立体几何,圆锥曲线,导数文科答案解析
导数文科大题含详细答案
导数文科大题1.知函数， .（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数根，数的取值围. 答案解析2.已知 , (1)若 ,求函数在点处的切线方程; (2)若函数在上是增函数,数a 的取值围; (3)令 , 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数取得最小值为3.解:(1)时,,′(x),′(1)=3,,数在点处的切线方程为,(2)函数在上是增函数,′(x),在上恒成立,即,在上恒成立,令,当且仅当时,取等号,,的取值围为(3),′(x),①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去); ②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增,,计算得出,满足条件; ③当,且时,即,在上单调递减,,计算得出(舍去);综上,存在实数,使得当时,有最小值3.解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程.(2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案,(3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案3.已知函数 ,(1)分别求函数与在区间上的极值;(2)求证:对任意 ,解:(1),令,计算得出:,,计算得出:或,故在和上单调递减,在上递增,在上有极小值,无极大值;,,则,故在上递增,在上递减,在上有极大值,,无极小值;(2)由(1)知,当时,,,故;当时,,令,则,故在上递增,在上递减,,;综上,对任意,解析(1)求导,利用导数与函数的单调性与极值关系,即可求得与单调区间与极值;4.已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)当时,求证:对任意的,.解:(1)当时,,则,,故则在R上单调递减.(2)当时,,要证明对任意的,.则只需要证明对任意的,.设,看作以a为变量的一次函数,要使,则,即,恒成立,①恒成立,对于②,令,则,设时,,即.,,在上,,单调递增,在上,,单调递减,则当时,函数取得最大值,故④式成立,综上对任意的,.解析:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.(2)对任意的,转化为证明对任意的,,即可,构造函数,求函数的导数,利用导数进行研究即可.5.已知函数(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)求在区间上的最小值.解:(1)设切线的斜率为k.因为,所以,所以,所以所求的切线方程为,即(2)根据题意得, 令,可得①若,则,当时,,则在上单调递增.所以②若,则, 当时,,则在上单调递减. 所以③若,则,所以,随x的变化情况如下表:所以的单调递减区间为,单调递增区间为所以在上的最小值为综上所述:当时,;当时,;当时,解析(1)设切线的斜率为k.利用导数求出斜率,切点坐标,然后求出切线方程.(2)通过,可得.通过①,②,③,判断函数的单调性求出函数的最值.6.已知函数。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L:y=-2相切.求动圆圆心的轨迹C的方程。
【答案】【解析】动圆圆心到定点的距离与到定直线（切线）的距离相等（等于半径），由抛物线的定义可知动点的轨迹是抛物线，易得方程为.试题解析：依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L:y=-2为准线的抛物线上因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹方程是x2=8y.【考点】抛物线的定义与方程2.已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，若轴上一点满足，求直线的斜率的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据与离心率可求得a，b，c的值，从而就得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程，并与椭圆方程联立消去y可得到关于x的一元二次方程，然后利用中点坐标公式与分类讨论的思想进行解决．试题解析：（1），∴，，∴，∴，椭圆的标准方程为．（2）已知,设直线的方程为，-，联立直线与椭圆的方程，化简得：，∴，，∴的中点坐标为．①当时，的中垂线方程为，∵，∴点在的中垂线上，将点的坐标代入直线方程得：，即，解得或．②当时，的中垂线方程为，满足题意，∴斜率的取值为.【考点】1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．3.已知曲线，求曲线过点的切线方程。
【答案】【解析】因为点不在曲线上，故先设所求切线的切点为，再求的导数则，由点斜式写出所求切线方程，再将切线上的已知点代入切线方程可求出，从而所求出切线方程.试题解析：，点不在曲线上，设所求切线的切点为，则切线的斜率，故所求的切线方程为.将及代入上式得解得：所以切点为或.从而所求切线方程为【考点】1、过曲线外一点求曲线的切线方程；2、导数的几何意义.4.已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点（x,y）,直线方程为，与联立方程组，并且有，，解得双曲线的离心率是，故选D.【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线与抛物线的几何性质的运用，属于基础题。
高考立体几何文科大题及答案
（Ⅱ）求二面角A— —B的大小。
14.（2009宁夏海南卷文）如图，在三棱锥 中，⊿ 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90（Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若 ，且平面 ⊥平面 ，
求三棱锥 体积。
15.（2009福建卷文）如图，平行四边形 中， ， 将
沿 折起到 的位置，使平面 平面
（I）求证：
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣD ＡD，又ＳＤ AD=D， CD 平面SAD。
过点D在平面SAD内做DF AE于F，连接CF，则CF AE，
故 CFD是二面角C-AE-D的平面角，即 CFD=60°
在Rt△ADE中， AD= , DE= ，AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由 cot60°=
得 ，即 =3
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系 ，
设
则 ，
（Ⅰ）∵ ，
∴ ，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面 .
（Ⅱ）当 且E为PB的中点时， ，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即AE与平面PDB所成的角的大小为 .
由 得2AD= ，解得AD= 。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为 与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD= ，故EH=1，又EC= =2，
（Ⅰ）设 ，则
高二文科圆锥曲线专题复习(含答案)
圆锥曲线文科专题复习知识回顾：一、圆锥曲线的两个定义：1、椭圆：第一定义：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，（当常数等于时，轨迹是线段FF；当常数小于时，无轨迹）第二定义：与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）2、双曲线：第一定义：双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F-F|，（定义中的“绝对值”与＜|F-F|不可忽视。
若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线；若﹥|FF|，则轨迹不存在；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
）第二定义：与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）3、抛物线：与定点和直线的距离相等的点的轨迹.二、圆锥曲线的标准方程（1）椭圆：焦点在轴上时（）（为参数），焦点在轴上时＝1（）（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。
（3）抛物线：开口向右时， 开口向左时，开口向上时， 开口向下时。
三：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
【特别提醒】在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
四、圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，（越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
）（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤两条渐近线：⑥离心率：，双曲线，（越小，开口越小，越大，开口越大；）（3）抛物线（以为例）-----的几何意义是：焦点到准线的距离：①范围：；②焦点：一个焦点，③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。
2023年高考数学(全国甲卷文科)真题详细解读及评析
2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）适用省份四川、广西、贵州、西藏整I试卷总评2023年高考数学全国卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥出数学学科在人才选拔中的重要作用。
一、 题型与分值分布题型：（1）单选题12道，每题5分共60分；（2）填空题4道，每题5分共20分；（3）解答题三道，每题12分共60分；（4）选做题2道，每题10分。
二、 题目难度和复杂度三、知识点覆盖详细情况说明难度级别具体试题总分值整体评价★ ☆☆☆☆第1题、第2题、第4题、第13题、第15题25分整体试卷难度偏 易，整体复杂度不高，综合知识点大多都是2个左右★ ★☆☆☆第3题、第5题、第6题、第14题、第17题、第22题、第23题42分★ ★★☆☆第7题、第8题、第9题、第10题、第18题、第19题44分★ ★★★☆第11题、第20题、第21题29分★ ★★★★第12题、第16题10分知识点题型题目数量总分值整体评价集合单选题1个15分复数单选题1个15分平面向量单选题1个15分程序框图单选题1个15分主干知识考查全而，题目数量设置均衡；与课程标准保持了一致性。
数列单选题1个填空题1个210分三角函数单选题1个解答题1个217分概率与统计单选题1个解答题1个217分立体几何单选题1个填空题1个解答题1个322分圆锥曲线单选题2个解答题1个322分函数与导数单选题2个填空题1个解答题1个427分极坐标与参数方程选做题1个110分不等式填空题1个（线性规划问题）选做题1个215分四、高考试卷命题探究2023年高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，通过对阅读题的分析，可以发现今年的高考命题在素材使用方而，对文字数量加以控制，阅读理解雄度也有所降低：在抽象数学问题方而，力图设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题 要求层次与考生认知水平的契合与贴切。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.设函数分别在、处取得极小值、极大值．平面上点、的坐标分别为、，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点．（Ⅰ）求点、的坐标；（Ⅱ）求动点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解决类似的问题时，要先求函数在区间内使的点，再判断导函数在各区间上的正负，由此得出函数的极大值和极小值.（2）第二问关键是理清思路，要求谁的方程，那就在这个曲线上任意选取一个点设为，然后根据条件寻找X与Y间的关系式即可. 试题解析：（Ⅰ）令解得当x＜﹣1时，，当﹣1＜x＜1时，，当x＞1时，所以，函数在处取得极小值，在取得极大值，故所以，点A、B的坐标为．（Ⅱ）设Q（x，y），①又点Q是点P关于直线y=x的对称点代入①得：，即为Q的轨迹方程【考点】（1）函数导数以及极值问题；（2）求点的轨迹方程问题.2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为，而椭圆的右焦点坐标为即，依题意可得，故选D.【考点】1.椭圆的几何性质；2.抛物线的几何性质.3.已知离心率的椭圆一个焦点为.(1)求椭圆的方程；(2) 若斜率为1的直线交椭圆于两点,且，求直线方程.【答案】(1)；【解析】(2) 或.(1)由焦点坐标、离心率及解方程即可；(2)可以联立直线L与椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，然后利用弦长公式建立方程求出斜率截距m即可.试题解析：解：(1)由题知，，∴，3分∴椭圆.4分(2) 设直线方程为，点，由方程组6分化简得:,.8分∴,9分，解得.11分∴直线方程或.12分【考点】1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交；3.弦长公式.4.（1）已知点和，过点的直线与过点的直线相交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，如果，求点的轨迹；（2）用正弦定理证明三角形外角平分线定理：如果在中，的外角平分线与边的延长线相交于点，则.【答案】（1）的轨迹是以为顶点，焦点在轴的椭圆（除长轴端点）；（2）证明详见解析.【解析】（1）本题属直接法求轨迹方程，即根据题意设动点的坐标，求出，列出方程，化简整理即可；（2）设，在中，由正弦定理得，同时在在中，由正弦定理得，然后根据，进而得到，最后将得到的两等式相除即可证明.试题解析：（1）设点坐标为，则 2分整理得 4分所以点的轨迹是以为顶点，焦点在轴的椭圆（除长轴端点） 6分（2）证明：设在中，由正弦定理得① 8分在中，由正弦定理得，而所以② 10分①②两式相比得 12分.【考点】1.轨迹方程的求法；2.正弦定理的应用.5.如图，已知椭圆：的离心率为，点为其下焦点，点为坐标原点，过的直线：（其中）与椭圆相交于两点，且满足：.（1）试用表示；（2）求的最大值；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）离心率的最大值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）设，联立椭圆与直线的方程，消去得到，应用二次方程根与系数的关系得到，，然后计算得，将其代入化简即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），结合，化简求解即可得出的最大值；（3）利用与先求出的取值范围，最后根据（1）中，求出的取值范围即可.试题解析：（1）联立方程消去，化简得 1分设，则有， 3分∵∴ 5分∴即 6分（2）由（1）知∴，∴ 8分∴∴离心率的最大值为 10分(3)∵∴∴ 12分解得∴即∴的取值范围是 14分【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.二次方程根与系数的关系.6.已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。
专题6 立体几何(文科)解答题30题 教师版--高考数学专题训练
专题6立体几何（文科）解答题30题1．（贵州省贵阳市2023届高三上学期8月摸底考试数学（文）试题）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，12AA =，M ，N 分别是11A B ，1A A 的中点．(1)求证：1BN C M ⊥；(2)求三棱锥1B BCN -的体积．2．（广西普通高中2023届高三摸底考试数学（文）试题）如图，多面体ABCDEF中，∠=︒，FA⊥平面ABCD，//ED FA，且22 ABCD是菱形，60ABC===.AB FA ED(1)求证：平面BDE⊥平面FAC；(2)求多面体ABCDEF的体积.））如图所示，取中点G ，连接3．（江西省五市九校协作体2023届高三第一次联考数学（文）试题）如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，EA ⊥平面ABCD ，//EA BF ，22AB AE BF ===.(1)证明：平面EAC ⊥平面EFC ；(2)求点B 到平面CEF 的距离.（2）设B 到平面CEF 的距离为因为EA ⊥平面ABCD ，AC 因为//EA BF ,EA ⊥平面ABCD 且BC ⊂平面ABCD ,所以BF 因为60ABC ∠=︒，2AB =4．（新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学（文）试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，AD BC ∥，且2PA AD CD ===，3BC =，E 是PD 的中点，点F 在PC 上，且2PF FC =．(1)证明：DF ∥平面PAB ；(2)求三棱锥P AEF -的体积．（2）作FG PD ⊥交PD 于点G 因为PA ⊥面ABCD ，所以PA 又AD CD ⊥，PA 与AD 交于点所以CD ⊥面PAD ，CD PD ⊥又FG PD ⊥，所以//FG CD ，所以所以PF FG PC CD =，得43FG =，因为E 为PD 中点，所以P AEF D AEF F ADE V V V ---===5．（新疆阿克苏地区柯坪湖州国庆中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题）如图所示，已知AB ⊥平面BCD ，M ，N 分别是AC ，AD 的中点，BC CD ⊥．(1)求证：//MN 平面BCD ；(2)求证：CD BM ⊥；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】1）根据中位线定理，可得//MN CD ，即可由线面平行的判定定理证明//MN 平面BCD ；（2）由已知推导出AB CD ⊥，再由CD BC ⊥，得CD ⊥平面ABC ，由此能证明CD BM ⊥；【详解】（1）M ，N 分别是AC ，AD 的中点，//MN CD ∴，MN ⊂/ 平面BCD ，且CD ⊂平面BCD ，//MN ∴平面BCD ；（2）AB ⊥Q 平面BCD ，M ，N 分别是AC ，AD 的中点，AB CD ∴⊥，BC CD ⊥ ，,AB BC B AB BC =⊂ ，平面ABC ，CD \^平面ABC ，BM ⊂ 平面ABC ，CD BM ∴⊥.6．（内蒙古乌兰浩特第一中学2022届高三全真模拟文科数学试题）如图在梯形中，//BC AD ，22AB AD BC ===，23ABC π∠=，E 为AD 中点，以BE 为折痕将ABE 折起，使点A 到达点P 的位置，连接,PD PC ，(1)证明：平面PED ⊥平面BCDE ；(2)当2PC =时，求点D 到平面PEB 的距离.因为PE PD =，F 为ED 因为平面PED ⊥平面BCDE 因为21122PF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设D 到平面PEB 的距离为7．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A 卷））如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面11ADD A 为矩形，22AB AD ==，160D DB ∠=︒，1BD AA =(1)证明：平面ABCD ⊥平面11BDD B ；(2)求三棱锥11D BCB -的体积.8．（黑龙江省八校2021-2022学年高三上学期期末联合考试数学（文）试题）已知直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点D 是AB 的中点．(1)求证：1BC ∥平面1C AD ；(2)若底面ABC 边长为2的正三角形，1BB =11B A DC -的体积．【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）连接1AC 交1AC 于点E ，连接DE ，由三角形中位线定理，得1DE BC ∥，进而由线面平行的判定定理即可证得结论；（2）利用等体积转化1111B A DC C A B D V V --=，依题意，高为CD ，再求底面11A B D 的面积，进而求三棱锥的体积.【详解】（1）连接1AC 交1AC 于点E ，连接DE∵四边形11AAC C 是矩形，∴E 为1AC 的中点，又∵D 是AB 的中点，∴1DE BC ∥，又∵DE ⊂平面1C AD ，1BC ⊄平面1C AD ，∴1BC ∥面1C AD ．（2）∵AC BC =，D 是AB 的中点，∴AB CD ⊥，9．（青海省西宁市2022届高三二模数学（文）试题）如图，V是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面圆的一条直径，且点C是弧AB的中点，点D是AC的中点，2AB=，VA=．2(1)求圆锥的表面积；又D 是AC 的中点，所以OD AC ⊥，又VO OD O ⋂=，VO ⊂平面VOD ，OD ⊂平面VOD所以AC ⊥平面VOD ，又AC ⊂平面VAC ，所以平面VAC ⊥平面VOD ．10．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：平面PBC ⊥平面PCD ；(2)求四棱锥E ABCD -的体积；又点E 为棱PC 的中点，BE 由勾股定理得2AC AD =+∵△PAC 为直角三角形，E 111．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（文）试题）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点.(1)证明：平面1AC D ⊥平面1ACE .(2)求点1C 到平面1ACE 的距离.（2）连接1EC .因为1AA 由正三棱柱的性质可知因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以故三棱锥11A CC E -的体积以15A E CE ==，1A E 则1ACE △的面积212S =12．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，点P 在底面ABC 上的射影为棱BC 的中点O ，且PB 与底面ABC 所成角为π3，点M 为线段PO 上一动点.(1)证明：BC AM ⊥；(2)若12PM MO =，求点M 到平面PAB 的距离.AO BC ∴⊥，点P 在底面ABC 上的投影为点PO ∴⊥平面ABC ， PO BC ∴⊥，13．（广西南宁市第二中学2023届高三上学期第一次综合质检数学（文）试题）如图，D ，O 是圆柱底面的圆心，ABC 是底面圆的内接正三角形，AE 为圆柱的一条母线，P 为DO 的中点，Q 为AE 的中点，(1)若90APC ∠=︒，证明：DQ ⊥平面PBC ；(2)设2DO =，圆柱的侧面积为8π，求点B 到平面PAC 的距离.∴//,AQ PD AQ PD =，∴四边形AQDP 为平行四边形，∴//DQ PA .又∵P 在DO 上，而OD ∴O 为P 在ABC 内的投影，且ABC 是圆内接正三角形∴三棱锥-P ABC 为正三棱锥∴PAB PAC PBC △≌△≌△∴APB APC BPC ∠=∠=∠即,PA PC PA PB ⊥⊥.∵PC PB P = ，,PB PC14．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB CD ，12AD CD BC PA PC AB =====，BC PA ⊥．(1)证明：平面PBC ⊥平面PAC ；(2)若PB =D 到平面PBC 的距离．又BC PA ⊥，PA AC A = 所以BC ⊥平面PAC ，又BC （2）因为BC ⊥平面PAC ，由22PB =，BC PC =，得15．（江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试（2月联考）数学（文）试题）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，1AA =E 在棱1DD 上，且1AE A D ⊥．(1)证明：1AE A C ⊥；(2)求三棱锥1E ACD -的体积．【答案】(1)证明见解析;）在平面11ADD A 中，由AE ⊥1AD DE AA AD =，所以12112A DE S DE AD =⋅= 16．（新疆兵团地州学校2023届高三一轮期中调研考试数学（文）试题）如图1，在等腰梯形ABCD 中，M ，N ，F 分别是AD ，AE ，BE 的中点，4AE BE BC CD ====，将ADE V 沿着DE 折起，使得点A 与点P 重合，平面PDE ⊥平面BCDE ，如图2．(1)证明：PC∥平面MNF．(2)求点C到平面MNF的距离．17．（宁夏银川市第一中学2023届高三上学期第四次月考数学（文）试题）如图1，在直角梯形ABCD 中，,90,5,2,3AB DC BAD AB AD DC ∠==== ∥，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE V 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图2）.(1)求点B 到平面ADE 的距离；(2)在线段BD 上是否存在点P ，使得CP 平面ADE ？若存在，求三棱锥-P ABC 的体积；若不存在，请说明理由..18．（陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥ 平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.19．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60PAB PAD BAD ∠=∠=∠= ．(1)证明：BD ⊥平面PAC ；(2)若23AB PA ==，，求四棱锥P ABCD -的体积．解：如图，记AC 与BD 的交点为因为底面ABCD 为菱形，故又60PAB PAD BAD ∠=∠=∠=又PO AC O = ,故BD ⊥平面(2)解：因为2,3,AB PA ==∠20．（内蒙古2023届高三仿真模拟考试文科数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，22PB CD AB AD ===，PD =，PC DE ⊥，E 是棱PB 的中点.(1)证明：PD ⊥平面ABCD ；(2)若F 是棱AB 的中点，2AB =，求点C 到平面DEF 的距离.，AB AD=AB AD⊥，2BD∴=为棱PB中点，DE PBE∴⊥，又∴⊥平面PBC，又BC⊂平面DE在直角梯形ABCD中，取CD中点 ，DM AB=2CD AB∴=，又DM ∴四边形ABMD为正方形，BM∴∴===，又BC BM AD AB222BD DE⊂平面PBD ，,=BD DE D21．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）如图，在三棱锥-P ABC中，PAB 为等腰直角三角形，112PA PB AC ===，PC ，平面PAB ⊥平面ABC .(1)求证：PA BC ⊥；(2)求三棱锥-P ABC 的体积.∴OP AB ⊥，22OP =，AB =又∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面∴OP ⊥平面ABC .22．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知三角形PAD 是边长为2的正三角形，现将菱形ABCD 沿AD 折叠，所成二面角P AD B --的大小为120°，此时恰有PC AD ⊥.(1)求BD 的长；(2)求三棱锥-P ABC 的体积.∵PAD 是正三角形，∴PM AD ⊥，又∴,PC AD PC PM P⊥=I ∴AD ⊥平面PMC ，∴AD MC ⊥，故ACD 为等腰三角形23．（陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考文科数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是长方形，22AD CD PD ===，PA 二面角P AD C--为120︒，点E 为线段PC 的中点，点F 在线段AB 上，且12AF =.(1)平面PCD ⊥平面ABCD ；(2)求棱锥C DEF -的高.824．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面,,60,ABCD AB CD DAB PA PD ∠=⊥ ∥，且2,22PA PD AB CD ====.(1)证明：AD PB ⊥；(2)求点A 到平面PBC 的距离.（2）因为AB CD ，所以∠2222BC BD CD BD CD =+-⋅由222BD BC CD =+，得BC 25．（陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三下学期教学质量检测（五）文科数学试题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ABB A ⊥平面ABC ，四边形11ABB A 是边长为2的菱形，ABC 为等边三角形，160A AB ∠=︒，E 为BC 的中点，D 为1CC 的中点，P为线段AC上的动点．AB平面PDE，请确定点P在线段AC上的位置；(1)若1//-的体积．(2)若点P为AC的中点，求三棱锥C PDE（2）解：如图，取AB 的中点∵四边形11ABB A 为边长为2∴12A B =，1AA B 为等边三角形，26．（山西省运城市2022届高三上学期期末数学（文）试题）如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD 是平行四边形，2APB π∠=，3ABC π∠=，PB =，24PA AD PC ===，点M 是AB 的中点，点N 是线段BC 上的动点．(1)证明：CM⊥平面PAB；(2)若点N到平面PCM BNBC的值．27．（2020届河南省许昌济源平顶山高三第二次质量检测文科数学试题）如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，33AB CD ==，2PA PD BC ===，90ABC ∠=︒，且PB PC =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求点D 到平面PBC 的距离.因为//AB CD ，33AB CD ==，所以四边形ABCD 为梯形，又M 、E 为AD 、BC 的中点，所以ME 为梯形的中位线，28．（青海省海东市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，14AB AA ==,D 是棱AB 的中点.(1)证明：平面1ACD ⊥平面11ABB A .(2)求点1B 到平面1A CD 的距离.由题意可得11A B D △的面积因为ABC 是边长为4的等边三角形，且29．（河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试（四）文科数学试题）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC BC ⊥，PA PB =，APC BPC ∠=∠．(1)证明：PC AD ⊥；(2)若AB CD，PD AD ⊥，PC =，且点C 到平面PAB AD 的长．∵PA PB =，APC BPC ∠=∠∴90PCA PCB ∠=∠=︒，即∵PC BC ⊥，AC BC = ∴PC ⊥平面ABCD ，又∵PA PB =，E 为AB 中点∴PE AB ⊥，由（1）知AC BC =，E 为∵PE CE E = ，,PE CE 30．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考文科数学试题）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，5AB AC ==，16BB BC ==，D ，E 分别是1AA 和1B C 的中点.(1)求证：平面BED ⊥平面11BCC B ；(2)求三棱锥E BCD -的体积.。
圆锥曲线文科高考习题含答案
已知椭圆=1（a>b>0），点P （a 55,）在椭圆上。
（I ）求椭圆的离心率.(II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO ｜求直线OQ 的斜率的值.22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）如图,21,F F 分别是椭圆C :22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率;（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上。
（1）求椭圆1C 的方程；（2)设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C :24y x =相切，求直线l 的方程。
24.【2102高考北京文19】（本小题共14分）已知椭圆C ：22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为2， 直线y=k(x —1)与椭圆C 交与不同的两点M ，N（Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）当△AMN 的面积为3时，求k 的值如图,椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>的离心率为32，直线x a=±和y b=±所围成的矩形ABCD的面积为8。
（Ⅰ)求椭圆M的标准方程;（Ⅱ）设直线:()l y x m m=+∈R与椭圆M有两个不同的交点,,P Q l与矩形ABCD有两个不同的交点,S T.求||||PQST的最大值及取得最大值时m的值.26。
【2102高考福建文21】（本小题满分12分）如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py（p＞0）上。
（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.29。
高三数学圆锥曲线试题答案及解析
高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。
立体几何-圆锥曲线-导数文科答案
1、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求棱1A A 的长；（2）若11A C 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值. 【答案】（1）3；（2）1111． 试题分析：（1）设1A A h =，由题意得1111111111ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-，可求出棱长；（2）因为在长方体中11//A D BC ，所以1O BC ∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角(或其补角),再借助解三角形的求解得到结论．试题解析：(1)设1A A h =，由题设111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 得1111103ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=，即1122221032h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得3h =， 故1A A 的长为3. (2)在长方体中11A D BC ，1O BC ∴∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角(或其补角),在1O BC ∆中，计算可得1111O B OC =1O BC ∠11考点：异面直线所成的角的求解；棱柱的结构特征． 【解析】2、如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，1,2PM BC ==，又1,AC =120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，AM=2.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥P MAC -的体积． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）123=V . 试题分析：(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理，可知证明面面垂直，先证明线面垂直，根据所给条件，易证明⎩⎨⎧⊥⊥ABPC BCPC ,即转化为证明⊥PC 平面ABC ；（Ⅱ）根据等体积转化PMC A MAC P V V --=,重点求PMC ∆的面积，在平面PCBM 内，过M 做MN BC ⊥交BC 于N ，连结AN ，这样在ACN ∆和AMN ∆中根据余弦定理和勾股定理，分别求AN 和MN ,这样就求出PMC ∆的面积，而点A 到平面PCM 的距离就是点A 到直线BC 的距离，做A 做AH BC ⊥交BC 于H ，根据求面积的过程，易求AH . 试题解析：（Ⅰ）证明：由90PCB ∠=︒得PC CB ⊥ 又因为AB PC ⊥，AB BC B ⋂=，,AB BC ⊆平面ABC所以PC ABC ⊥平面． 又PC PAC ⊂平面，所以平面PAC ⊥平面ABC ．(Ⅱ)解：在平面PCBM 内，过M 做MN BC ⊥交BC 于N ，连结AN ，则CN=PM=1， 又//PM BC ，得四边形PMNC 为平行四边形，所以//PC MN 且PC MN = 由（Ⅰ）得PC ABC ⊥平面，所以MN⊥平面ABC,在ACN ∆中，2222cos1203AN AC CN AC CN =+-⋅︒=，即又AM=2.∴在Rt AMN ∆中，有1PC MN ==．在平面ABC 内，过A 做AH BC ⊥交BC 于H ，则AH PMC ⊥平面 因为1,AC CN ==120ACB ∠=︒，所以30ANC ∠=︒．∴在Rt AHN ∆中，有ABCMP∴113332212P MAC A PMC V V --==⨯⨯=考点：1.等体积转化；2.面面垂直的判定定理. 【解析】3、如图所示,PA ⊥平面ABC ,点C 在以AB 为直径的O 上，030CBA ∠=，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 上，且//OM AC .（Ⅰ）求证:平面//MOE 平面PAC ； （Ⅱ）求证:平面PAC ⊥平面PCB ．【答案】试题分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理可得OE PA ，即可得出OE 平面PAC ，再利用OMAC ，可得OM 平面PAC ，再利用面面平行的判定定理即可得出平面MOE 平面PAC ；（Ⅱ）点C 在以AB 为直径的O 上，可得BC AC ⊥，利用PA ⊥平面ABC ，可得PA BC ⊥，可得BC ⊥平面PAC ，即可得出平面PAC ⊥平面PCB .试题解析：证明:（Ⅰ）因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE PA .因为PA ⊂平面PAC ，OE ⊄平面PAC ，所以OE 平面PAC .因为OM AC ，又AC ⊂平面PAC ,OM ⊄平面PAC ，所以OM 平面PAC . 因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，0OE OM =，所以平面MOE 平面PAC .ACMPNH(2)因为点C 在以AB 为直径的O 上，所以90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面，PA AC A =，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC考点：1、面面平行的判定定理；2、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理. 【解析】4、在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ,90BAD ︒∠=,12PA AB BC AD ====,,E 为PD 的中点.（Ⅰ）求证：PAB CE 面//；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDC ；（Ⅲ）求直线EC 与平面PAC 所成角的余弦值. 【答案】6试题分析：（Ⅰ）根据中位线定理求证出四边形MEBC 为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）先证明线面垂直，再到面面垂直；（Ⅲ）找到∠ECF 为直线EC 与平面PAC 所成的角，再解三角形即可试题解析：（Ⅰ）解：取PA 的中点M ，连接BM ，ME AD //且AD 21ME = BC AD //且AD 21BC =∴ME //BC 且ME=BC∴四边形MEBC 为平行四边形，∴BME //CE ，CE ⊄面PAB ，BM ⊄面PAB ， ∴CE //面PAB（Ⅱ）证明：∵PA ⊥平面,ABCD ， ∴PA ⊥DC ，又22222AC CD AD +=+= ∴DC AC ⊥， ∵AC PA A = ∴DC ⊥平面PAC又DC ？平面PDC所以平面PAC ⊥平面PDC（Ⅲ）解：取PC 中点F ，则EF ∥DC ， 由（Ⅱ）知DC ⊥平面PAC 则EF ⊥平面PAC所以ECF ∠为直线EC 与平面PAC 所成的角CF ＝12PC EF ＝12CD =∴tan EF ECF FC ∠==即直线EC 与平面PAC 考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【解析】5、已知椭圆：()222210y x a b a b+=>>，离心率为2，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且2F MN ∆的周长为4. （1）求椭圆方程；（2）与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点()()0,0P m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,A B 且AP PB λ=,若4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.【答案】（1）2221y x +=；（2）111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．试题分析：（1）先由离心率为2，2F MN ∆的周长为4，列出方程即可求解,,a b c 的值，从而得到椭圆的方程；（2）先设l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，然后联立直线与椭圆方程，得到关于x 的一元二次方程，进而得到两根与系数的关系，再根据AP PB λ=和4OA OB OP λ+=，可得λ的值，利用韦达定理即可求解实数m 的取值范围．试题解析：(1)设()2222:10y x C a b a b +=>>，设2220,c c a b >=-，由条件知44,2c a a ==，1,2a b c ∴===，故C 的方程为：2221y x +=.(2)设:l y kx m =+与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，将y kx m =+代入2221y x +=，得()()222222210,4220k x kmx m k m +++-=∴∆=-+>①.212122221,22km m x x x x k k --+==++,4,3AP PB OA OB OP AP PB λλ=+=∴=，21221222,3x x x x x x ∴+=-=-，消去2x 得()22212122221340,34022km m x x x x k k ⎛⎫--⎛⎫++=∴+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 即22224220k m m k +--=,当214m =时，22224220k m m k +--<， 2222122,441m m k m -∴≠=-由①得2222k m >-，解得111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线综合应用，着重考查了转化与化归的思想及推理、运算能力，其中直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重点题型，属于中档试题，本题的解答中直线与椭圆方程，得到关于x 的一元二次方程，根据AP PB λ=和4OA OB OP λ+=的运算，再利用韦达定理即可求解实数m 的取值范围． 【解析】6、已知椭圆E 的两焦点分别为()()1,0,1,0-，经过点⎛⎝⎭． （1）求椭圆E 的方程；（2）过()2,0P -的直线l 交E 与A ，B 两点，且3PB PA =，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）2211039x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.试题分析：（1）由题意得1c =，进而可得22a =b ，即可得到椭圆的方程；（2）设:2l x my =-，代入椭圆2212x y +=，并整理可得()222420my my +-+=，由韦达定理可得24m =，不妨设2m =可得圆心和半径，即可得到圆的方程.试题解析：（1）由题意知1,2c a ==1a b ∴===椭圆E 的方程为2212x y += （2）设:2l x my =-，带入椭圆方程得()222420m y my +-+=由2281602m m ∆=->>得设()()1122,,,,A x y B x y12122242,22m y y y m m +==++则y ①② 由213,3PB PA y y ==得③ 由①②③解得224,2m m =>符合不妨取2,m =则线段AB 的垂直平分线的方程为223y x =-- 则所求圆的圆心为()1,0,0,13B ⎛⎫- ⎪⎝⎭又所以圆的半径r =所以圆的方程为2211039x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用及椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，涉及到了椭圆与圆的一些基础知识的综合应用，属于中档试题，同时着重考查了学生的运算推理能力，本题的解答中设出直线2x my =-，代入椭圆的方程，整理得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系，得24m =，可求得圆心和半径，即可得到圆的方程. 【解析】7、已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=AF AF .（Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设C F AF B F AF 222111,λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1）22=e ；（2）存在，定值为6． 试题分析：（1）当AC 垂直于x 轴时，2AF 为半通径的长2b a ，所以213b AF a=，根据椭圆的定义，化简出离心率，求出离心率；（2）先设出相关点的坐标),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，用点斜式求出直线,AB AC 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，结合F AF B F AF 222111λλ==求出12,λλ． 试题解析：解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b AF 22||=，13||||21：：=AF AF ，∴ab AF 213||=∴a ab 242=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e .（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为22222b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -. ①当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=， 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=，F AF 222λ=，bx b y y 020223-=-=λ. 同理bx b 0123+=λ，∴621=+λλ②当AC 垂直于x 轴时，则bbb 23,112+==λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ. 综上可知21λλ+是定值6.考点：1、椭圆的概念及离心率；2、向量；3、根与系数关系．【思路点晴】在第一问中，用到了一个常用的小结论：过焦点垂直于长轴的弦长为通径，长度为222b a，这个结论对于双曲线也成立，记住一些小结论，对于解题是很有帮助的.在第二问中，12,λλ转化为纵坐标的比值，用根与系数求出这个比值，然后相加就可以，在做这类型的题目时，要努力提高自己的运算能力，平时多练习. 【解析】8、设抛物线21:4C y x =的准线与x 轴交于点1F ，焦点2F ；椭圆2C 以1F 和2F 为焦点，离心率12e =.设P 是1C 与2C 的一个交点.（1）椭圆2C 的方程；（2）直线l 过2C 的右焦点2F ，交1C 于12,A A 两点，且12A A 等于12PF F ∆的周长，求l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）)21y x =-或)21y x =--. 试题分析：（1）由条件()()121,0,1,0F F -是椭圆2C 的两焦点，离心率为12，由此能求出2C 的方程和其右准线方程；（2）12PF F ∆的周长为12126PF PF F F ++=，设l 的方程为(1)y k x =-与1C 的方程联立，由此利用弦长公式，即可求解直线的方程. 试题解析：（1）由题得，()()121,0,1,0F F -是椭圆2C 的两焦点，故半焦距为1，再由离心率为12知，长半轴长为2，从而2C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）知，12PF F ∆的周长为12126PF PF F F ++=，又21:4C y x =，而且()21,0F若l 垂直于x 轴，易得124A A =，与已知矛盾，故l 不垂直于x 轴.与1C 方程联立可得，()2222240k x k x k -++=从而()21212241k A A x x k +=-==令126A A =，解得22k =，即k =故l 的方程为)1yx =-或)1y x =-.考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线综合应用，解题是要认真审题，注意椭圆的弦长公式的合理运用，着重考查了推理与运算能力和分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用12PF F ∆的周长为6，得出弦长，可设l 的方程为(1)y k x =-与1C 的方程联立，由此利用弦长公式，即可求解直线的方程. 【解析】9、已知函数()()22x f x e ax b x x =+++，曲线()y f x =经过点()0,1P ,且在点P 处的切线为:41l y x =+. （1）求a 、b 的值；（2）若存在实数k ，使得[]2,1x ∈--时，()()221f x x k x k ≥+++恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1,1a b ==；（2）321,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．试题分析：（1）求出函数的导数，利用切线的斜率，以及函数值得到()()0401f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即可求解a 、b 的值；（2）把当[]2,1x ∈--时，()()221f x x k x k ≥+++恒成立，转化为()121x e x k x +≥+恒成立，构造新函数()()121x e x g x x +=+，利用导数求解函数()g x 的最大值，即可求解实数k 的取值范围．试题解析：(1)()()22x f x e ax a b x '=++++，依题意，()()0401f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩,即241a b b ++=⎧⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.(2)由()()221x x k x k ≥+++，得()()121x e x k x +≥+,[]2,1x ∈--时，210x +<()()221f x x k x k ∴≥+++即()()121x e x k x +≥+恒成立，当且仅当()121x e x k x +≥+.设()()1,21x e x g x x +=+[]()()()22232,1,21x e x x x g x x +'∈--=+. 由()0g x '=得0x =（舍去），32x =， 当()32,,02x g x ⎛⎫'∈-> ⎪⎝⎭；当()3,1,02x g x ⎛⎫'∈--< ⎪⎝⎭，()()121x e x g x x +∴=+在区间[]2,1--上的最大值为123124g e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.∴常数k 的取值范围为321,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程；导数在函数的最值、不等式的恒成立中的应用．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程、导数在函数的最值、不等式的恒成立中的应用，着重考查了转化与化归的思想的应用，其中构造新函数是解得大关键，试题难度较大，属于难题，本题的解答中，把不等式恒成立，转化为()121x e x k x +≥+恒成立，通过构造新函数()g x ，求解函数()g x 的最大值，即可求解． 【解析】10、已知函数：()ln 3(0)f x x ax a =--≠． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数23()[2()]2x g x x m f x '=+-在区间()3,a 上有最值，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a，减区间为1(,)a+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间；（Ⅱ）219-<<-m 332．试题分析：（Ⅰ）求出函数的定义域及导函数，然后根据导数等于零的根与区间端点的大小关系进行分类讨论即可；（Ⅱ）)(x g 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，即)('x g 在区间（a ，3）的函数值既有正值也有负知，结合导函数（二次函数）的图像知()0(0)1(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩从而将问题转化为该不等式组在[1,2]a ∈恒成立，从而求出参数范围． 试题解析：（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()f x a x'=-， 当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，减区间为1(,)a+∞； 当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间； （Ⅱ）2332()[2()](),22x mg x x m f x x a x x '=+-=++-2()3(2)1,g x x m a x '∴=++-()g x 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，又()0(0)1(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩由题意知：对任意22[1,2],()3(2)1510a g a a m a a a ma '∈=++⋅-=+-<恒成立，21515,a m a a a-∴<=-因为[1,2]a ∈192m ∴<-对任意[]2,1∈a ，()063263/>++=a m g 恒成立∴a a m 23263266--=--> ∵[]2,1∈a ∴332->m 321932m ∴-<<-考点:求含参数的函数的单调性；由有最值求参数范围．【方法点睛】求含参数的函数的单调区间的解法突破：第1步，求函数的定义域；第2步，求导函数；第3步，以导函数的零点存在性进行讨论；第4步，当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及与区间端点的位置关系；第5步，画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号；第6步，方法一：根据第5步的草图列出)('x f 、)(x f 、随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间；方法二、根据第5步的草图解不等式)('x f 0>或)('x f 0<，进而得函数的单调区间；第7步，综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间． 【解析】11、设函数()()()2ln 1,0f x ax x b x x =+->，曲线()y f x =过点()2,1e e e -+，且在点()1,0处的切线方程为0y =． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）证明：当1x ≥时，()()21f x x ≥-；（Ⅲ）若当1x ≥时()()21f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)1,1-==b a ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）23≤m . 试题分析：(Ⅰ)根据条件()12+-=e e e f ，()01='f 解方程组求b a ,；（Ⅱ）先设函数()()()21--=x x f x g ，再求函数的导数()x g '和()x g ''来分析函数()x g 最小值；（Ⅲ）设()()11ln 22+---=x m x x x x h ，求出()x h '，利用（Ⅱ）中知()()111ln 22-=-+-≥x x x x x x ，推出()()()1213---≥'x m x x h ，分①23≤m 和②23>m 时，求解m 的取值范围. 试题解析：解：（Ⅰ）()()2ln ,0f x ax x ax b x '=++>，(1)0f a b '=+=，22()(1)(1)f e ae b e a e e =+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ．（Ⅱ）2()ln 1f x x x x =-+，设22()ln g x x x x x =+-，(1)x ≥，()2ln 1g x x x x '=-+ 由()()2ln 10g x x ''=+>，∴)(x g '在[)1,+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ''≥=，∴)(x g 在[)1,+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=． ∴2()(1)f x x ≥-．（Ⅲ）设22()ln (1)1h x x x x m x =---+,(1)x ≥，()2ln 2(1)1h x x x x m x '=+---， 由（Ⅱ）中知22ln (1)1(1)x x x x x x ≥-+-=-，∴ln 1x x x ≥-，∴()3(1)2(1)h x x m x '≥---()()321m x =--，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[1,)+∞单调递增，()(1)0h x h ∴≥=，立．②当320m -<即23>m 时，()()()2ln 121h x x x m x '=+-- (())2ln 32h x x m ''=+-，令()()0h x ''=，得当[)01,x x ∈时，()h x '单调递减，则()(1)0h x h ''<=，)(x h ∴在[)01,x 上单调递减()(1)0h x h ∴<=，不成立．综上，23≤m ． 考点：1.导数的最值的应用；2.恒成立问题. 【解析】12、已知函数()()1ln ,1a x f x x a R x -=-∈+. （1）若2a =，求证：()f x 在()0,+∞上为增函数；（2）若不等式()0f x ≥的解集为[)1,+∞，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2a ≤.试题分析：（1）求解函数的导数，当2a =，判定()0f x '>，即可得到()f x 在()0,+∞上为增函数；（2）由（1）中，当2a =时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()10f =，分1a ≤、12a <≤、2a >三种情况分类讨论，特别当2a >时，可得()f x 在(][)120,,,x x +∞上增函数，在()12,x x 上减函数；()121,x x ∈，()10f =，显然不适合题意，即可得到实数a 的取值范围.试题解析：易知：()()()()2'222111211x a x a f x x x x x +-+=-=++ （1）()()()()22'221212011x x x a f x x x x x --+=⇒==≥++，当且仅当1x =时，取等号，则()f x 在()0,+∞上为增函数； （2）()()()2'2211,01x a x fx x x x +-+=>+，注意到()10f =①当1a ≤时，则()()()2'221101x a x f x x x +-+=>+，则()f x 在()0,+∞上为增函数；显然适合题意；②当12a <≤时，则()2420a a ∆=-≤，则()()()2'221101x a x fx x x +-+=≥+，当且仅当2,1a x ==时，取等号，则()f x 在()0,+∞上为增函数；显然适合题意； ③当2a >，则()2420a a ∆=->，()()()2'221101x a x fx x x +-+==+有两个实根1211x a x a =-=-，且()1201,11x a x a <<-<->，则()f x 在(][)120,,,x x +∞上增函数，在()12,x x 上减函数；()121,x x ∈，()10f =，显然不适合题意， 综上：2a ≤.考点：导数研究函数的单调性；导数在函数的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及导数在函数中的综合应用，试题运算量较大，有一定的难度，着重考查了函数与方程的思想及分类讨论思想的应用，本题的第二问的解答中，由函数()f x '且()10f =，可分三种情况分类讨论，特别当2a >时，可得()f x 在(][)120,,,x x +∞上增函数，在()12,x x 上减函数；()121,x x ∈，()10f =，显然不适合题意，综合三种情况，即可得到实数a 的取值范围. 【解析】13、已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程2()2f x m x x +=-在实数m 的取值范围； ，设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值，且12()()g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）1a =（Ⅱ）152ln 28-试题分析：（1a 的值；（2）将()22f x m x x +=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根，进行转化，利用参数分离法，构造函数的导数，利用导数求出函数的极值即可，求实数m 的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值之间的关系即可证明不等式试题解析：（1∵函数在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行∴1122k a=-=-，解得：1a=；（2）由（1）得()lnf x x x=-，∴2()2f x m x x+=-，即23ln0x x x m-++=设2()3ln(0)h x x x x m x=-++>，则21231(21)(1)'()23x x x xh x xx x x-+--=-+==令'()0h x=，得1,2121==xx，列表得：∴当1=x时，()h x的极小值为(1)2h m=-，又15()ln2,(2)2ln224h m h m=--=-+∵方程2()2f x m x x+=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，∴1()0,2(1)0,(2)0,hhh⎧≥⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎩即5ln20,420,2ln20,mmm⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩解得：5ln224m+≤<；（3）解法（一）∵21()ln(1)2g x x x b x=+-+，∴21(1)1'()(1)x b xg x x bx x-++=+-+=∴12121,1x x b x x+=+=，∴22112121221()()ln()(1)()2xg x g x x x b x xx-=+--+-111212112122212221()()111ln(1)()ln ln() 222 x x x x x x x x xb x xx x x x x x x+-=-+-=-=--120x x<<设12xtx=，则01t<<，令11()ln()2G t t tt=--，01t<<则222111(1)'()(1)022tG tt t t-=-+=-<，∴()G t在(0,1)上单调递减；解法（二）∴12121,1x x b x x+=+=，∴考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【解析】14、已知函数)()(Raeaxxf x∈-=，xxxgln)(=.（1）求函数)(xf的单调区间；（2）),0(+∞∈∃x，使不等式x exgxf-≤)()(成立，求a的取值范围.【答案】试题分析：（1）)(xf的单调递增区间为)0,(-∞，)(xf的单调递减区间为),0(+∞；（2）≤ae21.(1)求)('x f 令0)(,0)(''><x f x f 解不等式，求函数的递增、递减区间；（2）由题中条件可得2ln x x a ≤，将问题转化成max 2)ln (xxa ≤，利用导数与极值的关系，求2ln )(x xx h =的极大值，也就是最大值. 试题解析：（1）∵R x e a x f x ∈-=,)('， 由0)('>x f 得)(x f 的单调递增区间为)0,(-∞； 由0)('<x f 得)(x f 的单调递减区间为),0(+∞.（2）∵),0(0+∞∈∃x ，使不等式x e x g x f -≤)()(成立，则x x ax ln ≤，即2ln xxa ≤. 设2ln )(x x x h =，则问题转化为max 2)ln (x xa ≤ 由3ln 21)('xxx h -=，令0)('=x h ，则e x =. 当x 在区间),0(+∞内变化时，)('x h 、)(x h 变化情况如下表：由上表可知，当e x =时，函数)(x h 有极大值，即最大值e21. ∴≤a e21. 考点：导数与单调性、导数与极值.【易错点晴】本题主要考查了导数与单调性、导数与极值的关系.用导数的方法来判断函数的单调性是重要的方法，尤其是在复杂函数中经常用到.函数的最值也可用导数的方法判断函数的单调性来确定极值，进而确定最值.导数的考查在高考中既是重点也是难点，要重视导数的应用.本题有一定的难度，属于中等题. 【解析】15、已知双曲线C ：)00(12222>>=-，b a by a x .（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4.若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率；（2）在区间[]61，内取两个数依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率.【答案】（1）34（2）2125试题分析：（1）由双曲线C的离心率小于5，得到0＜b＜2a，由此列举法能求出双曲线C的离心率小于5的概率；（2）由a∈[1，6]，b∈[1，6]，以a为横轴，以b为纵轴建立直角坐标系，由几何概型能求出双曲线C的离心率小于5的概率试题解析：双曲线的离心率22221abacace+===．因为5e<abab2422<<∴<∴(1)因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件),(ba共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．设“双曲线C的离心率小于5”为事件A，则事件A所包含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个．故双曲线C的离心率小于5的概率为431612)(==AP．(2)∵[][]6,1,6,1∈∈ba∴⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤≤≤abba26161所以以a为横轴，以b为纵轴建立直角坐标系，如图所示，21422155=⨯⨯-⨯=阴影S，由几何概型可知，双曲线C的离心率小于5的概率为2521=P．考点：古典概型概率与几何概型概率【解析】16、已知函数(),()2xnf x eg x x m==+，其中e为自然对数的底数，,m n R∈.（1）若2n =时方程()()f x g x =在[]1,1-上恰有两个相异实根，求m 的取值范围；（2）若()()()T x f x g x =⋅，且12nm =-，求()T x 在[]0,1上的最大值；（3）若152m =-，求使()()f x g x >对x R ∀∈都成立的最大正整数n . 【答案】(1)111m e<≤+；(2)[]2max ()2nn e T x e-⎧-⎪=⎨⎪⎩，22n n <-≥-；(3)最大正整数14n =. 试题分析：(1)令()()()x F x f x g x e x m =-=--，求导得()1xF x e '=-，研究函数单调性，可以得到()()f x g x =在[]1,1-上恰有两个相异实根⇔1(1)10(0)10(1)10F m e F m F e m ⎧-=+-≥⎪⎪=-<⎨⎪=--≥⎪⎩，解之即可；(2)12n m =-，()(1)()22x n n T x e x n R =+-∈，'()(1)2x nT x e x =+,分0n ≥、20n -≤<、2n <-三种情况讨论导数的符号，从而确定函数在区间[0,1]上的单调性，求出最大值即可；(3构造函数15()()()22x n p x f x g x e x =-=-+，则()()f x g x >对x R ∀∈都成立()0p x ⇔>对x R ∀∈都成立min ()0p x ⇔>，求函数()p x 的导数，由导数得到函数()p x 的单调性，求出()p x 的最小值，由min ()(ln )02np x p =>解之即可.试题解析：（1）()()()xF x f x g x e x m =-=--，()1x F x e '=-，故()F x 在[]1,0-上单调递减；在[]0,1上单调递增；故()()f x g x =在[]1,1-上恰有两个相异实根.1(1)10(0)10(1)10F m e F m F e m ⎧-=+-≥⎪⎪=-<⎨⎪=--≥⎪⎩111m e ⇔<≤+； （2）12n m =-，()(1)()22x n n T x e x n R =+-∈，∴'()(1)2x nT x e x =+ ①当0n ≥时，'()0T x >，()T x 在[]0,1上为增函数，则此时max ()(1)T x T e ==；②当2n <-时，201n <-<，'2()()2x n T x e x n =⋅+，故()T x 在20,n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，………………………………………………最新资料推荐………………………………………21 / 21 在2,1n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，此时22max 2()()(1)2n n n T x T e m e n --=-=-+=-⋅， ③当20n -≤<时，21n -≥，'2()()2x n T x e x n=⋅+，故()T x 在[]0,1上为增函数，此时max ()(1)T x T e ==；综上所述：[]2max()2n n e T x e -⎧-⎪=⎨⎪⎩，22n n <-≥- （3）由题设：15,()()()0(*)22x n x R p x f x g x e x ∀∈=-=-+> 因为'()2x n p x e =-故()p x 在(0,ln )2n 上单调递减；在(ln ,)2n +∞上单调递增； 故（）min 151()(ln )ln (ln 15)02222222n n n n n p x p n n ⇔==-+=-+> 设()ln 15(ln ln 2)152x h x x x x x x =-+=--+，则()1ln 1ln 22x x h x =--=-， 故()h x 在(0,2)上单调递增；在(2,)+∞上单调递减；而22222(2)22ln 151520h e e e e e =-+=->，且 2151515(15)1515ln 1515(2ln )15(ln ln )0222h e =-+=-=-<， 故存在20(2,15)x e ∈，使0()0h x =，且0[2,)x x ∈时()0h x >，0(,)x x ∈+∞时，()0h x < 又∵2115(1)16ln 0,722h e =-><<， 故*n N ∈时使()()f x g x >的最大正整数14n =考点：1.函数与方程；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与不等式.【解析】。
2023年高考真题文科数学解析分类汇编圆锥曲线
高考文科试题解析分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>旳左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30旳等腰三角形，则E 旳离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【命题意图】本题重要考察椭圆旳性质及数形结合思想，是简朴题.【解析】∵△21F PF 是底角为030旳等腰三角形，∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322c a =，∴e =34，故选C. 2.【高考新课标文10】等轴双曲线C 旳中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=旳准线交于,A B 两点，43AB =；则C 旳实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【答案】C【命题意图】本题重要考察抛物线旳准线、直线与双曲线旳位置关系，是简朴题. 【解析】由题设知抛物线旳准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 旳实轴长为4，故选C.3.【高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>旳离心率为 2.若抛物线22:2(0)C x py p =>旳焦点到双曲线1C 旳渐近线旳距离为2，则抛物线2C 旳方程为(A) 2833x y = (B) 21633x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D考点：圆锥曲线旳性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 旳关系可知a b 3=，此题应注意C2旳焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=旳距离为2，可知p=8或数形结合，运用直角三角形求解。
圆锥曲线文科高考习题含答案
2 2 1设F1F2是椭圆E:\ ab，一，…，… 3a ,一1(a b 0)的左、右焦点，P为直线x ——上一点,2F2PF1是底角为30o的等腰三角形，则E的离心率为(A)2 (B)3 (C) - (D)—等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上, C与抛物线y216x的准线交于A, B两点,AB 4 J3 ；则C的实轴长为((A) 2 (B) 2/2 (C) (D)23.已知双曲线a ：与a 1(a0,b 0)的离心率为2.若抛物线 2C2：x 2py(p0)的焦点到双曲线C i的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为小 2 8.3 (A) x --y3 _ 2 16--.-3 _ 2 2(B) x ----- y (C) x 8y (D) x316y4椭圆的中心在原点, 焦距为4, 一条准线为x 4,则该椭圆的方程为2(A)—162L 112(B)2x122(C)—8 (D)2x125.12012高考全国文 210】已知F1、F2为双曲线C: x 2的左、右焦点，点P在C上,| PF i | 2| PF? |,则COS F1PF2(A) 1 46.12012高考浙江文曲线的两顶点。
若M3(B)一53(C)—44(D)一58],O如图，中心均为原点。
的双曲线与椭圆有公共焦点，M , N是双N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3B.2C. . 3D. 247.12012高考四川文9】已知抛物线关于X轴对称，它的顶点在坐标原点O,并且经过点M (2, y°)。
若点M到该抛物线焦点的距离为3 ,则|OM |(2 28.12012考考四川又11】万程ay b x c 中的a,b, c {在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（圆”的（）2210.12012高考江西文8］椭圆三、1（a b 0）的左、右顶点分别是A, B,左、右a b焦点分别是F I , F 2。
若|AF I |,|F I F 2|,|F I B|成等比数列,则此椭圆的离心率为A. 1B T45 C. 1 D.、、5-22y-^ =1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的bA 、242B 、273C 、4A、28 条 B 、32 条 C 、36 条 D 、48 条9.12012高考上海文 16】对于常数m 、n“mn 0” 是 “方程2mxny 21的曲线是椭渐近线上，则C 的方程为A. 2 2 土、1 20 5 22B 土-X=15 202 2 — 80 202 2D ±-L=120 8012. 【2102 （Wj 考福建文 5】已知双曲线2-L=1 5的右焦点为（ 3,0）,则该双曲线的离心率等3.14 14 13.12012高考四川文 15】2x椭圆~ay 25 1（a 为定值，且aJ5）的的左焦点为F ,直线x m 与椭圆相交于点 A、B , FAB 的周长的最大值是12则该椭圆的离心率是14.12012高考辽宁文 15】已知双曲线x 2y 2=1,点F I ,F 2为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若P F 11P F 2,则I P F 1 I + I P F 2 I 的值为2,0,123} 且a,b, c 互不相同,A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件11.12012高考湖南文 6】已知双曲线C :bx 2 17.12012高考重庆文14】设P 为直线y —X 与双曲线 —3aa交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率 e18.12012高考安徽文14】过抛物线y 24x 的焦点F 的直线交该抛物线于 A, B 两点，若| AF | 3,贝U | BF |=2 2C 2 :— — 1有相同的渐近线，且 C 1的右焦点为F(J5,0)，则a ;b4 1620.12012高考天津19】(本小题满分14分)已知椭圆+(a>b>0),点P (争事)在椭圆上。
高三数学专项训练：立体几何解答题(文科)(一)
(Ⅱ）求证:EF∥平面PAB；
21．
(本小题满分12分)如图，已知 平面 ， 平面 , 为等边三角形， , 为 中点．
(1)求证： 平面 ；
（2)求证：平面 平面 ；
（3）求直线 与平面 所成角的正弦值．
22．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD﹦60°，E是CD中点，
（Ⅰ)求证： 平面 ;
(Ⅱ)求三棱锥 的体积.
11．如图，在三棱锥 中,侧面 与侧面 均为等边三角形， ， 为 中点．
(Ⅰ）证明: 平面 ;
（Ⅱ）求异面直线BS与AC所成角的大小．
12．(本题满分12分）
如图，已知AB 平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形， ,且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证AF∥平面BCE;
（1)求证:B1C∥平面AC1M;
(2）求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B.
44．（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形, BCD=60 ，E是CD的中点,PA 底面ABCD,PA=2。
（1)证明：平面PBE 平面PAB；
（2）求PC与平面PAB所成角的余弦值.
(Ⅰ)求证:EF//平面PAD;
（Ⅱ)求三棱锥C—PBD的体积。
15．右图为一组合体,其底面 为正方形， 平面 ， ，且
（Ⅰ）求证： 平面 ;
(Ⅱ）求四棱锥 的体积;
（Ⅲ)求该组合体的表面积．
16．四棱锥 中,底面 为平行四边形，侧面 底面 ， 为 的中点，已知 ,
(Ⅰ）求证： ;
（Ⅱ）在 上求一点 ，使 平面 ；
(Ⅲ)求三棱锥 的体积.
17．（本小题满分12分） 在三棱柱 中,底面是边长为 的正三角形,点 在底面 上的射影 恰是 中点．
圆锥曲线(文科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
圆锥曲线（文科）解答题20题1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y+=，2C ： 28y x =.【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； 【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中22c a b -不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x ya b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±， 所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，3b c =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =. 所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，进而可得20025910y x +=，再由斜率公式及基本不等式即可得解. 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++， 当00y =时，0OQ k =； 当00y ≠时，0010925OQ k y y =+， 当00y >时，因为0092530y y +≥， 此时103OQk <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点Q 坐标的关系，在求斜率的最值时要注意对0y 取值范围的讨论.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析 【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴=，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =， 若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ， 则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意； 若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3)y x -，又131********A A y y k y x x y y -====∴=-+， 330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切； 若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在， 则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++， 所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+， 整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=， 直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=， 12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A 的距离为：21223122123213|2|21()1()1y y y y y -+=+++--22112222111111(1)4y y y y +===+-+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切. 【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示.4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或2【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则21221,1d t d t =+=+.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =．又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-=+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0=t 或1t =±.当0=t 时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点． （1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.【答案】(1) 31e =；（2）4b =，a 的取值范围为[42,)+∞. 【分析】（1）先连结1PF ，由2POF 为等边三角形，得到1290F PF ∠=，2PF c =，13PF c =；再由椭圆定义，即可求出结果；（2）先由题意得到，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y yx c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】（1）连结1PF ，由2POF 为等边三角形可知：在12F PF △中，1290F PF ∠=，2PF c =，13PF c ，于是1223a PF PF c c =+=， 故椭圆C 的离心率为3113c e a ===+； （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y y x c x c⋅=-+-，22221x y a b +=， 即16c y = ① 222x y c += ②22221x y a b += ③ 由②③以及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =；由②③得22222()a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232a b c b =+≥=，故42a ≥当4b =，42a ≥P . 故4b =，a 的取值范围为[42,)+∞. 【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．【答案】（1）2或6； （2）见解析. 【分析】（1）设(),A t t -，(),B t t -，根据AB 4=，可知t =M 必在直线y x =上，可设圆心(),M a a ；利用圆心到20x +=的距离为半径和MA MB r ==构造方程，从而解出r ；（2）当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx =，由圆的性质可知圆心M 必在直线1=-y x k 上；假设圆心坐标，利用圆心到20x +=的距离为半径和r MA =构造方程，解出M 坐标，可知M 轨迹为抛物线；利用抛物线定义可知()1,0P 为抛物线焦点，且定值为1；当直线AB 斜率不存在时，求解出M 坐标，验证此时()1,0P 依然满足定值，从而可得到结论. 【详解】 （1）A 在直线0x y +=上 ∴设(),A t t -，则(),B t t -又AB 4= 2816t ∴=，解得：t =M 过点A ，B ∴圆心M 必在直线y x =上设(),M a a ，圆的半径为rM 与20x +=相切 2r a ∴=+又MA MB r ==，即((222a a r +=((()2222a a a ∴+=+，解得：0a =或4a =当0a =时，2r ；当4a =时，6r =M ∴的半径为：2或6（2）存在定点()1,0P ，使得1MA MP -= 说明如下：A ，B 关于原点对称且AB 4=∴直线AB 必为过原点O 的直线，且2OA =①当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx = 则M 的圆心M 必在直线1=-y x k上设(),M km m -，M 的半径为rM 与20x +=相切 2r km ∴=-+又222224r MA OA OMk m m ==+++22224km k m m ∴-+++，整理可得：24m km =-即M 点轨迹方程为：24y x =，准线方程为：1x =-，焦点()1,0FMA r =，即抛物线上点到2x =-的距离 ∴1MA MF =+ 1MA MF ∴-=∴当P 与F 重合，即P 点坐标为()1,0时，1MA MP -=②当直线AB 斜率不存在时，则直线AB 方程为：0x =M ∴在x 轴上，设(),0M n224n n ∴++0n =，即()0,0M 若()1,0P ，则211MA MP -=-=综上所述，存在定点()1,0P ，使得MA MP -为定值. 【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解.7．（2019年北京市高考数学试卷（文科））已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析. 【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0=t ，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022*******22000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.9．（2020年北京市高考数学试卷）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1.【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值. 【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦ 2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y BQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．10．（2020年天津市高考数学试卷）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解. 【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=， 所以，椭圆的方程为221189x y +=； （Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥， 根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 11．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>2()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置. 【详解】（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2) 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠， 故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12DQ AP ==， 若D 与P 重合，则12DQ AP =， 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得 ·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题. 12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】(1) y =x –1,(2)()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=． 【详解】分析：(1)根据抛物线定义得12AB x x p =++，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l 的方程；（2）先求AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以()()21224411k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为()23y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则()()002200051116.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=．点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,,a b r 的方程组，从而求出,,a b r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠． 【答案】（1）112y x =+或112y x =--；（2）见解析. 【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()20A ，，求得直线l 的方程为2x =，代入抛物线方程求得点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立. 【详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-． 所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--； （2）设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由222x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-． 直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y yk k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠.综上，ABM ABN ∠=∠. 【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.14．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题文档版）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【详解】分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明．（2）先求出点P 的坐标，解出m ，得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．详解：（1）设()11A x y ，，()22B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m =-．由题设得211,043m m +<>∴302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设()33P x y ，，则()()()()33112211100x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得()31231x x x =-+=，()31220y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而312P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3||=2FP ． 于是()()222211111||1131242x xFA x y x ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭．同理2||=22x FB -． 所以()121|43|||2FA FB x x +=-+=． 故2||=||+||FP FA FB ．点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出m ，得到FP ,再有两点间距离公式表示出,FA FB ，考查了学生的计算能力，难度较大．15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析. 【详解】（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),NM 0,x y y =-=（）由NP 2NM =得00x x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=. 因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则()()OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，， ()OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）.由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，21运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.16．（2017年全国1卷（文数））设A ，B 为曲线C ：y ＝24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1；（2）y ＝x ＋7． 【分析】（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝124x x+，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直线AB 的斜率，根据导数的几何意义求得M 点坐标，设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB ，由AM BM ⊥知，|AB |＝2|MN |，从而求得参数m . 【详解】解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝214x ，y 2＝224x ，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝124x x+＝1．（2）由y ＝24x ，得y ′＝2x ．设M (x 3，y 3)，由题设知32x ＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1)． 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|． 将y ＝x ＋m 代入y ＝24x 得x 2－4x －4m ＝0．当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±1m + 从而|AB |2x 1－x 2|＝()421m +由题设知|AB |＝2|MN |，即()421m +2(m ＋1)， 解得m ＝7．所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7．17．（2016年全国2卷（文数））已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.试卷第22页，共26页（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN 的面积 （Ⅱ） 当2AM AN =时，证明：32k <<. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示AM ，同理用k 表示AN ，再由2AM AN =求k 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=. 解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故22121212134k AM x k k+=++=+. 由题设，直线AN 的方程为，故同理可得2121k k AN +=. 由2AM AN =得222343+4kk k =+，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f t t t t +=-'=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增.又(3)153260,(2)60f f ==，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)32k <. 【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.2318．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（1）2；（2）没有. 【分析】（Ⅰ）先确定2,,t N t ON p ⎛⎫ ⎪⎝⎭的方程为py x t =，代入22y px =整理得2220px t x -=，解得21220,t x x p ==，因此22(,2)t H t p ，所以N 为OH 的中点，即||2||OH ON =. （Ⅱ）直线MH 的方程为2py t x t-=，与22y px =联立得22440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线MH 与C 只有一个公共点，即可得出结论.【详解】（Ⅰ）由已知得()20,,,2t M t P t p ⎛⎫⎪⎝⎭. 又N 为M 关于点P 的对称点，故2,,t N t ON p ⎛⎫ ⎪⎝⎭的方程为py x t =，代入22y px =整理得2220px t x -=， 解得21220,t x x p ==，因此22(,2)t H t p， 所以N 为OH 的中点，即||2||OH ON =. （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点. 理由如下： 直线MH 的方程为2py t x t-=，即2()t x y t p =-，代入22y px =，得22440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点. 【点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系试卷第24页，共26页是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.19．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分別为12,A A ，右焦点为F （1，0），且椭圆C 的离心率为12，M ，N 为椭圆C 上任意两点，点P 的坐标为（4，t ）（t ≠0），且满足1122,AM MP A N NP λλ==. （1）求椭圆C 的方程； （2）证明：M ，F ，N 三点共线. 【答案】（1）22143x y +=； （2）证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由题设易知1,,A M P 共线，2,,A N P 共线，利用向量共线的坐标表示有()()22112222292x y y x +=-，再由M ，N 在椭圆上可得()12122580x x x x -++=，最后由11(1,)FM x y =-，22(1,)FN x y =-结合分析法证明结论. （1）椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，且离心率为12，∴a =2，c =1，则b 2=a 2-c 2=3， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，12,A A 的坐标分别为(2,0),(2,0)-，设()()1122,,,M x y N x y ， ∴111(2,)AM x y =+，1(6,)A P t =，222(2,)A N x y =-，2(2,)A P t =， ∵11AM MP λ=，22A N NP λ=，25∴1,,A M P 三点共线，2,,A N P 三点共线，即()()11226222y t x y t x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，整理得1122322y x y x +=-，两边平方得()()22112222292x y y x +=-，① 又M ，N 在椭圆上，则22112222334334y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入①并化简得()12122580x x x x -++=，又11(1,)FM x y =-，22(1,)FN x y =-，∴要证M ，F ，N 三点共线，只需证()()211211y x y x -=-，即112211y x y x -=-，只需证()112221321x x x x +-=--，整理得()12122580x x x x -++=，∴M ，F ，N 三点共线. 【点睛】关键点点睛：第二问，设()()1122,,,M x y N x y ，由向量共线得1122322y x y x +=-，利用分析法结合向量共线的坐标表示只需证112211y x y x -=-，最后由M ，N 在椭圆上求证即可.20．（2021·宁夏·石嘴山市第三中学高三阶段练习（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为12，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点，3AB =（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于A ，B 两点，求ABF 面积最大值及此时直线l 的斜率. 【答案】 （1）22143x y += （2332114± 【分析】（1）根据题意得22221223c a ba abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，再解方程即可得答案； （2）设直线l 的方程为4x my =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，进而将直线l 的方程与椭圆试卷第26页，共26页方程联立，并结合韦达定理得ABFS =，再令)0t t =>，结合基本不等式求解即可. （1）解：由题知：2222122231c a a bb ac a b c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩ 所以椭圆22:143x y C +=.（2）设直线l 的方程为4x my =-，设()11,A x y ､()22,B x y ，与椭圆方程联立得224143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()223424360m y my +-+=.则()()2225764363414440m m m ∆=-⨯+=->，所以24m >.由根与系数的关系知1222434m y y m +=+，1223634y y m =+，所以1232ABFSy y =-=①令)0t t =>，则①式可化为21818163163ABFt St t t ==++当且仅当163t t =，即t =.此时3m =±l的斜率为14±.27。
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2圆锥曲线（文科）1已知F i 、F 2是两个定点，点P 是以F i 和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 并且PF i 丄PF 2, e i 和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率,则有A . ee ? 22 ei2 2.已知方程— I m| 1 2 y=1 2 m表示焦点在y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是A . m<2 3 1<m<—22 4.已知椭圆二3m C . m< — 1 或 1<m<2D . m<— 1 或B . 1<m<2 3.在同一坐标系中, ) 5n 3n A . x —+ 上 y 2 5.过抛物线y=ax 2 （a > 0）的焦点 2m _ , <15 , £3 y 一 ± xC . x 一 ± y - 4 P 、 A . 2a B .丄 2a 2 F 用一直线交抛物线于 Q 两点, v —+ 3 y —± x 4 若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ,则丄 pC . 4a 2 y_ (a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F i 、F 2,线段 F i F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5:3两段, 则此椭圆的离心率为 7. 8. 椭圆 16 172 x 12 2 »=13 ± _34 B 4 1717 的一个焦点为F i ,点 P 在椭圆上 •如果线段 PF i 的中点M 在y 轴上，那么点 M 的纵坐标是（2设F i 和F 2为双曲线— 4 y 2 1的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足/ F i PF 2= 90°,则 △ F 1PF 2的面积是（2x 已知双曲线—a2 計利椭圆2x 2 m 2+每=1（a>0,m>b>0）的离心率互为倒数，那么以 b 2 a 、 b 、 m 为边长的三角形是A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角或钝角三角形 10.中心在原点，焦点坐标为（0, ± 5=2）的椭圆被直线3x — y — 2=0截得的弦的中点的横坐标为 丄，则椭圆方程为22 2 A.红+也=1 25 752 2 B .红+也=1 75 25 2 2C . —1 25 75 11.已知点（一2, 3）与抛物线y 2=2px （ p >0）的焦点的距离是2 2 D .・+・=1 75 255,贝y p= ____2 212•设圆过双曲线 ] 1=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是___________9162 213.双曲线x y = 1的两个焦点为F i 、F 2，点P 在双曲线上，若 PF i 丄PF 2，则点P 到x 轴的距离为 _________________________百 14.若A 点坐标为(1, 1) , F 1是5X 2 + 9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|+ |P F 1|的最小值是 _______________________2 216•双曲线 笃 与1 ( a>1,b>0)的焦距为2c,直线I 过点(a,0)和(0, b),且点(1,0)到直线I 的距离与点(- a b 1,0)到直线l 的距离之和s > 4 c.求双曲线的离心率e 的取值范围52 2 ,—17.已知圆C 1的方程为(x - 2)2+(y — 1)2=竺，椭圆C 2的方程为 —+ -^=1 (a>b>0), C 2的离心率为空，如果 G 与C 2相交 3 a 2 b 2 2 于A 、B 两点，且线段 AB 恰为圆C 1的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C 2的方程。
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1、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求棱1A A 的长；（2）若11A C 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值. 【答案】（1）3；（2）11． 试题分析：（1）设1A A h =，由题意得1111111111ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-，可求出棱长；（2）因为在长方体中11//A D BC ，所以1O BC ∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角(或其补角),再借助解三角形的求解得到结论．试题解析：(1)设1A A h =，由题设111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 得1111103ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=，即1122221032h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得3h =， 故1A A 的长为3. (2)在长方体中11A D BC ，1O BC ∴∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角(或其补角),在1O BC ∆中，计算可得11O B OC =1O BC ∠的余弦值为11. 考点：异面直线所成的角的求解；棱柱的结构特征． 【解析】2、如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，1,2PM BC ==，又1,AC =120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，AM=2.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥P MAC -的体积．ABCMP【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）123=V . 试题分析：(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理，可知证明面面垂直，先证明线面垂直，根据所给条件，易证明⎩⎨⎧⊥⊥AB PC BCPC ,即转化为证明⊥PC 平面ABC ；（Ⅱ）根据等体积转化PMC A MAC P V V --=,重点求PMC ∆的面积，在平面PCBM ，过M 做MN BC ⊥交BC 于N ，连结AN ，这样在ACN ∆和AMN ∆中根据余弦定理和勾股定理，分别求AN 和MN ,这样就求出PMC ∆的面积，而点A 到平面PCM 的距离就是点A 到直线BC 的距离，做A 做AH BC ⊥交BC 于H ，根据求面积的过程，易求AH . 试题解析：（Ⅰ）证明：由90PCB ∠=︒得PC CB ⊥ 又因为AB PC ⊥，AB BC B ⋂=，,AB BC ⊆平面ABC所以PC ABC ⊥平面． 又PC PAC ⊂平面，所以平面PAC ⊥平面ABC ．(Ⅱ)解：在平面PCBM ，过M 做MN BC ⊥交BC 于N ，连结AN ，则CN=PM=1， 又//PM BC ，得四边形PMNC 为平行四边形，所以//PC MN 且PC MN = 由（Ⅰ）得PC ABC ⊥平面，所以MN⊥平面ABC,在ACN ∆中，2222cos1203AN AC CN AC CN =+-⋅︒=，即又AM=2.∴在Rt AMN ∆中，有1PC MN ==．在平面ABC ，过A 做AH BC ⊥交BC 于H ，则AH PMC ⊥平面 因为1,AC CN ==120ACB ∠=︒，所以30ANC ∠=︒．∴在Rt AHN ∆中，有考点：1.等体积转化；2.面面垂直的判定定理. 【解析】3、如图所示,PA ⊥平面ABC ,点C 在以AB 为直径的O 上，030CBA ∠=，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 上，且//OM AC .（Ⅰ）求证:平面//MOE 平面PAC ； （Ⅱ）求证:平面PAC ⊥平面PCB ．【答案】试题分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理可得OE PA ，即可得出OE 平面PAC ，再利用OMAC ，可得OM 平面PAC ，再利用面面平行的判定定理即可得出平面MOE 平面PAC ；（Ⅱ）点C 在以AB 为直径的O 上，可得BC AC ⊥，利用PA ⊥平面ABC ，可得PA BC ⊥，可得BC ⊥平面PAC ，即可得出平面PAC ⊥平面PCB .试题解析：证明:（Ⅰ）因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE PA .因为PA ⊂平面PAC ，OE ⊄平面PAC ，所以OE 平面PAC .因为OMAC ，ACMP NH又AC ⊂平面PAC ,OM ⊄平面PAC ，所以OM 平面PAC . 因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，0OE OM =，所以平面MOE 平面PAC .(2)因为点C 在以AB 为直径的O 上，所以90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面，PA AC A =，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC考点：1、面面平行的判定定理；2、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理. 【解析】4、在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ,90BAD ︒∠=,12PA AB BC AD ====,,E 为PD 的中点.（Ⅰ）求证：PAB CE 面//；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDC ；（Ⅲ）求直线EC 与平面PAC 所成角的余弦值.【答案】试题分析：（Ⅰ）根据中位线定理求证出四边形MEBC 为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）先证明线面垂直，再到面面垂直；（Ⅲ）找到∠ECF 为直线EC 与平面PAC 所成的角，再解三角形即可试题解析：（Ⅰ）解：取PA 的中点M ，连接BM ，ME AD //且AD 21ME = BC AD //且AD 21BC =∴ME //BC 且ME=BC∴四边形MEBC 为平行四边形，∴BME //CE ，CE ⊄面PAB ，BM ⊄面PAB ， ∴CE //面PAB（Ⅱ）证明：∵PA ⊥平面,ABCD ， ∴PA ⊥DC ，又22222AC CD AD +=+= ∴DC AC ⊥， ∵AC PA A = ∴DC ⊥平面PAC 又DC ？平面PDC所以平面PAC ⊥平面PDC（Ⅲ）解：取PC 中点F ，则EF ∥DC ， 由（Ⅱ）知DC ⊥平面PAC 则EF ⊥平面PAC所以ECF ∠为直线EC 与平面PAC 所成的角CF ＝12PC EF ＝12CD =∴tan EF ECF FC ∠==即直线EC 与平面PAC 考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【解析】5、已知椭圆：()222210y x a b a b+=>>，离心率为2，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且2F MN ∆的周长为4. （1）求椭圆方程；（2）与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点()()0,0P m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,A B 且AP PB λ=,若4OA OB OP λ+=，求m 的取值围.【答案】（1）2221y x +=；（2）111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．试题分析：（1）先由离心率为2，2F MN ∆的周长为4，列出方程即可求解,,a b c 的值，从而得到椭圆的方程；（2）先设l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，然后联立直线与椭圆方程，得到关于x 的一元二次方程，进而得到两根与系数的关系，再根据AP PB λ=和4OA OB OP λ+=，可得λ的值，利用韦达定理即可求解实数m 的取值围．试题解析：(1)设()2222:10y x C a b a b +=>>，设2220,c c a b >=-，由条件知44,2c a a ==，1,2a b c ∴===，故C 的方程为：2221y x +=. (2)设:l y kx m =+与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，将y kx m =+代入2221y x +=，得()()222222210,4220k x kmx m k m +++-=∴∆=-+>①.212122221,22km m x x x x k k --+==++,4,3AP PB OA OB OP AP PB λλ=+=∴=，21221222,3x x x x x x ∴+=-=-，消去2x 得()22212122221340,34022km m x x x x k k ⎛⎫--⎛⎫++=∴+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 即22224220k m m k +--=,当214m =时，22224220k m m k +--<， 2222122,441m m k m -∴≠=-由①得2222k m >-，解得111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线综合应用，着重考查了转化与化归的思想及推理、运算能力，其中直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重点题型，属于中档试题，本题的解答中直线与椭圆方程，得到关于x 的一元二次方程，根据AP PB λ=和4OA OB OP λ+=的运算，再利用韦达定理即可求解实数m 的取值围． 【解析】6、已知椭圆E 的两焦点分别为()()1,0,1,0-，经过点⎛⎝⎭． （1）求椭圆E 的方程；（2）过()2,0P -的直线l 交E 与A ，B 两点，且3PB PA =，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）2211039x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.试题分析：（1）由题意得1c =，进而可得22a =b ，即可得到椭圆的方程；（2）设:2l x my =-，代入椭圆2212x y +=，并整理可得()222420my my +-+=，由韦达定理可得24m =，不妨设2m =可得圆心和半径，即可得到圆的方程.试题解析：（1）由题意知1,2c a ==1a b ∴===椭圆E 的方程为2212x y += （2）设:2l x my =-，带入椭圆方程得()222420m y my +-+=由2281602m m ∆=->>得设()()1122,,,,A x y B x y12122242,22m y y y m m +==++则y ①② 由213,3PB PA y y ==得③ 由①②③解得224,2m m =>符合不妨取2,m =则线段AB 的垂直平分线的方程为223y x =-- 则所求圆的圆心为()1,0,0,13B ⎛⎫- ⎪⎝⎭又所以圆的半径r =所以圆的方程为2211039x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用及椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，涉及到了椭圆与圆的一些基础知识的综合应用，属于中档试题，同时着重考查了学生的运算推理能力，本题的解答中设出直线2x my =-，代入椭圆的方程，整理得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系，得24m =，可求得圆心和半径，即可得到圆的方程. 【解析】7、已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=AF AF .（Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F AF 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）22=e ；（2）存在，定值为6． 试题分析：（1）当AC 垂直于x 轴时，2AF 为半通径的长2b a ，所以213b AF a=，根据椭圆的定义，化简出离心率，求出离心率；（2）先设出相关点的坐标),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，用点斜式求出直线,AB AC 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，结合C F AF B F AF 222111,λλ==求出12,λλ． 试题解析：解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b 22||=，13||||21：：=，∴ab 213||=∴a ab 242=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e .（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为22222b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -. ①当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=， 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=，C F AF 222λ=，bx b y y 020223-=-=λ. 同理bx b 0123+=λ，∴621=+λλ ②当AC 垂直于x 轴时，则bbb 23,112+==λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ. 综上可知21λλ+是定值6.考点：1、椭圆的概念及离心率；2、向量；3、根与系数关系．【思路点晴】在第一问中，用到了一个常用的小结论：过焦点垂直于长轴的弦长为通径，长度为222b a，这个结论对于双曲线也成立，记住一些小结论，对于解题是很有帮助的.在第二问中，12,λλ转化为纵坐标的比值，用根与系数求出这个比值，然后相加就可以，在做这类型的题目时，要努力提高自己的运算能力，平时多练习. 【解析】8、设抛物线21:4C y x =的准线与x 轴交于点1F ，焦点2F ；椭圆2C 以1F 和2F 为焦点，离心率12e =.设P 是1C 与2C 的一个交点.（1）椭圆2C 的方程；（2）直线l 过2C 的右焦点2F ，交1C 于12,A A 两点，且12A A 等于12PF F ∆的周长，求l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）)1y x =-或)1y x =-. 试题分析：（1）由条件()()121,0,1,0F F -是椭圆2C 的两焦点，离心率为12，由此能求出2C 的方程和其右准线方程；（2）12PF F ∆的周长为12126PF PF F F ++=，设l 的方程为(1)y k x =-与1C 的方程联立，由此利用弦长公式，即可求解直线的方程. 试题解析：（1）由题得，()()121,0,1,0F F -是椭圆2C 的两焦点，故半焦距为1，再由离心率为12知，长半轴长为2，从而2C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）知，12PF F ∆的周长为12126PF PF F F ++=， 又21:4C y x =，而且()21,0F若l 垂直于x 轴，易得124A A =，与已知矛盾，故l 不垂直于x 轴.与1C 方程联立可得，()2222240k x k x k -++=从而()21212241k A A x x k+=-==令126A A =，解得22k =，即k =故l 的方程为)1yx =-或)1y x =-.考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线综合应用，解题是要认真审题，注意椭圆的弦长公式的合理运用，着重考查了推理与运算能力和分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用12PF F ∆的周长为6，得出弦长，可设l 的方程为(1)y k x =-与1C 的方程联立，由此利用弦长公式，即可求解直线的方程. 【解析】9、已知函数()()22x f x e ax b x x =+++，曲线()y f x =经过点()0,1P ,且在点P 处的切线为:41l y x =+. （1）求a 、b 的值；（2）若存在实数k ，使得[]2,1x ∈--时，()()221f x x k x k ≥+++恒成立，求k 的取值围.【答案】（1）1,1a b ==；（2）321,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．试题分析：（1）求出函数的导数，利用切线的斜率，以及函数值得到()()0401f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即可求解a 、b 的值；（2）把当[]2,1x ∈--时，()()221f x x k x k ≥+++恒成立，转化为()121x e x k x +≥+恒成立，构造新函数()()121x e x g x x +=+，利用导数求解函数()g x 的最大值，即可求解实数k 的取值围．试题解析：(1)()()22x f x e ax a b x '=++++，依题意，()()0401f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩,即241a b b ++=⎧⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.(2)由()()221x x k x k ≥+++，得()()121x e x k x +≥+,[]2,1x ∈--时，210x +<()()221f x x k x k ∴≥+++即()()121x e x k x +≥+恒成立，当且仅当()121x e x k x +≥+.设()()1,21x e x g x x +=+[]()()()22232,1,21x e x x x g x x +'∈--=+. 由()0g x '=得0x =（舍去），32x =， 当()32,,02x g x ⎛⎫'∈-> ⎪⎝⎭；当()3,1,02x g x ⎛⎫'∈--< ⎪⎝⎭，word 格式版本()()121x e x g x x +∴=+在区间[]2,1--上的最大值为123124g e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.∴常数k 的取值围为321,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程；导数在函数的最值、不等式的恒成立中的应用．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程、导数在函数的最值、不等式的恒成立中的应用，着重考查了转化与化归的思想的应用，其中构造新函数是解得大关键，试题难度较大，属于难题，本题的解答中，把不等式恒成立，转化为()121x e x k x +≥+恒成立，通过构造新函数()g x ，求解函数()g x 的最大值，即可求解． 【解析】10、已知函数：()ln 3(0)f x x ax a =--≠． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数23()[2()]2x g x x m f x '=+-在区间()3,a 上有最值，数m 的取值围．【答案】（Ⅰ）当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a，减区间为1(,)a+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间；（Ⅱ）219-<<-m 332．试题分析：（Ⅰ）求出函数的定义域及导函数，然后根据导数等于零的根与区间端点的大小关系进行分类讨论即可；（Ⅱ）)(x g 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，即)('x g 在区间（a ，3）的函数值既有正值也有负知，结合导函数（二次函数）的图像知()0(0)1(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩从而将问题转化为该不等式组在[1,2]a ∈恒成立，从而求出参数围． 试题解析：（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()f x a x'=-， 当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，减区间为1(,)a+∞； 当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间； （Ⅱ）2332()[2()](),22x mg x x m f x x a x x '=+-=++-2()3(2)1,g x x m a x '∴=++-()g x 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，又()0(0)1(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩由题意知：对任意22[1,2],()3(2)1510a g a a m a a a ma '∈=++⋅-=+-<恒成立，21515,a m a a a-∴<=-因为[1,2]a ∈192m ∴<-对任意[]2,1∈a ，()063263/>++=a m g 恒成立∴a a m 23263266--=--> ∵[]2,1∈a ∴332->m 321932m ∴-<<-考点:求含参数的函数的单调性；由有最值求参数围．【方法点睛】求含参数的函数的单调区间的解法突破：第1步，求函数的定义域；第2步，求导函数；第3步，以导函数的零点存在性进行讨论；第4步，当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及与区间端点的位置关系；第5步，画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号；第6步，方法一：根据第5步的草图列出)('x f 、)(x f 、随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间；方法二、根据第5步的草图解不等式)('x f 0>或)('x f 0<，进而得函数的单调区间；第7步，综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间． 【解析】11、设函数()()()2ln 1,0f x ax x b x x =+->，曲线()y f x =过点()2,1e e e -+，且在点()1,0处的切线方程为0y =． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）证明：当1x ≥时，()()21f x x ≥-；（Ⅲ）若当1x ≥时()()21f x m x ≥-恒成立，数m 的取值围． 【答案】(Ⅰ)1,1-==b a ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）23≤m . 试题分析：(Ⅰ)根据条件()12+-=e e e f ，()01='f 解方程组求b a ,；（Ⅱ）先设函数()()()21--=x x f x g ，再求函数的导数()x g '和()x g ''来分析函数word 格式版本()x g 最小值；（Ⅲ）设()()11ln 22+---=x m x x x x h ，求出()x h '，利用（Ⅱ）中知()()111ln 22-=-+-≥x x x x x x ，推出()()()1213---≥'x m x x h ，分①23≤m 和②23>m 时，求解m 的取值围. 试题解析：解：（Ⅰ）()()2ln ,0f x ax x ax b x '=++>，(1)0f a b '=+=，22()(1)(1)f e ae b e a e e =+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ．（Ⅱ）2()ln 1f x x x x =-+，设22()ln g x x x x x =+-，(1)x ≥，()2ln 1g x x x x '=-+ 由()()2ln 10g x x ''=+>，∴)(x g '在[)1,+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ''≥=，∴)(x g 在[)1,+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=． ∴2()(1)f x x ≥-．（Ⅲ）设22()ln (1)1h x x x x m x =---+,(1)x ≥，()2ln 2(1)1h x x x x m x '=+---， 由（Ⅱ）中知22ln (1)1(1)x x x x x x ≥-+-=-，∴ln 1x x x ≥-，∴()3(1)2(1)h x x m x '≥---()()321m x =--，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[1,)+∞单调递增，()(1)0h x h ∴≥=，立．②当320m -<即23>m 时，()()()2ln 121h x x x m x '=+-- (())2ln 32h x x m ''=+-，令()()0h x ''=，得当[)01,x x ∈时，()h x '单调递减，则()(1)0h x h ''<=，)(x h ∴在[)01,x 上单调递减()(1)0h x h ∴<=，不成立．综上，23≤m ． 考点：1.导数的最值的应用；2.恒成立问题. 【解析】12、已知函数()()1ln ,1a x f x x a R x -=-∈+.（1）若2a =，求证：()f x 在()0,+∞上为增函数； （2）若不等式()0f x ≥的解集为[)1,+∞，数a 的取值围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2a ≤.试题分析：（1）求解函数的导数，当2a =，判定()0f x '>，即可得到()f x 在()0,+∞上为增函数；（2）由（1）中，当2a =时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()10f =，分1a ≤、12a <≤、2a >三种情况分类讨论，特别当2a >时，可得()f x 在(][)120,,,x x +∞上增函数，在()12,x x 上减函数；()121,x x ∈，()10f =，显然不适合题意，即可得到实数a 的取值围.试题解析：易知：()()()()2'222111211x a x a f x x x x x +-+=-=++ （1）()()()()22'221212011x x x a f x x x x x --+=⇒==≥++，当且仅当1x =时，取等号，则()f x 在()0,+∞上为增函数； （2）()()()2'2211,01x a x f x x x x +-+=>+，注意到()10f =①当1a ≤时，则()()()2'221101x a x f x x x +-+=>+，则()f x 在()0,+∞上为增函数；显然适合题意；②当12a <≤时，则()2420a a ∆=-≤，则()()()2'221101x a x f x x x +-+=≥+，当且仅当2,1a x ==时，取等号，则()f x 在()0,+∞上为增函数；显然适合题意； ③当2a >，则()2420a a ∆=->，()()()2'221101x a x fx x x +-+==+有两个实根1211x a x a =-=-，且()1201,11x a x a <<-<->，则()f x 在(][)120,,,x x +∞上增函数，在()12,x x 上减函数；()121,x x ∈，()10f =，显然不适合题意，综上：2a ≤.考点：导数研究函数的单调性；导数在函数的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及导数在函数中的综合应用，试题运算量较大，有一定的难度，着重考查了函数与方程的思想及分类讨论思想的应用，本题的第二问的解答中，由函数()f x '且()10f =，可分三种情况分类word 格式版本讨论，特别当2a >时，可得()f x 在(][)120,,,x x +∞上增函数，在()12,x x 上减函数；()121,x x ∈，()10f =，显然不适合题意，综合三种情况，即可得到实数a 的取值围.【解析】13、已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行． （Ⅰ）数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程2()2f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，数m 的取值围；（Ⅲ）记函数21()()2g x f x x bx =+-，设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值点，若32b ≥，且12()()g x g x k -≥恒成立，数k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）1a =（Ⅱ）5ln 224m +≤<（Ⅲ）152ln 28-试题分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可数a 的值；（2）将()22f x m x x +=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根，进行转化，利用参数分离法，构造函数的导数，利用导数求出函数的极值即可，数m 的取值围；（3）求函数的导数，根据函数极值之间的关系即可证明不等式 试题解析：（1）1'()f x a x=- ∵函数在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行 ∴1122k a =-=-，解得：1a =； （2）由（1）得()ln f x x x =-，∴2()2f x m x x +=-，即23ln 0x x x m -++= 设2()3ln (0)h x x x x m x =-++>，则21231(21)(1)'()23x x x x h x x x x x-+--=-+==令'()0h x =，得1,2121==x x ，列表得：∴当1=x 时，()h x 的极小值为(1)2h m =-，（3）解法（一）∴12121,1x x b x x+=+=，120x x<<设，则01t<<，令，01t<<，∴()G t在(0,1)上单调递减；解法（二）∴12121,1x x b x x+=+=，∴word 格式版本考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【解析】14、已知函数)()(R a e ax x f x ∈-=，xxx g ln )(=. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）),0(0+∞∈∃x ，使不等式x e x g x f -≤)()(成立，求a 的取值围.【答案】试题分析：（1）)(x f 的单调递增区间为)0,(-∞，)(x f 的单调递减区间为),0(+∞；（2）≤a e21. (1)求)('x f 令0)(,0)(''><x f x f 解不等式，求函数的递增、递减区间；（2）由题中条件可得2ln x x a ≤，将问题转化成max 2)ln (x xa ≤，利用导数与极值的关系，求2ln )(x xx h =的极大值，也就是最大值. 试题解析：（1）∵R x e a x f x ∈-=,)('， 由0)('>x f 得)(x f 的单调递增区间为)0,(-∞； 由0)('<x f 得)(x f 的单调递减区间为),0(+∞.（2）∵),0(0+∞∈∃x ，使不等式x e x g x f -≤)()(成立，则x x ax ln ≤，即2ln xxa ≤. 设2ln )(x x x h =，则问题转化为max 2)ln (x xa ≤ 由3ln 21)('x xx h -=，令0)('=x h ，则e x =.当x 在区间),0(+∞变化时，)('x h 、)(x h 变化情况如下表：由上表可知，当e x =时，函数)(x h 有极大值，即最大值e21. ∴≤a e21. 考点：导数与单调性、导数与极值.【易错点晴】本题主要考查了导数与单调性、导数与极值的关系.用导数的方法来判断函数的单调性是重要的方法，尤其是在复杂函数中经常用到.函数的最值也可用导数的方法判断函数的单调性来确定极值，进而确定最值.导数的考查在高考中既是重点也是难点，要重视导数的应用.本题有一定的难度，属于中等题. 【解析】15、已知双曲线C ：)00(12222>>=-，b a by a x .（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4.若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率；（2）在区间[]61，取两个数依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率. 【答案】（1）34（2）2125试题分析：（1）由双曲线C 的离心率小于5，得到0＜b ＜2a ，由此列举法能求出双曲线C 的离心率小于5的概率；（2）由a ∈[1，6]，b ∈[1，6]，以a 为横轴，以b 为纵轴建立直角坐标系，由几何概型能求出双曲线C 的离心率小于5的概率试题解析：双曲线的离心率22221ab ac a c e +===．因为e <a b ab 20422<<∴<∴ (1)因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件),(b a 共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）． 设“双曲线C 的离心率小于5”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个．word 格式版本故双曲线C 的离心率小于5的概率为431612)(==A P ． (2)∵[][]6,1,6,1∈∈b a∴⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤≤≤a b b a 206161 所以以a 为横轴，以b 为纵轴建立直角坐标系，如图所示，21422155=⨯⨯-⨯=阴影S ，由几何概型可知，双曲线C 的离心率小于5的概率为2521=P ． 考点：古典概型概率与几何概型概率 【解析】16、已知函数(),()2x nf x eg x x m ==+，其中e 为自然对数的底数，,m n R ∈. （1）若2n =时方程()()f x g x =在[]1,1-上恰有两个相异实根，求m 的取值围；（2）若()()()T x f x g x =⋅，且12nm =-，求()T x 在[]0,1上的最大值；（3）若152m =-，求使()()f x g x >对x R ∀∈都成立的最大正整数n . 【答案】(1)111m e<≤+；(2)[]2max ()2nn e T x e-⎧-⎪=⎨⎪⎩，22n n <-≥-；(3)最大正整数14n =. 试题分析：(1)令()()()x F x f x g x e x m =-=--，求导得()1xF x e '=-，研究函数单调性，可以得到()()f x g x =在[]1,1-上恰有两个相异实根⇔1(1)10(0)10(1)10F m e F m F e m ⎧-=+-≥⎪⎪=-<⎨⎪=--≥⎪⎩，解之即可；(2)12n m =-，()(1)()22x n n T x e x n R =+-∈，'()(1)2x nT x e x =+,分0n ≥、20n -≤<、2n <-三种情况讨论导数的符号，从而确定函数在区间[0,1]上的单调性，求出最大值即可；(3构造函数15()()()22x n p x f x g x e x =-=-+，则()()f x g x >对x R ∀∈都成立()0p x ⇔>对x R ∀∈都成立min ()0p x ⇔>，求函数()p x 的导数，由导数得到函数()p x 的单调性，求出()p x 的最小值，由min ()(ln )02np x p =>解之即可.试题解析：（1）()()()x F x f x g x e x m =-=--，()1xF x e '=-，故()F x 在[]1,0-上单调递减；在[]0,1上单调递增；故()()f x g x =在[]1,1-上恰有两个相异实根.1(1)10(0)10(1)10F m e F m F e m ⎧-=+-≥⎪⎪=-<⎨⎪=--≥⎪⎩111m e ⇔<≤+； （2）12n m =-，()(1)()22x n n T x e x n R =+-∈，∴'()(1)2x nT x e x =+ ①当0n ≥时，'()0T x >，()T x 在[]0,1上为增函数，则此时max ()(1)T x T e ==；②当2n <-时，201n <-<，'2()()2x n T x e x n =⋅+，故()T x 在20,n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在2,1n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，此时22max 2()()(1)2n n n T x T e m e n --=-=-+=-⋅，③当20n -≤<时，21n -≥，'2()()2x n T x e x n=⋅+，故()T x 在[]0,1上为增函数，此时max ()(1)T x T e ==；综上所述：[]2max()2nn e T x e-⎧-⎪=⎨⎪⎩，22n n <-≥- （3）由题设：15,()()()0(*)22x n x R p x f x g x e x ∀∈=-=-+> 因为'()2x n p x e =-故()p x 在(0,ln )2n 上单调递减；在(ln ,)2n+∞上单调递增；故（）min 151()(ln )ln (ln 15)02222222n n n n np x p n n ⇔==-+=-+>设()ln 15(ln ln 2)152x h x x x x x x =-+=--+，则()1ln 1ln 22x xh x =--=-，故()h x 在(0,2)上单调递增；在(2,)+∞上单调递减；而22222(2)22ln 151520h e e e e e =-+=->，且2151515(15)1515ln1515(2ln )15(ln ln )0222h e =-+=-=-<，word 格式版本 故存在20(2,15)x e ∈，使0()0h x =，且0[2,)x x ∈时()0h x >，0(,)x x ∈+∞时，()0h x < 又∵2115(1)16ln 0,722h e =-><<， 故*n N ∈时使()()f x g x >的最大正整数14n =考点：1.函数与方程；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与不等式.【解析】。