位似
初中数学 什么是位似
初中数学什么是位似位似是初中数学中的一个重要概念，它是指由两个图形通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合而得到的相似图形。
在本文中，我们将详细介绍位似的定义、性质以及一些例子来帮助理解这个概念。
首先，让我们来定义位似。
如果有两个图形，它们的形状和大小是相似的，但位置可能不同，那么我们可以说这两个图形是位似的。
换句话说，位似是指通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合，将一个图形变换为另一个图形。
接下来，我们来讨论位似的性质。
位似具有以下性质：1. 形状相似：位似图形的形状是相似的，即它们的对应角相等，对应边的比例相等。
2. 大小相似：位似图形的大小是相似的，即它们的对应边的比例是相等的。
3. 位置可能不同：位似图形的位置可能不同，它们可以通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合来得到。
4. 变换保持相似性：位似图形之间的变换（如平移、旋转、翻转）保持它们的相似性，即变换前后仍然是位似图形。
让我们来看一些例子来帮助理解位似。
例子1：考虑两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
如果我们通过将三角形ABC沿顺时针方向旋转90度，并将它平移到DEF的位置，那么我们可以说三角形ABC和DEF是位似的。
它们具有相似的形状和大小，但位置可能不同。
例子2：考虑一个正方形和一个矩形，它们的边长比例是相等的，但是它们的形状和位置不同。
通过将正方形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正方形位似但位置不同的矩形。
例子3：考虑一个正三角形和一个等腰梯形，它们的形状和位置都不同，但是它们的对应边的比例相等。
通过将正三角形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正三角形位似但位置不同的等腰梯形。
通过这些例子，我们可以看到位似的性质和应用。
位似可以帮助我们在研究图形的形状和大小时，通过变换来得到相似的图形，从而简化问题的求解。
此外，位似也可以帮助我们理解和应用其他几何概念，如相似三角形、比例关系等。
第15讲 位似图形
第15讲位似图形目标导航课程标准1.了解位似图形、位似中心的概念，掌握位似图形的性质，理解位似变换是特殊的相似变换。
2.会画位似图形，能够利用位似把一个图形放大或缩小。
3.掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标。
知识精讲知识点01 位似多边形的有关概念一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A 所在的直线都，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做。
实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。
注意：位似图形与相似图形的区别位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。
知识点02 位似图形的性质（1）位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于相似比；（2) 位似图形上的每组和在同一条直线上；（3）位似图形的对应线段。
（4）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有。
知识点03 位似图形的画法1．位似变换利用位似图形的性质将一个图形进行或叫做位似变换。
2．画位似图形的一般步骤（1）确定位似中心。
（2）确定原图形的，通常是多边形的顶点。
（3）分别原图形中的和，并延长（或截取）。
（4）根据已知的相似比，确定所画位似图形 的位置。
（5） 各点，得到放大或缩小后的图形。
3．实例知识点04 平面直角坐标系中的位似变换1．位似多边形对应点的坐标的变化规律在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数)0( k k ，则所对应的图形与原图形位似，位似中心是 ，它们的相似比为 。
2．平移、轴对称、旋转与位似变换的坐标变化规律 名称 变换规律变换方式平移对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度全等变换轴对称 若以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y 轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
旋转若一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数。
位似当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比。
【初中数学】初中数学知识点：位似
【初中数学】初中数学知识点：位似位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个图形叫做位似图形。
位似图形对应点连线的交点是位似中心，这时的相似比又称为位似比。
注：①位似图形是相似图形的特例；②位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形；③位似图形的对应边互相平行或共线。
位似图形的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
1.位似图形对应线段的比等于相似比。
2.位似图形的对应角都相等。
3.位似图形对应点连线的交点是位似中心。
4.位似图形面积的比等于相似比的平方。
5.位似图形高、周长的比都等于相似比。
6.位似图形对应边互相平行或在同一直线上。
位似图形作用：利用位似可以将一个图形任意放大或缩小。
位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
作图步骤：（位似比，即位似图形的相似比，指的是要求画的新图形与参照的原图形的相似比）①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个。
位似变换：把一个几何图形变换成与之位似的图形,叫做位似变换。
物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心。
位似变换应用极为广泛，特别是可以证明三点共线等问题。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
初中数学《位似》知识全解
《位似》知识全解
课标要求
理解位似图形的概念及性质，并会利用位似将一个图形放大或缩小。
知识结构
（1）位似图形：对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行的两个相似图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似形的有关性质：①两个位似形一定是相似形；②各对对应顶点所在的直线都经过同一点；③各对对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比．（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应的坐标的比等于k或-k．
内容解析
位似变换是一种特殊的相似变换，此时对应顶点的连线交于一点，对应边也是互相平行的．教科书在本节重点研究了这种变换，教科书在给出位似变换概念的基础上，重点研究了如何利用位似变换将一个图形放大或缩小，以及在平面直角坐标系下位似图形的对应点坐标的变化．最后教科书简单对学生学过的四种变换进行了总结，要求学生在一个图形中辨析这些变换，并能综合利用这些变换进行一些图案设计．
重点难点
利用位似变换将一个图形放大或缩小．
教法导引
教师要引导学生亲自动手按要求画已知图形的位似图形,观察总结规律．教师可以利用《几何画板》等教学软件进行直观演示，培养学生应用数学变换进行绘图的意识．学法建议
注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质．。
九年级数学位似图形知识点
九年级数学位似图形知识点九年级数学的学习内容十分广泛，其中位似图形是一个重要的知识点。
位似图形是指形状、大小不同，但是对应部分之间有相似关系的图形。
它在日常生活中的应用非常广泛，如建筑设计、地图制作等领域。
下面我们将详细了解九年级数学里的位似图形知识点。
一、位似图形的定义和性质位似图形的定义是指两个图形的对应部分之间的边长比相等。
而位似图形的性质主要包括以下几个方面：1. 位似图形的对应角相等：对于两个位似图形，其对应的角一定相等。
这是因为位似图形是通过放缩或旋转得到的，边长比相等就意味着对应的角度不变。
2. 位似图形的各边之间的比例相等：对于位似图形来说，任意两边之间的比例都是相等的。
这是因为位似图形的边长比相等。
3. 位似图形的面积比等于边长比的平方：位似图形的面积比等于边长比的平方。
这是因为放缩一个图形，面积会按照边长比的平方进行缩放。
二、位似图形的判定方法判定两个图形是否位似的方法主要有以下几种：1. 判断边长比例是否相等：如果两个图形的对应边长之间的比例相等，则这两个图形位似。
2. 判断对应角是否相等：如果两个图形的对应角之间的大小相等，则这两个图形位似。
3. 利用面积比相等判定位似：如果两个图形的面积比等于边长比的平方，则这两个图形位似。
三、位似三角形的证明方法位似三角形是位似图形中最常见的一种。
位似三角形的证明方法主要有以下几种：1. AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形位似。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形位似。
3. SAS判定法：如果两个三角形的两边夹角相等，并且它们的夹角边对应相等，则这两个三角形位似。
四、位似图形的应用位似图形在现实生活中有广泛的应用。
在建筑设计中，我们经常会使用位似图形来将设计图缩小或放大；在地图制作中，位似图形可以帮助我们将实际距离转化为纸上的距离；在工程测量中，位似图形可以帮助我们计算难以测量的距离和面积。
部编版九年级数学下册《位似》说课稿
部编版九年级数学下册《位似》说课稿一、教材分析1.1 教材背景《位似》是部编版九年级数学下册中的一个重要章节，主要介绍了位似的概念、性质以及应用。
通过学习这一章节，学生能够深入理解位似的特点，掌握位似的判定方法，并能够运用位似进行几何问题的解决。
1.2 教材内容本章主要包括以下几个方面内容：•位似的定义•位似的性质•位似的判定方法•位似的应用通过这些内容的学习，学生将能够掌握位似的概念与特点，能够准确判定两个图形是否位似，并能够运用位似进行几何问题的求解。
二、教学目标2.1 知识与能力目标•理解位似的定义和性质。
•掌握位似的判定方法。
•运用位似解决几何问题。
2.2 过程与方法目标•建立学生的几何直观形象思维。
•发展学生的抽象思维能力。
•培养学生的逻辑推理能力。
2.3 情感态度价值观目标•培养学生的观察、思考和合作意识。
•培养学生对几何学习的兴趣和好奇心。
三、教学重难点3.1 教学重点•位似的定义和性质。
•位似的判定方法。
•位似在几何问题中的应用。
3.2 教学难点•运用位似解决复杂的几何问题。
•正确判断图形是否位似的能力。
四、教学过程4.1 情境导入Step 1：展示两个相似的图形，并引导学生观察、思考两个图形之间的关系。
Step 2：提问学生，你觉得这两个图形有什么相同之处？有什么不同之处？4.2 理论阐释Step 3：介绍位似的概念和定义。
通过给出一个具体的例子，来说明图形位似的概念。
Step 4：讲解位似的性质，包括比例性质、对应角相等性质等。
并通过举例来说明这些性质。
Step 5：介绍位似的判定方法，如比较边长比例、判断对应角相等等。
通过示例演示判定方法的应用。
4.3 练习与拓展Step 6：布置练习题，让学生运用所学知识判断两个图形是否位似，并解决一些简单的位似问题。
Step 7：引导学生运用位似解决实际问题，如计算塔的高度、求解相似三角形的边长等。
4.4 归纳总结Step 8：在学生完成练习和问题解决后，进行归纳总结，梳理位似的概念、性质和应用方法。
10第十讲----相似三角形的性质和位似
第十讲相似的性质与位似知识点一、相似三角形的性质：1、对应角相等，对应边成比例2、相似三角形对应高的比等于相似比．3、相似三角形对应中线的比等于相似比．4、相似三角形对应角平分线的比等于相似比．5、相似三角形周长的比等于相似比．6、相似三角形面积的比等于相似比的平方.知识点二、位似图形：1、位似图形的概念：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应点到位似中心距离的对应比相等，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心．2、三要素位似中心、位似比、位似方向3、画法第一步：确定位似中心O(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；第二步：画出图形各顶点与位似中心O的连线；第三步：按相似比取点；第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．知识点三、位似的坐标1、位似中心为原点，位似比为k ：（y x ,）变为(ky kx ,).2、若位似中心不是原点，可通过平移或相似来解决.【相似三角形的性质】例1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AF 为高，AD ∶AB ＝1∶3，则AG ∶AF ＝________．第1题 第2题例2、如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，且FG 落在BC 上，若BC ＝3，AD ＝2，EF ＝32EH ，那么EH 的长为________．例3、已知△ABC ∽△'''C B A ，''BA AB ＝23，AB 边上的中线CD ＝4cm ，求''B A 边上的中线''D C 的长．例4、已知△ABC ∽△'''C B A ，AD 是△ABC 的中线，''D A 是△'''C B A 的中线，若''DA AD ＝12，且△'''C B A 的周长为20cm ，求△ABC 的周长．例5、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝21EC ， BD ，AE 交于F 点，则△BEF 与△DAF 的周长之比为________．例6、如图,在平行四边形ABCD 中，AB=4，BC=5，∠ABC 、∠BCD 的角平分线分别交AD 于E 、F 两点, BE 与CF 交于点G, 则△EFG 与△BCG 面积之比是 .例7、如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，点E 是AB 的中点，连接EF.若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积．例8、如图，D 、E 分别是△ABC 的边 AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为( )A.31B.41C.91D.161例9、有一块两直角边长分别为3cm 和4cm 的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另 两个顶点在两条直角边上，如图(1)；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图(2)．两种情形下正方形的面积哪个大？【位似】例1、判断如图所示的各图中的两个图形是否是位似图形，如果是，请指出其位似中心．例2、找出如图所示的位似图形的位似中心．例3、把四边形ABCD 放大为原来的2倍（即新图与原图的相似比为2）.例4、在平面直角坐标系中，已知点E(-4，2)，F(-2，-2)，以原点O 为位似中心，相似比为1∶2，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是( )A ．(-2，1)B ．(-8，4)C ．(-8，4)或(8，-4)D ．(-2，1)或(2，-1)例5、如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ．yxA BCDF EG O例6、如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(-1，3)，B(-1，1)，C(-3，2)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2.【课后作业】1、如图，已知△ADE∽△ABC，相似比为2∶5，则AF∶AG为( )A．2∶5 B．5∶2 C．5∶1 D．1∶5第1题第3题第4题2、两个相似三角形的相似比为3∶2，面积之差为25 cm2，求这两个相似三角形的面积．3、如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，且AEEB＝AFFC＝12，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为________．4、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于点O.如果S△ODC∶S△OBA＝1∶4，求S △ODC与S△AOD的比．5、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝21EC ，BD ，AE 相交于F 点． (1)求△BEF 的周长与△AFD 的周长之比； (2)若△BEF 的面积为6cm 2，求△AFD 的面积．6、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE//AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA=1∶25.则S △BDE 与S △CDE 的比是 .7、如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点 F ，如果△AEF 的面积是 4，那么△BCE 的面积是 .8、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC ，BE 交于点F ，若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为（ ）A.8B.10C.12D.149、如图，在直角三角形ABC 中(∠C ＝90°)，放置边长分别为3，x ，4的三个正方形，则x 的值为________．10、一块直角三角形余料，直角边BC ＝80cm ，AC ＝60cm ，现要最大限度地利用这个余料把它加工为一个正方形，求这个正方形的边长．11、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A 1B 1C 1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC 与△A 1B 1C 1位似，则△A 1B 1C 1的第三个顶点的坐标为______．12、按如下方法，将△ABC 的三边缩小到原来的12，如图，任取一点O ，连接AO 、BO 、CO ，并分别取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是( )①△ABC 与△DEF 是位似图形； ②△ABC 与△DEF 是相似图形； ③△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2；④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1.A ．1B ．2C ．3D ．413、如图，平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(3，0)，(2，-3)，△AB ′O ′是△ABO 关于点A 的位似图形，且O ′的坐标为(-1，0)，则点B ′的坐标为____________．14、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ） A ．B ．C ．D ．12a -1(1)2a -+1(1)2a --1(3)2a -+。
初中数学 人教版九年级下册27.3 位似 课件
OA OB OC OD 2
3. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形．
A
B
D
A'
B'
D' C
y A
C. (3，2)
D. (3，1)
C
B
D x
随堂演练
2. 如图，线段CD的两个端点的坐标分别为C(1，2)，D(2，0)，
以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐
标为(5，0)，则点A的坐标为( B )
A．(2，5)
B．(2.5，5)
C．(3，5)
D．(3，6)
随堂演练
3. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大 鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大 鱼上的点 (－2a，－2b) .
y 6
B
4 C
2
A″ O
－2
B″ －4
A 6x 4
C″
课堂总结
1.图形变换的种类： (1)全等变换：全等变换不改变图形的大小与形状，全等变换
包括平移、旋转、轴对称． (2)相似变换：相似变换改变图形的大小，不改变图形的形状，
位似是相似的特殊情况． 2. (1)当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k(k＞0)，对应点为 （kx，ky）；当位似图形在原点两侧时， 其对应顶点的坐标的比为－k，对应点为（﹣kx，﹣ky）.
图形的位似
图形的位似
图形的位似是一种数学概念，用于描述两个图形之间的相似程度。
在几何图形中，位似是指两个图形的形状和大小相似，只是其中一个图形经过了缩放、旋转或平移等变换。
要判断两个图形是否位似，主要需要比较它们的比例关系和形状。
比例关系表示两个图形的对应部分的边长或面积的比值是相等的；形状表示两个图形的边长和角度之间的关系是相等的。
图形的位似可以用于解决很多实际问题。
例如，当我们要放大或缩小一个图形时，可以利用位似的概念来确定新图形的尺寸；当我们需要判断两个地图或建筑物是否相似时，也可以采用位似的方法来比较它们的形状和比例关系。
在实际应用中，通常可以通过计算两个图形的相似比来确定它们的位似程度。
相似比是两个图形的对应边长的比值。
如果两个图形的相似比相等，则它们是位似的。
例如，假设有两个三角形ABC和DEF，它们的对应边长比为a:b:c和d:e:f，如果a/b=c/d=e/f，则可以判断三角形ABC和DEF是位似的。
当然，在实际中判断图形的位似还有其他方法和指标。
例如，可以通过计算两个图形的面积比或计算它们的角度之间的差值来判断它们的位似程度。
不同的方法可以根据具体的问题进行选择和应用。
总之，图形的位似是一种数学概念，用于描述和比较两个图形之间的相似程度。
通过比较两个图形的比例关系和形状
等特征，可以判断它们的位似程度。
在解决实际问题时，可以利用位似的概念来确定图形的尺寸和形状，并进行比较和分析。
中考数学复习----《位似》知识点总结与专项练习题(含答案)
中考数学复习----《位似》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1. 位似的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
2. 位似与平面直角坐标系：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k 。
练习题1、（2022•百色）已知△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 'B 'C '的面积比是（ ）A ．1：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1【分析】利用为位似的性质得到△ABC 与△A 'B 'C '相似比是1：3，然后根据相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 'B 'C '相似比是1：3，∴△ABC 与△A 'B 'C '的面积比是1：9．故选：C ．2、（2022•梧州）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，已知 OA OA ＝31，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．【解答】解：∵以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，＝，∴＝＝， 则四边形A ′B ′C ′D ′面积为：18．故选：D ．3、（2022•威海）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为（ ）A ．（34）3B ．（34）7C ．（34）6D ．（43）6 【分析】根据余弦的定义得到OB ＝OA ，进而得到OG ＝（）6OA ，根据位似图形的概念得到△GOH 与△AOB 位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，∵cos∠AOB＝，∴OB＝OA，同理，OC＝OB，∴OC＝（）2OA，……OG＝（）6OA，由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且位似比为（）6，∵S△AOB＝1，∴S△GOH＝[（）6]2＝（）6，故选：C．4、（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2，故选：A．5、（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC 的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4 B．6 C．9 D．16【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得△DEF 的周长．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．∴C△ABC：C△DEF＝2：3，∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长是6，故选：B．6、（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是．【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标变换规律得到相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质解决问题．【解答】解：∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，而点A（4，0），点C（2，0），∴相似比为4：2＝2：1，∴△OAB与△OCD周长的比值为2．故答案为：2．7、（2022•潍坊）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为．【分析】如图，连接B′D′．利用相似多边形的性质求出正方形A′B′C′D′的面积，求出边长，再求出B′D′可得结论．【解答】解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，又∵正方形ABCD的面积为4，∴正方形A′B′C′D′的面积为16，∴A′B′＝A′D′＝4，∵∠B′A′D′＝90°，∴B′D′＝A′B′＝4，∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长＝4π，故答案为：4π．8、（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是．【分析】先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD＝2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．故答案为：2：5．。
位似(共16张PPT)
探索1:
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O 为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
y A′(2,1),B′(2,0)
A
A'
x
o
B'
B
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O 为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
原图的关键点 3、根据相似比，确定能代表所作的位似
图形的关键点 4、顺次连接上述各点，得到放大或缩小
的图形
4、如何把三角形ABC放大为原来的
2倍?
E
B
放大后对应点的坐标分别是多少，你有什么发现?
O C 如图表示△ABC把它缩小后得到的△COD,求它们的相似比
图形才叫做位似图形．三条件缺一不可．
F
A′(2,1),B′(2,0)
放大后对应点的坐标分别是多少，你有什么发现?
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )
y
A'
A
C'
B'
C
o
B
x
还有其他办法吗? A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为 2,将△ABC放大.
复习回顾
1.什么叫位似图形?
如果两个相似图形的每组对应顶点所在的 直线都交于一点,对应边互相平行，那么这 样的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫 做位似中心, 这时两个相似图形的相似 比又叫做它们的位似比.
沪科版九年级上册数学 位似
沪科版九年级上册数学位似要点提示1、位似定义（1）如是两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交一点，且每组对应边互相平行，像这样的相似叫做位似，这一点叫做位似中心，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小。
具有位似关系的两个图形叫做位似形。
注：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．（2）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．2、位似图形的画法及步骤利用位似，可以将一个图形放大或缩小．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．典例分析1．位似图形上某一对对应顶点到位中心的距离分别为5 cm和15 cm，则它们的相似比为_______．2.四边形ABCD和四边形A＇B＇C＇D＇是位似图形，O为位似中心，若OA∶OA＇，=1∶2，那么AB∶A＇B＇=________，S四边形ABCD∶S四边形A＇B＇C＇D＇=________．3．下列说法正确的个数是( )①位似图形一定是相似图形; ②相似图形一定是位似图形;③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间;④若五边形ABCDE 与五边形A ＇B ＇C ＇D ＇E ＇位似，则其中△ABC 与△A ＇B ＇C ＇也是位似的且相似比相等.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．如图，已知△ABC 中，AB =12，BC =8，AC =6，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果以A 、D 、E 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，且相似比为13．（1）根据题意确定D 、E 的位置，画出简图； （2）求AD 、AE 和DE 的长．基础强化1. 下列说法不正确的是 （ ）A ．位似图形一定是相似图形B . 相似图形不一定是位似图形C . 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D . 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 2. 下列说法正确的是 （ ）A . 分别在△ABC 的边AB ，AC 的反向延长线上取点D ，E ，使DE ∥BC ,则△ADE 是△ABC 放大后的图形 B . 两位似图形的面积之比等于位似比 C . 位似多边形中对应对角线之比等于位似比 D . 位似图形的周长之比等于位似比的平方3． 如图，点D E F ，，分别是()ABC AB AC △各边的中点，下列说法中，错误．．的是（）A. AD平分BAC∠B.12EF BC=C. EF与AD互相平分D.△DEF是△ABC的位似图形4．用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（）A. 只能选在原图形的外部B. 只能选在原图形的内部C. 只能选在原图形的边上D．可以选择任意位置5．把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为________．6. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为 .7．如图，点O是四边形ABCD与A B C D''''的位似中心，则A BAB''=________＝________＝________；ABC∠=________，OC B''∠=________．8．如图，DC∥AB，OA=2OC，，则OCD△与OAB△的位似比是________．9．在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O和ABC△．（1）请以点O为位似中心，把ABC△缩小为原来的一半（不改变方向），得到A B C'''△．（2）请用适当的方式描述A B C'''△的顶点A'，B'，C'的位置．第 8题OA BCD第7题10．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′ 位似，位似比12k=，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比21k=．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD 是位似图形吗？位似比是多少？能力提高1．已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出个 .（）A．1个B．2个C．4个D．无数个2．如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△AB C，若1S表示△ADE的面积，2S表示四边形DBCE的面积，则21:SS= （）A．1：2B．1：3C．1：4 D．2：3 3．如图，在ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中的位似三角形共有对．4．雨后操场，小明从他前面2米远的一小块积水中看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水的距离为20米，小明眼睛离地面1.5米，则旗杆的高度为．5．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC△是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（11--，）．B CEDA F（1）把ABC △向左平移8格后得到111A B C △，画出111A B C △的图形并写出点1B 的坐标；（2）把ABC △绕点C 按顺时针方向旋转90后得到22A B C △，画出22A B C △的图形并写出点2B 的坐标；（3）把ABC △以点A 为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1:2，画出33AB C △的图形．真题演练1． 如图，ABC △与A B C '''△是位似图形，且位似比是1:2，若AB =2cm ，则A B ''= cm ，并在图中画出位似中心O ．2.图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点和O 点都在正方形的顶点上． （1）以点O 为位似中心，在方格图中将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A ′B ′C ′； （2）△A ′B ′C ′绕点B ′顺时针旋转 90，画出旋转后得到的△A ″B ′C ″，并求边A ′B ′在旋转过程中扫过的图形面积．A BCABC\xyOABCOAB C。
初中数学 如何判断两个图形是否位似
初中数学如何判断两个图形是否位似要判断两个图形是否位似，我们可以通过比较它们的形状和大小来进行判断。
在初中数学中，有几种方法可以判断两个图形是否位似。
在本文中，我们将介绍三种常用的方法：比较对应角、比较对应边的比例和使用位似判定定理。
方法一：比较对应角如果两个图形的对应角相等，那么它们很可能是位似的。
对应角是指两个图形中对应的角度相等。
例如，对于两个三角形，如果它们的对应角相等，那么它们很可能是位似的。
可以通过测量角度来比较对应角。
方法二：比较对应边的比例如果两个图形的对应边的比例相等，那么它们很可能是位似的。
对应边的比例是指两个图形中对应的边的长度之比相等。
例如，对于两个三角形，如果它们的对应边的比例相等，那么它们很可能是位似的。
可以通过测量边长来比较对应边的比例。
方法三：使用位似判定定理位似判定定理是判断两个图形是否位似的重要定理。
根据位似判定定理，如果两个三角形的一个角相等，而另外两个对应边的比例也相等，那么它们是位似的。
也就是说，如果∠A = ∠D，AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么三角形ABC和DEF是位似的。
通过上述方法，我们可以判断两个图形是否位似。
下面举一个例子来说明。
例子：判断以下两个三角形是否位似。
三角形ABC，∠A = 60°，∠B = 70°，∠C = 50°，AB = 4 cm，BC = 5 cm，AC = 6 cm。
三角形DEF，∠D = 60°，∠E = 70°，∠F = 50°，DE = 8 cm，EF = 10 cm，DF = 12 cm。
方法一：比较对应角由于两个三角形的对应角度相等，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，它们很可能是位似的。
方法二：比较对应边的比例计算两个三角形的对应边的比例：AB/DE = 4/8 = 1/2BC/EF = 5/10 = 1/2AC/DF = 6/12 = 1/2由于两个三角形的对应边的比例相等，它们很可能是位似的。
九年级数学下册课件(人教版)位似
同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三条 件缺一不可．
1．两图形相似； 2．每组对应点所在直线都经过同一点； 3. 对应边互相平行.
显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它 们的位似比.
例1 判断如图所示的各图中的两个图形是否是位似图形， 如果是，请指出其位似中心．
解：(1)是位似图形，位似中心为点A； (2)是位似图形，位似中心为点P；
∴
OC O'C '
AC A'C '
2. 1
∵OC ′＝5，∴OC＝10.
∴CC ′＝OC－OC ′＝10－5＝5.
6 如图，已知△DEO 与△ABO 是位似图形，△OEF 与△OBC
是位似图形．
求证：OD ·OC＝OF ·OA.
证明：∵△DEO 与△ABO 是位似图形，
∴ OD OE . OA OB
事实上，幻灯机工作的实质是将图片中的图形放大． 本节知识将对上述问题作系统的讲解．
知识点 1 位似图形的坐标变化规律
问题
如图(1)，在直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6， 0)．以原点O 为位似中心，相似 比为 1 ， 把线段AB 缩小．观察
解：(1)取矩形ABCD 的对角线的交点O 为位似中心， ①作射线OA，OB，OC，OD；
②分别在射线OA，OB，OC，OD上取点E，F，G，
H，使得
OE OA
OF OB
OG OC
OH OD
＝3；
③连接EF，FG，GH，HE，四边形EFGH 即为所求
作的图形，如图所示．
(2)能．在矩形ABCD 外取一点O 为位似中心， ①作射线OA，OB，OC，OD；
CF CE AF BC
平面几何中的相似比定理与位似
平面几何中的相似比定理与位似在平面几何中，相似比定理与位似是两个重要的概念。
它们对于解决几何问题以及在实际生活中的应用都具有重要的意义。
本文将详细介绍相似比定理与位似的概念、性质以及应用案例。
一、相似比定理相似比定理是在几何形状相似的情况下，两个相似图形的对应边的长度之间的比值是相等的。
设有两个相似的三角形ABC和DEF，其中BC与EF对应，AC与DF对应，AB与DE对应。
那么有以下相似比定理成立：1. 侧边比定理：AB/DE=BC/EF；2. 高度比定理：h_a/h_d=BC/EF；3. 面积比定理：S_△ABC/S_△DEF=(BC/EF)^2。
相似比定理在解决几何问题时非常有用。
通过利用相似比定理，我们可以在已知图形的一部分信息的情况下，推导出其余部分的信息。
例如，如果我们知道一个三角形的底边长度和高度之间的比例，利用相似比定理可以求得其他边的长度、面积等信息。
二、位似的概念与性质位似是指在平面上，两个图形虽然形状不同，但是它们的对应边相互平行且长度之比相等。
位似的关键在于保持对应边的比例不变。
在位似的情况下，两个图形之间存在以下性质：1. 对应边平行：位似的图形中，对应边是平行的；2. 对应角相等：位似的图形中，对应角是相等的；3. 边长比相等：位似的图形中，对应边之间的长度比例是相等的。
位似在实际生活中的应用非常广泛。
例如在地图上，两个不同比例尺的地图是位似的，通过位似关系，我们可以在不同比例尺的地图上进行距离和角度的换算。
三、相似比定理与位似的应用案例相似比定理与位似在日常生活和工作中有着广泛的应用，下面将介绍几个典型的应用案例。
1. 地理测量：地理测量中常用的仪器如测绘仪、全站仪等，其数据处理过程中用到了相似比定理。
通过测量不同位置上的三角形边长比例关系，我们可以计算出高度、距离等信息。
2. 建筑设计：在建筑设计中，相似比定理与位似常被运用于平面设计、线条设计等。
通过调整不同形状的图形的比例关系，实现建筑设计的美观与和谐。
人教版数学九年级下册27.3《位似》课件
标的变化规律，分别取点A″ （3， - 6），B″（3，0）， O（0，0）.顺次连接点A ″， B ″，O，所得的△A ″B ″O
就是要画的一个图形.
应用提高
例:如图，四边形 ABCD的坐标分别为 A(-6,6),B(-8,2), C(-4,0),D(-2,4),
画出它的一个以原点 O为位似中心，相似 比为 1 的位似图形．
坐标为（4，2），则这两个正方形位似
中心的坐标是（-2，0）．
y
3.已知,如右图, O（0，0），
A（-4，2），B（-2，-2） ,以点O
为位似中心,按比例尺1:2把△OAB
A
缩小,则点A的对应点A′的坐标为
(-2,1)或(2,-1),点B的对应点B ′的
O
x
坐标为(-1,-1)或(1,1).
B
D
EF B 不是 C G
是
显然，位似图 形是相似图形的特 殊情形.相似图形不 一定是位似图形， 可位似图形一定是 相似图形.
练习1 2. 如图，△OAB和△OCD是位似图形，
AB与CD平行吗？为什么？
解：AB∥CD．理由如下： ∵△OAB与△OCD是位似图形， ∴△OAB∽△OCD，
∴∠OAB＝∠C，
246 8
-4
-6
-8
练习2 2．如图，△ABO三个顶点 的坐标分别为A（4，-5）， B（6，0），O（0，0）.以 原点O为位似中心，把这个 三角形放大为原来的2倍，
得到△A′B′O′．写出△A′B′O′三个 顶点的坐标．
解：A′（8，-10）, B ′（12，0）, O ′（0，0） 或A′（-8，10）, B ′ （-12，0）, O ′ （0，0）
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位似一、目标认知学习目标1．了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用相似的方法，将一个图形放大或缩小.2．观察分析现实生活中确定位置的现象，经历探索图形坐标的变化与图形形状的变化之间的关系，进一步发展数形结合的意识、形象思维能力和数学应用能力.3．在同一直角坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化与各点坐标变化后图形发生的变化.重点难点1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小及在同一直角坐标系中，图形变化后点的坐标的变化规律.二、知识要点梳理：1．位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2．位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行。
3．位似图形与相似图形的区别位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。
4．作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点。
5．位似变换中对应点的坐标变化规律在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。
6．平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小(位似变换)之后是相似的．三、规律方法指导1．判断位似图形的方法，紧抓两个要点：①是相似图形；②每组对应点所在的直线经过同一点(即位似中心)．2．位似图形的画法可归结为：一确定、二连结、三关键．一确定，即确定位似中心；二连结，即连结位似中心和顶点；三关键，即根据相似比，确定关键点．3．位似图形是相似图形的特例．因此，位似比可通过相似三角形对应边的比得到，根据位似中心和位似比就可以把一个图形放大或缩小．4．列表总结如下：图形相似变换若与是位似图形，则位似中心O为位似中心，位似中心可以在两图形的同侧，或两图形之间，或图形内，或边上，或图形的顶点相似图形与位似图形的关系位似图形一定是相似图形；相似图形不一定是位似图形图形放大与缩小的原理射线法测量原理位似图形的性质(1)；(2)；(3)；(4)(为相似比)经典例题讲解类型一、位似图形的有关概念1．（1）（2011广东东莞）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（）思路点拨：根据形状相同，大小不一定相等的两个图形相似的定义，A符合将图中的箭头缩小到原来的的条件；B与原图相同；C将图中的箭头扩大到原来的2倍；D只将图中的箭头长度缩小到原来的，宽度没有改变，故选A.答案：A.（2）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，那么矩形ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？若是，指出位似中心并求出位似比.思路点拨：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据定义，题目中的所述图形符合条件，显然是位似图形，它们的位似中心即AC与BD的交点O，又因为E、F、G、H分别是中点，所以位似比为2.解：∵E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴∴∴同理：∴四边形ABCD与四边形EFGH相似因为两个图形的对应点所在直线都经过点O所以它们是位似图形，位似中心为点O，位似比为2：1.总结升华：判断两个图形是否是位似图形，只要看两个图形是否是相似图形，并且对应点的连线是否经过同一个点，若经过同一点，则是位似图形，否则不是位似图形；求位似比，也就是求相似图形的相似比，对于此类问题，只要认真观察图形，就能解决.举一反三【变式1】如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．思路点拨：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．解：图(1)、(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点A ，图(2)中的点P和图(4)中的点O．(图(3)中的点O不是对应点连线的交点，故图(3)不是位似图形，图(5)也不是位似图形)2．如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？解：(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C 是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：因为△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE∥BC.类型二、位似图形的作法3．把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．思路点拨：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．作法一：(1)在四边形ABCD外任取一点O；(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得；(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．作法二：(1)在四边形ABCD外任取一点O；(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．作法三：(1)在四边形ABCD内任取一点O；(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得；(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．(当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略)举一反三【变式1】已知五边形ABCDE，利用位似，将图形放大2倍。
作法：1．任取一个点O；2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE；3．分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上取点A′、B′、C′、D′、E′，使；4．连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，A′E′；则多边形A′B′C′D′E′为放大2倍的图形。
【变式2】如图，把四边形ABCD以O为位似中心，沿OA方向放大2倍，(即相似比为2：1)．作法：(1)连结OA，并延长OA到A′，使AA′=OA；(2)连结OB并延长OB到B′，使BB′=OB；(3)连结OC，并延长OC到C′，使CC′=OC ；(4)连结OD，并延长OD到D′，使DD′=OD ；(5)连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，则四边形A′B′C′D′与四边形ABCD 关于O点成位似图形，并且相似比为2：1。
【变式3】把图中的四边形ABCD以O为位似中心，沿AO方向放大2倍，(即位似比为2：1)．作法：如图：(1)连结OA，并延长AO到A′，使OA′=2OA；(2)连结OB、OC、OD，并延长BO到B′，延长CO到C′，延长DO到D′，使OB′=2OB，OC′=2OC，OD′=2OD；(3)连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，则四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于O点成位似图形，并且位似比为2：1．【变式4】(广东)如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上。
(1)画出位似中心点O；(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；(3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5。
解析：(1)如图，分别连结CC′，B′B，A′A并延长交于O点；(2)由图可得：，即△ABC与△A′B′C′的位似比为；(3)OA=6，若△A1B1C1与△ABC位似比为1.5则OA1：OA=1.5，∴OA1=9过A1作A1B1∥AB交OB′于B，作A1C1∥AC交OC′于C1，连结B1C1，△A1B1C1即为所求.类型三、位似变换中对应点的坐标变化规律4．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2，3)、B(2，1)、C(6，2)，以点O为位似中心，将△ABC放大2倍。
思路点拨：依据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，就可以确定所求位似图形的各顶点坐标，连结各顶点即得。
解：依据位似变换中对应点的坐标变化规律，分别取点A′(4，6)、B′(4，2)、C′(12，4)，依次连结A′、B′、C′，△A′B′C′就是所要求的△ABC的位似图形。
还可取点A″(-4，-6)、B″(-4，-2)、C″(-12，-4)，依次连结A″、B″、C″，△A″B″C″也为所求。
总结升华：位似变换是以原点为位似中心时，把一个多边形各顶点的横坐标和纵坐标同时乘以k或-k，得到两个新的多边形，每个新多边形都与原多边形位似，相似比为|k|.类型四、综合应用5．将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．(1)沿y轴负方向平移1个单位；(2)关于x轴对称；(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．思路点拨：作平移、对称后的图形与原图全等，点的坐标发生变化，可根据平移、对称的特征，求出平移、对称后图形的坐标．位似变换如果以原点为位似中心可按位似变换的点的坐标求法求点的坐标．解：变换后的图形如下图所示．(1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1)．即横坐标不变，纵坐标减小．(2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0)．即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．(3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3(有2个三角形)，显然，A3(-5×1.5，0)，B3(0，3×1.5)，C3(0，0)，即A3(-7.5，0)，B3(0，4.5)，C3(0，0),或A3（7.5,0）、B3（0，-4.5）、C3（0,0）.总结升华：本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，第(3)问可先求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．【变式1】（2011广东广州市）如图3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是__________．思路点拨：由五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，可得五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，又由OA=10cm，OA′=20cm，即可求得其相似比，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案．解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．故答案为：1：2．学习成果测评（一）基础达标1.下列说法错误的是( )A.位似图形一定是相似图形B.相似图形不一定是位似图形C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行2.下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.（2011广东汕头）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（）4.如图所示，如果△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，且OE=BE，那么△DEF 与△ABC的位似比为( )A.1：1B.1：2C.2：1D.1：45.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，2)、B(4，2)、C(6，4)，以原点O为位似中心，试将△ABC缩小为△DEF，若缩小后的△DEF与△ABC的对应边的比为1：2，则D、E、F三点坐标可以为( )A.(2，1)、(4，1)、(6，2)B.(1，1)、(2，1)、(3，2)C.、、D.、、6.若把一个图形放大到原来的2倍，则新图形与原来图形的面积的比为________.7.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出____个，它们之间的关系是__________.8.△ABC的周长为3，以点A为位似中心，把其放大为原来的6倍后，所得的周长是________.9.如图所示，四边形ABCD的一个位似图形是四边形.且A、B、C、D的对应点分别是、、、.图形中给出了AB的对应边所在的位置，请把四边形其余部分补画上.学习成果测评（二）能力提升10.如图所示，O是等边△PQR的中心，、、分别是OP、OQ、OR的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比，位似中心分别为( )A.2，点PB.，点PC.2，点OD.，点O11.如果将下图的各点的横、纵坐标分别都乘以，那么所得图形与原图形( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.是位似图形D.关于直线y=-x对称12.△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE 把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.13.如图所示，表示△AOB和它放大后得到的△COD.(1)你能求出它们的相似比吗？(2)三角形的三个顶点的坐标发生了怎样的变化？14.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，和是以O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点之上.(1)画出位似中心点O；(2)求出与的位似比；(3)以点O为位似中心，再画一个，使它与的位似比等于1.5.15.（2011河北）如图10，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点.（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1︰2；（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）综合探究16.如图所示，已知，，现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C点.(1)求C点坐标及直线BC的解析式；(2)一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象.。