2019-2020年数学必修5同步课件讲义应用案巩固提升：第2章2.3.3等比数列的前n项和(苏教版)
2019-2020年数学必修5同步课件讲义应用案巩固提升：第2章章末复习提升课(苏教版)
章末复习提升课,[学生用书P39]),[学生用书P40])1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．2．等差与等比数列项目等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，通常用字母q表示递推关系a n＋1－a n＝da n＋1a n＝q通项公式a n＝a1＋(n－1)d a n＝a1q n－1a n＝a m＋(n－m)d a n＝a m q n－m中项若三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，且A＝a＋b2若三个数a，G，b成等比数列，这时G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab 前n项和公式S n＝n（a1＋a n）2＝na1＋n（n－1）2 dS n＝a1（1－q n）1－q＝a1－a n q1－q(q≠1)S n＝na1(q＝1)判断方法定义法a n＋1－a n是同一个常数a n＋1a n是同一个常数中项法a n＋a n＋2＝2a n＋1a n a n＋2＝a2n＋1通项公式法a n＝pn＋q a n＝pq nS n的形式当d≠0时，S n是不含常数项的二次函数当q≠1时，S n中只有q n与常数项，且系数互为相反数性质下标性质m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋qa m＋a n＝a p＋a q a m·a n＝a p·a qS m，S2m－S m，S3m－S2m…成等差数列当公比q≠－1时成等比数列1．辨明等差(比)数列的定义等差(比)数列的定义中都强调从第2项开始，每一项与前一项的差(比)，是同一常数．利用定义法证明等差(比)数列时，要特别注意n的取值范围．2．“数清”数列的项数在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数．如果把数列的项数弄错了，将会前功尽弃．3．注意分类讨论(1)应用a n＝⎩⎪⎨⎪⎧S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2解题时，应注意分类讨论的应用，即要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论．(2)等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同，解题时常因忽略这点而致误．, [学生用书P41])等差、等比数列的判定设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．[解] (1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝⎛⎭⎫1＋32＝8⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 因为 4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1， 所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．数列的通项公式的求法1．定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项公式的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．2．已知S n 求a n若已知数列的前n 项和公式S n ＝g (n )或前n 项和S n 与a n 的关系，求数列{a n }的通项a n可用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求解．3．由递推公式求数列的通项公式对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4．待定系数法(构造法)求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法．(1)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1，则数列{a n }的通项公式为________．[解析] (1)因为3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1，所以a 1＝2a 1－1，即a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2(a n －a n －1)＋2×(－1)n ，所以a n ＝2a n －1＋2×(－1)n －1，所以a n ＋23(－1)n ＝2⎣⎡⎦⎤a n －1＋23（－1）n －1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23（－1）n 是首项为a 1－23＝13，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＋23(－1)n＝13×2n －1， 所以a n ＝13[]2n －1＋2（－1）n －1.[答案] (1)3n －1 (2)a n ＝13[2n －1＋2(－1)n －1]等差数列、等比数列的性质及应用等差数列和等比数列作为两类特殊数列，有很多性质，如：(1)若a ，A ，b 成等差数列，则2A ＝a ＋b 或A ＝a ＋b2；(2)两等差数列{a n }，{b n }及其前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；(3)设等差数列{a n }的前n 项和为A ，紧接着n 项的和为B ，再紧接着n 项的和为C ，…，则A ，B ，C ，…成等差数列；(4)若{a n }为等比数列，则{ka n }(k ≠0)也为等比数列；(5)若a 1，a 2，a 3，…排列的一列数{a n }为等比数列，则按a 1，a 3，a 5，…排列的一列数也为等比数列．有时巧妙地应用这些性质可以简化计算． 设各项均为正数的无穷数列{a n }，{b n }满足如下条件：对于任意正整数n ，都有a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，求证：数列{b n }是等差数列．[证明] 由已知得b n ＝12(a n ＋a n ＋1)，a n ＋1＝b n b n ＋1(n ∈N *)，所以b n ＝12(b n b n －1＋b n b n ＋1)＝12b n(b n －1＋b n ＋1)． 所以b n ＝12(b n －1＋b n ＋1)(n ≥2)，所以{b n }是等差数列．数列求和数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n 项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有：(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n 项和公式)； (2)分组求和法； (3)错位相减法； (4)倒序相加法；(5)裂项相消法．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(6)并项求和法．一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．。
2020-2021年数学必修5同步课件讲义应用案巩固提升：第3章3.3.1~3.3.2应用案巩固提升(苏教版)
5
52＝165π.
答案：165π
9．画出不等式组2xx＞＋2yy－ ，4≤0，所表示的平面区域． y≥0
解：先画出直线 2x＋y－4＝0，由于含有等号，所以画成实线．取 直线 2x＋y－4＝0 左下方的区域内的点(0，0)，由于 2×0＋0 －4＜0，所以不等式 2x＋y－4≤0 表示直线 2x＋y－4＝0 及其 左下方的区域． 同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式 x＞2y 表示直线 x＝2y 右下方的区域，不等式 y≥0 表示 x 轴及其上 方的区域．
3x＋4y＋9≥0 表示的平面区域内，则圆的面积的最大值为________．
解析：因为原点到直线 x－3y＋6＝0，2x＋y－4＝0，
3x＋4y＋9＝0 的距离分别为3 510，455，95，且455<95<3 510，
所以以原点为圆心，4 5 5为半径的圆是所给平面区域内面积最
大的圆，其面积为
4 π
取三个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域， 如图阴影部分所示．
10．某工厂制造 A 型电子装置 45 台，B 型电子装置 55 台，需
用薄钢板为每台装置配一个外壳．已知薄钢板的面积有两种规
格：甲种每张可做 A，B 两型电子装置外壳分别为 3 个和 5 个； 乙种每张可做 A，B 两型电子装置外壳各 6 个．请用平面区域
x－y＋5≥0， 6．不等式组xx＋ ≤y3≥，0， 表示的平面区域的面积为________．
y≥0 解析：画出不等式组表示的平面区域，它是一个三角形截去一 角，容易求得其面积为1043.
答案：1043
x－y≥－2， 7．直线 2x＋y－10＝0 与不等式组4x＋3y≤20，表示的平面
x≥0，y≥0 区域的公共点有________个．
2020-2021年数学必修5同步课件讲义应用案巩固提升：第3章第1课时 应用案巩固提升(苏教版)
7．如果 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|x<－2 或 x>4}，那么对于函 数 f(x)＝ax2＋bx＋c，f(－1)，f(2)，f(5)的大小关系是________． 解析：由 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|x<－2 或 x>4}，知 a>0， 且－2，4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两实根， 所以－－22＋×44＝＝a－c ba，⇒bc＝＝－－82aa.， 所以 f(x)＝ax2－2ax－8a＝a(x＋2)(x－4)，
本部分内容讲解结束
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(2)由第一问知，不等式可化为(2a－1－x)(x－1)>0， 即[x－(2a－1)](x－1)<0， 而方程[x－(2a－1)](x－1)＝0 的两根为 x1＝2a－1，x2＝1， ①当 2a－1<1，即 a<1 时，原不等式的解集为{x|2a－1<x<1}； ②当 2a－1＝1，即 a＝1 时，原不等式的解集为∅； ③当 2a－1>1，即 a>1 时，原不等式的解集为{x|1<x<2a－1}． 综上，当 a＞1 时，原不等式的解集为{x|1＜x＜2a－1}， 当 a＝1 时，原不等式的解集为∅， 当 a＜1 时，原不等式的解集为{x|2a－1＜x＜1}．
[B 能力提升] 1．若关于 x 的不等式 x2－3x＋t<0 的解集为{x|1<x<m，x∈R}， 则 t＋m＝________． 解析：因为不等式 x2－3x＋t<0 的解集为{x|1<x<m，x∈R}， 所以 1，m 是方程 x2－3x＋t＝0 的两根， 所以1m＋＝mt ＝3，解得mt＝＝22. 所以 t＋m＝4. 答案：4
高中数学同步课件讲义教案
2019-2020人教B版数学必修5目录课件PPT
3．1 不等关系与不等式 3．1．1 不等关系与不等式 3．1．2 不等式的性质 3．2 均值不等式 3．3 一元二次不等式及其解法 3．4 不等式的实际应用
3．5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3．5．1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域 3．5．2 简单线性规划 章末复习课 章末综合测评(三) 模块复习课 模块综合测评
2．2．2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和的综合应用 2．3 等比数列 2．3．1 等比数列 第1课时 等比数列 第2课时 等比数第1课时 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 章末复习课 章末综合测评(二)
1．1 正弦定理和余弦定理 1．1．1 正弦定理 1．1．2 余弦定理 1．2 应用举例 第1课时 距离和高度问题 第2课时 角度问题 第3课时 三角形中的几何计算 章末复习课 章末综合测评( 一 )
2．1 数 列 2．1．1 数 列 2．1．2 数列的递推公式(选学) 2．2 等差数列 2．2．1 等差数列 第1课时 等差数列 第2课时 等差数列的性质
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2．3.3 等比数列的前n 项和1.掌握等比数列的求和公式在解题中的运用．2.理解等比数列前n 项和公式的性质并会简单运用．3．初步体会等比数列前n 项和公式在实际问题中的运用．, [学生用书P33])已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q，q ≠1已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则 (1)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ；(2)若S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 均不为0，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等比数列； (3)若{a n }共2k (k ∈N *)项，则S 偶S 奇＝q .1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q 来求．( )(2)若首项为a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n 项和为S n ＝na .( )(3)若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)，则此数列一定是等比数列．( )解析：(1)错误．在求等比数列前n 项和时，首先应看公比q 是否为1，若q ≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n 项和为S n＝na .(3)正确．根据等比数列前n 项和公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q (q ≠0且q ≠1)变形为S n ＝a 11－q －a 11－q q n (q ≠0且q ≠1)，若令a ＝a 11－q，则和式可变形为S n ＝a －aq n . 答案：(1)× (2)√ (3)√2．等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则S 5＝________． 解析：S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝1－251－2＝31.答案：313．数列12，24，38，416，…的前10项的和S 10＝________．解析：S 10＝12＋24＋38＋…＋929＋10210，则12S 10＝14＋28＋…＋9210＋10211. 两式相减得，12S 10＝12＋14＋18＋…＋1210－10211＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12101－12－10211，所以S 10＝509256.答案：5092564．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．解析：去年产值为a ，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a ，1.13a ，1.14a ，1.15a .所以1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝a ·1.1－1.161－1.1＝11(1.15－1)a .答案：11(1.15－1)a与等比数列前n 项和S n 有关的基本运算[学生用书P33](1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．【解析】 (1)因为 a 1＝2，a n ＋1＝2a n ， 所以数列{a n }是首项为2， 公比为2的等比数列． 又因为 S n ＝126，所以2（1－2n ）1－2＝126，所以n ＝6.(2)设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.【答案】 (1)6 (2)2n －1在本例(2)条件下，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n .解：由本例解析知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的首项为1，公比为12，则T n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2－12n －1.等比数列前n 项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换．1.(1)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6，6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， 由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20.① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.故填2和2n ＋1－2.(2)设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.等比数列前n 项和性质的应用[学生用书P34]在等比数列{a n }中，若S 10＝10，S 20＝30，求S 30. 【解】 法一：设公比为q ， 因为S 10＝10，S 20＝30， 所以q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 10）1－q＝10，①a 1（1－q 20）1－q＝30，②②÷①得1＋q 10＝3， 所以q 10＝2.将q 10＝2代入①得a 11－q ＝－10，所以S 30＝a 1（1－q 30）1－q＝－10(1－23)＝70.法二：因为S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 20－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 20＝a 1q 10＋a 2q 10＋…＋a 10q 10＝q 10S 10， S 30－S 20＝a 21＋a 22＋…＋a 30＝a 1q 20＋a 2q 20＋…＋a 10q 20＝q 20S 10， 所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，公比为q 10. 所以(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，因为S 10＝10，S 20＝30.所以(30－10)2＝10(S 30－30)， 所以S 30＝70.法三：因为S 10＝10，S 20＝30， 所以S 20＝S 10＋a 11＋a 12＋…＋a 20 ＝S 10＋a 1q 10＋a 2q 10＋…＋a 10q 10 ＝S 10＋q 10S 10＝10(1＋q 10)＝30， 所以q 10＝2，所以S 30＝S 20＋a 21＋a 22＋…＋a 30＝S 10＋q 10S 10＋q 20S 10＝10(1＋q 10＋q 20) ＝70.等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…成等比数列，这一性质可直接应用，其中各项均不为0.2.已知数列{a n }为等比数列，前n 项的和为S n ，若S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .解：法一：{a n }是等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )， 即122＝48(S 3n －60)， 解得S 3n ＝63.法二：由题意，知q ≠1，因为⎩⎪⎨⎪⎧48＝a 1（1－q n ）1－q ，60＝a 1（1－q 2n ）1－q⇒⎩⎨⎧a 11－q＝64，q n ＝14.得S 3n ＝a 1（1－q 3n ）1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－164＝63.等比数列前n 项和公式的实际应用[学生用书P34]从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出第n 年总投入a n 和总收入b n 关于n 的表达式；(2)第4年旅游业的总收入是否超过总投入？ 【解】 (1)第一年投入为800万元，第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元， 第n 年的投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元．所以，n 年内的总投入为： a n ＝800＋800⎝⎛⎭⎫1－15＋…＋800⎝⎛⎭⎫1－15n －1＝4 000－4 000⎝⎛⎭⎫45n；第一年旅游业收入为400万元， 第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元，。