24.4_解直角三角形

（4）如果已知a,b,则 c=
∠A=
∠B=
B c A a C
b
小结：直角三角形的解法：
①已知一条直角边和一个锐角（如a, ∠A）
a ,b acotA 或 b c2 a2 ∠B=90°—∠A， c sinA
②已知斜边和一个锐角（如c, ∠A），其解法为：
a ∠B=90°—∠A，
b c2 a2
a 104.0 解： （1）∵tanA= 5.076 b 20.49 则可得： ∠A=78°51′
B ？ c ？
？
a 104.0 C
A
b 20.49
例2。在Rt△ABC中a=104.0, b=20.49，解这个三角形。
a 104.0 解： （1）∵tanA= 5.076 b 20.49 则可得： ∠A=78°51′
练习题:
2 sin A （1）如图在△ABC中,∠C=90度, 5
D为AC上 的一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长？
2: 如图， 在锐角△ABC中，已知AC=6，BC= 3 6 ∠B=45°，求∠A,∠C及AB的长。 A D
450
D A C
0 45 B
B
3 6
3 6
C
解直角三角形(2)
或利用勾股定理得，AB AC 2 BC 2 2 2.
例2、在△ABC中，∠C 为直角，∠A，∠B， ∠C所对应的边分别为a、b、c，且c=287.4， ∠B=42°6′，解这个直角三角形。
分析：（1）未知元素是∠A、a、b；（2）∠A最容易求出， ∠A=90°—∠B B c ？ A a ？
观察如图意大利著名的比萨斜塔的图片,测量塔德倾斜程度；
解决有关比萨斜塔倾斜的问题．
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A， 过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m C B
BC 5.2 sin A 0.0954 AB 54.5
一、填空 1、若tanA=2，则cot（90°—A）=_______ 2、α为锐角，且tan α=1，则α=____，cos α=_____ 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12 则sinA=_____，cotA=_____ 4、tan42°· tan45°· tan48°=_____ 5、求值tan1°· tan2°· tan3°· tan87°· tan88°· tan89°=_____Fra bibliotekb ？
C
例2、在△ABC中，∠C 为直角，∠A，∠B， ∠C所对应的边分别为a、b、c，且c=287.4， ∠B=42°6′，解这个直角三角形。
分析：（1）未知元素是∠A、a、b；（2）∠A最容易求出，
a ∠A=90°—∠B （3）由cosB= c 可以求出a
b 由 sinB= 可以求出 b c
B c √ A a ？
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系
a b c
2 2
2（勾股定理）
A c
（2）两锐角之间的关系 （3）边角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
b
A的对边 a sin A 斜边 c
B的对边 b sin B 斜边 c
C
a
B
A的邻边 b cos A 斜边 c
（2） ∵cosB= a c ∴a=ccosB=287.4×cos42°6′ =287.4×0.7420≈213.3 （3） ∵sinB= c ∴b=csinB=287.4×sin42°6′ =287.4×0.67.4≈192.7
b
B c √ A a √ √ C
b
例2。在Rt△ABC中a=104.0, b=20.49，解这个三角形。
解 : 如图, 在Rt APC中 PC PA cos(90 65 ) 80 cos 25 72.505,
（2）∠B=90°—78°51′=11°09′ （3）∵c² =a² +b² ∴c
106.0
？ c 78°51′ b 20.49
B
？
a 104.0 C
A
课堂练习：
在Rt△ABC中,∠C=90°, BC 2 ,AC 6 解这个直角三角形。
A
6
C
2
B
课堂练习 1.在Rt△ABC中， （1）如果已知∠A，c,则a= （2）如果已知a, ∠B,则 b= （3）如果已知∠A，b,则a= b= c= c= ∠B= ∠A= ∠B=
B的对边 b tan B B的邻边 a B的邻边 a cot B B的对边 b
新课讲授
仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成 的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在 水平线下方的角叫做俯角。
例：某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞 行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制 点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B 距离(精确到1米)
D
45° 50 54° 40m
C
tan 50 40 1.19 40 47.7
所以AB=AC－BC=47.7－40=7.7 答：棋杆的高度为7.7m.
解直角三角形（3）
方位角
• 如图：点A在O的北偏东30° • 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北 30°
A
西
O 45°
东
B
1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此 时飞行高度AC=1 200 m，从飞机上看地面控制点B 的俯角α =16°31´，求飞机A到控制点B的距离(精 确到1 m). 解：在Rt ⊿ABC中，
AC sin B AB
AC 1200 AB 4221m sin B 0.2843
B
16°31′´
解：在Rt ABC中， AC 6 3 , AD 2 4 3 CAD 30 , cos CAD BAC 2CAD 60 , B 30 ,
在Rt ABC中， cos BAC AC AC 6 AB 12, AB cos BAC cos 60 BC tan BAC BC AC tan BAC 6 3 6 3 AC
复习回顾
1、解直角三角形指什么？
在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道 两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个 未知元素。
2、解直角三角形主要依据什么？
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系
a b c
2 2
2（勾股定理）
A c
（2）两锐角之间的关系 （3）边角之间的关系
南
例 : 如图, 一艘海轮位于灯塔P的北偏东 65 方向, 距离灯塔80海里的A处, 它沿正 南方航行一段时间后, 到达位于灯塔P的 南偏东34 方向上的B处.这时,海轮所在 的B处距离灯塔P有多远(结果保留小数 点后一位)?
分析：引导学生根据示意图，说明本题已知什 么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、 余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？
B的邻边 a cos B 斜边 c
A的对边 a A的邻边 b A的邻边 b cot A A的对边 a tan A
B的对边 b tan B B的邻边 a B的邻边 a cot B B的对边 b
思考： 5个元素中，知道两个角，是否能确定出其余的三条边？
意思：当已知或求解中有斜边时，就用正弦 或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求 的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法， 不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求 得时，则取原始数据，避免用中间数据。
例：如图所示，在Rt ABC中，C 90 , AC 6, BAC的平分线AD 4 3, 解此直角三角形。
a
A 1200m C
答：飞机A到控制点B的距离约为4 221 m.
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的 D处观察旗杆顶部A的仰角50°，观察底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中
∵
A B
AC tan ADC DC ∴AC=DC×tan∠ADC
b ？
C
例2、在△ABC中，∠C 为直角，∠A，∠B， ∠C所对应的边分别为a、b、c，且c=287.4 ，∠B=42°6′，解这个直角三角形。
分析：（1）未知元素是∠A、a、b；（2）∠A最容易求出，
a ∠A=90°—∠B （3）由cosB= c 可以求出a
b 由 sinB= 可以求出 b c 解：（1）∠A=90°—42°6′ =47°54′
所以∠A≈5°28′ A
归纳：该问题是在直角三角形中，已知 一条直角边和斜边的长度，求其中一个 锐角的大小。
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个 元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直 角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫 做解直角三角形。
探究： （1）在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？ （2）知道5个元素中的几个，就可以求其余的元素？
分析：根据实际问题，通过抽象简化，画出图形。
解：在Rt ABC中，B等于俯角 AC , AB AC 1200 AB 4221米， sin B sin16 31' 因此，飞机到达B点上空还有4221米的距离。 sin B
例：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30度，看这栋高楼底部的俯角 为60度，热气球与高楼的水平距离为120 m.这 栋高楼有多高(结果保留小数点后一位)?
二、计算 1、cos245+tan60°· sin60° 2、2sin30°+tan60°· cos30°—3cot 260°+sin90°