江苏省扬州中学2015届高三4月双周练 数学 Word版含答案
江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题
江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题一、填空题 （70分）1、集合A ＝{－1,0，2}，B ＝{x ｜｜x ｜＜1}，则A B ＝＿＿＿＿＿＿2、已知i 是虚数单位，则21(1)ii +－的实部为＿＿＿＿＿3、命题P ：“2,230x R x x ∀∈+-≥”，命题P 的否定：＿＿＿＿＿4、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为＿＿5、如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿6、已知样本6，7，8，9，m 的平均数是8，则标准差是＿＿＿＿7、实数x ，y 满足24011x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为＿＿＿8、已知4(0,),cos 5απα∈=-，则tan()4πα+＝＿＿＿＿ 9、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：3x y +＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿10、设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值范围是＿＿＿＿11、已知A （,A A x y ）是单位圆（圆心为坐标极点O ，半径为1）上任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点B （,B B x y ），已知m ＞0，若2A B my y -的最大值为3，则m ＝＿＿＿＿ 12、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是＿＿＿＿ 13、设数列{n a }的前n 项和为Sn ，且114()2n n a -=+-，若对任意*n N ∈，都有1(4)3n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是＿＿＿＿＿14、已知A （0,1），曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP 的最小值为2，则a ＝＿＿＿＿＿ 二、解答题（90分）15、（14分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<部分图象如图所示。
江苏省扬州中学2015届高考模拟高三4月双周练习(一)语文试题(整理精校版)
江苏省扬州中学2015届高考模拟高三4月双周练习（一）语文试题高考模拟试卷0412 21:34：：江苏省扬州中学2015届高考模拟高三4月双周练习（一）语文试题高三语文2015高考模拟.4一、语言文字运用（15分）1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是（）（3分）A．禅机／泰山封禅扎染／安营扎寨劲旅／疾风劲草钥匙／两京锁钥B．道行／出身行伍隽秀／意味隽永纰缪／绸缪婉转折耗／百折不挠C．同侪／跻身文坛嬗变／各擅其长伉俪／引吭高歌拾掇／拾级而上D．脊椎／椎心泣血沉疴／百舸争流女娲／蝇利蜗名校勘／校短量长2．下列各句中，表达没有语病的一句是（）（3分）A．迈进新年，“幸福”已成为一个热门话题。
尤其是两会期间，求解幸福“方程式”，描绘幸福“路线图”，更为上上下下所关注。
B．我们对“稳定”这个耳熟能详的问题有了新观照、新思考。
在对比和变化中，人们能够更加真切地理解和感受世界，稳定亦是如此。
C．“一国尽乱，无有安家；一家皆乱，无有安身”，利比亚等国家的遭遇确令人同情，所有爱好和平的人们，对此也是一个沉重的警醒。
D．网络力量源自理性，网络发展依靠真实。
防范和制止网络谣言传播，是维护和促进网络健康发展的必然要求。
这是我们的共识。
3. 用一句话概括下列文字的主要信息。
（不超过30个字）（4分）风靡数十年的科普丛书《十万个为什么》将迎来第六次改版，据报道，“时代不同，孩子们的问题已经大不相同了”，这是促成《十万个为什么》再版的直接原因。
当年孩子们提得最多的问题是：“先有鸡还是先有蛋”“人是不是猴子变的”“冰棍为什么会冒白烟”……他们对身边的自然现象充满疑问；现在孩子的兴趣和知识面发生了很大变化，他们深受网络和影视剧的影响，想搞明白“我能穿越回过去吗”“2015高考模拟真的是世界末日吗”……据说在征集的问题中，“2015高考模拟是世界末日吗”这个问题就出现了几百次。
4. 2015届高考模拟2月12日，是唐代大诗人杜甫诞辰1300周年。
江苏省扬州中学2015届高三4月双周练 物理 Word版含答案
B高三物理练习 2015.4一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．每小题只有一个．．．．选项符合题意．选对的得 3 分，错选或不答的得 0 分．1．2011年12月5日美国航天局宣布，科学家们利用“开普勒”太空望远镜在距地球约600光年的一个恒星系统中新发现了一颗宜居行星，代号为“开普勒－22ｂ”，它也是迄今发现的最小且最适于表面存在液态水的行星。
假设其半径约为地球的a 倍，质量为地球的b 倍，则该行星表面由引力产生的加速度g 与地球表面的重力加速度g 的比值为 A ．a b B ．b a C ．2a b D ．2ba2．在高尔夫球场上有一种放置备用球的装置，由两个互相垂直的光滑平面组成，如图所示，有10个大小相同质量均为m 的光滑高尔夫球，静止放置于该装置中，平面AB 与水平面的夹角为30°，则第2个球对第3个球的作用力大小为A ．4mgB ．8mg C． D ．3．如图所示，半圆光滑绝缘轨道固定在竖直平面内，O 为其圆心，匀强磁场方向与轨道平面垂直．现将一个带正电的小球自M 点由静止释放，它将沿轨道在MN 间做往复运动．下列说法中正确的是A. 小球在M 点的重力势能大于在N 点的重力势能B. 小球经过轨道最低点时所受合外力大小总相等C. 小球经过轨道最低点时对轨道的压力大小总相等D. 小球由M 到N 所用的时间大于由N 到M 所用的时间4．一个成人以正常的速度骑自行车受到的阻力为总重力的0.02倍，则人骑车行驶时功率最接近于A ．1WB ．10WC ．100WD ．1000W5．如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L ，直导线MN 垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B ．电容器的电容为C ，除电阻R 外，导轨和导线的电阻均不计．现给导线MN一初速度v 0，使其向右运动，当电路稳定后，MN 以速度v 向右做匀速运动时A ．电容器两端的电压为BLv 0B ．电阻两端的电压为BLvC ．电容器所带电荷量为CBLvD ．为保持MN 匀速运动，需对其施加的拉力大小为B 2L 2vR二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分．每小题有多个选项符合题意．全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，错选或不答的得 0 分．6．2011年7月以来，“奥的斯电梯”在北京、上海、深圳、惠州等地频出事故，致使大家“谈奥色变”，为此检修人员对电视塔的观光电梯作了检修，如图是检修人员搭乘电梯从一楼到八楼上下的v -t 图（取电梯向上运动方向为正方向），下列说法正确的是A ．检修人员在2～6s 内对地板的压力相同B ．检修人员在0～2s 和在4～6s 内处于超重状态C ．0～2s 内和4～6s 内电梯对检修人员做功相同D ．0～2s 内和4～6s 内合外力对检修人员做功相同7．生活中处处用电，而我们需要的电都是通过变压器进行转换的，为了测一个已知额定电压为100V 的灯泡的额定功率，如图，理想变压器的原、副线圈分别接有理想电流表A 和灯泡L ，滑动变阻器的电阻值范围为0－150Ω，不考虑温度对灯泡电阻的影响，原、副线圈的匝数比为2:1，交流电源的电压为U 0＝400V ．适当调节滑动变阻器的触片位置，当灯泡在额定电压下正常工作时，测得电流表A 的示数为1A ，则 A. 灯泡的额定电流为1A B. 灯泡的额定功率为50WC. 滑动变阻器消耗的电功率为300WD. 滑动变阻器上部分接入的电阻值为50Ω8．质量相等的两木块A 、B 用一轻弹簧拴接，静置于水平地面上，如图甲所示。
江苏省扬州市2015届高三第四次调研测试数学试题word 版 含答案
扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1．已知集合{1,2,4},{2,3,4,5}A B ==，则AB =．{2，4}2．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．13i -3．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 ．2,10x R x ∃∈+≤ 4．已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．455．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是 ．9106．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = －1 7．锐角ABC △中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4,5a b ==, ABC △的面积为53, 则c = ．218．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 ．93π 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2244a S a S =，则12015S S 等于 ．1 10．若函数()cos f x k x =⋅的图象过点(,1)3P π，则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等于 ．23π析：∵函数()cos f x k x =⋅的图象经过点(,1)3P π，∴()cos 1233f k k ππ==⇒=，∴x x f cos 2)(=，()2sin f x x '=-，()2sin 333k f ππ'==-=-．11．若直线30x y m ++=截半圆225y x =-所得的弦长为8，则m = ．310-12．平面内四点,,,O A B C 满足4,25,5,0OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．1513．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率为32，过原点O 且倾斜角为3π的直线l 与椭MDCBA圆E 相交于A 、B 两点，若△AFB 的周长为813413+，则椭圆方程为 ．2214x y +=析：由已知2a b =，椭圆方程可化为：2224x y a +=，将:3l y x =代入得13||13A x a =， 由椭圆对称性，△AFB 的周长=2||24||A a AB a x +=+，可得2a =． 14．已知函数||()()xx f x x R e=∈，12()421()x x g x a a a a R +=-+⋅++-∈， 若{|(g())}R A x f x e =>=，则a 的取值范围是 ．[1,0]- 析：当0x ≥时，1'()x xf x e-=，得()f x 在[)0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，当1x =时有极大值1e； 当0x <时，1'()0xx f x e -=<恒成立，()f x 是减函数，且(1)f e -=． 设()g x t =，由()f t e >得1t <-，即()1g x <-对x R ∈恒成立，22()(2)21x g x a a a =--++-，当0a >时，2()21g x a a ≤+-，而2211a a +->-，不合题意；当0a ≤时，2()(,1)g x a a ∈-∞+-，∴211a a +-≤-，得10a -≤≤． 15．如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABC 是等边三角形，M 是ABC ∆的中心． ⑴若DM BC ⊥，求证AD BC ⊥；⑵若AD 上存在点N ，使//MN 平面BCD ，求AN ND 的值．证⑴连AM 并延长交BC 于E ，连DE因为M 是等边ABC ∆的中心，所以E 是BC 的中点，AE BC ⊥ ……………2分又因为DM BC ⊥，AE DM M =，,AE DM ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ， ……………5分因为AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥； ……………7分⑵,M AE AE ∈⊂平面ADE ，所以M ∈平面ADE ， 因为AD 上存在点N ，所以N ∈平面ADE ，所以MN ⊂平面ADE ， ……………9分又//MN 平面BCD ，平面ADE平面BCD DE =，所以//MN DE ，……………12分在ADE ∆中，因为12AM ME =，所以12AN ND =． (14)分16．ABC ∆的内角,A B 满足2cossin 22A B A B a i j +-=+(单位向量,i j 互相垂直)，且6||2a =． ⑴求tan tan A B 的值； ⑵若2sin 13A =，边长2a =，求边长c ． 解⑴因为2223||2cossin 222A B A B a +-=+=， 即1cos()31cos()22A B A B --+++=， ……………3分所以cos cos sin sin cos cos sin sin 02A B A BA B A B +--=，化简整理，得13t ant a22A B -=，故ta A B =13. ……………7分(2)由(1)可知,A B 为锐角．因为2sin 13A =，所以2tan 3A =，1tan 2B =，tan tan 7tan tan()1tan tan 4A B C A B A B +=-+=-=--，7sin 65C =……………12分 因为正弦定理sin sin a cA C=，所以2271365c =，所以边长755c =． ……………14分17．一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元．⑴若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用与保险费用的和； ⑵为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？ 解⑴2248000500(2.550.6)230052.5⨯-+=； ……………4分⑵保护罩的底面边长为x 米，底面积为S 平方米，体积为V 立方米，总费用为y 元，则 48000500(0.6)y V S=-+=2248000500(20.6)x x x ⋅-+32480001000300x x=+-，（ 1.2x ≥）……9分52339600032'30003000x y x x x -=-=，令'0y =得2x =， 当1.22x ≤<时'0y <，y 递减；当2x >时'0y >，y 递增∴当2x =时，y 有极小值即最小值．答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米． ……………14分18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．⑴求椭圆的离心率；⑵过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN 的距离为204141，求椭圆方程． 解⑴因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==； ……………4分 ⑵①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，11NF MFe NN MM ==， 又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆= 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =；……………8分解法二：∵2a c =，∴3b c =，椭圆方程为2222143x y c c+=，(,0)F c ，(4,0)T c设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c+=上，即有22211334y c x =-， ∴2222211113()()34MF x c y x c c x =-+=-+-22111111124|2|2422x cx c x c c x =-+=-=- 同理2122NF c x =-，又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F是AT 中点，∴ANF TNFS S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分 ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+= 两式相减得：220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =， ……………10分可得0358y c =，故直线MN 的斜率为35587644ck c c ==--， ……………13分 直线MN 的方程为5(4)6y x c =--，即56450x y c +-= 原点O 到直线TMN 的距离为454553641c d c ==+，依题意4520414141c =，解得5c =， 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分解法二：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，故1224x x c -=，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为(4)y k x c =-，与椭圆联立，并消去y 得：22222(4)143x k x c c c-+=，整理得：222222(43)3264120k x ck x k c c +-+-=，（*）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，依题意：⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ck x x k k c c x x k +=+-=+ 由⎧⎨⎩212212324324ckx x k x x c +=+-=解得：⎧⎨⎩ 2122221644316443ck c x k ck cx k +=+-=+ 所以222222221641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得：2536k =，即56k =-． 直线MN 的方程为5(4)6y x c =--，即56450x y c +-= 原点O 到直线TMN 的距离为454553641c cd ==+， 依题意4520414141c =，解得5c =， 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分19．设m 个正数m aa a ,...,,21()*4,m m N ≥∈依次围成一个圆圈．其中1231,,,...,,k k a a a a a -*(,)k m kN <∈ 是公差为d 的等差数列，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列． ⑴若12a d ==，8k =，求数列m a a a ,...,,21的所有项的和m S ； ⑵若12a d ==，2015m <，求m 的最大值； ⑶是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解⑴依题意16k a =，故数列m a a a ,...,,21即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时10m =，84m S =， ……………4分⑵由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是首项为2、公差为2的等差数列知，2k a k =， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是首项为2、公比为2的等比数列知，22m k k a +-=， 故有222m kk +-=，12m kk +-=，即k 必是2的整数次幂，由122km k +⋅=知，要使m 最大，k 必须最大，又2015k m <<，故k 的最大值102，从而1010241222m +⋅=，m 的最大值是1033． ……………9分⑶由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是公差为d 的等差数列知，1(1)k a a k d =+-， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列112m kk a a +-=⋅，故1(1)a k d +-112m ka +-=⋅，11(1)(21)m kk d a +--=-又121113()k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++，12m a a =则11112(1)32212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即11111[(21)]32(21)2m k m k ka k a a +--+-=⨯-，则11126(21)22m k m k k k +--⋅+=-，即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⨯-， 显然6k ≠，则112182166m k k k k +-+==-+-- 所以6k <，将12345k =，，，，一一代入验证知， 当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =， 综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式． (16)分20．设函数1()1f x x =-，()1x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）． ⑴若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；⑵若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值；⑶若()()x f e g x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 解⑴由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<， 故当(3a ∈-时，函数()()()F x f x g x =-没有零点； ……………3分⑵21'()f x x=，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ，则有⎧⎪⎨⎪⎩()()'()'()P P P P P P y f x y g x f x g x ===即⎧⎨⎩()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是⎧⎪⎨⎪⎩2211111()(1)P P P P P x x ax x ax -=+=+当1P P ax x +=时111P x -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-；…………8分⑶由题得111x x e ax -≤+在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)xe --∈，所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥. ……………10分 解法一：不等式11x xe ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x ax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立， 令1()(1)(1)1x x ax h x ax e x ax x e -+=+--=-+--，则1'()1x ax a h x a e -+=+-，再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e -+-=，同时，'(0)21m a =-，'(0)0h =，(0)0h =，①当0a =时，1'()0,xm x e =-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴ '()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴()(0)=0h x h ≤，即()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e ---=，因为210a a-->，所以'()0m x <，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴ ()h x 在[0,)+∞上单减，∴()(0)=0h x h ≤，即()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a->若210a x a -<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a-上单调递增，所以'()'(0)0h x h >=即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴()(0)=0h x h >，即()()x f e g x ≥，不满足条件. 综上，()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2. ……………16分解法二：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x xax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立，设()(1)(1)=(1)(1)xxxh x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()()xh x e a x x a a =-+-，再设()'()()xm x h x e ax x a a ==-+-，则'()[(1)(21)]xm x e a x a =-+-同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =，①当1a ≥时，'(0)21m a =->，故函数'()h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)h x h >=，所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=，即()()x f e g x ≤，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符， ②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数'()h x 是(0,)+∞上的减函数所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立， ③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >，故函数'()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=， 即()()x f e g x ≥，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2． 第二部分21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β． 解法一：矩阵M 的特征多项式为221()4312f λλλλλ- -==-+- -，令()0f λ=， 解得1,λλ==，对应的一个特征向量分别为1211,11αα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ……………5分令12m n βαα=+，得1,4m n =-=，22221212(4)()4()M M M M βαααα=-+=-+22113511431137⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分解法二：因为221211212M 5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……………5分所以2335537M β5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线l 的参数方程是32(12x t t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值． 解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以2240x y y +-=，即圆C 方程为22(2)4x y +-= ……………4分 又由3212x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t 得330x y m -+=， ……………8分因为直线l 与圆C 相切，所以|233|22m -+=得4323m =±， 又0m >，所以4323m =+． ……………10分 22．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直， 且11,//2AB BE AF BE AF ===，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为DF 中点．⑴求异面直线DA 与PE 所成的角；⑵求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．解：在ABC ∆中，1,,23AB CBA BC π=∠==，所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面A B E F AB =， AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF如图，建立空间直角坐标系{,,}AB AF AC ，则13(0,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,0,3),(1,1,0),(0,2,0),(,1,)22A B C D E F P -- ⑴33(1,0,3),(,0,)22DA PE =-=- 设异面直线DA 与PE 所成的角为α，则33cos ||||2||||23DA PE DA PE α⋅===⨯⨯ 所以异面直线DA 与PE 所成的角为6π； ……………5分 ⑵(0,2,0)AF =是平面ABCD 的一个法向量，设平面DEF 的一个法向量(,,)n x y z =，(2,1,3),(1,2,3)DE DF =-=-则(,,)(2,1,3)230(,,)(1,2,3)230n DE x y z x y z n DF x y z x y z ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩， 得33z x y ==，取1x =，则1,3y z ==，故(1,1,3)n =是平面DEF 的一个法向量，设平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为β，则25cos ||||5||||25AF n AF n β⋅===⨯⨯． ……………10分 23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，， 集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S ． ⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：n m S 111322n m n +++<+-．解⑴228S =，4232S =； ……………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n n C -种可能，即为222n C ，……若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ， 故共有2n m m n C -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m mm n n n S C C C =++⋅⋅⋅+，因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10k n C -≥ 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． ……………10分。
中学2015届高三4月模拟数学(理)试题 Word版含答案
2015届山东省济宁市梁山县第一中学高三4月模拟数学（理）试题本试卷分试题卷和答题卡两部分。
试题卷分第I 卷 （选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
满分为150分，考试时间为120分钟。
考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定 的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。
考试结束只收答题卡。
第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1．已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则AB =（ ）A ．{|2}x x >B ．{|1}x x >C ．{|23}x x <<D ．{|13}x x <<2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A ．- 5B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i3．设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有A ．34A 种B ．3133.A A 种 C ．1143.C C 种 D ．2244.C A 种 5．阅读下面程序框图，则输出结果s 的值为A ．12B ．22C ．－3D ．36．在数列{a n }中，“a n =2a n 一l （n=2，3，4，．．）”是“{a n }是公比为2的等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若实数x ，y 满足1122040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则x+2y 的最大值为A ．6B ．132C ． 10D ． 118．一个侧棱与底面垂直的棱柱被一个平面截去一部分所剩几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为A ．9B ．10C ．11D ．2329．已知P 是△ABC 所在平面内一点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在三角形ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是A ．14B ．13 C ．23D ．1210．如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，| F 1F 2|=4，P是双曲线右支上的一点，F 2P 与y 轴交与点A ，△APF 1的内切圆在边PF1上的切点为Q ，若|PQ|=l ，则双曲线的离心率为A 2B 3C ．2D ．311．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知（a 2012－1）3+2014a 2012=0，（a 3－1）3+2014a 3=4028，则下列结论正确的是 A ．S 2014=2014,a 2012<a 3B ．S 2014=2014,a 2012>a 3C ．S 2014=2013,a 2012<a 3D ．S 2014=2013,a:2012> a 312．已知函数2222()21(2)3f x x a og x a =+++-有且只有一个零点，则实数a 的值为 A ．lB ．－3C ．2D ．l 或－3第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题
江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题2015年2月第I 卷一、填空题 （70分）1、集合A ＝{－1,0，2}，B ＝{x ｜｜x ｜＜1}，则A B ＝＿＿＿＿＿＿2、已知i 是虚数单位，则21(1)ii +－的实部为＿＿＿＿＿3、命题P ：“2,230x Rx x ∀∈+-≥”，命题P 的否定：＿＿＿＿＿ 4、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为＿＿5、如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿6、已知样本6，7，8，9，m 的平均数是8，则标准差是＿＿＿＿7、实数x ，y 满足24011x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为＿＿＿8、已知4(0,),cos 5απα∈=-，则tan()4πα+＝＿＿＿＿9、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l：x ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿10、设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值范围是＿＿＿＿ 11、已知A （,A A x y ）是单位圆（圆心为坐标极点O ，半径为1）上任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点B （,B B x y ），已知m ＞0，若2A B my y -的最大值为3，则m ＝＿＿＿＿12、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是＿＿＿＿13、设数列{n a }的前n 项和为Sn ，且114()2n n a -=+-，若对任意*n N ∈，都有1(4)3n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是＿＿＿＿＿ 14、已知A （0,1），曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP 学科网的最小值为2，则a ＝＿＿＿＿＿ 二、解答题（90分）15、（14分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<部分图象如图所示。
2015-2016学年江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷含答案
2015-2016学年江苏省扬州市高三上学期数学期末试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的虚部为．3．（5分）如图，若输入的x值为，则相应输出的值为．4．（5分）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为．5．（5分）已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的焦点到渐近线的距离为．6．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是．7．（5分）已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，，则该数列的前5项的和为．8．（5分）已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为．9．（5分）已知函数（0≤x＜π），且（α≠β），则α+β=．10．（5分）已知=（cosα，sinα），=（2，1），a∈（﹣，），若•=1，则sin（2a+）=．11．（5分）已知a＞b＞1且2log a b+3log b a=7，则的最小值为．12．（5分）已知圆O：x2+y2=4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为．13．（5分）已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），记S n=a1+a2+…+a n，若S n=2015，则n=．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x ﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则实数a 的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D．（1）求证：DE∥平面ABC1；（2）求证：平面AB1D⊥平面ABC1．16．（14分）已知函数f（x）=ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且a=4，b+c=5，求△ABC的面积．17．（15分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P 是椭圆上一点，M在PF1上，且满足（λ∈R），PO⊥F2M，O为坐标原点．（1）若椭圆方程为=1，且P（2，），求点M的横坐标；（2）若λ=2，求椭圆离心率e的取值范围．18．（15分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=lh）19．（16分）已知函数f（x）=（ax2+x+2）e x（a＞0），其中e是自然对数的底数．（1）当a=2时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．20．（16分）若数列{a n}中不超过f（m）的项数恰为b m（m∈N*），则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{a n}生成{b m}的控制函数．（1）已知a n=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；（2）已知a n=2n，且f（m）=m，求{b m}的前m项和S m；（3）已知a n=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{b m}中，b1，b2，b3是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．2015-2016学年江苏省扬州市高三上学期数学期末试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={0，1，2}，则A∩B={1} ．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），∵B={0，1，2}，∴A∩B={1}，故答案为：{1}2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的虚部为3．【分析】由复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），得z=2+3i，则z的虚部可求．【解答】解：由z=i（3﹣2i）=2+3i，则z的虚部为：3．故答案为：3．3．（5分）如图，若输入的x值为，则相应输出的值为．【分析】根据题意得出执行程序框图后输出的是分段函数y=，由此求出输入x=时输出y的值．【解答】解：根据题意，执行程序框图后输出的是分段函数y=，当输入x=时，sin＞cos，所以输出的y=cos=．故答案为：．4．（5分）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为144．【分析】根据频率和为1，求出男生身高在180cm以上（含180cm）的频率和频数．【解答】解：根据频率分布直方图，得；男生身高在180cm以上（含180cm）的频率为1﹣（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.18；对应的人数有800×0.18=144．故答案为：144．5．（5分）已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的焦点到渐近线的距离为【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣5，0），（5，0）．渐近线方程为y=±x，即±3y﹣4x=0，所以焦点到其渐近线的距离d==4．故答案为：4．6．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是．【分析】从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，求出基本事件总数和这2个数的和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出这2个数的和为偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，基本事件总数n==10，这2个数的和为偶数包含的基本事件个数m==4，∴这2个数的和为偶数的概率：p==．故答案为：．7．（5分）已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，，则该数列的前5项的和为31．【分析】由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+2a1=4，，∴a1（q+2）=4，a12q4=a1q4，联立解得a1=1，q=2，∴数列的前5项的和为=31故答案为：31．8．（5分）已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为【分析】利用体积求出正四棱锥的高，求出底面对角线的长，然后求解侧棱长．【解答】解：正四棱锥底面边长为，体积为32，可得正四棱锥的高为h，=32，解得h=3，底面对角线的长为：4=8，侧棱长为：=5．故答案为：5．9．（5分）已知函数（0≤x＜π），且（α≠β），则α+β=．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得α+β的值．【解答】解：∵函数（0≤x＜π），∴≤2x+＜，且（α≠β），不妨设α＜β，∴2α+=，2β+=2π+，∴2α+2β=，∴α+β=，故答案为：．10．（5分）已知=（cosα，sinα），=（2，1），a∈（﹣，），若•=1，则sin（2a+）=．【分析】通过数量积推出三角函数关系，然后利用诱导公式化简所求的表达式，利用平方关系式，即可求出结果．【解答】解：，，，，可得2cosα+sinα=1.，又sin2α+cos2α=1，解得co sα=，=﹣cos2α=1﹣2cos2α=1﹣2×=．故答案为：．11．（5分）已知a＞b＞1且2log a b+3log b a=7，则的最小值为3．【分析】由对数的运算可得b2=a，整体代入可得=a+=a﹣1++1，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞b＞1，∴t=log a b＜1，又∵2log a b+3log b a=7，∴2t+=7，解得t=，或t=3（舍去），∴t=log a b=，∴b2=a，∴=a+=a﹣1++1≥2+1=3，当且仅当a﹣1=即a=2且b=时取等号．故答案为：312．（5分）已知圆O：x2+y2=4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为±1．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0），与圆的方程联立可得（1+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0，得到根与系数的关系．利用直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，可得=k2，化为k2=1，即可求出直线l的斜率．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0，±1）．联立圆O：x2+y2=4，化为（1+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，∴=k2，∴（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2，化为tk（x1+x2）+t2=0，∴k•（﹣）+t=0，∴k2=1，∴k=±1．故答案为：±1．13．（5分）已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），记S n=a1+a2+…+a n，若S n=2015，则n=1343．【分析】a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a1+3=3﹣a∈[1，3）．对a分类讨论：①当a∈[1，2]时，3﹣a∈[1，2]，∴a3=﹣a2+3=a，…．②当a∈（0，1）时，3﹣a∈（2，3），可得a3=a2﹣2=1﹣a∈（0，1），∴a4=﹣a3+3=a+2∈（2，3），a5=a4﹣2，对n分类讨论即可得出．【解答】解：∵a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+3=3﹣a∈[1，3）．①当a∈[1，2]时，3﹣a∈[1，2]，∴a3=﹣a2+3=a，…．∴当n=2k﹣1，k∈N*时，a1+a2=a+3﹣a=3，∴S2k﹣1=3（k﹣1）+a=2015，a=1时舍去，a=2时，k=672，此时n=1343；当n=2k，k∈N*时，a1+a2=a+3﹣a=3，∴S2k=3k=2015，k=671+，不是整数，舍去；②当a∈（0，1）时，3﹣a∈（2，3），∴a3=a2﹣2=1﹣a∈（0，1），∴a4=﹣a3+3=a+2∈（2，3），a5=a4﹣2=a∈（2，3），…．当n=4k，k∈N*时，a1+a2+a3+a4=a+3﹣a+1﹣a+a+2=6，∴S4k=6k=2015，k不为整数，舍去；当n=4k﹣1，k∈N*时，a1+a2+a3=a+3﹣a+1﹣a=4﹣a，∴S4k﹣1=6（k﹣1）+（4﹣a）=2015，舍去；当n=4k﹣2，k∈N*时，a1+a2=3，∴S4k﹣2=6（k﹣1）+3=2015，舍去．当4k﹣3，k∈N*时，∴S4k=6（k﹣1）+a=2015，舍去．﹣2综上可得：n=1343．故答案为：1343．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则实数a的取值范围为．【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案．【解答】解：若{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则等价为f（x﹣1）﹣f（x）≤0恒成立，即f（x﹣1）≤f（x）恒成立，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若a≤0，则当x≥0时，f（x）=（x﹣a+x﹣2a+3a）=x，∵f（x）是奇函数，∴若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），则f（x）=x，x＜0，综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x﹣1）≤f（x）恒成立，若a＞0，若0≤x≤a时，f（x）=[﹣x+a﹣（x﹣2a）﹣3a]=﹣x；当a＜x≤2a时，f（x）=[x﹣a﹣（x﹣2a）﹣3a]=﹣a；当x＞2a时，f（x）=（x﹣a+x﹣2a﹣3a）=x﹣3a．即当x≥0时，函数的最小值为﹣a，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）的最大值为a，作出函数的图象如图：由于∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，结合图可得1﹣3a≥3a，即6a≤1，求得0＜a≤，综上a≤，故答案为：（﹣∞，]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D．（1）求证：DE∥平面ABC1；（2）求证：平面AB1D⊥平面ABC1．【分析】（1）推导出DE∥BC1，由此能证明DE∥平面ABC1．（2）推民导出CC1⊥AD，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC1B1，进而AD⊥BC1，由此能证明平面AB1D⊥平面ABC1．【解答】证明：（1）∵D、E分别为BC、CC1中点，∴DE∥BC1，…（2分）∵DE⊄平面ABC1，BC1⊂平面ABC1．∴DE∥平面ABC1．…（6分）（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD，…（8分）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，又∵CC1BC=C，CC1，BC⊂平面BCC1B1，∩∴AD⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥BC1，…（11分）又∵BC1⊥B1D∩AD=D，B1D∩AD=D，B1D，AD⊂平面AB1D，∴BC1⊥平面AB1D，∵BC1⊂平面ABC1，∴平面AB1D⊥平面ABC1．…（14分）16．（14分）已知函数f（x）=ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且a=4，b+c=5，求△ABC的面积．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当时，求函数f（x）的值域．（2）由条件求得A，利用余弦定理求得bc的值，可得△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，∵f （x）的周期为π，且ω＞0，∴，解得ω=1，∴．又，得，，，即函数f（x）在[0，]上的值域为．（2）∵，∴，由A∈（0，π），知，解得：，所以．由余弦定理知：a2=b2+c2﹣2bccosA，即16=b2+c2﹣bc，∴16=（b+c）2﹣3bc．因为b+c=5，所以bc=3，∴．17．（15分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P 是椭圆上一点，M在PF1上，且满足（λ∈R），PO⊥F2M，O为坐标原点．（1）若椭圆方程为=1，且P（2，），求点M的横坐标；（2）若λ=2，求椭圆离心率e的取值范围．【分析】（1）由椭圆方程求得焦点坐标，求得OP，MF1，MF2，的斜率，求得直线F1M的方程，F2M的方程，求得交点，即可得到所求M的横坐标；（2）设P（x0，y0），M（x M，y M），运用向量的坐标和向量共线和垂直的条件，再由椭圆的性质可得﹣a＜x0＜a，解不等式即可得到所求离心率的范围．【解答】解：（1）∵椭圆的方程为∴F1（﹣2，0），F2（2，0），∴，∴直线F2M的方程为：，直线F1M的方程为：，由解得：，∴点M的横坐标为；（2）设P（x0，y0），M（x M，y M），∵∴∴，∵PO⊥F2M，∴即，联立方程得：，消去y0得：，解得：或，∵﹣a＜x0＜a，∴x0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：，P位于右端点处，e=，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．18．（15分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=lh）【分析】（1）设抛物线的方程为：y=﹣ax2（a＞0），利用待定系数法求出，由此能求出隧道设计的拱宽．（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，利用待定系数法求出，从而20＜l≤40，S=，由此利用导数性质能求出当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．【解答】解：（1）设抛物线的方程为：y=﹣ax2（a＞0），则抛物线过点，代入抛物线方程解得：，…（3分）令y=﹣6，解得：x=±20，则隧道设计的拱宽l是40米．…（5分）（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，抛物线过点（10，﹣（h﹣）），代入抛物线方程得：令y=﹣h，则，解得：，则，，…（9分）∵h≥6，∴≥6，即20＜l≤40，∴，…（12分）∴，当时，S'＜0；当时，S'＞0，即S在上单调减，在（20，40]上单调增，∴S在时取得最小值，此时，答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．…（15分）19．（16分）已知函数f（x）=（ax2+x+2）e x（a＞0），其中e是自然对数的底数．（1）当a=2时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．【分析】（1）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系进行求解即可．（2）根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．（3）根据函数单调性结合函数零点的判断条件进行求解即可．【解答】解：（1）f（x）=（2x2+x+2）e x，则f′（x）=（2x2+5x+3）e x=（x+1）（2x+3）e x…（2分）令f′（x）=0，∴，…（4分）（2）问题转化为f′（x）=[ax2+（2a+1）x+3]e x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立；又e x＞0即ax2+（2a+1）x+3≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立；…（6分），令g（x）=ax2+（2a+1）x+3，∵a＞0，对称轴①当﹣1﹣≤﹣2，即时，g（x）在[﹣2，2]上单调增，∴g（x）的最小值g（x）=g（﹣2）=1＞0，∴0＜a≤…（8分）②当﹣2＜﹣1﹣＜0，即时，g（x）在[﹣2，﹣1﹣]上单调减，在[﹣1﹣，2]上单调增，∴△=（2a+1）2﹣12a≤0，解得：，∴＜a≤1+，综上，a的取值范围是．…（10分）（3）∵a=1，设h（x）=（x2+x+2）e x﹣x﹣4，h′（x）=（x2+3x+3）e x﹣1令φ（x）=（x2+3x+3）e x﹣1，φ′（x）=（x2+5x+6）e x令φ′（x）=（x2+5x+6）e x=0，得x=﹣2，﹣3∴，…（13分）∵，∴存在x0∈（﹣1，0），x∈（﹣∞，x0）时，φ（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0∴h（x）在（﹣∞，x1）上单调减，在（x1，+∞）上单调增又∵由零点的存在性定理可知：h（x）=0的根x1∈（﹣4，﹣3），x2∈（0，1）即t=﹣4，0．…（16分）20．（16分）若数列{a n}中不超过f（m）的项数恰为b m（m∈N*），则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{a n}生成{b m}的控制函数．（1）已知a n=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；（2）已知a n=2n，且f（m）=m，求{b m}的前m项和S m；（3）已知a n=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{b m}中，b1，b2，b3是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．【分析】（1）利用生成数列，与控制函数的意义即可得出．（2）对m分类讨论：可得b m．进而得出前n项和．（3）依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，所以2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d ≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论即可得出．【解答】解：（1）m=1，则a1=1≤1，∴b1=1；m=2，则a1=1＜4，a2=4≤4，∴b2=2；m=3，则a1=1＜9，a2=4＜9，a3=9≤9，∴b3=3．（2）m为偶数时，则2n≤m，则；m为奇数时，则2n≤m﹣1，则；∴，m为偶数时，则；m为奇数时，则；∴．（3）依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，所以2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：故，由以下关系：得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，，不合题意，舍去；当d=2时，，不合题意，舍去；当d=3时，，，适合题意．此时，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴．当t=4时，，∴无解．当t=5时，，∴无解．当t=6时，，∴．当t=7时，，∴无解，∴．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：d=3，A=64或65．。
扬州中学高三年级周练数学试卷含答案
江苏省扬州中学高三年级周练数学试卷2012.12.22一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案直接写在答题纸上) 1．集合{}0,2A =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4A B ⋃=，则实数a 的值为 ． 2．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 . 3. 从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_________。
4．曲线2ln y x x =-在点（1，2）处的切线方程是 ．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的一条渐近线与直线l ：210x y -+=垂直，则实数=a ．6．设向量a ，b 满足：3||1,2=⋅=a a b ，+=a b ||=b ．7．正方体1111D C B A ABCD -中，2=AB ，P 是11C B 的中点，则四棱锥11P A BCD -的体积为______ _______．8.已知锐角3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的终边经过点(1,P ,则cos α= . 9. 观察下列不等式：121⋅≥2111⋅，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅31131≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅412121 ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅5131141≥⎪⎭⎫⎝⎛++⋅61412131，…，由此猜测第n 个不等式为 ．（*n N ∈） 10．将正偶数按如图所示的规律排列：2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ……则第n （n ≥4）行从左向右的第4个数为 ．11.P 是椭圆192522=+y x 上的一点，F 是椭圆左焦点，且4||),(21=+=，则点P 到左准线的距离 。
12．在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ，则 =+222c b a ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC =OA OB λμ+，则()223λμ+-的取值范围是 ．14．已知正方形ABCD 的中心在原点，四个顶点都在函数()3()0f x ax bx a =+>图象上．若正方形ABCD 唯一确定，则b 的值为 ．二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-. （1）求角B 的大小；（2）设A A ⋅-==且),1,512(),2cos ,(cos 取最小值时，求)4tan(π-A 值.16． (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥DC ，2DC AB =，AP AD =，PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，E 为PD 的中点．求证：（1）AE ∥平面PBC ；（2）PD ⊥平面ACE ．D CBA EP（第16题图）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底线段．．．．．．．BC 与两腰长的和．．．．．．）为y （米）.⑴求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.18.（本小题满分15分）已知半椭圆22221(0)x y y b a +=≥和半圆222(0)x y b y +=≤组成曲线C ，其中0a b >>；如图，半椭圆22221(0)x y y b a+=≥内切于矩形ABCD ，且CD 交y 轴于点G ，点P 是半圆222(0)x y b y +=≤上异于A B 、的任意一点，当点P 位于点63(,)33M -时，AGP ∆的面积最大。
江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试 数学 含答案
扬州市2014—2015学年度第一学期期末调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1. {}0 2．12-3. R x ∈∃,0322<-+x x 4. 13 5. 156. 27. -28. 17 9. 221412x y -= 10. (][)12-∞-+∞，，11. 61+ 12.512- 13. [2,3] 14. e 14.解：点(0,1)A ，(1,0)B ，设(,log )a P x x ，则()()1,1,log 1log 1a a AB AP x x x x ⋅=-⋅-=-+． 依题()f x log 1a x x =-+在(0,)+∞上有最小值2且(1)2f =，故1x =是()f x 的极值点，即最小值点．1ln 1'()1ln ln x a f x x a x a-=-=，若01a <<，'()0f x >，()f x 单调增，在(0,)+∞无最小值；故1a >， 设'()0f x =，则log a x e =，当(0,log )a x e ∈时，'()0f x <，当(log ,)a x e ∈+∞时，'()0f x >， 从而当且仅当log a x e =时，()f x 取最小值，所以log 1a e =，a e =． 15⑴由图，212,()1433T A ==--=，得4T =，2πω=，则()2sin()26f x x ππ=+， ……3分由22()2sin()2323f πϕ=⋅+=，得sin()13πϕ+=，所以2()32k k Z ππϕπ+=+∈，又02πϕ<<，得6πϕ=，所以()2sin()26f x x ππ=+； ……7分⑵(1)()2sin()2cos()22sin()2626212y f x f x x x x ππππππ=-+=+-+=-， ……10分因为15[,]22x ∈，故762126x ππππ≤-≤，则1sin()12212x ππ-≤-≤，即2()22f x -≤≤，所以函数(1)()y f x f x =-+的值域为[2,22]-． ……14分16⑴解：E 为AC 中点．理由如下：平面PDE 交AC 于E ，即平面PDE 平面ABC DE =，而//BC 平面PDE ，BC ⊂平面ABC ，所以//BC DE ， ……4分 在ABC ∆中，因为D 为AB 的中点，所以E 为AC 中点； ……7分⑵证：因为PA PB =，D 为AB 的中点，所以AB PD ⊥，因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD 平面ABC CD =，在锐角PCD ∆所在平面内作PO CD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABC ，…10分 因为AB ⊂平面ABC ，所以PO AB ⊥ 又POPD P =，,PO PD ⊂平面PCD ，则AB ⊥平面PCD ，又PC ⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥． ……14分 PABCD E PACO17.解⑴因为BC 过椭圆M 的中心，所以22BC OC OB ==，又,2AC BC BC AC ⊥=，所以OAC ∆是以角C 为直角的等腰直角三角形， ……3分则10(,0),(,),(,),22222a a a a A a C B AB a --=，所以2222()()221a a a b-+=，则223a b =， 所以2262,3c b e ==； ……7分 ⑵ABC ∆的外接圆圆心为AB 中点(,)44a a P ，半径为104a ， 则ABC ∆的外接圆为：2225()()448a a x y a -+-=……10分令0x =，54a y =或4a y =-，所以5()944a a--=，得6a =， （也可以由垂径定理得22109()()442a a -=得6a =） 所以所求的椭圆方程为2213612x y +=． ……15分18⑴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立坐标系．设(,)P m n ，∵02πθ<<，tan 33θ=∴7cos 14θ=，321sin 14θ=，则9sin 2m OP θ=⋅=，3cos 2n OP θ=⋅=， ……4分依题意，AB ⊥OA ，则OA =92，OB =2OA =9，商业中心到A 、B 两处的距离和为13.5km ． ……7分 ⑵方法1：当AB 与x 轴不垂直时，设AB ：39()22y k x -=-，①令0y =，得3922A x k =-+；由题意，直线OB 的方程为3y x =，②解①②联立的方程组，得932(3)B k x k -=-，∴229323B B B k OB x y x k -=+==-， ∴3993223k y OA OB k k -=+=-++-，由0A x >，0B x >，得3k >，或0k <． ……11分 yxPBOA22228333(33)(53)'2(3)2(3)k k y k k k k --+-=+=--，令'0y =，得33k =-， 当33k <-时，'0y <，y 是减函数；当303k -<<时，'0y >，y 是增函数，∴当33k =-时，y 有极小值为9km ；当3k >时，'0y <，y 是减函数，结合⑴知13.5y >km ．综上所述，商业中心到A 、B 两处的距离和最短为9km ，此时OA =6km ，OB =3km ， 方法2：如图，过P 作PM //OA 交OB 于M ，PN //OB 交OA 于N ，设∠BAO =α，△OPN 中sin(90)sin(30)sin120PN ON OPθθ︒==--，得PN =1，ON =4=PM ， △PNA 中∠NP A =120°-α∴sin sin(120)PN NA αα︒=-得sin(120)sin NA αα︒-= 同理在△PMB 中，sin sin(120)BM PM αα︒=-，得4sin sin(120)MB αα︒=-， s i n (120)4s i n142459s i n s i n (120)y O A O B αααα︒︒-=+=+++≥+=-， ……13分 当且仅当sin(120)4sin sin sin(120)αααα︒︒-=-即sin(120)2sin αα︒-=即3tan 3α=时取等号． 方法3：若设点(,3)B m m ，则AB ：392293322y x m m --=--，得4(4,0)21A m +-， ∴4424211492121OA OB m m m m +=++=-+++≥--， ……13分当且仅当42121m m -=-即32m =时取等号．方法4：设(,0)A n ，AB ：093022y x n n --=--，得2142B x n =+-， 442441(4)5944B OA OB n x n n n n +=+=-+++=-++≥--， ……13分 当且仅当444n n -=-即6n =时取等号． 答：A 选地址离商业中心6km ，B 离商业中心3km 为最佳位置． ……15分19⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， ……1分 此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--， ……3分故12015201520152014(1)2a a =+⨯⨯-，即112014(1)2a a =+⨯-，得1a =； ……4分NM P北B OA（没有过程，直接写1a =不给分） ⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=， ……6分 ①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112mm m a aa -+=+，解得：1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m aa a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-（舍1）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++；③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m aa a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……9分 综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ……10分 ⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+， ……12分当n 是偶数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+， 当n 是奇数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式， ……15分 综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数． ……16分20.⑴解: (0)1f =，'()xf x e =，'(0)1f =， (0)g c =，'()2g x ax b =+，'(0)g b =， ……2分依题意：⎧⎨⎩(0)(0)'(0)'(0)1f g f g ==-，所以⎧⎨⎩1,1c b ==-； ……4分⑵解: 1a c ==，0b =时，2()1g x x =+， ……5分①0x =时，(0)1f =，(0)1g =，即()()f x g x = ②0x <时，()1f x <，()1g x >，即()()f x g x <③0x >时，令2()()()1xh x f x g x e x =-=--,则'()2xh x e x =-. 设()'()=2xk x h x e x =-，则'()=2x k x e -，当ln 2x <时, '()0,()k x k x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()k x k x >单调递增. 所以当ln 2x =时, ()k x 取得极小值, 且极小值为ln2(ln 2)2ln 22ln 40k e=-=->即()'()=20xk x h x e x =->恒成立，故()h x 在R 上单调递增,又(0)0h =,因此,当0x >时, ()(0)0h x h >>,即()g()f x x >. ……9分 综上，当0x <时,()()f x g x <；当0x =时, ()()f x g x =；当0x >时, ()g()f x x >． ……10分 ⑶证法一：①若01a <≤，由⑵知，当0x >时, 21xe x >+.即22xe x ax >≥，所以，01a <≤时，取0m =，即有当()x m ∈+∞，，恒有2xe ax >. ②若1a ≥,()g()f x x >即2x e ax >，等价于2ln()x ax >即2ln ln x x a >+ 令()2ln ln t x x x a =--,则22'()1x t x x x-=-=.当2x >时,'()0,()t x t x >在(2,)+∞内单调递增. 取20x ae =,则202x e ≥>，所以()t x 在0(,)x +∞内单调递增.又2220()2ln ln 43ln 743ln t x e a e a a e a a a a =--=-->--4(1)3(ln )0a a a =-+->即存在2m ae =,当()x m ∈+∞，时，恒有()()f x g x >. ……15分 综上，对任意给定的正数a ，总存在正数m ，使得当()x m ∈+∞，，恒有()()f x g x >. ……16分 证法二：设2()xe h x x=，则3(2)'()x e x h x x -=， 当(0,2)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调减，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调增，故()h x 在(0,)+∞上有最小值，2(2)4e h =， ……12分①若24e a <，则()2h x >在(0,)+∞上恒成立，即当24e a <时，存在0m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >；②若24e a =，存在2m =，使当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f xg x >；③若24e a >，同证明一的②， ……15分综上可得，对任意给定的正数a ，总存在m ,当(,)x m ∈+∞时,恒有()()f x g x >. ……16分第二部分（加试部分）21．A ．设(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，点(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点(,)P x y '''则有10102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥' ⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即12x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ ……5分又因为点(,)P x y '''曲线222:14x C y +=上， 故22()()14x y ''+=，从而22()()142x y += 所以曲线1C 的方程是 224x y +=． ……10分B ．由2cos()42πρθ-=-，得曲线1C 的直角坐标系的方程为10x y ++=, ……3分 由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的普通方程为21(11)x y x +=-≤≤, ……7分 由2101x y x y ++=⎧⎨+=⎩，得220x x --=，即2x =（舍去）或1x =-，所以曲线1C 与曲线2C 交点的直角坐标为(1,0)-． ……10分22．在甲靶射击命中记作A ,不中记作A ；在乙靶射击命中记作B ,不中记作B ，其中221331(),()1,(),()1333444P A P A P B P B ==-===-= ……2分 ⑴ξ的所有可能取值为0,2,3,4，则1111(0)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=，(2)())()()()()()()P P ABB P ABB P A P B P B P A P B P B ξ==+=+(131113634434448=⨯⨯+⨯⨯=，2(3)()3P P A ξ===，1339(4)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=．ξ的分布列为：ξ23 4P148 648 23 9481629023*********E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ……7分⑵射手选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ,12931(3)34848P P ξ=≥=+=； 21333133327(3)()()()4444444432P P P BBB P BBB P BB ξ=≥=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯=, ……9分因为21P P >，所以应选择方案2通过测试的概率更大． ……10分23⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =， 故满足条件的x 共有4个，分别为：004x =++，024x =++，104x =++，124x =++,它们的和是22． ……4分 ⑵由题意得，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法；n a 有1n -种取法，由分步计数原理可得0121,,,,n a a a a -的不同取法共有(1)(1)n n n n n n n ⋅⋅⋅-=-，即满足条件的x 共有(1)nn n -个， ……6分 当0a 分别取0,1,2,,1n -时，121,,,n a a a -各有n 种取法，n a 有1n -种取法， 故n A 中所有含0a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n n n --++++--=；同理，n A 中所有含1a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n --++++--⋅=⋅；n A 中所有含2a 项的和为2122(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n --++++--⋅=⋅；……n A 中所有含1n a -项的和为2111(1)(0121)(1)2n n n n n n n n n nn ----++++--⋅=⋅；当n a 分别取1,2,,1i n =-时，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法，故n A 中所有含n a 项的和为1(1)(121)2n nnnn n n n n n +-+++-⋅=⋅；所以n A =2121(1)(1)(1)22n n n nn n n n n n n n +---+++++⋅；21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2n n n n n n n +-=+-故1()1n n f n n n +=+-． ……10分。
扬州中学2015届高三4月 数学模拟试题word版 含答案
高三双周练数学试卷2015.4.18.一、填空题：1．已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则A B 等于 ▲ ．2．已知虚数z 满足216i z z -=+，则||z = ▲ ．3．抛物线22y x =的准线方程为 ▲ ．4．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间为 ▲ ．5．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x ，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的标准差是 ▲ ．6．已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ▲ ．7．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则)co s (απ-的值是 ▲ ．8．若一个正四棱锥的底面边长为2cm ，侧棱长为3cm ，则它的体积为 ▲ cm 3.9．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a ba b ++的最大值为_____▲____.10．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次得到的点数m 、n 分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 不在．．直线5x y +=下方的概率为 ▲ .11.已知函数2()21f x x ax =-+，若存在(,)42ππϕ∈，使(s i n )(c o s )f f ϕϕ=，则实数a 的取值范围____▲_____.12．已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =____▲____.13．在正项等比数列{}n a 中，43215a a a a +--=，则56a a +的最小值为____▲___.14.已知函数()sin f x x x =+，不等式()cos f x ax x ≥在[0,]2π上恒成立，则实数a 的取值范围为_____▲______.二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形. （1）若CF ⊥AE ，AB ⊥AE ，求证：平面ABFE ⊥平面CDEF ； （2）求证：EF//平面ABCD.16．(本小题满分14分) 已知函数()2cos()(05)63f x x x ππ=+≤≤，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．（1）求点B A ,的坐标以及OB OA ⋅的值；（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求)22sin(βα-的值．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：222b y x =+相切于点M. （1）求椭圆C 的方程；（2）求|PM|·|PF|的取值范围；（3）若OP ⊥OQ ，求点Q 的纵坐标t 的值.BCDE F18．(本小题满分16分)如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC 的长为a 米（a 为常数），现在斜边AB 上选一点D ，将△ACD 沿CD 折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD 的面积为S ，点A 到直线CD 的距离为d. 实践证明，遮阳效果y 与S 、d 的乘积Sd 成正比，比例系数为k （k 为常数，且k >0）. （1）设∠ACD=θ，试将S 表示为θ的函数；（2）当点D 在何处时，遮阳效果最佳（即y 取得最大值）？19．（本小题满分16分）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（1）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （2）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（3）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）图（1）ABCD 图（2）20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+(,0)n N p *∈>，数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（1）若11,23p q ==-，求3b ; （2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式;（3）是否存在p 和q ，使得32m b m =+()m N *∈？如果存在，求p 和q 的取值范围？如果不存在，请说明理由.附加题部分：21B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2 ．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．21C ．选修4—4：极坐标与参数方程已知圆的极坐标方程为：()2πcos 604ρθ--+=．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．_____________ 学号________________…订…………………………………线…………………………………………22．(本题满分10分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[)[)[)[)[]20,25,25,30,30,35,35,40,40,45．（1）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．23. (本题满分10分)∈的形式，则称其为“兄弟数”.n N*)求证：（1）若x为“兄弟数”，则2x也为“兄弟数”；（2）若x为“兄弟数”，k是给定的正奇数，则k x也为“兄弟数”.数学试卷参考答案及评分标准 2015.41．{}1,2 2．5 3．81-=y 4．)2,0( 5．1 6．2 7．55- 8．374 9．5710．5611. 12. 13.20 14. 2a ≤ 15．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD ，又∵AB ⊥AE ， ∴AE ⊥CD 又∵AE ⊥CF ，CD∩CF=C ，CD 、CF ⊂平面CDEF ，∴AE ⊥平面CDEF ，又∵AE ⊂平面ABFE ，∴平面ABFE ⊥平面CDEF………7分 （2）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD又∵AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，∴AB//平面CDEF 又∵AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面CDEF=EF ，∴AB//EF又∵EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴EF//平面ABCD.………14分17.（1）⎪⎩⎪⎨⎧==121c a c …………2分∴c =1，a =2，∴3=b ，∴椭圆方程为13422=+y x …………4分 （2）设),(00y x P ，则)20(13402020<<=+x y xPM=0202020202134333x x x y x =--+=-+，………………6分PF=0212x -…………8分 ∴PM·PF=1)2(41)4(412000+--=-x x x ，∵200<<x ，∴|PM|·|PF|的取值范围是（0,1）.…………10分（3）法一：①当PM ⊥x 轴时，P )23,3(，Q ),3(t 或),3(t -， 由0=⋅解得32±=t ……………………12分②当PM 不垂直于x 轴时，设),(00y x P ，PQ 方程为)(00x x k y y -=-，即000=+--y kx y kx∵PQ 与圆O 相切，∴31||200=+-k y kx ，∴33)(2200+=-k y kx∴002y kx 33220202--+=k y x k ………………13分又),(00t k kx y t Q +-，所以由0=⋅得00000)(ky x kx y x t +-=……14分∴=+-=200200202)()(ky x kx y x t =++-0020220200202)(y kx y k x y kx x 33)33(22020220220220--++++k y x k y k x k x =33)433)(1()1()33(220222220---++++k x k x k k x =12，∴32±=t ……16分法二：设),(00y x P ，则直线OQ ：x y x y 00-=，∴),(00t t x yQ -， ∵OP ⊥OQ ，∴OP·OQ=OM·PQ ∴20200222202020)()(3t y t x y x t t x y y x -++⋅=+⋅+………12分 ∴)(33)(22022202202220202020222020t x x y x t y t x y x y x x t y x ++⋅=+++⋅=+⋅+∴)(3)(22022020t x t y x +=+，∴332020202-+=y x x t ………………14分∵1342020=+y x ，∴4332020x y -=，∴12413222==x x t ，∴32±=t ……………16分18. （1）△BCD 中BCDCDB BC ∠=∠sin sin ，∴45sin )45sin(CDa =+θ，∴)45sin(2+=θa CD …………4分∴BCD CD BC S ∠⋅⋅=sin 21 )45sin(4cos 22+=θθa ，900<<θ……6分（其中范围1分） （2）θsin a d =…………8分kSd y =)45sin(4cos sin 23+=θθθka )cos (sin 2cos sin 3θθθθ+=ka ………………10分 令t =+θθcos sin ，则]2,1(∈t ，21cos sin 2-=t θθ∴)1(44)1(323tt ka t t ka y -=-=在区间]2,1(上单调递增，…………13分 ∴当2=t 时y 取得最大值，此时4πθ=，即D 在AB 的中点时，遮阳效果最佳.………………16分19.（1）结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切.…1分理由如下：由条件知2()f x x =-，由()ln g x x =，得0x >， 又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=，所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x'=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …3分（2）若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -= ①，12as a s -= ② ，由②得 1(21)a s s =-，代入①得1ln 21s s s -=-.（*） 因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …8分 当x 变化时，()F x '与所以当1x =时，()F x 当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …12分（3）当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …14分当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切. …16分20.（1）由题意，得1123n a n =-，解11323n -≥，则203n ≥，所以11323n -≥成立的所有n 中的最小整数为7，即37b =.（2）由题意，得21n a n =-，对于正整数由n a m ≥，得12m n +≥,根据m b 的定义可知，当21m k =-时，()m b k k N *=∈当2m k =时，1()m b k k N *=+∈ ∴1221321()m m b b b b b b -+++=+++242()m b b b ++++=2(123)[234(1)]2m m m m ++++++++++=+（3）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥∵32()m b m m N *=+∈，根据m b 的定义可知，对于任意正整数的都有3132m qm m p-+<≤+即2(31)p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得22()31313131p q p q p q p qm m p p p p ++++-≥≥--≤≤-----或 这与上述结论矛盾.当310p -=即13p =时，21033q q --≤<--，∴2133q -≤<- ∴所以存在p 和q ，使得满足条件的p ，q ，且p ，q 的取值范围分别是：121,[,]333p q =∈--.数学附加题参考答案21B ．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6， 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2， 解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4，所以A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 23 －12－13 12． C ．解：（1）224460x y x y +--+=；（2）圆的参数方程为2,2,x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ 所以42sin 4x y πα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，那么x ＋y 最大值为6，最小值为2．22．解：（1）因为小矩形的面积等于频率，所以除[)40,35外的频率和为0.70，所以10.700.065x -==，所以500名志愿者中，年龄在[)40,35岁的人数为0.065500150⨯⨯=(人)；……3分（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名． 故X 的可能取值为0,1,2,3，()28514032038===C C X P ，()9528132028112===C C C X P ， ()9544232018212===C C C X P ，()57113320312===C C X P , 故X所以1428441117190123285959557955EX =⨯+⨯+⨯+⨯==．…………10分23.证明：（1）设*)x n N∈， 则221xn=++“兄弟数” （2）设*)x y n N =∈，则1xy =而00,(kkkik iiki k i i kk i i x C y C --====∑∑故0(k kkki k iii k i i kk i i x y C C --==+=+∑∑1022442122[]k kk k k kkkkC C n C n Cn n----=+⋅+⋅++，不妨记：2*k k x y a N +=∈同理：由0(kkkkik iiik i i kk i ix y CC --==-=-∑∑，不妨记：2*k kx y b N -=∈进而，2k x =k x 又22224(1)4()()44k k k k k k a n b n x y x y x y +-=+--==，故22(1)1a n b n +=+ 因此k x “兄弟数”.。
2015年江苏高考数学试题及答案word精校版(江苏卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高。
圆锥的体积公式：V 圆锥13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高。
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量a v =（2,1），b v =（1，-2），若ma nb +v v=（9，-8）（m ，n ∈R ），则m-n 的值为______. 7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 前10项的和为 。
12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
江苏省扬州市2015届高三数学下学期第二次模拟考试试卷(含解析)
2015年江苏省扬州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．命题“存在x∈R，2x＞0”的否定是“”．2．设=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则ab的值为．3．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B= ．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为．5．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为．6．若函数（ω＞0）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为．7．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AD=2cm，AA1=1cm，则三棱锥B1﹣ABD1的体积为cm3．9．已知等差数列{a n}的首项为4，公差为2，前n项和为S n．若S k﹣a k+5=44（k∈N*），则k 的值为．10．设f（x）=4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为．11．在平行四边形ABCD中，=3，则线段AC的长为．12．如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，点D在边BC上，∠BAD=45°，则tan∠CAD的值为．13．设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则的最小值为．14．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2=25，圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2=r2．若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA=2AB，则半径r的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四面体ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD=90°．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．（1）求证：CD∥平面MNQ；（2）求证：平面MNQ⊥平面CAD．16．体育测试成绩分为四个等级，优、良、中、不集合．某班50名学生惨叫测试结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求该名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为a1，a2，a3，2名女生的成绩记为b1，b2，现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛：①写出所有可能的基本事件；②求参赛学生中恰有一名女生的概率．17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，0），=（0，2）．设向量=+（1﹣cosθ），=﹣k+，其中0＜θ＜π．（1）若k=4，θ=，求•的值；（2）若∥，求实数k的最大值，并求取最大值时θ的值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0）．P（x0，y0）为椭圆上一点，且PA⊥PF．（1）若a=3，b=，求x0的值；（2）若x0=0，求椭圆的离心率；（3）求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x=相切．19．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（3）当a＞4时，求函数y=f（f（x）+a）零点的个数．20．设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q（q≠1）的等比数列．记c n=a n+b n．（1）求证：数列{c n+1﹣c n﹣d}为等比数列；（2）已知数列{c n}的前4项分别为4，10，19，34．①求数列{a n}和{b n}的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合A={n 1，n2，…，n k}（k≥4，k∈N*），使得数列，，…，为等差数列？证明你的结论．三、（附加题）[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点．求证：AP•BC=AC•CP．三、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．四、[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB 中点的极坐标．三、[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥．四、【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线y2=2px（p ＞0）上．（1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．26设A，B均为非空集合，且A∩B=∅，A∪B={1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N*）．记A，B中元素的个数分别为a，b，所有满足“a∈B，且b∈A”的集合对（A，B）的个数为a n．（1）求a3，a4的值；（2）求a n．2015年江苏省扬州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．命题“存在x∈R，2x＞0”的否定是“∀x∈R，2x≤0 ”．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：命题为特称命题，则命题的否定为任意x∈R，2x≤0，故答案为：任意x∈R，2x≤0点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．设=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则ab的值为0 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等求得a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得a=0，b=1．∴ab=0．故答案为：0．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B= {﹣1，3} ．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，∴B={x|x≥1或x≤﹣1}，∵A={﹣1，0，，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为11 ．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟程序运行，依次写出每次循环得到的S，I的值，当I=7时，不满足条件I＜7，退出循环，输出S的值为11．解答：解：模拟程序运行，可得I=1满足条件I＜7，S=3，I=3满足条件I＜7，S=7，I=5满足条件I＜7，S=11，I=7不满足条件I＜7，退出循环，输出S的值为11．故答案为：11．点评：本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出每次循环得到的S，I的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为0.02 ．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题；概率与统计．分析：根据平均数与方差的公式进行计算即可．解答：解：数据9.8，9.9，10.1，10，10.2的平均数是=（9.8+9.9+10.1+10+10.2）=10，∴该组数据的方差为s2=[（10﹣9.8）2+（10﹣9.9）2+（10﹣10.1）2+（10﹣10）2+（10﹣10.2）2]=[0.04+0.01+0.01+0+0.04]=0.02．故答案为：0.02．点评：本题考查了求数据的平均数与方差的应用问题，是基础题目．6．若函数（ω＞0）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得函数的周期为4，再根据y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=，求得ω的值．解答：解：由题意可得，函数的周期为2×2=，求得ω=，故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．7．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为﹣e ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a 的方程，即可解得a．解答：解：y=lnx的导数为y′=，即有曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=，由于切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则a•=﹣1，解得a=﹣e，故答案为：﹣e．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，属于基础题．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AD=2cm，AA1=1cm，则三棱锥B1﹣ABD1的体积为 1 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用=即可得出．解答：解：由长方体的性质可得：点D1到平面ABB1A1的距离为AD．====1，故答案为：1．点评：本题考查了三棱锥的体积计算公式、“等体积变形”、线面垂直的判定及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知等差数列{a n}的首项为4，公差为2，前n项和为S n．若S k﹣a k+5=44（k∈N*），则k 的值为7 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知写出等差数列的通项公式和求和公式，是基础的计算题．解答：解：由等差数列{a n}的首项为4，公差为2，得a n=4+2（n﹣1）=2n+2，，再由S k﹣a k+5=44，得k2+3k﹣2（k+5）﹣2=44，解得：k=﹣8（舍）或k=7．故答案为：7．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．10．设f（x）=4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为 6 ．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由函数为单调增函数可得f′（x）≥0，故只需△≤0即可．解答：解：根据题意，得f′（x）=12x2+2mx+m﹣3，∵f（x）是R上的单调增函数，∴f′（x）≥0，∴△=（2m）2﹣4×12×（m﹣3）≤0即4（m﹣6）2≤0，所以m=6，故答案为：6．点评：本题考查函数的单调性，利用二次函数根的判别式小于等于0是解决本题的关键，属中档题．11．在平行四边形ABCD中，=3，则线段AC的长为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，易得，建立直角坐标系，设D（x，y），则C（0，y），（﹣x，0），则=y2=3，解出即可．解答：解：根据题意，得==，又∵∴，又四边形ABCD为平行四边形，建立直角坐标系如右图，设D（x，y），则C（0，y），（﹣x，0），则=（0，y），=（x，y），所以=y2=3，从而线段AC的长为==，故答案为：．点评：本题考查向量数量积的坐标表示，建立直角坐标系是解决本题的关键，属中档题．12．如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，点D在边BC上，∠BAD=45°，则tan∠CAD的值为．．考点：余弦定理；两角和与差的正切函数．专题：解三角形．分析：先用余弦定理求出cos∠BAC，根据同角三角函数关系式即可求出sincos∠BAC，tan ∠BAC，再用两角和正切公式即可求得tan∠CAD的值．解答：解：在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠BAC===﹣，所以可得：sin∠BAC==，所以可得：tan∠BAC===﹣，由于：tan∠BAC=tan（∠BAD+∠CAD）===﹣，从而解得：tan∠CAD=．故答案为：．点评：本题主要考查了余弦定理，同角三角函数关系式，两角和正切函数公式的应用，属于基本知识的考查．13．设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则的最小值为．考点：等比数列的性质；对数的运算性质．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：直接利用等比数列的性质以及对数的运算法则化简求解即可．解答：解：x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，z2=xy，===≥=．当且仅当lgy=2lgx时取等号．故答案为：．点评：本题考查对数的运算法则等比数列的性质的应用，基本不等式的应用．14．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2=25，圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2=r2．若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA=2AB，则半径r的取值范围是[5，55] ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径r的取值范围即可．解答：解：圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2=25，圆心（﹣1，6）；半径为：5．圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2=r2．圆心（17，30）；半径为：r．两圆圆心距为：=30．如图：PA=2AB，可得AB的最大值为直径，此时C2A=20，r＞0．当半径扩大到55时，此时圆C2上只有一点到C1的距离为25，而且是最小值，半径再大，没有点满足PA=2AB．r∈[5，55]．故答案为：[5，55]．点评：本题考查两个圆的位置关系．直线与圆的综合应用．考查分析问题解决问题的能力．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四面体ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD=90°．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．（1）求证：CD∥平面MNQ；（2）求证：平面MNQ⊥平面CAD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）通过三角形中位线定理推知MQ∥CD来证得结论；（2）欲证明平面MNQ⊥平面CAD，只需“利用三角形中位线定理和平行线的性质推知MN⊥平面ACD”证得平面MNQ⊥平面CAD．解答：证明：（1）因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD，又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ．（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB，又∠BAD=90°，所以AB⊥AD，故MN⊥AD．因为平面BAD⊥平面CAD，平面BAD∩平面CAD=AD，且MN⊂平面ABD，所以MN⊥平面ACD．又MN⊂平面MNQ，平面MNQ⊥平面CAD．点评：本题考查了线面平行（垂直）的判定定理和性质定理的运用，体现了转化的思想．（2）测试成绩为“优”的3名男生记为a1，a2，a3，2名女生的成绩记为b1，b2，现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛：①写出所有可能的基本事件；②求参赛学生中恰有一名女生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布表，利用频率=，即可求出对应的概率；（2）①依据古典概型即可得到从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛的所有基本事件个数；②由①，代入古典概型概率公式，即可得到参赛学生中恰有一名女生的概率．解答：解：（1）根据频率分布表，得；在这次考试中成绩为“良”或“中”是19+23=42；故随机抽取一名学生，该名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为=；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为a1，a2，a3，2名女生的成绩记为b1，b2，①现从这5人中任选2人所有的基本事件为：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2，共10种；②满足参赛学生中恰有一名女生的事件为：a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，共6种故参赛学生中恰有一名女生的概率为P=．点评：本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，考查等可能事件的概率，古典概型与几何概型都涉及到了，是常见的题目；平时要加强训练17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，0），=（0，2）．设向量=+（1﹣cosθ），=﹣k+，其中0＜θ＜π．（1）若k=4，θ=，求•的值；（2）若∥，求实数k的最大值，并求取最大值时θ的值．考点：平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：（1）当k=4，时，用坐标表示向量、，代入计算即可；（2）用坐标表示出向量、，由，可得，令f（θ）=sin θ（cosθ﹣1），问题转化为求f（θ）的最小值．解答：解：（1）当k=4，时，=（1，2﹣），=（﹣4，4），则==．（2）依题意，=（1，2﹣2cosθ），=（﹣k，），因为，所以，整理得，，令f（θ）=sinθ（cosθ﹣1），则f′（θ）=cosθ（cosθ﹣1）+sinθ（﹣sinθ）=2cos2θ﹣cosθ﹣1=（2cosθ+1）（cosθ﹣1）．令f′（θ）=0，得或cosθ=1，又0＜θ＜π，故．列表如下：θf′（θ）﹣ 0 +f（θ）↓极小值↑当时，，此时实数k取最大值．点评：本题考查向量的坐标运算，将问题转化为求三角函数的最小值是解题的关键，属中档题．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0）．P（x0，y0）为椭圆上一点，且PA⊥PF．（1）若a=3，b=，求x0的值；（2）若x0=0，求椭圆的离心率；（3）求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x=相切．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据a，b，c的关系易得c=2，由PA⊥PF及，解得；（2）联立条件x0=0及PA⊥PF，计算得a2﹣c2=ac，所以e2+e﹣1=0，解之即可（注意舍去负值）．（3）联立，以及PA⊥PF得，解得，计算可得PF=，即得结论．解答：解：（1）因为a=3，b=，所以c2=a2﹣b2=4，即c=2，由PA⊥PF得，，即，又，所以，解得或x0=﹣3（舍去）；（2）当x0=0时，，由PA⊥PF得，，即b2=ac，故a2﹣c2=ac，所以e2+e﹣1=0，解得（负值已舍）；（3）依题意，椭圆右焦点到直线的距离为，且，①由PA⊥PF得，，即，②由①②得，，解得或x0=﹣a（舍去）．所以PF===|a﹣|=a+=，所以以F为圆心，FP为半径的圆与右准线相切．点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分析能力与计算能力，属中档题．19．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（3）当a＞4时，求函数y=f（f（x）+a）零点的个数．考点：函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据f（0）=0即可求出a；（2）讨论a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围；（3）代入f（x），原函数变成y=f（x|x﹣a|），这时候换元t=x|x﹣a|，y=t|t﹣a|﹣a．然后画出函数t=x|x﹣a|和函数y=t|t﹣a|﹣a的图象，通过图象找出有几个t使得y=t|t﹣a|﹣a=0，并找出对应的x的个数，从而找到原函数的零点个数．解答：解：（1）∵f（x）在原点有定义，f（x）为奇函数；∴f（0）=﹣a=0；∴a=0；（2）f（x）=x|x﹣a|﹣a；∴①若a＜2，则x=2时，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2﹣a）﹣a=4﹣3a；∴4﹣3a≥0，a≤；∴；②若2≤a≤3，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=﹣a；﹣a＜0，不满足f（x）≥0；即这种情况不存在；③若a＞3，则x=3时，f（x）取得最小值f（3）=3（a﹣3）﹣a=2a﹣9；∴2a﹣9≥0，a；∴；∴综上得a的取值范围为（﹣∞，]∪[，+∞）；（3）f（x）+a=x|x﹣a|，令x|x﹣a|=t；∴y=t|t﹣a|﹣a；下面作出函数t=x|x﹣a|=和函数y=t|t﹣a|﹣a=的图象：函数y=t|t﹣a|﹣a的图象可以认为由函数y=t|t﹣a|的图象向下平移a个单位得到；显然函数y=t|t﹣a|﹣a的左边两个零点t=t1，t=t2都在（0，a）区间上，而通过t=x|x﹣a|的图象可看出：∵，∴；∴t1，t2分别有三个x和它对应；∴这时原函数有6个零点；由t（t﹣a）﹣a=t2﹣ta﹣a=0可以解出；∴；显然；而（a2﹣2a）2﹣4（a2+4a）=a[a2（a﹣4）﹣16]；显然a2（a﹣4）﹣16可能大于0，可能等于0，可能小于0；∴t3可能和它对应的x个数为3，2，1；∴此时原函数零点个数为3，2，或1；∴原函数的零点个数为9个，8个，或7个．点评：考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法．20．设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q（q≠1）的等比数列．记c n=a n+b n．（1）求证：数列{c n+1﹣c n﹣d}为等比数列；（2）已知数列{c n}的前4项分别为4，10，19，34．①求数列{a n}和{b n}的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合A={n 1，n2，…，n k}（k≥4，k∈N*），使得数列，，…，为等差数列？证明你的结论．考点：等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）依题意，c n+1﹣c n﹣d=（a n+1+b n+1）﹣（a n+b n）﹣d=（a n+1﹣a n）﹣d+（b n+1﹣b n）=b n（q﹣1）≠0，利用等比数列的定义，即可得出结论；（2）①由（1）得，等比数列{c n+1﹣c n﹣d}的前3项为6﹣d，9﹣d，15﹣d，求出d，q，即可求数列{a n}和{b n}的通项公式；②利用反证法，假设存在满足题意的集合A，不妨设l，m，p，r∈A（l＜m＜p＜r），且c l，c m，c p，c r成等差数列，则2c m=c p+c l，得出c m，c p，c r为数列{c n}的连续三项，从而2c m+1=c m+c m+2，只能q=1，这与q≠1矛盾，即可证明结论．解答：（1）证明：依题意，c n+1﹣c n﹣d=（a n+1+b n+1）﹣（a n+b n）﹣d=（a n+1﹣a n）﹣d+（b n+1﹣b n）=b n（q﹣1）≠0，…3分从而，又c2﹣c1﹣d=b1（q﹣1）≠0，所以{c n+1﹣c n﹣d}是首项为b1（q﹣1），公比为q的等比数列．…5分（2）解：①由（1）得，等比数列{c n+1﹣c n﹣d}的前3项为6﹣d，9﹣d，15﹣d，则（9﹣d）2=（6﹣d）（15﹣d），解得d=3，从而q=2，…7分且解得a1=1，b1=3，所以a n=3n﹣2，．…10分②假设存在满足题意的集合A，不妨设l，m，p，r∈A（l＜m＜p＜r），且c l，c m，c p，c r成等差数列，则2c m=c p+c l，因为c l＞0，所以2c m＞c p，①若p＞m+1，则p≥m+2，结合①得，2[（3m﹣2）+3•2m﹣1]＞（3p﹣2）+3•2p﹣1≥3（m+2）﹣2+3•2m+1，化简得，，②因为m≥2，m∈N*，不难知2m﹣m＞0，这与②矛盾，所以只能p=m+1，同理，r=p+1，所以c m，c p，c r为数列{c n}的连续三项，从而2c m+1=c m+c m+2，即2（a m+1+b m+1）=a m+b m+a m+2+b m+2，故2b m+1=b m+b m+2，只能q=1，这与q≠1矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A．…16分点评：本题考查等比数列的判定，考查等差数列、等比数列的通项，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、（附加题）[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点．求证：AP•BC=AC•CP．考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明．分析：根据弦切角定理，可得∠PCA=∠CBP，进而可得△CAP∽△BCP，进而根据对应边成比例，化为积等式，可得答案．解答：证明：因为PC为圆O的切线，所以∠PCA=∠CBP，…（3分）又∠CPA=∠CPB，故△CAP∽△BCP，…（7分）所以AC：BC=AP：PC，即AP•BC=AC•CP．…（10分）点评：本题考查的知识点是弦切角定理，相似三角形的判定及性质，难度不大，属于基础题．三、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：选作题；矩阵和变换．分析：利用特征向量的定义，建立方程，即可求实数a的值．解答：解：设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则，…5分故解得…10分．点评：本题考查特征值与特征向量，考查学生的计算能力，理解特征向量是关键．四、[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB 中点的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：方法一：将直线直线θ=化为普通方程得，x，将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4=0，联立消去y得，2x2﹣5x+2=0，利用中点坐标可得线段AB的坐标，再化为极坐标即可．方法2：联立直线l与曲线C的方程组可得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，利用中点坐标公式即可得出．解答：解：方法一：将直线θ=化为普通方程得，x，将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4=0，联立并消去y得，2x2﹣5x+2=0，∴x1+x2=，∴AB中点的横坐标为=，纵坐标为，∴=化为极坐标为．方法2：联立直线l与曲线C的方程组，消去θ，得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，∴线段AB中点的极坐标为，即．点评：本题考查了直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥．考点：二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用柯西不等式可得（a2+b2+c2）（1+4+9）≥（a+2b+3c）2=16，变形即可证得结论．解答：证明：∵a+2b+3c=4，由柯西不等式，得（a2+b2+c2）（1+4+9）≥（a+2b+3c）2=16，∴a2+b2+c2≥，当且仅当时，等号成立，即当a=、b=、c=时，等号成立，∴a2+b2+c2≥．点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．四、【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线y2=2px（p ＞0）上．（1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用代入法，即可求得p，t；（2）求得M（2，0），求出直线AM的方程，代入抛物线方程，可得B的坐标，运用正弦的斜率公式，可得k1=﹣，k2=﹣2，代入k1+k2=2k3得k3，进而得到直线PC方程，再联立直线AM的方程，即可得到C的坐标．解答：解：（1）将点A（8，﹣4）代入y2=2px，得p=1，将点P（2，t）代入y2=2x，得t=±2，因为t＜0，所以t=﹣2．（2）依题意，M的坐标为（2，0），直线AM的方程为y=﹣x+，联立抛物线方程y2=2x，并解得B（，1），所以k1=﹣，k2=﹣2，代入k1+k2=2k3得，k3=﹣，从而直线PC的方程为y=﹣x+，联立直线AM：y=﹣x+，并解得C（﹣2，）．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查方程的运用，注意联立直线方程和抛物线方程求交点，以及直线的斜率公式的运用和两直线的交点问题转化为解方程，属于中档题．26设A，B均为非空集合，且A∩B=∅，A∪B={1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N*）．记A，B中元素的个数分别为a，b，所有满足“a∈B，且b∈A”的集合对（A，B）的个数为a n．（1）求a3，a4的值；（2）求a n．考点：数列的应用；元素与集合关系的判断；交集及其运算．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据题意，先用列举法写出A∪B，再找出满足条件的情况即可；（2）用列举法写出A∪B，对n分奇偶数讨论即可，找出满足条件的情况即可．解答：解：（1）当n=3时，A∪B={1，2，3}，且A∩B=∅，若a=1，b=2，则1∈B，2∈A，共种；若a=2，b=1，则2∈B，1∈A，共种，所以a3=；当n=4时，A∪B={1，2，3，4}，且A∩B=∅，若a=1，b=3，则1∈B，3∈A，共种；若a=2，b=2，则2∈B，2∈A，这与A∩B=∅矛盾；若a=3，b=1，则3∈B，1∈A，共种，所以a4=．（2）当n为偶数时，A∪B={1，2，3，…，n}，且A∩B=∅，若a=1，b=n﹣1，则1∈B，n﹣1∈A，共（考虑A）种；若a=2，b=n﹣2，则2∈B，n﹣2∈A，共（考虑A）种；…若a=，b=，则∈B，∈A，共（考虑A）种；若a=，b=，则∈B，∈A，这与A∩B=∅矛盾；若a=，b=，则∈B，∈A，共（考虑A）种；…若a=n﹣1，b=1，则n﹣1∈B，1∈A，共（考虑A）种，所以a n=+…+++…+；当n为奇数时，同理得，a n=+…+，综上得，．点评：本题考查数列的第n项的求法，属中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。
江苏省扬州中学2014-2015学年高三下学期开学考试 数学 Word版含答案
江苏省扬州中学2014～2015学年第二学期开学检测高三数学卷注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．已知集合{113}A =-，，，}5,3,1{=B ，则=B A ▲ ． 2．复数212a ii-+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．右图是一个算法的流程图，则最后输出的S = ▲ ． 4．从1,3,5,7这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和小于9的概率是 ▲ ． 5．已知样本7,5,,3,4x 的平均数是5,则此样本的方差为 ▲ ． 6．已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则f (x )在[0,]2π上的单调递增区间为[a ，]b ，则实数a b += ▲ ．7．已知体积相等的正方体和球的表面积分别为1S ，2S ，则321)(S S 的值是 ▲ ．8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22162x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等 于 ▲ ．9．已知32x ≥，则22211x x x -+-的最小值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy中，若曲线()sin cos f x x x =(a 为常数)在点(,())33f ππ处的切线与直线0132=++y x 垂直，则a 的值为 ▲ ．11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）则1B A-=___▲___．12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()|2|f x x x =-．若关于x 的方程2()()0(,)f x af x b a b R ++=∈恰有10个不同实数解，则a 的取值范围为___▲ ．13．在直角ABC ∆中，2,AB AC ==，斜边BC 上有异于端点两点B C 、的两点E F 、，且=1EF ，则AE AF ⋅的取值范围是 ▲ ． 14．已知三个正数,,a b c 满足3a b c a ≤+≤，223()5b a a c b ≤+≤，则2b ca-的最小值 是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）设平面向量a ＝(cos ,sin )x x，(cos )b x x =+，(sin ,cos )c αα=，x R ∈． （1）若a c ⊥，求cos(22)x α+的值；（2）若0α=，求函数()(2)f x a b c =⋅-的最大值，并求出相应的x 值．16（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱BC 的中点，1,AB BC BC BB ⊥⊥，111,AB AB BB === 求证：(1) 1A B⊥平面ABC ； (2)1A B ∥平面1AC D .17（本小题满分14分）如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>和圆2222:C x y b +=，已知椭圆1C 过点(1,)2，焦距为2.C(1) 求椭圆1C 的方程；(2) 椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A B 、，直线EA EB 、与椭圆1C 的另一个交点分别是点P M 、.设PM 的斜率为1k ，直线l 斜率为2k ，求21k k 的值.18（本小题满分16分）在距A 城市45千米的B 地发现金属矿，过A 有一直线铁路AD ．欲运物资于A ，B 之间，拟在铁路线AD 间的某一点C 处筑一公路到B ．现测得BD =45BDA ∠=（如图）．已知公路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1个单位，总运费为y ．为了求总运费y 的最小值，现提供两种方案：方案一：设AC x =千米；方案二设BCD θ∠=．（1）试将y 分别表示为x 、θ的函数关系式()y f x =、()y g θ=；（2）请选择一种方案，求出总运费y 的最小值，并指出C 点的位置．19（本小题满分16分）已知数列{}n a 、{}n b 满足1=n b a ，110k k k k b b a a --=≠，其中2,3,,k n =，则称{}n b 为{}n a 的“生成数列”．（1）若数列12345a a a a a ，，，，的“生成数列”是1,2,3,4,5，求1a ；（2）若n 为偶数，且{}n a 的“生成数列”是{}n b ，证明：{}n b 的“生成数列”是{}n a ； （3）若n 为奇数，且{}n a 的“生成数列”是{}n b ，{}n b 的“生成数列”是{}n c ，…，依次将数列{}n a ，{}n b ，{}n c ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω．探究：数列i Ω是否为等比数列，并说明理由．20（本小题满分16分）已知函数2()f x x ax b =++，()ln g x x =．（1）记()()()F x f x g x =-,求()F x 在[1,2]的最大值；（2）记()()()f x G xg x =，令4a m =-，24()b m m R =∈，当210<<m 时，若函数()G x 的3个极值点为123123,,()x x x x x x <<，（ⅰ）求证：321120x x x <<<<；（ⅱ）讨论函数()G x 的单调区间（用123,,x x x 表示单调区间）．高三第二学期期初联考数学附加题(考试时间：30分钟 总分：40分)21.（［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E . 证明： AD ·DE ＝2PB 2.B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的特征值．C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为：122x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．直线l 与圆相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知实数z y x ,,满足123=++z y x ，求22232z y x ++的最小值.［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝1，ADE 为线段PD 上一点，记PE PD λ=． 当12λ=时，二面角D AE C --的平面角的余弦值为23． （1）求AB 的长； （2）当13λ=时，求直线BP 与直线CE 所成角的余弦值．23.（本小题满分10分)已知数列{}n a 通项公式为11n n a AtBn -=++，其中,,A B t 为常数，且1t >，n N *∈．等D式()()()()1022020122022111x x b b x b x b x ++=+++++⋅⋅⋅++，其中()0,1,2,,20i b i =⋅⋅⋅为实常数．（1）若0,1A B ==，求1021n nn a b=∑的值；（2）若1,0A B ==，且()1011212222n n nn ab =-=-∑，求实数t 的值．高三第二学期期初联考数学参考答案一、填空题1．{1,1,3,5}-； 2．4； 3．9； 4．23； 5．2； 6．3π； 7．6π； 8． 9．2； 10．23-；11．3； 12．(2,1)--； 13．11[,9)4； 14．185-．二、解答题15．解：（1）若a c ⊥，则0a c ⋅=， ………2分 即()cos sin sin cos 0,sin 0x x x ααα+=+= ………4分 所以()()2cos 2212sin 1x x αα+=-+=. ………6分（2）若()0,0,1c α==则………10分………12分所以max ()5,2()6f x x k k Z ππ==-∈. ………14分()()()()(()2cos ,sin cos 2cos cos sin sin 212sin 214sin 3f x a b c x x x x x x x x x x x π=⋅-=⋅+-=++-=-+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭16．证明：（1）因为1111,,,AB BC BC BB ABBB B AB BB ABB ⊥⊥=⊂、平面，所以111BC ABB AB ABB ⊥⊂平面,又平面，所以1AB BC ⊥； ………3分又因为1111,AB A B BB AA ====，得22211AA AB A B =+，所以1A B AB ⊥. ………6分 又AB BC ABC ABBC B ⊂=、平面，，所以1A B ⊥平面ABC ； ………8分（2）连接1AC 交1AC 与点E ，连接DE ，在1A BC ∆中，D E 、分别为1BC AC 、的中点，所以1//DE A B ，又111,A B AC D DE AC D ⊄⊂平面平面，所以1A B ∥平面1AC D ．………14分17．解：（1）解法一：将点代入椭圆方程，解方程组，求得222,1a b ==，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=． ………4分解法二：由椭圆的定义求得2a =，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=． ………4分说明：计算错全错.（2）由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0，PE EM ⊥， 不妨设直线PE 的斜率为(0)k k >，则:1PE y kx =-，AC由221,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2224,2121,21k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或0,1,x y =⎧⎨=-⎩ 222421(,)2121k k P k k -∴++. ………6分用1k -去代k ，得22242(,)22k k M k k --++， ………8分 则2113PMk k k k-== ………10分由221,1,y kx x y =-⎧⎨+=⎩得2222,11,1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或0,1,x y =⎧⎨=-⎩ 22221(,)11k k A k k -∴++. ………12分则2212OAk k k k -==，所以2132k k =． ………14分评讲建议：此题还可以求证直线PM 恒过定点，求PME ∆面积的最大值.18.解：(1)在ABD ∆中，由余弦定理解得AD=63 ………2分 方案一：在ABC ∆中，222222227)36(7245cos 45245+-=-+=⋅-+=x x x A x x BC 2227)36(22)(+-+=+=∴x x BC AC x f ………5分方案二：在BCD ∆中，θθsin 2745sin sin 227==BC ，θθθθθsin )cos (sin 27)45sin(sin 227+=+= CD ， θθθθθθθsin cos 22736)sin cos sin sin 2(2763221)(-+=+-+=+-=⋅+⋅=BC CD AD BC AC g ………9分 (2)若用方案一，则8100)144(23)4572(4)(457222222222=+--+⇒+-=-⇒+-+=y x y x x x x y x x x y………11分 由0≥∆得327360891720)8100(3)144(222+≥⇒≥--⇒≥-+-y y y y y………14分32736min +=∴y ，这时39363144-=-=yx ，C 距A 地)3936(-千米 ………16分若用方案二，则θθθθθ222sin cos 2127sin cos )cos 2(sin 27-=--='y ………11分 )(θg 在↓)3,0(π，在↑),3(ππ32736232122736min +=-+=∴y ………14分 这时3πθ=，C 距A 地)3936(-千米 ………16分19．（1）解：151b a ==，4544520a a a =⨯⇒=同理，32131,10,55a a a ===. ………4分 （写对一个i a 得1分，总分4分） （2）证明：1n b b = 1212232311n n n nb b a a b b a a b b a a --=== ………7分∵n 为偶数，将上述n 个等式中第2，4，6，…，n 这2n个式子两边取倒数，再将这n 个式子相乘得：1234523451234112341111111n n n n nb b b b b a a a a a b b b b b b a a a a a a --⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ∴1n b a = ………9分因为1n a b =，11(2,3,,)k k k k a a b b k n --==所以根据“生成数列”的定义，数列{}n a 是数列{}n b 的“生成数列”. ………10分（3）证明：因为11(2,3,,)i ii i a a b i n b --==，所以111(2,3,,)i i i i b i n a a b --==.所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………12分 对于数列{}n a 及其“生成数列”{}n b1n b b = 1212232311n n n nb b a a b b a a b b a a --===∵n 为奇数，将上述n 个等式中第2，4，6，…，1n -这12n -个式子两边取倒数，再将这n 个式子相乘得：12345123451123421123421111111n n n n nn n n n b b b b b b b a a a a a a a b b b b b b a a a a a a ------⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ∴21111n n n n n a b a bb a a a a =⇒==因为1n a b =，11(2,3,,)k k k k a a b b k n --==数列{}n b 的“生成数列”为{}n c ，因为22111111,nn n a b c c b b a c a ===⇒= 所以111,,a b c 成对比数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等比数列. 即 1Ω是等比数列.所以 i Ω成等差数列. ………16分20.解：（1）x b ax x X F ln )(2-++=（0>x ）x ax x x a x X F 1212)('2-+=-+= ………2分令0)('=x F ，得04821<+--=a a x ，04822>++-=a a x()()xx x x x X F 212)('--=………3分列表如下：易知()()(){}2,1max max F F x F =而()()()()32ln 2ln 42121-+-=-++-++=-a b a b a F F 所以当32ln -≤a 时， ()()11max ++==b a F x F当32ln ->a 时，()()2ln 422max -++==b a F x F ………5分（2）（ⅰ）()xm mx x x G ln 4422+-=，()()xxm x m x x G 2ln 12ln 22'⎪⎭⎫⎝⎛-+-=令()12ln 2-+=x m x x h ，()222'x mx x h -= 又()x h 在()m ,0上单调减，在()+∞,m 上单调增，所以()()1ln 2min +==m m h x h 因为函数()x G 有3个极值点，所以01ln 2<+m 所以em 10<< ………7分所以当210<<m 时，()04ln 121ln 211ln 2<-=+<+=m m h ，()0121<-=m h 从而函数()x G 的3个极值点中，有一个为m 2，有一个小于m ，有一个大于1………9分 又321x x x <<，所以m x <<10，m x 22=，13>x 即2021x x <<，3212x m x <<=，故321120x x x <<<< ………11分 （ⅱ）当()1,0x x ∈时，()012ln 2>-+=xmx x h ，02<-m x ，则()0'<x G ，故函数()x G 单调减；当()21,x x x ∈时，()012ln 2<-+=xmx x h ，02<-m x ，则()0'>x G ，故函数()x G 单调增；当()1,2x x ∈时，()012ln 2<-+=xmx x h ，02>-m x ，则()0'<x G ，故函数()x G 单调减；当()3,1x x ∈时，()012ln 2<-+=xmx x h ，02>-m x ，则()0'<x G ，故函数()x G 单调减；当()+∞∈,3x x 时，()012ln 2>-+=xmx x h ，02>-m x ，则()0'>x G ，故函数()x G 单调增；综上，函数()x G 的单调递增区间是()21,x x ()+∞,3x ，单调递减区间是()1,0x ()1,2x ()3,1x 。
江苏省扬州中学高2018届高2015级高三年级第四次模拟考试数学试题及参考答案
江苏省扬州中学高2018届高2015级高三年级第四次模拟考试数学试题必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、已知集合{1,0,2},{21,},A B x x n n Z =-==-∈则A B ⋂= ▲ ．2、已知复数1212,2z i z a i =-=+(其中i 是虚数单位,a R ∈),若12z z ⋅是纯虚数,则a 的值为 ▲ ．3、从集合{1,2,3}中随机取一个元素,记为a ,从集合{2,3,4}中随机取一个元素,记为b ,则a b ≤的概率为 ▲ ．4、对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为400, 右图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度 在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25) 和[30,35)的为二等品, 其余均为三等品,则样本中三等品的件数为 ▲ ．5、运行右面的算法伪代码,输出的结果为S= ▲ ．6、若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7、正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2,D 为BC 中点,则三棱锥A -B 1DC 1的体积为 ▲ ．8、函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图象重合, 则ϕ= ▲ ．9、若函数()ln(f x x x =为偶函数,则a = ▲ ．10、已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列(n N *∈),且12a =,则10=a ▲ ．11、若直线20kx y k --+=与直线230x ky k +--=交于点P ,则OP 长度的最大值为 ▲ ．12、如图,已知4AC BC ==,90ACB ∠=,M 为BC 的中点,D 为以AC 为直径的圆上一动点, 则AM DC ⋅的最小值是 ▲ ．S 011011(1)Pr int For iFrom To Step S S i i End For S←←++(第12题图)13、已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ,函数()()2g x b f x =-- ,其中b R ∈,若函数 ()()y f x g x =- 恰有4个零点,则实数b 的取值范围是 ▲ ．14、已知,x y 均为非负实数,且1x y +≤,则22244(1)x y x y ++--的取值范围为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(1,2)m =,2(cos2,cos )2An A =,且1m n ⋅=. (1)求角A 的大小；(2)若2b c a +==,求sin()π-4B 的值16、如图,四棱锥P —ABCD 中,四边形ABCD 为菱形,P A ⊥平面ABCD ,BD 交AC 于点E ,F 是线段PC 中点,G 为线段EC 中点． (1)求证:FG//平面PBD ； (2)求证:BD ⊥FG ．17、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点为F ,上顶点为A ,直线AF 与直线023=-+y x 垂直,垂足为B ,且点A 是线段BF 的中点. (1)求椭圆C 的方程；(2)若M ,N 分别为椭圆C 的左,右顶点,P 是椭圆C 上位于第一象限的一点,直线MP 与直线4=x 交于点Q ,且9MP NQ =,求点P 的坐标.18、中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一,给人以美的享受．如图为一花窗中的一部分,呈长方形,长30 cm,宽26 cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm,窗芯所需条形木料的长度之和为L ． (1)试用x ,y 表示L ；(2)如果要求六根支条的长度均不小于2 cm,每个菱形的面积为130 cm 2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)？19、已知函数2()=x x f x e,(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当240m e <<时,判断函数2(),(0)x x g x m x e=-≥有几个零点,并证明你的结论；(3)设函数21111()+()()22⎡⎤=-----⎢⎥⎣⎦h x x f x x f x cx x x ,若函数()h x 在()0,+∞为增函数,求实数c 的取值范围．20、已知数列{}n a 中,11a =,前n 项和为n S ,若对任意的*n N ∈,均有n n k S a k +=-(k 是常数,且*k N ∈)成立,则称数列{}n a 为“()H k 数列”.(1)若数列{}n a 为“(1)H 数列”,求数列{}n a 的前n 项和n S ；(2)若数列{}n a 为“(2)H 数列”,且2a 为整数,试问:是否存在数列{}n a ,使得211||40nn n a a a -+-≤对任意2n ≥,*n N ∈成立？如果存在,求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值,如果不存在,请说明理由。
江苏省扬州中学2015届高三4月双周测试数学试题 含解析
江苏省扬州中学2015届高三4月双周测数学试题一、选择题:本大题共14个小题,每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则A B等于 ▲ ．【答案】{}1,2 【解析】 试题分析:{1,2}AB =考点：集合的运算.2。
已知虚数z 满足216i z z -=+,则||z = ▲ ． 【答案】5【解析】试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则2()()16a bi a bi i +--=+，整理得316a bi i +=+，所以136a b =⎧⎨=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，125z i =+=考点:复数的运算.3。
抛物线22y x =的准线方程为 ▲ ．【答案】81-=y【解析】试题分析：标准方程为212x y =，122p =，14p =，所以其准线方程为18y =-. 考点：抛物线的性质。
4。
函数()2ln f x x x =-的单调递减区间为 ▲ ．【答案】(0,2) 【解析】试题分析：22'()1x f x xx-=-=,由于0x >，所以2'()0x f x x-=<的解集为02x <<，即减区间为(0,2).考点：导数与单调性.5.某射击运动员在四次射击中分别打出了10,x ，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的标准差是 ▲ ． 【答案】1 【解析】试题分析：由1010894x +++=，得8x =，s =1= 考点：方差与标准差.6。
已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意346m=，8m =，所以直线方程为68140x y ++=，即3470x y ++=，2d ==。
考点：两直线平行，平行线间的距离.7。
角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点(1,2)P ，则)cos(απ-的值是 ▲【答案】55- 【解析】试题分析：由已知cosα==cos()cosπαα-=-=.考点:三角函数的定义,诱导公式.8。
高三数学第四次模拟测试试题电子阅卷答题卷（理科加试）
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请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效
21(B)．（本小题满分10分）
21(C)．（本小题满分10分）
扬州市2015~2016学年度高三第四次模拟测试
高三数学Ⅱ试题答卷
考 生 号
注意事项：
1. 采用网上阅卷在右侧用2B 铅笔在“考生
号”处填涂考生号，正确方法是：。
信息点框内必须涂满、涂黑，否则无效；修改时须用橡皮擦干净。
2. 保持卡面清洁，不要折叠和弄破。
试卷类型：试卷A 试卷B
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域答案无效
23．（本小题满分10分）
24．（本小题满分10分）
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高三双周练数学试卷2015.4.18.一、填空题：1．已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则A B 等于 ▲ ．2．已知虚数z 满足216i z z -=+，则||z = ▲ ．3．抛物线22y x =的准线方程为 ▲ ．4．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间为 ▲ ．5．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x ，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的标准差是 ▲ ．6．已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ▲ ．7．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则)co s (απ-的值是 ▲ ．8．若一个正四棱锥的底面边长为2cm ，侧棱长为3cm ，则它的体积为 ▲ cm 3.9．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a ba b ++的最大值为_____▲____.10．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次得到的点数m 、n 分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 不在．．直线5x y +=下方的概率为 ▲ .11.已知函数2()21f x x ax =-+，若存在(,)42ππϕ∈，使(sin )(cos )f f ϕϕ=，则实数a 的取值范围____▲_____.12．已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =____▲____.13．在正项等比数列{}n a 中，43215a a a a +--=，则56a a +的最小值为____▲___.14.已知函数()sin f x x x =+，不等式()cos f x ax x ≥在[0,]2π上恒成立，则实数a 的取值范围为_____▲______.二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形. （1）若CF ⊥AE ，AB ⊥AE ，求证：平面ABFE ⊥平面CDEF ； （2）求证：EF//平面ABCD.16．(本小题满分14分) 已知函数()2cos()(05)63f x x x ππ=+≤≤，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．（1）求点B A ,的坐标以及OB OA ⋅的值；（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求)22sin(βα-的值．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：222b y x =+相切于点M. （1）求椭圆C 的方程；BCDE F18．(本小题满分16分)如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC 的长为a 米（a 为常数），现在斜边AB 上选一点D ，将△ACD 沿CD 折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD 的面积为S ，点A 到直线CD 的距离为d. 实践证明，遮阳效果y 与S 、d 的乘积Sd 成正比，比例系数为k （k 为常数，且k >0）.（1）设∠ACD=θ，试将S 表示为θ的函数；（2）当点D 在何处时，遮阳效果最佳（即y 取得最大值）？19．（本小题满分16分）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（1）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （2）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（3）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）图（1）ABCD 图（2）20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+(,0)n N p *∈>，数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（1）若11,23p q ==-，求3b ; （2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式;（3）是否存在p 和q ，使得32m b m =+()m N *∈？如果存在，求p 和q 的取值范围？如果不存在，请说明理由.附加题部分：21B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2 ．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．21C ．选修4—4：极坐标与参数方程已知圆的极坐标方程为：()2πcos 604ρθ--+=．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．__________ 学号________________订…………………………………线…………………………………………22．(本题满分10分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[)[)[)[)[]20,25,25,30,30,35,35,40,40,45．（1）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．23. (本题满分10分)∈的形式，则称其为“兄弟数”.n N*)求证：（1）若x为“兄弟数”，则2x也为“兄弟数”；（2）若x为“兄弟数”，k是给定的正奇数，则k x也为“兄弟数”.数学试卷参考答案及评分标准 2015.41．{}1,2 2．5 3．81-=y 4．)2,0( 5．1 6．2 7．55- 8．374 9．5710．56 11. 12. 13.20 14. 2a ≤ 15．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD ，又∵AB ⊥AE ，∴AE ⊥CD 又∵AE ⊥CF ，CD∩CF=C ，CD 、CF ⊂平面CDEF ，∴AE ⊥平面CDEF ，又∵AE ⊂平面ABFE ，∴平面ABFE ⊥平面CDEF………7分（2）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD又∵AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，∴AB//平面CDEF 又∵AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面CDEF=EF ，∴AB//EF又∵EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴EF//平面ABCD.………14分17.（1）⎪⎩⎪⎨⎧==121c a c …………2分∴c =1，a =2，∴3=b ，∴椭圆方程为13422=+y x …………4分 （2）设),(00y x P ，则)20(13402020<<=+x y xPM=0202020202134333x x x y x =--+=-+，………………6分PF=0212x -…………8分 ∴PM·PF=1)2(41)4(412000+--=-x x x ，∵200<<x ，∴|PM|·|PF|的取值范围是（0,1）.…………10分（3）法一：①当PM ⊥x 轴时，P )23,3(，Q ),3(t 或),3(t -， 由0=⋅解得32±=t ……………………12分②当PM 不垂直于x 轴时，设),(00y x P ，PQ 方程为)(00x x k y y -=-，即000=+--y kx y kx∵PQ 与圆O 相切，∴31||200=+-k y kx ，∴33)(2200+=-k y kx∴002y kx 33220202--+=k y x k ………………13分又),(00t k kx y t Q +-，所以由0=⋅OQ OP 得00000)(ky x kx y x t +-=……14分∴=+-=200200202)()(ky x kx y x t =++-0020220200202)(y kx y k x y kx x 33)33(22020220220220--++++k y x k y k x k x =33)433)(1()1()33(220222220---++++k x k x k k x =12，∴32±=t ……16分法二：设),(00y x P ，则直线OQ ：x y x y 00-=，∴),(00t t x yQ -， ∵OP ⊥OQ ，∴OP·OQ=OM·PQ ∴20200222202020)()(3t y t x y x t t x y y x -++⋅=+⋅+………12分 ∴)(33)(22022202202220202020222020t x x y x t y t x y x y x x t y x ++⋅=+++⋅=+⋅+∴)(3)(22022020t x t y x +=+，∴332020202-+=y x x t ………………14分∵1342020=+y x ，∴4332020x y -=，∴1241320202==x x t ，∴32±=t ……………16分18. （1）△BCD 中BCDCDB BC ∠=∠sin sin ，∴ 45sin )45sin(CDa =+θ，∴)45sin(2+=θa CD …………4分 ∴BCD CD BC S ∠⋅⋅=sin 21 )45sin(4cos 22+=θθa ，900<<θ……6分（其中范围1分） （2）θsin a d =…………8分kSd y =)45sin(4cos sin 23+=θθθka )cos (sin 2cos sin 3θθθθ+=ka ………………10分 令t =+θθcos sin ，则]2,1(∈t ，21cos sin 2-=t θθ∴)1(44)1(323tt ka t t ka y -=-=在区间]2,1(上单调递增，…………13分 ∴当2=t 时y 取得最大值，此时4πθ=，即D 在AB 的中点时，遮阳效果最佳.………………16分19.（1）结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切.…1分理由如下：由条件知2()f x x =-，由()ln g x x =，得0x >， 又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=，所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x'=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …3分（2）若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -= ①，12as a s -= ② ，由②得 1(21)a s s =-，代入①得1ln 21s s s -=-.（*） 因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …8分 当x 变化时，()F x '与所以当1x =时，()F x 当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …12分（3）当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …14分当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切. …16分20.（1）由题意，得1123n a n =-，解11323n -≥，则203n ≥，所以11323n -≥成立的所有n 中的最小整数为7，即37b =.（2）由题意，得21n a n =-，对于正整数由n a m ≥，得12m n +≥,根据m b 的定义可知，当21m k =-时，()m b k k N *=∈当2m k =时，1()m b k k N *=+∈ ∴1221321()m m b b b b b b -+++=+++242()m b b b ++++=2(123)[234(1)]2m m m m ++++++++++=+（3）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥∵32()m b m m N *=+∈，根据m b 的定义可知，对于任意正整数的都有3132m qm m p-+<≤+即2(31)p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得22()31313131p q p q p q p qm m p p p p ++++-≥≥--≤≤-----或 这与上述结论矛盾.当310p -=即13p =时，21033q q --≤<--，∴2133q -≤<- ∴所以存在p 和q ，使得满足条件的p ，q ，且p ，q 的取值范围分别是：121,[,]333p q =∈--.数学附加题参考答案21B ．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6， 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4，所以A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 23 －12－13 12． C ．解：（1）224460x y x y +--+=；（2）圆的参数方程为2,2,x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ 所以42sin 4x y πα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，那么x ＋y 最大值为6，最小值为2．22．解：（1）因为小矩形的面积等于频率，所以除[)40,35外的频率和为0.70，所以10.700.065x -==，所以500名志愿者中，年龄在[)40,35岁的人数为0.065500150⨯⨯=(人)；……3分（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名． 故X 的可能取值为0,1,2,3，()28514032038===C C X P ，()9528132028112===C C C X P ， ()9544232018212===C C C X P ，()57113320312===C C X P , 故X所以1428441117190123285959557955EX =⨯+⨯+⨯+⨯==．…………10分23.证明：（1）设*)x n N=∈， 则221xn=++“兄弟数” （2）设*)x y n N ∈，则1xy =而00,(kk kik iiki k i i kk i i x C y C --====∑∑故0(kkk k i k i i i k i i k k i i x y C C --==+=+∑∑1022442122[]k kk k k kkkkC C n C n Cn n----=+⋅+⋅++，不妨记：2*k k x y a N +=∈同理：由0(kkkkik iiik i i kk ii x y CC --==-=-∑∑，不妨记：2*k k x y b N -=∈进而，2k x =k x 又22224(1)4()()44k k k k k k a n b n x y x y x y +-=+--==，故22(1)1a n b n +=+ 因此k x “兄弟数”.。