2019年中考数学真题分类训练——专题二十一：规律探索题
2019中考真题卷--规律题
2019中考真题卷—规律题1（2019菏泽）．（3分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）2（2019内江）．（3分）如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC 边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕D n﹣1E n﹣1，到AC的距离记为h n．若h1＝1，则h n的值为（）A．1+B．1+C．2﹣D．2﹣3（2019滨州）．（5分）观察下列一组数：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a n＝（用含n的式子表示）4（2019甘肃）．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n ＝．y 的图象如图所示.已知A点坐标为（1，5.（2019衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线2x1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，……，依次进行下去，则点A2019的坐标为.6（2019扬州）.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC 上从左到右一次取点D1、D2、D3、D4…；过点D1作AB、AC的平行线分别交于AC、AB与点E1、F1；过点D2作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）= ．7（2019德州）．（4分）如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则A n（n为正整数）的纵坐标为．（用含n的式子表示）8（2019广安）．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．9（2019衢州）．（4分）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F n﹣1，…，则顶点F2019的坐标为．10（2019本溪）．（3分）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点∁n 的横坐标为 （结果用含正整数n 的代数式表示）11（2019泰安）.在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形2333C A B C ，正方形3444C A B C ，…，点1A ，2A ，3A ，4A ，…在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ,…在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线的和是_____.12（2019东营）．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝x 和y ＝﹣x 的图象分别为直线l 1，l 2，过l 1上的点A 1（1，）作x 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 2于点A 4，…依次进行下去，则点A 2019的横坐标为 ．13（2019赤峰）．（3分）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．参考答案1（2019菏泽）．（3分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2019的坐标．【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选：C．2（2019内江）．（3分）如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC 边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕D n﹣1E n﹣1，到AC的距离记为h n．若h1＝1，则h n的值为（）A．1+B．1+C．2﹣D．2﹣【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出h2＝，依次得出h3、h4、h5、……h n，再对h n进行计算变形即可．【解答】解：∵D是BC的中点，折痕DE到AC的距离为h1∴点B到DE的距离＝h1＝1，∵D1是BD的中点，折痕D1E1到AC的距离记为h2，∴D1E1到AC的距离h2＝h1+点B到D1E1的距离＝1+h1＝1+，同理：h3＝h2+h1＝1++，h4＝h3+h1＝1+++……h n＝1++++…+＝2﹣故选：C．3（2019滨州）．（5分）观察下列一组数：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a n＝（用含n的式子表示）【分析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1；观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，即可求解；【解答】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，∴a n＝＝；故答案为；4（2019甘肃）．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n ＝．4【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个． 第2幅图中有2×2﹣1＝3个． 第3幅图中有2×3﹣1＝5个． 第4幅图中有2×4﹣1＝7个． …．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n 幅图中共有（2n ﹣1）个． 当图中有2019个菱形时， 2n ﹣1＝2019， n ＝1010， 故答案为：1010．5.（2019衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线2x y =的图象如图所示.已知A 点坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4，……，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 .答案. 2(1010,1010)-6（2019扬州）.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC 上从左到右一次取点D 1、D 2、D 3、D 4…；过点D1作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 与点E 1、F 1；过点D 2作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 2、F 2；过点D 3作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 3、F 3…，则4（D 1E 1+D 2E 2+…+D 2019E 2019）+5（D 1F 1+D 2F 2+…+D 2019F 2019）= 40380 ． 【考点】：相似三角形，比例性质【解析】：∵D 1E 1∥AB D 1F 1∥AC∴CB CD AB E D 111= BCBD AC F D 11= ∵AB=5 AC=4 ∴CB CD E D 1115= BC BD F D 114= ∴14511111==+=+BCBCBC BD CB CD F D E D ∴4D 1E+5D 1F=20 有2019组，即2019×20=40380 【答案】：403807（2019德州）．（4分）如图，点A 1、A 3、A 5…在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，点A 2、A 4、A 6……在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∠OA 1A 2＝∠A 1A 2A 3＝∠A 2A 3A 4＝…＝∠α＝60°，且OA 1＝2，则A n （n 为正整数）的纵坐标为 ．（用含n 的式子表示）【分析】先证明△OA 1E 是等边三角形，求出A 1的坐标，作高线A 1D 1，再证明△A 2EF 是等边三角形，作高线A 2D 2，设A 2（x ，﹣），根据OD 2＝2+＝x ，解方程可得等边三角形的边长和A 2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A 1、A 3、A 5…在x 轴的上方，纵坐标为正数，点A 2、A 4、A 6……在x 轴的下方，纵坐标为负数，可以利用（﹣1）n +1来解决这个问题． 【解答】解：过A 1作A 1D 1⊥x 轴于D 1， ∵OA 1＝2，∠OA 1A 2＝∠α＝60°， ∴△OA 1E 是等边三角形，∴A1（1，），∴k＝，∴y＝和y＝﹣，过A2作A2D2⊥x轴于D2，∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°，∴△A2EF是等边三角形，设A2（x，﹣），则A2D2＝，Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°，∴ED2＝，∵OD2＝2+＝x，解得：x1＝1﹣（舍），x2＝1+，∴EF＝＝＝＝2（﹣1）＝2﹣2，A2D2＝＝＝，即A2的纵坐标为﹣；过A3作A3D3⊥x轴于D3，同理得：△A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3＝，Rt△F A3D3中，∠F A3D3＝30°，∴FD3＝，∵OD3＝2+2﹣2+＝x，解得：x1＝（舍），x2＝+；∴GF＝＝＝2（﹣）＝2﹣2，A3D3＝＝＝（﹣），即A3的纵坐标为（﹣）；…∴A n（n为正整数）的纵坐标为：（﹣1）n+1（）；故答案为：（﹣1）n+1（）；8（2019广安）．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【分析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．【解答】解：由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（﹣2，2），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8），A6的坐标为（16，﹣16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017，故答案为：（﹣22017，22017）．9（2019衢州）．（4分）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F n﹣1，…，则顶点F2019的坐标为．【分析】（1）先证明△AOB∽△BCD，所以＝，因为DC＝1，BC＝2，所有＝；（2）利用三角形相似与三角形全等依次求出F1，F2，F3，F4的坐标，观察求出F2019的坐标．【解答】解：（1）∵∠ABO+∠DBC＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠DBC＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BCD＝90°，∴△AOB∽△BCD，∴＝，∵DC＝1，BC＝2，∴＝，故答案为；（2解：过C作CM⊥y轴于M，过M1作M1N⊥x轴，过F作FN1⊥x轴．根据勾股定理易证得BD＝＝，CM＝OA＝，DM＝OB＝AN＝，∴C（，），∵AF＝3，M1F＝BC＝2，∴AM1＝AF﹣M1F＝3﹣2＝1，∴△BOA≌ANM1（AAS），∴NM1＝OA＝，∵NM1∥FN1，∴，，∴FN1＝，∴AN1＝，∴ON1＝OA+AN1＝+＝∴F（，），同理，F1（，），即（）F2（，），即（，）F3（，），即（，）F4（，），即（，）…F2019（，），即（，405），故答案为即（，405）．10（2019本溪）．（3分）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）【分析】根据点B1的横坐标为2，在直线l：y＝x上，可求出点B1的坐标，由作图可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，然后依次利用相似三角形的性质计算出C1、C2、C3、C4……的横坐标，根据规律得出答案．【解答】解：过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，∴点B1的纵坐标为1，即：OD ＝2，B 1D ＝1，图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，∴点C 1的横坐标为：2++（）0， 点C 2的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1点C 3的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2点C 4的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3……点∁n 的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n ﹣1＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n ﹣1＝故答案为：11（2019泰安）.在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形2333C A B C ，正方形3444C A B C ，…，点1A ，2A ，3A ，4A ，…在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ,…在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线的和是_____.【答案】(21n-【解析】 【分析】根据题意可得11OA =,212A C =,324A C =,L 112n n n A C --=,进而计算每个正方形的对角线,再求和即可.【详解】解：根据根据题意可得11OA =,212A C =,324A C =,L 112n n n A C --=所以可得正方形111OA B C正方形1222C A B C 的对角线为正方形2333C A B C 的对角线为正方形3444C A B C 的对角线为正方形1n n n n C A B C -的对角线为2n -所以前n 个正方形对角线的和为12(1248+2n n --+=++++L L (21n-故答案为(21n-.【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据前面的简单的规律，总结出后面的规律.12（2019东营）．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝x 和y ＝﹣x 的图象分别为直线l 1，l 2，过l 1上的点A 1（1，）作x 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 2于点A 4，…依次进行下去，则点A 2019的横坐标为 ．【解答】解：由题意可得，A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…，可得A2n+1的横坐标为（﹣3）n∵2019＝2×1009+1，∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，故答案为：﹣31009．13（2019赤峰）．（3分）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积为原来面积的一半即可解答．【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积，第二次：余下面积，第三次：余下面积，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，故选：C．。
2019年中考数学复习考点解密 规律探索性问题(含解析)
2019年中考数学二轮复习考点解密 规律探索性问题第一部分 讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。
其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。
所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。
三．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。
例1. 有一组数：13,25579,,101726，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为 ．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+；272411741⨯-=+； 219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+． 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2（2010广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________；(3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n [])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n[])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n )3)(2)(1(41+++=n n n n ． 解：（1）∵1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝31(10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440． （2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a , 那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空） 你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。
2019年中考数学专题训练：规律探索题(含答案)
专题训练(一)[规律探索题]1.[2018·烟台] 如图ZT1-1所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为()图ZT1-1A.28B.29C.30D.312.观察下列等式:71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…,那么计算71+72+73+…+72020的结果的个位数字是()A.9B.7C.6D.03.[2017·自贡] 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m的值为()图ZT1-2A.180B.182C.184D.1864.[2017·重庆A卷] 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑨个图形中菱形的个数为()图ZT1-3A.73B.81C.91D.1095.请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),(1-x)(1+x+x2+x3),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是()A.1-x n+1B.1+x n+1C.1-x nD.1+x n6.图ZT1-4中的图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成的,其中第①个图形有1颗棋子,第②个图形一共有6颗棋子,第③个图形一共有16颗棋子,…,则第⑥个图形中棋子的颗数为()图ZT1-4A.51B.70C.76D.817.[2018·贺州] 如图ZT1-5,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,依此下去,第n个正方形的面积为()图ZT1-5A.()n-1B.2n-1C.()nD.2n8.[2017·遵义] 按一定规律排列的一列数依次为:,1,,,,,…,按此规律,这列数中的第100个数是.9.[2017·郴州] 已知a1=-,a2=,a3=-,a4=,a5=-,…,则a8=.10.[2017·潍坊] 如图ZT1-6,自左至右,第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成;第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成;…;按照此规律,第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为个.图Z T1-611.观察下面的单项式:a,-2a2,4a3,-8a4,…,根据你发现的规律,第8个式子是.12.[2017·巴中] 观察下列各式:=2,=3,=4,…,请你将所发现的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表达出来:.13.图ZT1-7是将正三角形按一定规律排列的,则第五个图形中正三角形的个数是.图ZT1-714.观察下列等式:42-12=3×5;52-22=3×7;62-32=3×9;72-42=3×11;…,则第n(n是正整数)个等式为.15.[2017·天门] 如图ZT1-8,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标为A(-1,1),B(0,-2),C(1,0).点P(0,2)绕点A旋转180°得到点P1,点P1绕点B旋转180°得到点P2,点P2绕点C旋转180°得到点P3,点P3绕点A旋转180°得到点P4,…,按此作法进行下去,则点P2017的坐标为.图ZT1-816.[2018·贵港] 如图ZT1-9,直线l为y=x,过点A1(1,0)作A1B1⊥x轴,与直线l交于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2;再作A2B2⊥x轴,交直线l于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3,…,按此作法进行下去,则点A n的坐标为.图ZT1-917.[2018·安顺] 正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如图ZT1-10所示的方式放置.点A1,A2,A3…和点C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,则点B n的坐标是.(n为正整数)图ZT1-10参考答案1.C[解析] 第1个图形有(4×1)朵,第2个图形有(4×2)朵,第3个图形有(4×3)朵, …,第n个图形有4n朵,所以由4n=120得n=30.2.D3.C[解析] 观察各正方形中的4个数可知,1+14=3×5,3+32=5×7,5+58=7×9,故11+m=(11+2)×(11+4),解得m=184.4.C[解析] 整个图形可以看作是由两部分组成,各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现:第个由此推断出这组图形中菱形个数的变化规律为:n2+n+1.当n=9时,有n2+n+1=92+9+1=91,∴第⑨个图形中菱形的个数为91.5.A[解析] 利用多项式乘多项式法则计算,归纳总结得到一般性规律,即可得到结果.观察可知,第一个式子的结果是:1-x2,第二个式子的结果是:1-x3,第三个式子的结果是:1-x4,…,第n个式子的结果是:1-x n+1.6.C[解析] 通过观察图形得到第①个图形中棋子的颗数为1=1+5×0;第②个图形中棋子的颗数为1+5×1=6;第③个图形中棋子的颗数为1+5+10=1+5×3=16;…所以第个图形中棋子的颗数为1+-),然后把n=6代入计算即可.7.B8.[解析] 分别寻找分子、分母蕴含的规律,第n个数可以表示为-,当n=100时,第100个数是.9.[解析] 由前5项可得a n=(-1)n·,当n=8时,a8=(-1)8·=.10.(9n+3)[解析] 由图形及数字规律可知,第n个图中正方形的个数为5n+1,等边三角形的个数为4n+2,所以其和为5n+1+4n+2=9n+3.11.-128a8[解析] 根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号,而a的系数为2n-1,a的指数为n.第8个式子为-27a8=-128a8.12.=(n+1)[解析] 观察所给出的二次根式,确定变化规律:左边被开方数由两项组成,第一项为序号,第二项为序号加2的倒数;右边也为两部分,根号外为序号加1,根号内为序号加2的倒数的算术平方根,即=(n+1).13.485[解析] 由图可以看出:第一个图形中有5个正三角形,第二个图形中有5×3+2=17(个)正三角形,第三个图形中有17×3+2=53(个)正三角形,由此得出第四个图形中有53×3+2=161(个)正三角形,第五个图形中有161×3+2=485(个)正三角形.14.(n+3)2-n2=3×(2n+3)[解析] 确定规律,写出一般式.∵42-12=3×5;52-22=3×7;62-32=3×9;72-42=3×11;∴第n个式子为:(n+3)2-n2=3×(2n+3).15.(-2,0)[解析] 根据旋转可得:P1(-2,0),P2(2,-4),P3(0,4),P4(-2,-2),P5(2,-2),P6(0,2),故6次旋转为一个循环,2017÷6=336……1,故P2017(-2,0).16.(2n-1,0)[解析] 由点A1坐标为(1,0),过点A1作x轴的垂线交直线y=x于点B1,可知B1点的坐标为(1,).以原点O 为圆心,OB1长为半径画弧与x轴交于点A2,所以OA2=OB1,所以OA2=)=2,因此点A2的坐标为(2,0),同理,可求得B2的坐标为(2,2),点A3的坐标为(4,0),B3(4,4)……所以点A n的坐标为(2n-1,0).17.(2n-1,2n-1)[解析] 当x=0时,y=x+1=1,∴点A1的坐标为(0,1).∵四边形A1B1C1O为正方形,∴点B1的坐标为(1,1).当x=1时,y=x+1=2,∴点A2的坐标为(1,2).∵四边形A2B2C2C1为正方形,∴点B2的坐标为(3,2).同理,可得点A3的坐标为(3,4),点B3的坐标为 7,4),…,点A n的坐标为(2n-1-1,2n-1),点B n的坐标为(2n-1,2n-1).故答案为(2n-1,2n-1).。
2019版中考专题(1)规律探索问题(含答案).docx
第二篇专题能力突破 专题一规律探索问题—年创新导向一、选择题1. (原创题)观察下列图形，它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形中的“★”有()★★ ★ ★★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★第1个图形 第2个图形第3个图形 第4个图形A. 57 个B. 60 个C.63个 D. 85 个解析 第1个图形有3个“★”，第2个图形有6=2X3个“★” ,第3个图形有9=3X3个“★” , 第4个图形有12=4X3个“★ ”，…，第20个图形有20X3=60个.故选B.答案B2. (原创题)如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2, 4, 6,…，2n,…, 请你探究出前n行的点数和所满足的规律.若前n 行点数和为930,则n=()• • • • A 2• • • • • «A 3A. 29B. 30C. 31D. 32解析 前n 行的点数和可以表示成2+4+6+・・・+2n=2(l+2+3 + ・・・+n) =2X —=n(n+1), 从而得到一元二次方程n(n+1) =930,可以求出n=30・故选B.答案B3. (原创题)符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(l)f(l)=2, f ⑵=4, f ⑶=6,…;(2)f 閤=2, -(為)等于()A. 2 013B. 2 014c -----2 013答案B4. (原创题)观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点,f(J)=3, f(f|=4,…利用以上规律计算：f(2 014) 解析根据题意，得f (2 014)—=2 014X2-2 014=2 014.故选B.第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是解析第1个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，比第1个图形中多了6个点；第3个图形中共有19个点，比第2个图形中多了9个点；…，按此规律可知，第4个图形比第3个图形中多12个点，所以第4个图形中共有12+19=31个点，第5个图形比第4个图形中多15个点，所以第5个图形中共有31 + 15=46个点，第6个图形比第5个图形中多18个点，所以第6个图形中共有46+18=64个点，故选D. 答案D二、填空题5.(原创题)图中各正三角形中的四个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个正三角形中，四个数的解析观察图形发现：1><2—3 = — 1, 2X3-4=2, 3X4—5 = 7,故第n个正三角形中的外围的三个数分别是n, n+1, n+2,中间的数为n(n+l) — (n+2) =n2—2,所以这四个数的和为n+n+l+n+2 +n2—2=n2+3n+l.答案n+3n+l6.(原创题)如图，ZA0B=45° ,过射线0A上到点03,5, 7, 9, 11,…的点作OA的垂线与OB相交，黑色梯形，它们的面积分别为S“ S2, S3, S4…….律，则第2 015个黑色梯形的面积S2O15= __________ •(1 -LOA X 9 解析根据题意可得：S尸一=4=1X8的距离分别为h 得到并描出一组观察图中的规—4 , S2 —空严=12=2X8-42 (9+11)><2=20=3X8-4,2 S2 015=2 015X8-4=16 116.答案16 116 (13 + 15)=28=4X8-4，…，2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1.小明总结了以下结论：①a(b+c) =ab+ac ；②a(b - c) =ab - ac ； (3)(b - c) -ra=b4-a - c4-a(a^0)；④ a4- (b+c) =a-rb+a4-c(a^0)；其中一定成立的个数是() A. 1B ・2C ・3D ・424.如图，在反比例函数y=-—的图象上有一动点A,连结A0并延长交图象的另一支于点B,在第一象限x内有一点C,满足AC=BC,当点A 运动时，点C 始终在函数y=£的图象上运动，若tanZCAB=3,则kA. -B. 6C. 8D. 1835.甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km.他们前进的路程为s (km), 甲出发后的时间为t(h),甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示.根据图象信息，下列说法正确 的是()A. x< - 3B. x> - 33.下列运算正确的是( )A. a 6 -a 2 =a 4B. (a 2)3 = a 5C. x< - 6 C. a 2-a 3=a 5D. x> - 6D. a 6 4-a 2 = a 3A.甲的速度是4km/h C.乙比甲晚出发lhB. 乙的速度是10km/h D.甲比乙晚到B 地3h6.如图，AB/7CD,直线L 交AB 于点E,交CD 于点F,若Z2=75° ,则Z1等于（ ）7.如图，幼儿园计划用30m 的围栏靠墙围成一个面积为lOfW 的矩形小花园（墙长为15m ）,则与墙垂直的边x 为（）A. 10m 或 5m B ・ 5m 或 8m C ・ 10m D ・ 5m8. 下列运算正确的是（） A. J （-5）2 = - 5 B. （x 3）2=x 5 C. X 64-X 3=X 2D. （- -）_2=1649. 如图，一个游戏转盘分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄两个扇形的圆心角度数分别为90° , 120° •让转盘自由转动，停止后，指针落在蓝色区域的概率是（）10. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元，求这两年的年利润的平均增长率，设企业这两年的年利润平均增长率为X,则可列方程为（）A. 300 （1+x ） 2=507B. 300 （1 -x ） 2=507x+5 > 211•不等式组4_心的最小整数解是（）、填空题C. 125°D. 75°a5J11 5A ・ 一氏一 c.— 43 12 D.无法确定 C. 300 (l+2x) =507D. 300 (1+x 2) =507B.115°A. -3B. - 2C. 0D. 1A. AABC^ADCBB. AAOD^ACOBC. AABO^ADCOD. AADB^ADAC13.问题背景：如图，将AABC绕点A逆时针旋转60°得到AADE, DE与BC交于点P,可推出结论: PA+PC = PE问题解决：如图，在AM2VG中，MN = 6, ZM=75°, MG = 4近.点O是AWG内一点，则点O到AMNG三个顶点的距离和的最小值是_________________16.如果(2 +血)2=a+b逅(a, b为有理数)，那么a+b等于 ________________ .3 1 1 3 17.如图，点A (1, a)是反比例函数y= 的图象上一点，直线y= ------------------------- x+ —与反比例函数y= ---------- 的x 2 2 x图象在第四象限的交点为点B,动点P (x, 0)在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，则点P的坐标是 _________________________ .18.若矩形两条对角线的夹角是60° ,且较短的边长为3,则这个矩形的面积为—•三、解答题19.在箱子中有10张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x,然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y,试求x+y是10的倍数的概率.有意义的x的取值范围是___________20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=x 向右平移2个单位后与双曲线y=3 (x>0)有唯一 公共点A,交另一双曲线y=' (x>0)于B.x(1) 求直线AB 的解析式和a 的值; (2) 若x 轴平分AAOB 的面积，求k 的值.x-1 > 01 1(3) 已知x“ X2是方程x 2- 3x - 1 =0的两不等实数根，求一+ —的值 X] x 223. 观察下列等式：©32-31=2X31；②3—32=2X3〈③3"-33=2XT ；④36 - 34=2X34…根据等式所反映的规律，解答下列问题：(1) 直接写出：第⑤个等式为 __________ ;(2) 猜想：第n 个等式为 _________ (用含n 的代数式表示)，并证明. 24. 已知二次函数y=x2—2(m+l)x+加+1 (m 为常数)，函数图像的顶点为C. (1) 若该函数的图像恰好经过坐标原点，求点C 的坐标；(2)该函数的图像与x 轴分别交于点A 、B,若以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，求m 的值.25. 如图，AP 平分ZBAC, ZADP 和ZAEP 互补.⑴作P 到角两边AB, AC 的垂线段PM, PN.(2)求证:PD=PE.【参考答案】*** 一、选择题13. 2A /29 14. xH_315.22. (1)计算：| 2—舲 |+(血+ 1)°—3 tan 30°+(—1)258(2)解不等式组:1 x221.计算:15.1016.(4, 0)17.运.三、解答题18. 1【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1〜10这10个结果，满足条件的事件x+y是10的倍数的数对可以列举出结果数，根据等可能事件的概率公式得到结果.【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1~10这10个结果，故形成的数对(x, y)共有100个.满足条件的事件x+y是10的倍数的数对包括以下10个：(1, 9), (9, 1), (2, 8), (8, 2), (3, 7), (7,3), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (10, 10).故“x+y是10的倍数”的概率为£ =卷=0.1 •【点睛】本题考查等可能事件的概率，是一个关于数字的题目，数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，然后根据概率公式计算.19.(1) y=x - 2, a= - 1； (2) k=3.【解析】【分析】(1)根据平移的性质求出一次函数的解析式，根据无交点求出a的值，1y ——(2)解方程组.x 可求出A的坐标是(1, -1),由x轴平分AAOB的面积，可知B的纵坐标是1, j = x —2代入一次函数解析式可求出B的坐标是（3, 1）,即可求出答案.【详解】（1）直线y=x向右平移2个单位后的解析式是y=x - 2,即直线AB的解析式为y=x-2,得：x - 2=—,则x2 - 2x - a=0,x△=4+4a=0,解得：a= - 1,一1（2）由（1）可得方程组丿x ,y = x-2\ x — \解得：\ ,A的坐标是（1, - 1）,Tx轴平分AAOB的面积，.°.B的纵坐标是1,在y=x-2中，令y=l,解得：x=3,则B的坐标是（3, 1）, 代入y=±可得：k=3.x【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根的判别式，平移的性质，三角形的面积的应用，及待定系数法求反比例函数解析式，题目是一道比较好的题目，难度适中.20.3-3^6【解析】【分析】直接利用负指数幕的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案.【详解】解：原式=9-2辰2血-（6-茜），=9-4A/6 -6 + A/6,=3-3A/6【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键.21.（1） 2-2A/3 : （2） l<x<3；（3） - 3.【解析】【分析】(1)根据实数的运算法则进行计算(2)根据不等式组的解法解答，注意去分母(3)先根据一元二次方程的根与系数之间的关系求未知数，再化简求值.【详解】解：(1) |2 —的|+(血+ 1)°—3tan30°+(—I)""* = 2-V3+l-3x —+ 1-23= 2-73+1-73+1-2=2-2 也2x—1 > 0—1 —X解不等式1 —x> ---------- ,得：x<3,2解不等式x-l>0,得：x>l, x<3 x-1 >0故不等式组的解集为l<x<3；(3)由根与系数的关系得：Xi+X2=3, X I X2= - 1,1 1 x. +则一+ —= ~ =-3 .【点睛】此题重点考察学生对实数的运算，不等式组的解，一元二次方程根与系数之间的关系的理解，掌握实数的运算法则，不等式组和一元二次方程的解法是解题的关键.22.(1) 36 - 35=2X35； (2) 3n+1 - 3n=2X3n.【解析】【分析】由®32- 31=2X31；②3彳-3J2X32；③34 - 33=2X33；④35 - 34=2X34-得出第⑤个等式,以及第n个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n、n.【详解】解：(1)由®32- 31=2X31；②3彳-32=2x32；③34-3S=2X33；④35 - 34=2X34…得出第⑤个等式36 - 35 =2X35；故答案为：36 - 35=2X36；(2)由©32-31=2X31；②33-32=2x32； (3)34 - 33=2X33；④35 - 34=2X34…得出第n 个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n、n,即3n+1 - 3n=2X3n.证明：左边=3说-3"=3X3°-3"=3°X (3-1) =2X3n=右边，所以结论得证.故答案为：3n+1-3n=2X3n.【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题.【解析】【分析】—1 —X(2) l-x> -------------- \2,(2) m的值为1或一1(1)把(0, 0)代入y=+—2(m+l)x+2m+l可求出m的值，可得二次函数解析式，配方即可得出C点坐标；(2)令y=0,可用m 表示出&和X2,即可表示出AB的距离，根据二次函数解析式可用含m的代数式表示顶点C的坐标，根据以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形可得关于m的方程，解方程求出m的值即可.【详解】(1)解:Vy=x2—2(m+l)x+2m+l 的图像经过点(0, 0).•.2m+l=0,12当m=—丄时，y=x2—x= (x —丄)2——,2 2 4•••顶点C的坐标(丄，2 4(2)解：当y=0 时X2—2(m+l)x+2m+l=0.°.xi=2m+l, X2=l,•*.AB= |2m|,Vy=x2—2(m+l)x+2m+l= (x—m—l)2—m2,顶点C的坐标(m+1, —m2),•.•以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，/. 2m2 = |2m|,当2m2=2m 时，mi=0, m2=l,当21^=—2m 时，mi=0, m2= —1,当m=0 时，AB=0 (舍)答：m的值为1或一1.【点睛】本题考查二次函数的图象及二次函数与一元二次方程，根据二次函数的解析式表示出顶点C的坐标和AB 的长是解题关键.25. (1)画图见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意作图即可；⑵由PM丄AB, PN丄AC, PA平分ZBAC,可得PM=PN,再求出ZDPM=ZEPN,证明△ PMD^APNE,即可求【详解】解：⑴线段PM, PN如图所示.・・・PM=PN・・・ZPMA=ZPNA=90° ,・・・ZMPN+ZMAN=180° ,V ZADP+ZAEP=180° ,A ZDAE+ZDPE=180° ,・•・ ZMPN=ZDPE,・•・ ZDPM=ZEPN,•••△PMD 竺△PNE(ASA),・・・PD=PE・【点睛】本题考查的是全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1. 函数y = yj2-x+—^—中自变量x 的取值范围是（）x-1 A. x<2B ・C ・ xV2 且兀工1D ・2. 如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，AABC 与ACDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A. AACE^ABCD B ・△BGC^AAFC C ・△DCG9/\ECF D ・△ADB^ZkCEA 3.如图，将面积为S 的矩形ABCD 的四边BA 、CB 、DC 、AD 分别延长至E 、F 、G 、H,使得AE=CG, BF=BC, FB 2DH 二AD,连接EF, FG, GH, HE, AF, CH.若四边形EFGH 为菱形，——=—,则菱形EFGH 的面积是（）AB 3A. 2SB. -52 7C. 3S D ・一S24.若关于x 的方程3x 2 - 2x+m=0的一个根是- 1,则m 的值为（）26.如图，在反比例函数y=-—的图象上有一动点A,连结A0并延长交图象的另一支于点B,在第一象限兀内有一点C,满足AC=BC,当点A 运动时，点C 始终在函数y='的图象上运动，若tanZCAB=3,则kX的值为（）A. -5 B ・-1 C ・ 1D. 5如图，直线AD 〃BC,若Zl=40°,ZBAC=80° ,则Z2的度数为（C. 50°D. 40°5.2 A. -B ・ 6C ・ 8D ・ 1837. 函数y=2x'-4x ・4的顶点坐标是( )A. (1, -6)B ・(1, -4)C ・(・ 3, -6)D ・(-3,-4)8. 一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1,若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是( )10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为11. 在-3, -1, 1, 3四个数中，比-2小的数是( )二、填空题13. 如图，AB 是00的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C,若CE=2,则图中 阴」影部分的面积为_•A. 86 氏68 C. 97 D. 739. 在一个不透明的口袋中装有2个绿球和若干个红球, 摸出-个球，摸到绿球的概率为?则红球的个数是(这些球除颜色外无其它差别，从这个口袋中随机A.2B.4C.6D.8C. 24+6^3D. 16+6^3A. 1B. - 1C. -3D.12. 如图，这是健健同学的小测试卷, 判断题：每小题20分(D 2是分式 (2) (-2^ )3=-6/他应该得到的分数是(⑷ J9=±3(x )(5) 65啲补角是125。
2019中考数学规律探索题(中考找规律题目-有答案)
中考规律探索1一．选择题1．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187… 解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．72. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M =（i ，j ）表示正奇数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2013=（ ） A ．（45，77） B ．（45，39） C ．（32，46） D ．（32，23）3.下表中的数字是按一定规律填写的，表中a 的值应是 ．1 2 3 5 8 13 a (2)358132134…4.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为2cm 2，第（2）个图形的面积为8 cm 2，第（3）个图形的面积为18 cm 2，……，第（10）个图形的面积为（ ）A ．196 cm 2B ．200 cm 2C ．216 cm 2D ． 256 cm 25．如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（ ）A 、（1，4）B 、（5，0）C 、（6，4）D 、（8，3）6．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M 与m 、n 的关系是A ． M=mnB ． M=n(m+1)C ．M=mn+1D ．M=m(n+1)7．我们知道，一元二次方程12-=x 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“”，使其满足12-=i (即方程12-=x 有一个根为)，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有,1i i =12-=i ，,).1(23i i i i i -=-=⋅=.1)1()(2224=-==i i 从而对任意正整数n ，我们可得到,.)(.4414i i i i i i n n n ===+同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i 那么，20132012432i i i i i i +⋅⋅⋅++++的值为A ．0B ．1C ．-1D ．8．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）A ．51B ．70C ．76D ．81二．填空题1．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为 （用含n 的代数式表示）．2．如图，在直角坐标系中，已知点A （﹣3，0）、B （0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为 ．3．如图，正方形ABCD 的边长为1，顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形A 1B 1C 1D 1，由顺次连接正方形A 1B 1C 1D 1四边的中点得到第二个正方形A 2B 2C 2D 2…，以此类推，则第六个正方形A 6B 6C 6D 6周长是 ．图① 图② 图③···（第8题图）4．直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点．5．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是．6 ．如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需根火柴棒．7．观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是．8．如图12，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m =_________．9.直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点. 10．观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25，15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…………请猜测，第n个算式(n为正整数)应表示为____________________________．11．将连续的正整数按以下规律排列，则位于第7行、第7列的数x是__ __．12、如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；……按这样的规律下去，则第（6）幅图中含有 个正方形；13．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆， 第2个图形有10个小圆， 第3个图形有16个小圆， 第4个图形有24个小圆， ……，依次规律，第6个图形有 个小圆．14.已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n 个数是 ． 15、我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y ＝ax 2＋bx (a ≠0) （1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a ＝__________；当顶点坐标为（m ，m ），m ≠0时，a 与m 之间的关系式是__________；（2）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y ＝kx (k ≠0)上，请用含k 的代数式表示b ；（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y ＝x 上，横坐标依次为1，2，…，n （为正整数，且n ≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足记为B 1，B 2，…，B n ，以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ，若这组抛物线中有一条经过D n ，求所有满足条件的正方形边长．16．如图，所有正三角形的一边平行于x 轴，一顶点在y 轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A 、2A 、3A 、4A 、…表示，其中12A A 与x 轴、底边12A A 与45A A 、45A A 与78A A 、…均相距一个单位，则顶点3A 的坐标是 ，22A 的坐标是 ．xy A 9A 6A 3A 8A 7A 5A 4A 2A 1O第16题图••••••①② ③17．如图，已知直线l ：y=33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去，则点A 2013的坐标为 ．18、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 4n ＋1（n 为自然数）的坐标为 （用n 表示）19．当白色小正方形个数n 等于1，2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________．（用n 表示，n 是正整数）20. （2013•衢州4分）如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…．则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 ．21.一组按规律排列的式子：ａ２，43a ，65a ,87a ,….则第n 个式子是________ 22.观察下面的单项式：a ，﹣2a 2，4a 3，﹣8a 4，…根据你发现的规律，第8个式子是 ．23.如图，已知直线l：y=x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M10的坐标为．24.为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为．答案：选择题：1、C 2、C 3、21 4、B 5、D 6、D 7、D 8、 C填空题：1、（n+1）2 2、（8052,0） 3、0.5 4、16097 5、51 6、2n+1 7、1014049 8、 2 9、16097 10、[10(n-1)+5]2=100n(n-1)+25 11、85 12、91 13、46 14、2n 15、（1）－1；a ＝－1m（或am ＋1＝0）； （2）解：∵a ≠0 ∴y ＝ax 2＋bx ＝a (x ＋2b a)2－24b a∴顶点坐标为（－2ba ，－24b a ）∵顶点在直线y ＝kx 上∴k (－2ba )＝－24b a∵b ≠0∴b ＝2k（3）解：∵顶点A n 在直线y ＝x 上 ∴可设A n 的坐标为（n ，n ），点D n 所在的抛物线顶点坐标为（t ，t ）由（1）（2）可得，点D n 所在的抛物线解析式为y ＝－1tx 2＋2x∵四边形A n B n C n D n 是正方形∴点D n 的坐标为（2n ，n ） ∴－1t(2n )2＋2×2n ＝n∴4n ＝3t∵t 、n 是正整数，且t ≤12，n ≤12∴n ＝3，6或9∴满足条件的正方形边长为3，6或916、（0，31-），（－8，－8）. 17、()()201340260,40,2或（注：以上两答案任选一个都对）18、（2n ，1） 19、n 2+4n 20、20；21、221na n （n 为正整数）22、-128a 8 23、（884736,0） 24、6n+2规律探索21、 我们平常用的数是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。
2019全国中考数学真题分类汇编之32：规律探索(含答案)
一、选择题 1. （2019年山东省菏泽市）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原 点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度， 其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An， 则点A2019的坐标是（ ）
用其中规律，写出第n个数an＝
（用含n的式子表示）
【考点】规律探索、同底数幂的乘法
【解答】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，
观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为
，
∴an＝
＝
；
故答案为
；
2. （2019年山东省枣庄市）观察下列各式：
＝1+
＝1+（1﹣ ），
＝1+
9. （2019年黑龙江省伊春市）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1
为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△ AA1A2；再以对角线OA2为边作第
三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△ A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方
形，连接A2A4，得到△ A2A3A4……记△ AA1A2、△ A1A2A3、△ A2A3A4的面积分别为S1、
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中
顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则 的值为________ .
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1 ， 摆放第三个“7”字图形
得顶点F2 ， 依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点Fn-1 ， …，则顶点F2019的坐
【中考专题】2019年中考数学 探索规律题型 专题复习(含答案)
2019年中考数学探索规律题型专题复习一、选择题1.观察下列关于x的单项式,探究其规律:x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律,第2019个单项式是（）A.2019x2019B.4037x2018C.4037x2019D.4039x20192.如图,在平面直角坐标系中,A（1,1），B（-1,1），C（-1,-2），D（1,-2）.把一条长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A.（1,-1）B.（-1,1）C.（-1,-2）D.（1,-2）3.如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方1形重叠部分的面积之和是（）A.nB.n﹣1C.（）n﹣1D.n4.如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是 ( )A.y=2n＋1B.y=2n＋nC.y=2n＋1＋nD.y=2n＋n＋15.如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心在坐标原点0，点P从点B出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度运动，则第2018秒时，点P的坐标是( )A.(1，)B.(-1，-)C.(1，-)D. (-1，)6.在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)，我们把点P/(-y+1,x+1)叫做点P伴随点.已知点A的伴随点为A2，1点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，….若点A1的坐标为(2，4)，点A2017的坐标为( )A.(-3，3)B.(-2，-2)C.(3，-1)D.(2，4)7.如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2 018次运动后，动点的坐标是（）A.(2018，0)B.(2018，1)C.(2018，2)D.(2017，0)8.如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形AB1C1D1；把正方形A1B1C1D1边1长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此进行下去…，则正方形A n B n C n D n的面积为（）A.（）nB.5nC.5n﹣1D.5n+19.如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAAB的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正1方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（）A.（0，21008）B.（21008，21008）C.（21009，0）D.（21009，－21009）10.已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第5个数是( )A.-4955B.4955C.-4950D.495011.观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是（）A.36B.45C.55D.6612.根据如图所示的(1)，(2)，（3)三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是( )A．3n B．3n(n+1) C．6n D．6n(n+1)13.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（）A．3 B．6 C．4 D．214.观察算式，探究规律：当n=1时，S1=13=1=12；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，；…那么S n与n的关系为（）A． B． C． D．15.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，顺次连结各边中点得到四边形AB1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D11各边中点得到四边形A2B2C2D2…，依此类推，则四边形A7B7C7D7的周长为( )A.14B.10C.5D.2.5二、填空题16.将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是______．17.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 .18.用长度相等的小棒按一定规律摆成如图所示的图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有根小棒．（用含n的代数式表示）19.如图，动点P在坐标系中按图中所示箭头方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是．20.如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第n个四边形的周长为．21.如图，将△ABC第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连1结A1、B1、C1，得到△A1B1C1，第二次操作：分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连结A2、B2、C2，得到△A2B2C2…按此规律，若△A3B3C3的面积是686，则△ABC的面积为______．22.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，则a n=______．23.如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OAB1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B21变换成△OA3B3，已知A(1,3)，A1(2,3),A2(3,3),A3(4,3),B(2,0)，B1(4,0)，B2(8,0)，B3(16,0).(1)仔细观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律，按此变换规律将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是_________,B4的坐标是_________.(2)若按第(1)题的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA n B n,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测：A n的坐标是_________，B n的坐标是_________ .24.如图,在平面直角坐标系中,点A，A2，A3，…，A n在x轴的正半轴上,且OA1=2，OA2=2OA1，OA3=2OA2，…,1OA n=2OA n﹣1，点B1，B2，B3，…，B n在第一象限的角平分线l上，且A1B1，A2B2，…，A n B n都与射线l垂直，则B1的坐标是，B3的坐标是，B n的坐标是．25.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4,以AC为斜边作Rt△ACC1,使∠CAC1=30°,Rt△ACC1的面积为S1；再以AC1为斜边作△AC1C2，使∠C1AC2=30°，Rt△AC1C2的面积记为S2，…，以此类推，则S n= （用含n的式子表示）26.观察下列算式，你发现了什么规律？12=；12+22=；12+22+32=；12+22+32+42=；…①根据你发现的规律，计算下面算式的值；12+22+32+42+52= ；②请用一个含n的算式表示这个规律：12+22+32…+n2= ；③根据你发现的规律，计算下面算式的值：512+522+…+992+1002= ．27.正整数按如图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字．28.已知，如图，∠MON=45°，OA=1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记1作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长C n= ．29.设,,,…,设，则S=_________ (用含n的代数式表示，n为正整数)．30.即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,用来记录采集到的野果数量,由图可知,她一共采集到的野果数量为个.答案1.C.2.B3.B；4.B；解析：∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y=2n＋n.5.D；6.D7.A8.B；9.B；10.B11.B;解：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．12.B13.D14.C15.D.16.答案为：4n+1．17.答案为：9n＋3.18.答案为：5n+1；19.答案为：（2018，0）；20.答案为：4（）n．21.答案为：2．22.答案为：（）n﹣1．23.答案为：⑴(5,3)；（32，0）;⑵（n+1,0）；24.答案为：（1，1）, （4，4）. （2n﹣1，2n﹣1）25.解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=0.5AB=2，∴AC=BC=2，∴S△ABC=0.5•BC•AC=2，在△ABC1中，∵∠CAC1=30°，∴CC1═0.5AC=，∵∠BAC=∠CAC1，∠ACB=∠AC1C=90°，∴△ACB∽△AC1C，∴=（）2=（）2=，∴S1=•S△ABC，同理可得，S2=•S1=（）2•S△ABC，S3=（）3•S△ABC，…根据此规律可得，S n=（）n•S△ABC=，故答案为．26.答案为：（1）；（2）；（3）295425；27.答案为：420；28.答案为：2n+1．29.答案为：．30.答案为:1946.解析：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1946.第11 页共11 页。
2019届人教版中考复习数学练习专题一：规律题探索专题(有答案)
第二部分专题复习专题一规律题探索专题【考纲与命题规律】考纲要求探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．命题规律常见的类型有三种：(1)数与式变化规律型；(2)图形变化规律型；(3)猜想论证型．这种类型的解题方法和步骤有三步：(1)通过对几个特例的观察与分析，寻找规律并进行归纳；(2)猜想符合规律的一般性结论；(3)对一般性结论进行【课堂精讲】例1观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是＿＿．分析：[来源:]数字的变化类，观察已知一组数发现：分子为从1开始的连线奇数，分母为从2开始的连线正整数的平方，写出第n个数即可．解答：解：根据题意得：这一组数的第n个数是．故答案为：．点评：此题考查了数字规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．例2.如图，是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴________根．分析：图形规律，观察图形发现：搭1条金鱼需要火柴8根，搭2条金鱼需要14根，即发现了每多搭1条金鱼，需要多用6根火柴．则搭n条“金鱼”需要火柴8+6（n-1）=6n+2．解答：6n＋2点评：此题考查了图形规律型：图形的变化类，弄清题中的递增规律是解本题的关键．例3. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是．分析：首先利用直线的解析式，分别求得A1，A2，A3，A4…的坐标，由此得到一定的规律，据此求出点A n的坐标，即可得出点B6的坐标．解答：解：∵直线y=x+1，x=0时，y=1，∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴A1的纵坐标是：1=20，A1的横坐标是：0=20﹣1，∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，即点A4的坐标为（7，8）．据此可以得到A n的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．即点A n的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．∴点A6的坐标为（25﹣1，25）．∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）．故答案为：（63，32）．点评：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．【课堂提升】1.观察下列等式：①32－4×1＝12＋4；②42－4×2＝22＋4；③52－4×3＝32＋4；…则第n个等式可以表示为__________________2.阅读下列材料：1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，3×4＝13(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝13×3×4×5＝20.读完以上材料，请你计算下各题：(1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)；(2)1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝________；(3)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________.3.如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n(n 是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是________4.如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为．5. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．6.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是．【高效作业本】专题一规律题探究专题1如图，按此规律，第6行最后一个数字是，第行最后一个数是2014．2.观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是（结果需化简）．3.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由个▲组成．4.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）A．31B．46C．51D．665．填在下图的各正方形中的4个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是( )．A．38 B．52 C．66 D．746．如右图，物体从点 A 出发，按照A→B(第1步)→C(第2步)→D→A→E→F→G→A→B→…的顺序循环运动．则第2011步到达的点处是( )A．A点 B．B点 C．D点 D．F点7.为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值．【答案】专题一规律题探索专题1.：(n＋2)2－4n＝n2＋42.解析：(1)∵1×2＝13(1×2×3－0×1×2)2×3＝13(2×3×4－1×2×3)?10×11＝13(10×11×12－9×10×11)∴以上各式相加得1×2＋2×3＋…＋10×11＝13×10×11×12＝440.(2)13n(n＋1)(n＋2)．(3)14×7×8×9×10＝1 260.3. n(n＋2)4.：解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，∴AA1=OA=1，OA1=OA=；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8．故答案为：8．点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．5.解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．6.解：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，∵2014÷4=503…２，∴滚动第2014次后与第二次相同，∴朝下的点数为3，故答案为：3．本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．【高效作业本】1. 解：每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…，第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴第6行最后一个数字是3×6﹣2=16；3n﹣2=2014解得n=672．因此第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．故答案为：16，672．2.解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1n+1），∴第16个答案为：．故答案为：．3.解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；故答案为：3n+1．4..解：第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46．故选：B．5. D6. C7.解：设M=1+3+32+33+…+32014 ①，①式两边都乘以3，得3M=3+32+33+…+32015 ②．②﹣①得2M=32015﹣1，两边都除以2，得M=，故答案为：．。
2019全国中考数学真题分类汇编之32：规律探索(含答案)
2019年全国中考数学真题分类汇编：规律探索一、选择题1. （2019年山东省菏泽市）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【考点】坐标、平移、规律探索【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选：C．2. （2019年山东省济宁市）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2 的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5【考点】规律探索【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，故选：A．3. （2019年山东省枣庄市）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A．B．C．D．【考点】规律探索、图形的变化规律【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有故选：D．4. （2019年四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【考点】规律探索、数字的变化规律【解答】解：∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∴a 2019＝a 3＝，故选：D ．5. （2019年云南省）按一定规律排列的单项式：3，－5，7，－9，11，…… 第n 个单项式是（ ）A.（－1）n －12n －1B.（－1）n2n －1C.（－1）n －12n ＋1D.（－1）n2n ＋1 【考点】规律探索、数字的变化规律【解答】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n ， （n 为大于等于1的整数）控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为12+n ，故选C6. （2019年广西贺州市）计算++++…+的结果是（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】规律探索、数字的变化规律、有理数的混合运算 【解答】解：原式＝＝＝．故选：B ．7.（2019年河南省）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （﹣3，4），B （3，4）， 将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结 束时，点D 的坐标为（ ）A ．（10，3）B ．（﹣3，10）C ．（10，﹣3）D ．（3，﹣10）【考点】规律探索、旋转【解答】解：∵A （﹣3，4），B （3，4），∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．8. （2019年湖北省十堰市）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（）A．50 B．60 C．62 D．71【考点】规律探索、数字的变化【解答】解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，故选：B．9. （2019年内蒙古赤峰市）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．【考点】规律探索、中点四边形【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积，第二次：余下面积，第三次：余下面积，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，故选：C．二、填空题1.（2019年山东省滨州市）观察下列一组数：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a n＝（用含n的式子表示）【考点】规律探索、同底数幂的乘法【解答】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，∴a n＝＝；故答案为；2. （2019年山东省枣庄市）观察下列各式：＝1+＝1+（1﹣），＝1+＝1+（﹣），＝1+＝1+（﹣），…请利用你发现的规律，计算：+++…+，其结果为．【考点】规律探索、二次根式的化简【解答】解：+++…+＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2018，故答案为：2018．3.（2019年四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【考点】解直角三角形、规律探索【解答】解：由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（﹣2，2），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8），A6的坐标为（16，﹣16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在正半轴上，其横坐标为2n ﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n ﹣2，纵坐标为2n﹣2， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2，纵坐标为2n ﹣2，与第四点方位相同的点在负半轴上，其横坐标为﹣2n ﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n ﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴点A 2019的方位与点A 23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017，故答案为：（﹣22017，22017）．4.（2019年江苏省扬州市）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC 上从左到右一次取点D 1、D 2、D 3、D 4…；过点D1作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 与点E 1、F 1；过点D 2作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 2、F 2；过点D 3作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 3、F 3…，则4（D 1E 1+D 2E 2+…+D 2019E 2019）+5（D 1F 1+D 2F 2+…+D 2019F 2019）= ． 【考点】相似三角形，比例性质、规律探索 【解答】∵D 1E 1∥AB D 1F 1∥AC∴CB CD AB E D 111= BCBD AC F D 11= ∵AB=5 AC=4 ∴CB CD E D 1115= BCBD F D 114= ∴14511111==+=+BCBCBC BD CB CD F D E D ∴4D 1E+5D 1F=20 有2019组，即2019×20=403805. （2019年浙江省衢州市）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
规律探索综合题(几何)-全国各地2019年中考数学压轴题几何大题题型分类汇编(解析版)
2019全国各地中考数学压轴大题几何综合八、规律探索综合题1.（2019•十堰）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．（1）填空：∠CDE＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α∴CD＝CE∴∠CDE＝故答案为：（2）AE＝BE+CF理由如下：如图，∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE∴DF＝EF＝∵AE＝AD+DF+EF∴AE＝BE+CF（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10∵∠ACB＝90°＝∠AGB∴点C，点G，点B，点A四点共圆∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG∴∠AGC＝∠ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°∴AG＝＝8∵AC2＝AE2+CE2，∴（5）2＝（8﹣CE）2+CE2，∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，同理可得：CF＝7∴点C到AG的距离为1或7．2.（2019•宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．（1）填空：点A在（填“在”或“不在”）⊙O上；当＝时，tan∠AEF的值是；（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD 时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．解：（1）连接AO，∵∠EAF＝90°，O为EF中点，∴AO＝EF，∴点A在⊙O上，当＝时，∠AEF＝45°，∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案为：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，又FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF交HD的延长线于点G，∵F分别是边AD上的中点，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FH，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM为等腰直角三角形，∴∠FEM＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴，∵DC∥AB∥QM，∴，∴，∵FE＝FM，∴，∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴，∴．3.（2019•襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为1；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A 落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．②解：结论：＝1．理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案为1．（2）解：结论：＝k．理由：如图2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴＝，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴＝＝＝k．（3）解：如图2﹣1中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．∵FB∥GC，FE∥GP，∴∠CGP＝∠BFE，∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵＝，FG＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴K＝1或﹣1（舍弃），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴＝＝，∴＝＝，∴EM＝，PM＝，∴CM＝EM＝EC＝﹣3＝，∴PC＝＝．4.（2019•天门）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：AB+AC＝AD；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值．解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝AD．（2）AB+AC＝AD．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于圆O，∴∠MBD=∠ACD，∵∠BAD=∠CAD=45°，∴BD=CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD=AD，∠M=∠ACD=45°，∴MD⊥AD．∴AM＝，即AB+BM＝，∴AB+AC＝；（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝5，BD＝4，∴＝．5.（2019•岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，∴AD＝BC＝7，AE＝2，在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，∴AB＝＝，∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，∴•BF•EH＝•BE•PM+•BF•PN，∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2．（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，∴AD＝BC＝a+b，∴AE＝AD﹣DE＝b，∴EH＝AB＝，∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，∴BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH，∵BE＝BF，∴PM﹣PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．6.（2019•常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC 交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，在△BMC和△CNB中，，∴△BMC≌△CNB（AAS）；（2）∵△BMC≌△CNB，∴BM＝NC，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CMB，∴＝，∵PF∥AC，∴△BFP∽△BNC，∴＝，∴+＝+＝1，∴PE+PF＝BM；（3）同（2）的方法得到，PE﹣PF＝BM，∵△BMC≌△CNB，∴MC＝BN，∵∠ANB＝90°，∴∠MAC+∠ABN＝90°，∵∠OMB＝90°，∴∠MOB+∠ABN＝90°，∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，∴△AMC∽△OMB，∴＝，∴AM•MB＝OM•MC，∴AM×（PE﹣PF）＝OM•BN，∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE．7.（2019•连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD 沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．问题情境：解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：∴四边形MBFN为平行四边形，∴NF＝MB，∴BF⊥AE，∴∠BGE＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF＝∠BAE，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵DN+NF+CF＝BE+EC，∴DN+MB＝EC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDA＝45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，∵MN是AE的垂直平分线，∴AQ＝QE，在Rt△AHQ和Rt△QIE中，，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL），∴∠AQH＝∠QEI，∴∠AQH+∠EQI＝90°，∴∠AQE＝90°，∴△AQE是等腰直角三角形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°；（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：则△APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，∵AO＝OD，∠AOD＝90°，∴∠ODA＝∠ADO′＝45°，当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，∵点P在BD上，∴AP＝PC，在△APB和△CPB中，，∴△APB≌△CPB（SSS），∴∠BAP＝∠BCP，∵∠BCD＝∠MP A＝90°，∴∠PCN＝∠AMP，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠PNC，∴∠PCN＝∠PNC，∴PC＝PN，∴AP＝PN，∴∠PNA＝45°，∴∠PNP′＝90°，∴∠P′NH+PNG＝90°，∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°，∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H，由翻折性质得：PN＝P′N，在△PGN和△NHP'中，，∴△PGN≌△NHP'（ASA），∴PG＝NH，GN＝P'H，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠PDG＝45°，易得PG＝GD，∴GN＝DH，∴DH＝P'H，∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，∴点P'在线段DO'上运动；过点S作SK⊥DO'，垂足为K，∵点S为AD的中点，∴DS＝2，则P'S的最小值为；问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EG＝AG＝，PH＝FH，∴AE＝5，在Rt△ABE中，BE＝＝3，∴CE＝BC﹣BE＝1，∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，∴△ABE∽△QCE，∴＝＝3，∴QE＝AE＝，∴AQ＝AE+QE＝，∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B，∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE，∴＝，即＝，解得：AM＝，由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，∴B'M＝＝，AC'＝1，∵∠BAD＝90°，∴∠B'AM＝∠C'F A，∴△AFC'∽△MAB'，∴＝＝，解得：AF＝，∴DF＝4﹣＝，∵AG⊥MN，FH⊥MN，∴AG∥FH，∴AQ∥FP，∴△DFP∽△DAQ，∴＝，即＝，解得：FP＝，∴FH＝FP＝．8.（2019•威海）（1）方法选择如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．【探究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是BD＝CD+2AD．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是BD＝CD+AD．解：（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB=∠ABC=60°，如图①，在BD上截取DM=AD，连接AM，∵∠ADB=∠ACB=60°，∴△ADM为等边三角形，∴AM=AD，∵∠ABM=∠ACD，∴∠AMB=∠ADC=120°，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM=CD，∴BD=BM+DM=CD+AD；（2）类比探究：如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴DM＝AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；【探究2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，过A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠AMD＝30°，∴MD＝2AD，∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，∴△ABM∽△ACD，∴＝，∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+2AD；故答案为：BD＝CD+2AD；（3）拓展猜想：BD＝BM+DM＝CD+AD；理由：如图④，∵若BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，过A作AM⊥AD交BD于M，∴∠MAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAC，∴△ABM∽△ACD，∴＝，∴BM＝CD，∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，∴△ADM∽△ACB，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD．故答案为：BD＝CD+AD9.（2019•丹东）已知：在△ABC外分别以AB，AC为边作△AEB与△AFC．（1）如图1，△AEB与△AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF．以EF为直角边构造Rt△EFG，且EF＝FG，连接BG，CG，EC．求证：①△AEF≌△CGF．②四边形BGCE是平行四边形．（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：如图2，在△ABC外分别以AB，AC为斜边作Rt△AEB与Rt△AFC，并使∠F AC＝∠EAB＝30°，取BC 的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出的值及∠DEF的度数．（3）小颖受到启发也做了探究：如图3，在△ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝90°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定∠EAB＝α时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE＝m，AB＝n，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出的值，并用含α的代数式直接表示∠DEF的度数．（1）证明：①如图1中，∵△EFC与△AFC都是等腰直角三角形，∴F A＝FC，FE＝FG，∠AFC＝∠EFG＝90°，∴∠AFE＝∠CFG，∴△AFE≌△CFG（SAS）．②∵△AFE≌△CFG，∴AE＝CG，∠AEF＝∠CGF，∵△AEB是等腰直角三角形，∴AE＝BE，∠BEA＝90°，∴CG＝BE，∵△EFG是等腰直角三角形，∴∠FEG＝∠FGE＝45°，∴∠AEF+∠BEG＝45°，∵∠CGE+∠CGF＝45°，∴∠BEG＝∠CGE，∴BE∥CG，∴四边形BECG是平行四边形．（2）解：如图2中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵∠EDB＝∠GDC，∴EB＝GC，∠EBD＝∠GCD，在Rt△AEB与Rt△AFC中，∵∠EAB＝∠F AC＝30°，∴，，∴，∵∠EBD＝∠2+60°，∴∠DCG＝∠2+60°，∴∠GCF＝360°﹣60°﹣（∠2+60°）﹣∠3＝360°﹣120°﹣（∠2+∠3）＝360°﹣120°﹣（180°﹣∠1）＝60°+∠1，∵∠EAF＝30°+∠1+30°＝60°+∠1，∴∠GCF＝∠EAF，∴△CGF∽△AEF，∴，∠CFG＝∠AFE，∴∠EFG＝∠CFG+∠EFC＝∠AFE+∠EFC＝90°，∴tan∠DEF，∴∠DEF＝30°，∴FGEG，∵EDEG，∴ED＝FG，∴．（3）如图3中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．作EH⊥AB于H，连接FD．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDG，DE＝DG，∴△CDG≌△BDE（SAS），∴CG＝BE＝AE，∠DCG＝∠DBE＝α+∠ABC，∵∠GCF＝360°﹣∠DCG﹣∠ACB﹣∠ACF＝360°﹣（α+∠ABC）﹣∠ACB﹣（90°﹣α）＝270°﹣（∠ABC+∠ACB）＝270°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC＝∠EAF，∴△EAF≌△GCF（SAS），∴EF＝GF，∠AFE＝∠CFG，∴∠AFC＝∠EFC，∴∠DEF＝∠CAF＝90°﹣α，∵∠AEH＝90°﹣α，∴∠AEH＝∠DEF，∵AE＝m，AHABn，∴EH，∵DE＝DG，EF＝GF，∴DF⊥EG，cos∠DEF＝cos∠AEH．10.（2019•大连）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB ＝kBD（其中k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．证明：（1）∵AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠BAE∴∠BAE＝∠DAC（2）设∠DAC＝α＝∠BAE，∠C＝β∴∠ABC＝∠ADB＝α+β∵∠ABC+∠C＝α+β+β＝α+2β＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝α+∠EAC ∴∠EAC＝2β∵AF平分∠EAC∴∠F AC＝∠EAF＝β∴∠F AC＝∠C，∠ABE＝∠BAF＝α+β∴AF＝FC，AF＝BF∴AFBC＝BF∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90°∴△ABG∽△BCA∴∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠AFB∴△ABF∽△BAD∴，且AB＝kBD，AFBC＝BF∴k，即∴（3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BAC＝∠AGB＝90°∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC∴△ABH∽△ACB∴∴AB2＝AC×AH设BD＝m，AB＝km，∵∴BC＝2k2m∴ACkm∴AB2＝AC×AH （km）2＝kmAH∴AH∴HC＝AC﹣AH＝km ∴。
中考数学题型训练---规律探究
规律探索题常用技巧：1、观察法，对于比较明显的变化，可直接加以解决，比如呈现周期性变化的题2、一次函数法，通过一组数据，对于n的变化，考察数据是在坐标轴上成直线的变化，可以设此变化规律为y=kx+b,记得解出后要检验。
3、二次函数法，对于n的变化，考察数据在坐标上呈现弧形，可联想到二次函数，设此规律为y=ax2+bx+c,找出三组数据，然后解出来。
记得检验3、（公式法）等差数列：1+2+3+…+n=1+3+5+7+…++15=3+6+9+12+15+18+…+3n=等比数列：2+4+8+…+2n= 3+32+33+…+3n=1、数据规律类1、（2012滨州）求1+2+22+23+...+22012的值，可令S=1+2+22+23+...+22012，则2S=2+22+23+24+ (22013)因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（）A．52012﹣1B．52013﹣1C．D．2、（2012珠海，20，9分）观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×＝×25；②×396＝693×.a ≤9，写出表示“数字对称等（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤b式”一般规律的式子（含a、b），并证明.3、（2012山东省荷泽市）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____.4、（2012·湖北省恩施市，题号16 分值4）观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_________.2、几何变化类 1、（2012贵州省毕节市）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有个小正方形。
2019内蒙古中考数学考前专题训练规律探索型问题(10道)
规律探索型问题1.按一定规律排列的单项式：,,,,,,65432a a a a a a ---… ,第n 个单项式是（ ）A.n aB.n a -C.()n n a 11+-D.()n n a 1-C 【解析】观察所给单项式的规律发现,第奇数个单项式的系数为1,第偶数个单项式的系数为-1,则系数可用(-1)n +1表示, 第n 个单项式的指数为n ,故第n 个单项式为(-1)n +1a n .2.将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29…按照以上排列的规律,第25行第20个数是（ ）A.639B.637C.635D.633A 【解析】由排列的规律问题可得,前24行共排了+++32130024=+个奇数,所以第25行从左至右的第20个数为第320个正奇数,它为63912320=-⨯,故选A.3.观察如图所示的一组图形,其中图形①中共有2颗星,图形②中共有6颗星,图形③中共有11颗星,图形④中共有17颗星,…, 按此规律,图形⑧中星星的颗数是（ ）第3题图A.43B.45C.51D.53C 【解析】设图形n 中星星的颗数是a n （n 为正整数）,∵a 1=2=1+1,a 2=6=(1+2)+3,a 3=11=(1+2+3)+5,a 4=17=(1+2+3+4)+7,∴a n =1+2+…+n +(2n -1)=()()1252112212-+=-++n n n n n , ∴.51182582128=-⨯+⨯=a 4.在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点分别为A （1 ,1）、B （1 ,-1）、C （-1, -1）、D （-1, 1）,y 轴上有一点P （0 ,2）,作点P 关于点A 的对称点P 1,作点P 1关于点B 的对称点P 2,作点P 2关于点C 的对称点P 3,作点P 3关于点D 的对称点P 4,作点P 4关于点A 的对称点P 5,作点P 5关于点B 的对称点P 6,…,按如此操作下去,则点P 2018的坐标为（ ）A.（0, 2）B.（2, 0）C.（0 ,-2）D.（-2, 0）第4题图C 【解析】如解图,作点P 关于点A 的对称点P 1,作点P 1关于点B 的对称点P 2,作点P 2关于点C 的对称点P 3,作点P 3关于点D 的对称点P 4,作点P 4关于点A 的对称点P 5,作点P 5关于点B 的对称点P 6,…, 如此操作下去,每变换4次为一循环,∵50442018=÷……2,∴点P 2018的坐标与P 2的坐标相同,∴点P 2018的坐标为（0,-2）.第4题解图5.按一定规律排列的一列数为1925,2,,8,,18,,222---则第n 个数为.()212n n ⨯- 【解析】原式可化为149162536,,,,,,...,222222---奇数项为负,则用(-1)n 表示,观察分子、分母：列表如下∴第n 个数为()212n n ⨯-.6.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有24个小圆,…,按此规律,第8个图形有个小圆.第6题图76 【解析】图形序号 小圆个数第1个图形 2146⨯+=第2个图形 32410⨯+=第3个图形 43416⨯+=第4个图形 54424⨯+=第n 个图形 ()14++n n当8=n 时,小圆个数为76984=⨯+.……7.如图,下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的,第（1）个图案中有2个正方形,第（2）个图案中有5个正方形,第（3）个图案中有8个正方形,…,则第（5）个图案中有个正方形,第n个图案中有个正方形.第7题图14 ；1n【解析】第（5）个图案中正方形的个数是3×5-1=14,所以第n 3个图案中正方形的个数是3n-1.8.下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成,第①个图案需4根火柴棒,第②个图案需10根火柴棒,第③个图案需16根火柴棒,…,按此规律,第n个图案需根火柴棒.第8题图(6n-2) 【解析】观察题中所给图案可知,第①个图案由4根火柴棒拼搭,4=1+3×1；第②个图案由10根火柴棒拼搭10=1+3×3 ；第③个图案由16根火柴棒拼搭16=1+3×5 按此规律,第n个图案中,火柴棒的根数是1+3（2n-1）=69.如图,图形①,②,③均是以点P0为圆心,1个单位长度为半径的扇形,将图形①,②,③分别沿东北、正南、西北方向同时移动,每次移动1个单位长度,第一次移动后图形①,②,③的圆心依次为P 1,P 2,P 3 第二次移动后图形①,②,③的圆心依次为P 4P 5,P 6 ,…,依此规律,P 0P 2018= 个单位长度.第9题图673【解析】由题意可知,扇形的圆心每3次一个循环 ∵236722018+⨯=,∴P 2018在正南方向上,∵每个扇形的半径为1个单位长度,每次移动1个单位长度,∴P 0P 2018=672+1=673个单位长度.10.等腰三角形ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知点A （-6, 0）,点B 在原点,CB CA =5=,把等腰三角形ABC 沿x 轴正半轴作无滑动顺时针连续翻转,第一次翻转到位置①, 第二次翻转到位置②,…, 依此规律,第15次翻转后点C 的横坐标是 .第10题图77 【解析】根据题意,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,如解图 ∵CB CA =,∴BD =12BA =3,根据勾股定理得43522=-=CD , 即点C 坐标为（-3,4）,根据题意知,每3次翻转为1个循环,横坐标增加5+5+6=16,∴翻转15次后,C 点横坐标为.775163=⨯+-第10 题解图。
泉州市泉港区2019年届中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
规律探索一、选择题1. （2019·四川达州·3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2. （2019·四川凉山州·4分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据图形中对应的数字和各个数字所在的位置，可以推出数2019在第多少个正方形和它所在的位置，本题得以解决．【解答】解：∵2019÷4=504，又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2019，∴数2019在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2019.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．（2019·黑龙江大庆）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果． 【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3； 第②是5个三角形，5=4×2﹣3； 第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n 个图形中共有三角形的个数是4n ﹣3； 故答案为：4n ﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．（2019·湖北鄂州）如图，直线l ：y=－34x ，点A 1坐标为（－3，0）. 过点A 1作x 轴的垂线交直线l于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 2，再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 2019的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l ：y=－34x 的解析式求出A 1B 1的长，再根据勾股定理，求出OB 1的长，从而得出A 2的坐标；再把A 2的横坐标代入y=－34x 的解析式求出A 2B 2的长，再根据勾股定理，求出OB 2的长，从而得出A 3的坐标；…，由此得出一般规律．【解答】解：∵点A 1坐标为（－3，0），知O A 1=3，把x=－3代入直线y=－34x 中，得y= 4 ，即A 1B 1=4. 根据勾股定理，OB 1=B A OA 11122+=4322+=5，∴A 2坐标为（－5，0），O A 2=5；把x=－5代入直线y=－34x 中，得y=320 ，即A 2B 2=320.根据勾股定理，OB 2=B A OA 22222+=)(532022+=325=3512，∴A 3坐标为（－3512，0），O A 3=3512；把x=－3512代入直线y=－34x 中，得y=9100 ，即A 3B 3=9100.根据勾股定理，O B 3=B A OA 33322+=)()(910032522+=9125=3523， ∴A 4坐标为（－3523，0），O A 4=3523；……同理可得A n 坐标为（－3521--n n ，0），O A n =3521--n n ；∴A 2019坐标为（－3520142015，0） 故答案为：（− 3520142015，0） 【点评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
2019年中考数学专题拓展讲练：规律探索题人教版高品质版
2019年中考数学专题拓展讲练专题二规律探索题一、专题概述1．规律探索型问题是指由给出的几个具体的结论来探求与它相关的一般性结论的问题，在中考中主要包括“数字规律探索”、“代数式规律探索”、“图形规律探索”及“坐标规律探索”四种类型.2．解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.二、考点分析考点一、数字规律1=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，【例1】观察下列算式的规律2204 根据上述的规律，你认为2的末位数字应该为A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】2n的个位数字是2，4，8，6四个为一个循环，所以204÷4=51，则2204的末位数字与24的相同是6，故选C．考点二、代数式规律【例2】已知下列等式：①22318；②225316；③227524；⋯⋯（1）请仔细观察，写出第④个式子；（2）根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立；（3）利用（2）中发现的规律计算：8+16+24+⋯+792+800．【解析】（1）229732．（2）22(2n1)(2n1)8n，证明如下：左边22224n4n1(4n4n1)4n4n14n4n18n右边，所以该等式成立．（8分）（3）原式2222222231537520119922 201140400．考点三、图形规律【例3】下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，⋯⋯，依此规律，第五个图形中三角形的个数是A．22B．24C．26D．28【答案】C【解析】根据已知图形的规律可得：第n个图形三角形的个数为2+6（n-1）=6n-4，则第五个图形中三角形的个数为6×5-4=26（个），故选C．考点四、坐标规律【例4】将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行，第一列，与有序数对（2，1）对应；数5与（1，3）对应；数14与（3，4）对应；根据这一规律，数2017对应的有序数对为__________．【答案】（45，9）【解析】由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同．∵45×45=2025，2025在第45行，第1列，向右依次减小，∴2017所在的位置是第45行，第9列，其坐标为（45，9），故答案为：（45，9）．【例5】如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且每条边与x轴或y轴平行，从内到外，2，4，6，8，⋯，顶点依次用A它们的边长依次为1,A2,A3,A4，⋯表示，则顶点A55的坐标是_______________．【答案】（14，14）【解析】∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，得：根据题中图形中的规律可3=4×0+3，A3的坐标为（0+1，0+1），即A3（1，1），7=4×1+3，A7的坐标为（1+1，1+1），A7（2，2），11=4×2+3，A11的坐标为（2+1，2+1），A11（3，3）；⋯55=4×13+3，A55的坐标为（13+1，13+1），A55（14，14）；故填（14，14）．三、考点集训式:,,,,,,1．（2018·张家界市）观察下列算,⋯,则⋯的未位数字是A．8B．6C．4D．0方规律，2．（2018·宜昌市）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘为“杨辉三角”，请观察图中的数比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为字排列规律，则a，b，c的值分别A．a=1，b=6，c=15B．a=6，b=15，c=20C．a=15，b=20，c=15D．a=20，b=15，c=63．（2018·武汉市）将正整数1至2018按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是A．2019B．2018C．2016D．20134．（2018·贵州省（黔东南，黔南，黔西南））根据下列各式的规律，在横线处填空：，，，⋯，﹣__________=.2 5．（2018·临安）已知：2+=2×，3+=3 2222×，4+=4×，5+=5×，⋯，若10+=10×符合前面式子的规律，则a+b=__________．6．（2018·淄博）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是__________．7．（2018·桂林）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）......按此规__________律，自然数2018记为8．（2018·贵州省（黔东南，黔南，黔西南））“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，⋯⋯，按此规律，求图10、图n有多少个点？1中黑点个我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；⋯⋯所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．），再完成以下问请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．参考答案1．【答案】B【解析】∵2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，2018÷4=504⋯2，∴22018的个位数字与22的个位数字相同是4，2+23+24+25+⋯+21018的末位数字是2+4+8+6+⋯+2+4的尾数，故2+223451018的末位数字是：2+4=6．则2+2+2+2+2+⋯+2故选：B．题的关键．【点睛】本题考查的是尾数特征，根据题意找出数字循环的规律是解答此2．【答案】B【解析】根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，∴a=1+5=6，b=5+10=15，c=10+10=20，故选：B．．对于找规律的题目首【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．3．【答案】D1、x+1，【解析】设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）=3x，根据题意得：3x=2019或3x=2018或3x=2016或3x=2013，解得：x=673或x=672（舍去）或x=672或x=671，∵673=84×8+1，∴中间数x在第1列，不合题意，故2019不合题意，舍去；∵672=84×8，∴中间数x在最后一列，不合题意，故2016不合题意，舍去；∵671=83×7+7，∴中间数x在第7列，符合题意，故三个数之和为2013，故选D．，【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．4．【答案】【解析】∵，，，⋯，∴（n为正整数）．∵2018=2×1009，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式的变化，找出变化规律“（n为正整数）”是解题的关键．5．【答案】109【解析】∵2+=2 22222×，3+=3×，4+=4×，5+=5×，⋯，10+=10×，2-1=99，∴b=10，a=10∴a+b=10+99=109，故答案为109.【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，观察出整数与分数的分子分母的关系是解题的关键．6．【答案】2018【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，故答案为2018．用规律解【点睛】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利决问题．7．【答案】（505，2）4列，但每行数字的排列顺序是【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出实际有．相反解题的关键，还要注意奇数行与偶数行的排列顺序正好8．【解析】图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=19个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=61个，⋯1）+1=3n第n个点阵中有：n×3（n﹣2﹣3n+1，故答案为：61，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，2﹣n﹣90=0，n（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图【点睛】本题是图形类的规律题，采用“分块计．形中圆圈的个数恰当地分块是关键对爸爸的印象，从记事的时候，就有了，他留给我的印象就是沉默少言的，但是脸上却始终有微笑，不管家里遇到了什么样的困难，只要有爸爸在，一切都能够雨过天晴的，小时候，家里很穷，可是作为孩子的我们（我和哥哥），却很幸福。
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2019年中考数学真题分类训练——专题二十一：规律探索题一、选择题1．（2019菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【答案】C2．（2019张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是A．（22，-22）B．（1，0）C．（-22，-22）D．（0，-1）【答案】A3．（2019武汉）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，…，已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是A．2a2-2a B．2a2-2a-2 C．2a2-a D．2a2+a【答案】C4．（2019枣庄）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D5．（2019达州）a是不为1的有理数，我们把11a-称为a的差倒数，如2的差倒数为112-=-1，-1的差倒数111(1)2=--，已知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……，依此类推，a2019的值是A．5 B．-14C．43D．45【答案】D6．（2019济宁）已知有理数a≠1，我们把11a-称为a的差倒数，如：2的差倒数是112-=-1，-1的差倒数是111(1)2=--．如果a1=-2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5【答案】A7．（2019株洲）从-1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K={a k，b k}（其中k=1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i={a i，b i}和M j={a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值A．10 B．6 C．5 D．4 【答案】C8．（2019十堰）一列数按某规律排列如下：11212312341213214321，，，，，，，，，，…，若第n个数为57，则n=A．50 B．60 C．62 D．71【答案】B9．（2019常德）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是A．0 B．1 C．7 D．8【答案】A10．（2019贺州）计算11111 133557793739+++++⨯⨯⨯⨯⨯…的结果是A．1937B．1939C．3739D．3839【答案】B二、填空题11．（2019天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】605812．（2019衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则OBOA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）6062540555()，13．（2019连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为__________．【答案】（2，4，2）14．（2019广安）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3=60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4=60°……按此规律进行下去，则点A2019的坐标为__________．【答案】（-22017，220173）15．（2019怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是__________．【答案】n -116．（2019滨州）观察下列一组数：a 1=13，a 2=35，a 3=69，a 4=1017，a 5=1533，…， 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n =__________．（用含n 的式子表示） 【答案】1(1)22n n n +++17．（2019台州）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共__________个．【答案】318．（2019黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是__________．【答案】62519．（2019安顺）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是__________．【答案】201920．（2019咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是__________．【答案】-38421．（2019海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是__________，这2019个数的和是__________．【答案】0；222．（2019武威）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是__________．【答案】13a+21b23．（2019甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】101024．a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1=4，第5个数a5=5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是__________．【答案】6三、解答题25．（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①，则2S=2+22+…+22018+22019②，②-①得2S-S=S=22019-1，∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；（2）3+32+…+310=__________；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．解：（1）设S=1+2+22+…+29①，则2S=2+22+…+210②，②-①得2S-S=S=210-1，∴S=1+2+22+…+29=210-1，故答案为：210-1．（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，则3S=32+33+34+35+…+311②，②-①得2S=311-1，所以S=1131 2-，即3+32+33+34+ (310)1131 2-，故答案为：1131 2-．（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+a n①，则aS=a+a2+a3+a4+…+a n+a n+1②，②-①得：（a-1）S=a n+1-1，a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1，a不等于1时，a-1才能做分母，所以S=111naa+--，即1+a+a2+a3+a4+…+a n=111naa+--．26．（2019安徽）观察以下等式：第1个等式：211 111 =+，第2个等式：211 326 =+，第3个等式：211 5315 =+，第4个等式：211 7428 =+，第5个等式：211 9545 =+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．解：（1）第6个等式为：21111666=+，故答案为：21111666=+．（2）21121(21)n n n n=+--，证明：∵右边=112112(21)(21)21nn n n n n n-++==---=左边．∴等式成立，故答案为：21121(21)n n n n=+--．27．（2019张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1=1，a2=3，公差为d=2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为5，第5项是__________．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，a n-a n-1=d，…．所以a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n=a1+__________d．（3）-4041是不是等差数列-5，-7，-9…的项？如果是，是第几项？解：（1）根据题意得，d=10-5=5．∵a3=15，a4=a3+d=15+5=20，a5=a4+d=20+5=25，故答案为：5；25．（2）∵a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……∴a n=a1+（n-1）d，故答案为：n-1．（3）根据题意得，等差数列-5，-7，-9…的项的通项公式为：a n=-5-2（n-1），则-5-2（n-1）=-4041，解之得：n=2019，∴-4041是等差数列-5，-7，-9，…的项，它是此数列的第2019项．。