1.2空间几何体的三视图和直观图

Z
y
O
Z
y
Q
x
M
D
O
C
A
N
B
x
P
3 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.
4 成图.顺次连接A ,B ,C,D ,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡住的部分
改为虚线), 就可得到长方体的直观图.
D
Z
B

三视图
视图 直观图
长对正、高平齐、宽相等 根据三视图，我们可以得 到一个精确的空间几何体
斜二测画法
可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
斜二测画法保留原图三个特征
(1) 平行 （2）共点（3）平行线段的长度比不变
直观图的面积是原图形面积的 42倍
直观图画法关键是确定点的位置的画法
关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画 法．在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版．
三 视 图
根据长方体的模型，请您画出它们的三视图，并 观察三种图形之间的关系． 《注》一个几何体的正视图和俯视图的长度一样，正视 图和侧视图的高度一样，俯视图和侧视图的宽度一样．（正 俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相等）（画三视图时，能看 见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表 示。）
画出下面这个组合图形的三视图．
遮挡住看不见的线用虚线
(1) 四棱柱 (2) 圆锥与半球组成的简单组合体 (3) 四棱柱与球组成的简单组合体
(4) 两个圆台组成的简单组合体
5.如图，已知几何体的三视图，想象对应的几何体的结构特征

圆锥与四棱柱组合的简单几何体
图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片 的研究可以了解空间图形的一些性质和特征． 三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方 法，但三视图的直观性较差，立体几何中常用平行投 影来画空间图形的直观图，这种画法叫斜二测画法。
在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影．其 中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的 平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影
光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影．其投影 线交于一点(投影中心)．
在中心投影中，如果改变物体与投影中心或投影面之间 的距离、位置，则其投影的大小也随之改变．
其中正确的是
( ①② )
练、已知正ΔABC的边长为a,则其平面直观图 ΔA’B’C’的面积是_______ 6 2
16 a
练、已知ΔABC的平面直观图ΔA’B’C’是边长为 a的正三角形,则原三角形的面积是_______
6 2 a 2
中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物 投影 平行投影 投影线平行 正视图 侧视图 俯视图 斜投影 不改变原 正投影 物形状
y
F A
M
E D
x
y
A
B
O
F M E
N
O
D
C
x
B
N C
~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~
斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点. 画直观图时，把它画成对应的x’轴、y’轴，两轴交于O’，使 x'Oy' 45 (或135 ) ，它们确定的平面表示水平平面． (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画 成平行于x’轴或y’轴的线段．
y
F A
M
E D
x
y'
O
O
x'
B
N C
注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．
(2)以 O 为中心，在
'
x '上取 A' D' AD，在 y ' 轴上取
以点N '为中心，画B’C’ ‖x’ 轴，并等于 BC，再以 M ' 为中心，画 E 'F '‖x' 轴，并等于 EF
三角板在中心投影和不同方向向
物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则 为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．
把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面 图形．视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形. 但只有一个平面图形难以把握几何体的全貌，因此我们需 要从多个角度进行投影． 1.光线从几何体的前面向后面正投影所得到的投影图 叫做几何体的正视图. 2.光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影图 叫做几何体侧视图. 3.光线从几何体的上面向下面正投影所得到的投影图 叫做几何体的俯视图.
O
C
Q
A
M
y
D
C
B
C
D
P
C
N
B
A
x
A
D
A
B
小结 空间几何图形的直观图画法。
1. 画轴:增加z轴，∠xOz=900。 2. 画底面。 3. 画侧棱（直棱柱的侧棱和z轴平行，长度保持不变）。 4. 成图.注意:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线。
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图
正视图 侧 视 图
高平齐
正视图
侧视图
高度
长对正
俯视图
长度
宽相等
宽度
俯视图
请画出圆柱的三视图 俯
侧
圆柱
请您画出圆锥的三视图 俯
侧
请您画出圆台的三视图 俯
左 侧
请您画出六棱柱的三视图
俯
侧
请您画出六棱锥的三视图
俯
侧
请您画出四棱台的三视图
俯
侧
请您画出球的三视图
俯
侧
三通水管
图2
图1 如果要做一个水管的三叉接头，工人事先看到的不是图1， 而是图2，然后根据这三个图形制造出水管接头.
要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放 置的平面图形的画法。
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 (1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN 所在直线为Y轴，两轴交于点O．画对应的 X ' , Y ' 轴，两轴相交 于点 O ' ，使 X ' OY ' 45
例2．用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方 体的直观图
联想水平放置的平 面图形的画法，并注意 到高的处理
1 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 , xOz 90.
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
(1)
(2)
练:1、下列结论是否正确. (1)角的水平放置的直观图一定是角． (2)相等的角在直观图中仍相等． (3)相等的线段在直观图中仍相等． (4)若两条线段平行，则在直观图中 对应的两条线段仍平行． 2、利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图是三角形 ②平行四边形的直观图是平行四边形 ③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形 （ （ （ （ Ｔ） Ｆ ） Ｆ ） Ｔ）
y
F A
1 M N MN 2
' '
M
E D
x
y
A
B
O
F M E
N
O
D
C
x
B
N C
注意：与x轴平行的线段长不变，与y轴平行的线段长变为 原来的一半．
(3)连接 A' B' , C ' D' , E ' F ' , F ' A' , 并擦去辅助线x’轴和y’轴，便获得 ' ' ' ' ' ' 正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A B C D E F
如果将投影中心移到无穷远处，则所有的投影线都相互平 行，这种投影线为平行线时的投影称为平行投影． 正投影：投 影线垂直于 投影面 斜投影：投 影线倾斜于 投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方 便，在作图中应用最广泛． 斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，但作图 比较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一 种辅助图样．
Z ·
O
y
· O · O
正视图
· O · O
侧视图
y
x
O
x
·
俯视图
三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影 下画出来的空间图形，如图(2)就是在平行投影下画出的。 在中心投影下也可以画出空间图形，如图(1)是在中心 投影下画出的。
中心投影下的 直观图与平行投影 下的直观图有什么 练习和区别？