第25章解直角三角形3-5节

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第25章解直角三角形

第25章解直角三角形一、地位与作用本章内容是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。

锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。

从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。

在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教材安排了一章的内容，就是本章“解直角三角形”。

在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。

无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。

锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。

研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。

本章内容与已学“相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。

二、教材说明本章的主要内容包括直角三角形的边角关系——锐角三角函数的概念和性质，利用各种条件解直角三角形，再灵活运用解直角三角形解决实际问题。

具体编排包括三节：测量；锐角三角函数；解直角三角形。

其中第一节主要学习测量，本节既是第24章相关内容的发展，同时又为后面两节内容创设了情境，起承上启下的作用；第二节研究三角函数的概念性质，特殊角的三角函数值外，还利用计算器由已知锐角求它的三角函数值和由已知三角函数值求它对应的锐角。

为下节运用锐角三角函数解直角三角形做好准备。

第三节是解直角三角形，主要综合运用直角三角形的勾股定理和边角关系解决简单的实际问题。

中考数学总复习第五单元三角形第25课时解直角三角形及其应用课件

影长度来确定时间的仪器,称为圭表.如图 25-3 是一个根据北京的
地理位置设计的圭表,其中,立柱 AC 高为 a.已知冬至时北京的正午
日光入射角∠ABC 约为 26.5°,则立柱根部与圭表的冬至线的距离
(即 BC 的长)约为 (
)
图 25-3
A.asin26.5°
2021/12/9
B.

tan 26.5°

=x,
ta n45°
根据题意,得 AD-BD=4,即

-x=4.
tan 30°
果不取近似值)
解得 x=2 3+2.
答:雕塑的高 CD 为(2 3+2)米.
图 25-17
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第二十一页，共二十二页。
内容(nèiróng)总结
UNIT FIVE。第 25 课时解直角三角形及其应用。高频考向探究。[方法模型] 转化思想——化实际问
第十三页，共二十二页。
高频考向探究
拓考向
1.[2018·朝阳一模] 如图 25-11,某数学小组要测量校园内旗
杆 AB 的高度,其中一名同学站在距离旗杆 12 米的点 C 处,测
得旗杆顶端 A 的仰角为 α,此时该同学的眼睛到地面的高 CD
为 1.5 米,则旗杆的高度为
米(用含 α 的式子表示).
近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在 A 处测得雕
塑顶端点 C 的仰角为 30°,再往雕塑方向前进 4 米至 B 处,
测得仰角为 45°.问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结
解:如图,设雕塑的高 CD 为 x 米.
在 Rt△ ACD 中,AD=

,在 Rt△ BCD
tan 30°

第25章解直角三角形教案

第25章解直角三角形教学内容本单元主要内容是锐角三角函数的概念，特殊角三角函数值，以及三角函数的有关计算和应用．直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用广泛的关系之一，在现实生活中有着极为重要的作用．研究图形之中各个元素间的关系，将这种关系用数量的方式呈现出来，是分析问题和解决问题过程中常用的方法．在学习中，应进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法．通过数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等，将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习数学知识打下坚实的基础．本单元从测量说起，引出三角函数，再从所熟悉的三角尺引入特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值．对于一般锐角三角函数的计算问题，介绍了应用计算器来求三角函数值以及由锐角三角函数值求锐角的方法．解直角三角形是本单元的主要内容．知识结构三维目标1．知识与技能．理解锐角三角函数的概念，并能够解决实际问题，会计算特殊角的三角函数值；能借助计算器解决三角函数值的问题，或由已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法．经历探索直角三角形中边角之间关系的过程．发展学生观察、分析、应用能力，掌握解直角三角形的方法．3．情感、态度与价值观．能够运用三角函数解直角三角形，培养学生解决问题的能力，体会数形之间的联系，认识三角函数的应用价值．教学重点本单元的教学重点是锐角三角函数的概念及其应用于解直角三角形．教学难点从图形中找出相似三角形，解决这一难点是图形相似的前提．教学关键1．理解锐角三角函数（正切、余切、正弦、余弦），•并正确地使用它们解决实际问题．2．借助比、•比值以及比的概念的本质内涵建构出几种常见的锐角三角函数关系．课时安排§25．1 测量 1课时§25．2 锐角三角函数 4课时§25．3 解直角三角形 3课时复习与小结 1课时§25.1 测量【教学目标】一、知识目标1、复习巩固相似三角形知识。

解直角三角形教案

第25章解直角三角形图25.1.1．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．图25.1.2而这一问题的解决将涉及到直角三角形中的边角关系．三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章图25.2.1 不变时，三条边的比例也不变（即为一个固定值）。

图25.2.2三．课堂练习P91（练习）：1～4（习题25.2）：1～3显示再按下列顺序依次按键：显示结果为0.897 859 012.所以sin63゜52′41″≈0.8979（屏幕显示出显示结果为0.349 215 633.（屏幕显示出显示结果为36.538 445 77.再按键：≈36゜32′.图25.3.1．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，图25.3.2图25.3.3为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆图25.3.4（米）．2. AE图25.3.5图25.3.6︒=32tan概括1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．课堂练习1.求下列阴影部分的面积：（第2题）已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长．cot 60°－2tan 45°;cos2 60°;tan260︒（第5题）6.小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．的风筝有多高？（精确到1米）7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠A平分线AM的长为15 cm求直角边AC和斜边AB的长．（第9题）（第10题）一架25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7米．如果梯子的顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远？如图，一段河坝的断面为梯形，试根据图中数据，求出坡角（第13题）两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（第14题）。

九年级数学上册25-3解直角三角形(巩固课)教案沪教版五四制

4、如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB= 8.求：△ABC 的面积(结果可保留根号).
三、作业布置一张试卷
一．问题拓展
[说明] 通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确可以用解直角三角形的知识解决一般三角形中的计算问题.就是要把握好转化的技巧.
二、巩固练习 1、课本 25.3（2） 2、已知等腰△比值．
3、已知在直角梯形 ABCD 中，上底 CD=4，下底 AB=10，非直角腰 BC= ，则底角∠B=；
九年级数学上册 25-3 解直角三角形（巩固课）教案沪教版五四制
教学内容分析本课时其实是安排了一个解直角三角形和应用的一节过度课，它起到了承上启下的作用 .先从
解一般的三角形或梯形的问题，寻找转化为直角三角形的方法，然后，到下一节课的应用，使学生不会有知识过度跳跃的感觉. 教学重点及难点教学重点：学会把一般三角形转化为直角三角形解决．教学难点：如何转化为直角三角形的辅助线的做法．教学过程设计

25.3解直角三角形

＝cos50° AB 2000 AC＝ cos 50 cos 50

AB AC
≈3111（米）．
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例3一个钢球沿坡角31 ° 的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是(单位：米)（ B ） 5cos31 ° B. 5sin31 ° C. 5tan31 ° D. 5cot31 °
25.3解直角三角形
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复习
直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另
两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、 b表示， ∠B的对边与邻边，用b 、 a表示锐角三角函数
A的对边 sinA＝斜边
A的邻边 cosA＝斜边
B c a
A的对边 tanA＝ A的邻边
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仰角-俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的
视线仰角俯角视线
夹角叫做仰角；铅从上往下看，视线与水平线的直线夹角叫做俯角.
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方位角
北 30° 东 A
西
O
45°
B
南
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课堂练习
1如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高
1．2米的测角仪CD，测得电视塔的顶端A的仰角为 42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔的顶端A的仰角为 61°，求这个电视塔的高度 AB．（精确到1米）
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（第 14 题）
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A
30°
60°
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九年级25单元⑤解直角三角形(二)

D
B
C
思路分析：
思路：构造直角三角形；分析：：延长AD 交BC 的延长线于点E ，过D 作
DF ⊥BC 垂足为F. A
D
B
C FE
小结：
1.在今天的探究学习中，我们尝试解决了一类与三角形有关的实际问题，至此，谈谈你的感受.
2.概括一下解答此类题目的思路及一般方法.
A'
B'
C'
B
14
38 C
1.5
概括：
过去我们在解答与三角形有关的问题时，往往通过两个三角形的关系，利用相似来解答；
有了锐角三角函数关系后，我们可以在一个三角形中进行解答，因此，解答此类题目的方法更多了，也简便了.
练习巩固：
如图，某学习小组为了测量马路对面的高楼AB 的高度，在高楼底部B 的正对面点C 处，测得仰角∠ACB =30°.
⑴若BC 的长是60米，求高楼AB 的高； ⑵若BC 的长度无法度量，
如何测量高楼AB 的高度，ABD 90，
由锐角三角函数，得cot BD .即BD AB cot .
AB
在△ACB中，ABC 90，
由锐角三角函数，得cot CB .即CB AB cot .
九年级数学《华师大版》
§25.3 解直角三角形（二）
忆旧引新：
1.请你说说锐角三角函数概念. 2.特殊角的三角函数值. 3.直角三角形的边角关系. 4.与三角形有关的题目的解题思路.
概念解释：
视线仰角俯角
视线
水平线
巩固探究：
若有测角
A
仪器，可以采
用这种方法：
A'
测量后，
B' C' 按比例画图，

市北资优九年级分册第25章 25.4 解直角三角形的应用+滕小红

25.4 解直角三角形的应用解直角三角形在实际生活中有着广泛的应用．在解决问题时，既要了解相关的名词，更根据实际情况灵活运用相关知识．1．仰角、俯角与方位角如图25.4.1在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．【例1】如图25.4.2，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，请问：这栋高楼有多高？(结果精确到0.1m)【解】由题意得α＝30°，β＝30°，AD ＝120m ，AD ⊥BC ． ∵tan α＝BD AD ，tan β＝CDAD， ∴BD ＝AD ·tan α＝120×tan30°＝(m)， CD ＝AD ·tan β＝120×tan60°＝．∴BC ＝BD ＋CD＝＋277.1(m)．即这栋楼高约为277.1m ．【例2】如图25.4.3，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，他沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，请问：此时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？(精确到0.01海里，cos25°≈0.91，sin34°≈0.559)图25.4.2视线视线仰角俯角图25.4.1铅垂线【解】过点P 作PC ⊥AB 于点C ，由题意得∠APC ＝90°－65°＝25°，∠BPC ＝90°－34°＝56°，AP ＝80海里．在Rt △APC 中，∵cos ∠APC ＝PCPA， ∴PC ＝P A ·cos25°＝80×cos25°≈80×0.91≈72.80(海里)． ∵sin B ＝PCPB， ∴PB ＝sin PC B ＝72.80sin34 ≈72.800.559≈130.23(海里)．即海轮所在的B 处距离灯塔P 有130.23海里．【例3】如图25.4.4，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度(匀速)沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇． ⑴甲船从C 处追赶上乙船用了多少时间？⑵求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度．(结果保留根号)【解】⑴过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由题意得∠B ＝30°，∠BAC ＝105°，∠BCA ＝45°，AC ＝千米) ．在Rt △ADC 中，CD ＝AD ＝AC ·cos45°＝30(千米) ．在Rt △ABD 中，AB ＝2AD ＝60(千米)，t ＝6015－2＝2(时) ．即甲船从C 处追赶上乙船用了2小时．北图25.4.4图25.4.3⑵由⑴知BD ＝AB ·cos30°＝(千米) ．∴BC ＝30＋(千米)，从而v ＝15＋(千米/时) ．即甲船加快速度后，追赶乙船时的速度为(15＋)(千米/时) ．练习25.4（1）1．如图，一架飞机在高度为5千米的点A 时，测得前方山顶D 的俯角为30°，水平向前飞行2千米到达点B 时，又测得山顶D 的俯角为45°．求这座山的高度DN ．(结果可保留根号)2．某高层建筑物图中AB 所示．小明家住在建筑物附近的“祥和”大厦(图中CD 所示)，小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB 的高度．他先在自己家的阳台(图中的点Q 处)测得AB 的顶端(点A )的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向AB 方向走了84米，来到另一座高楼的底端(图中的点P 处)，测得点A 的仰角为45 °．又点C 、P 、B 在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB 的高度．(参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75)CADCA B NM北3．小岛B 正好在深水港口A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口A 出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C 处测得小岛B 在它的南偏东15°方向，求小岛B 离港口A 的距离．(精确到0.1千米)(1.41≈2.45，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)答案练习25.4（1）1．根据题意，得∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∠CBD ＝45°，AB ＝2．设CD ＝x ，在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝45°，∴BC ＝CD ＝x ．在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝45°，∴AC．∴＝x ＋2．解得x1．所以，这座山的高度DN ＝5－1)＝(4千米)2．过点Q 作QE ⊥AB ，交AB 于点E ．根据题意，得：∠AQE ＝37°，∠APB ＝45°，CQ ＝60(米)，CP ＝84(米)．设AB ＝x (米)，则AE ＝x －60，QE ＝CB ＝x ＋84．在Rt △APB 中，PB ＝AB ＝x ，在Rt △AQE 中，AE ＝QE ·tan37°，即x －60＝34(x ＋84)，解得x ＝492．即楼AB 的高度为492米．3．由题意，得AC ＝30×23＝20(千米) ．过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝45°，∴AD ＝AC ·cos45°＝千米) ．CD ＝AC ·sin45°＝千米) ．37°APCQ EB45°北 B在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠B ＝90°―45°―15°＝30°， ∴BD ＝CD ·cos30°＝千米) ．AB ＝AD ＋BD ＝)≈10(1.41＋2.45)＝38.6(千米) ．即小岛B 离深水港口A 的距离是38.6千米．2．坡度在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图25.4.5，坡面的铅直高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l．坡度通常写成1：m 的形式，如i ＝1：6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝hl＝tan α．α就越大，坡面就越陡．【例4】如图25.4.6，水坝的横截面是梯形ABCD ，上底AD ＝4米，坝高AM ＝DN ＝3米，斜坡AB 的坡比i 1＝1CD 的坡比i 2＝1：1．⑴求坝底BC 的长；(结果保留根号)⑵为了增强水坝的防洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底EF ＝2米，求水坝增加的的高度．(精确到0.1 1.73)【解】⑴由题意得四边形AMND 是矩形，∴MN ＝AD ＝4(米)．∵i 1＝AM BM ，i 2＝DN CN ＝1，∴BM ＝米)，CN ＝DN ＝3(米)． ∴BC ＝BM ＋MN ＋CN ＝4＋3＝7＋米)．AB CDM N 图1图2AB CDM N FE图25.4.6图25.4.5。

华师大版九年级数学上第25章解直角三角形假期家教辅导讲义

第二十五章解直角三角形知识构造：两个锐角互余斜边上的中线等于斜边的一半应用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解直角三角形勾股定理边角关系：锐角三角函数应知一、基本观点。

锐角的三角函数：在直角三角形ABC 中，∠ A 是锐角，三条边两两之比都是∠ A 的函数，称为锐角 A 的三角函数。

有：siaA=A的对边A的邻边A的对边A的邻边,cosA=,tanA=A的邻边， cotA斜边斜边A的对边【注意】熟记特别角度的三角函数(见下表 )。

∠A30°45°60°siaA 123 222cosA321 222tanA 313 3cotA313 3仰角与俯角：在进行丈量时，从下向上看，视野与水平线的夹角(视野在水平线上方的角) 叫做仰角；从上往下看，视野与水平线的夹角(视野在水平线下方的角)叫做俯角。

坡角 (倾角 )：坡面与水平面的夹角叫做坡角，也叫倾角(倾斜角 )。

[ 来坡度：坡面的铅垂高度(h)与水平长度 (l) 之比叫坡面的坡度。

坡度i htan ．l二、基本法例Rt△ABC 中，除∠ C=90 °外，还有五个元素，三条边a、 b、 c，两个角∠ A、∠ B，只需知道两个元素 (起码有一个是边)，即可解出其余元素，由于它们有以下关系：a b a(1) 边角之间关系sinA=cosA=tanAc c b(2) 三边之间关系a2 +b2=c2 (勾股定理 )(3)锐角之间关系∠A+∠B=90 °．应会1.用计算器计算三角函数。

2.解直角三角形。

例题1. 如图，某飞机于空中 A 处探测到目标C，此时飞翔高度AC=1200 米，从飞机上看地平面控制点 B 的俯角α=16°31，′求飞机 A 到控制点 B 的距离 ( 精准到 1 米 )F2. 2003 年 10 月 15 日“神州”5号载人航天飞船发射成功。

当飞船P达成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运转。

(华师版初中数学教案全)第二十五章解直角三角形

尤新教育辅导学校第二十五章解直角三角形即锐角三角函数【重点难点提示】重点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，三角函数间的同角关系与互余关系．难点：锐角三角函数在0°～90°之间的变化规律的应用．考点：锐角三角函数的有关知识在初中数学中占有比较重要的地位；近年各地中考试题中，大多以填空或选择题的形式出现，约占考量的 2.5 ％．【经典范例引路】2 2sin 15 sin 75例1 （1）计算：cos 0+cot30 °- tan45°- cos30°;（2）Rt△ABC中，∠C=90°,a=2 5 ,b=2 ，求cosA.2 2sin 15 sin (90 15 )解：（1）原式= cos 0+ c ot30 °- tan45°- cos30°;2 sin 152cos 15 3 3 3= cos 0= 2+ 3 -1- 2 =1+ 3 -1- 2（2）在Rt△ABC中，∴∠C＝90°，a＝2 5 ，b＝2，∴c＝ 2 2 22( 5) =2 6 2b 6∴cosA= c = 6= 2 6【解题技巧点拨】（1）主要注意隐含关系式sin 2 2α＋cos α＝1 的运用，来求得sin 215°＋sin 275°＝sin 215°＋cos 215°＝1 的技巧．例2 已知cos α＝0.6975 ，sin β＝0.7328 （α、β均为锐角），求证：α＋β＞90°证明：∵α、β为锐角∴90°- β也为锐角，且cos α＝0.6975 ，cos （90°- β）＝sin β=0.7328 ，根据余弦函数在0°～90°之间的变化规律有：α＞90°- β即α+β＞90°【解题技巧点拨】本题必须灵活运用余弦函数在0°～90°之间的变化规律及三角函数间的互余关系解题．1【综合能力训练】一、填空题1. 计算：sin60 °·cot30 °+sin 245°＝．（2001 江西中考题）1 22．求值： 2 sin60 °· 2cos45°＝. （2001 广州市中考题）3．在△ABC中，如果∠C=90°，∠A＝45°那么tanA ＋sinB= ；△ABC为对称图形（填“轴”或“中心”）（2001 北京中考题）4. α为锐角时，(cos 21) ＝．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，2(sin A ) ＋|cosB+1| ＝．1sin x cos x6. 已知：cot(90 °-x)= 2 ，则x xsin cos=。

第二十五章解直角三角形知识要点

第二十五章解直角三角形学案一. 锐角三角函数的定义：如图所示.在Rt ∆ABC 中：∠c=90°(要求熟记）斜边的对边A A ∠=sin =c a ⇒∠A 的对边=斜边∙A sin (或斜边=A A sin 的对边∠)c b A A =∠=斜边的邻边cos A A cos ∙=∠⇒斜边的邻边(或A cos A 的邻边斜边∠=）ba A A A =∠∠=的邻边的对边tan A A A tan ∙∠=∠⇒的邻边的对边(A A tan 的对边或邻边∠=abA A A =∠∠=的对边的邻边cot A A A cot ∙∠=∠⇒的对边的邻边（AA cot A 的邻边对边或∠=∠）A ∠的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角A ∠的三角函数。

例1.在Rt ABC ∆中，如果各边都缩小2倍.那么锐角A 的正弦值 ( )A.不变 B 变大 C 变小 D 不确定例2.若∠C=90° BC:AC=2:3 求∠A 的四个三角函数值例3.在等腰ABC ∆中.AB=AC=10 BC=12 求∠B 的四个三角函数值例 4.在△ABC 中， AD 是BC 边上的高 DAC B ∠=cos tan ①求证：AC=BD ②若1312sin =C 12=BC , 求AD 的长例5在Rt △ABC 中 ∠ACB=90° CD ⊥AB 垂足为D 若5=Ac 2=BC 求ACD ∠sin 的值例6.在梯形ABCD 中.AD ∥BC AC ⊥AB AD=CD 54cos =∠DCA BC=10 求AB 的值例7.如图在△ABC 中∠C=90°点E D .分别在AC .AB 上, BD 平分∠ABC DE ⊥AB AE=653cos =A 求⑪DE.CD 的长 ⑫DBC ∠tan 的值例8.如图在Rt △ABC 中. ∠ACB=90°.BC=3 15=Ac AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线于点D 垂足为E 求CAD ∠sin例9.一个直角△有两条边长为3、4 求较小锐角的正切值例10.已知 a.b.c 时△ABC 的三边.a.b.c 满足等式))((4)2(2a c a cb -+=且0941=-c a 求B A sin sin +的值例10已知：在Rt △ABC 中︒=∠90C 8=+b a 12=ab 且b a < 求∠A 的四个三角函数值例11.如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若31tan =∠AEN ，DC+CE=10,(1)求BE 的长；（2）求ANE ∆的面积；（3）求ENB ∠sin 的值。

25.3 解直角三角形(课件)九年级数学上册(沪教版)

已知条件
一个锐角α
求角
两条边a、b
两条边a、c
两条边b、c
无法求解
另一角=90°-β
已知
无法求解
无法求解
无法求解
两个锐角α、β
一条边a
求边
a
, B 90 A
b
a
sin A , B 90 A
c
c 2 =a 2 +b 2
b
cos A , B 90 A
c
a 2 =c 2 -b 2
在图中的Rt△ABC中，
(1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直
角三角形的其他元素吗？
B
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
AC
cos A
AC AB cos A 6 cos 75
AB
6
75°
A
A B 90 B 90 A 90 75 15 .
tan A
一条边a一个锐角A
∠B=90°-∠A
一条边b一个锐角A
∠B=90°-∠A
一条边c一个锐角A
∠B=90°-∠A
b 2 =c 2 -a 2
a
a
b
,c
或b a tan B, c
tanA
sinA
sin B
a
b
b
a b tan A, c
或a
,c
sinA
tan B
sin B
图中∠A，∠B，a，b，c 即为直角三角
c
b
形的五个元素.
(1)三边之间的关系
a b c

市北资优九年级分册第25章 25.3 解直角三角形+黄启胜

第二节解直角三角形 25.3解直角三角形思考：直角三角形ABC 的三条边和两个锐角∠A 、∠B 这五个元素之间有哪些关系？直角三角形的边与角之间的关系(1)两锐角互余：∠A ＋∠B ＝90；(2)三边满足勾股定理：a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝cot B ＝a b ；cot A ＝tan B ＝b a．我们已掌握直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．为什么两个已知元素中至少有一条边？由直角三角形全等的判定定理可知，如果给定的直角三角形的一条边和一个锐角，或者给定它的两条边，那么这个直角三角形的形状和大小就完全确定，解直角三角形与确定一个直角三角形所需要的条件是一致的．由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．例1 在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝85，角平分线AD ＝16153，解这个直角三角形．解：在Rt △△ACD 中，∵cos ∠CAD ＝AC AD ＝851615＝3， ∴∠CAD ＝30°．又AD 平分∠CAD ，∴∠CAB ＝60°，∠B ＝30°．在Rt △ACBA 中，∵cos ∠CAB ＝AC AD， ∴AB ＝8512＝165． ∵tan ∠CAB ＝CB AC， ∴CB ＝815．例2 在△ABC 中，已知D 为AB 中点，∠ACB ＝135°，AC ⊥CD ，求sin A 的值．A B CD图25.3.1解：过点D 作DE ∥BC ，交AC 于E ． ∵AD ＝DB ，∴AE ＝CE ．∵∠ACB ＝135°，∠ACD ＝90°，∴∠DCB ＝∠CDE ＝45°．∴∠CED ＝45°，CD ＝CE ．设CD ＝a ，则AC ＝2a ．在Rt △ACD 中，AD ＝22AC CD ＋＝5a ，∴sin A ＝CD AD ＝5a a＝55．例3 在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB ＝∠MBC ，求tan ∠ABM 的值．解：如图25.3.3，延长BC 、MN 交于T ，过T 作TO ⊥BM ，设正方形的边长为1．∵AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠OBT ．∵在Rt △ABM 中，cos ∠AMB ＝AM MB，在Rt △QBT 中，cos ∠OBT ＝OB BT， ∴AM MB ＝OB BT，又OB ＝12BM ， ∴MB 2＝2AM •BT ．设AM ＝x ，则MB ＝22AM AB ＋＝221x ＋，BT ＝BC ＋CT ＝1＋(1－x )＝2－x ，∴x 2＋1＝2(2—x )x ：．解得x ＝13或x ＝1(舍)． ∴tan ∠ABM ＝13．B A CD图25.3.2 EAD B图25.3.3 M O NC T练习25.3(1) 1．如图，在等腰△ABC 中，底边BC 的中点是点D ，底角的正切值是13，将该等腰三角形绕其腰AC 上的中点M 旋转，使旋转后的D 与点A 重合，得到△A ′B ′C ′，如果旋转后的成边B ′C ′与BC 交子点N ．求∠ANB 的正切值．2．若等腰三角形两腰上的高的和等于底边上的高，求底角的余切值．3．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD ＝120°，AD ＝2，AB ＝1＋3，求CD 的长度．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是BC 上的中线，参cos ∠BAD 与sin ∠BAD 的值．例4 在△ABC 中，BC 菇15，AB ︰AC ＝7︰8，cos C ＝12，求BC 边上的高．分析：由于三角形的高有可能在三角形的内部或外部，因此需要分类讨论．解：如图25.3.4，过点A 作AH ⊥BC ，设AB ＝7k ，AC ＝8k ．①当∠ABC 为锐角时．在Rt △ACH 中，∵cos C ＝12， ∴sin C ＝AH AC＝32， ∴AH ＝43k ．∴cos C ＝HC AC， ∴HC ＝4k ．在Rt △ABH 中，BH ＝22AB AH －＝k ．又BC ＝BH ＋HC ，∴5k ＝15，即k ＝3，∴AH ＝123． CB AD(第1题) MA CDB(第3题) C B A H图25.3.4 CB A H②当∠ABC 为钝角时．在Rt △ACH 中，∵cos C ＝12， ∴sin C ＝AH AC ＝32， ∴AH ＝43k∵cos C ＝HC AC， ∴HC ＝4k ．在Rt △ABH 中，BH ＝22AB AH －＝k ．又BC ＝CH －HB ，3k ＝15，即k ＝5，∴AH ＝203综上所述，AH ＝123或AH ＝203．例5 如图25.3.5，在△ABC 中，∠B ＝120°，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，AC ＝7，∠EDC ＝60°，AE ＝BC ，sin A ＝3314，求S 四边形DEBC ．解：延长AB ，过点C 作CH ⊥AB ，交AB 适长线于点H ．在Rt △ACH 中，∵sin A ＝3314， ∴设CH ＝33k ．，AC ＝14k ，则AH ＝22AC CH -＝13k ．∵AC ＝14k ＝7，∴k ＝12，则CH ＝332，AH ＝132．在Rt △BCH 中，sin ∠CBH ＝sin60°＝CH CB， ∴CB ＝3，即AE ＝3．又∠ADE ＝180°—∠EDC ＝120°＝∠B ，∴△ADE ∽△ABC ．∴2949ADE ACB S AE S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，4049DEBC ACB S S =四边形△． ∵AB ＝AH －BH ＝132－22BC CH -＝132－2794-＝5， ∴S △ACB ＝1534， S 四边形DEBC ＝150349． E D图25.3.5 CBA H练习25.3(2) 1．在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝63，∠A ＝30°，求AB 的长．2．在△ABC 中，∠C ＝45°，D 是AC 边上的一点，且∠ADB ＝60°，当AD 与CD 满足什么条件时，能使△ABD ∽△ACB ？3．三角形的两埠长分别为4、5，第三边上的高为3，求这个三角形的面积．4．在△ABC 中，cos A ＝0.8，∠B ＝45°，三角形一边上的高是3，求BC 的长．练习25.3(1)1．342．15 3．CD ＝2 提示：延长BC 、AD 交于点E ．4．cos ∠BAD ＝310，sin ∠MD ＝10，提示：过点D 作DE ⊥AB 于点E练习25.3(2)1．AB ＝12或62．AD ＝2DC 提示：若相似，则∠ABC ＝∠ADB ＝60°，∠ABD ＝∠C ＝45°．过点A 作AE ⊥BD ，AF ⊥BC ，则AC ＝2AF ＝32AB ，AB ＝2AE ＝32AD ，∴AC ＝32AD 3．()3472+或()3472-4．32，187或152第二节解直角三角形25.3解直角三角形练习25.3(1)1．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C —∠B ＝60°，若BC ＝a ，求AB 的长．2．已知在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝2，BC 边上的高为3，求BC 的长．3．如图，在△ABC 中，高CH 是边AB 的一半，且∠B ＝75°，求∠A 的度数．BACH (第3题)。

第25章：解直角三角形

第25章：解直角三角形一．锐角三角函数1.可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．我们同样可以发现，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．因此这几个比值都是锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边的邻边A A ∠∠．分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．显然，锐角三角函数值都是正实数，并且0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1．根据三角函数的定义，我们还可得出A A 22cos sin +＝1，tanA ·cotA ＝1．练习：求出图25．2．3所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值．图25.2.32.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二．特殊三角函数值: 值角函数30° 45° 60° sin α 21 22 23 cos α 23 22 21 tan α 33 1 3cot α 3 1331、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。

②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ．2.如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=l h.坡度通常写成1∶m 的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝l h=tan a显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡.图图5。

华师大版-数学-九年级上册-25.3解直角三角形课时1

《九年级上第二十五章第三节解直角三角形》教案课时1 解直角三角形【教学课型】：新课◆课程目标导航：【教学目标】：1.巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理.2.学会运用三角函数解直角三角形.3.掌握解直角三角形的几种情况.【教学重点】：使学生养成“先画图，再求解”的习惯.【教学难点】：运用三角函数解直角三角形.【教学工具】：投影仪◆ 教学情景导入师: 角的三角函数定义你知道吗?生: sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠ 师:特殊角的三角函数值?知道怎么用计算器求三角函数值了吗?由生板书写出.师:你还记得勾股定理吗?生回答.◆教学过程一、新授：我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具.例1 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为26241022=+26＋10＝36（米）.所以，大树在折断之前高为36米.在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.例2 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40゜的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）解在Rt △ABC 中，因为∠CAB ＝90゜－∠DAC ＝50゜，ABBC ＝tan ∠CAB , 所以 BC ＝AB •tan ∠CAB=2000×tan50゜≈2384(米).又因为︒=50cos ACAB ，所以 AC ＝)(311150cos 200050cos 米≈︒=︒AB 答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米.在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角二、巩固练习P 95练习三、小结1.本节课你学习了哪些知识?2. 你还有什么疑问?◆课堂板书设计标题例1例2课堂练习课堂总结◆练习作业设计（课堂作业设计、课下作业设计）课堂作业:如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）答案:过点C作CD⊥AB于点D．CD就是连接两岸最短的桥．设CD=x米．在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x．在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=33x．因为AD+DB=AB，所以x+33x=3，x=9332≈1.9（米）．课下作业:1．已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A的四种三角函数值．2．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？答案: 1．解：如下图，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AB=AC ．因为AD ⊥BC ，AB=AC ，所以BD=CD=5．在直角三角形ABD 中，AD=2222135AB BD -=-=12． S △ABC =12×AB ×CE=12×BC ×AD ，所以12×13×CE=12×10×12，CE=12013．在直角三角形ACE 中，AE=222212013()13AC CE -=-=11913．在直角三角形ACE 中，sin ∠CAE=1201201313169CE AC ==， cos ∠CAE=1191191313169AE AC ==， tan ∠CAE=1201201311911913CE AE ==， cot ∠CAE=119120AE CE =． 2．第一次观察到的影子长为5×cot45°=5（米）；第二次观察到的影子长为5•×cot30°=53（米）．两次观察到的影子长的差是53-5米．。

华师大版第25章解直角三角形电子课本

华师大版第25章解直角三角形电子课本§25.1 测量 3§25.2 锐角三角函数41.锐角三角函数 42．用运算器求锐角三角函数值7§25.3 解直角三角形9阅读材料14小结14复习题15课题学习17第25章解直角三角形测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的咨询题．222c b a =+ab B =tan§25.1 测量当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许专门想明白，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决那个咨询题．如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再按照你的身高，便能够利用相似三角形的知识运算出旗杆的高度．如果就你一个人，又遇上阴天，那如何办呢？人们想到了一种可行的方法，依旧利用相似三角形的知识．试一试如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便能够算出旗杆的实际高度．你明白运算的方法吗？图25.1.2实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就能够直截了当运算旗杆的高度，而这一咨询题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们差不多明白直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这确实是本章要探究的内容．练习1．小明想明白学校旗杆的高度，他发觉旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好接触地面，求旗杆的高度．2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．习题25．11．如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）（第1题）2．在安静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，咨询那个地点水深多少？3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直截了当跃到A处，距离以直线运算，如果两只猴子所通过的距离相等，求这棵树的高度．（第3题）§25.2 锐角三角函数1.锐角三角函数在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都显现了两个相似的直角三角形，即△ABC ∽△A ′B ′C ′．按5001的比例，就一定有 5001=''=''AC C A BC C B ， 5001确实是它们的相似比．因此也有AC BCC A C B =''''．图25.2.1前面的结论告诉我们，在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变（如∠A ＝34°），那么不管那个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．摸索一样情形下，在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？图25.2.2观看图25．2．2中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________，因此111AC C B ＝_________＝____________．可见，在Rt △ABC 中，关于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯独确定的．我们同样能够发觉，关于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯独确定的．因此这几个比值差不多上锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cot A ，即sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边的邻边A A ∠∠．分不叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．明显，锐角三角函数值差不多上正实数，同时 0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1．按照三角函数的定义，我们还可得出A A 22cos sin +＝1，tanA ·cotA ＝1．图25.2.3例1 求出图25．2．3所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值．解1728922==+=AC BC AB ， sinA ＝178=AB BC ， cosA ＝1715=AB AC ，tanA ＝158=AC BC ，cotA ＝815=BC AC ．探究按照三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少．通过运算，我们能够得出图25.2.4sin30°＝21=斜边对边，即斜边等于对边的2倍．因此我们能够得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．摸索上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，作∠BCD ＝60°，点D 位于斜边AB 上，容易证明△BCD 是正三角形，△DAC 是等腰三角形，从而得出上述结论．做一做在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直截了当通过运算，按照锐角三角函数定义，分不求出下列∠A的四个三角函数值：（1）∠A＝30°；（2）∠A＝60°；（3）∠A＝45°．为了便于经历，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：αsinαcosαtanαcotα130°245° 1 1160°2练习1．如图，在Rt△MNP中，∠N＝90°．∠P的对边是____________，∠P的邻边是__________；∠M的对边是____________，∠M的邻边是_________．(第1题) （第2题）2．求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四个三角函数值．3．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分不为a、b、c，按照下列所给条件求∠B的四个三角函数值：（1）a＝3，b＝4；（2）a＝5，c＝13．4．求值：2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．2．用运算器求锐角三角函数值下面我们介绍如何利用运算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．（1）求已知锐角的三角函数值例2 求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001）解先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：．再按下列顺序依次按键：显示结果为0．897859012．因此sin63°52′41″≈0．8979．例3 求cot70°45′的值．．0001）解），按下列顺序依次按键：显示结果为0．3492156334．因此cot70°45′≈0．3492．（2）由锐角三角函数值求锐角例4已知tanx＝0．7410，求锐角x．（精确到1′）解），按下列顺序依次按键：(显示结果为36．53844577．再按键：显示结果为4.182336'︒．因此x ≈36°32′．例5 已知cotx ＝0．1950，求锐角x ．（精确到1′）分析按照xx cot 1tan =，能够求出tanx 的值，然后按照例4的方法就能够求出锐角x 的值．练习1．使用运算器求下列三角函数值．（精确到0．0001） sin24°，cos51°42′20″，tan70°21′，cot70°．2．已知下列锐角α的各三角函数值，使用运算器求锐角α．（精确到1′）（1） sin α＝0．2476；（2） cos α＝0．4174；（3） tan α＝0．1890；（4） cot α＝1．3773．习题25．21．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝21，AB ＝29，分不求∠A 、∠B 的四个三角函数值．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝3∶4，求∠A 的四个三角函数值．3．求下列各式的值．（1） sin30°＋︒45sin 2－2tan 3160°；（2）)60cos 430)(cot 60tan 30sin 4(︒+︒︒-︒．4．用运算器求下式的值．（精确到0．0001） sin81°32′17″＋cos38°43′47″．5．已知cotA ＝3．1748，利用运算器求锐角A ．（精确到1′）§25.3 解直角三角形我们差不多把握了直角三角形边角之间的各种关系，这些差不多上解决与直角三角形有关的实际咨询题的有效工具．例1 如图25．3．1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？图25.3.1解利用勾股定理能够求出折断倒下部分的长度为26241022=+，26＋10＝36（米）．因此，大树在折断之前高为36米．在例1中，我们还能够利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角．像如此，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．图25.3.2例2 如图25．3．2，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发觉入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米）解在Rt △ABC 中，∵ ∠CAB ＝90°－∠DAC ＝50°，ABBC＝tan ∠CAB ， ∴ BC ＝AB ·tan ∠CAB ＝2000×tan50°≈2384（米）．∵ACAB＝cos50°， ∴ AC ＝︒=︒50cos 200050cos AB ≈3111（米）．答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分不约为3111米和2384米．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似运算，本书除专门讲明外，角度精确到1′．解直角三角形，只有下面两种情形：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角．练习1．在电线杆离地面8米高的地点向地面拉一条长10米的缆绳，咨询这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地点？2．海船以32．6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q 在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发觉现在灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离．（画出图形后运算，精确到0．1海里）读一读图25.3.3如图25．3．3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．例3 如图25．3．4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22．7米的D处，用高1．20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0．1米）图25.3.4解在Rt△ACE中，∵AE＝CE×tanα＝DB×tanα＝22．7×tan22°≈9．17，∴AB＝BE＋AE＝AE＋CD＝9．17＋1．20≈10．4（米）．答：电线杆的高度约为10．4米．练习1．如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，现在飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地面操纵点B 的俯角α＝16°31′，求飞机A 到操纵点B 的距离．（精确到1米）（第1题）（第2题）2．两座建筑AB 与CD ，其地面距离AC 为50．4米，从AB 的顶点B 测得CD 的顶部D 的仰角β＝25°，测得其底部C 的俯角α＝50°，求两座建筑物AB 与CD 的高．（精确到0．1米）读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图25．3．5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即lhi =．图25.3.5坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有lhi =＝tan α．明显，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．例4 如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分不是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）图25.3.6解作DE ⊥AB ， CF ⊥AB ，垂足分不为E 、 F ．由题意可知 DE ＝CF ＝4．2（米）， CD ＝EF ＝12．51（米）．在Rt △ADE 中，∵ i ＝AEAE DE 2.4=＝tan32°， ∴ AE ＝︒32tan 2.4≈6．72（米）．在Rt △BCF 中，同理可得BF ＝28tan 2.4≈7．90（米）．∴ AB ＝AE ＋EF ＋BF≈6．72＋12．51＋7．90≈27．1（米）．答：路基下底的宽约为27．1米．练习一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽6．2米，坝高23．5米，斜坡AB 的坡度1i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度2i ＝1∶2．5．求：（1）斜坡AB 与坝底AD 的长度；（精确到0．1米）（2）斜坡CD 的坡角α．（精确到1°）习题25．31．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知a ＝156， b ＝56，求c; （2）已知a ＝20， c ＝220，求∠B ；（3）已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ；（4）已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ．2．一个公共房屋门前的台阶共高出地面1．2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．按照那个都市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精确到0．1米）3．两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？（精确到1米）（第3题）（第4题）4．一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东59°，距离为72海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向．求这艘船航行的速度．（精确到1海里/时）阅读材料葭生池中今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．咨询：水深、葭长各几何？（采自杨辉《详解九章算法》，1261年）这是我国数学进展史上闻名的“葭生池中”咨询题．它的解法能够由下图获得．中世纪，印度闻名数学家婆什迦罗（Bhaskara，1114—1185？）在其著作中提出了与“葭生池中”相似的“荷花咨询题”．平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面．忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃．湖面之上不复见，入秋渔翁始发觉．残花离根二尺远，试咨询水深尺若干．这类咨询题还有专门多专门多．你看，关于勾股定理应用的丰富有味的数学咨询题到处可见，你还能找到一些其他的咨询题吗？小结一、应用二、概括1．明白得并把握直角三角形中边角之间的关系；2．能应用直角三角形的边角关系解决有关的实际咨询题．复习题 A 组1．某菜农修建一个横截面为直角三角形的塑料大棚（如图），若棚宽a ＝4m ，高b ＝3m ，长d ＝35m ，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．（第1题）（第2题）2．如图，正方形ACDE 的面积为252cm ，测量出AB ＝12cm ， B C ＝13cm ，咨询E 、A 、B 三点在一条直线上吗？什么缘故？3．已知直角三角形两条直角边分不为6、8，求斜边上中线的长． 4．求下列各式的值．（1） 2cos30°＋cot60°－2tan45°；（2） ︒+︒60cos 45sin 22；（3） ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 2222．5．求下列各直角三角形中字母的值．（第5题）6．小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米）7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A ＝60°，∠A 的平分线AM 的长为15cm ，求直角边AC 和斜边AB 的长．（精确到0.1cm ）8．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边AC 是直角边BC 的2倍，求∠B 的四个三角函数值．9．如图，在所示的直角坐标系中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y ），且OP 与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是34，求：（1） y 的值；（2）角α的正弦值．10．如图，飞机A 在目标B 的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，求地面目标B 、Ｃ之间的距离．（结果保留根号）11．如图，一个古代棺木被探明位于点A 地下24米处．由于点A 地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被承诺从距点A 8米的点B 挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？（角度精确到1′，距离精确到0．1米）（第11题）（第12题）B 组12．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，试按照图中数据，求出坡角α和坝底宽AD ．（i ＝CE ∶ED ，单位米，结果保留根号）13．如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．（结果保留根号）（第13题）C 组14．如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高1．2米的测角仪CD ，测得电视塔的顶端A 的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔的顶端A的仰角为61°，求那个电视塔的高度AB．（精确到1米）（第14题）15．如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC长为30米．（1）求河的宽度（即求△ABC中BC边上的高）；（精确到1米）（2）请再设计两种测量河的宽度的方案．（第15题）（第16题）16．折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．咨询折者高几何？意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．咨询原处还有多高的竹子？课题学习高度的测量我们差不多学会了一些测量方法，现在请你观看一下学校中较高的物体，如教学楼、旗杆、大树等等.如何测量它们的高度呢？选定某一个物体，先与你的小伙伴一起讨论，确定如下的咨询题：1．能够用什么测量方法？2．每一种方法要用到哪些工具？3．应测量得到哪些有关的数据？4．如何运算最后的结果？写出你们的打算，再实际做一做，看看最后的结果如何．与其他的小组比较一下，看谁的成效较好．。