圆的切点弦方程#(优选.)

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圆的切点弦方程

圆的切点弦方程之邯郸勺丸创作【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。

【问题L圆O一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。

二、当点M在圆O外时，1.直线L不是圆O的切线，下面证明之：∵圆心O到LO外,得L与圆O相交.2.此时直线L与过点M的圆的切线又是什么关系呢?首先研究L的特征：易知：。

为L与OM的交点)从而，MA为圆的一条切线，故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

事实上（另证），如图1，设过点M的圆O的两条切线为L1,L2,切点分别为A、B,则直线∵点M MA与MB的方程,由此可见A 、B由于两点确定一条直线∴直线AB所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。

【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

特此外，当M 在圆上时，极线即为切线。

三、当点M 在圆O 内时，1.直线L 也不是圆O 的切线。

下面给出证明：∵圆心O 到LO 内,得故直线L 与圆O 相离.2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢? 首先研究L 的特征：由上述探讨过程易知，直线，此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，），从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。

事实上（另证），∵直线LOM一方面，过点M与OM另一方面，将直线OM与L得到它们的交点P由（二）可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为L是由点M确定的。

另外，直线L是过点M的弦（除O，M的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹，证明如下：AB又因为点M在ABx，y。

圆的切点弦所在直线方程的求法

圆的切点弦所在直线方程的求法
过圆外一点作圆的两条切线，两切点所在直线方程的求法，虽然这不是什么很难的问题，但好些同学还是不能熟练掌握。

下面我们从一道简单例题出发，对这一问题做一做初步探讨。

同学们也可用其它方法论证。

若把圆用一般方程表示，能否得到相关结论？同学们若有兴趣，请自己研究。

以上我们从一道例题出发，探讨得出了三种解题方法和两个结论。

虽然探讨得到的结果价值不是很高、但过程却很重要。

这个过程对同学们今后的学习和研
究各类问题能有所帮助。

圆的切点弦方程的九种求法

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。

本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。

222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。

223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。

224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。

+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。

三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。

切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结

切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结谢吉【摘要】切点弦方程是平面解析几何中的热点问题，求常见曲线的切点弦方程也成了近年来高考的热门题型。

随着导数的引入 , 它的内涵更加深刻、题型更加丰富熟练掌握切点弦方程的基本知识点，熟记圆锥曲线切点弦的基本性质，巧妙的应用切点弦的几个定理，能够非常灵活的求出常见曲线的切点弦方程。

本文将会总结出常见曲线切点弦方程相关的知识点，探究圆锥曲线的基本性质，并对切点弦方程的相关定理及应用技巧做简要介绍，其目的在于说明运用此定理可以有效简化解题过程，提高解题速度，启迪思维开阔视野。

【关键词】：切点弦圆锥曲线 1、常见曲线的切点弦知识点归纳 (1)圆的切点弦方程命题 1 过圆 C: x2+ y2= r2 外一点 M ( x0 , y0 ) 作圆的两条切线 MA 、MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为 x0x + y0 y = r2证明: 因为 OA MA , O B MB, 所以,O 、 A 、 M 、 B 四点落在以 O M 为直径的圆 x ( x - x0 ) + y ( y - y0 ) = 0 上 , 它与圆 C 的公共弦即为 AB 。

两圆方程相减 , 得切点弦 AB 所在的直线方程为 x0 x + y0y = r2 (2) 椭圆的切点弦方程x0x y0y12 21MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为 a 2b 2也成立。

L : x 2x y2 y1MB 2 2a b 。

x1x 0 y 1y 0 1, x 2x 0 y 2y0 1 22 2 2又 M( x 0 , y 0 ) 在直线 MA 、 MB 上 , 则 a 2b 2a 2b2命题 22 x 2 过椭圆 C: a 22b y21外一点M ( x0 , y0 )作椭圆的两条切线 MA 、证明: 设 A ( x1 , y1 )、 B ( x2 , y2 )，将方程 2x 2a2y2212b 2两边对 x 求导2x 2 22y y '1a 2b 2。

圆的切点弦方程

圆的切点弦方程之欧侯瑞魂创作【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。

【问题L圆O一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。

为L与OM的交点)从而，MA为圆的一条切线，故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

特此外，当M 在圆上时，极线即为切线。

三、当点M 在圆O 内时，1.直线L 也不是圆O 的切线。

另外，直线L是过点M的弦（除O，M的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹，证明如下：AB又因为点M在ABx，y。

圆切点弦方程公式

圆切点弦方程公式
圆切点弦方程公式是指在圆上取一点作为圆上的切点，连接该点和圆上的任意一点，得到的线段称为弦。

圆切点弦方程公式可以用来描述弦的几何性质，即弦的长度、斜率、截距等。

其中，圆切点弦方程公式的基本形式为：
y-y1 = (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1)
其中，(x1, y1)为圆的切点坐标，(x2, y2)为圆上的任意一点坐标，x和y分别表示弦上任意一点的坐标。

此外，根据弦的对称性，可以得到另一种形式的圆切点弦方程公式：
(x-x1)^2 + (y-y1)^2 = r^2
其中，r为圆的半径。

以上两种形式的圆切点弦方程公式都具有广泛的应用价值，在几何学、物理学、工程学等领域都有着重要的应用。

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切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结

随着导数的引入, 它的内涵更加深刻、题型更加丰富。

熟练掌握切点弦方程的基本知识点，熟记圆锥曲线切点弦的基本性质，巧妙的应用切点弦的几个定理，能够非常灵活的求出常见曲线的切点弦方程。

【关键词】：切点弦圆锥曲线 1、常见曲线的切点弦知识点归纳（1）圆的切点弦方程命题 1 过圆 C: x2+ y2= r2外一点M ( x0 , y0 ) 作圆的两条切线 MA 、MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为 x0x + y0 y = r2证明: 因为 OA ⊥ MA , O B ⊥ MB, 所以,O 、 A 、 M 、 B 四点落在以 O M 为直径的圆x ( x - x0 ) + y ( y - y0 ) = 0上, 它与圆 C 的公共弦即为 AB 。

两圆方程相减, 得切点弦 AB 所在的直线方程为x0 x + y0y = r2 (2) 椭圆的切点弦方程命题 2 过椭圆 C:12222=+b y a x 外一点M ( x0 , y0 ) 作椭圆的两条切线 MA 、 MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为12020=+b yy a x x 。

证明: 设 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，将方程12222=+b y a x 两边对 x 求导得122'22=+y b y a x 。

于是, 切线 MA 的方程为y - y1 =)(11212x x y a x b --,即0)()(121121=-+-y y b y x x a x 化简得：1:2121=+b y y a x x L MA ，特别地, 当 y1 = 0 时, 上式也成立。

切点弦方程公式

切点弦方程公式
切点弦方程公式是一种广泛应用于数学分析中的概念，它的概念能够帮助我们更准确地研究几何形状的属性。

它的发明主要是为了解决在几何学中某些问题而发明的。

这个公式的发明者是古希腊的几何学家启发，他在研究几何形状的问题时发明了这个公式，以便更准确地研究几何形状的属性。

切点弦方程公式是由等式弦长与弦的两点的切点的距离的四次平方关系组成的，公式为：D=k^2+m^2+n^2，其中，D为两点切点的距离，k，m，n分别为弦的长短三边长度，用英文字母呈现出来就是：D=k^2+m^2+n^2。

该方程式与弦理论有着紧密的联系，用它来求取等腰三角形弦（Chord）长度可以更加准确，简单，有效地解决等腰三角形弦长度问题。

在将这个方程式应用到等腰三角形中时，只要将三角形其中两点的坐标求出，,然后将它们的绝对值相加即可得出弦的长度。

此外，这个公式也可以应用于圆形的情况，当今，它也被广泛应用在机器学习、计算机视觉等方面，用来检测物体形状和求取物体距离。

切点弦方程公式可以用来检测两个点之间的距离，也就是说，如果给定两个点的位置，那么就可以用切点弦方程求出它们之间的距离。

归纳起来，切点弦方程公式是一种比较简单的数学方程，它有着广泛的应用范围，可以用来求取几何形状的属性以及实现机器学习的检测等功能。

此外，它也可以帮助我们更好地理解距离的概
念。

从这些例子中我们可以看出，切点弦方程公式为几何学和机器学习等研究提供了极大的帮助。

切点弦过定点公式

切点弦过定点公式接下来，我们来寻找切点和弦的关系。

1.切点公式：首先，我们找到圆上与点P连线垂直的切点T。

切点T与圆心O连线与切线PT垂直。

我们可以使用向量的方法来表示切点的坐标。

假设切点T的坐标为(Tx,Ty)。

首先，我们求出圆心O与切点T之间的向量，根据勾股定理可知：OT的模长=rOT的单位向量=(TxOx,TyOy)/r根据切线与半径垂直的条件，可以得到：OT与PT的点积=0(TxOx,TyOy)·(PxOx,PyOy)=0根据点积的定义，我们可以将上式展开计算得到：(TxOx)*(PxOx)+(TyOy)*(PyOy)=0进一步化简就可以得到切点T的坐标(Tx,Ty)。

2.弦过定点公式：接下来，我们来寻找过定点P的弦与切点T的关系。

假设弦与切线PT的交点为Q，弦的两个端点分别为A和B。

我们要求的就是点Q的坐标(Qx,Qy)。

首先，我们将弦PA的斜率表示为k1，弦PB的斜率表示为k2，这里k1和k2可以通过两点间的斜率公式计算得到。

我们可以得到以下关系式：k2=k1设弦PA的方程为yPy=k1(xPx)设弦PB的方程为yPy=k2(xPx)将k2替换成k1，并将yPy移项整理得到：k1xy+(Pyk1*Px)=0由于弦过切点T的坐标为(Tx,Ty)，我们可以通过将坐标代入上述方程得到：k1*TxTy+(Pyk1*Px)=0解上述方程可以得到k1的值，进而可以计算得到点Q的坐标(Qx,Qy)。

综上所述，切点弦过定点的公式如下：切点T的坐标(Tx,Ty)：(TxOx)*(PxOx)+(TyOy)*(PyOy)=0点Q的坐标(Qx,Qy)：k1*TxTy+(Pyk1*Px)=0。

圆的切线方程问题专题重要知识

②若通过上述方法只求出一个斜率k，则另一条切线斜率一定不存在，此时另一切线方程为x＝x0.
注：过圆外一点与圆相切的直线有且只有两条．
重点辅导
2
(2)过圆上一点的圆的切线方程的求法．利用斜率公式求出圆心和切点连线的斜率，进而求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程． (3)斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的求法．方法一：先设切线方程为y＝kx＋b，然后变成一般式kx－ y＋b＝0，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求b；
重点辅导16x源自 xy0 yD(x0 2
x)
E( y0 2
y)
F
0
. 当
( x0 , y0 ) 在圆外时,
x0 x
y0 y
D(x0 2
x)
E( y0 2
y)
F
0
表示过两个切点的切点弦方程．
重点辅导
14
课堂总结
y y k (x x ) ②过圆外一点的切线方程可设为
0
0
，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
重点辅导
15
课后练习
1、求过点Ｐ(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程？
2、圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为____________． 3、求经过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的切线方程.
4、如下图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y ＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆心C也在直线y＝x －1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
设 l：y－3＝k(x－2)，即 kx－y＋3－2k＝0，

高考数学圆的切点弦方程的九种求法知识点分析.doc

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。

一、预备知识：1、在标准方程022=++++F Ey Dx y x 022=++++F Ey Dx y x 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：200))(())r b y b y a x a x =--+--（（；在一般方程022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：0220000=++++++F y y E x x Dyy xx 。

2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412121>-+F E D ）与022222=++++F y E x D y x （0422222>-+F E D ）的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。

3、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。

4、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）；0221111=++++++F y y E x x Dyy xx （在圆的一般方程下的形式）。

二、题目已知圆044222=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。

切线方程和切点弦所在直线方程

（一）圆的切线方程1. 过圆上一点的圆的切线方程方法：设圆心为C ，切点为),(00y x P ，根据CP ⊥切线，便可得到切线的斜率，再根据“点斜式”，即可求出切线方程.【例1】过点)1,1(P 作圆2:22=+y x O 的切线l ，求l 的方程【例2】求过点)2,1(A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程【推广结论】过圆222r y x =+上一点),(00y x A 的圆的切线方程为2. 过圆外一点的圆的切线方程方法：设出切线方程，由“圆心到切线的距离等于半径”，可解出斜率.注：先考虑切线的斜率是否存在！【例2】求过点)32-(，A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程（二）圆的切点弦所在直线方程1. 什么叫“圆的切点弦”？如图，过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为B A ,，则称“AB ”为圆C 的切点弦.2. 如何求“圆的切点弦”所在直线方程？以P 为圆心，PA （PB ）为半径作圆P ，则AB 可以视为圆P 与圆C 的相交弦，于是我们只需求出圆P 的方程，再将它与圆C 的方程相减，即得直线AB 的方程.【例3】已知点)3,2(--P ，圆9)2()4(:22=-+-y x Q ，PB PA ,是圆Q 的切线，求直线AB 的方程.【例4】（山东高考）过点1)1()1,3(22=+-y x 作圆的两条切线，切点分别是B A ,，则直线AB 的方程是（）34 )( 034 )(032 )( 032 )(=-+=--=--=-+y x D y x C y x B y x A【例5】已知圆044222=---+y x y x 为，点)1,4(--P ，过点P 作圆的切线PB PA ,，求直线AB 的方程.。

切点弦方程长度最值

切点弦方程长度最值
标题：切点弦方程的最值
切点弦方程长度最值，是一个有趣而有挑战的问题。

我们从人类的视角出发，通过直观的描述和丰富的词汇，来解决这个问题。

假设我们有一个圆，它的半径为r。

我们想要找到一个切点P，以及通过P点的弦AB，使得弦AB的长度最大或最小。

让我们来讨论如何找到弦AB的最大长度。

我们可以观察到，当弦AB与半径的夹角θ为90°时，弦的长度是最大的。

当然，这个结论是直观的，因为当夹角为90°时，弦实际上就是直径，而直径是圆的最长线段。

那么，如何找到与半径夹角为90°的弦呢？我们知道，圆的切线与半径垂直。

所以，我们只需要找到与半径垂直的切线，然后通过切点构造弦。

这样，我们就找到了使弦长度最大的情况。

接下来，让我们看看如何找到弦AB的最小长度。

我们可以观察到，当弦AB与半径的夹角θ为0°或180°时，弦的长度是最小的。

当夹角为0°时，弦实际上就是切线，而切线是圆的最短线段。

所以，我们只需要找到与半径平行的切线，然后通过切点构造弦。

这样，我们就找到了使弦长度最小的情况。

我们通过人类的视角，用直观的描述和丰富的词汇解决了切点弦方
程长度最值的问题。

我们通过观察和推理，找到了使弦长度最大和最小的情况。

这样，我们就可以在给定圆的半径的情况下，求解出切点弦方程的最值。

希望通过这样的描述，读者能够更好地理解切点弦方程长度最值的问题，并由此产生更多的思考和探索。

让我们一起以人类的视角，探索数学中的美妙世界吧！。

(整理版)求切点弦所在直线方程的多种方法

求切点弦所在直线方程的多种方法在学习平面解析几何“直线与圆的方程〞一章时，我们会遇到求切点弦所在直线方程的问题，这类问题涉及到的知识点比拟多，让初学者感到费解，本文将从不同的角度来探讨它的求法。

1：圆O ：x y r 222+=上一点M 〔x y 11,〕，那么以点M 为切点的圆的切线方程为x x y y r 112+=。

2：两相交圆O 1：x y D x E y F D E F 2211112121040++++=+->()，圆O x y D x E y D E F 2222222222040：+++=+->()，那么两圆的公共弦所在的直线方程为()()D D x E E y F F 2121210-+-+-=例：点P 〔x y 00,〕为圆O ：x y r 222+=外一点，过点P 作圆的切线PM PM 12、，其中M M 12、为切点，求切点弦M M 12所在的直线方程。

解法1：由题意知PM OM PM OM 1122⊥⊥，所以，O 、M 1、P 、M 2四点共圆O '，且OP 为此圆的直径，即圆O '：()()()x x y y x y -+-=+020*********即x y x x y y 22000+--=又M M 12为圆O 、圆O '2知，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

解法2：设M x y M x y 111222(,),(,)1得，PM 1方程为x x yy r PM 1122+=,方程为x x y y r 222+=。

由P PM P PM ∈∈12,，可得x x y y r x x y y r 1010220202+=+=⎧⎨⎪⎩⎪, ∴M x y M x y 111222(,),(,)两点坐标都满足关于x y ,的二元一次方程x x y y r 002+=，而过M M 12、两点的直线有且只有一条，因此，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

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