知识点36 相似、位似及其应用2020

一、选择题10．（2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O 、BD 与HC 相交于点P ．若GO ＝GP ，则ABCD EFGHS S 正方形正方形的值是（ ） A ．12+B ．22+C ．52-D ．154{答案}C{解析}∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BG ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG ，∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O 为EG ，BD 的交点，∴EG ＝2x ，FG 2=x.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF ＝CG ＝x ， ∴BG ＝x 2+x ，∴BC2＝BG2+CG2()2222(21)422x x x =++=+，∴()22422222ABCDEFGHxS S x +==+正方形正方形，因此本题选D ．5．（2020·绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2︰5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（ ） A ．20cm B ．10cmC ．8cmD ．3.2cm{答案}A{解析}本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应边之比等于相似比，所以8︰（投影三角形的对应边长）=2︰5，则投影三角形的对应边长是20 cm ．因此本题选A ． 5．（2020·嘉兴） 如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（4,13--）C ．（41,3--） D ．（﹣2，﹣1）{答案}B{解析}本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点（x ，y ）对应的位似图形上的点的坐标为（kx ，ky ）或（–kx ，–ky ）.由A （4,3），位似比k ＝13，可得C （413,--）因此本题选B ．5．（2020·铜仁）已知△FHB ∽△EAD ，它们的周长分别为30和15，且FH ＝6，则EA 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．5{答案} A{解析}相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB 和△EAD 的相似比为30∶15=2∶1，所以FH ∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A ． 9．（2020·新疆）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB ＝CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为 ······· （ ）A ．25B ．5C ．45D ．10 {答案}A{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E 作EG ⊥BC 于G ，过点A 作AH ⊥BC 于H ．又因为DF ⊥BC ，所以DF ∥AH ∥EG ，四边形DEGF 是矩形．所以△BDF ∽△BAH ，DF ＝EG ，所以DF AH ＝BD BA ，因为D 为AB 中点，所以BD BA ＝12，所以DF AH ＝12．设DF ＝EG ＝x ，则AH ＝2x ．因为∠BAC ＝90°，所以∠B ＋∠C ＝90°，因为EG ⊥BC ，所以∠C ＋∠CEG ＝90°，所以∠B＝∠CEG ，又因为∠BHA ＝∠CGE ＝90°，AB ＝CE ，所以△ABH ≌△CEG ，所以CG ＝AH ＝2x ．同理可证△BDF ∽△ECG，所以BF EG ＝BD EC ，因为BD ＝12AB ＝12CE ，所以BF ＝12EG ＝12x ．在Rt △BDF 中，由勾股定理得BD ＝22DF BF +＝221()2x x +＝5x ，所以AD ＝5x ，所以CE ＝AB ＝2AD ＝5x ．因为DE ∥BC ，所以AE AC ＝AD AB ＝12，所以AE＝12AC ＝CE ＝5x ． 在Rt △ADE 中，由勾股定理得DE ＝22AD AE +＝225()(5)2x x +＝52x ．因△DEF 的面积为1，所以12DE ·DF ＝1，即12×52x ·x ＝1，解得x ＝255，所以DE ＝52×255＝5，因为AD ＝BD ，AE ＝CE ，所以BC ＝2DE ＝25，因此本题选D ．10．（2020·哈尔滨）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD于点F,过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G,则下列式子一定正确的是（ ）A ．CD EF EC AE = B ．AB EG CD EF =C ．GC BG FD AF = D ．AD AFBC CG ={答案}C{解析}本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF ∥BC ，∴ECAEFD AF =，∵EF ∥BC ，∴ECAE GC BG =，∴GC BGFD AF =因此本题选C ．8．（2020·重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1,2）,B （1,1），C （3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）A ．5B ．2C ．4D ．25{答案}D{解析}∵A （1,2）,B （1,1），C （3,1），∴AB=1，BC=2,AC=5.∵△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2． 9．（2020·河南）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为( ) A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2) {答案}B{解析}∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2，第9题答CDEF G H A∴EF BF AC BC ，即269BF，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．8．（2020·陕西）如图，在□ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，E 是边BC 的中点，F 是□ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°，连接AF 并延长，交CD 于点G ，若EF ∠AB ，则DG 的长为（ ） A ．52B ．32C ．3D ．2第8题图{答案}D{解析}由EF∠AB 、□ABCD 、E 是BC 的中点可推出F 是AG 的中点，如答图所示：延长BF 、CD 交于点H ，由“AAS”或“ASA”易证∠ABF∠∠GHF ，所以有AB ＝GH ＝5，又因为∠BFC ＝90°，即CF 垂直且平分BH ，所以有BC ＝HC ＝8，所以CG ＝CH －GH ＝8－5＝3，所以DG ＝CD －CG ＝5－3＝2．第8题答图6．（2020·重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA :OD =1:2， 则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ）A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D ．1:5{答案}C{解析}本题考查了相似三角形的性质， ∵△ABC 与△DEF 位似，且1=2OA OD ，∴211=24ABC DEFS S⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本题选C ．3．（2020·福建）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则∆DEF 的面积是（ ）A.1B.12C.13D.14{答案}D{解析}本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，∵,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，∴DF ∥BC,DE ∥AC,EF ∥AB,则四边形ADEF,BEFD,CFDE 都是平行四边形，∴∆DEF 的面积是△ABC 面积的14，因此本题选D ．8．（2020·河北） 在图5所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是 A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四边形NHMQ D.四边形NHMR{答案}A{解析}解析：连接AO 并延长AO 至点N ，连接BO 并延长PO 至点P, 连接CO 并延长CO 至点M, 连接DO 并延长DO 至Q ，可知12AO BO CO DO NO PO MO QO ====，所以以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是四边形NPMQ ，故答案为A.6．（2020·营口）如图，在∠ABC 中，DE ∠AB ，且CD BD =32，则CECA的值为（ ）A ．35 B ．23 C ．45 D ．32{答案}A{解析}利用平行截割定理求CE CA 的值．∵DE ∥AB ，∴CE AE =CD BD =32，∵CE+AE=AC ，∴CE CA =35． 7．（2020·内江）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（ ）BA. 30B. 25C. 22．5D. 20{答案} D{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE 是中位线，从而判断∠ADE∠∠ABC ，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出∠ADE∠∠ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出∠ABC 的面积． 根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE∠BC 且DE=12BC ，故可以判断出∠ADE∠∠ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20，因此本题选D ．14．（2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC 是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE ∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个{答案}A{解析}本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：因此本题选A ．5．（2020·毕节）己知a b ＝25， 则a b b+的值为（ ） A ．25 B ．35C ．75D ．23BC{答案}C ，{解析}本题考查比例的性质．∵a b ＝25，∴a b b +＝255+＝75．故选C ． 12．（2020·威海）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线l 3，l 4，l 2，l 1上．若直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4且间距相等，AB ＝4，BC ＝3，则tan α的值为（ ）A ．38B ．34C ．√52D ．√1515【分析】根据题意，可以得到BG 的长，再根据∠ABG ＝90°，AB ＝4，可以得到∠BAG 的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG ＝∠α，从而可以得到tan α的值．【解析】：作CF ⊥l 4于点F ，交l 3于点E ，设CB 交l 3于点G ，由已知可得，GE ∥BF ，CE ＝EF ， ∴△CEG ∽△CFB ，∴CE CF=CG CB，∵CE CF=12，∴CG CB=12，∵BC ＝3，∴GB =32， ∵l 3∥l 4，∴∠α＝∠GAB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝4，∴∠ABG ＝90°，∴tan ∠BAG =BG AB =324=38，∴tan α的值为38，故选：A ．8.（2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A.913B. 25C. 35D. 63【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．9．（2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC 中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30{答案} B{解析}设正方形EFGH 的边长EF ＝EH ＝x ， ∵四边EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝∠EHG ＝90°，EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∵AD 是△ABC的高， ∴∠HDN ＝90°， ∴四边形EHDN 是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴ANAD=EFBC（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴60−x60=x120，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本题选B．11．（2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD 的面积的比等于（）A．B．C．D．{答案} B．{解析}利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．6．（2020·武威）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（）A．1.24米B．1.38米C．1.42米D．1.62米【解析】∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴≈0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．故选：A．二、填空题16．（2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE =，则DF =______，BE =______． {答案}25－1{解析}设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x1＝5－1，x2＝－5－1．经检验，x1＝5－1，x2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1． 15．（2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt △ABC 是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt △ABC 相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 5√2 ． 【分析】根据Rt △ABC 的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为1：2，在6×6的网格图形中可得出与Rt △ABC 相似的三角形的短直角边长应小于4，在图中尝试可画出符合题意的最大三角形，从而其斜边长可得．【解答】解：∵在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝2，∴AB =√5，AC ：BC ＝1：2， ∴与Rt △ABC 相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6√2，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE =√10，EF ＝2√10，DF ＝5√2的三角形， ∵√101=2√102=√2√5=√10，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠DEF ＝∠C ＝90°，∴此时△DEF 的面积为：√10×2√10÷2＝10，△DEF 为面积最大的三角形，其斜边长为：5√2．故答案为：5√2． 17．(2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2，4)，则其对应点A 1的坐标是______．{答案}(－4，－8)或(4，8){解析}∵△ABC 和△A1B1C1的相似比等于12，∴△A1B1C1和△ABC 的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．17. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.{答案}145或2.8{解析}本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，∴CD ∥x 轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC ∽△OEA ，∵2BCA CAO ∠=∠，∴∠BCD=FD BE A C∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x ，则OE=4-2x,∴DC AO =DE EO ,即34=x4-2x ,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.15.（2020·盐城） 如图，//,BC DE 且,4,10BC DE AD BC AB DE <==+=，则AEAC的值为 ．15．2，解析：∵BC ∥DE ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AD DEAC AB BC == ，设DE ＝x ,则AB ＝10－x ∵AD ＝BC ＝4，∴4104AE x AC x ==-，∴x 1＝8 ,x 2＝2(舍去)， 824AE AC ==，此本题答案为2 ．14．（2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上，设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12CC 的值等于 ▲ ．{答案}2{解析}由图形易证△ABC 与△DEF相似，且相似比为1:． （2020·山西）15． 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3， BC ＝4， CD ⊥AB ，垂足为D ， E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为_________．ABCDEF第15题图{答案}5485{解析}本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB ＝90°，AC ＝3， BC ＝4，由勾股定理，得AB ＝5．CD ⊥AB ，由三角形的面积，得CD ＝AC BC AB ⋅＝125．易得△ABC ∽△ACD ∽△CBD ，由相似三角形对应边成比例，得AD ＝AC AC AB ⋅＝95，BD ＝BC BC AB ⋅＝165．过点E 作EG ∥AB 交CD 于点G ，由平行线分线段成比例，得DG ＝12CD ＝65，EG ＝85，所以DF AD GF EG =，即956855DFDF =-，所以DF ＝，故答案为5485．16．（2020·深圳）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DAC ＝90°，tan ∠ACB ＝12，BO OD ＝43，则S △ABD S △CBD＝________．{答案}332{解析}法1：过B 点作BE //AD 交AC 于点E ，则△ADO ∽△EBO ，由∠DAC ＝90°，得到BE ⊥AD ，ODCBA∴AOOE＝ODOB＝34，由tan∠ACB＝12，可得CE＝2BE＝4AE，∴S△ABDS△CBD＝AOOC＝34＋(3＋4)×4＝332．法2：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，得到△ABC∽△ANM，△OBC ∽△ODM，进而得出对应边成比例，ABBC＝ANNM＝tan∠ACB＝12，BCDM＝OBOD＝43；又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC＋∠NAD＝90°，∵∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，得出对应边之间关系，ABBC ＝DNNA＝12，设AB＝a，DN＝b，则BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b，得DM＝32a，∴4b＋b＝32a，即b＝310a，进而表示三角形的面积，得到S△ABDS△CBD＝12AB⋅DN12BC⋅NB＝ab2a⋅(a＋2b)＝310a22a⋅1610a＝332．16．（2020·长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M,N不重合）PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F.(1)PMPEPQPF＋＝____________．(2)若MNPMPN•＝2,则NQMQ＝____________．{答案}1；215－{解析}本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质，FEQ NMPODCBAE（1）作EH ⊥MN ，又∵MN 是直径，NE 平分∠MNP ，PQ ⊥MN ，∴易证出PE ＝EH ＝HF ＝PF ，EH ∥PQ ，∴△EMH ∽△PMQ ，∴PQPF PQ EH PM ME ＝＝，∴1＝＋＝＋PM PEPM ME PM PE PQ PF ； （2）由相似基本图射影型得：解得MN QN PN •＝2又∵MN PM PN •＝2，∴QN ＝PM ，设QN ＝PM ＝a ，MQ ＝b ，由相似基本图射影型得：解得MN MQ PM •＝2，∴()b a b a ＋＝2解得()251a b ＋－＝或()251a b －－＝（舍去）∴215－＝＝a b NQ MQ ； 因此本题答案为1；215－．18．（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，D ，E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点.若6AC =，则DH =_________.{答案}1{解析} ∵D 、E 为边AB 的三等分点， ∴BE=ED=AD=13AB. ∵////EF DG AC ，∴123EF AC ==∴112DH EF ==.15．（2020·娄底）若1()2b d a c a c ==≠，则b d a c-=- ． {答案}12{解析}本题考查了比例的基本性质，由1()2b d ac a c ==≠可得2a b =，2cd =， 代入()1=2222---==---b d b d b d a c b d b d ，因此本题填12．16．（2020·东营）如图，P 为平行四边形ABCD 边BC 边上一点，E 、F 分别为PA 、PD 上的点，且PA=3PE ，PD=3PF ，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别记为S 、1S 、2S ，若S =2，则1S +2S = ．{答案}18{解析}本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．∵PA=3PE ，PD=3PF ，∠APD =∠EPF ，∴△PEF ∽△PAD ，相似比为1︰3， ∵△PEF 的面积为S =2，∴PAD S ∆=9S=9×2=18， ∴1S +2S =PAD S ∆=18．14.（2020·郴州）在平面直角坐标系中，将AOB ∆以点O 为位似中心，32为位似比作位似变换，得到11OB A ∆.已知)3,2(A ，则点1A 的坐标是 ．{答案}（，2）{解析}∵将△AOB 以点O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：（×2，×3），即A 1（，2）．故答案为：（，2）．17．（2020·威海）如图，点C 在∠AOB 的内部，∠OCA ＝∠OCB ，∠OCA 与∠AOB 互补．若AC ＝1.5，BC ＝2，则OC ＝ √3 ．【分析】通过证明△ACO ∽△OCB ，可得OC AC=BC OC，可求OC =√3．【解析】：∵∠OCA ＝∠OCB ，∠OCA 与∠AOB 互补， ∴∠OCA +∠AOB ＝180°，∠OCB +∠AOB ＝180°，∵∠OCA +∠COA +∠OAC ＝180°，∠OCB +∠OBC +∠COB ＝180°， ∴∠AOB ＝∠COA +∠OAC ，∠AOB ＝∠OBC +∠COB ， ∴∠AOC ＝∠OBC ，∠COB ＝∠OAC ， ∴△ACO ∽△OCB ， ∴OC AC=BC OC，∴OC 2＝2×32=3， ∴OC =√3， 故答案为√3．12.（2020·吉林）如图，////AB CD EF ．若12=AC CE ，5BD =，则DF =______．【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10． 13.（2020·吉林）如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若ADE 的面积为12．则四边形DBCE 的面积为_______．【答案】32【解析】点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，1//,2DE BC DE BC ∴=ADEABC ∴21()4ADE ABC S DE S BC ∴==△△，即4ABC ADE S S =△△又12ADES=，1422ABCS ∴=⨯=则四边形DBCE 的面积为13222ABCADES S-=-=. 故答案为：32．三、解答题22．（2020•丽水）如图，在∠ABC 中，AB ＝4√2，∠B ＝45°，∠C ＝60°． （1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将∠AEF 折叠得到∠PEF ． ∠如图2，当点P 落在BC 上时，求∠AEP 的度数． ∠如图3，连结AP ，当PF ∠AC 时，求AP 的长.【解答】解：（1）如图1中，过点A 作AD∠BC 于D ． 在Rt∠ABD 中，AD ＝AB•sin45°＝4√2×√22=4．（2）∠如图2中，∠∠AEF∠∠PEF ，∠AE ＝EP ，∠AE ＝EB ，∠BE ＝EP ，∠∠EPB ＝∠B ＝45°，∠∠PEB ＝90°，∠∠AEP ＝180°﹣90°＝90°．∠如图3中，由（1）可知：AC =ADsin60°=8√33，∠PF∠AC ，∠∠PFA ＝90°，∠∠AEF∠∠PEF ，∠∠AFE ＝∠PFE ＝45°， ∠∠AFE ＝∠B ，∠∠EAF ＝∠CAB ，∠∠AEF∠∠ACB ， ∠AF AB=AE AC，即4√2=√28√33，∠AF ＝2√3，在Rt∠AFP ，AF ＝FP ，∠AP =√2AF ＝2√6． 19．（2020·杭州）如图，在ABC △中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE AC ∥，EF AB ∥． （1）求证：E BDE FC ∽△△．（2）设12AF FC =，①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．{解析}（1）由平行线的性质得到等角，进而根据相似三角形的判定得到△BDE ∽△EFC ；（2）①根据平行线分线段成比例定理得到比例式求解；②根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”得到△EFC △BAC ，然后根据相似三角形的性质求解．FED CBA{答案}解： （1）∵DE ∥AC ，∴∠BED ＝∠C ．∵EF ∥AB ，∴∠B ＝∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ．（2）①∵EF ∥AB ，∴BE EC ＝AF FC ＝12．∵BC ＝12，∴12BE BE -＝12，∴BE ＝4．②∵EF ∥AB ，∴△EFC △BAC ，∴EFC BACS S ∆∆＝2()EC BC ．∵BE EC ＝12，∴EC BC ＝23．又∵△EFC 的面积是20，∴20BACS ∆＝22()3，∴S △ABC ＝45，即△ABC 的面积是45．21．（2020·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，DAE ∠的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设()0CE EBλλ=>．（1）若2AB =，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG AF ⊥，①求证：点G 为CD 边的中点．②求λ的值．{解析}本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质．（1）先由AD ∥BC 及AG 平分∠DAE 证明AE ＝EF ，再由勾股定理求得AE，于是EF，再由λ＝1求得EC ＝1，于是得到CF－1．（2）①证明△DAG ≌△CFG ；②不妨设CD ＝2，证明△EGC ∽△GFC ，计算出EC ＝12，BE ＝32，进而得到λ＝13．{答案}解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，∴∠DAF ＝∠F ．∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠F ，∴EA ＝EF ．∵λ＝1，∴BE ＝EC ＝1．在Rt △ABE 中，由勾股定理得EA，∴CF ＝EF －EC－1．（2）①∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ，∴AG ＝GF ．又∵∠AGD ＝∠FGC ，∠DAG ＝∠F ，所以△DAG ≌△CFG ，∴DG ＝CG ，∴点G 为CD 边的中点．②不妨设CD ＝2，则CG ＝1．由①知CF ＝AD ＝2．∵EG ⊥AF ，∴∠EGF ＝90°．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠BCD ＝∠FCG ，∠EGC ＋∠CGF ＝90°，∠EGC ＋∠GEC ＝90°，∴∠CGF ＝∠GEC ，∴△EGC ∽△GFC ，∴EC CG ＝CG CF ＝12，∴EC ＝12，∴BE ＝32，∴λ＝13．25．（2019·上海）如图1，AD 、BD 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 的平分线，过点A 作AE ⊥AD ，交BD 的延长线于点E ．（1）求证：∠E ═12∠C ；（2）如图2，如果AE ＝AB ，且BD ∶DE ＝2∶3，求cos ∠ABC 的值；（3）如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出ADE ABCS S的值．{解析}（1）∠E ＝90°－∠ADE ，由三角形外角的性质可得∠ADE ＝∠BAD ＋∠DBA ，再根据角平分线的定义得F CG E B D A∠BAD＝12∠BAC，∠ABD＝12∠ABC，进而通过等量代换即可解决问题．（2）由AE＝AB得到等角，再由角平分线得到等角，通过角的等量代换，可证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，因此考虑延长AD交BC于点F，构造求cos∠ABC的直角三角形．由AE∥BC得到BF BDAE DE=，结合BD：DE＝2：3，AE＝AB得到相关线段间的关系，从而cos∠ABC＝＝＝．（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．{答案}解：（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°－∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝12∠BAC，同理∠ABD＝12∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD＋∠DBA，∠BAC＋∠ABC＝180°－∠C，∴∠ADE＝12(∠ABC＋∠BAC)＝90°－12∠C，∴∠E＝90°－(90°－12∠C)＝12∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC＝＝＝．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E＝12∠C，∴∠ABC＝∠E＝12∠C，∵∠ABC＋∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时＝2－．当∠C＝∠DAE＝90°时，∠E=12∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时＝2－．综上所述，∠ABC＝30°或45°，＝2－3或2－2．27（2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BC ABAB AC=，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为51-.（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE 上，点B的对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P .他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.图① 图 ② 图③（ 第27题）{解析} （1）直接利用黄金分割的性质进行计算；（2）有角平分线和平行线，所以设法构造等腰三角形来解决问题，于是延长CG 交DA 的延长线于点J ，然后通过相似三角形的性质来进行证明；（3）先证明△BEA ≌△CFB ，得到AE=BF ，然后再通过相似三角形来进行证明.{答案}解： （1）10.解：∵ABAC =，AC=20，∴AB=10.（2）延长CG 交DA 的延长线于点J ，由折叠可知：∠BCG=∠ECG ，∵AD ∥BC ，∴∠J=∠BCG=∠ECG ，∴JE=CE.由折叠可知：E 、F 为AD 、BC 的中点，∴DE=AE=10， 由勾股定理可得：=∴EJ=AJ=JE-AE=，∵AJ ∥BC ，∴△AGJ ∽△BGC，∴AG AJ BG BC==,∴G 是AB 的黄金分割点.（3）PB=BC ，理由如下：∵E 为AD 的黄金分割点，且AE>DE ，∴AE= a.∵CF ⊥BE ，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA 和△CFB 中，∵90ABE FCB AB BC A FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BEA ≌△CFB ，∴BF=AE= a.∴AF BF BF AB=,∵AE ∥BP ，∴△AEF ∽△BPF,∴AE AF BF PB BF AB ==, ∵AE=BF,∴PB=AB ，∴PB=BC.24.（2020·苏州）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F .A CBGPJ（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长.{解析}（1）由两角相等证明ABE DFA ∆∆∽；（2）根据相似三角形的性质及勾股定理求解. {答案}解： 证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B ∠=︒，AD BC .∴AEB DAF ∠=∠，∵DF AE ⊥，∴90DFA ∠=︒.∴B DFA ∠=∠，∴ABE DFA ∆∆∽.解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽，∴AB AEDF AD =. ∵4BC =，E 是BC 的中点，∴114222BE BC ==⨯=.∴在Rt ABE ∆中，AE ===又∵4AD BC ==，∴64DF=，∴5DF =.26．（2020·南京）如图，在△ABC 和△A’B’C’中，D 、D’分别是AB 、A’B’上一点，AD AB ＝''''A D A B .(1)当''CD C D ＝''AC A C ＝''ABA B 时，求证：△ABC ∽△A’B’C’. 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.(2)当''CD C D ＝''AC A C ＝''BCB C 时，判断△ABC 与△A’B’C’是否相似，并说明理由. {解析}(1)利用三边对应成比例证明△ADC ∽△A’D’C’，推理出∠A ＝∠A’；再利用两边对应成比例及其夹角相等判定△ABC ∽△A’B’C’.(2)分别点D 、D’分别作DE ∥BC ，D’E’∥B’C’,利用三分边成比例先证明△DCE ∽△D’C’E’，推理出∠ACB ＝∠A’C’B’， 再利用两边对应成比例及其夹角相等判定△ABC ∽△A’B’C’. {答案}解：(1) ''CD C D ＝''AC A C ＝''ADA D ∠A ＝∠A’.(2)如图，过点D 、D’分别作DE ∥BC ，D’E’∥B’C’,DE 交AC 于点E ，D’E’交A’C’于点E’.∠DE∠BC ，∠∠ADE∠∠ABC. ∠AD AB ＝DE BC ＝AE AC . 同理''''A D A B ＝''''D E B C ＝''''A E A C . 又AD AB ＝''''A D A B ， ∠DE BC ＝''''D E B C ， ∠''DE D E ＝''BC B C .同理 AE AC ＝''''A E A C . ∠AC AE AC -＝''''''A C A E A C -，即EC AC ＝''''E C A C .∠''EC E C ＝''AC A C .又''CD C D ＝''AC A C ＝''BC B C ， ∠''CD C D ＝''DE D E ＝''EC E C ，∴△DCE ∽△D’C’E’. ∴∠CED ＝∠C’E’D’. ∵DE ∥BC ，∴∠CED ＋∠ACB ＝180°.同理 ∠C’E’D’＋∠A’C’B’＝180°. ∴∠ACB ＝∠A’C’B’.又''AC A C ＝''BC B C∴△ABC ∽△A’B’C’. 24．（2020·泰安）（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB 与∠ECD 恰好为对顶角，∠ABC ﹦∠CDE ﹦90°，连接BD ，AB ﹦BD ，点F 是线段CE 上一点． 探究发现：（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD ⊥DF ．你认为此结论是否成立？___________．（填“是”或“否”） 拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD ⊥DF ，则点F 为线段CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）若AB ＝6，CE ＝9，求AD 的长．{解析}本题考查了互余角的性质、等腰三角形的性质、判定方法、三角形相似的条件与性质以及构造基本模型解决实际问题的能力．问题（1）可以直接根据条件推理判定BD ⊥DF ；（2）根据条件可得EF ﹦FD 、CF ﹦DF ，即CF ﹦EF ，则F 为CE 的中点；（3）设G 为EC 的中点，则DG ⊥BD ，由条件得：△ABC ∽△EDC ，进而求得AD 的长. {答案}（1）是； （2）结论成立． 理由如下：∵BD ⊥DF ，ED ⊥AD ，∴∠BDC ＋∠CDF ﹦90°，∠EDF ＋∠CDF ﹦90°． ∴∠BDC ﹦∠EDF ． ∵AB ﹦BD ，∴∠A ﹦∠BDC ． ∴∠A ﹦∠EDF ． 又∵∠A ﹦∠E ， ∴∠E ﹦∠EDF ． ∴EF ﹦FD ．又∠E ＋∠ECD ﹦90°， ∴∠ECD ﹦∠CDF ． ∴CF ﹦DF ． ∴CF ﹦EF ．∴F 为CE 的中点．（3）在备用图中，设G 为EC 的中点，则DG ⊥BD ． ∴GD ﹦12 EC ﹦92 ．又BD ＝AB ＝6， 在Rt △GDB 中，GB ＝62＋(92)2 ＝152．∴CB ＝152 —92＝3． 在Rt △ABC 中，AC ＝62＋32＝3 5 ．由条件得：△ABC ∽△EDC ． ∴3 5 9 ＝3CD ．∴CD ＝9 55． ∴AD ＝AC ＋CD ＝3 5 ＋9 5 5 ﹦24 55． ABC DEFEDCBA（第24题） 图（1） 图（2） 备用图23.（2020·达州）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90B ∠=︒，6AB cm =，2CD cm =．P 为线段BC 上的一动点，且和B 、C 不重合，连接PA ，过点P 作PE PA ⊥交射线CD 于点E ． 聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：（1）通过推理，他发现△ABP ∽△PCE ，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC 的长度，运动点P ，得到不同位置时，CE 、BP 的长度的对应值： 当6BC cm =时，得表1：/BP cm123 45/CE cm0.831.331.50 1.330.83当8BC cm =时，得表2：/BP cm1 2 3 4 5 6 7/CE cm1.172.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17这说明，点P 在线段BC 上运动时，要保证点E 总在线段CD 上，BC 的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP 和CE 的长度这两个变量中，______的长度为自变量，______的长度为因变量；②设BC mcm =，当点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段CD 上，求m 的取值范围．{解析}（1）本题显然是“一线三等角”的证明，由同角的余角相等可得两个三角形中的一对角相等，结合两个90°的直角即可证明两三角形相似；（2）①由函数的定义即可解决；②由（1）中的相似即可得到m 的取值范围. {答案}（1）∵AB ∥CD ，∠B=90°，∴∠C=90°， ∵PE ⊥PA ，∠B=90°，∴∠APB ＋∠EPC=90°，∠APB ＋∠PAB=90°，∴∠PAB=∠EPC ，在△APB 和△EPC 中，∠PAB=∠EPC ，∠B=∠C=90°，∴△APB ∽△EPC. （2）①BP ；CE ；FE DCBAABCDEGBD PACE②∵△APB ∽△EPC ，∴BP CE=AB CP，∵CD=2，∴CE 的最大值为2，BP2=6CP ，即BP ·CP=12， 由表格可知：当BP=2时，CE=2，此时CP=6，BC=BP ＋CP=8， ∴BC 的最大值为8，即0＜m ＜8.23．（2020·泰州）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为BC 边上的动点（与B 、C 不重合），//PD AB ，交AC 于点D ，连接AP ，设CP x =，ADP ∆的面积为S ．（1）用含x 的代数式表示AD 的长；（2）求S 与x 的函数表达式，并求当S 随x 增大而减小时x 的取值范围． {解析}（1）由DP ∥AB ，可得△DCP ∽△ACB ，可得34CD x =，然后根据AD ＝AC －CD 的长可求得AD 的长． （2）可用S △ABC －S △ABP －S △CDP 求得S 的值，然后配方求出x 出的范围． {答案}解： （1）∵DP ∥AB ∴△DCP ∽△ACB∴CD CPAC CB =∴34CD x =∴34CD x =∴AD ＝3－34x（2）∵△DCP ∽△ACB,且相似比为x ：4． ∴S △DCP ：S △ACB ＝x 2：16∴S △ABC ＝13462⨯⨯= ∴S △DCP ＝238x∴S △APB ＝13(4)22PB AC x ⨯⨯=-∴S ＝S △ABC －S △ABP －S △CDP22336(6)283382x x x x=---=-+当2x ≥ 时，S 随x 增大而减少．20．（2020·凉山州）（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？{解析}利用相似三角形的性质，建立关于正方形边长的方程进行求解．{答案}解：设这个正方形零件的边长为x mm ，则∠AEF 的边EF 上的高AK ＝(80－x)mm ． ∠四边形EFHG 是正方形，∠EF∠GH ，即EF∠BC ．∠∠AEF∠∠ABC ．∠EF AK BC AD =，即8012080x x-=．∠x ＝48．∠这个正方形零件的边长是48 mm ．22．（2020·通辽）如图，⊙O 的直径AB 交弦（不是直径）CD 于点P ，且PC 2＝PB •P A ，求证：AB ⊥CD ．{解析}利用相交弦定理或三角形相似证得PC •PD ＝PB •P A ，又因为PC 2＝PB •P A ，得出PC =PD ，再由垂径定理的逆定理证明结论．{答案}解：如图，连结AC ，BD ．∵∠A =∠D ，∠C =∠B ，∴△ACP ∽△DBP ，∴AP DP =CPBP，∴PC •PD ＝PB •P A ，∵PC 2＝PB •P A ，∴PC =PD ，即AB 平分CD ，∵CD 是弦（不是直径），AB 是直径，∴AB ⊥CD ．19. （2020·攀枝花）（本小题满分6分）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图G 是ABC ∆的重心.求证：3AD GD =.PDCBO APDCB O AGDECBA第20题HKG FEBA17．（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），连接各点，得△A2B2C2．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；。