2020年宁夏银川二中高考数学一模试卷(理科)

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2020-2021学年宁夏银川市高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题及答案解析

高考数学模拟试题一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数1a ii+-为纯虚数，则它的共轭复数是( ) A. 2i B. 2i - C. i D. i - 2. 下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数； (3)是偶函数.这样的函数是 ( )A. y ＝x 3＋1 B. y ＝log 2(|x|＋2) C. y ＝(12)|x|D. y ＝2|x|3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1=3，前三项和为21，则a 3+a 4+a 5= （） A.33B.72C.84D.1894．角α的终边经过点A (3,)a -，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（） A ．12- B ．12 C ．32-D ．325．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（） A ．1- B ．0 C ．2 D ．16.—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位cm 3)（） A ． B ．C ．D ．7．已知实数m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线22y x m+＝1的离心率为（）A ．32 B ．5 C ．5 与32D ．以上都不对 8．曲线y=11x x -+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（） A ．41B ．－12C ．43D ．189.为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点.已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（）A.4B.3C.2D.110．设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则（）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数C ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数11.已知正方形ABCD 的边长为2，点P,Q 分别是边AB ，BC 边上的动点且,AQ DP ⊥ ，则QP CP ⊥的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412. 已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ,若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.),0[]1(+∞--∞YB.]0,1[-C.]1,0[D.)0,1[-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上（只填结果，不要过程） 13.已知点P 在抛物线y 2=4x 上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 .14. 已知圆C ：x 2+y 2-6x-4y+8=0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .15．如图,为了测得河的宽度CD ，在一岸边选定两点A 、B ，使A 、B 、D 在同一直线上.现测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m ，则河的宽度是 .16.球内接正六棱锥的侧棱长与底面边长分别为22和2，则该球的体积为；三、解答题：本大题共解答5题，共60分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．17.（本小题满分12分）已知函数22()2(1)57f x x n x n n =-+++-．（Ⅰ）设函数()y f x =的图像的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证：{}n a 为等差数列；（Ⅱ）设函数()y f x =的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{}n b ，求{}n b 的前n 项和n S ．18. （本小题满分12分）为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10. （1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5】的概率约是多少？（2）从尺码落在区间（37.5，43.5】和（43.5，45.5】的顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5】内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX 。

宁夏2020年高考数学一模试卷(理科)(I)卷

宁夏2020年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·西城期中) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高三上·营口月考) 复数满足，则的虚部是（）A .B .C .D . -13. （2分） (2020高一上·衢州期末) 函数的大致图象为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·深圳模拟) 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A . 4πB . πh2C . π（2﹣h）2D . π（4﹣h）25. （2分）(2017·陆川模拟) 下列命题中正确命题的个数是（）⑴对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；⑵命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；⑶回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为 =1.23x+0.08；⑷m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件．A . 1B . 3C . 2D . 46. （2分） (2018高一下·珠海月考) 如图是把二进制的数11111(2)化成十进制的数的程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A . i>5?B . i≤5?C . i>4?D . i≤4?7. （2分） (2017高二下·黄山期末) 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；③线性回归方程必经过点；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2016高二下·桂林开学考) 若变量x，y满足，则x﹣2y的最小值为（）A . ﹣14B . ﹣4C .D .9. （2分） (2019高二上·武汉期中) 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点不重合），则的面积最大值是（）．A .B .C . 5D .10. （2分）为了得到函数的图象，只要将函数的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向左平移个单位长度11. （2分）(2020·江门模拟) 在平面直角坐标系中，、是双曲线的焦点，以为直径的圆与双曲线右支交于、两点．若是正三角形，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .12. （2分）已知有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A . －1＜a＜2B . －3＜a＜6C . a＜－1或a＞2D . a＜－3或a＞6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·普兰店模拟) 的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为________．14. （1分） (2017高二上·大连期末) 阿基米德在《论球与圆柱》一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式sin ，若在两边同乘以，并令n→+∞，则左边=．因此阿基米德实际上获得定积分的等价结果．则 =________．15. （1分）(2016·上海文) 如图，已知点O（0,0）,A（1．0）,B（0,−1）,P是曲线上一个动点，则的取值范围是________．16. （1分） (2019高一下·镇赉期中) 在中，，，内切圆的面积是，则外接圆的半径是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高三上·上高月考) 已知各项均为正数的数列的前项和为，， .（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，数列的前项和记为 ,证明： .18. （10分） (2018高二上·鄞州期中) 已知四棱锥的底面为直角梯形， ,底面且是的中点.（1）求证：直线平面；（2）若，求二面角的余弦值.19. （10分） (2015高三上·太原期末) 某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（1）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（2）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．20. （5分）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点f的距离的最大值为．（I）求椭圆的方程；（II）已知点C（m，0）是线段OF上异于O、F的一个定点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|=|BC|，并说明理由．21. （15分） (2020高三上·潍坊期中) 2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表：质量指标值质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件，求事件发生的概率；（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表：质量指标值利润（元）试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.22. （5分） (2018高二下·湛江期中) 平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l和圆C的极坐标方程；(Ⅱ)设直线l和圆C相交于A,B两点，求弦AB与其所对劣弧所围成的图形面积．23. （10分）(2019·永州模拟) 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若，的最小值为，求的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、。

2020年银川市数学高考一模试卷(及答案)

示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若以大学生 M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动” 的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生 M 的参与“微信运动”的 400 位微信好友中，每天走路步数在 2000 8000 的人数；（Ⅱ）若在大学生 M 该天抽取的步数在 8000 10000 的微信好友中，按男女比例分层抽
17．已知直线：轴交于两点.则
与圆 _________.
交于两点，过分别作的垂线与
x 2y 2 0
18．若
x
，
y
满足约束条件
x
y
1
0
，则 z 3x 2y 的最大值为_____________．
y 0
19．若函数 f (x) x2 x 1 a ln x 在 (0, ) 上单调递增，则实数 a 的最小值是
A．
B．
C．
D．
9．已知 2a 3b 6 ，则 a ， b 不可能满足的关系是（）
A． a b ab
B． a b 4
C． a 12 b 12 2
D． a2 b2 8
10．已知复数
，则复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方
( Ⅰ ) 讨论函数 f x 的单调区间；
( Ⅱ ) 若函数 f x 在 x 1处取得极值，对 x 0, ， f x bx 2 恒成立，求实数

2020届宁夏银川高考第二次模拟考试数学(理)模拟试题有答案(加精)

普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．复数2(1)i i-=A ．22i -+B ．2C ．2-D ．22i -2．设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则 A ．φ=⋂N M B ．φ=⋃N MC ．M N =D ．M N R =U3．已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α= A ．45B ．45-C ．35 D ．35-4．若两个单位向量a r ，b r 的夹角为120o，则2a b +=r rA ．2B ．3CD 5．从标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到卡片是奇数的情况下，第二次抽到卡片是偶数的概率为 A ．14B ．12C ．13D ．236．已知233a -=，432b -=，ln3c =，则A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<7．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为A 5B ．2C 3D 58．三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，PA=2，AB=AC=3，∠BAC=60°，则该棱锥的外接球的表面积是A ．π12B ．π8C ．π38D ．π349．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为 A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或32 10．已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 11．若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎡⎦⎤－π2，π6上的最小值是A ．－12B ．－32C ．22D ．1212．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎝⎛2,5e B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,25e e C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,21e D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ee 25,4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．1 2 3 4 5 6月份代码x市场占有率y(%)2016年10月2016年11月2016年12月2017年1月2017年2月2017年3月20 15 5 10 25 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数f (x )＝log 21－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝________．14．设221(32)a x x dx =⎰-，则二项式261()ax x-展开式中的第6项的系数为__________． 15．若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点(1,1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是__________．16．已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．三．解答题17．（本小题满分12分）{a n }的前n 项和S n 满足：a n +S n =1 (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若1+=n nn a a C ，数列{C n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1． 18．（本小题满分12分）随着互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年4月的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和 1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如右表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为$$y bxa =+$，其中2121121)())((ˆx n xyx n y xx xy y x xb n i ini i in i ii ni i--=---=∑∑∑∑====，$ay bx =-$． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD =135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP =90°，AB =AC =PA =2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ；（2）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PDPM的值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q )(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是直线x =－4与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =++=-∈．(1)当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；(2)若存在与函数()(),f x g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(24)P --，的直线l 的参数方程为：22224x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值 23选修4－5：不等式选讲(本小题满分10分)已知函数|1|||)(--=x x x f ．(1)若|1|)(-≥m x f 的解集非空，求实数m 的取值范围；(2)若正数y x ,满足M y x =+22，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：xy y x 2≥+．银川一中高三第二次模拟理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBDBDABCADB二．填空题：13. —2114.—24; 15.24<<-k ; 16. 212．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤5e ，2B.⎣⎡⎭⎫－52e ，－83e 2C.⎣⎡⎭⎫－12，－83e 2D.⎣⎡⎭⎫－4e ，－52e 答案 B解析由f (x )≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即 mx ≤－(3x ＋1)e x ＋1，设g(x )＝mx ，h(x )＝－(3x ＋1)e x ＋1，则h′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由h′(x )>0，得－(3x ＋4)>0，即x <－43，由h′(x )<0，得－(3x ＋4)<0，即x >－43，故当x ＝－43时，函数h(x ) 取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h(x )， y ＝g(x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足 g(x )≤h(x )的整数解超过两个，不满足条件；当m <0时，要使g(x )≤h(x )的整数解只有两个，则需满足()()()()⎩⎨⎧-<--≥-,33,22g h g h即⎩⎪⎨⎪⎧5e －1≥－2m ，8e －2<－3m ，即⎩⎨⎧m ≥－52e ，m <－83e 2，即－52e ≤m <－83e 2，即实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,25ee ，故选B.16已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．答案2解析依题意得焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MN |＝1∶3，所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4a ＝22，解得a ＝ 2.三．解答题：17.解析：(1)由a n +S n =1得a n -1+S n -1=1(n ≥2) 两式相减可得：2a n =a n -1即211=-n n a a ，又211=a ∴{a n }为等比数列，∴a n =n )21( (2)n n n nn C 211211)21()21(<+=+= 故12112112112121212121321<-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++=n n nn n C C C C T ΛΛ18.解：(1)由题意： 3.5x =，16y =，()()6135i i i x x y y =--=∑，()62117.5i i x x=-=∑，35217.5b ==$，$162 3.59a y b x =-⋅=-⨯=$，∴$29y x =+， 7x =时，$27923y =⨯+=.即预测M 公司2017年4月份(即7x =时)的市场占有率为23%.(2)由频率估计概率，每辆A 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.2、0.35、0.35、0.1， ∴每辆A 款车的利润数学期望为()()()()50010000.2100010000.35150010000.35200010000.1175-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)每辆B 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴每辆B 款车的利润数学利润为()()()()50012000.1100012000.3150012000.4200012000.2150-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)∵175150>， ∴应该采购A 款车. 19.(1）证明：在平行四边形中，因为，，所以．由分别为的中点，得，所以．因为侧面底面，且，所以底面．又因为底面，所以．又因为，平面，平面，所以平面．（2）解：因为底面，，所以两两垂直，以分别为、、，建立空间直角坐标系，则，所以，，，设，则，所以，，易得平面的法向量．设平面的法向量为，由，，得令，得．因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，所以，即，所以，解得，或（舍）．综上所得：20.【解析】（1）依题意，设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，焦距为c 2。

2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(7)

18．（ 12 分）根据国家统计局数据， 1978 年至 2018 年我国 GDP 总量从 0.37 万亿元跃升至 90 万亿元，实际增长了 242 倍多，综合国力大幅提升．将年份 1978，1988，1998，2008 ，
2018 分别用 1， 2， 3，4， 5 代替，并表示为 t； y 表示全国 GDP 总量，表中 zi＝ lnyi（i
^
??=
^
???+? ??与 ??=
???????（? 其中
e＝ 2.718…为自然对数的
底数）哪一个更适宜作为全国 GDP 总量 y 关于 t 的回归方程类型？（给出判断即可，不
必说明理由），并求出 y 关于 t 的回归方程；
（ 2）使用参考数据，估计 2020 年的全国 GDP 总量．
^^
^
^
)
=
0，
则不等式 f（2x﹣ 1）＜ 0 的解集为（
）
A
．(
1 4
，
3 4
)
B
．
(
3 4
，
+
∞）
C
．
(0
，
1 4
)
D． (-
∞，
1 4)
∪
3 (4
，
+
∞）
??2 ??2 12．（ 5 分）设 F1， F2 分别是椭圆 E：??2 + ??2 = 1（ a＞ b＞ 0）的左，右焦点，过点 F1 的直
线交椭圆 E 于 A， B 两点，若△ AF1F2 的面积是△ BF1F2 的三倍， ???∠?????2??= 35，则椭
＝ b（ a﹣ b），则∠ C＝（）
2?? A．
3
?? B．

2020年宁夏银川市普通高中学科教学质量检测理科数学(word版,含答案)(精编)

3
A.-2
B.10
C.12
7 D.
4
D.14
9.已知函数 f (x ) ln | x | x2 , 设 a=f(-2), b=f(1), c=f(2 0.3), 则
A.a> b>c
B.a>c>b
C.c>a> b
D.c> b> a
10.将函数 y 2sin(2 x ) 的图象向左平移个单位 ,所得图象对应函数的单调递增区间为
在平面直角坐标系 xoy 中 ,曲线 C1 的参数方程为
x 2 2cos
( θ为参数 ). 以坐标原点为极点 ,x 轴的正半
y 2sin
轴为极轴建立极坐标系 .曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ = 4sin θ . (1)写出 C1 的极坐标方程 ;
(2)设点 M 的极坐标为 (4,0),射线
(0
求 tan α．
,已知 E 的一条渐近线方程为
1 x-2y=0, 且过点 ( 5, ),
2
x2 A.
4
2
y1
y2
2
B. x 1
4
2
2
C .x 16 y 1
x2 y2
D.
1
82
5.已知 a,b,c 是实数 ,且 b<a<0, 则下列命题正确的是
11 A.
ab
B.ac 2 bc2
ab C.
ba
D.b2 ab a2
6.设 α , 是β两个不同的平面 ,且 α⊥ β , α∩β? =αl,a,?b β则， a⊥ l 是
) 分别交 C1, C2 于 A,B 两点 (异于极点 ),当 AMB
时,

(全国百强校首发) 宁夏银川第二中学、银川第九中学、育才中学2020年高三下学期第一次大联考数学(理)试题

(全国百强校首发) 宁夏银川第二中学、银川第九中学、育才中学2020年高三下学期第一次大联考数学（理）试题理科数学第一卷【一】选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.21()1i a R ai -∈+是纯虚数，那么a =〔〕 A 、12 B 、12- C 、2 D 、-22.集合U R =，函数1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0N x x x =-≤，那么以下结论正确的选项是〔〕 A 、MN N = B 、()MC N ⋃=∅ C 、M N U =D 、()M C N ⋃⊆4.,a b R ∈，那么〝11a b ->-〞是〝log 1a b <〞的〔〕A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 5.tan()24x π+=，那么sin 2x =〔〕A 、110B 、15C 、35D 、9106.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A 、8π+B 、82π+C 、83π+D 、84π+7.执行如下图的程序框图，那么该程序运行后输出的i 值为〔〕A 、8B 、9C 、10D 、118.ABC ∆是边长为1的等边三角形，那么(2)(34)AB BC BC CA -+=〔〕A 、132-B 、112- C 、362--D 、362-+9.1()nx x-的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，那么展开式中系数最大的项为第〔〕项． A 、5 B 、4 C 、4或5 D 、5或610.抛物线2:8C x y =，过点(0,)(0)M t t <可作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，假设直线AB 恰好过抛物线C 的焦点，那么MAB ∆的面积为〔〕 A 、2 B 、3 C 、6 D 、1611.函数()3sin ln(1)f x x x =+的部分图象大致为〔〕A 、B 、C 、D 、12.假设函数()f x 在定义域内满足：〔1〕对于任意不相等的12,x x ，有12211122()()()()x f x x f x x f x x f x +>+；〔2〕存在正数M ，使得()f x M ≤，那么称函数()f x 为〝单通道函数〞，给出以下4个函数： ①()sin()cos()44f x x x ππ=+++，(0,)x π∈；②()ln x g x x e =+，[]1,2x ∈；③[]32()3,1,2h x x x x =-∈；④122,10()log (1)1,01x x x x x ϕ⎧--≤<⎪=⎨+-<≤⎪⎩，其中，〝单通道函数〞有〔〕A 、①③④B 、①②④C 、①③D 、②③第二卷【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分．13.直线:320l x y b +-=过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F ，那么双曲线的渐近线方程为________．14.实数,x y 满足不等式组24024000x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，那么92z x y =+的最大值为________．15.,,a b c 是ABC ∆的三边，假设满足222a b c +=，即22()()1a b c c+=，ABC ∆为直角三角形，类比此结论：假设满足(,3)nnna b c n N n +=∈≥时，ABC ∆的形状为________．〔填〝锐角三角形〞，〝直角三角形〞或〝钝角三角形〞〕．16.关于x 的方程320x x x m --+=，至少有两个不相等的实数根，那么m 的最小值为________．【三】解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.〔本小题总分值12分〕数列{}n a 满足：1112,92n n n a a a -+=+=⨯．〔1〕记132n n n b a -=-⨯，求证：数列{}n b 为等比数列；〔2〕求数列{}n na 的前n 项和n S ． 18.〔本小题总分值12分〕自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得〝要不要再生一个〞〝生二孩能休多久产假〞等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排〔单位：周〕 14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26〔1〕假设用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？〔2〕假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望． 19.〔本小题总分值12分〕如图，空间几何体ABCDE 中，平面ABC ⊥平面BCD ，AE ⊥平面ABC ．〔1〕证明：//AE 平面BCD ；〔2〕假设ABC ∆是边长为2的正三角形，//DE 平面ABC ，且AD 与BD ，CD 所成角的余弦值均为24，试问在CA 上是否存在一点P ，使得二面角P BE A --的余弦值为104．假设存在，请确定点P 的位置；假设不存在，请说明理由．20.〔本小题总分值12分〕抛物线2:2(0)E y px p =>，过点(1,1)M -作抛物线E 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 的斜率为2．〔1〕求抛物线的标准方程；〔2〕与圆22(1)1x y -+=相切的直线l ，与抛物线交于,P Q 两点，假设在抛物线上存在点C ，使()(0)OC OP OQ λλ=+>，求λ的取值范围．21.〔本小题总分值12分〕函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+．〔1〕假设曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y =-，求()f x 的单调区间；〔2〕假设0x >时，()()2f x f x x '<恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.22.〔本小题总分值10分〕如图，ABC ∆内接于O ，AB 为其直径，CH AB ⊥于H 延长后交O 于D ，连接DB 并延长交过C 点的直线于P ，且CB 平分DCP ∠．〔1〕求证：PC 是O 的切线；〔2〕假设4,3AC BC ==，求PCPB的值． 23.〔本小题总分值10分〕在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩〔其中t 为参数〕，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4cos 3sin )0m ρθθ+-=〔其中m 为常数〕．〔1〕假设直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数m 的值；〔2〕假设4m =，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 24.〔本小题总分值10分〕定义在R 上的连续函数()f x 满足(0)(1)f f =．〔1〕假设2()f x ax x =+，解不等式3()4f x ax <+；〔2〕假设任意[]12,0,1x x ∈且12x x ≠时，有1212()()f x f x x x -<-，求证：121()()2f x f x -<．参考答案1．A 2．A 3．C 4．A 5．C 6．B 7．A 8．B 9．A 10．D 11．Ｂ 12．A 13．30x y ±= 14．6 15．锐角三角形 16．527-所以132(1)n nn na n n -=⨯+⨯-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分设01221122232(1)22n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，① 12312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，② ① –②得012122222212n n n n n T n n --=++++-⨯=--⨯，所以1(1)2nn T n =+-⨯，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设123(1)nn Q n =-+-++-，即1,2,2n n n Q n n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以53(1)2,2363(1)2,2nn n n n n n n S T Q n n n -⎧-⨯-⎪⎪=+=⎨+⎪-⨯+⎪⎩为奇数为偶数, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．〔1〕由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分〔2〕①设〝两种安排方案休假周数和不低于32周〞为事件A ，由从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有2510C =〔种〕，其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得63()105P A ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============，因而ξ的公布列为ξ 29 30 31 32 33 34 35 P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，．．．．．．．．．12分 19．〔1〕证明：如图，过点D 作直线DO BC ⊥交BC 于点O ，连接DO ．因为平面ABC ⊥平面BCD ，DO ⊂平面BCD ，DO BC ⊥，且平面ABC 平面BCD BC =，所以DO ⊥平面ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分因为直线AE ⊥平面ABC ，所以//AE DO ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为DO ⊂平面BCD ，AE ⊄平面BCD ，所以直线//AE 平面BCD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分〔2〕连接AO ，因为//DE 平面ABC ，所以AODE 是矩形，所以DE ⊥平面BCD ．因为直线AD 与直线,BD CD 所成角的余弦值均为24，所以BD CD =，所以O 为BC 的中点，所以AO BC ⊥，且2cos 4ADC ∠=．设DO a =，因为2BC =，所以1,3OB OC AO ===，所以221,3CD a AD a =+=+．在ACD ∆中，2AC =．所以2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-∠，即222224312314a a a a =+++-⨯+⨯+⨯，即2221322a a a ++=．解得21,1a a ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分以O 为坐标原点，,,OA OB OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系．那么(0,1,0),(0,1,0),(3,0,0),(3,0,1)C B A E -．假设存在点P ，连接,EP BP ，设AP AC λ=，那么(33,,0)P λλ--．设平面ABE 的法向量为{},,m x y z =，那么030m AE z m BA x y ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，取1x =，那么平面ABE 的一个法向量为(1,3,0)m =．设平面PBE 的法向量为{},,n x y z =，那么(33)(1)030n PB x y n BE x y z λλ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1x λ=+，那么平面PBE 的一个法向量为(1,33,23)n λλλ=+--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设二面角P BE A --的平面角的大小为θ，由图知θ为锐角，那么22213310cos 42(1)3(1)12m n m nλλθλλλ++-===⨯++-+, 化简得2610λλ+-=，解得12λ=-〔舍去〕，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以在CA 上存在一点P ，使得二面角P BE A --的余弦值为104．其为线段AC 的三等分点(靠近点A ) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．〔1〕设{}1122,,(,)A x y B x y ，那么点A 处抛物线的切线为{}11y y p x x =+，过点(1,1)M -，因而11(1)y p x =-；同理，点B 处抛物线的切线为22()y y p x x =+，过点(1,1)M -，因而22(1)y p x =-．两式结合，说明直线(1)y p x =-过,A B 两点，也就是直线AB 的方程为(1)y p x =-．由直线AB 的斜率为2，知2p =，故所求抛物线的方程为24y x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分〔2〕显然当直线l 的斜率不存在与斜率为0时不合题意．〔6分〕故可设直线l 的方程为y kx m =+．又直线l 与圆22(1)1x y -+=相切，所以211k mk+=+，即221(1)2m km m -=≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分与抛物线方程联立，即24y kx my x =+⎧⎨=⎩，化简消y 得2222(2)0k x km x m +-+=，22224(2)41616880km k m km m ∆=--=-=+>设3344(,),(,)P x y Q x y ，那么3422(2)km x x k -+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 34344()2y y k x x m k+=++=．由()(0)OC OP OQ λλ=+>，那么22(2)4(,)km OC k kλλ-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又点C 在抛物线上，那么222168(2)km k k λλ-=．即2233244km m λ-+==>，由于0km ≠，因而1λ≠．所以λ的取值范围为3|14λλλ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．〔1〕由得1()(1)f x ax a x'=+-+，那么(1)0f '=，而(1)ln1(1)122a a f a =+-+=--，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为12ay =--．那么122a--=-，解得2a =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分那么21()ln 3,()23f x x x x f x x x'=+-=+-，由21231()230x x f x x x x -+'=+-=>，得102x <<或1x >，因那么()f x 的单调递增区间为1(0,)2与(1,)+∞；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分由1()230f x x x '=+-<，得112x <<，因而()f x 的单调递减区间为1(,1)2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分〔2〕假设()()2f x f x x '<，得ln 11(1)2222x a ax a x a x x ++-+<+-，即ln 1122x a x x +-<在区间(0,)+∞上恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设ln 1()2x h x x x =-，那么2221ln 132ln ()22x xh x x x x --'=+=，由()0h x '>，得120x e <<，因而()h x 在12(0,)e 上单调递增，由()0h x '<，得12x e >，因而()h x 在12(,)e +∞上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以()h x 的最大值为1122()h e e -=，因而1212a e -+>，从而实数a 的取值范围为12|21a a e -⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．〔1〕连接OC ，由AB 为O 的直径，CH AB ⊥，那么CAB DCB ∠=∠，且CAO ACO ∠=∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又CB 平分,DCP DCB PCB ∠∠=∠，因而2PCB OCB ACO OCB π∠+∠=∠+∠=，即OC CP ⊥，所以PC 是O 的切线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分〔2〕4,3AC BC ==，那么12245,,55AC BC AB CH CD AB ====，3BD BC ==，因为PC 是O 的切线，所以PCB PDC ∠=∠，所以PCDPBC ∆∆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以85PC PD CD PB PC BC ===，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．〔1〕直线l 的极坐标方程可化为直线坐标方程：430x y m +-=，曲线C 的参数方程可化为普通方程：24y x =，由24304x y m y x +-=⎧⎨=⎩，可得230y y m +-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为直线l 和曲线C 恰好有一个公共点，所以940m ∆=+=，所以94m =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分〔2〕当4m =时，直线:4340l x y +-=恰好过抛物线的焦点(1,0)F ，由243404x y y x +-=⎧⎨=⎩，可得241740x x -+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，那么12174x x +=，故直线l 被抛物线C 所截得的弦长为1217252244AB x x =++=+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．〔1〕(0)(1)f f =，即10a +=，得1a =-，所以不等式化为234x x x -+≤-+．① 当0x <时，不等式化为234x x x -<-+，所以302x -<<；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分② 当01x ≤≤时，不等式化为234x x x --<-+，所以102x ≤<；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分③ 当1x >时，不等式化为234x x x -<-+，所以x ∈∅．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分综上所述，不等式的解集为31|22x x ⎧⎫⎪⎪-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分〔2〕由任意[]12,0,1x x ∈且12x x ≠，那么不妨设21x x >，那么当2112x x -≤时，12121()()2f x f x x x -<-≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分当2112x x ->时，那么112x <,且 2112x -<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分那么1212211()(0)(1)()011()2f x f f f x x x x x -+-<-+-=--<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

2020年宁夏第一次高考模拟考试理科数学试题与答案

2020年宁夏第一次高考模拟考试理科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{|230},{|24}A x x x B x x =-->=<<，则集合B A ⋂=（）A ．()4,1B ．()4,2C ．()3,2D ．()4,32. 已知复数（为虚数单位），则（）A.B. 2C.D.3．已知随机变量X 服从正态分布()22N σ，且()40.88P X ≤=，则()04P X <<=（） A ．0.88B ．0.76C ．0.24D ．0.124．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1938S =，则11122a a -= （） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5. 函数f （x ）＝xe﹣|x|的图象可能是（）A. B. C. D.6. 正方体A 1C 中，E 、F 为AB 、B 1B 中点，则A 1E 、C 1F 所成的角的正弦值为（）A. B. C. D.7. 执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（）A. 0B.C. 0或D. 0或18. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A. 150B. 200C. 300D. 4009. 已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A. -6B.C. -1D. 610. 等差数列的首项为1，公差不为0. 若成等比数列，则前6项的和为( )A. －24B. －3C. 3D. 811. 已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为为左支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

宁夏银川市2020年普通高中学科教学质量检测理科数学(含答案)

宁夏银川市2020年普通高中学科教学质量检测(理科)数学第I 卷一､选择题:本大题共12小题｡每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知集合A= {0,1,2,3,4}, B= {x|(x-2)(x+1)>0},则A∩B= A.{0}B.{0,1}C.{3,4}D.{2,3,4}2.已知复数z 满足z(1+i)在复平面内对应的点为(1,-1),则|z|=1.2A2B C.1D 3.为了普及环保知识,增强环保意识,某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛,得分(10分制)的频数分布表如下:设得分的中位数为e m 众数为0平均数为x,则0.e Am m x == 0.e B m m x =< 0.e C m m x << 0.e D m m x <<4.曲线E 是以原点为对称中心,坐标轴为对称轴的双曲线,已知E 的一条渐近线方程为x-2y=0,且过点1),2则双曲线E 的标准方程是22.14x A y −=22.14y B x −=22.161C x y −=22.182x y D −=5.已知a,b,c 是实数,且b<a<0,则下列命题正确的是11.A a b>22.B ac bc >.a b C b a>22.D b ab a >>6.设α,β是两个不同的平面,且α⊥β,α∩β=l,a ⊂α,b ⊂β,则a ⊥l 是a ⊥b 的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件7.若α∈(0,π),且1cos sin ,2αα+=−则cos2α =.A9B.4C −D8.△ABC 是边长为4的等边三角形,1,3AD DC =则BD BC ⋅= A.-2B.10C.12D.149.已知函数2()ln ||,f x x x =+设a=f(-2), b=f(1), c=f(20.3), 则 A.a> b>cB.a>c>bC.c>a> bD.c> b> a10.将函数2sin(2)3y x π=−的图象向左平移3π个单位,所得图象对应函数的单调递增区间为 5.[,],()1212A k k k Z ππππ−+∈7.[,],()1212B k k k Z ππππ++∈ .[,],()44C k k k Z ππππ−+∈3.[,],()44D k k k Z ππππ++∈ 11.已知圆锥的母线与底面所成的角等于60°,且该圆锥内接于球O,则球O 与圆锥的表面积之比等于 A.4:3B.3:4C.16:9D.9:1612.已知定义域为R 的函数f(x)满足:当x≤0时,(),x f x xe =x>0时,f(x)= f(x-1).若g(x)=k(x+1),且方程f(x)- g(x)=0有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是11.(,)2A e e−−11.(,]2B e e−−1.(,)C e−∞−1.(,]D e−∞−第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分｡第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答｡第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答｡二､填空题:本大题共4小题,每小题5分｡13.某医疗小队中有2名男医生,3名女医生,现从中选择2名医生执行某项医疗任务,则选中的都是女医生的概率是___14.在△ABC 中,已知AC =∠ABC=60°, AB<BC,且△ABC 的面积为,2则BC 边上的高等于____ 15.设抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F,准线为l, A ∈C,已知以F 为圆心,为半径的圆交1于B,D 两点,若90,BFD ︒∠=△ABD 的面积为则y 轴被圆F 所截得的弦长等于____16.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”,实施“以直代曲”的近似计算,用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值,这是我国最优秀的传统科学文化之一-.借用“以直代曲”的近似计算方法,在切点附近,可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算?设f(x)=ln(1+x),则曲线y= f(x)在点(0,0)处的切线方程为___, 用此结论计算1n 2020- ln2019≈_____三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.下图是2015年至2019年国内游客人次y (单位:亿)的散点图.为了预测2025年国内游客人次,根据2015年至2019年的数据建立了y 与时间变量t(时间变量t 的值依次为1,2,..,5)的3个回归模型:①0.10412ˆ36.17,0.996t ye R ==;2ˆ 5.1434.54,0.9987y t R =+=②;③2ˆ12.412ln 38.076,0.9408.yt R =+=其中2R 相关指数. (1)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由｡(2)根据(1)中你选择的模型预测2025年国内游客人次,结合已有数据说明数据反映出的社会现象并给国家相关部门提出应对此社会现象的合理化建议｡18. (本小题满分12分)如图所示,已知四边形ABCD 是矩形,平面ABCD ⊥平面PAB,E,F 分别是CD,PA 的中点｡(1)证明:EF// 平面PBC;(2)若AB=5,PA=4, PB= BC=3,求二面角C- AP- D 的大小｡19. (本小题满分12 分)n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知111,2 1.n n a S S +==+(1)证明{1}n s +是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2)数列{}n b 为等差数列,且1274,,b a b a ==求数列11{}n n b b +的前n 项和.n T已知函数2()ln ,f x ax x x =−−其中a ∈R.(1)若函数f(x)在(0,1)内单调递减,求实数a 的取值范围; (2)试讨论函数f(x)的零点个数.21. (本小题满分12分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的离心率为,2且过点(1,2 (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆E 2222:1,44x y a b+=P 为椭圆C 上一点,过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A, B 两点,射线PO交椭圆E 于点Q.(i)若P 为椭圆C 上任意一点,求||||OQ OP 的值; (ii)若P 点坐标为(0,1),求△ABQ 面积的最大值.请考生在第22- 23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程. 在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为ρ= 4sin θ .(1)写出1C 的极坐标方程;(2)设点M 的极坐标为(4,0),射线(0)4πθαα=<<分别交12,C C 于A,B 两点(异于极点),当4AMB π∠=时,求tanα.23. (本小题满分10分)选修4- -5;不等式选讲. 已知函数f 1()||||(1).x x m x m m=−++> (1)当m=2时,求不等式f(x)> 3的解集; (2)证明:1()3(1)f x m m +≥−.2020年银川市高三质量检测理科数学答案一、选择题答案123456789101112CCDADADBBACB二、填空题：.13103.143.1572.16x y =,20191.17参考答案：（1）我认为选择模型②所得预测值更可靠。

2020年宁夏银川二中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年宁夏银川二中高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={x|0≤x ≤3}，N ={x|x 2−3x −4<0}，则M ∩N =( )A. [−1,3]B. (−1,3)C. [0,3]D. [−1,4]2. 在复平面内，复数z =11−i 对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为730，既吹东风又下雨的概率为110.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A. 311B. 37C. 711D. 1104. 若(x −1x )n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是( )A. −462B. 462C. 792D. −7925. 若函数f(x)=sinxcosx ，下列结论中正确的是( )A. 函数f(x)的图象关于原点对称B. 函数f(x)最小正周期为2πC. 函数f(x)为偶函数D. 函数f(x)的最大值为16. 已知−1,a 1,a 2,−4成等差数列，−1,b 1,b 2,b 3,−4成等比数列，则a 2−a 1b 2等于( )A. −12B. 14C. 12D. −12或127. 设a =(12)12，b =log 20142015，c =log 42，则( )A. a >b >cB. b >c >aC. b >a >cD. a >c >b8. 已知三棱锥A −BCD 内接于球O ，AB =BC =BD =4，∠CBD =60°，AB ⊥平面BCD ，则球O的表面积为( )A.28π3B.25π4C.112π3D. 60π9. 在边长为1的正方形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 1 B. √2 C. √3D. 210. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2+a 5=0，则S4S 2=( )A. −11B. −8C. 5D. 1111.O为坐标原点，F为抛物线C:y2=4√2x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4√2,则ΔPOF的面积为()A. 2B. 2√2C. 2√3D. 412.已知函数y1=2sin x1(x1∈[0,2π])，函数y2=x2+√3，则(x1−x2)2+(y1−y2)2的最小值为()A. (5π−6√3)218B. (5π+6√3)218C. π218D. π29二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．14.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下：A地：中位数为2，极差为5；B地：总体平均数为2，众数为2；C地：总体平均数为1，总体方差大于0；D地：总体平均数为2，总体方差为3．则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是_________(填A、B、C、D)15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交C的右支于A、B两点，AF1⊥AB，4|AF1|=3|AB|，则C的离心率为______．16.已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V1，球的体积为V2，则V1V2=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2=b2−ac．(1)求B的大小；(2)设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2√3，BD=1，求cos C的值．18.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(0,1000](1000,2000]大于2000支付金额(元)支付方式仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由．19.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为4的等边三角形，BC⊥PB，E是AD的中点．(1)求证：BE⊥PD；(2)若直线AB与平面PAD所成角的正弦值为√154，求平面PAD与平面PBC所成的却二甲角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率为√22，点B是椭圆上的动点，△ABF1的面积的最大值为√2−12．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l′.若直线l′与直线l相交于点P，与直线x=2相交于点Q，求|PQ||MN|的最小值．21.已知函数f(x)=13x3−12ax2，a∈R．(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)=f(x)+(x−a)cos x−sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ2=364cosθ+9sinθ。

宁夏银川2020届高三下学期第一次摸拟试数学理科试题含解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,0,1A =-的子集中，含有元素0的子集共有 A. 2个 B. 4个C. 6个D. 8个【答案】B 【解析】试题分析：中含有元素的子集有：，共四个，故选B.考点：集合的子集. 2.复数()231i i +=（） A. 2 B. －2 C. 2i D. -2i【答案】A 【解析】【分析】利用21i =-即可得解.【详解】()()()23122i i i i +=-=故选A.【点睛】本题考查了复数的乘法及乘方运算，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A.12B. 2C.2D.22【答案】D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q =，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以2q =故21222a a q ===，故选D.4.已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 5.若函数f x cosx ax 为增函数，则实数a 的取值范围为( )A.1,? B. [1,+∞)C.1,?D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】求得函数的导数sin fxx a ，把函数()f x 为增函数，转化为sin ax 恒成立，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数f x cosx ax ，则sin fx x a ，因为函数f x cosx ax 为增函数，所以sin 0fxx a 恒成立，即sin ax 恒成立，又由sin [1,1]x ，所以1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞. 故选：B .【点睛】本题主要考查了利用函数单调性求解参数问题，其中解答熟记函数的导数与原函数的关系，合理转化是解答的关键.着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 6.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A. 23B. 25C.43D.533【答案】D 【解析】【分析】由三视图可得该几何体是一个棱长和底面边长都是2的直三棱柱截去一个三棱锥得到的几何体，结合锥体和柱体的体积公式，即可求解.【详解】由三视图可得，该几何体是一个棱长和底面边长都是2的直三棱柱截去一个三棱锥得到的几何体，如图所示，所以该几何体的体积为：11111111223135322214343PB C ABC A B C ABC P A B C V V V ---=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：D .【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，其中解答中熟记三视图的规则，还原得到几何体的形状是关键，再由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7.我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A.17?,,+1i s s i ii≤=-= B.1128?,,2i s s i ii≤=-=C17?,,+12i s s i ii≤=-= D.1128?,,22i s s i ii≤=-=【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S的值，由此可得到结论.【详解】由题意，执行程序框图，可得：第1次循环：11,42S i=-=；第2次循环：111,824S i=--=；第3次循环：1111,16248S i=--==；依次类推，第7次循环：11111,256241288S i=----==，此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i≤，执行框②应填入：1S Si=-，③应填入：2i i=.故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8.若231()nx x+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( ) A. 1 B. 5C. 10D. 20【答案】C 【解析】【分析】由二项式231()nx x+展开式的各项系数之和为32，求得5n =，再结合展开式的通项，即可求解常数项.【详解】由题意，二项式231()nx x +展开式的各项系数之和为32，令1x =，可得232n =，解得5n =，则二项式2531()x x+展开式的通项为2551515531()()r r rr r r T C x C x x --+==，令3r =，可得常数项为3510C =. 故选：C .【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的系数的求法，以及二项展开式的通项是解答的关键.着重考查了计算能力，属于基础题.9.在平面区域(),02y x M x y x x y ⎧≥⎧⎫⎪⎪⎪=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≤⎩⎭⎩内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率（） A.8πB.4π C.2π D.34π 【答案】B 【解析】分析：画出不等式组对应的平面区域，其与圆面222x y +<的公共部分的面积为18个圆面，故其面积与平面区域的面积之比为所求概率．详解：不等式对应的平面区域如图所示：其中满足222x y +<的点为阴影部分对应的点，其面积为4π，不等组对应的平面区域的面积为1，故所求概率为4π，故选B ．点睛：几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．10.已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题：①//l α，//l β，m αβ=，则//l m ；② //αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；③αβ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，αβ⊥.其中正确的命题有( )A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】【分析】利用线面位置关系判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于①中，由//,//,l l m αβαβ=，根据线面平行的性质，可得//l m ，所以是正确的；对于②中，由//,//αββγ，可得//αγ，又由m α⊥，所以m γ⊥，所以是正确的；对于③中，由αβ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，所以不正确；对于④中，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，利用面面垂直的判定，可得αβ⊥，所以是正确的，综上可得①②④是正确的.故选：C .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与性质的应用，其中解答中熟记空间中的线面位置关系的判定与性质，逐项判定是解答的关键.着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.11.设1F ,2F 分别为双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P ,满足212PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【】. A.B.C.D.【答案】B 【解析】试题分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，进而求出离心率．解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b-2c=2a ，整理得c=2b-a ，代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2-4ab=0，求得43b a =，故可知双曲线的离心率为，选B. 考点：双曲线的性质点评：解决的关键是根据双曲线于直线的位置关系，以及双曲线的几何性质来求解，属于中档题． 12.已知以4T=为周期的函数21,(1,1](){12,(1,3]m x x f x x x -∈-=--∈，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为（） A. 158()33B. 15(7)3C. 48(,)33D. 4(7)3【答案】B 【解析】【详解】因为当(1,1]x ∈-时，将函数化为方程2221(y 0)y x m+=≥，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x ∈得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)1(y 0)y x m -+=≥相交，而与第三个半椭圆222(8)1(y 0)y x m-+=≥无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =代入222(4)1(y 0)y x m-+=≥得2222(91)721350,m x m x m +-+=令29(t 0)t m =>，则有2(t 1)8150x tx t +-+=由22(8)415(1)0,15,915,03t t t t m m m ∆=-⨯+>>>>>得由且得同样由3x y =与第三个半椭圆222(8)1(y 0)y x m-+=≥无交点，由∆<0可计算得m <综上知m ∈．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知2tan θ=，则 2cos 的值为__________. 【答案】35【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和余弦的倍角公式，化简得221tan 21tan cos ，代入即可求解.【详解】由题意知：2tan θ=，又由2222222222cos sin 1tan 123 2cossincos sin 1tan 125cos . 故答案为：35. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中利用三角函数的基本关系式和余弦的倍角公式，化简为齐次式求解是解答的关键.着重考查了化简与运算能力，属于基础题.14.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ，则3r s +的值为__________. 【答案】85【解析】【分析】根据4CD DB =得到4455CDAB AC ，再由CD r AB sAC =+，根据平面向量的基本定理，求得,r s 的值，代入即可求解.【详解】如图所示，由4CD DB =，可得444555CD CB AB AC ==-，又由CD r AB sAC =+，所以44,55r s ==-，所以44833555r s +=⨯-=，故答案为：85. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的基本定理是解答的关键.着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15.已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF ，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则P 的值为__________. 【答案】1或3 【解析】【分析】分别过A 、B 作直线2px =的垂线，设AB 的中点M 在准线上的射影为N ，根据抛物线的定义，可得4AF BF AC BD +=+=，梯形ACDB 中，中位线1()2MN AC BD =+，由线段AB 的中点到2px =的距离为1，可得012p x -=，进而即可求解. 【详解】分别过A 、B 作直线2px =的垂线，垂足为C 、D ，设AB 的中点M 在准线上的射影为N ，连接MN ，设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，根据抛物线的定义，可得4AF BF AC BD +=+=，所以梯形ACDB 中，中位线1()22MN AC BD =+=，可得022p x +=，即022p x =-，因为线段AB 的中点到2px =的距离为1，可得012p x -=，所以21p -=，解得1p =或3p =. 故答案为：1或3.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系的应用.着重考查了转化与化归思想，函数与方程思想的应用，以及计算能力，属于中档试题. 16.观察下列算式：311=3235=+ 337911=++ 3413151719=+++……若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n =__________. 【答案】45 【解析】【分析】由题意，可得第n 行的左边是3n ，右边是n 个计数的和，设第n 行的第一个数为n a ，利用累加法，求得21n a n n =-+，即可求解等式右边含有“2021”这个数时，实数n 的值.【详解】由题意，可得第n 行的左边是3n ，右边是n 个计数的和，设第n 行的第一个数为n a ，则有21312a a -=-=，32734,a a -=-=1,2(1)n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得21(1)[22(1)](1)2n n n a a n n n n -+--==-=-，所以21n a n n =-+，可得45461981,2071a a ==，所以等式右边含有“2021”这个数，则45n =. 故答案为：45.【点睛】本题主要考查了归纳推理，以及利用累加法求解数列的通项公式及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题:共60分)17.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=．（1）求角A ；（2）若3a =，ABC 的面积为2，求11b c +的值．【答案】（1）3π；（2【解析】【分析】（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值．（ 2）可通过计算b c +和bc 的值来计算11b c+的值．【详解】（1）由()bsin 2sin 0A a A C -+=得bsin 2sin sin A a B b A ==，又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以A 3π=．（2）由ABC 的面积为33及A 3π=得133bcsin 23π=，即bc 6= ，又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，所以b c 33+=，所以113b c b c bc ++==．【点睛】本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解．18.如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，据此解答如下问题．（Ⅰ）求全班人数及分数在[]80,100之间的频率；（Ⅱ）现从分数在[]80,100之间的试卷中任取 3份分析学生情况，设抽取的试卷分数在[]90,100的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．【答案】（Ⅰ）516（Ⅱ）()6E x 5=，分布列见解析【解析】试题分析:（Ⅰ）先根据频率分布直方图求出区间[)50,60上的概率，再由茎叶图确定分数在[)50,60的人数，最后根据频率、频数、总数关系求全部人数.同样先确定分数在[)80,100人数，再根据频率、频数、总数关系求分数在[]80,100之间的频率；（Ⅱ）先确定随机变量取法可能情况，再分别求对应概率，列表可得分布列，根据数学期望公式可求期望.其中概率的求法为：利用组合数，根据古典概型概率计算公式求解. 试题解析：（Ⅰ）由茎叶图知分数在[)50,60人数为4人；[)60,70的人数为8人；[)70,80的人数为10人.总人数为432 0.012510=⨯∴分数在[)80,100人数为32481010---=人∴频率为1053216=（Ⅱ）[)80,90的人数为6人；分数在[)90,100的人数为4人X的取值可能为0,1,2,3()363102011206CP XC====,()216431060111202C CP XC====()1264310363212010C CP XC====,()3431041312030CP XC====∴分布列为X 0 1 2 3P1612310130()6E x5=19.如图所示，在矩形ABCD中，4AB=，2AD=，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将ADE∆向上折起，使D点折到P点，且PC PB=.（1）求证: PO⊥面ABCE；（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（230【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得BC⊥平面POF，进而得到BC PO⊥，进而证得PO⊥面ABCE ；（2）分别以OG 、OF 、OP 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求得平面PAB 的一个法向量为()2,0,1n =，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得 PA PE ，OA OE =，则PO AE ⊥，取BC 的中点F ，连OF ，F ，可得//OF AB ，所以OF BC ⊥，因为 PBPC ，BC PF ，且PF OF F =，所以BC ⊥平面POF ，又因为PO ⊂平面POF ，所以BC PO ⊥.又由BC 与AE 为相交直线，所以PO ⊥平面ABCE .（2）作//OG BC 交AB 于G ，可知OG OF ⊥，分别以,,OG OF OP 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(1,3,0)B ， 1.3,0C ，()0,0,2P ，可得(2,4,0)AC，(1,1,2)AP ，(0,4,0)AB，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则2040n AP x y z n AB y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =，可得平面PAB 的一个法向量为()2,0,1n =，又由22222230sin cos ,15(2)4(2)1n AC n AC n ACθ⋅-⨯=<>===⋅-+⋅+，所以AC 与面PAB 所成角θ的正弦值为3015.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点()0,1，且离心率为3.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足1PMMQ ，2PNNQ .（1）求椭圆的标准方程；（2）若123，试证明:直线l 过定点并求此定点【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析，()1,0. 【解析】【分析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，根据题意列出方程，求得,a b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设l 方程为xt y m ，利用向量的坐标运算，求得111my ，221my ，得到12120y y m y y ，联立方程组，结合根与系数的关系，代入求得直线l 的方程，即可得出结论.【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意知1b =，且离心率221613c b eaa，解得23a =，所以椭圆的方程为2213x y +=.（2）设0, P m ，0, 0Q x ，()11,M x y ，()22,N x y ，设l 方程为xt y m ，由1PM MQ ，得111011,,x y mx x y ，所以111y my ，由题意知10，所以111my ，同理由2PNNQ ，可得221my ， 123，12120y y m y y联立()2233x y x t y m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，整理得222223230t y mt y t m ，则2422244330m ttt m，且有212223mt y y t ，2212233t m y y t ，代入12120y y m y y ，得222320t m m mt ，解得21mt，由0mt，所以1mt ，可得l 的方程为1x ty =+，此时直线过定点()1,0，即P 为定点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.已知函数()21ln 12f x x ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）若函数10g xf xa x a ，求()g x 的最大值（用a 表示）；（2）若()()1212124,32a f x f x x x x x =-++++=，证明：1212x x . 【答案】(1) 1ln 2a a-；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意可得：0b =.结合导函数研究函数的单调性可得()max 1ln 2g x a a=-. (2)由题意结合(1)的结论有()()()()2121212*********ln 222f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++-+=，构造函数()ln m m m ϕ=-，结合函数的特征即可证得题中的结论.试题解析：（1）由()1f x ax b x-'=+，得()11f a b ='-+， l 的方程为()()11112y a b a b x ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，又l 过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴()111111222a b a b ⎛⎫⎛⎫--++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0b =. ∵()()()()211ln 112g x f x a x x ax a x =--=-+-+， ∴()()()2111111(0)a x x ax a x a g x ax a a x x x⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭=-+-==>'，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减. 故()()2max111111ln 11ln 22g x g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫==-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）证明：∵4a =-，∴()()22121212112212123ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++，()()212121212ln 222x x x x x x x x =++++-+=，∴()()2121212122ln x x x x x x x x +++=-令12(0)x x m m =>，()ln m m m ϕ=-，()1m m mϕ'-=，令()0m ϕ'<得01m <<；令()0m ϕ'>得1m >.∴()m ϕ在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，∴()()11m ϕϕ≥=，∴()2121221x x x x +++≥，120x x +>，解得：1212x x +≥. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，曲线222:12x C y .（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若射线((0)6πθρ=≥与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .【答案】（1）2cos ρθ=，()222cos 2sin 2ρθθ+=；（22105. 【解析】【分析】（1）由曲线1C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（2）分别求得点,A B 对应的的极径21253,10p ，根据极经的几何意义，即可求解. 【详解】（1）曲线1C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)可化为普通方程：()2211x y -+=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线222:12x C y 的极坐标方程为()222cos 2sin 2ρθθ+=.（2）射线(0)6πθρ=≥与曲线1C 的交点A 的极径为1236cos，射线(0)6πθρ=≥与曲线2C 的交点B 的极径满足22126sin ，解得22105，所以1221035AB.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.选修4-5:不等式选讲23.已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M的值；（2）正数 a b c ，，满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++. 【答案】（1）4M =；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得235x x --+≤，所以15m +≤，解这个不等式可求得4M =.（2）由（1）得214a b c++=，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后利用基本不等式可求得最小值为1.试题解析：（1）()()23235x x x x --+≤--+=, 若不等式231x x m --+≥+有解，则满足15m +≤，解得64m -≤≤， ∴4M =.（2）由（1）知正数a b c ，，满足24a b c ++=，∴()()111114a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭124b c a b a b b c ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭124⎛≥+ ⎝ 1=.当且仅当a c =，2a b +=时，取等号.。

【KS5U解析】宁夏银川市第二中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

【分析】
将z分离出来得到，然后分子分母同乘以，化简即可得到答案.
【详解】
，则复平面内对应的点位于第一象限.
故选A.
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题.
3.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，既吹东风又下雨的概率为 .则在吹东风的条件下下雨的概率为（）
A. B. C. D.
由圆过原点，知中有一点与原点重合，作出图形，由，，得，从而直线倾斜角为，写出点坐标，代入抛物线方程求出参数，可得点坐标，从而得三角形面积．
【详解】由题意圆过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为，如图，
由于，，∴ ，∴ ，，
∴点坐标为，代入抛物线方程得，，
7.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别根据指对幂函数的单调性分析函数值的范围即可.
【详解】 ,即 .
故选：A
【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小比较,属于基础题.
8.在内接于球的四面体中,有 , , ,若球的最大截面的面积是 ,则的值为( )
A. B. C. D.
设是曲线的点，是直线的点，可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方，通过求函数到直线的最小距离，即可得到本题答案.
【详解】由题，得，
设是曲线的点，是直线的点，
可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方，
对求导得，令，得，
所以曲线C上的点到直线l的距离最小，
该点到直线l的距离为，
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意将四面体放入长方体中,由长方体对角线与外接球的直径相等可求出外接球的半径,球的最大截面既是过球心的圆,由题意求出外接球的半径,进而求出的值.

2020年宁夏高考数学(理科)模拟试卷(1) 含详细答案解析

）
）
1 C．
3
1 D．
4
A ．若￢（ p∧ q）为真命题，则 p， q 均为假命题
B ．命题“ ? x∈R ，ax+b≤ 0”的否定是“ ? x∈R ，ax+b≥ 0”
C．等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若“ a1＞ 0”则“ S2019＞S2018”的否命题为真命题
→→
→→
D ．“平面向量 ??与??的夹角为钝角”的充要条件是“ ?????＜0”
D．?
1-2??
2．（ 5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 ?? = 1 + ?，? 则 |z|＝（
）
√5 A．
2 3．（ 5 分）已知椭圆
3 √2 B．
2
√10 C．
2
D． √3
??2 E：??2 +
??2 ??2 =
1(??＞??＞0)
过点
√2 ??( 2
，
√3 2)
，椭圆
E 的离心率为
2020 年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（ 1）
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）已知集合 A＝ { x|（ x﹣ 1）（x+1 ）＜ 0} ， B＝ { y|y＝ 2x， x∈R } ，则 A∩ B＝（
）
A ．（﹣ 1， 0]
B ．（﹣ 1， 1）
C．（ 0， 1）
19．（ 12 分）某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的
用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了
9 个数据作为样本，
得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过 40（分钟），则称这个工人为优秀员工．

宁夏银川市第二中学2020年高二第一学期月考一理科数学试题及解析

银川二中2020-2021学年第一学期高二年级月考一试题数学(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题2:,21p x R x x ∀∈-≥的否定是( )A.2000,2<1x R x x ∃∈- B.2,21x R x x ∀∈-<C.2000,21x R x x ∃∈-≥D.2000,2<1x R x x ∃∉-[试题参考答案]A 【试题解析】根据全称命题的否定是特称命题,写出即可．【详细解答】命题2:,21p x R x x ∀∈-≥的否定为2000,2<1x R x x ∃∈-．故选:A ．本题考查了全称命题的否定是特称命题的应用问题,是基础题．2.椭圆22165x y +=的一个焦点坐标是( )A.(3,0)B.(0,3)C.(1,0)D.(0,1)[试题参考答案]C 【试题解析】由22,a b 判断出焦点位置,再求出2c 即可得出答案.【详细解答】因为22165x y +=,所以22226,5,a b a b ==>,所以椭圆焦点在x 轴上,222651c a b =-=-=,所以1c =,所以椭圆焦点坐标为(1,0),(1,0)-,故选:C.本题考查椭圆的标准方程、简单几何性质,属于基础题.3.已知椭圆221416x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6,则点P 到另一个焦点的距离为( ) A 2B.3C.5D.7[试题参考答案]A 【试题解析】根据椭圆定义,即可求得点P 到另外一个焦点的距离．【详细解答】设所求距离为d ,由题意得4a =．根据椭圆的定义得26262a d d a =+⇒=-=, 故点P 到另一个焦点的距离为2．故选:A本题考查了椭圆的定义,属于基础题4.已知椭圆221124x y m m +=--的焦点在y 轴上,若焦距为4,则m 等于( )A.4B.6C.8D.10[试题参考答案]D 【试题解析】本题根据已知判断出2a 、2b ,再利用222a b c =+,可求出答案.【详细解答】∵椭圆221124x y m m +=--的焦点在y 轴上,∴24a m =-,212b m =-, ∵焦距为4,∴24c =,即24c =, ∵222a b c =+,∴()4124m m -=-+, 解得10m =. 故选:D本题考查椭圆的标准方程和a ,b ,c 满足的方程关系,考查学生的计算求解能力,属于基础题.5.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+nyx 的离心率为23,则n =( )A.185B.89C.109D.85[试题参考答案]C 【试题解析】利用椭圆的几何性质,列方程组,然后直接求解即可【详细解答】由于该椭圆焦点在x 轴上,则半焦距c满足2232n c ==+⎩,可得109n =故答案选:C本题主要考查椭圆的几何性质,属于基础题 6.双曲线22312x y -=的焦点坐标是( )A.(±B.(0,±C.(4,0)±D.(0,4)±[试题参考答案]C 【试题解析】将方程整理成标准形式可得双曲线基本量,进一步可得焦点坐标.【详细解答】由22312x y -=得:221412x y -=,所以2,4a b c ===焦点坐标()4,0±. 故选:C此题考查由双曲线的标准方程求基本量的方法,属于基础题.7.双曲线2218y x -=的渐近线方程是( )A.y x =±B.y =±C.2y x=±D.y x = [试题参考答案]B 【试题解析】根据双曲线的渐近线公式,即可求出结果【详细解答】由题意可知,双曲线2218y x -=的渐近线方程为y =±.故选:B.本题主要考查了双曲线的几何性质,属于基础题.8.若点()1,A m 在椭圆22:142x y C +=的内部,则实数m 的取值范围是( )A.(B.22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.6,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.,22⎛-⎝⎭[试题参考答案]B 【试题解析】根据点与椭圆的位置关系即可求解.【详细解答】解:221142m +<,所以,22m ⎛∈- ⎝⎭故选:B.考查已知点与圆的位置关系求参数的取值范围,基础题.9.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是椭圆C 上的点,212PF F F ⊥,1245PF F ∠=︒,则C 的离心率为( )1B.121D.3[试题参考答案]A 【试题解析】根据12PF F △是等腰直角三角形得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2＝a 2－c 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 2转化为关于e 的方程,解方程即可得e ．【详细解答】由212PF F F ⊥,1245PF F ∠=︒,所以12PF F △是等腰直角三角形,且2(,0)F c ,设0(),P c y ,所以220221y c a b +=,4202b y a=,因为221||||PF F F =,所以422(2)b c a=,22222()4a c a c -=,即2220c ac a ±-=,2210e e ±-=,由01e <<,得1e =,则C 1,故选:A.本题考查椭圆的离心率,离心率是椭圆最重要的几何性质.10.已知圆22:(2)64B x y ++=,(2,0)A ,动点C 为圆B 上任意一点,则AC 的垂直平分线与BC 的交点P 的轨迹方程是( )A.2211216x y += B.221164x y += C.2211612x y +=D.221416x y +=[试题参考答案]C 【试题解析】AC 的垂直平分线与BC 的交点P ,所以=PA PC ,则 ||||||||84PB PA PB PC BC AB +=+==>=,进而可以利用椭圆的第一定义和焦距进行求解【详细解答】AC 的垂直平分线与BC 的交点P ,所以=PA PC ,则||||||||84PB PA PB PC BC AB +=+==>=,故P 的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴长为8的椭圆,所以,4a =,2c =,22216412b a c ∴=-=-=,点P 的轨迹方程是2211612x y += 故选:C本题考查椭圆的第一定义的运用,属于基础题11.已知12,F F 为椭圆22:1369x yC +=的左、右焦点,点P 在椭圆C 上,213PF PF =,则12cos F PF ∠等于( )A.34B.13-C.35D.45[试题参考答案]B 【试题解析】首先根据椭圆的定义得到19PF =,23PF =再利用余弦定理计算12cos F PF ∠即可. 【详细解答】由题知:213PF PF =,1212PF PF +=,所以19PF =,23PF =.又因为122===F F c .所以(22212931cos 2933+-∠==-⨯⨯F PF .故选:B本题主要考查椭圆的定义,同时考查了余弦定理,属于简单题.12.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点A ,它关于原点的对称点为B ,点F 为椭圆的右焦点,且满足AF BF ⊥,设ABF α∠=,且ππ[,]124α∈,则该椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.[2B.C.1,3D.[试题参考答案]A 【试题解析】设椭圆的左焦点为F ',连接AF ',BF ',可知四边形AFBF '为矩形,从而可知2AB FF c'==,且2AF BF a+=,由ABF α∠=,可得2sin AF c α=,2cos BF c α=,结合2sin 2cos 2c c a αα+=,可得1sin cos c a αα=+,根据ππ[,]124α∈,求出范围即可. 【详细解答】如图所示,设椭圆的左焦点为F ',连接AF ',BF ',则四边形AFBF '为矩形,所以2AB FF c '==,2AF BF AF AF a '+=+=,由ABF α∠=,可得sin 2sin AF AB c αα=⋅=,cos 2cos BF AB c αα=⋅=,∴2sin 2cos 2c c a αα+=,即11πsin cos 24c a ααα⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+, ∵ππ[,]124α∈,πππ,432α∴+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,π3sin 4α⎤⎛⎫⎥ ⎪⎝⎭⎣∴∈⎦+,π6224α⎛⎫ ⎪⎝⎭⎣∈+,26c e a ∴=∈⎣⎦. 故选:A.本题考查椭圆的离心率,考查椭圆的简单性质的应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于中档题.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在答题卡相应题号的横线上)13.若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线E 上,且14PF =,则2PF 等于_________. [试题参考答案]10 【试题解析】求得双曲线的3a =,由双曲线的定义可得12||||||26PF PF a -==,代入已知条件解方程即可得到所求值．【详细解答】解:双曲线22:1916x y E -=的3a =,由双曲线的定义可得12||||||26PF PF a -==, 由1||4PF =,可得2|4|||6PF -=, 解得2||10(2PF =-舍去)．故答案为:10．本题考查双曲线的定义和方程,考查定义法的运用,以及运算能力,属于基础题．14.已知方程2214+2x y k k+=-表示椭圆,则实数k 的取值范围为_______.[试题参考答案]()()4,11,2--⋃- 【试题解析】根据椭圆标准方程的要求求解即可.详解】解:4+02042k k k k >⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩,421k k k >-⎧⎪<⎨⎪≠-⎩,即()()4,11,2k ∈---故答案为:()()4,11,2--⋃-.考查已知椭圆标准方程求参数的取值范围,基础题.15.已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率e =,,则此双曲线的方程为__________.[试题参考答案]22142x y -=【试题解析】首先根据离心率e =得到渐近线方程为2y x =±,得到c =从而得到2a =,b =即可得到双曲线的标准方程.【详细解答】因为双曲线的离心率e =,所以2222222312+==+=c a b b a a a ,所以b a =,即双曲线的渐近线方程为y x =.则(),0c 到一条直线渐近线y x =的距离==d 解得c =所以2a =,b =双曲线的方程为22142x y -=.故答案为:22142x y -=本题主要考查根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,属于简单题.16.给出下列四个命题:①“2x >”是“1x >”的充分不必要条件；②设,x y R ∈,命题“若0xy =,则220x y +=”的否命题是真命题；③若0,m n +≤则0m ≤或0n ≤是假命题；④已知点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0,-直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是925-,则点M 的轨迹方程为221259x y +=.其中所有正确命题的序号是__________. [试题参考答案]①② 【试题解析】对①,根据()()2,1,+∞⊆+∞即可判断①正确；对②,写出命题的否命题,即可判断②正确；对③,根据逆否命题为真即可判断原命题为证明题,从而得到③错误,对④,得到M 的轨迹方程为()2215259x y x +=≠±,即可判断④错误. 【详细解答】对①,因为()()2,1,+∞⊆+∞,所以“2x >”是“1x >”的充分不必要条件, 故①正确；对②,“若0xy =,则220x y +=”的否命题为:“若0xy ≠,则220x y +≠”, 因为0xy ≠,则0x ≠且0y ≠,所以220x y +≠,故②正确；对③,若0m n +≤,则0m ≤或0n ≤的逆否命题为:若0m >且0n >,则0m n +>, 为真命题,所以若0m n +≤,则0m ≤或0n ≤也为真命题,故③错误；对④,设(),M x y ,由题知:5MA y k x =+,5MB y k x =-, 因为925MA MBk k ⋅=-,所以()955525y y x x x ⋅=--≠±+,整理得:()2215259x y x +=≠±,故④错误.故答案为:①②本题主要考查命题的真假判断,同时考查了充分必要条件和椭圆的轨迹方程,属于中档题.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(1)焦点在x 轴上的椭圆过点93,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,离心率12e =,求椭圆的标准方程；(2)已知双曲线过点(M ,它的渐近线方程为23y x =±,求双曲线的标准方程. [试题参考答案](1)2213627x y +=；(2)221188x y -=.【试题解析】(1)设椭圆的标准方程,代入已知点,再由离心率12e =及222a b c =+可解得基本量.(2)由渐近线方程可设双曲线方程为2294x y λ-=,代入M 点的坐标即可.【详细解答】(1)设椭圆标准方程为:22221x y a b+=,过点93,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,则22221932a b⎛⎫ +⎝⎭=⎪,又 12c e a == ,222a b c =+,联立解得6,a b ==, 所以椭圆标准方程为: 2213627x y +=(2)由双曲线的渐近线方程23y x =±,可设双曲线方程为: 2294x y λ-=又双曲线过点(M ,所以(22694λ-=,解得2λ=‘所以双曲线的标准方程为: 221188x y -=此题为基础题,考查椭圆和双曲线标准方程的求法.18.已知命题p :方程22122x y m m +=-表示焦点在x 轴上的双曲线,命题q :曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴无交点,若p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.[试题参考答案]150,2,22⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【试题解析】分别求出命题,p q 为真命题时m 的范围,根据复合命题真值表可得命题,p q 命题一真一假,分别就“p 真q 假”和“p 假q 真”求出m 的范围,再求并集即可．【详细解答】由题:若p 为真,则2020m m >⎧⎨-<⎩,02m ∴<<；若q 为真,则()2152340,22m m --<∴<<；p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,则p 真q 假,或p 假q 真,若p 真q 假,021522m m m <<⎧⎪⎨≤≥⎪⎩或,102m ∴<≤；若p 假q 真,021522m m m ≤≥⎧⎪⎨<<⎪⎩或,522m ∴≤<；综上所述:实数m 的取值范围为150,2,22⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 本题借助考查复合命题的真假判定,考查了双曲线的标准方程,关键是求得命题为真时的等价条件．19.若椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,椭圆上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB 平行于OP,1F A =(1)求椭圆的标准方程；(2)若点M 是椭圆上一点,以点M 及12,F F求点M 的坐标.[试题参考答案](1)221105x y +=；(2)()或()-或()1--或()1- 【试题解析】(1)设点()0,P c y -,代入椭圆方程可得4202b y a=,则21b PF a =,由AB 平行于OP ,所以1POF BAO ∠=∠,进而可得到2b b ac a=,整理得b c =,再结合1F A a c =+=,可求出,,a b c 的值,即可得到椭圆方程；(2)设()(),0,0M m n m n >>,由三角形12MF F的面积为1212S F F n =⋅=及点M 在椭圆上,可求出,m n ,根据对称性,可知M 的坐标有四种情况,分别在四个象限内,求解即可.【详细解答】(1)由题意,设点()0,P c y -,代入椭圆方程得,220221y c a b+=,则24022221b a c y a b ⎛⎫=- ⎪⎝=⎭,故21b PF a =,因为AB 平行于OP ,所以1POF BAO ∠=∠,又2111tan b PF a POF OF c ∠==,tan OB bBAO OA a∠==,所以2b b a c a=,即b c =, 联立222a b c b c ⎧=+⎨=⎩,解得22a c b ==,又12105F A a c c c =+=+=+,所以5b c ==,10a =,则椭圆方程为221105x y +=. (2)若点M 在第一象限,设()(),0,0M m n m n >>, 则三角形12MF F 的面积为121125522S F F n n =⋅=⨯⋅=,解得1n =, 将点()(),10M m m >代入椭圆方程,得211105m +=,解得22m =,所以当点M 在第一象限时,M 的坐标为()22,1；根据对称性,点M 也可以在第二、第三、第四象限,坐标分别为()()()22,1,22,1,22,1----.综上,点M 的坐标为()22,1或()22,1-或()22,1--或()22,1-.本题考查椭圆方程的求法,考查三角形的面积,考查学生的计算求解能力,属于中档题.20.已知椭圆22149x y +=,一组平行直线的斜率是1.(1)这组直线何时与椭圆有公共点？(2)当它们与椭圆相交时,求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程.[试题参考答案](1)截距在[范围内；(2)940x y +=. 【试题解析】(1)由已知设直线方程y x b =+结合椭圆方程,根据有公共点即所得方程的判别式2264208(9)0b b ∆=--≥即可知直线截距在[上有交点；(2)结合(1)由中点坐标可得49(,)1313b b-,而其中必有原点即可求直线方程；【详细解答】(1)设平行直线的方程为y x b =+,若直线与椭圆有公共点,则:将y x b =+代入22149x y +=,整理得:221384360x bx b ++-=,∴2264208(9)0b b ∆=--≥解得:b ≤≤； (2)令交点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,由(1)知:12813b x x +=-,而121218213by y x x b +=++=, 所以线段中点坐标为49(,)1313b b -,其中必有一个中点为坐标原点,故直线的斜率为94k =-,∴所在的直线方程:940x y +=；本题考查了直线与椭圆的位置关系,计算确定何时它们会有公共点,以及求交点弦的中点所构成直线的方程.21.已知焦点在x 轴上双曲线Γ经过点(,M N -.(1)求双曲线Γ的离心率e ；(2)若直线:1l y x =-与双曲线Γ交于,A B 两点,求弦长AB . [试题参考答案](1)3e =；(2)8. 【试题解析】(1)设双曲线方程,用待定系数法可求；(2)联立双曲线Γ和直线l 的方程,表示出两根之和,两根之积,利用弦长公式可求.【详细解答】解:(1)设双曲线Γ的方程为22221x ya b -=,则((2222222211a b ab ⎧⎪-=⎪⎨⎪-⎪-=⎩,2223b a ⎧=⎨=⎩, 所以2225c a b =+=,c e a ==； (2)由(1)得双曲线Γ的方程为22132x y -=,设()()1122,,,A x y B x y,2213213x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,290x +-=,12129x x x x +=-⋅=-,8AB ====,弦长AB 为8.考查双曲线离心率的求法以及弦长的求法,中档题.22.在平面直角坐标系xoy 中,椭圆C 与双曲线224123y x -=有相同的焦点12,F F ,点M 是椭圆上一点,1230F MF ∠=且12F MF △的面积等于4-. (1)求椭圆C 的方程；(2)过圆225O x y +=：上任意一点P 作椭圆C 的两条切线,若两条切线都存在斜率,求证:两切线斜率之积为定值.[试题参考答案](1)22132y x +=；(2)证明见解析.【试题解析】(1)由题得双曲线的焦点为12(0,1),(0,1)F F -,设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>,根据已知求出a =(2)设点()00,P x y ,过点P 的椭圆C 的切线l 的方程为()00y y k x x -=-,联立直线和椭圆方程得()()()2220000324260kxk y kx x kx y ++-+--=,由=0∆得()()22200002230x k kx y y -+--=,即得121k k .【详细解答】(1)由题得双曲线的焦点为12(0,1),(0,1)F F -,设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>,由题得121211||||4||||8(222PF PF PF PF ⨯=-∴=,由余弦定理得222121212124=|||2||||(||||)2||||PF PF PF PF PF PF PF PF +-=+-122||||PF PF -所以12||+||2PF PF a a ==∴=所以2312b =-=所以椭圆方程为22132y x +=；(2)设点()00,P x y ,过点P 的椭圆C 的切线l 的方程为()00y y k x x -=-,联立()0022132y y k x x y x ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得()()()2220000324260k x k y kx x kx y ++-+--=,因l 与椭圆相切,故()()()22200004432260k y kx k kx y ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 整理可得()()22200002230x kkx y y -+--=设满足题意的椭圆C 的两条切线的斜率分别为12,k k ,则20122032y k k x -⋅=-,因P 在圆O 上,所以22005x y +=,因此20122212x k k x -⋅==--, 故两切线斜率之积为定值1-.本题主要考查椭圆的方程的求法,考查余弦定理和椭圆的定义,考查直线和椭圆的位置关系和定值问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2020年宁夏银川二中高考数学一模试卷(理科) (解析版)

2020年宁夏银川二中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M ＝{x |（x ﹣1）2＜9}，N ＝{﹣2，0，1，2，4}，则M ∩N ＝（） A ．{0，1，2}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}2．若复数z 满足z （1+i ）＝1+2i ，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为730，既吹东风又下雨的概率为110．则在吹东风的条件下下雨的概率为（） A ．311B ．37C ．711D ．1104．(x −2√x)6展开式中含x 3项的系数为（） A ．﹣60 B ．60 C ．﹣120 D ．1205．已知函数f （x ）＝cos 4x ﹣sin 4x ，下列结论错误的是（） A ．f （x ）＝cos2xB ．函数f （x ）的图象关于直线x ＝0对称C ．f （x ）的最小正周期为πD ．f （x ）的值域为[−√2，√2]6．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣3，a 4＝b 4＝24，则a 2b 2=（）A ．﹣1B ．1C ．﹣4D ．47．已知a ＝（13）25，b ＝（25）13，c ＝log 325，则（）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c8．在内接于球O 的四面体ABCD 中，有AB ＝CD ＝t ，AD ＝BC ＝6，AC ＝BD ＝7，若球O 的最大截面的面积是55π4，则t 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．89．如图，网格纸上小正方形的边长为1．从A ，B ，C ，D 四点中任取两个点作为向量b →的始点和终点，则a →⋅b →的最大值为（）A ．1B ．√5C ．3D ．√1010．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2+a 5＝2a m ，则m 等于（） A ．6B ．7C ．8D ．1011．设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，抛物线C 与圆C ′：x 2+（y −√3）2＝3交于M ，N 两点，若|MN |=√6，则△MNF 的面积为（） A ．√28B ．38C ．3√28D ．3√2412．已知实数a ，b ，c ，d 满足e a−1b =c−1d=1e，则（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为（）A ．√e 2+1eB ．√e 2+1C ．e 2+1e 2D ．e 2e 2+1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1x −y ≤1，则z ＝x ﹣2y 的最大值为．14．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下：A 地：中位数为2，极差为5；B 地：总体平均数为2，众数为2；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；D 地：总体平均数为2，总体方差为3．则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的所有选项是．（填A 、B 、C 、D ） 15．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=π4，则双曲线的离心率为． 16．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为V 1，V 2，V 3，若它们的表面积相等，则V 12：V 22：V 32＝．三、解答题（共70分）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a 2+c 2＝b 2﹣ac ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，AD ＝2√3，BD ＝1，求sin ∠BAC 的值． 18．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A 27人 3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是平行四边形，PD ⊥AB ，O 是AD 的中点，BO ＝CO ．（1）求证：AB ⊥平面PAD ；（2）若AD ＝2AB ＝4，PA ＝PD ，点M 在侧棱PD 上，且PD ＝3MD ，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为π4，求直线BP 与平面MAC 所成角的正弦值．20．已知椭圆W ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为﹣1，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W的方程．（Ⅱ）设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S k，证明：S1＝S2．21．已知函数f（x）＝e x（cos x﹣sin x）（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）令g（x）＝f（x）+e x（2x﹣2）﹣a（x2+2cos x），讨论g（x）的单调性并判断有无极值，若有，求出极值．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ2=9cos2θ+9sin2θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）A、B为曲线C上两个点，若OA⊥OB，求1|OA|+1|OB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．若a＞0，b＞0，且(a+b)√ab=1．（1）求1a3+1b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得12a+13b的值为√63？并说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合M ＝{x |（x ﹣1）2＜9}，N ＝{﹣2，0，1，2，4}，则M ∩N ＝（） A ．{0，1，2}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}【分析】先分别求出集合M ，N ，由此能求出M ∩N ．解：∵集合M ＝{x |（x ﹣1）2＜9}＝{x |﹣2＜x ＜4}， N ＝{﹣2，0，1，2，4}， ∴M ∩N ＝{0，1，2}．故选：A ．2．若复数z 满足z （1+i ）＝1+2i ，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z （1+i ）＝1+2i ，得z =1+2i1+i =(1+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=32+12i ， ∴z 在复平面内对应的点的坐标为（32，12），位于第一象限．故选：A ．3．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为730，既吹东风又下雨的概率为110．则在吹东风的条件下下雨的概率为（） A ．311B ．37C ．711D ．110【分析】利用条件概率的计算公式即可得出．解：设事件A 表示四月份吹东风，事件B 表示吹东风又下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P （B |A ）=110730=37．故选：B ． 4．(x −√x )6展开式中含x 3项的系数为（） A ．﹣60 B ．60 C ．﹣120 D ．120【分析】利用二项展开式的通项公式求得第r +1项，令x 的指数为3得，x 3的系数．解：展开式的通项为 T r +1=∁6r •x 6﹣r•√x)r =（﹣2）r C 6r x 6−32r ；令6−32r ＝3，得r ＝2，∴x 3的系数为：（﹣2）2C 62＝60，故选：B ．5．已知函数f （x ）＝cos 4x ﹣sin 4x ，下列结论错误的是（） A ．f （x ）＝cos2xB ．函数f （x ）的图象关于直线x ＝0对称C ．f （x ）的最小正周期为πD ．f （x ）的值域为[−√2，√2]【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得f （x ）＝cos2x ，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解．解：由f （x ）＝cos 4x ﹣sin 4x ＝（cos 2x +sin 2x ）（cos 2x ﹣sin 2x ）＝cos2x ，故A 正确；由利用余弦函数的图象可知f （x ）＝cos2x 为偶函数，故B 正确；由周期公式可得f （x ）的最小正周期为：T =2π2=π，故C 正确；由余弦函数的性质可得f （x ）＝cos2x 的值域为[﹣1，1]，故D 错误；故选：D ．6．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣3，a 4＝b 4＝24，则a 2b 2=（）A ．﹣1B ．1C ．﹣4D ．4【分析】等差数列{a n }的公差设为d ，等比数列{b n }的公比设为q ，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d ，q ，再由它们的通项公式计算可得所求值．解：等差数列{a n }的公差设为d ，等比数列{b n }的公比设为q ， a 1＝b 1＝﹣3，a 4＝b 4＝24，可得﹣3+3d ＝﹣3q 3＝24，解得d ＝9，q ＝﹣2，则a 2b 2=−3+9−3×(−2)=1，故选：B ． 7．已知a ＝（13）25，b ＝（25）13，c ＝log 325，则（）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵y ＝（13）x 在R 上是减函数，且25＞13，∴（13）25＜（13）13，又∵y ＝x13在（0，+∞）上为增函数，且25＞13，∴（25）13＞（13）13，∴0＜（13）25＜（13）13＜（25）13＜1，∴0＜a ＜b ＜1，∴log 325＜log 31＝0，∴c ＜0， ∴c ＜a ＜b ，故选：A ．8．在内接于球O 的四面体ABCD 中，有AB ＝CD ＝t ，AD ＝BC ＝6，AC ＝BD ＝7，若球O 的最大截面的面积是55π4，则t 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】由题意将四面体放入长方体中，由长方体的对角线与外接球的直径相等可求出外接球的半径，球的最大截面既是过球心的圆，由题意求出外接球的半径，进而求出t 的值．解：将四面体放入到长方体中，AB 与CD ，AD 与BC ，AC 与BD 相当于一个长方体的相对面的对角线，设长方体的长，宽，高分别是a ，b ，c 则{a 2+b 2=t 2b 2+c 2=72a 2+c 2=62，所以2（a 2+b 2+c 2）═85+t 2 球O 的最大截面的面积是55π4，球的最大截面既是过球心的大圆，设球的半径为R 则πR 2=55π4，所以（2R ）2＝55，2R =√a 2+b 2+c 2，所以（2R ）2＝a 2+b 2+c 2，∴55×2＝85+t 2，解得：t ＝5，故选：A ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1．从A ，B ，C ，D 四点中任取两个点作为向量b →的始点和终点，则a →⋅b →的最大值为（）A ．1B ．√5C ．3D ．√10【分析】把向量的数量积最大，转化为两个向量的模以及两个向量的夹角的余弦函数值的乘积取得最大值，进而求解结论．解：由题意可知：则a →⋅b →=|a →|•|b →|•cos ＜a →，b →＞=|b →|•cos ＜a →，b →＞，就是求解b →在a →上的投影的最大值，由图形可知：向量b →=AC →=（3，1）．∴a →⋅b →=|b →|•cos ＜a →，b →＞=3，是向量的数量积的最大值．故最大值为：3．故选：C ．10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2+a 5＝2a m ，则m 等于（） A ．6B ．7C ．8D ．10【分析】先假设q ＝1，分别利用首项表示出前3、6、及9项的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q 不等于1，然后利用等比数列的前n 项和的公式化简S 3+S 6＝2S 9得到关于q 的方程，根据q 不等于0和1，求出方程的解，即可得到q 的值．然后求解m ．解：若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1．但a 1≠0，即得S 3+S 6≠2S 9，与题设矛盾，q ≠1．又依题意S 3+S 6＝2S 9 可得a 1(1−q 3)1−q+a 1(1−q 6)1−q=2a 1(1−q 9)1−q整理得2q 6+q 3＝0．由q ≠0得方程2q 3+1＝0 ∴q 3=−12，a 2+a 5＝2a m ，a 2+a 2q 3＝2a 2q m ﹣2． ∴12=2(−12)m−23，∴m ＝8，故选：C ．11．设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，抛物线C 与圆C ′：x 2+（y −√3）2＝3交于M ，N 两点，若|MN |=√6，则△MNF 的面积为（） A ．√28B ．38C ．3√28D ．3√24【分析】由圆经过原点，抛物线y 2＝2px 也过原点，设M （0，0），N （m ，n ），m ＞0，由两点的距离公式和N 既在抛物线上又在圆上，可得m ，n ，p ，进而得到焦点F 的坐标，由三角形的面积公式计算可得所求值．解：圆x 2+（y −√3）2＝3，即为x 2+y 2＝2√3y ，可得圆经过原点，抛物线y 2＝2px 也过原点，设M （0，0），N （m ，n ），m ＞0，由|MN |=√6，可得m 2+n 2＝6，又m 2+n 2＝2√3n ，解得n =√3，m =√3，由n 2＝2pm ，解得p =√32，又F （p 2，0），可得△MNF 的面积为12|OF |•|y N |=12•√34•√3=38，故选：B ．12．已知实数a ，b ，c ，d 满足e a−1b=c−1d=1e，则（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为（）A ．√e 2+1eB ．√e 2+1C ．e 2+1e 2D ．e 2e 2+1【分析】将要求的式子看成（b ，a ）与（d ，c ）间的距离，然后挖掘a 与b ，c 与d 之间的函数关系，最终转化成两函数图象上的点之间的距离最值问题．【解答】由题意得a =lnb ，c =1e⋅d +1，设（b ，a ）是曲线C ：y ＝lnx 的点，（d ，c ）是直线l ：y =1e⋅x +1的点，（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，对y ＝lnx 求导得y′=1x ，令y′=1e ，得x ＝e ，所以切点为（e ，1），所以曲线C 上的点（e ，1）到直线l ：1ex −y +1=0的距离最小，该点到直线l 的距离为√(1e)2+(−1)2=√1e2+1=√1+e 2所以（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为e 21+e ．故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1x −y ≤1，则z ＝x ﹣2y 的最大值为 1 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：由z ＝x ﹣2y 得y =12x −12z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y =12x −12z ，由图象可知当直线y ＝经过点C 时，直线y =12x −12z 的纵截距最小，此时z 最大，由{x +y =1x −y =1，得A （1，0）．代入目标函数z ＝x ﹣2y ，得z ＝1﹣2×0＝1，故答案为：1．14．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下：A 地：中位数为2，极差为5；B 地：总体平均数为2，众数为2；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；D 地：总体平均数为2，总体方差为3．则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的所有选项是 AD ．（填A 、B 、C 、D ）【分析】根据平均数、中位数、众数和方差、极差的定义和性质，判断即可．解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．在A 地中，中位数为2，极差为5，2+5＝7，每天新增疑似病例不会超过7人，所以A 地符合标准；在B 地中，总体平均数为2，众数为2，每天新增疑似病例可以超过7人，所以B 地不符合标准；在C 地中，总体平均数为1，总体方差大于0，每天新增疑似病例可以超过7人，所以C 地不符合标准；在D 地中，总体平均数为2，总体方差为3．根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差大于3，所以D 地符合标准．故答案为：AD ． 15．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=π4，则双曲线的离心率为 √3 ．【分析】如图：|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，设|MF 2|＝t ，则|MF 1|＝2a +t ，∵sin ∠MF 1F 2=|ON||OF 1|=ac ，然后在三角形MF 1F 2中由正余弦定理列方程可解得离心率．解：如图：|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，设|MF 2|＝t ，则|MF 1|＝2a +t ， ∵sin ∠MF 1F 2=|ON||OF 1|=ac ，在△MF 1F 2中，由正弦定理得|MF 2|sin∠MF 1F 2=|F 1F 2|sin∠F 1MF 2，即t a c=√22， ∴t ＝2√2a ，∴|MF 2|＝2√2a ，|MF 1|＝（2√2+2）a ，由余弦定理得4c 2＝8a 2+（12+8√2）a 2﹣2×2√2a ×(2√2+2）a ×√224c 2＝12a 2，∴c 2＝3a 2，∴e =√3．故答案为：√3．16．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为V 1，V 2，V 3，若它们的表面积相等，则V 12：V 22：V 32＝ 6：4：π ．【分析】设球的直径为d ，正方体的棱长为a ，圆柱的底面半径是r ，分别写出球的表面积，圆柱的表面积与正方体的表面积，由表面积的关系把球的直径与正方体的棱长用圆柱的底面半径表示，然后写出球的体积、圆柱的体积及正方体的体积（用r 表示），则体积平方的比值可求．解：设球的直径为d ，正方体的棱长为a ，圆柱的底面半径是r ， ∴球的表面积为πd 2，正方体的表面积为6a 2，圆柱的表面积为6πr 2．则πd 2＝6a 2＝6πr 2．球的体积为V 1=43π•(d 2)3=πd 36，圆柱的体积为V 2＝2πr 3，正方体的体积是V 3＝a 3，∵πd 2＝6a 2，∴d 2=6πa 2， ∴πd 36=π6⋅6π•a 2d ＝a 2d ，∵πd 2＝6πr 2，∴d 2＝6r 2， ∴V 12=(πd 36)2=(π6⋅6r 2⋅√6r)2=6π2r 6，V 22=4π2r 6，∵6a 2＝6πr 2，∴a 2＝πr 2，∴V32=a6＝π3r6．∴V12：V22：V32＝6π2r6：4π2r6：π3r6＝6：4：π．故答案为：6：4：π．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a2+c2＝b2﹣ac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若∠BAC的平分线AD交BC于D，AD＝2√3，BD＝1，求sin∠BAC的值．【分析】（I）由已知及余弦定理可求得cos B=−12，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（II）由正弦定理可得sin∠BAD，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos∠BAD，根据二倍角的正弦函数公式即可求解sin∠BAC的值．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵在△ABC中，a2+c2＝b2﹣ac．∴由余弦定理可得：cos B=a2+c2−b 22ac =−ac2ac=−12，∵B∈（0，π），∴B=2π3⋯（II）∵由正弦定理可得：ADsinB=BDsin∠BAD，∴sin∠BAD=BD⋅sinBAD =1×√322√3=14，…∵∠BAD∈（0，π），∠BAC的平分线AD交BC于D，∴cos∠BAD=√154，…∴sin∠BAC＝sin（2∠BAD）＝2sin∠BAD•cos∠BAD=√158⋯18．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【分析】（Ⅰ）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，求出A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数．（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，由此能求出该学生上个月支付金额大于2000元的概率．（Ⅲ）从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为1 25，虽然概率较小，但发生的可能性为125．不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：1000×40100=400人．（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率p=mn=125．（Ⅲ）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为125，虽然概率较小，但发生的可能性为125．故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，PD⊥AB，O是AD的中点，BO＝CO．（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）若AD＝2AB＝4，PA＝PD，点M在侧棱PD上，且PD＝3MD，二面角P﹣BC﹣D的大小为π4，求直线BP与平面MAC所成角的正弦值．【分析】（1）设N是BC的中点，连结ON，推导出AB∥ON，ON⊥BC，AB⊥BC，BC∥AD，AB⊥AD，AB⊥PD，由此能证明AB⊥平面PAD．（2）由AB⊥平面PAD，得面PAD⊥面ABCD，连结PO，PN，则PO⊥AD，PO⊥BC，ON⊥BC，从而BC⊥平面PNO，PN⊥BC，从而二面角P﹣BC﹣D的平面角为∠PNO=π4，PO＝AB＝2，以O为原点，ON，OD，OP方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，由此能求出直线BP与平面MAC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）平行四边形ABCD中，设N是BC的中点，连结ON，∵O是AD的中点，∴AB∥ON，∵BO＝CO，∴ON⊥BC，∴AB⊥BC，平行四边形ABCD中，BC∥AD，则AB⊥AD，∵AB ⊥PD ，且PD ∩AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ．解：（2）由（1）知AB ⊥平面PAD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴面PAD ⊥面ABCD ，连结PO ，PN ， ∵PA ＝PD ，∴PO ⊥AD ，∴PO ⊥BC ， ∵ON ⊥BC ，∴BC ⊥平面PNO ，∴PN ⊥BC ， ∴二面角P ﹣BC ﹣D 的平面角为∠PNO =π4， ∴PO ＝AB ＝2，以O 为原点，ON ，OD ，OP 方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣2，0），B （2，﹣2，0），C （2，2，0），P （0，0，2），由PD ＝3MD ，得M （0，43，23），则AC →=（2，4，0），AM →=（0，103，23），BP →=（﹣2，2，2），设平面MAC 的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AC →=2x +4y =0n →⋅AM →=10x +2z =0，取y ＝1，得n →=（﹣2，1，﹣5），设直线BP 与平面MAC 所成角为θ，则直线BP 与平面MAC 所成角的正弦值为： sin θ=|BP →⋅n →||BP →|⋅|n →|=|4+2−10|23⋅30=√1015．20．已知椭圆W ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为﹣1，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W的方程．（Ⅱ）设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S k，证明：S1＝S2．【分析】（I）利用椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式即可得出；（II）设直线l的方程为y＝kx+m，其中k＝1或2，A（x1，y1），B（x2，y2）．把直线l的方程与椭圆的方程联立可得关于x的一元二次方程及根与系数的关系，进而得到弦长|AB|，利用点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离，利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：由题意得椭圆W的半焦距c＝1，右焦点F（1，0），上顶点M（0，b），∴直线MF的斜率为k MF=b−00−1=−1，解得b＝1，由a2＝b2+c2，得a2＝2，∴椭圆W的方程为x22+y2=1．（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y＝kx+m，其中k＝1或2，A（x1，y1），B（x2，y2）．由方程组{y=kx+mx22+y2=1得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∴△＝16k2﹣8m2+8＞0，（*）由韦达定理，得x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−21+2k2．∴|AB|=√1+k2√(−4km1+2k2)2−4×2m2−21+2k2=√1+k21+2k2√8(2k2−m2+1)．∵原点O到直线y＝kx+m的距离d=|m|√1+k，∴S△AOB=12|AB|⋅d=√21+2k2√m2(2k2−m2+1)≤√21+2k2×m2+2k2−m2+12=√22，当且仅当m2＝2k2﹣m2+1，即2m2＝2k2+1时取等号．与k的取值无关系，因此S1＝S2．21．已知函数f（x）＝e x（cos x﹣sin x）（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）令g（x）＝f（x）+e x（2x﹣2）﹣a（x2+2cos x），讨论g（x）的单调性并判断有无极值，若有，求出极值．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，令u（x）＝x﹣sin x，求出u（x）＜0，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出g（x）的极值即可．解：（1）f'（x）＝e x（cos x﹣sin x）+e x（﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x sin x∴f′（0）＝0，又f（0）＝1，则切线方程为y＝1（2）g（x）＝e x（cos x﹣sin x+2x﹣2）﹣a（x2+2cos x）g′（x）＝e x（cos x﹣sin x+2x﹣2）+e x（﹣sin x﹣cos x+2）﹣a（2x﹣2sin x）＝2（x﹣sin x）（e x﹣a）＝2（x﹣sin x）（e x﹣e lna）．令u（x）＝x﹣sin x，则u′（x）＝1﹣cos x≥0，∴函数u（x）在一、选择题上单调递增．∵u（0）＝0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．当a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x＝0时，函数g（x）取得极小值，g（x）极小＝g（0）＝﹣2a﹣1无极大值当a＞0时，令g′（x）＝2（x﹣sin x）（e x﹣e lna）＝0．解得x1＝lna，x2＝0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．∴当x＝0时，函数g（x）取得极小值，g（x）极小＝g（0）＝﹣2a﹣1．当x＝lna时，函数g（x）取得极大值，g（x）极大＝g（lna）＝﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②a＝1时，lna＝0，x∈R时，g′（x）≥0，∴函数g（x）在R上单调递增．无极值③a＞1时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．∴当x＝0时，函数g（x）取得极大值，g（x）极大＝g（0）＝﹣2a﹣1．当x＝lna时，函数g（x）取得极小值，g（x）极小＝g（lna）＝﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．综上所述：当a≤0时，函数g（x）在（0，+∞）单调递增；在（﹣∞，0）单调递减．g（x）极小值为﹣1﹣2a．无极大值当0＜a＜1时，函数g（x）在（﹣∞，lna），（0，+∞）上单调递增；在（lna，0）上单调递减．极小值g（0）＝﹣2a﹣1．极大值g（lna）＝﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a＝1时，函数g（x）在R上单调递增．无极值当a＞1时，函数g（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；在（0，lna）上单调递减．极大值g（0）＝﹣2a﹣1．极小值g（lna）＝﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ2=9cos2θ+9sin2θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）A、B为曲线C上两个点，若OA⊥OB，求1|OA|+1|OB|的值．【分析】（1）由ρ2=9cos2θ+9sin2θ，得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ＝9，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，能求出曲线C的普通方程．（2）由ρ2=9cos2θ+9sin2θ，得1ρ2=cos2θ9+sin2θ，由OA⊥OB，设A（ρ1，α），则B点的坐标可设为(ρ2，α±π2)，由此能求出1|OA|2+1|OB|2的值．解：（1）由ρ2=9cos 2θ+9sin 2θ，得ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ＝9，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得到曲线C 的普通方程是x 29+y 2=1． …（2）因为ρ2=9cos 2θ+9sin 2θ，所以1ρ=cos 2θ9+sin 2θ，由OA ⊥OB ，设A （ρ1，α），则B 点的坐标可设为(ρ2，α±π2)，所以1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos 2α9+sin 2α+sin 2α9+cos 2α=19+1=109． …[选修4-5：不等式选讲]23．若a ＞0，b ＞0，且(a +b)√ab =1．（1）求1a 3+1b 3的最小值；（2）是否存在a ，b ，使得12a+13b的值为√63？并说明理由．【分析】（1）由条件利用基本不等式求得ab ≤12再利用基本不等式求得1a +1b 的最小值．（2）根据 ab ≤12及基本不等式求的12a +13b ≥2√33，从而可得不存在a ，b ，使得12a +13b 的值为√63．解：（1）∵(a +b)√ab =1， ∴(a +b)=ab， ∵a ＞0，b ＞0，∴(a +b)≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴√ab≥2√ab ，∴ab ≤12．∴1a +1b ≥2√1a ⋅1b =ab √ab≥4√2，∴1a 3+1b 3≥4√2，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）∵a ＞0，b ＞0， ∴12a +13b ≥2√12a ⋅13b =√6ab ≥2√33， ∵√63＜2√33， ∴不存在a ，b ，使得12a +13b 的值为√63．。

宁夏银川二中2019-2020学年第一学期高三年级统练一数学(理科)试卷(无答案)

银川二中2019-2020学年第一学期高三年级统练一数学（理科）试卷一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={0,1,2,3},集合A={0,1},集合B={0,2}则B AC U ⋂)（=( ) A.{2} B.{2,3}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}2.若原命题为:“若函数f(x)是定义域为R 的奇函数,则f(0)=0”,则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为( )A.真、真、真B.真、真、假C.假、假、真D.假、假、假3.若a,b ∈R,则命题p ：b a 22>是命题q ：b a 22log log >的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.=∙+50lg 2lg 5lg 2（）A.1B.2C.10D.1005. 已知a>0,函数f(x)=ax+bx+c,若0x 满足关于x 的方程2ax+b=0,下列选项是假命题的是（）A. )()(,0x f x f R x ≤∈∃B. )()(,0x f x f R x ≥∈∃C. )()(,0x f x f R x ≤∈∀D. )()(,0x f x f R x ≥∈∀6.已知226.06.0,6.0log ,2log ===c b a 则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a7.已知a>0且1≠a 函数2)32(log +-=x y a 的图像恒过定点P ,若点P 在幂函数y=f(x)的图像上,则f(8)=( ) A.2 B.2 C.22 D.48. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间),(+∞-∞上单调递增.若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围为（）A. ),21()23,(+∞-⋃--∞ B.)21,23(-- C.),3()1,(+∞⋃--∞ D.)3,1(1（）。

2020年宁夏银川市高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)

2020年宁夏银川市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3≥0}，B={x∈Z|−2≤x<2}，则A∩B=()A. [−2,−1]B. [−1,2)C. {−2,−1}D. {−1,2}2.已知复数z=1+i，则z21−z=()A. 2B. −2C. 2iD. −2i3.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则()A. m e=m o=xB. m e=m o<xC. m e<m o<xD. m o<m e<x4.已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点(√2,2)，则双曲线C的方程是()A. 2x27−y214=1 B. 2y27−x214=1 C. y2−x24=1 D. x2−y24=15.若1a <1b<0，则下列不等式：①a+b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2.其中正确的不等式有()A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④6.已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的()A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.若cos2α=78，α∈(3π4,π)，则sinα等于()A. 316B. 14C. √158D. 348. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，则(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. −132B. −112C. −6−√32 D. −6+√329. 若函数f(x)为R 上的偶函数，且f(2)=3，则f(−2)=( )A. −3B. 3C. 2D. −210. 将函数y =3sin(2x −π4)的图象向左平移16个周期(即最小正周期)后，所得图象对应的函数为( )A. y =3sin(2x +π12) B. y =3sin(2x +7π12) C. y =3sin(2x −π12)D. y =3sin(2x −7π12)11. 若一个圆锥与一个球的体积相等，且圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与球的半径之比为( )A. 4:9B. 9:4C. 4:27D. 27:412. 已知函数f(x)=xe x−1−a ，则下列说法正确的是( )A. 当a <0时，f(x)有两个零点B. 当a =0时，f(x)无零点C. 当0<a <1时，f(x)有小于1的零点D. 当a >1时，f(x)有大于a 的零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在含甲、乙的6名学生中任选2人去执行一项任务，则甲被选中、乙没有被选中的概率为______． 14. 若锐角△ABC 的面积为10√3，且AB =5，AC =8，则BC 等于________．15. 已知焦点为F 的抛物线y 2=2px(p >0)上有一点A(m,2√2)，以A 为圆心，AF 为半径的圆被y轴截得的弦长为2√5，则m = ______ ．16. 函数f(x)=lnx +1点(1,1)处的切线方程为_________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图是某企业2012年至2018年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018．(1)建立y 关于t 的回归方程，预测2019年该企业的污水净化量； (2)请用数据说明回归方程预报的效果．参考数据：y −=54；∑(7i=1t i −t −)(y i −y −)=21,∑(7i=1y i −y ∧)=94参考公式：线性回归方程：y ∧=b ∧t +a ∧；b ∧=∑(7i=1t i −t)(y i −y)∑(7i=1t i −t)2,y −=bt −+a.反映回归效果的公式为：R 2=1−∑(y i −y i ∧)2n i=1∑(y i −y −)2n i=118. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点．(1)求证：EF//平面A1DC1；(2)若AA1=2√3，求平面A1DC1与平面B1EF所成二面角的正弦值．19.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，且S n+2=3S n+3．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S2n．20.已知a∈R，f(x)=(x2−4)(x−a)．(1)若f′(−1)=0，试求出f(x)的极大值和极小值；(2)若函数f(x)在[−1,1]上为减函数，试求实数a的取值范围．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，过右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，当l 与x 轴垂直时，AB 长为4√33.(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上存在一点P ，使得OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线的斜率．22. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2，0≤θ≤π2，曲线C 2的参数方程为{x =t +2t−1y =t −2t +1(t 为参数)． (1)将曲线C 1的极坐标方程、C 2的参数方程化为普通方程；(2)设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．23.设函数f(x)=|x−2|+|2x−a|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)当f(x)=|x−a+2|时，求实数x的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|x≤−1，或x≥3}，B={−2,−1,0，1}；∴A∩B={−2,−1}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．利用复数的运算法则即可得出．解：∵复数z=1+i，∴z21−z =(1+i)21−(1+i)=−2ii=−2，故选：B．3.答案：D解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m o<m e<x，5出现次数最多，故m o=5，x=2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×1030≈5.97.于是得m o<m e<x.故选D.4.答案：D解析：解：由题可设双曲线的方程为：y2−4x2=λ，将点(√2,2)代入，可得λ=−4，整理即可得双曲线的方程为x2−y24=1．故选：D．设出双曲线方程代入点的坐标，然后求解双曲线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，考查计算能力．5.答案：C解析：解：∵1a <1b<0，∴b<a<0．则下列不等式：①a+b<0<ab，正确；②|a|>|b|，不正确；③a<b，不正确；④ab<b2，正确．正确的不等式有①④．故选：C．由1a <1b<0，可得b<a<0.再利用不等式的基本性质即可得出．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：解：若a⊥b，则a不一定垂直于α，不是充分条件，若a⊥α，则a⊥b，是必要条件，故选B．本题考查了充分必要条件，考查了直线和平面的判定定理，是一道基础题，根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．7.答案：B解析：解：cos2α=1−2sin2α=78，∴sin2α=116，∵α∈(3π4,π)，∴sinα=14，故选：B．利用余弦的二倍角公式展开求得sinα的值．本题主要考查了余弦的二倍角公式的应用，属基础题．8.答案：B解析：解：(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+8BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×1×1×cos120°−4×1×1×cos60°−6×12+8×1×1×cos60° =−32−2−6+4=−112．故选：B ．将式子展开计算．本题考查了平面向量的数量积运算，判断各向量的夹角是关键．9.答案：B解析：本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵f(x)为R 上的偶函数，∴f(x)=f(−x)，∴f(2)=f(−2)=3，故选B ．10.答案：A解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．解：函数y =3sin(2x −π4)的周期为2π2=π，把它的图象向左平移16个周期，即把它的图象向左平移π6，所得图象对应的函数为y =3sin(2x +π3−π4)=3sin(2x +π12)，故选A ．11.答案：A解析：本题考查圆锥与球的体积．设出球的半径和圆锥的高，根据条件列出等式，即可得比例关系解：设球的半径为r，圆锥的高为h，则13π(3r)2ℎ=43πr3，可得ℎ:r=4:9．12.答案：C解析：解：由题意令g(x)=xe x−1，则g′(x)=e x−1+xe x−1，函数g(x)在(−∞,−1)上单调递减，(−1,+∞)上单调递增，g(−1)=−1，且x→−∞时，g(x)→0，∴当0<a<1时，函数g(x)与y=a的交点在(0,1)，即f(x)有小于1的零点，故选：C．由题意可令g(x)=xe x−1，确定函数的单调性，作出函数的图象，即可得出结论．本题主要考查了函数的求导，考查数形结合的数学思想，正确转化是关键．13.答案：415解析：本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=15，甲被选中、乙没有被选中包含的基本事件个数m=4，由此能求出甲被选中、乙没有被选中的概率．解：在含甲、乙的6名学生中任选2人去执行一项任务，用A，B，C，D表示除甲，乙以外的4名学生，基本事件总数有(甲，乙)，(甲，A)，(甲，B)，(甲，C)，(甲，D)，(乙，A)，(乙，B)，(乙，C)，(乙，D)，(A,B)，(A,C)，(A,D)，(B,C)，(B,D)，(C,D)共15种情况，甲被选中、乙没有被选中包含的基本事件个数有4种，∴甲被选中、乙没有被选中的概率为p=4．15．故答案为：41514.答案：7解析：本题考查了三角形的面积和解三角形，利用三角形的面积求出cos A是求解关键，属于基础题．解：设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由已知及bcsin A=10得sin A=，因为A为锐角，所以A=60°，cos A=，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccos A=25+64−2×40×=49，故a=7，即BC=7．故答案为7．15.答案：2解析：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．.根据以A为圆心，AF为半径的圆被y轴截得的弦长为2√5，可得由抛物线定义可得：|AF|=m+p2)2.又(2√2)2=2pm，联立解出即可得出．(√5)2+m2=(m+p2解：由抛物线定义可得：|AF|=m+p，2∵以A为圆心，AF为半径的圆被y轴截得的弦长为2√5，∴(√5)2+m2=(m+p)2．2又(2√2)2=2pm ，联立解得p =2，m =2．故答案为：2．16.答案：y =x解析：本题考查导数的几何意义，是基本知识的考查．求出函数的导数，计算f′(1)，求出切线方程即可．解：函数f(x)=lnx +1，可得f′(x)=1x ，故f(1)=1，f′(1)=1．函数f(x)=lnx +1在点(1,1)处的切线方程为：y −1=x −1，即y =x ．故切线方程是y =x ；故答案为：y =x ．17.答案：解：(1)根据题目中数据可求得：t =4，∑(7i=1t i −t)2=28，∴b ̂=7i=1i −t)(y i −y)∑ 7i=1(t −t)2=2128=34，又y =54， ∴a ̂=y −b ̂ t =54−34×4=51， ∴y 关于t 的线性回归方程为y ̂=b ̂t +a ̂=34t +51．将2019年对应的t =8代入得y ̂=34×8+51=57，所以预测2019年该企业污水净化量约为57吨． (2)根据题目中数据可求得∑(7i=1y i −y)2=18，因为R 2=1−7i=1i i 2∑ 7(y −y)2 =1−94×118=1−18=78=0.875，这说明回归方程预报的效果是良好的．解析：本题主要考查回归直线的求法，属于基础题．(1)根据已知数据，求出回归系数，可得到回归方程，2019年对应的t 值为8，代入即可预测2019年该企业的污水净化量．(2)求出R 2，越接近于1说明效果越好．18.答案：证明：(1)连接AC ，∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF//AC∵长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=CC 1，AA 1//CC 1，∴四边形ACC 1A 1是平行四边形，∴AC//A 1C 1，∴EF//A 1C 1∵EF ⊄平面A 1DC 1，A 1C 1⊂平面A 1DC 1，∴EF//平面A 1DC 1解：(2)在长方体中，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，E(2,1，0)，F(1,2，0)，A 1(2,0,2√3)， B 1(2,2,2√3)， C 1(0,2,2√3)，∴A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2√3)，EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2√3)， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2√3), EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，设平面A 1DC 1的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2x +2√3z =0−2x +2y =0, 取x =3，则m ⃗⃗⃗ =(3,3,−√3)同理可求出平面B 1EF 的一个法向量n ⃗ =(2√3,2√3,−1)，∴cos⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3√21⋅√25=5√7，所以平面A 1DC 1与平面B 1EF 所成二面角的正弦值为√4235．解析：本题考查线面平行的证明，考查三面角的正弦值的求法，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题(1)连接AC ，推导出EF//A 1C 1，则四边形ACC 1A 1是平行四边形，从而AC//A 1C 1，∴EF//A 1C 1，由此能证明EF//平面A 1DC 1．(2)在长方体中，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，，利用向量法能求出平面A1DC1与平面B1EF所成二面角的正弦值．19.答案：解：(1)∵S n+2=3S n+3，∴n≥2时，S n+1=3S n−1+3．∴a n+2=3a n．n=1时，S3=3S1+3，即1+2+a3=3+3，解得a3=3，满足上式．∴n分别为奇数、偶数时都是等比数列，公比为3，首项分别为1，2．∴a2k−1=3k−1，a2k=2×3k−1．∴a n={3k−1,n=2k−12×3k−1,n=2k，k∈N∗．(2)S2n=(a1+a3+⋯…+a2n−1)+(a2+a4+⋯…+a2n)=(1+3+32+⋯…+3n−1)+(2+2×3+⋯…+2×3n−1)=3×(1+3+32+⋯…+3n−1)=3×3n−13−1=3n+1−32．解析：(1)S n+2=3S n+3，可得n≥2时，S n+1=3S n−1+3.a n+2=3a n.n=1时，S3=3S1+3，解得a3，可得：n分别为奇数、偶数时都是等比数列，公比为3，首项分别为1，2．可得a n．(2)S2n=(a1+a3+⋯…+a2n−1)+(a2+a4+⋯…+a2n)，利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：f(x)=(x2−4)(x−a)=x3−ax2−4x+4a，∴f′(x)=3x2−2ax−4，(1)∵f′(−1)=0，∴3+2a−4=0，∴a=12，f′(x)=3x2−x−4=(3x−4)(x+1)，，令f′(x)=0，∴x=43或−1，当x =−1时，f(x)取得极大值f(−1)=92，当x =43时，f(x)取得极小值f(43)=−5027，(2)∵f(x)在[−1,1]上为减函数，∴f′(x)≤0在[−1,1]上恒成立，，f′(x)=3x 2−2ax −4是开口向上的二次函数，∴{f′(−1)≤0f′(1)≤0, {3+2a −4≤03−2a −4≤0, ∴−12≤a ≤12，∴a 的取值范围是[−12,12]．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．(1)f′(−1)=0，3+2a −4=0，a =12，f′(x)=3x 2−x −4=(3x −4)(x +1)，，令f′(x)=0，x =43或−1，求出f(x)的极大值和极小值；(2)f(x)在[−1,1]上为减函数，f′(x)≤0在[−1,1]上恒成立，，f′(x)=3x 2−2ax −4是开口向上的二次函数，求实数a 的取值范围． 21.答案：解：(1)由题意可知2c =2，c =1，当l 与x 轴垂直时，丨AB 丨=2b 2a =4√33，由a 2=b 2+c 2，则a =√3，b =√2，故椭圆的标准方程是：x 23+y 22=1；(2)设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程：y =k(x −1)，设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 3,y 3)，由{y =k(x −1)x 23+y 22=1可得(3k 2+2)x 2−6k 2x +3k 2−6=0，则x 1+x 2=6k 23k 2+2，x 1x 2=3k 2−63k 2+2.(∗)因OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{x 3=x 1+x 2y 3=y 1+y 2，代入椭圆方程(x 1+x 2)23+(y 1+y 2)22=1，又x 123+y 122=1，x 223+y 222=1，化简得2x 1x 2+3y 1y 2+3=0，即(3k 2+2)x 1x 2−3k 2(x 1+x 2)+3k 2+3=0，将(∗)代入得3k 2−6−3k 2×6k 23k 2+2+3k 2+3=0，k 2=2，即k =±√2，故直线l 的斜率为±√2．解析：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与椭圆等基础知识，考查分析问题及运算求解能力，属于中档题．(1)由c =1，丨AB 丨=2b 2a =4√33，a 2=b 2+c 2，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；(2)将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，即可求得直线l 的斜率． 22.答案：解：(1)因为ρsin(θ+π4)=2√2，0≤θ≤π2，所以ρ(√22sinθ+√22cosθ)=2√2即x +y =4(0≤x ≤4)，所以C 1的普通方程为x +y −4=0(0≤x ≤4)，由C 2得{(x +1)2=t 2+2t 2+4(y −1)2=t 2+2t 2−4⇒(x +1)2−(y −1)2=8，即为C 2的普通方程． (2)由{x +y =4(x +1)2−(y −1)2=8⇒{x +y =4(x +y)(x −y +2)=8⇒{x =2y =2，即P(2,2)，设所求圆圆心的直角坐标为(a,0)，其中a >0，则(a −2)2+(0−2)2=a 2，解得a =2， ∴所求圆的半径r =2，∴所求圆的直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=22，即x 2+y 2=4x ，∴所求圆的极坐标方程为ρ=4cosθ．解析：本题主要考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，以及圆的极坐标方程，属于中档题．(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用(1)的结论，先求出C 1，C 2的交点P 坐标，设所求圆圆心的直角坐标为(a,0)，其中a >0，求出a ，即可得圆的半径，进而可求出圆的极坐标方程．23.答案：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3,x ⩽12x +1,12<x <23x −3,x ⩾2，不等式f (x )⩾3 可化为{−3x +3⩾3x ⩽12 或{x +1⩾312<x <2 或{3x −3⩾3x ⩾2 ，解得：x ≤0或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞)．(2)f (x )⩾|2x −a −(x −2)|=|x −a +2| ，当且仅当(2x −a )(x −2)⩽0时，取“=”当a ⩽4时，x 的取值范围为a2⩽x ⩽2；当a >4时，x 的取值范围为2⩽x ⩽a 2．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，属于中档题．(1)对x 分类讨论，去绝对值，再解不等式，即可得到答案;(2)运用绝对值不等式的性质，求出f(x)的最小值，验证等号成立条件，即可得到答案．。