2016年八年级下学期数学培优第6课时

第6讲正方形专题（一）
专题一线段垂直在正方形证明中的作用
例1、如图（1），点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：△BCH是等腰三角形；
例2、已知正方形ABCD．
（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；
（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；
（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．
AG 于点F.
(1) 求证：DE －BF ＝ EF ．
(2) 当点G 为BC 边中点时， 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由． (3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．
例4、点P 是正方形ABCD 的边BC 上任意一点，过B 点作BG ⊥AP 于G ，过C 作CE ⊥AP 于E ，连接BE
（1） 如图1，若P 是BC 的中点，BC=2，求CE 的长
（2） 如图2.当点P 在BC 上运动时（ 不与B 、C 重合），求AG-CE
BE 的值
P G
E
D C
B A P G E
D C B
A
使AG GE =，连接BE ，CE . （1）求证：BE BC =；
（2）CBE ∠的平分线交AE 于N 点，连接DN
，求证：
BN DN AN +=； （3）若正方形的边长为2，当P 点为BC 的中点时，请直接写出CE 的长为 .
专题二 旋转的思想与正方形问题 一 利用边作为旋转的入手点
例1、如图，在正方形ABCD 中，F E 、分别是边CD BC 、上的点，满足CEF ∆的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，AF AE 、分别与对角线BD 交于N M 、，试问线段BM 、MN 、DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。

例2、如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE ． （1）求证：CE=CF ；
（2）在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？ （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B=90°，AB=BC=12，E 是AB 的中点，且∠
DCE=45°，求
DE 的长；
②如图3，在△ABC 中，∠BAC=45°，AD ⊥BC ，BD=2，CD=3，求△ABC 的面积。

例3、正方形ABCD中，E为直线AB上任意一点，DF⊥DE交直线BC的延长线于点F，直线EF、AC交于点H，连接DH
（1）如图1当，点E在AB上时，①判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系，并证明；②AH-HC与AE之间的数量关系，并证明；③求证：AB+AE=2AH
（2）当点E在AB的反向延长线上时，如图2。

①判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系，并证明；
②AH-HC与AE之间的数量关系，并证明；③求证：AB+AE=2AH
（3）当点E在AB的延长线上时，完成图3，①判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系，并证明；②AH、HC与AE之间是否存在类似的数量关系，并证明；③AB、AE与AH 之间是否存在类似的数量关系，写出你的结论并证明
为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
例 5（1）已知：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为DC上一点，且∠1=∠2，求证：AF=BC+FC；
（2）已知：如图2，把三角尺的直角顶点落在矩形ABCD的对角线交点P处，若旋转三角尺时，它的两条直角边与矩形的两边BC、CD分别相交于M、N，试证：MN2=BM2+DN2．
二利用对角线作为旋转的入手点
例1、如图，正方形OEFG绕着正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N．
（1）求证：OM=ON；
（2）设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P，连接PM．若正方形ABCD的边长为12，且PM=5，试求AM的长．
例2、如图，在正方形ABCD中，O是两对角线的交点，E、F分别为BC、CD上一点，且FC+CE=AB。

点P为△EFC的内角平分线的交点
（1）求证：OE=OP=OF
（2）如图，线段CP，CB、EF之间存在一个等量关系式，写出你的结论，
并证明。

（3）若FC=3，EF=EC+1，直接写出PC的长_____________。

例3、如图，在正方形ABCD中，点O是正方形对角线的交点，∠MON=45°。

（1）如图1，当点M在BC边上，ON与CD的延长线交于N点，写出BM、MN、CN之间的数量关系并证明你的结论。

（2）如图2，当点M在BC边上，ON与CD交于点N，写出BM、MN、CN之间的数量关系，并证明。

（3）在（2）中，若正方形的边长为4，MC=1，求CN的长。

于E点，连接OE。

（1）如图1，当直线a在正方形内部时，求证：AE-DE=2OE
（2）如图2，当直线a在正方形外部时，DE⊥a于E点，连接OE，写出AE、DE、OE三者之间的数量关系____________________（不证明）
（3）在（2）的条件下，若OE=
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,AE:DE=4:3,连接BE，求线段BE的长
专题三正方形中探究问题
例1、已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1．将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、…连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置．
（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE 在直线上作连续的翻转运动．图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若k=1，
则△PAE沿正方形的边
连续翻转的次数
n=_________ 时，顶点P
第一次回到原来的起始
位置；
（2）若k=2，则n= __________时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；
（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）．
AE取线段AE的中点M．试探究线段MD、MF的关系，并加以证明．
（2）将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°（如图2），其他条件不变，（1）中的结论成立吗？说明理由。

（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．试探究线段MD、MF的关系，并加以证明．
例3、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF ⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．
（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．
①求证：DF=EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）。