首先构造直角三角形△AEM,利用tan22°=,求出即可;(2)利用Rt△AME中,cos22°=,求出AE即可此题主要考查了解直角三角形的应用,根据已知得出tan22°=是解题关键。
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》综合测试卷 (含答案)
人教版数学九年级下册 第28章 锐角三角函数综合测试卷(时间90分钟,满分120分)一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.cos60°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D.322.如果∠α是等边三角形的一个内角,那么cosα的值等于( ) A. 12 B. 22C.32D .1 3.如图,延长Rt △ABC 斜边AB 到点D ,使BD =AB ,连结CD.若tan ∠BCD =13,则tan A=( )A.13B.23 C .1 D.324.如图所示,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AC ⊥AB ,AD =CD ,cos ∠DCA =45,BC =10,则AB 的长是( ) A .3B .6C .8D .95.如图,A ,B ,C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′,则tan B′的值为( ) A.12 B.13C.14D.246. 已知a 为锐角,sina=cos500则a 等于( ) A.200 B.300 C.400 D.5007.如图所示,△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ,若BD :AD=1:4,则tan ∠BCD 的值是( )A. 14B. 13C. 12D .28.某铁路路基的横截面为等腰三角形,已知路基高5 m ,坡长10 m ,则坡度为( ) A .1∶2 B .1∶12C .1∶ 3D .1∶339.等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2,则等腰三角形顶角的度数为( ) A .30°B .50°C .60°或120°D .30°或150°10.如图,已知△ABC 中,∠C =90°,tanA =12,D 是AC 上一点,∠CBD =∠A ,则sin ∠ABD 等于( ) A.35 B.105 C.310 D.31010二.填空题(共8小题,3*8=24) 11.在△ABC 中,若│sinA -1│+(32-cosB )=0,则∠C=_______度.12.如图,一架梯子斜靠在墙上.若梯子底端到墙的距离AC =3 m ,cos ∠BAC =34,则梯子长AB =_______ m.13.如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在边DC 上,M ,N 两点关于对角线AC 所在的直线对称,若DM =1,则tan ∠ADN =________.14. cos 2(50°+α)+cos 2(40°-α)-tan(30°-α)tan(60°+α)= ;15.如图所示,在△ABC 中,∠A=30°,tanB=13,BC=10,则AB 的长为________.16.如图,在高度是21 m 的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°,底部D 处的俯角为45°,则这个建筑物的高度CD =____________.(结果保留根号)17.为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固,如图,加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB =12米,背水坡面CD =123米,∠B =60°,加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ,tanE =3133,则CE 的长为________米.18.一次函数的图象经过点(tan 45°,tan 60°)和(-cos 60°,-6tan 30°),则此一次函数的解析式为___________________.三.解答题(共7小题,66分)19.(8分) 已知tanα的值是方程x 2-x -2=0的一个根,求式子3sinα-cosα2cosα+sinα的值.20.(8分) 如图,海面上B ,C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向.一艘船从A 岛出发,以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛,此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°.求A ,B 两岛之间的距离.(结果精确到0.1海里)(参考数据:sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)21.(8分) 如图,房屋顶呈人字形(等腰三角形),AC =BC =8 m ,∠A =30°,CD ⊥AB 于点D.(1)求∠ACB 的大小; (2)求AB 的长度.22.(10分)在△ABC中,∠C=90°.(1)已知c=83,∠A=60°,求∠B,a,b;(2)已知a=36,∠A=45°,求∠B,b,c.23.(10分) 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点坐标为O(0,0),A(23,0),B(23,2),把矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转α度,使点B正好落在y轴正半轴上,得到矩形OA1B1C1.(1)求角α的度数;(2)求直线A1B1的函数关系式,并判断直线A1B1是否经过点B,为什么?24.(10分) 如图,为了测量山顶铁塔AE 的高,小明在27 m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°,在楼顶C 测得塔顶A 的仰角为36°52′.已知山高BE 为56 m ,楼的底部D 与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin 36°52′≈0.60,tan 36°52′≈0.75)25.(12分) 如图,四边形ABCD 为正方形,点E 为BC 上一点.将正方形折叠,使点A 与点E 重合,折痕为MN.若tan ∠AEN =13,DC +CE =10.(1)求△ANE 的面积; (2)求sin ∠ENB 的值.参考答案:1-5 AADBB 6-10CCCDA 11. 60 12. 4 13. 4314. 0 15.3+ 3 16. (73+21)m 17.818. y =23x -3 19. 解:解方程x 2-x -2=0 得x 1=2,x 2=-1. 又∵tanα>0,∴tanα=2, 又∵tanα=sinαcosα,∴原式=3tanα-12+tanα=3×2-12+2=5420. 解:由题意,得AC =18×2=36(海里),∠ACB =43°.在Rt △ABC 中, ∵∠A =90°,∴AB =AC•tan ∠ACB =36×0.93≈33.5(海里). 故A ,B 两岛之间的距离约为33.5海里. 21. 解:(1)∵AC =BC =8 m ,∠A =30°, ∴∠B =∠A =30°,∴∠ACB =120°. (2)∵AB =AC ,CD ⊥AB , ∴AD =BD ,AD =AC·cos30°=8×32=4 3(m),∴AB =2AD =8 3 m. 22. 解:(1)∵∠C =90°,∠A =60°, ∴∠B =30°.∵sin A =a c ,sin B =bc ,∴a =c·sin A =83×32=12. b =c·sin B =83×12=4 3.(2)∵∠C =90°,∠A =45°, ∴∠B =45°. ∴b =a =3 6. ∴c =a 2+b 2=6 3.23. 解:(1)∵OA 1=23,A 1B 1=2,∴tan ∠A 1OB 1=223=33,∴锐角∠A 1OB 1=30°,∴∠α=60°(2)由点A 1(3,3),B 1(0,4)得直线A 1B 1表达式为y =-33x +4, 当x =23时,y =-33×23+4=2, ∴点B(23,2)在直线A 1B 1上24.解:如图,过点C 作CF ⊥AB 于点F.设塔高AE =x m ,由题意得EF =BE -CD =56-27=29(m),AF =AE +EF =(x +29)m. 在Rt △AFC 中,∠ACF =36°52′,AF =(x +29)m , 则CF =AFtan 36°52′≈x +290.75=43x +1163(m),在Rt △ABD 中,∠ADB =45°,AB =(x +56)m , 则BD =AB =(x +56)m , ∵CF =BD ,∴x +56≈43x +1163,解得x≈52.答:该铁塔的高AE 约为52 m.25. 解:(1)∵tan ∠AEN =tan ∠EAN =13,故若设BE =a ,则AB =3a ,CE =2a.∵DC +CE =10,∴3a +2a =10,∴a =2.∴BE =2,AB =6,CE =4. ∵AE =AB 2+BE 2=4+36=2 10,∴AG =10.∵tan ∠EAN =NG AG =13,∴NG =103.∴AN =⎝⎛⎭⎫1032+(10)2=103.∴S △ANE =12AN·BE =12×103×2=103(或S △ANE =12AE·GN =12×2 10×103=103).(2)sin ∠ENB =EB NE =2103=35.。
人教版九年级数学下第二十八章 锐角三角函数单元练习题(含答案)含答案
人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数单元练习题(含答案)含答案一、选择题1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cos B=,则BC的长为()A.4B.2C.D.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则sin A等于()A.B.C.D.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=1,b=,则∠A等于()A.30°B.45°C.60°D.90°4.如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB=α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A.B.C.D.h·cosα5.如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=,则小车上升的高度是()A.5米B.6米C.6.5米D.12米6.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则sin B的值为()A.B.C.D.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,AC=4,则cos A的值是()A.B.C.D.8.如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,C离海岸线l的距离(即CD的长)为2,从A测得船C在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则AB的长()A.2 kmB.(2+)kmC.(4-2) kmD.(4-) km9.在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α,那么楼底到该目标的水平距离是() A.100tanα米B.100cotα米C.100sinα米D.100cosα米10.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的余弦函数值()A.不变B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍D.不能确定二、填空题11.若2cosα-=0,则锐角α=____________度.12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sin A=;②cos B=;③tan A =;④tan B=,其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)13.如图,已知点A(0,1),B(0,-1),以点A为圆心,AB为半径作圆,交x轴的正半轴于点C,则sin ∠BAC=____________.14.已知∠A的补角是120°,则tan A=________.15.如图是一斜坡的横截面,某人沿着斜坡从P处出发,走了13米到达M处,此时在铅垂方向上上升了5米,那么该斜坡的坡度是____________.16.汽车沿着坡度为1∶7的斜坡向上行驶了50米,则汽车升高了____________米.17.已知0°<θ<30°,且sinθ=km+(k为常数且k<O),则m的取值范围是__________.18.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,sin A=,那么AB=__________.19.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则sin ∠ABC=________.20.如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米,那么该建筑物的高度BC约为________米.(精确到1米,参考数据:≈1.73)三、解答题21.如图,初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°.朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°,已知A点的高度AB为2米,台阶AC的坡度为(即AB∶BC=),且B,C,E三点在同一条直线上,请根据以上条件求出树DE的高度.(测量器的高度忽略不计)22.南海是我国的南大门,如图所示,某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航,在A处测得北偏东30°方向上,距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行,便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查,经过一段时间后,在C处成功拦截不明船只,问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?(参考数据:cos 75°=0.2588,sin 75°=0.9659,tan 75°=3.732,=1.732,=1.414)23.如图,图①是某电脑液晶显示器的侧面图,显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度.研究表明:显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②),人观看屏幕最舒适.此时测得∠BAO=15°,AO=30 cm,∠OBC=45°,求AB的长度.(结果精确到0.1 cm)(参考数据:sin 15°≈0.259,cos 15°≈0.966,tan 15°≈0.268,≈1.414)24.小明周日在广场放风筝,如图,小明为了计算风筝离地面的高度,他测得风筝的仰角为60°,已知风筝线BC的长为20米,小明的身高AB为1.75米,请你帮小明计算出风筝离地面的高度.(结果精确到0.1米,参考数据≈1.41,≈1.73)25.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.(1)在图中画出点B,并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数);(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置.(参考数据:sin 53°=0.80,cos 53°=0.60,tan 53°=0.33,=1.41)26.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,M是直角边AC上一点,MN⊥AB于点N,AN=3,AM=4,求cos B的值.27.如图是某小区的一个健身器材,已知BC=0.15 m,AB=2.70 m,∠BOD=70°,求端点A 到地面CD的距离(精确到0.1 m).(参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)28.在△ABC中,∠C=90°,AC=7,BC=24,求sin A,sin B的值.答案解析1.【答案】A【解析】如图,∵∠C=90°,∴cos B=,∴BC=AB cos B=6×=4,故选A.2.【答案】B【解析】sin A==,故选B.3.【答案】A【解析】如图所示:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,a=1,b=,∴tan A==.∴∠A=30°,故选A.4.【答案】B【解析】∵∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠CAD=∠BCD,在Rt△BCD中,∵cos ∠BCD=,∴BC==,故选B.5.【答案】A【解析】在如图AC=13,作CB⊥AB,∵cosα==,∴AB=12,∴BC===5,∴小车上升的高度是5 m.故选A.6.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,∴sin B==.故选A.7.【答案】B【解析】cos A===.故选B.8.【答案】C【解析】在CD上取一点E,使BD=DE,可得∠EBD=45°,AD=DC=2,∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向,∴∠BCE=∠CBE=22.5°,∴BE=EC.设AB=x,则DE=BD=AD-AB=2-x,∴EC=BE=BD=(2-x),∵DE+EC=CD,∴2-x+(2-x)=2,解得x=4-2,即AB=4-2.故选C.9.【答案】B【解析】∵∠BAC=α,BC=100 m,∴AB=BC·cotα=100cotαm.故选B.10.【答案】A【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,故锐角A的余弦函数值也不变.故选A.11.【答案】45°【解析】∵2cosα-=0,∴cosα=,又∵cos 45°=,∴锐角α=45°.12.【答案】②③④【解析】如图所示:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,∴sin A==,故①错误;∴∠A=30°,∴∠B=60°,∴cos B=cos 60°=,故②正确;∵∠A=30°,∴tan A=tan 30°=,故③正确;∵∠B=60°,∴tan B=tan 60°=,故④正确.故答案为②③④.13.【答案】【解析】∵A(0,1),B(0,-1),∴AB=2,OA=1,∴AC=2,由勾股定理,得OC==,∴在Rt△AOC中,sin ∠OAC=sin ∠BAC==.14.【答案】【解析】∵∠A的补角是120°,∴∠A=180°-120°=60°,∴tan A=tan 60°=.15.【答案】5∶12【解析】如图所示,由题意可知,PM=13 m,MC=5米,∴PC==12,∴MC∶PC=5∶12,故答案为5∶12.16.【答案】5【解析】∵坡度为1∶7,∴设坡角是α,则sinα==,∴上升的高度是50×=5(米).17.【答案】<m<【解析】∵0°<θ<30°,∴sin 0°<sinθ<sin 30°,即0<km+<,∴<km<,∴<m<.18.【答案】18【解析】在Rt△ABC中,∵∠C=90°,sin A==,∴AB=3×6=18.19.【答案】【解析】∵小正方形边长为1,∴AB2=8,BC2=10,AC2=2;∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形,且∠CAB=90°,∴sin ∠ABC===.20.【答案】208【解析】由题意可得:tan 30°===,解得:BD=30,tan 60°===,解得DC=90,故该建筑物的高度为BC=BD+DC=120≈208(m).21.【答案】解∵AF⊥AB,AB⊥BE,DE⊥BE,∴四边形ABEF为矩形,∴AF=BE,EF=AB=2,设DE=x,在Rt△CDE中,CE===x,在Rt△ABC中,∵=,AB=2,∴BC=2,在Rt△AFD中,DF=DE-EF=x-2,∴AF===(x-2),∵AF=BE=BC+CE.∴(x-2)=2+x,解得x=6.答:树DE的高度为6米.【解析】由于AF⊥AB,则四边形ABEF为矩形,设DE=x,在Rt△CDE中,CE===x,在Rt△ABC中,得到=,求出BC,在Rt△AFD中,求出AF,由AF=BC +CE即可求出x的长.22.【答案】解过B作BD⊥AC,∵∠BAC=75°-30°=45°,∴在Rt△ABD中,∠BAD=∠ABD=45°,∠ADB=90°,由勾股定理,得BD=AD=×20=10(海里),在Rt△BCD中,∠C=15°,∠CBD=75°,∴tan ∠CBD=,即CD=10×3.732=52.77048,则AC=AD+DC=10+10×3.732=66.91048≈67(海里),即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里.【解析】过B作BD⊥AC,在直角三角形ABD中,利用勾股定理求出BD与AD的长,在直角三角形BCD中,求出CD的长,由AD+DC求出AC的长即可.23.【答案】解过O点作OD⊥AB交AB于D点.在Rt△ADO中,∵∠A=15°,AO=30,∴OD=AO·sin 15°≈30×0.259≈7.77(cm)AD=AO·cos 15°≈30×0.966≈28.98(cm)又∵在Rt△BDO中,∠OBC=45°,∴BD=OD=7.77(cm),∴AB=AD+BD=36.75≈36.8(cm).答:AB的长度为36.8 cm.【解析】过O点作OD⊥AB交AB于D点,根据∠A=15°,AO=30可知OD=AO·sin 15°,AD=AO·cos 15°,在Rt△BDO中根据∠OBC=45°可知,BD=OD,再根据AB=AD+BD即可得出结论.24.【答案】解∵在Rt△CBE中,sin 60°=,∴CE=BC·sin 60°=20×≈17.3 m,∴CD=CE+ED=17.3+1.75=19.05≈19.1 m.答:风筝离地面的高度是19.1 m.【解析】先根据锐角三角函数的定义求出CE的长,再由CD=CE+ED即可得出结论.25.【答案】解(1)如图,作PC⊥AB于C,在Rt△PAC中,∵PA=100,∠PAC=53°,∴PC=PA·sin ∠PAC=100×0.80=80,在Rt△PBC中,∵PC=80,∠PBC=∠BPC=45°,∴PB=PC=1.41×80≈113,即B处与灯塔P的距离约为113海里;(2)∵∠CBP=45°,PB≈113海里,∴灯塔P位于B处北偏西45°方向,且距离B处约113海里.【解析】(1)根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B,作PC⊥AB于C,先解Rt△PAC,得出PC=PA·sin ∠PAC=80,再解Rt△PBC,得出PB=PC=1.41×80≈113;(2)由∠CBP=45°,PB≈113海里,即可得到灯塔P位于B处北偏西45°方向,且距离B处约113海里.26.【答案】解∵∠C=90°,MN⊥AB,∴∠C=∠ANM=90°,∴∠A+∠B=90°,∠A+∠AMN=90°,∴∠B=∠AMN,又AN=3,AM=4,∴MN==,∴cos B=cos ∠AMN==.【解析】根据“同角的余角相等”,可得∠B=∠AMN,又AN=3,AM=4,由勾股定理得MN =,故cos B=cos ∠AMN.27.【答案】解作AE⊥CD于E,BF⊥AE于F,则四边形EFBC是矩形,∵OD⊥CD,∠BOD=70°,∴AE∥OD,∴∠A=∠BOD=70°,在Rt△AFB中,∵AB=2.7,∴AF=2.7×cos 70°≈2.7×0.34=0.918,∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1 m,答:端点A到地面CD的距离是1.1 m.【解析】作AE⊥CD于E,BF⊥AE于F,则四边形EFBC是矩形,求出AF、EF即可解决问题.28.【答案】解在△ABC中,∠C=90°,AC=7,BC=24,由勾股定理,得AB===25,sin A==,sin B==.【解析】根据勾股定理,可得AC的长,根据锐角的正弦为对边比斜边,可得答案.人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数单元复习卷(含答案)一、选择题1.在△ABC中,∠C=90°,tan A=,则cos A的值为()A.B.C.D.2.某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度.如图,他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°,再往摩天轮的方向前进50 m至D处,测得最高点A的仰角为60°.问摩天轮的高度AB约是()(结果精确到1 米,参考数据:≈1.41,≈1.73)A.120米B.117米C.118米D.119米3.已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,AC=1,那么∠A的正切tan A等于()A.B.2C.D.4.如图,每个小正方形的边长为1,点A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的正弦值为()A.B.C.D.不能确定5.在Rt△ABC中,∠C=90°,则tan A·tan B等于()A.0B.1C.-1D.不确定6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=∠B,则sin A的值是()A.B.C.D.17.如图,水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4∶3,背水坡BC的坡比为1∶2,大坝高DE =20 m,坝顶宽CD=10 m,则下底AB的长为()A.55 mB.60 mC.65 mD.70 m8.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cosα的值是()A.B.C.D.9.当锐角a<60°,sin a的值()A.小于B.大于C.小于D.大于10.在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,若BC∶AC=3∶4,BD平分∠ABC交AC于点D,则tan∠DBC 的值为()A.B.C.D.二、填空题11.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos A的值是________.12.某船自西向东航行,在A处测得某岛B在北偏东60°的方向上,前进8海里后到达C,此时,测得海岛B在北偏东30°的方向上,要使船与海岛B最近,则船应继续向东前进____________海里.13.△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=3,那么sin B=________.14.在Rt△ABC中,斜边AB的长是8,cos B=,则BC的长是__________.15.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向,距离灯塔86 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,此时,B处与灯塔P的距离约为__________ n mile.(结果取整数,参考数据:≈1.7,≈1.4)16.在△ABC中,AD是BC边上的高,∠C=45°,sin B=,AD=1.则BC的长____________.17.在△ABC中,∠ACB=90°,若tan A=,则cos A=__________.18.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则sin ∠ABC=________.19.已知0<α<90°,且tanα=,则∠α=________.20.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4BC,则sin A=__________.三、解答题21.如图,两座建筑物的水平距离BC=30 m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,求这两座建筑物的高度.22.在锐角△ABC中,AB=15,BC=14,S△ABC=84,求:(1)tan C的值;(2)sin A的值.23.如图,某同学在测量建筑物AB的高度时,在地面的C处测得点A的仰角为30°,向前走60米到达D处,在D处测得点A的仰角为45°,求建筑物AB的高度.24.如图,海中一渔船在A处且与小岛C相距70 nmile,若该渔船由西向东航行30 nmile到达B处,此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上;求该渔船此时与小岛C之间的距离.25.我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动,坚决把“洋垃圾”拒于国门之外.如图,某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时,发现在B的北偏东60°方向,相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶,C点在A港口的北偏东30°方向上,海监船向A港口发出指令,执法船立即从A港口沿AC方向驶出,在D处成功拦截可疑船只,此时D点与B点的距离为75海里.(1)求B点到直线CA的距离;(2)执法船从A到D航行了多少海里?(结果保留根号)26.如图,在△ABC中,AB=8,BC=6,S△ABC=12.试求tan B的值.27.如图,某人为了测量小山顶上的塔ED的高,他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°,再沿AC方向前进60 m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60°,塔底点E的仰角为30°,求塔ED的高度.(结果保留根号)28.小敏家对面新建了一幢图书大厦,小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°,大厦底部的仰角为30°,如图所示,量得两幢楼之间的距离为20米.(1)求出大厦的高度BD;(2)求出小敏家的高度AE.答案解析1.【答案】D【解析】如图,∵tan A==,∴设BC=x,则AC=3x,∴AB==x,∴cos A===.故选D.2.【答案】C【解析】在Rt△ABC中,由∠C=45°,得AB=BC,在Rt△ABD中,∵tan ∠ADB=tan 60°=,∴BD===AB,又∵CD=50 m,∴BC-BD=50,即AB AB=50,解得AB≈118.即摩天轮的高度AB约是118米.故选C.3.【答案】B【解析】∵∠C=90°,AB=,AC=1,∴BC==2,则tan A==2,故选B.4.【答案】B【解析】如图,连接AC,根据勾股定理可以得到AC=AB=,BC=2.∵()2+()2=(2)2.∴AC2+AB2=BC2.∴△CAB是等腰直角三角形.∴∠ABC=45°,∴∠ABC的正弦值为.故选B.5.【答案】B【解析】根据正切函数的定义,利用△ABC的边表示出两个三角函数,即可求解.tan A·tan B=·=1,故选:B.6.【答案】B【解析】∵∠C=90°,∠A=∠B,∴∠A=45°,∴sin 45°=.故选B.7.【答案】C【解析】∵DE=20 m,DE∶AE=4∶3,∴AE=15 m,∵CF=DE=20 m,CF∶BF=1∶2,∴BF=40 m,∴AB=AE+EF+BF=15+10+40=65 m.故选C.8.【答案】D【解析】过A作AB⊥x轴于B,∵A(4,3),∴PB=3,OB=4,由勾股定理得OA==5,所以cosα==.故选D.9.【答案】A【解析】∵sin 60°=,a<60°,∴sinα<sin 60°=.故选A.10.【答案】B【解析】作DE⊥AB于E,在Rt△ABC中,设BC为3x,则AC为4x,根据勾股定理,AB=5x,设CD为a,BD平分∠ABC,则DE=CD=a,AD=4x-a,AE=5x-3x=2x,在Rt△ADE中,AD2=DE2+AE2,即(4x-a)2=a2+(2x)2,解得a=x,∴tan∠DBC===,故选B.11.【答案】【解析】∵在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,∴AC==4,∴cos A==.12.【答案】4【解析】根据题意画出图形,过B作BD⊥AD,如图所示,∵∠BAC=30°,∠BCD=60°,且∠BCD为△ABC的外角,∴∠ABC=∠BCD-∠BAC=30°,∴∠CAB=∠CBA,又AC=8海里,∴AC=BC=8海里,在直角三角形BCD中,BC=8海里,∠BCD=30°,∴CD=BC=4海里,则要使船与海岛B最近,则船应继续向东前进4海里.13.【答案】【解析】∵在△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=3,∴AB===,∴sin B===.14.【答案】【解析】在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=8,cos B=,∴=,∴BC=.15.【答案】102【解析】过P作PD⊥AB,垂足为D,∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向,距离灯塔86 n mile的A处,∴∠MPA=∠PAD=60°,∴PD=AP·sin ∠PAD=86×=43,∵∠BPD=45°,∴∠B=45°.在Rt△BDP中,BP===43×≈102(n mile).16.【答案】2+1【解析】∵在△ABC中,AD是BC边上的高,∴AD⊥BC,即∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ACD中,∠C=45°,∴∠DAC=45°,∴DC=AD=1,在Rt△ABD中,sin B=,AD=1,∴sin B==,即AB=3,根据勾股定理,得BD==2,则BC=BD+DC=2+1.17.【答案】【解析】∵tan A=,∴设b=x,则a=2x,根据a2+b2=c2,得c=x.∴cos A===.故答案为.18.【答案】【解析】∵小正方形边长为1,∴AB2=8,BC2=10,AC2=2;∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形,且∠CAB=90°,∴sin ∠ABC===.19.【答案】30°【解析】∵tanα=,0<α<90°,∴α=30°.20.【答案】【解析】因为Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4BC,所以AC==BC,所以sin A===.21.【答案】解延长CD,交AE于点E,可得DE⊥AE,在Rt△AED中,AE=BC=30 m,∠EAD=30°,∴ED=AE tan 30°=10m,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=30 m,∴AB=30m,则CD=EC-ED=AB-ED=30-10=20m.【解析】延长CD,交AE于点E,可得DE⊥AE,在直角三角形ABC中,由题意确定出AB的长,进而确定出EC的长,在直角三角形AED中,由题意求出ED的长,由EC-ED求出DC 的长即可.22.【答案】解(1)过A作AD⊥BC于点D.∵S△ABC=BC·AD=84,∴×14×AD=84,∴AD=12.又∵AB=15,∴BD==9.∴CD=14-9=5.在Rt△ADC中,AC==13,∴tan C==.(2)过B作BE⊥AC于点E.∵S△ABC=AC·EB=84,∴BE=,∴sin ∠BAC===.【解析】(1)过A作AD⊥BC于点D,利用面积公式求出高AD的长,从而求出BD、CD、AC 的长,此时再求tan C的值就不那么难了.(2)同理作AC边上的高,利用面积公式求出高的长,从而求出sin A的值.23.【答案】解设建筑物AB的高度为x米.在Rt△ABD中,∠ADB=45°,∴AB=DB=x.∴BC=DB+CD=x+60.在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∴tan ∠ACB=,∴tan 30°=,∴=,3x=(x+60)=x+60,(3-)x=60,x==30+30,∴x=30+30.经检验,x=30+30是分式方程的解.∴建筑物AB的高度为(30+30)米.【解析】设建筑物AB的高度为x米,在Rt△ABD中可得出AB=DB=x,在Rt△ABC中根据tan ∠ACB的值可求出x的值.24.【答案】解过点C作CD⊥AB于点D,由题意得:∠BCD=30°,设BC=x,则:在Rt△BCD中,BD=BC·sin 30°=x,CD=BC·cos 30°=x;∴AD=30+x,∵AD2+CD2=AC2,即+=702,解之得x=50(负值舍去),答:渔船此时与C岛之间的距离为50海里.【解析】过点C作CD⊥AB于点D,由题意得:∠BCD=30°,设BC=x,解直角三角形即可得到结论.25.【答案】解(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H,∵∠MBC=60°,∴∠CBA=30°,∵∠NAD=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BCA=180°-∠BAC-∠CBA=30°,∴BH=BC×sin ∠BCA=150×=75(海里).答:B点到直线CA的距离是75海里;(2)∵BD=75海里,BH=75海里,∴DH==75海里,∵∠BAH=180°-∠BAC=60°,在Rt△ABH中,tan ∠BAH==,∴AH=25海里,∴AD=DH-AH=(75-25)(海里).答:执法船从A到D航行了(75-25)海里.【解析】(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H,根据三角函数可求BH的长即为所求;(2)根据勾股定理可求DH,在Rt△ABH中,根据三角函数可求AH,进一步得到AD的长.26.【答案】解如图,过点A作AD⊥BC的延长线于D,S△ABC=BC·AD=×6×AD=12,解得AD=4,在Rt△ABD中,BD===4,tan B===.【解析】过点A作AD⊥BC的延长线于D,利用三角形的面积求出AD,再利用勾股定理列式求出BD,然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解.27.【答案】解由题知,∠DBC=60°,∠EBC=30°,∴∠DBE=∠DBC-∠EBC=60°-30°=30°.又∵∠BCD=90°,∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-60°=30°.∴∠DBE=∠BDE.∴BE=DE.设EC=x m,则DE=BE=2EC=2x m,DC=EC+DE=x+2x=3x m,BC===x,由题意知,∠DAC=45°,∠DCA=90°,AB=60,∴△ACD为等腰直角三角形,∴AC=DC.∴x+60=3x,解得x=30+10,2x=60+20.答:塔高约为(60+20)m.【解析】先求出∠DBE=30°,∠BDE=30°,得出BE=DE,然后设EC=x m,则BE=2x m,DE =2x m,DC=3x m,BC=x m,然后根据∠DAC=45°,可得AC=CD,列出方程求出x的值,然后即可求出塔DE的高度.28.【答案】解(1)如题图,∵AC⊥BD,∴BD⊥DE,AE⊥DE,∴四边形AEDC是矩形,∴AC=DE=20米,∵在Rt△ABC中,∠BAC=45°,∴BC=AC=20米,在Rt△ACD中,tan 30°=,∴CD=AC·tan 30°=20×=20(米),∴BD=BC+CD=20+20(米);∴大厦的高度BD为(20+20)米;(2)∵四边形AEDC是矩形,∴AE=CD=20米.∴小敏家的高度AE为20米.【解析】(1)易得四边形AEDC是矩形,即可求得AC的长,然后分别在Rt△ABC与Rt△ACD 中,利用三角函数的知识求得BC与CD的长,继而求得答案;(2)结合(1),由四边形AEDC是矩形,即可求得小敏家的高度AE.人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试一、选择题1、3tan60°的值为()A. B. C. D.32、sin45°的值等于()A. B.1 C. D.3、在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是()A.cosA= B.tanA= C.sinA= D.cosA=4、在4×4网格中,∠α的位置如图所示,则tanα的值为()A. B. C.2 D.5、如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,则cosB的值是()A. B. C. D.6、在Rt△ABC中,∠C=90º,,则的值为A. B.C.D.7、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,BC=6,则AB=()A.4 B.6 C.8 D.108、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角板的最大边的长为()A. 3cm B. 6cm C.cm D.cm9、如图,有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P,轮船沿正南方向航行至B处,测得小岛P在南偏东45°方向上,按原方向再航行10海里至C处,测得小岛P在正东方向上,则A,B之间的距离是( )A.10海里 B.(10-10)海里 C.10海里 D.(10-10)海里二、填空题10、计算:= .11、如下图:直角三角形纸片的两直角边长分别为4,8,现将如图那样折叠,使点与点重合,折痕为,则的值是.12、如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB=__________]m.13、.如图,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为.14、如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:,堤高BC=5米,则坝底AC的长度是米.15、全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外,如图,张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′,测得塑像顶部A处的仰角为45°,点D在观测点C正下方城墙底的地面上,若CD=10米,则此塑像的高AB约为___米.(参考数据:tan78°12′≈4.8)16、如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan∠ADN= .三、计算题17、计算:3tan30°﹣2tan45°+2sin60°+4cos60°.18、计算:.四、简答题19、在Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AC=3∶4,求∠A的三个三角函数值.20、如图,九(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度,标杆与旗杆的水平距离,人的眼睛与地面的高度,人与标杆的水平距离,人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线,求旗杆的高度.21、小刚学想测量灯杆AB的高度,结果他在D处时用测角仪测灯杆顶端A的仰角∠AEG=30°,然后向前走了8米来到C处,又测得A的仰角∠AFG=45°,又知测角仪高1.6米,求灯杆AB的高度.(结果保留一位小数;参考数据:≈1.73)22、如图,为了测出某塔CD的高度,在塔前的平地上选择一点A,用测角仪测得塔顶D的仰角为30°,在A.C之间选择一点B(A.B、C三点在同一直线上).用测角仪测得塔顶D的仰角为75°,且AB间的距离为40m.(1)求点B到AD的距离;(2)求塔高CD(结果用根号表示).23、山西绵山是中国历史文化名山,因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称,如图1,是绵山上介子推母子的塑像,某游客计划测量这座塑像的高度,由于游客无法直接到达塑像底部,因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度;如图2,在塑像旁山坡坡脚A处测得塑像头顶C的仰角为75°,当从A处沿坡面行走10米到达P处时,测得塑像头顶C的仰角刚好为45°,已知山坡的坡度i=1:3,且O,A,B在同一直线上,求塑像的高度.(侧倾器高度忽略不计,结果精确到0.1米,参考数据:cos75°≈0.3,tan75°≈3.7,≈1.4,≈1.7,≈3.2)24、如图,A,B两地之间有条河,原来从A地到B地需要经过桥DC,沿折线A→D→C→B到达,现在新建了桥EF,可直接沿直线AB从A地到达B地.已知BC=11km,∠A=45°,∠B=37°,桥DC和AB平行,桥DC与桥EF的长相等.(1)求点D到直线AB的距离;(2)现在从A地到B地可比原来少走多少路程?(结果保留小数点后一位.参考数据:≈1.41,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80).25、甲、乙两条轮船同时从港口A出发,甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行,乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进,1小时后,甲船接到命令要与乙船会合,于是甲船改变了行进的速度,沿着东南方向航行,结果在小岛C处与乙船相遇.假设乙船的速度和航向保持不变,求:(1)港口A与小岛C之间的距离;(2)甲轮船后来的速度.26、如图,海上有一灯塔P,在它周围3海里处有暗礁,一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在北偏东60°方向上,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在北偏东45°方向上,问客轮不改变方向继续前进有无触礁危险?参考答案一、选择题1、D【考点】特殊角的三角函数值.【分析】把tan60的数值代入即可求解.【解答】解:3tan60°=3×=3.故选D.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,正确记忆特殊角的三角函数值是关键.2、D【考点】特殊角的三角函数值.【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可.【解答】解:sin45°=,故选D.【点评】本题考查了特殊角的三角函数的应用,能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键,难度适中.3、C【考点】锐角三角函数的定义.【分析】根据三角函数定义:(1)正弦:我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA.(2)余弦:锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cosA.(3)正切:锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切,记作tanA.分别进行分析即可.【解答】解:在直角△ABC中,∠C=90°,则A、cosA=,故本选项错误;B、tanA=,故本选项错误;C、sinA=,故本选项正确;D、cosA=,故本选项错误;故选:C.【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义,关键是熟练掌握锐角三角函数的定义.4、C【考点】锐角三角函数的定义.【专题】网格型.【分析】根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可.【解答】解:由图可得,tanα=2÷1=2.故选C.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,正确理解正切值的含义是解决此题的关键.5、C【考点】锐角三角函数的定义.【分析】根据在直角三角形中,余弦为邻边比斜边,可得答案.【解答】解:△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,得cosB==,故选:C.【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.6、B7、D【考点】解直角三角形.【分析】在直角三角形ABC中,利用锐角三角函数定义表示出sinA,将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可.【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA==,BC=6,∴AB===10,故选D8、D9、D二、填空题10、;11、12、 5.513、.考点:解直角三角形;特殊角的三角函数值.分析:重叠部分为菱形,运用三角函数定义先求边长AB,再求出面积.解答:解:∵AC=,∴它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为:×1=.故答案为:.14、.【解析】试题分析:∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:,∴BC:A C=1:,∵堤高BC=5米,∴坝底AC=米.故答案为:.考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.15、58_16、【考点】正方形的性质;轴对称的性质;锐角三角函数的定义.【分析】M、N两点关于对角线AC对称,所以CM=CM,进而求出CN的长度.再利用∠ADN=∠DNC 即可求得tan∠ADN.【解答】解:在正方形ABCD中,BC=CD=4.∵DM=1,∴CM=3,∵M、N两点关于对角线AC对称,∴CN=CM=3.∵AD∥BC,∴∠ADN=∠DNC,∵tan=∠DNC==,∴tan∠ADN=.故答案为:.三、计算题17、原式=2.18、.解:原式=1+﹣1+2﹣=2四、简答题19、20、AB=13.5 m21、【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】设AG的长为x米,根据正切的概念分别表示出GF、GE的长,计算即可得到AG,求出AB即可.【解答】解:设AG的长为x米,在Rt△AGE中,EG==x,在Rt△AGF中,GF=AG=x,由题意得,x﹣x=8,解得,x≈10.9,则AB=AG+GB≈12.5米,答:灯杆AB的高度约为12.5米.22、解:(1)过点B作BE⊥AD于点E,∵AB=40m,∠A=30°,∴BE=AB=20m,AE==20m,即点B到AD的距离为20m;(2)在Rt△ABE中,∵∠A=30°,∴∠ABE=60°,∵∠DBC=75°,∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°,∴DE=EB=20m,则AD=AE+EB=20+20=20(+1)(m),在Rt△ADC中,∠A=30°,∴DC==(10+10)m.答:塔高CD为(10+10)m.23、【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.【分析】过点P作PE⊥OB于点E,PF⊥OC于点F,设PE=x,则AE=3x,在Rt△AEP中根据勾股定理可得PE=,则AE=3,设CF=PF=m米,则OC=(m+)米、OA=(m﹣3)米,在Rt△AOC中,由tan75°=求得m的值,继而可得答案.【解答】解:过点P作PE⊥OB于点E,PF⊥OC于点F,∵i=1:3,AP=10,设PE=x,则AE=3x,在Rt△AEP中,x2+(3x)2=102,解得:x=或x=﹣(舍),∴PE=,则AE=3,∵∠CPF=∠PCF=45°,∴CF=PF,设CF=PF=m米,则OC=(m+)米,OA=(m﹣3)米,在Rt△AOC中,tan75°==,即m+=tan75°•(m﹣3),解得:m≈14.3,∴OC=14.3+≈17.5米,答:塑像的高度约为17.5米.24、【考点】解直角三角形的应用.【分析】(1)过点D作DH⊥AB于H,DG∥CB交AB于G,根据平行四边形的判定得出DCBG为平行四边形,在Rt△DGH中,根据DH=DG•sin37,即可求出点D到直线AB的距离;(2)根据(1)先求出GH、AD和AH的长,再根据两条路线路程之差为AD+DG﹣AG,代值计算即可得出答案.【解答】解:(1)如图,过点D作DH⊥AB于H,DG∥CB交AB于G,∵DC∥AB,∴四边形DCBG为平行四边形.∴DC=GB,GD=BC=11.在Rt△DGH中,DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60,∴点D到直线AB的距离是6.60km;(2)根据(1)得:GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80,在Rt△ADH中,AD=DH≈1.41×6.60≈9.31.AH=DH≈6.60,∵两条路线路程之差为AD+DG﹣AG,∴AD+DG﹣AG=(9.31+11)﹣(6.60+8.80)≈4.9(km).即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km.25、【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题.【分析】(1)根据题意画出图形,再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可.(2)根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同,可以求出甲轮船从B到C所用的时间,又知BC间的距离,继而求出甲轮船后来的速度.【解答】解:(1)作BD⊥AC于点D,如图所示:由题意可知:AB=30×1=30海里,∠BAC=30°,∠BCA=45°,在Rt△ABD中,∵AB=30海里,∠BAC=30°,∴BD=15海里,AD=ABcos30°=15海里,在Rt△BCD中,∵BD=15海里,∠BCD=45°,∴CD=15海里,BC=15海里,∴AC=AD+CD=15+15海里,即A、C间的距离为(15+15)海里.(2)∵AC=15+15(海里),轮船乙从A到C的时间为=+1,由B到C的时间为+1﹣1=,∵BC=15海里,∴轮船甲从B到C的速度为=5(海里/小时).26、解:过P作PC⊥AB于C点,如图,据题意知AB=9×=3,∠PAB=90°-60°=30°,[ ∠PBC=90°-45°=45°,∠PCB=90°,∴PC=BC.在Rt△APC中,tan 30°===,即=,∴PC=海里>3海里,∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险.。
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》综合测试卷(含答案)
人教版数学九年级下册 第28章 锐角三角函数综合测试卷(时间90分钟,满分120分)一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,3),那么cosα的值是( ) A.34 B.43 C.35 D.452.如图,CD 是Rt △ABC 斜边上的高.若AB =5,AC =3,则tan ∠BCD 为( ) A.43 B.34C.45D.353.一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m ,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图1所示,则下列关系或说法正确的是( B )A .斜坡AB 的坡比是10° B .斜坡AB 的坡比是tan10°C .AC =1.2tan10° mD .AB = 1.2cos10°m4.如图,在坡度为1∶2的山坡上种树,要求相邻两棵树的水平距离是6 m ,则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( B )A .3 mB .3 5 mC .12 mD .6 m5.下列式子:①sin60°>cos30°;②0<tanα<1(α为锐角);③2cos30°=cos60°;④sin30°=cos60°,其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.若(a-bcos60°)2+|b-2tan45°|=0,则(a-b)2019的值是( )A.1 B.-1 C.0 D.20197.如图,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶3,堤高BC=10 m,则坡面AB的长度是() A.15 m B.20 3 m C.20 m D.10 3 m8.如图,AC⊥BC,AD=a,BD=b,∠A=α,∠B=β,则AC等于()A.asinα+bcosβ B.acosα+bsinβC.asinα+bsinβ D.acosα+bcosβ9. 如图,长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为()A.23m B.26m C.(23-2)m D.(26-2)m10.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔60 n mile的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处,这时,B处与灯塔P之间的距离为()A.60 3 n mile B.60 2 n mile C.30 3 n mile D.30 2 n mile二.填空题(共8小题,3*8=24)11.如图,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,sinα=13,AC =4,则BC =_______,AB =________,CD =_________.12.在△ABC 中,若|sinA -32|+|cosB -22|=0,则∠C =______. 13.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ,他调整自己的位置,设法使斜边DF 保持水平,并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE =40 cm ,EF =20 cm ,测得边DF 离地面的高度AC =1.5 m ,CD =8 m ,则树高AB =________m.14. 如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角(∠O)为60°,A ,B ,C 都在格点上,则tan ∠ABC 的值是________.15.如图,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,∠ACB =30°,将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°后得到△AB 1C 1,B 1C 1交AC 于点D ,如果AD =2 2,那么△ABC 的周长为________.16.如图,点P 在等边三角形ABC 的内部,且PC =6,PA =8,PB =10,将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P′C ,连结AP′,则sin ∠PAP′的值为________.17.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,P 是OA 上的一动点,N(3,0)是OB 上的一定点,M 是ON 的中点,∠AOB =30°,要使PM +PN 最小,则点P 的坐标为________.18.在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸EF ∥MN ,小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向,然后沿河岸走了30 m ,到达B 处,测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向,此时,其他同学测得CD =10 m .请根据这些数据求出河的宽度为______________m.三.解答题(共7小题,66分)19.(8分) 如图,在坐标平面内有一点P(-2,5),连结OP.求OP 与x 轴的负半轴的夹角α的各个三角函数值.20.(8分) 已知tanα的值是方程x 2-x -2=0的一个根,求式子3sinα-cosα2cosα+sinα的值.21.(8分) 如图,在矩形ABCD 中,BC =2.将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°,点A ,C 分别落在点A′,C′处,如果点A′,C′,B 在同一条直线上,求tan ∠ABA′的值.22.(10分)为了保证端午龙舟赛在汉江水域顺利举办,某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上,继续行驶40秒到达B处时,测得建筑物P在北偏西60°方向上,如图所示,求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号).23.(10分) 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点坐标为O(0,0),A(23,0),B(23,2),把矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转α度,使点B正好落在y轴正半轴上,得到矩形OA1B1C1.(1)求角α的度数;(2)求直线A1B1的函数关系式,并判断直线A1B1是否经过点B,为什么?24.(10分) 如图,轮船从点A处出发,先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100 km 的点B处,再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200 km的点C处.(1)求点C与点A的距离(精确到1 km);(2)确定点C相对于点A的方向.(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.(12分) 如图为某区域部分交通线路图,其中直线l1∥l2∥l3,直线l与直线l1,l2,l3都垂直,垂足分别为点A、点B和点C,(高速路右侧边缘),l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上,且BM=3千米,l3上的点N位于点M的北偏东α方向上,且cosα=13 13,MN=213千米,点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点.(1)求l2和l3之间的距离;(2)若城际火车平均时速为150千米/小时,求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时?(结果用分数表示)参考答案:1-5DABBA 6-10BCBBB 11. 2,32,4312. 75° 13. 5.5 14.3215.6+2 3 16.35 17.(32,32)18.(30+103)19. 解:∵OP =OA 2+PA 2=22+52=4+25 =29,∴sinα=PA OP =529=52929,cosα=OA OP =229=22929,tanα=PA OA =52.20. 解:解方程x 2-x -2=0 得x 1=2,x 2=-1. 又∵tanα>0,∴tanα=2, 又∵tanα=sinαcosα,∴原式=3tanα-12+tanα=3×2-12+2=5421. 解: 设AB =x ,则CD =x ,A′C =x +2. ∵AD ∥BC ,∴C′D BC =A′D A′C ,即x 2=2x +2,解得x 1=5-1,x 2=-5-1(舍去). ∵AB ∥CD ,∴∠ABA′=∠BA′C. ∵tan ∠BA′C =BC A′C =25-1+2=5-12,∴tan∠ABA′=5-1 2.22. 解:如图,过P点作PC⊥AB于点C,由题意可知∠PAC=60°,∠PBC=30°,在Rt△PAC中,PCAC=tan∠PAC,∴AC=33PC,在Rt△PBC中,PCBC=tan∠PBC,∴BC=3PC,∵AB=AC+BC=33PC+3PC=10×40=400,∴PC=1003,答:建筑物P到赛道AB的距离为1003米23. 解:(1)∵OA1=23,A1B1=2,∴tan∠A1OB1=223=33,∴锐角∠A1OB1=30°,∴∠α=60°(2)由点A1(3,3),B1(0,4)得直线A1B1表达式为y=-33x+4,当x=23时,y=-33×23+4=2,∴点B(23,2)在直线A1B1上24. 解:(1)过点A作AD⊥BC于点D.由图得,∠ABC=75°-15°=60°.在Rt△ABD中,∵∠ABC=60°,AB=100.∴BD=50,AD=50 3.∴CD=BC-BD=200-50=150.在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC=AD2+CD2=1003≈173(km).即点C与点A的距离约为173 km(2)在△ABC中,∵AB2+AC2=1002+(1003)2=40000,BC2=2002=40000,∴AB2+AC2=BC2.∴∠BAC=90°,∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=90°-15°=75°.答:点C位于点A的南偏东75°方向25. 解:(1)如图,过点M作MD⊥NC于点D,∵cosα=1313,MN =213千米, ∴cosα=DM MN =DM 213=1313,解得DM =2千米,答:l 2和l 3之间的距离为2千米(2)∵点M 位于点A 的北偏东30°方向上,且BM =3千米, ∴tan30°=BM AB =3AB =33,解得AB =3千米, 可得AC =3+2=5(千米),∵MN =213千米,DM =2千米,∴DN =(213)2-22=43(千米), 则NC =DN +BM =53(千米),∴AN =AC 2+CN 2=(53)2+52=10(千米), ∵城际火车平均时速为150千米/小时,∴市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要10150=115小时。
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》检测题含答案1
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》检测题含答案1第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 第1课时 正弦和余弦01 基础题 知识点1 正弦1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,若AB =5,AC =4,则sin B =(B )A .35B .45C .34D .432.(唐山玉田县月考)在Rt △ABC 中,∠C =90°,各边都扩大2倍,则锐角A 的正弦值(C )A .扩大2倍B .缩小12C .不变D .无法确定3.(天津和平区汇文中学单元检测)在△ABC 中,若三边BC ,CA ,AB 满足BC ∶CA ∶AB =5∶12∶13,则sin A 的值是(C )A .512B .125C .513D .12134.在Rt △ABC 中,∠C =90°,a ,b ,c 分别是∠A ,∠B ,∠C 的对边,若2a =3c ,则∠A 25.如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°,a ∶c =2∶3,求sin A 和sin B 的值.解:在Rt △ABC 中,∠C =90°,a ∶c =2∶3, 设a =2k ,c =3k(k>0), 则b =c 2-a 2=5k.∴sin A =a c =2k 3k =23,sin B =b c =5k 3k =53.6.如图,在△ABC 中,∠C =90°,sin A =1213,AB =26,求△ABC 的周长.解:在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =26,sin A =BC AB =1213,∴BC =24,AC =AB 2-BC 2=262-242=10. ∴△ABC 的周长为26+24+10=60.知识点2 余弦7.(湖州中考)如图,已知,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =5,BC =3,则cos B 的值是(A )A .35B .45C .34D .438.(承德六校一模)如图,△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上,则cos C 的值为(D )A .12B .32C .55D .2559.已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =35,则cos B 的值为(B )A .74 B .35 C .34 D .4502 中档题10.如图,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sin A 的值为(B )A .12B .55C .1010D .255解析:如图,连接CD 交AB 于O ,根据网格的特点,CD ⊥AB ,在Rt △AOC 中,CO =12+12=2,AC =12+32=10.则sin A =OC AC =210=55.11.(怀化中考改编)在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =45,AC =6 cm ,求BC 的长度.解:∵sin A =BC AB =45,∴设BC =4x ,AB =5x.又∵AC 2+BC 2=AB 2,∴62+(4x)2=(5x)2,解得x =2或x =-2(舍去). ∴BC =4x =8 cm .12.如图,菱形ABCD 的边长为10 cm ,DE ⊥AB ,sin A =35,求DE 的长和菱形ABCD 的面积.解:∵DE ⊥AB , ∴∠AED =90°.在Rt △AED 中,sin A =DE AD ,即DE 10=35.解得DE =6.∴菱形ABCD 的面积为10×6=60(cm 2). 13.如图,已知⊙O 的半径为5 cm ,弦AB 的长为8 cm ,P 是AB 延长线上一点,BP =2 cm ,求cos P 的值.解:作OC ⊥AB 于C 点. 根据垂径定理, AC =BC =4.∴CP =4+2=6(cm ).在Rt △OAC 中,OC =52-42=3(cm ). 在Rt △OCP 中,根据勾股定理,得 OP =CO 2+CP 2=32+62=35(cm ).故cos P =PC PO =635=255.03 综合题14.(鄂州中考)如图,在矩形ABCD 中,AB =8,BC =12,点E 是BC 的中点,连接AE ,将△ABE 沿AE 折叠,点B 落在点F 处,连接FC ,则sin ∠ECF =(D )A .34B .43C .35D .45。
人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)
人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)28.1《锐角三角函数》一、选择题1.2cos60°=()A.1B.C.D.2.在菱形ABCD中,BD为对角线,AB=BD,则sin∠BAD=()A. B. C. D.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,下列线段的比值等于cosA的值的有()个(1)(2)(3)(4).A.1B.2C.3D.44.tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°=()A. B. C. D.5.计算的值是()A. B. C. D.6.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A、B、C都在小正方形的顶点上,则tan∠CAB的值为()A.1B.C.D.7.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠BOC=120°,则tanA的值为()A. B. C. D.8.计算sin60°+cos45°的值等于()A. B. C. D.9.sin60°的值等于()A. B. C. D.10.在△ABC中,若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13,则sinA的值是( )A. B. C. D.11.tan30°的值为()A. B. C. D.12.如图,点A、B、O是正方形网格上的三个格点,⊙O的半径为OA,点P是优弧上的一点,则cos∠APB的值是()A.45°B.1C.D.无法确定二、填空题13.计算;sin30°•tan30°+cos60°•tan60°= .14.已知在△ABC中,AB=AC=4,BC=6,那么cosB=____________.15.△ABC中,∠A,∠B都是锐角,若sinA=,cosB=,则∠C= .16.在△ABC中,∠B=45°,cosA=,则∠C的度数是________.17.计算:=18.△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且sinA=cosB=,则△ABC是三角形.三、计算题19.计算:20.计算:四、解答题21.先化简,再求值,其中a=1+2cos45°;b=1-2sin45°22.一般地,当α,β为任意角时,sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公式求得:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.例如sin 90°=sin(60°+30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=1.类似地,可以求得sin 15°的值是___________________.23.小明在某次作业中得到如下结果:sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945,sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018,sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873,sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000,sin245°+sin245°≈()2+()2=1.据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°﹣α)=1.(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°﹣α)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.24.如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙0经过点D,E是⊙O上一点,且∠AED=45°,(1)求证:CD是⊙O的切线.(2)若⊙O的半径为3,AE=5,求∠ADE的正弦值.参考答案1.答案为:A;.2.答案为:C3.答案为:C4.答案为:D.5.答案为:A;6.答案为:C.7.答案为:A;8.答案为:B;9.答案为:C10.答案为:C11.答案为:B;.12.答案为:C13.答案为:14.答案为:0.75;15.答案为:60°.16.答案为:75°17.答案为:18.答案为:直角.19.原式=120.原式=721.原式=22.原式=.23.解1:(1)当α=30°时,sin2α+sin2(90°﹣α)=sin230°+sin260°=()2+()2=1;(2)小明的猜想成立,证明如下:如图,在△ABC中,∠C=90°,设∠A=α,则∠B=90°﹣α,∴sin2α+sin2(90°﹣α)=()2+()2===1.24.解:(1)CD与⊙O相切.理由是:连接OD.则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠CDO=∠AOD=90°.∴OD⊥CD,∴CD与⊙O相切.(2)连接BE,由圆周角定理,得∠ADE=∠ABE.∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,AB=2×3=6(cm).在Rt△ABE中,sin∠ABE==,∴sin∠ADE=sin∠ABE=.28.2解直角三角形及其应用一.选择题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AB=2,则∠B等于()A.15°B.20°C.30°D.60°2.在△ABC中,∠ACB=90°,若AC=8,BC=6,则sin A的值为()3.如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ACB等于()A.B.C.D.4.如图,传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3,若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处,则物体从A到B所经过的路程为()A.3米B.米C.2米D.3米5.如图,在国旗台DF上有一根旗杆AF,国庆节当天小明参加升旗仪式,在B处测得旗杆顶端的仰角为37°,小明向前走4米到达点E,经过坡度为1的坡面DE,坡面的水平距离是1米,到达点D,测得此时旗杆顶端的仰角为53°,则旗杆的高度约为()米.(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)A.6.29B.4.71C.4D.5.336.如图,AB是斜靠在墙上的长梯,AB与地面夹角为α,当梯顶A下滑1m到A′时,梯脚B 滑到B′,A'B'与地面的夹角为β,若tanα=,BB'=1m,则cosβ=()7.如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度为i=1:2.4,坡长为26米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为()米(结果精确到1米)(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°=0.45)A.27B.28C.29D.308.数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD.在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为45°,测得与大桥主架的水平距离AB为100米.则大桥主架顶端离水面的高CD为()A.(100+100•sinα)米B.(100+100•tanα)米C.(100+)米D.(100+)米9.某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度,如图,大楼前有一段斜坡BC,已知BC的长为12米,它的坡度i=1:.在离C点40米的D处,用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°,测角仪DE的高度为1.5米,求大楼AB的高度约为多少米?()(结果精确到0.1米)(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.73.)A.39.3B.37.8C.33.3D.25.710.在数学综合实践课上,老师和同学们一起测量学校旗杆的高度,他们首先在旗杆底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°,然后沿着斜坡CD到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A的仰角为37°(身高忽略不计),已知斜坡CD的坡度i=1:2.4,坡面CD长2.6米,旗杆AB所在旗台高度为1.4米,旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面,则旗杆AB的高度为()(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)A.9.5米B.9.6米C.9.7米D.9.8米二.填空题11.如图,在正方形网格中,小正方形的边长为1,点A,B,C,D都在格点上,AB与CD相交于点O,则∠AOC的正切值是.12.如图,在平面直角坐标系中有一点P(6,8),那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为.13.一座建于若干年前的水库大坝,目前坝高4米,现要在不改变坝高的情况下修整加固,将背水坡AB的坡度由1:0.75改为1:2,则修整后的大坝横截面积增加了平方米.14.如图,点P、A、B、C在同一平面内,点A、B、C在同一直线上,且PC⊥AC,在点A处测得点P在北偏东60°方向上,在点B处测得点P在北偏东30°方向上,若AP=12千米,则A,B两点的距离为千米.15.如图,某无人机兴趣小组在操场上开展活动,此时无人机在离地面30米的D处,无人机测得操控者A的俯角为30°,测得点C处的俯角为45°.又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米,则教学楼BC的高度为.(点A,B,C,D都在同一平面上,结果保留根号)三.解答题16.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BC=4,AD=12,sin B=.求:(1)线段CD的长;(2)sin∠BAC的值.17.石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边,为了不影响学生上课,市政在桥旁安装了隔音墙,交通局也对此路段设置了限速,九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验:在桥上依次取B、C、D三点,再在桥外确定一点A,使得AB⊥BD,测得AB之间15米,使得∠ADC =30°,∠ACB=60°.(1)求CD的长(精确到0.01,≈1.73,≈1.41).(2)交通局对该路段限速30千米/小时,汽车从C到D用时2秒,汽车是否超速?说明理由.18.如图,一艘渔船沿南偏东42°方向航行,在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向.又继续航行(40﹣16)海里到达B处,测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向,已知以小岛P为圆心,半径16海里的圆形海域内有暗礁.如果渔船不改变航向有没有触礁的危险,请通过计算加以说明.如果有危险,渔船自B处开始,沿南偏东多少度的方向航行,能够安全通过这一海域?(参考数据:sin22°=,cos22°=,tan22°=)参考答案一.选择题1.解:∵∠C=90°,BC=,AB=2,∴cos B==,∴∠B=30°,故选:C.2.解:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB===10,∴sin A===.故选:A.3.解:如图,作CD⊥AB于点D,作AE⊥BC于点E,由已知可得,AC==,AB=5,BC==5,CD=3,∵S△ABC=AB•CD=BC•AE,∴AE===3,∴CE===1,∴cos∠ACB===,故选:B.4.解:过B作BC⊥地面于C,如图所示:∵BC:AC=1:3,即1:AC=1:3,∴AC=3(米),∴AB===(米),即物体从A到B所经过的路程为米,故选:B.5.解:过点D作DM⊥BC,垂足为M,由题意得,∠B=37°,∠ADF=53°,BE=4,EM=1,∵坡面DE的坡度为1,∴=1,∴DM=EM=1=FC,在Rt△ADF中,∠DAF=90°﹣∠ADF=90°﹣53°=37°,∵tan∠DAF=≈0.75,设AF=x,则DF=0.75x=MC,在Rt△ABC中,∵tan∠B=,∴tan37°=≈0.75,解得x=≈6.29(米),故选:A.6.解:如图.∵在直角△ABC中,∠ACB=90°,tanα=,∴可设AC=4x,那么BC=3x,∴AB===5x,∴A′B′=AB=5x.∵在直角△A′B′C中,∠A′CB′=90°,A′C=4x﹣1,B′C=3x+1,∴(4x﹣1)2+(3x+1)2=(5x)2,解得x=1,∴A′C=3,B′C=4,A′B′=5,∴cosβ=.故选:A.7.解:如图,延长AB交ED的延长线于F,作CG⊥EF于G,由题意得:FG=BC=20米,DE=40米,BF=CG,在Rt△CDG中,i=1:2.4,CD=26米,∴BF=CG=10米,GD=24米,在Rt△AFE中,∠AFE=90°,FE=FG+GD+DE=84米,∠E=24°,∴AF=FE•tan24°≈84×0.45=37.8(米),∴AB=AF﹣BF=37.8﹣10≈28(米);即建筑物AB的高度为28米;故选:B.8.解:在Rt△ABC中,,∴BC=AB•tanα,在Rt△ABD中,tan45°=,∴BD=AB•tan45°=AB,∴CD=a=BC+BD=AB•tanα+AB=(100+100•tanα)米,故选:B.9.解:如图,延长AB交直线DC于点F,过点E作EH⊥AF,垂足为点H.∵在Rt△BCF中,BF:CF=1:,∴设BF=k,则CF=k,∴BC=2k.又∵BC=12,∴k=6,∴BF=6,CF=6,∵DF=DC+CF,∴DF=40+6在Rt△AEH中,tan∠AEH=,∴AH=tan37°×(40+6)≈37.785(米),∵BH=BF﹣FH,∴BH=6﹣1.5=4.5.∵AB=AH﹣HB,∴AB=37.785﹣4.5≈33.3.答:大楼AB的高度约为33.3米.故选:C.10.解:作DH⊥FC交FC的延长线于点H,延长AB交CF的延长线于点T,作DJ⊥AT于点J,如图所示:则四边形EFTB与四边形DHTJ都是矩形,∴BT=EF=1.4米,JT=DH,在Rt△DCH中,CD=2.6米,=,∴DH=1(米),CH=2.4(米),∵∠ACT=45°,∠T=90°,∴AT=TC,设AT=TC=x.则DJ=TH=(x+2.4)米,AJ=(x﹣1)米,在Rt△ADJ中,tan∠ADJ==0.75,∴=0.75,解得:x=11.2,∴AB=AT﹣BT=11.2﹣1.4=9.8(米),故选:D.二.填空题11.解:如图取格点K,连接BK,过点K作KH⊥AB于H,如图所示:∵DB=CK=2,DB∥CK,∴四边形CDBK是平行四边形,∴CD∥BK,∴∠AOC=∠ABK,过点K作KH⊥AB于H.∵AB==,S△ABK=•AK•4=•AB•KH=20,∴HK==,∵BK==2,∴BH===,∴tan∠AOC=tan∠ABK===,故答案为:.12.解:如图作PH⊥x轴于H.∵P(6,8),∴OH=6,PH=8,∴OP==10,∴cosα===.故答案为:.13.解:∵背水坡AB的坡度为1:0.75,AC=4,∴=0.75,解得,BC=3,∵坡AD的坡度为1:2,AC=4,∴CD=8,∴BD=DC﹣BC=5,∴△ADB的面积=×5×4=10(平方米),故答案为:10.14.解:∵PC⊥AC,在点A处测得点P在北偏东60°方向上,∴∠PCA=90°,∠P AC=30°,∵AP=12千米,∴PC=6千米,AC=6千米,∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上,∠PCB=90°,PC=6千米,∴∠PBC=60°,∴BC===2千米,∴AB=AC﹣BC=6﹣2=4(千米),故答案为:4千米.15.解:过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE于点F.由题意得,AB=57,DE=30,∠A=30°,∠DCF=45°.在Rt△ADE中,∠AED=90°,∴tan30°=,即=,∴AE=30,∵AB=57,∴BE=AB﹣AE=57﹣30,∵四边形BCFE是矩形,∴CF=BE=57﹣30.在Rt△DCF中,∠DFC=90°,∴∠CDF=∠DCF=45°.∴DF=CF=57﹣30,∴BC=EF=30﹣57+30=(30﹣27)米.答:教学楼BC高约(30﹣27)米.故答案为:(30﹣27)米.三.解答题16.解:(1)∵AD是BC边上的高,∴∠D=90°,在Rt△ABD中,∵sin B=.∴=,又∵AD=12,∴AB=15,∴BD==9,又∵BC=4,∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5;答:线段CD的长为5;(2)如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E,∵S△ABC=BC•AD=AB•CE∴×4×12=×15×CE,∴CE=,在Rt△AEC中,∴sin∠BAC===,答:sin∠BAC的值为.17.解:(1)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=15米,∴BC===5米,在Rt△ABD中,∠ABD=90°,∠ADB=30°,∴BD=AB=15米,∴CD=BD﹣BC=10≈17.32米,∴CD的长为17.32米;(2)∵30千米/小时=30000÷3600=米/秒,而10÷2≈8.66>,∴汽车超速.18.解:如图1,过点P作PC⊥AB,交AB的延长线于点C,由题意得,∠P AC=64°﹣42°=22°,∠PBC=72°﹣42°=30°,AB=40﹣16,设PC=x,在Rt△PBC中,∵∠PBC=30°,∴BC=PC=x,∴AC=AB+BC=40﹣16+x,在Rt△P AC中,∵∠P AC=22°,∴tan∠P AC=,即=,解得,x=16,即PC=16,BP=2PC=32,∵16<16,∴有危险.如图2,渔船沿着BD方向航行,过点P作PD⊥BD,垂足为D,在Rt△PBD中,∵sin∠PBD===,∴∠PBD=45°,∴∠QBD=∠QBP﹣∠DBP=72°﹣45°=27°,即渔船自B处开始,沿南偏东27°的方向航行,能够安全通过这一海域.。
人教版九年级下学期第28章锐角三角函数 单元过关测试卷 含参考答案
人教版九年级下学期第28章锐角三角函数 单元过关测试卷 含参考答案一、选择题(每小题3分,共18分)1、在Rt △ABC 中,∠C =90º,b=53c ,则sinB 的值是( ) A 、53 B 、54 C 、43 D 、342、在△ABC中,若1sin 02A B -=,则△ABC 是( )A 、等腰三角形B 、等腰直角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形 3、如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB ,cosA=53,BE=2,则tan ∠DBE 的值是( ) A 、21B 、2C 、25D 、554、如图,长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD 为45°,则调整后的楼梯AC 的长为( ) A .32 m B .62 m C .(32﹣2)m D .(62﹣2)m5、一人乘雪橇沿坡度为i=1:3的斜坡滑下,滑下距离S(米)与时间t (秒)之间的关系为S=2210t t +,若滑动时间为4秒,则他下降的垂直高度为( ) A 、72米 B 、36米 C 、336米 D 、318米6、某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动,如图,在点A 处测得直立 于地面的大树顶端C 的仰角为36°,然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处, 然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处,斜面AB 的坡度(或坡比)i=1:2.4,那么 大树CD 的高度约为(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)( ) A .8.1米 B .17.2米 C .19.7米 D .25.5米 二、填空题(每小题3分,共21分)7、在△ABC 中,∠C =90°,若sinB =31,则sinA 的值为 8、如图,P 是∠α 的边OA 上一点,且点P 的坐标为(3,4), 则sin α= 9、升国旗时,某同学站在离旗杆24m 处行注目礼,当国旗升至旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为30°,若两眼距离地面1.2m ,则旗杆高度约为 . (取3=1.732,结果精确到0.1m )10、如图,线段AB 、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高,AB ⊥BC , DC ⊥BC ,两建筑物间距离(第3题) (第4题) (第6题) ED CB A DB C AB D CE ABC=30米,若甲建筑物高AB=28米,在点A 测得D 点的仰角α=45°, 则乙建筑物高DC= 米.11、如图所示,河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3,堤高BC=5m ,则坡面AB 的长度是 米.12、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为13、四边形ABCD 的对角线AC BD ,的长分别为m n ,,可以证明当AC BD ⊥时(如图1),四边形ABCD 的面积12S mn =,那么当AC BD ,所夹的锐角为θ时(如图2),四边形ABCD 的面积S = .(用含m n θ,,的式子表示) 三、解答题(共61分) 14、计算:(8分)(1)45sin 60)︒-︒ (2)3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•tan45°.15、(8分)如图,防洪大堤的横断面是梯形,背水坡AB 的坡比i =(指坡面的铅直高(第10题)(第11题) (第13题)D 图1 C图2度与水平宽度的比).且AB=20 m .身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点,测得高压电线杆端点D 的仰角为30°.已知地面CB 宽30 m ,求高压电线杆CD 的高度(结果保留0.1m,1.732).16、(8分)如图,在四边形ABCD 中,∠BCD 是钝角,AB=AD ,BD 平分∠ABC ,若CD=3,BD=62,sin ∠DBC=33,求对角线AC 的长.17、(8分)某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图,无人飞机从A 处水平飞行至B 处需8秒,在地面C 处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°,B 处的仰角为30°.已知无人飞D CBA机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)18、(8分)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º,已知原滑滑板AB 的长为5米,点D 、B 、C 在同一水平地面上. (1)改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01) (2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?说明理由 (≈1.411.73≈2.45, )19、(10分)通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化。
新人教版九年级数学下册《锐角三角函数》单元综合练习测试卷及答案含有详细解析
新人教版九年级数学下册《锐角三角函数》单元练习测试卷一、选择题1、某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图1所示,点A 是栏杆转动的支点,点E 是栏杆两段的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置,其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB ⊥BC ,EF ∥BC ,∠AEF=143°,AB=AE=1.2米,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为( )(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)A .B .C .D .2、已知Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =4,cos A =,则BC 的长是( ) A .2 B .8 C .2D .43、当A 为锐角,且<cos ∠A <时,∠A 的范围是( )A .0°<∠A <30°;B .30°<∠A <60°;C .60°<∠A <90°;D .30°<∠A <45°4、如果α是锐角,且sin,那么cos (90°﹣α)的值为( )A .B .C .D .5、在Rt △ABC 中,∠C =90°,cosA =,则tanB 等于( )A .B .C .D . 6、cos60°的相反数是( )A .﹣B .﹣C .﹣D .﹣7、如图,某游乐场一山顶滑梯的高为n ,滑梯的倾斜角为α,那么滑梯长m 为( )A .B .C .D .n •sin α8、如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°,那么从乙处看甲处,甲在乙的( )A .俯角30°方向;B .俯角60°方向;C .仰角30°方向;D .仰角60°方向。
9、南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B 处时,测得该岛位于正北方向10(1+)海里的C 处,为了防止某国海巡警干扰,请求我A 处的渔监船前往C 处护航.如图,已知C 位于A 处的东北方向上,A 位于B 的北偏西30°方向上,则A 和C 之间的距离为( ) A .10海里;B .20海里;C .20海里;D .10海里二、填空题10、在△ABC 中,∠C =90°,如果AC =4,sinB =,那么BC =______。
人教版数学九年级下28.1《锐角三角函数》测试(含答案)
锐角三角函数测试时间:100分钟总分:100题号一二三四总分得分一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)1.如图,在△AAA中,AAAA=90∘,AA=AA=4,将△AAA折叠,使点A落在BC边上的点D处,EF为折痕,若AA=3,则sin AAAA的值为( )A. 13B. 2√23C. √24D. 352.如图,在AA△AAA中,AAAA=90∘,AA⊥AA于D,下列式子正确的是()A. sin A=AAAA B. cos A=AAAAC. cot A=AAAD. tan A=AAAA3.如图,在AA△AAA中,斜边AB的长为m,AA=35∘,则直角边BC的长是()A. A sin35∘B. A cos35∘C. Asin35∘D. Acos35∘4.如图是一个3×2的长方形网格,组成网格的小长方形长为宽的2倍,△AAA的顶点都是网格中的格点,则sin AAAA的值()第1页/共13页A. 6√1365B. 5√1378C. √1313D. 5√13265.如图,在AA△AAA中,AA=90∘,A=4,AA=5,则cos A的值是()A. 35B. 45C. 34D. 436.在AA△AAA中,cos A=12,那么sin A的值是()A. √22B. √32C. √33D. 127.在钝角△AAA中,A是钝角,sin A=311,现在拿一个放大三倍的放大镜置于AA上方,则放大镜中的AA的正弦值为()A. 311B. 911C. 611D. 条件不足,无法确定8.在△AAA中,AAAA=90∘,AA=1,AA=2,则下列正确的是()A. sin A=2√55B. tan A=√55C. cos A=√55D. tan A=129.如图,在4×4的正方形方格网中,小正方形的顶点称为格点,△AAA的顶点都在格点上,则图中AAAA的余弦值是()A. √55B. 2√55C. 12D. 210.在AA △AAA中,AA=90∘,AA=13,AA=5,则sin A的值为()A. 513B. 1213C. 512D. 125二、填空题(本大题共10小题,共30.0分)11.如图,正方形ABCD的边长为1,以AB为直径作半圆,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连结DQ,给出如下结论:AAA=1;A AAAA =32;AA△AAA=18;A cos AAAA=35,其中正确结论是______(填写序号)12.如图,网格中的每一个正方形的边长都是1,△AA的每一个顶点都在网格的交点处,则sin A=______ .13.已知CD是AA△AAA斜边上的高线,且AA=10,若AA=8,则cos AAAA=______ .第3页/共13页14.如图,在△AAA中,AA=90∘,AA=5,AA=3,则cos A的值是______.15.如图,在半径为3的⊙A中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AA=2,则tan A= ______ .16.如图,正方形DEFG内接于AA△AAA,AA=90∘,AA=4,AA=9,则tan A=______ .17.如图,在AA△AA中,AA=90∘,AA=13,A=7,则cos A=______.18.如图,AAAA放置在正方形网格中,则AAAA的正切值是______ .19.如图,已知△AAA的三个顶点均在格点上,则cos A的值为______ .20.用不等号“>”或“<”连接:sin50∘______cos50∘.三、计算题(本大题共4小题,共24.0分)21.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,AA=3AA,试求sin AAAA的值.22.如图,已知AB是⊙A的弦,半径AA=2AA,AAA=120∘.(1)求tan AAAA的值;(2)计算A△AAA;第5页/共13页(3)⊙A上一动点P从A点出发,沿逆时针方向运动,当A△AAA=A△AAA时,求P点所经过的弧长.(不考虑点P与点B 重合的情形)23.如图,点E,C在BF上,AA=AA,AAAA=AAAA=45∘,AA=AA=90∘.(1)求证:AA=AA;(2)若AC交DE于M,且AA=√3,AA=√2,将线段CE绕点C顺时针旋转,使点E旋转到AB上的G处,求旋转角AAAA 的度数.24.如图,在四边形ABCD中,BD平分AAA,AAAA=AA=90∘,cos AAAA=4,5的值.求A△AAAA△AA四、解答题(本大题共2小题,共16.0分)25.如图,已知AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,连接AC,BC,过点O作AA⊥AA于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接BD并延长交AE于点F.(1)求证:AA⋅AA=AA⋅AA;(2)若半圆O的直径为10,sin AAAA=3,求AF的长.526.如图,将含30∘角的直角三角板AAA(AA=30∘)绕其直角顶点C顺时针旋转A角(0∘<A<90∘),得到AA△A′A′A,A′A与AB交于点D,过点D作AA//A′A′交AA′于点E,连接AA.易知,在旋转过程中,△AAA为直角三角形.设AA=1,AA=A,△AAA的面积为S.(1)当A=30∘时,求x的值.(2)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围;第7页/共13页(3)以点E为圆心,BE为半径作⊙A,当A=14A△AAA时,判断⊙A与′A的位置关系,并求相应的tan A值.答案和解析【答案】1. A2. A3. A4. A5. B6. B7. A8. C9. A10. B11. AAA12. 3513. 4514. 4515. 2√216. 3217. 71318. 1219. 2√5520. >21. 解:设AA=,则AA=3A,AA=4A,AA=2A,AA=4A,∴AA=√(3A)2+(4A)2=5A,AA=√A2+(2A)2=√5A,AA=√(2A)2+ (4A)2=2√5A,∴AA2+AA2=AA2,∴△AAA是直角三角形,∴sin AAAA=AAAA =√55.第9页/共13页22. 解:(1)作AA ⊥AA . ∵AAAA =120∘, ∴AAAA =60∘. ∴AA =1,AA =√3. ∴tan AAAA =√33.(2)AA =√3,∴AA =2√3.∴A △AAA =2√3×1÷2=√3(AA 2).(3)如图,延长BO 交⊙A 于点A 1, ∵点O 是直径AA 1的中点, A △AA1A =12AA ×A 1A ,A △AAA =12AA ×AA ,∵A 1A =AA ,∴A △A1AA =A △AAA ,AAAA 1=60∘. ∴AA ⏜1的长度为23A (A ). 作点A 关于直径AA 1的对称点A 2,连接AA 2,AA 2,AA 3,易得A △A2AA =A △AAA ,AAAA 2=120∘. ∴AA ⏜2的长度为43A (AA ). 过点B 作AA 3//AA 交⊙A 于点A 3,则A 2A 3直径,易得A △A3AA =A △AAA , ∴AA⏜3的长度=300A ×2180=103A (AA ).23. (1)证明:∵AA =AA , ∴AA =AA ,又∵AAAA =AAAA ,AA =AA , ∴△AAA ≌△AAA , ∴AA =AA .(2)解:∵AAAA =AA =45∘, ∴A //AA ,∴AAAA =AA =90∘,∴AA =AA =√3,AA =AA =√2,∴在AA △AAA 中,AA =√AA 2+A 2=√(√2)2+(√2)2=2, ∴AA =AA =2,在AA △AAA 中,cos AAAA =AA AA=√32, ∴AAAA =30∘,∴AAAA =AAAA −AAAA =45∘−30∘=15∘. 24. 解:∵AA 平分AAAA ,∴AAAA =AAA . 又∵AAAA =AA =90∘, ∴△AAA ∽△AAA . ∴A △AAA A △AAA=(A AA)2,第11页/共13页在AA △AAA 中,∵cos AAAA =AA AA =45, ∴A △AAA A △AAA =(45)2=1625. 25. (1)证明:∵AA 为半圆O 的直径, ∴AA =90∘,∵A ⊥AA ,∴AAAA +AAAA =90∘,AAAA =AA =90∘, ∵AA 是切线,∴A ⊥AA ,∴AA +AAAA =90∘,∴A =AAAA ,∴△AAA ∽△AAA ,∴AA :AA =AA :BC ,∴AA ⋅A =AA ⋅AA .(2)解:作AA ⊥A 于M ,∵半圆O 的直径为10,sin AAAA =35, ∴AA =AA ⋅sin AAAA =6,∴AA =√AA 2−AA 2=8,∵AA ⊥AA ,∴AA =12AA =4,AA =12AA =3, ∴sin AAAA =A AA =35, ∵sin AAAA =sin AAA =AAAA , ∴A =125,AA =√AA 2−AA 2=√42−(125)2=165,AA =AA −AA=345,∵AA//AA,∴AAA =AAAA,∴AA=6017.26. 解:(1)∵AA=A=30∘,又∵AAAA=90∘,∴AAAA=AAAA=60∘.∴AA=AA=AA=1.∴A=1;(2)∵AAAA=90∘,AAAA=60∘,∴AA=AAAA=30∘.∴AA=√3AA=√3,AA=2AA=2.由旋转性质可知:AA=A′A,AA=A′A,AAAA=AAAA,∴△AA∽△AAA,∴AAAA =AAAA,∴AA=√33A.∵AA=2−A,∴A=12×√33A(2−A)=−√36A2+√33A.(0<A<2)(3)∵=14A△AAA第13页/共13页 ∴−√36A 2+√33A =√38, ∴4A 2−8A +3=0, ∴A 1=12,A 2=32. A 当A =12时,AA =2−12=32,AA =√33×12=√36. ∴AA =√AA 2+AA 2=13√21. ∵AA //A′A′,∴AAAA =AA′=AA =30∘. ∴AA =12AA =16√21>AA , ∴此时⊙A 与A′A 相离. 过D 作AA ⊥AA 于F ,则AA =12A =14,AA =√3AA =√34. ∴AA =√3−√34=34√3. ∴tan A =AAAA=√39. (12分) A 当A =32时,AA =2−32=12,AA =√32. ∴AA =√AA 2+AA 2=1, ∴AA =12AA =12<AA , ∴此时⊙A 与相交.同理可求出tan A =3414√3=√3.。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)单元综合测试题(含解析)
人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》单元综合测试题(附答案)一.选择题(共8小题,满分32分)1.在Rt△ABC中,各边都扩大5倍,则∠A的三角函数值( )A.不变B.扩大5倍C.缩小5倍D.不能确定2.已知α为锐角,且tanα=,则sinα=( )A.B.C.D.3.已知α为锐角,下列结论:①sinα+cosα=1;②如果α>45°,那么sinα>cosα;③如果cosα>,那么α<60°;④=1﹣sinα,正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知α为锐角,且cos(α﹣20°)=,则α等于( )A.45°B.55°C.60°D.65°5.如图△ABC中,AD⊥BC交BC于点D,AD=BD,若AB=,tan C=,则BC=( )A.8B.C.7D.6.在△ABC中,AC≠BC,∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,则下列比值中不等于sin A的是( )A.B.C.D.7.如图,在边长为1的正方形网格中,连接格点D、N和E、C,DN和EC相交于点P,tan∠CPN为( )A.1B.2C.D.8.如图,两条宽度均为60m的公路相交成α角,那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是( )A.(m2)B.(m2)C.3600sinα(m2)D.3600cosα(m2)二.填空题(共8小题,满分32分)9.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若tan∠ABC=2,AB=2,则AC= .10.如果α是锐角,且sinα=,那么cosα的值为 .11.若在Rt△ABC中,tanα=3,则∠α= °.12.如图Rt△ABC,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若AC=12,sin B=,则BD = .13.如图,线段AC,BD交于点P,∠A=30°,∠ACD=120°,∠D=15°,AB=1,CD =,则BD的长为 .14.如图,某景区门口的柱子上方挂着一块景点宣传牌CD,宣传牌的一侧用绳子AD和BC 牵引着两排小风车,经过测量得到如下数据:AM=2米,AB=4米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则CD的长度约为 米.(≈1.73,结果精确到0.1米)15.如图是某水库大坝横断面示意图.其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线,∠ABC =135°,BC的长是40m,则水库大坝的高度h是 m.(结果保留根号)16.人字梯为现代家庭常用的工具(如图).若AB,AC的长都为2m,当α=50°时,人字梯顶端离地面的高度AD是 m.(结果精确到0.1m,参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)三.解答题(共6小题,满分56分)17.(1)计算:2cos30°﹣tan45°﹣.(2)在△ABC中,∠C=90°,sin A=,AB=15,求△ABC的周长和tan A的值.18.某校一棵大树发生一定的倾斜,该树与地面的夹角∠ABC=75°.小明测得某时大树的影子顶端在地面C处,此时光线与地面的夹角∠ACB=30°;又过了一段时间,测得大树的影子顶端在地面D处,此时光线与地面的夹角∠ADB=50°.若CD=8米,求该树倾斜前的高度(即AB的长度).(结果保留一位小数.参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19,sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73,≈1.73)19.10月1日,中华人民共和国成立70周年,成都市天府广场举行了盛大的升旗仪式,我市部分学生有幸见证了这一激动人心的时刻,并在现场作了如下测量工作:身高1.8米的某同学(图中AE部分)在护旗手开始走正步的点A处测得旗杆顶部D的仰角为22°,在护旗手结束走正步的点B处测得旗杆顶部D的仰角为45°,又测量得到A,B两点间的距离是30米,求旗杆DC的高度.(结果精确到0.1米;参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40.)20.如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,求A,C两港之间的距离.21.图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线O﹣A﹣B﹣C表示支架,支架的一部分O﹣A﹣B是固定的,另一部分BC是可旋转的,线段CD表示投影探头,OM表示水平桌面,AO⊥OM,垂足为点O,且AO=7cm,∠BAO=160°,BC∥OM,CD=8cm.将图2中的BC绕点B向下旋转45°,使得BCD落在BC′D′的位置(如图3所示),此时C′D′⊥OM,AD′∥OM,AD′=16cm,求点B到水平桌面OM的距离,(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,cot70°≈0.36,结果精确到1cm)22.汽车驾驶员坐在驾驶座位上,其视线观察不到的地方叫“汽车盲区”.如图是一辆汽车的“车头盲区”示意图,其中AC⊥BC,DE⊥BC,驾驶员所处位置的高度AC为1.4米,驾驶员座位AC与车头DE之间距离为2米,当驾驶员从A点观察车头D点时,其视线的俯角为12°,点A、D、B在同一直线上.(1)请直接写出∠ABC的度数;(2)求“车头盲区”点B、E之间的距离.(结果精确到0.1米)参考数据:sin12°=0.20,cas12°=0.99,tan12°=0.21参考答案一.选择题(共8小题,满分32分)1.解:∵各边都扩大5倍,∴新三角形与原三角形的对应边的比为5:1,∴两三角形相似,∴∠A的三角函数值不变,故选:A.2.解:设在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=α,则sinα=,tanα=,a2+b2=c2,∵tanα=知,∴可设a=x,则b=3x,∴c==x.∴sinα===,故选:D.3.解:①如图,sinα=,cosα=,则sinα+cosα=+=>1,故结论错误;②因为sin45°=cos45°=,且在锐角范围内,正弦函数为增函数,余弦函数为减函数,故α>45°时,sinα>,cosα<,于是sinα>cosα,故结论正确;③因为cos60°=,且在锐角范围内,余弦函数为减函数,故cosα>时,α<60°,故结论正确;④因为在sinα≤1,所以=1﹣sinα,故结论正确.故选:C.4.解:∵已知α为锐角,cos(α﹣20°)=,∴α﹣20°=45°,∴α=65°,故选:D.5.解:∵AD⊥BC交BC于点D,AD=BD,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD=AB=4,∵tan C==,∴CD=3,∴BC=BD+CD=7;故选:C.6.解:在Rt△ABC中,sin A=,在Rt△ACD中,sin A=,∵∠A+∠B=90°,∠B+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD,在Rt△BCD中,sin A=sin∠BCD=,故选:D.7.解:连接格点MN、DM,如图所示:则四边形MNCE是平行四边形,△DAM和△MBN都是等腰直角三角形,∴EC∥MN,∠DMA=∠NMB=45°,DM=AD=2,MN=BM=,∴∠CPN=∠DNM,∴tan∠CPN=tan∠DNM,∵∠DMN=180°﹣∠DMA﹣∠NMB=180°﹣45°﹣45°=90°,∴tan∠CPN=tan∠DNM===2,故选:B.8.解:如图,α的对边AC即为路宽60米,即sinα=,即斜边=,又∵这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)是菱形,∴路面面积=底边×高=×60=.故选:A.二.填空题(共8小题,满分32分)9.解:∵tan∠ABC=2=,∴设AC=2x,BC=x,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,即(2x)2+x2=(2)2解得:x=2(负数舍去),即AC=4,故答案为:4.10.解:∵sin2α+cos2α=1,sinα=,∴+cos2α=1,∴cos2α=,∵α是锐角,∴cosα=,故答案为:.11.解:在Rt△ABC中,∵tanα=3,∴tanα==,∴α=60°,故答案为:60.12.解:在Rt△ABC中,sin B==,∴BC=×12=15,∵AD⊥BC,∴∠DAB+∠B=90°,而∠DAC+∠DAB=90°,∴∠DAC=∠B,在Rt△ACD中,sin∠DAC=sin B==,∴CD=×12=,∴BD=BC﹣CD=15﹣=.故答案为.13.解:作BM⊥AC于M,CN⊥BD于N,在DB上取一点H,使得DH=CH,连接CH.∵∠D=15°,∠PCD=120°,∴∠CPD=∠APB=180°﹣120°﹣15°=45°,∵∠AMB=∠BMP=90°,∠A=30°,∴BM=PM=AB=,∴BP=BM=,设PN=x,则CN=PN=x,∵HC=HD,∴∠HCD=∠D=15°,∴∠CHN=30°,∴CH=DH=2x,NH=x,在Rt△CDN中,∵CN2+DN2=CD2,∴x2+(x+2x)2=()2,∴x=,∴PD=3x+x=(3+)x=,∴BD=BP+PD=2.解法二:如图,过点B作BM⊥AC于M,过点D作DN⊥AC交AC的延长线于N.由题意,△PBM,△PDN都是等腰直角三角形,∵BM=AB=,∴PB=,∴DN=CD•sin60°=,∴PD=DN=,∴BD=PB+PD=2.故答案为2.14.解:在Rt△AMD中,∠MAD=45°,∴DM=AM⋅tan45°=2(m),在Rt△BMC中,∠MBC=30°,∴CM=BM⋅tan30°,∵BM=AM+AB=2+4=6(m),∴CM=6×≈3.46(m),∴CD=CM﹣DM=3.46﹣2≈1.5(米),答:警示牌的高CD为1.5米.15.解:如图,作CH⊥AB于点H.∵∠ABC=135°,∴∠CBH=45°,∴CH=BC•sin45°=40×=20(m),故答案为:20.16.解:∵AB=AC=2m,AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴AD=AC•sin50°=2×0.77≈1.5(m),故答案为1.5.三.解答题(共6小题,满分56分)17.解:(1)原式=2×﹣1﹣|1﹣|=﹣1﹣+1=0;(2)如图所示:∵sin A==,AB=15,∴BC=AB=×15=12.∴AC===9,∴△ABC的周长为9+12+15=36.∴tan A===.18.解:过A作AH⊥BC于H,在Rt△ACH中,∵∠C=30°,∴tan30°=,∴CH==AH,在Rt△ADH中,∵∠ADH=50°,∴tan∠ADH=≈1.19,∴DH=,∵CD=CH﹣DH=AH﹣AH=8,∴AH≈8.99,在Rt△AHB中,∵∠B=75°,∴sin75°=,∴AB=≈8.99÷0.97≈9.3米,答:该树倾斜前的高度是9.3米.19.解:延长EF交CD于G,∵∠DEF=22°,∠DFG=45°,∴在Rt△DGF中,DG=GF,在Rt△DGE中,tan22°=,即EG=≈2.5DG,∵2.5DG﹣DG=30,解得DG=20,则DC=DG+CG=20+1.8=21.8(米).答:旗杆DC的高度大约是21.8米.20.解:根据题意得,∠CAB=65°﹣20°=45°,∠ACB=40°+20°=60°,AB=90,过B作BE⊥AC于E,∴∠AEB=∠CEB=90°,在Rt△ABE中,∵∠ABE=45°,AB=90,∴AE=BE=AB=90(km),在Rt△CBE中,∵∠ACB=60°,∴CE=BE=30(km),∴AC=AE+CE=(90+30)(km),∴A,C两港之间的距离为(90+30)km.21.解:过B作BG⊥OM于G,过C′作C′H⊥BG于H,延长D′A交BG于E,则C′H=D′E,HE=C′D′=8,设AE=x,∴C′H=D′E=16+x,∵∠BC′H=45°,∴BH=C′H=16+x,∴BE=16+x+8=24+x,∵∠BAO=160°,∴∠BAE=70°,∴tan70°===,解得:x=13.5,∴BE=37.5,∴BG=BE+EG=BE+AO=37.5+7=44.5≈45cm,答:B到水平桌面OM的距离为45cm.22.解:(1)由题意知∠ABC=12°;(2)在Rt△ABC中,BC=AC÷tan∠ABC=1.4÷0.21=6.67(米),∴BE=BC﹣CE=6.67﹣2≈4.7(米),答:“车头盲区”点B、E之间的距离4.7米.。
九年级数学下册 第章 锐角三角函数单元测试卷含解析新版新人教版
《第28章锐角三角函数》单元测试卷一.选择题(共10小题)1.Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=2,AC=3,以下各式中正确的选项是()A.B.C.D.2.在Rt△ABC中,各边都扩大5倍,则角A的三角函数值()A.不变B.扩大5倍C.减小5倍D.不可以确立3.如图,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则sinα的值为()A.B.C.D.4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,那么tanB的值是()A.B.C.D.5.cos30°的相反数是()A.B.C.D.6.用计算器计算cos44°的结果(精准到0.01)是()A.0.90 B.0.72 C.0.69 D.0.667.如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延伸线上的一点,且BD=BA,则tan ∠DAC的值为()A.2+ B.2 C.3+ D.38.如图,沿AC方向修山路,为了加速施工进度,要在小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=145°,BD=500米,∠D=55°,使A、C、E在一条直线上,那么开挖点E与D的距离是()A.500sin55°米B.500cos35°米C.500cos55°米D.500tan55°米9.小明沿着坡度为1:的坡面向下走了2米,那么他降落高度为()A.1米B.米C.2米D.米10.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为()A.7sinα米B.7cosα米C.7tanα米D.(7+α)米二.填空题(共5小题)11.如图,若点A的坐标为,则sin∠1=.12.比较以下三角函数值的大小:sin40°cos40°(选填“>”、“=”、“<”).13.已知sinα=,则tanα=.14.已知α为一锐角,且cosα=sin60°,则α=度.15.假如,那么锐角A的度数为.三.解答题(共5小题)16.如图,定义:在直角三角形ABC中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作ctan α,即ctanα==,依据上述角的余切定义,解以下问题:(1)ctan30°=;(2)如图,已知tanA=,此中∠A为锐角,试求ctanA的值.17.以下关系式能否建立(0<α<90°),请说明原因.(1)sinα+cosα≤1;(2)sin2α=2sinα.18.计算:cos30°﹣sin60°+2sin45°?tan45°.19.△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=4,求AB的长?20.如图1是一台搁置在水平桌面上的笔录本电脑,将其侧面抽象成如图2所示的几何图形,若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm,点P为眼睛所在地点,D为AO 的中点,连结PD,当PD⊥AO时,称点P为“最正确视角点”,作PC⊥BC,垂足C在OB的延伸线上,且BC=12cm.(1)当PA=45cm时,求PC的长;(2)若∠AOC=120°时,“最正确视角点”P在直线PC上的地点会发生什么变化?此时PC的长是多少?请经过计算说明.(结果精准到0.1cm,可用科学计算器,参照数据:≈1.414,≈1.732)2019年人教版九下数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷参照答案与试题分析一.选择题(共10小题)1.【剖析】本题能够利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解,再进行判断即可.【解答】解:∵∠C=90°,BC=2,AC=3,∴AB=,A.sinA===,故此选项错误;B.cosA==,故此选项错误;C.tanA==,故此选项正确;D.cotA==,故此选项错误.应选:C.【评论】本题主要考察了锐角三角函数的定义以及勾股定理,娴熟应用锐角三角函数的定义是解决问题的重点.2.【剖析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相像,那么对应角相等,相应的三角函数值不变.【解答】解:∵各边都扩大5倍,∴新三角形与原三角形的对应边的比为5:1,∴两三角形相像,∴∠A的三角函数值不变,应选:A.【评论】用到的知识点为:三边对应成比率,两三角形相像;相像三角形的对应角相等.三角函数值只与角的大小有关,与角的边的长短没关.3.【剖析】过点P作PE⊥x轴于点E,则可得OE=3,PE=m,在Rt△POE中求出OP,既而可得sinα的值.【解答】解:过点P作PE⊥x轴于点E,则可得OE=3,PE=m,在Rt△POE中,tanα==,解得:m=4,则OP==5,故sinα=.应选:A.【评论】本题考察了勾股定理及同角的三角函数关系,解答本题的重点是求出OP的长度.4.【剖析】设BC=2x,AB=3x,由勾股定理求出AC=x,代入tanB=求出即可.【解答】解:∵sinA==,∴设BC=2x,AB=3x,由勾股定理得:AC==x,∴tanB===,应选:A.【评论】本题考察认识直角三角形,勾股定理的应用,求锐角的三角函数值的方法:利用锐角三角函数的定义,经过设参数的方法求三角函数值,或许利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值.5.【剖析】依据特别角的三角函数值得出cos30°的值,而后依据相反数的定义可得出答案.【解答】解:∵cos30°=,∴它的相反数为﹣.应选:C.【评论】本题考察了特别角的三角函数值,特别角的三角函数值是需要我们娴熟记忆的内容,必定要掌握.6.【剖析】本题要求娴熟应用计算器,对计算器给出的结果,依占有效数字的观点用四舍五入法取近似数.【解答】解:用计算器解cos44°=0.72.应选:B.【评论】本题要求同学们能娴熟应用计算器,熟习计算器的各个按键的功能.7.【剖析】经过解直角△ABC获得AC与BC、AB间的数目关系,而后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值.【解答】解:如图,∵在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,∴AB=2AC,BC==AC.∵BD=BA,∴DC=BD+BC=(2+)AC,∴tan∠DAC===2+.应选:A.【评论】本题考察认识直角三角形,利用锐角三角函数的观点解直角三角形问题.8.【剖析】由∠ABD度数求出∠EBD度数,从而确立出∠E=90°,在直角三角形BED中,利用锐角三角函数定义即可求出ED的长.【解答】解:∵∠ABD=145°,∴∠EBD=35°,∵∠D=55°,∴∠E=90°,在Rt△BED中,BD=500米,∠D=55°,∴ED=500cos55°米,应选:C.【评论】本题考察认识直角三角形的应用,娴熟掌握锐角三角函数定义是解本题的重点.9.【剖析】依据坡度算出坡角的度数,利用坡角的正弦值即可求解.【解答】解:∵坡度tanα==1:.∴α=30°.∴降落高度=坡长×sin30°=1米.应选:A.【评论】本题主要考察特别坡度与坡角的关系.10.【剖析】利用三角函数即可直接求解.【解答】解:在直角△ABC中,tanA=,则BC=AC?tanA=7tanα(米).应选:C.【评论】本题考察仰角的定义,要修业生能利用三角函数的定义解直角三角形.二.填空题(共5小题)11.【剖析】依据勾股定理,可得OA的长,依据正弦是对边比斜边,可得答案.【解答】解:如图,,由勾股定理,得OA==2.sin∠1==,故答案为:.【评论】本题考察了锐角三角函数,利用勾股定理得出OA的长是解题重点.12.【剖析】第一依据正余弦的变换方法,得cos40°=sin50°,再依据正弦值跟着角的增大而增大,进行剖析.【解答】解:∵cos40°=sin50°,正弦值跟着角的增大而增大,又∵40°<50°,∴sin40°<cos40°.【评论】掌握正余弦的变换方法,以及正弦值的变化规律.13.【剖析】第一依据题意画出图形,由sinα=,可设AB=5x,BC=3x,而后利用勾股定理可求得AC的长,既而求得答案.【解答】解:如图:设∠A=α,∵sinα=,∴=,设AB=5x,BC=3x,则AC==4x,∴tanα==.故答案为:.【评论】本题考察了同角三角函数的关系.本题难度不大,注意掌握三角函数的定义,注意数形联合思想的应用.14.【剖析】依据∠A,∠B均为锐角,若sinA=cosB,那么∠A+∠B=90°即可获得结论.【解答】解:∵sin60°=cos(90°﹣60°),∴cosα=cos(90°﹣60°)=cos30°,即锐角α=30°.故答案为:30.【评论】本题考察了互余两角的三角函数关系,切记互余两角的三角函数关系是解答此类题目的重点.15.【剖析】依据30°角的余弦值等于解答.【解答】解:∵cosA=,∴锐角A的度数为30°.故答案为:30°.【评论】本题考察了特别角的三角函数值,熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的重点.三.解答题(共5小题)16.【剖析】(1)依据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值,再依据锐角三角函数的定义进行解答即可;(2)因为tanA=,因此可设BC=3x,AC=4x,则AB=5x,再依据锐角三角函数的定义进行解答即可.【解答】解:(1)∵Rt△ABC中,α=30°,∴BC=AB,∴AC===AB,∴ctan30°==.故答案为:;(2)∵tanA=,∴设BC=3x,AC=4x,∴ctanA===.【评论】本题考察的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质,熟知锐角三角函数的定义是解答本题的重点.17.【剖析】(1)利用三角函数的定义和三角形的三边关系获得该结论不建立;(2)举出反例进行论证.【解答】解:(1)该不等式不建立,原因以下:如图,在△ABC中,∠B=90°,∠C=α.则sinα+cosα=+=>1,故sinα+cosα≤1不建立;(2)该等式不建立,原因以下:假定α=30°,则sin2α=sin60°=,2sinα=2sin30°=2×=1,∵≠1,∴sin2α≠2sinα,即sin2α=2sinα不建立.【评论】本题考察了同角三角函数的关系.解题的重点是掌握锐角三角函数的定义和特别角的三角函数值.18.【剖析】直接利用特别角的三角函数值代入求出即可.【解答】解:原式=﹣+2××1=.【评论】本题主要考察了特别角的三角函数值,正确记忆有关数据是解题重点.19.【剖析】第一过点C作CD⊥AB于D点,由在Rt△ADC中,∠A=30°,AC=4,即可求得CD 与AD的长,又由在Rt△CDB中,∠B=45°,即可求得BD的长,既而求得答案.【解答】解:过点C作CD⊥AB于D点,在Rt△ADC中,∠A=30°,AC=4,∴CD=AC=×4=2,∴AD===2,在Rt△CDB中,∠B=45°,CD=2,∴CD=DB=2,∴AB=AD+DB=2+2.【评论】本题考察认识直角三角形的应用.注意正确作出协助线是解本题的重点.20.【剖析】(1)连结PO.先由线段垂直均分线的性质得出PO=PA=45cm,则OC=OB+BC=36cm,而后利用勾股定理即可求出PC==27cm;(2)过D作DE⊥OC交BO延伸线于E,过D作DF⊥PC于F,则四边形DECF是矩形.先解Rt△DOE,求出DE=DO?sin60°=6,EO=DO=6,则FC=DE=6,DF=EC=EO+OB+BC=42.再解Rt △PDF,求出PF=DF?tan30°=42×=14,则PC=PF+FC=14+6=20≈34.68>27,即可得出结论.【解答】解:(1)当PA=45cm时,连结PO.∵D为AO的中点,PD⊥AO,∴PO=PA=45cm.∵BO=24cm,BC=12cm,∠C=90°,∴OC=OB+BC=36cm,PC==27cm;(2)当∠AOC=120°,过D作DE⊥OC交BO延伸线于E,过D作DF⊥PC于F,则四边形DECF 是矩形.在Rt△DOE中,∵∠DOE=60°,DO=AO=12,∴DE=DO?sin60°=6,EO=DO=6,∴FC=DE=6,DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42.在Rt△PDF中,∵∠PDF=30°,∴PF=DF?tan30°=42×=14,∴PC=PF+FC=14+6=20≈34.6>27,∴点P在直线PC上的地点上涨了,此时PC的长约是34.6cm.【评论】本题考察认识直角三角形的应用,线段垂直均分线的性质,勾股定理,矩形的判断与性质,锐角三角函数的定义,正确作出协助线结构直角三角形是解题的重点.。
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28.1 锐角三角函数
1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A ,A ′的余弦值的关系为( )
A .cosA=cosA ′
B .cosA=3cosA ′
C .3cosA =cosA ′
D .不能确定 2.如图1,已知P 是射线OB 上的任意一点,PM ⊥OA 于M ,且PM :OM=3:4,则 cos α的值等于( )
A .
34 B .43 C .45 D .3
5
图1 图2 图3
3.在△ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列各项中正确的是( )
A .a=c ·sin
B B .a =c ·cosB
C .a=c ·tanB
D .以上均不正确 4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=
2
3
,则tanB 等于( )
A .
35 B .3
C .25.
2
5.在Rt △ABC 中,∠C=900167,AC=5,AB=13,则sinA=______,cosA=______,•tanA=_______. 6.如图2,在△ABC 中,∠C=90°,BC :AC=1:2,则sinA=_______,cosA=______,tanB=______.
7.如图3,在Rt △AB C 中,∠C=90°,b=20,B 的度数为_______. 8.如图1-1-6,在△CDE 中,∠E=90°,DE=6,CD=10,求∠D 的三个三角函数值.
9.已知:α是锐角,tan α=
7
24
,则sin α=_____,cos α=_______.
10.如图,角α的顶点在直角坐标系的原点,一边在x 轴上,•另一边经过点P (2,,求角α的三个三角函数值.
11.在Rt △ABC 中,两边的长分别为3和4,求最小角的正弦值.
12.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD ⊥AC 于D ,∠CBD=α,AB=3,•BC=4,•求sin α,
cos α,tan α的值.
参考答案:
1.A 2.C 3.B 4.C 5.1213,513,12
5
6.
1
5
25
2 7.45°
8.sinD=4
5
,cosD=
3
5
,tanD=
4
3
9.
724
,
2525
•
10.sinα=
2,cosα=
1
2
,tanα.
3
5
或
4
12.sinα=4
5
,cosα=
3
5
,tanα=
4
3。