013质点运动学-运动学方程

y
角速度：
lim t 0
t
d
dt
角加速度：
B
s
A
RO
x
lim
t 0
t
d
dt
32
角速度是矢量 ！ 方向由右手螺旋法则确定 。
右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指的指向即
为角速度矢量的方向。 线速度与角速度的关系：v
r
y ω
v
d加v速度d与ω角加r 速ω度的d 关r 系：
R
r
dt
dt
a
同理：| dr | dr
16
注意
1.位矢与位移的区别： 位矢为从坐标原点指向质点所在位置的有向线段,
方向
位移为从起点指向终点的有向线段。
位矢与某一时刻对应； 时间 位移与某一段时间对应。
2.位移与路程的区别：
路程：s为物体Δt内走过的轨道的长度，为标量；
位移：r
s
从起点指向终点的有向线段，而位移大
注意：平均速度（包括大小和方向）与所取的时间长
短有关，所以在计算平均速度时，必须清楚是哪一段
时间的平均速度。
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2.速度
对于变速曲线运动的物体，速度大小与方
B
向都在随时间改变，用平均速度并不能精确地
描写质点瞬时的运动情况。
处理方法：
①.无限分割路径；
r
②.以直代曲；
A t
③以不变代变；用平均速度代替变速度；
④令 速度
t
v
0 取极限。 lim r dr
t0 t dt
速度单位：米/秒，m/s
质点在某时刻的瞬时速 度等于在该时刻位置矢 量对时间的一阶导数。
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速度
v
lim
r
t0 t
dr
dt
在速方直度向角大：坐小沿标：运v系动中|轨v，迹|r|的dd切rt x线| i并指y向j 质z点k运动的方A向。vA
物体平动时物体上所有点的运动轨迹都相同,可用 一个点的运动来代替整个物体运动。
6
地球绕太阳公转时地球可视一个质点。
播 放 动 画
研究地球的自转问题时，就不能把地球看作质点了。
7
2.刚体 在某些问题中，物体的形状和大小
不能忽略，但是外力作用下发生的形 变可以忽略，可看成一个有质量、有 大小和形状、但不会发生形变的理想 物体，这样的物体可称为刚体。
二、自然坐标系
把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统，在其上任意选一 点O作为坐标原点，
质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长度s来 表示，s称为弧坐标。
在质点上s 建立两P 个的坐标et轴：en切向坐标et和, en法为向单坐位标矢。量，
s
大小不变，
规定： O
en
Q
et
方向改变。
•
切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为
2. 速度与速率的区别
••速速v率度为为dd速位rt 度矢的对ddx大t时i小间，的dd为一yt 标次j 量导：dd数ztv，k为d矢s 量：dr
| v |
dt dt
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五、加速度
24
一、加速度
描写质点速度变化快慢和方向的物理 量。
1.平均加速度
t , v1; t t,
v2;
v1
A
v2
切向加速度：a
dv dt
表示速度大小变化的快慢。
法向加速度：an
v2
速度方向的变化快慢。
质点作圆周运动：
a
a
dv dt
d (R) R d
dt
dt
an a
an
v2
R
(R)2
R
2R
s
31
圆周运动及其角量描述
角位置 ： 质点所在的矢径与x 轴的夹角。
角位移： 质点从A到B矢径转过的角度 。
规定： 逆时针转向为正，顺时针转向为负
x2 y2 z2
位矢方向：由位矢与三个坐标轴的夹角的余弦表示。
设位矢与x，y，z三轴的夹角为、、。
cos x , cos y , cos z
z P(x, y, z)
r
r
此三个角满足关系：
cos2 cos2 cos2 1
r
o
r
y
2.质点的运动方程
x
质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。
en
1 ρ
d d
s t
en
v ρ
en
沿法线方向
法向加速度：an
v det
dt
v2 ρ
en
29
综上所述：
a
at
an
dv dt
et
v2
en
加速度的大小： a an2 at2
加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：
arctan an
at
例：抛体运动
at
an
g
30
切向加速度与法向加速度的意义：
位移的大小：
| r |
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
(x)2 (y)2 (z)2
强调：位移的大小只能写成：| r |，不能写成 | r |
或 r。
|
r
||
r2
r1
|
表示质点位矢的增量。
| r | r | r2 | | r1 | r2 r1 表示位矢大小的增量。
et
• 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 en
13
四、位移和速度
14
一、位移
描写质点位置变化的物理量。
运动着的质点，其位置在轨道上是连续变化的。
t时刻，A点位矢为 r1 t+Δt时刻在B点位矢为r2 AB位移：r r2 r1
其大小为AB的距离,方向则从A指向B
z
A
r
B
r1
r2
v
dr
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt dt
若用
vx,
v vxi
vy
, vz
vy
表j 示vvzk在 直角 vx 坐 标ddxt系, 中vy的投ddy影t ,
,则
vz
dz dt
v vx 、v y 、 z 为速度在x、y、z方向的分量。
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v
dx
i
dy
dt dt
j
dz
k
dt
vxi vy j vzk
2
r
dt 2
a
v
t
加速度为速度对时间的一阶导数或位置矢量对时
间的二阶导数。
含义：反映质点在任一瞬间的运动状态改变的快慢。
单位：米/秒2，m/s2
大小： a a
dv
dv
a
dt
dt
方向： t0时速度增量的极限方向，在曲线运动
中，总是指向曲线的凹侧。
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在由a直v角d坐vvx标i 系dvv中xy i：j
s
P
en
et
s
Q
O
et
v
质点位置：s st
路程：s sP sQ
速度：
v
vet
ds dt
et
加速度：a
dv dt
d(vet )
dt
dv dt
et
v
det dt
dv dt
et
：速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向
切向加速度：at
dv dt
et
d2s dt 2
et
28
讨论 det
dt
r
ω
v
O
z
r R 方向沿运动的切线方向,
x
v
v
为切向加速度
2R 方向指向圆心
为法向加速度 33
角量和线量的关系：
s R
ds R d
dt dt
dv R d
dt
dt
v R
at
an
R
v2 R
R
2
34
例1、已知质r点在5水ti平面(1内5t运动5t，2 )运j动方程为：
质点的运动学方程
一、参照系和坐标系
1
力学是研究物体机械运动的规律及其应用的科学。 机械运动---物体相对位置或自身各部份的相对位置发 生变化的运动。
一、参照系和坐标系
运动的绝对性: 宇宙中的一切物体都在运动，没 有绝对静止的物体。
运动描述的相对性: 同一物体的运动，由于我们 选取的参照物不同，对它的运动的描述就不同。
3
二、质点和刚体
4
在取定坐标系后，要定量地研究物体的运动仍 不是一件容易的事。
解决物理问题时一般要将复杂的实际问题进行简化。
为了简化问题的研究，我们就要突出研究对象的主 要因素而忽略次要因素，建立起相应的理想模型。
5
1.质点 在某些问题中，物体的形状和大小并不重要，可以
忽略，可看成一个只有质量、没有大小和形状的理想 的点，这样的物体可称为质点。
r r2 r1
在t时间间隔内的平均速度定义为：物体的位移与
发生这段位移所用的时间之比。
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在t时间间隔内的平均速度定义为：物体的位移与
发生这段r位移所用的时间之比。
v
t
平均速度矢量，它的方向与位移相同。 r1
A vA
r B
大小：
|
v
||
r
|
t
r2
O
平均速度可“近似”地描述质点在t时刻附近运动的 快慢和方向。
vyk
dvy
dt dt dt
j
dvz dt
k