【精品】高中数学必修5《基本不等式》教案

课题：基本不等式
教材:《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3。

4
一、教学目标：
1、探索并了解基本不等式的证明过程,了解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥"或“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大（小)值问题。

2、通过实例探究抽象基本不等式,体会特殊到一般的数学思想方法；
3、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；
4、培养学生严谨、规范的学习能力,辩证地分析问题的能力,学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点和难点：
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式
2
a b ab +≤的证明过程;
难点：注意基本不等式2
a b
ab +≤等号成立条件以及应用于解决简单的最大
(小）值问题。

三、教学方法：启发、探究式相结合 四、教学工具:多媒体课件
五、教学过程：
一、问题引入：
如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
这样，三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22
a b +二、探究过程:
1．问题探究-—探究图形中的不等关系。

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a ，b
探究1：
（1）正方形ABCD 的面积S=＿＿＿＿ （2）四个直角三角形的面积和
S ’=＿＿ (3)S 与S ’有什么样的关系?。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：
222a b ab +≥
《几何画板》课件动画显示，当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

问题：你能证明这个结论吗？ 证明：（作差法） 因为222)(2b a ab b a -=-+ 当b a ≠时，0)(2>-b a 当b a =时，0)(2=-b a
所以，0)(2
≥-b a ,即.2)(2
2
ab b a ≥+
总结结论1： 一般的,如果
)
""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 文字叙述为：两数的平方和不小于积的2倍。

2、从几何图形的面积关系认识基本不等式2
a b
ab +≤ 探究2：
（1）特别的，如果a 〉0,b>0,我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得到什么结论？
替换后得到:2a b ab +≥，
)0,0(2
>>≥+b a ab b
a 通常我们把上式写作： (a>0,b>0)2a
b ab +≤(2）你能证明基本不等式2a b
ab +≤
吗？ 总结结论2:
(a>0,b>0)2
a b ab +≤当且仅当a=b 时，等号成立.
探究3:
理解基本不等式2
a b
ab +≤的几何意义
在右图中，AB
是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b.过点C 作垂直于AB 的弦DE ，
连接AD 、BD
2
a b
+≤的几何解释吗?
易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，或利用相交弦定理，那么2CD =CA CB 即CD ＝ab .
这个圆的半径为
2b a +,显然，它大于或等于CD ，即ab b
a ≥+2
,其中当且仅当点C 与圆心重合,即a ＝b 时，等号成立。

2a b
+几何意义是“半径不小于半弦”
当且仅当a=b 时“＝"号成立
三、应用举例 例1。

（1）用篱笆围一个面积为100 m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？
(2)一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少? 例1反思：
1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值,即若,a b R +
∈，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则
2
4
M ab ≤
等号当且仅当a ＝b 时成立。

例2、若x 〉0，求1
y x x
=+的最小值 变1：若x 〈0呢？
变2：若x>3,求1
3
y x x =+
-的最小值 再次归纳小结，加深印象，得到升华： 利用基本不等式求函数最值应注意: ①函数式中相关项必须为正；
②所求函数式中,含变数的各项和或积 必须为定值；
③必须有自变量的值能使函数取到“=”号. 即是:一正、二定、三相等。

四、课堂小结：
2。

两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若,a b R +
∈，且ab ＝P ,P
为定值,则
a b +≥等号当且仅当a ＝b 时成立。

1、本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用。

（1)
)
""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
（2(a>0,b>0)2
a b
+≤ 当且仅当a=b 时，等号成立
2、注意公式的正向、逆向使用的条件以及“="成立的条件。

（1）
)
""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
(a>0,b>0)2
a b
+≤
当且仅当a=b 时，等号成立
3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

五、课堂练习：
1、已知直角三角形的面积等于50,两条直角边各为多少时，两条直角边的
和最小，最小值是多少？
2、用20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应怎样折？
3、若0<x 〈1，求x(1-x ）的最大 六、作业与思考：
1、课本P100习题3.4 A 组1﹑2
2、思考：若x 〈0，求x
x 1
+的最大值。

课题：基本不等式
教材:《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3.4
一、教材分析：
1.教材的地位和作用
基本不等式是《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》第三章的内容，这节
2
a b
+。

这个不等式不管在数学解题还是在
解决实际问题上都有着极大的应用，而学生常常不会利用这个式子或者使用的时候没有注意适用的条件. 2．教学重点和难点：
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式
2
a b +≤的证明过程；
难点:2
a b
+≤等号成立条件以及应用于解决简单的最大(小）值问
题。

二、教学目标：
（1)、探索并了解基本不等式的证明过程，了解
这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”或“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

(2)、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；
（3）、通过本节的学习,体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；(4）、培养学生严谨、规范的学习能力,辩证地分析问题的能力，学以致用的能力,分析问题、解决问题的能力。

三、教学方法:启发、探究式相结合
四、教学工具：多媒体课件
五、教学过程。