高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算导数概念与运算基础知识总结素材新人教A版选修2-2剖析

导数概念与运算基础知识总结

知识清单 1．导数的概念

函数y =f (x ),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值

x

y

∆∆叫做函数y =f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x

x f x x f ∆-∆+)()(00。如果当0→∆x 时，x y ∆∆有极限，我们就说函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y ’|0x x =。

即f （x 0）=0

lim →∆x x y

∆∆=0lim →∆x x

x f x x f ∆-∆+)()(00。 说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。如果x

y

∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率

x y ∆∆=x

x f x x f ∆-∆+)

()(00； （3）取极限，得导数f ’(x 0)=x

y

x ∆∆→∆0lim 。

2．导数的几何意义

函数y =f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y =f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y =f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /

（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:

①0;C '= ②()1

;n

n x nx

-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1

l g log a a o x e x

'=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=

若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭

⎫

⎝⎛v u ‘=

2

'

'v

uv v u -（v ≠0）。 形如y =f [x (ϕ])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X

导数应用 知识清单

1． 单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

如果'

f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'

f 0)(

如果在某区间内恒有'

f 0)(=x ，则)(x f 为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：

一般地，在区间[a ，b ]上连续的函数f )(x 在[a ，b ]上必有最大值与最小值。 ①求函数ƒ)(x 在(a ，b )内的极值；

②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a )、ƒ(b )；

③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a )、ƒ(b )比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分

（1）概念：设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0

∑n

i f 1

＝(ξ

i

)△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限

叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：

⎰

b

a

dx x f )(，即⎰b

a

dx x f )(＝

∑=∞

→n

i n f 1

lim (ξi )△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。

基本的积分公式：

⎰dx 0＝C ；

⎰dx x m ＝

11

1

++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）； ⎰x 1

dx ＝ln x ＋C ；

⎰dx e

x

＝x e ＋C ；

⎰dx a x

＝a a x

ln ＋C ；

⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；

⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）。

（2）定积分的性质