必修4第2章第3节向量的坐标表示及其运算

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人教版高中数学必修四第二章平面向量第三节第二课时平面向量的正交分解及坐标表示教学课件

a (x, y)
① 0 = （0，0）
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做
①式叫做向量的坐标表示。
a
在y轴上的坐标，
注意：平面向量 a 的坐标跟起点终点的具体位置没有关系。
例1：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0) , B(0,1) , C(3,4) , D(5,7).
y
7
D
设 OAi,OBj，填空：
•
7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文学批评的职业公信力需要树立，批评家需要贡献学术良知。果真如此，对诗歌和读者，都将是福音。
•
8.中国音乐在发展过程中，不断承传自我，吸收各地音乐，器乐发达，演奏形式丰富。金、石、土、革、丝、木、匏、竹，皆可作乐器。乐曲类型已有祭神乐、宴乐、军乐、节庆乐等区别。玄宗时已有超百人的大型交响乐团，其演员按艺术水平分为 “坐部伎”与 “立部伎”。
• 对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
y
对于起点在原点的向量 OA
N
OM=xi ON=y j
j
OA=OM+ON
oi
=xi +y j
A (x,y)
M
x
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
j oi B
这里，我们把（x,y）叫做向量a 的坐标，记作
a (x, y)
D x
作业：
• 资料及报纸
• 谢谢观看！
•

高中数学人教A版必修4第二章课件 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

a b x1y2 x2 y1 0
例1.已知 a (4, 2),b (6, y)，且 a b，求y。
例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系。
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 (x1, y1), (x2 , y2 )。
1.复习:
⑴向量共线定理
b 向量与非零向量 a共线,当且仅当有
唯一的一个实数λ ，使 b a
当 0时， b 与 a 同向，且| b |是 | a |的倍; 当 0时， b 与 a 反向，且| b |是 | a |的| |倍; 当 0时， b 0 ，且 | b | 0。
作法:
,作OA 2.5e1
, OB 3e2.
2.作 OACB.
则，OC就是所求的向量
C
B
-2.5e1
e1
e2
3e2
A
O
例2 : 如图， ABCD的两条对角线相交于点M ,且 AB a，AD b，用a、b表示MA、MB、MC和MD.
解：在 ABCD中，
D
C
AC AB AD a b
b
M
DB AB AD a b A
MA 1 AC a b a b
2
2 22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD 1 DB MB a b
2
22
aB
练习:
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 (x1, y1), (x2 , y2 )。

2016-2017学年高中数学必修四同步课件：第2章 2-3 向

解析答案
1
2
3
4
1 2 3.设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝2AB，BE＝3BC，若 1 → → → DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为___. 2
1→ 2→ → 1→ 2→ 1→ 2 → → 解析易知DE＝2AB＋3BC＝2AB＋3(AC－AB)＝－6AB＋3AC.
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
学习目标
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一思考1 平面向量基本定理
答案返回
题型探究
类型一对基底概念的理解
重点难点个个击破
例1
如果e1， e2 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确
的是________.
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e1与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋
1 所以 λ1＋λ2＝2.
解析答案
1
2
3
4
4. 如图所示，已知梯形 ABCD 中，AB∥DC，且 AB＝2CD，E，F 分别是 → → → → → DC，AB 的中点，设AD＝a，AB＝b，试用 a、b 为基底表示DC，BC，EF.
解析答案
1.对基底的理解 (1)基底的特征

高一数学人教A版必修四第二章2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示教案

《平面向量的基本定理及坐标表示》教案（人教A必修4第2章第3节）教材简析：本节前面由实际问题引入平面向量概念，研究向量的线性运算，包括运算的几何意义，特别是加法的平行四边形法则，较集中地反映了向量的几何特征，本节后面主要是研究向量的代数运算。

向量的优势更多地体现在于沟通几何与代数的联系，进而通过代数运算来研究几何和其它的问题,而连接两者的关健就是基本定理；所以在向量知识体系中这个定理具有核心地位，起到承前启后的的作用。

另外，它充分地展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，有助于学生体会数学的思维方式方法，帮助学生进行数学的思考和说理，对学生的数学能力发展是十分重要的。

教学目的简析：1.理解平面向量的基本定理，体验在解决问题过程中选择适当的基底带来的便捷,帮助理解基底的作用，运用已有知识研究平面向量基本定理，经历给定的向量在一组基底上唯一分解的过程，奠定了建立向量坐标的基础，体会数学中的问题转化，及定理的深刻涵义.2.会将给定的向量正交分解；通过向量正交化、坐标化的探索，激发学生探索、合作交流的意识，体会从一般到特殊的研究规律，逐步培养求简思维与模型化思想．3.通过体验平面向量的基本定理的探究过程，激发学生的探索精神，通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力，体会数学的思维方式方法，感受数与形的和谐统一。

重点、难点简析：研读多遍教材后，我认为应该将本课的理论学习置于教学重点，不能对定理进行平铺直叙后,即将重心快速转向坐标的表示与运算，决不能让学生的主体参与被削弱,对定理的理解与领悟被剥夺,而难以产生真正意义上的思想共鸣,也为向量的本质理解与数形结合的运用埋下了隐患。

难点是熟悉平面向量的基本定理，选择适当的基底，在一组基底上唯一分解，特别是正交分解及坐标表示，通过定理的探究过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识，提高学生从一般到特殊的归纳能力，感受数与形的和谐统一。

高一数学必修4课件：2-3-2、3平面向量的正交分解及坐标表示和平面向量的坐标运算

如图所示，在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，下列是正交分解的是( )
→ → → → → → A.AB＝OB－OA B.BD＝AD－AB → → → → → → C.AD＝AB＋BD D.AB＝AC＋CB
[答案]
B
第二章
2.3 2.3.2 2.3.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
(x1＋x2，y1＋y2) a＋b＝_______________
符号表示
第二章
2.3 2.3.2 2.3.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
两个向量差的坐标分别等减法于这两个向量相应坐标的
差 _____
a－b＝
(x1－x2，y1－y2) _________________
实数与向量的积的坐标等数乘于用这个实数乘原来向量
[解析]
→ → → → → 由于AD⊥AB，则BD＝AD－AB是正交分解．
第二章
2.3 2.3.2 2.3.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向
单位基底相同 _______的两个_____向量i，j作为______．有且只有一 (2)坐标：对于平面内的一个向量a，____________对实数 (x，y) x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对_______叫做向量a的
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[例2]
设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a
＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标． [分析] 解．直接利用向量在坐标形式下的各种运算法则求
第二章
2.3 2.3.2 2.3.3

高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4

答案
知识点三思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，

人教新课标A版高一数学《必修4》2.3.3 平面向量的坐标运算

解：∵点 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)， → → → ∴AB＝(3，1)，BC＝(2，6)，AC＝(5，7)． → → → ∴AB＋2BC－3AC ＝(3，1)＋2(2，6)－3(5，7) ＝(3，1)＋(4，12)－(15，21) ＝(7，13)－(15，21) ＝(－8，－8)．
→ 跟踪训练 1 已知点 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，AP＝ → → AB＋λAC(λ∈R)，点 P 在第三象限，求 λ 的取值范围．
新课引入
1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的
起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位
置有关.
2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标.
学习目标
向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示形式，引入向量的坐标表示后，可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，从而使许多问题的解决转化为我们熟知的数量运算，使问题得以简化．
根据平面向量基本定理，一定存在实数 m，n， → → → → → 使得AD＋BD＋CD＝mAB＋nAC， ∴(－12，8)＝m(1，3)＋n(2，4)，即(－12，8)＝(m＋2n，3m＋4n)．
m＋2n＝－12， m＝32，可得解得 3m＋4n＝8， n＝－22.
→ → → → → ∴AD＋BD＋CD＝32AB－22AC.
第二章平面向量
2.3.3 平面向量的坐标运算
新课引入
那么如何才能将平面向量的坐标运算应用到综合实
例去呢？
新课引入
我们知道在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对有序实数来表示，且点与坐标是一一对应
的。既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么
向量也可以用一对实数来表示吗？

高中数学必修四[苏教版]2.3《向量的坐标表示》ppt课件2

例2 已知 A(0,2), B(2,2),C(3, x)，如果A，B，C三点共线，求x.
例3 已知 a (1,0), b (2,1)，当实数 k为何值时，向量 ka - b 与a +3 b
平行？并确定此时它们是同向还是反向．
例4 已知点 O, A, B,C 的坐标分别为(0,0), (3,4), (1,2), (1,1)，是否存在常数
，t 使得 OA t OB =OC成立？解释你所得到结论的几何意义.
巩固深化，反馈矫正
1．设
a
(
3 2
,
sin
)，b
(cos,
1)，
3
(0,
2
)，且a
//
b
，求锐角
2.当 x ____时，向量 a (1,2)与 b (x,4) 平行；
3.已知向量
a
(1,2)
,b
(
x,1)
,u
a+2b ,v 2a
-
b
，且
u //
v
，求
x
4.设 a、b是不共线的非零向量，求证 a +2 b 与a -2b不平行；
5.已知 a (1,2),b (3,2)，当k为何值时，ka +b 与a -3 b
平行？平行时它们是同向还是反向？
6.已知点A(1,
1)，B(1,
3)，C(1,
5)
，D(2,
7)，向量AB与
CD
平行吗？
4.a (1,4)与b (2,8)共线吗？
探究1
a =(x1, y1)， b =(x2, y2)，若 a∥b(b 0) 他们的坐标之间满足什么关系？
建构数学
向量平行（共线）的两种表达形式：

人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3含答案

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)

解：设c→=x→a+→yb，即（4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个（1）向量的坐标即此向量终点的坐标。（2）位置不同的向量其坐标可能相同。（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。（4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出：向已量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2，吗？y2)，你能
r rrr rr 解： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已知 R ，向量 a (x ， y )，那么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j

高中数学必修四(苏教版)2.3《向量的坐标表示》ppt课件

（2）已知a =(x1 , y1)和实数，求 a的坐标 .
向量的坐标运算
a (x1, y1),b (x2 , y2 ) 则：a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
练习，已知a (2,1),b (3, 4), 求a b, a b,3a 4b的坐标。
以下三个特殊向量的坐标是：
Y
i = (1,0) j= (0,1) 0= (0,0)
那若每么两个起个向点向量不量都在相有原等唯点则一的这的向两坐量个标的向.坐量标的是
什对么应呢坐？标每也个相向等量;反有之几对个应坐坐标标呢?
相等的两个向量一定是相等向量. j
O
a
X
每个向量都有唯一的坐标. i
如果a (x1, y1),b (x2, y2 ),
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处,其终点的坐标（x，y）称为 a的（直角）坐标，记a=（x，y）。
yA a
a
ox
归纳总结
在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、Y轴正方向
相同的两个单位向量 i , j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j.
那么a b x1 x2 ,且y1 y2
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?
y
a
o
x
已知 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，求 AB 的坐标.
从向量运算的角度
AB OB OA

高一数学必修4第二章平面向量基本定理及坐标表示知识点

高一数学必修4第二章平面向量基本定理及坐标表示知识点
平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，这部分内容在数学必修4第二章中有讲到。

下面是店铺给大家带来的高一数学必修4第二章平面向量基本定理及坐标表示知识，希望对你有帮助。

平面向量基本定理及坐标表示知识点(一)
平面向量的基本定理：
如果
是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量
存在唯一的一对有序实数
使
成立，不共线向量
表示这一平面内所有向量的一组基底。

平面向量的坐标运算：
在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
为基底，则平面内的任一向量
可表示为
，称(x，y)为向量
的坐标，
=(x，y)叫做向量
的坐标表示。

基底在向量中的应用：
(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.
(2)在平面中选择基底主要有以下几个特点：①不共线;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。

用已知向量表示未知向量：
用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：
(1)要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来;
(2)把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系;
(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。

高中数学人教A版必修4示范教案：第二章第三节平面向量的基本定理及坐标表示(第二课时) Word版含解析

第二章第三节平面向量的基本定理及坐标表示第二课时整体设计教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a ＝λb ，那么a 与b 共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．三维目标1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．3．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．重点难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.向量具有代数特征，与平面直角坐标系紧密相联．那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的关系．关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a ，过定点O 作向量OA →＝a ，则点A 的位置被向量a 的大小和方向所唯一确定．如果以定点O 为原点建立平面直角坐标系，那么点A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量a 也可以用坐标来表示，这样我们就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？推进新课新知探究提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，你能得出a ＋b ，a －b ，λa 的坐标表示吗？②如图1，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)的P 点吗？标出点P 后，你能总结出什么结论？活动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤．可得：图1a ＋b ＝(x 1i ＋y 1j )＋(x 2i ＋y 2j )＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，即a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．同理a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．又λa ＝λ(x 1i ＋y 1j )＝λx 1i ＋λy 1j .∴λa ＝(λx 1，λy 1)．教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量AB →平移，使得点A 与坐标原点O 重合，则平移后的B 点位置就是P 点．向量AB →的坐标与以原点为始点，点P 为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．学生通过平移也可以发现：向量AB →的模与向量OP →的模是相等的．由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式： |AB →|＝|OP →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获．讨论结果：①能． ②AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．提出问题①如何用坐标表示两个共线向量？②若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，那么11x y ＝22x y是向量a 、b 共线的什么条件？活动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系．此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.我们知道，a 、b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb .如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2.消去λ后得x 1y 2－x 2y 1＝0. 这就是说，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时向量a 、b (b ≠0)共线．又我们知道x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1y 2＝x 2y 1是等价的，但这与y 1x 1＝y 2x 2是不等价的．因为当x 1＝x 2＝0时，x 1y 2－x 2y 1＝0成立，但y 1x 1与y 2x 2均无意义．因此y 1x 1＝y 2x 2是向量a 、b 共线的充分不必要条件．由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点．讨论结果：①x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 、b (b ≠0)共线． ②充分不必要条件．提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a ＝λb ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠a ，由a ＝λb ，(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，得x 1y 2－x 2y 1＝0.讨论结果：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. 教师应向学生特别提醒感悟：(1)消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0， ∴x 2、y 2中至少有一个不为0.(2)充要条件不能写成y 1x 1＝y 2x 2(∵x 1、x 2有可能为0)．(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λb ，x 1y 2－x 2y 1＝0.应用示例思路1例1已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标．活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论．若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化．可由学生自己完成．解：a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)； a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)；3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．变式训练已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：D，试求顶点D 的坐标．图2活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种方法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD →的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如图2，设顶点D 的坐标为(x ，y )． ∵AB →＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )．由AB →＝DC →，得(1,2)＝(3－x,4－y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝3－x ，2＝4－y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. ∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法二：如图2，由向量加法的平行四边形法则，可知BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋BC →＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，而OD →＝OB →＋BD →＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)， ∴顶点D 的坐标为(2,2)．图31时，仿例2得：D 1＝(2,2)B 时，仿例2得：D 2＝(4,6)ACB 时，仿例2得：D 3＝(－(1,3)，C (2,5)，试判断A 、B 活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．解：在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点，观察图形，我们猜想A 、B 、C 三点共线．下面给出证明．∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，AC →＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，又2×6－3×4＝0， ∴AB →∥AC →，且直线AB 、直线AC 有公共点A ， ∴A 、B 、C 三点共线．点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向.例1设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有的学生可能提出如下推理方法：设P (x ，y )，由P 1P →＝λPP 2→，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ(x 2－x )y －y 1＝λ(y 2－y )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ.这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：(1)如图4，由向量的线性运算可知图4OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以点P 的坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．(2)如图5，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即P 1P PP 2＝12或P 1PPP 2＝2.如果P 1P PP 2＝12(图5(1))，那么图5OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→ ＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)，即点P 的坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1PPP 2＝2(图5(2))，那么点P 的坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.例2已知点A (1,2)，B (4,5)，O 为坐标原点，OP ＝OA ＋tAB .若点P 在第二象限，求实数t 的取值范围．活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上去板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．解：由已知AB →＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)． ∴OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(3t ＋1,3t ＋2)．若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3t ＋1<03t ＋2>0⇒－23<t <－13.故t 的取值范围是(－23，－13)．点评：此题通过向量的坐标运算，将点P 的坐标用t 表示，由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组，这个不等式组的解集就是t 的取值范围．知能训练课本本节练习．解答：1．(1)a ＋b ＝(3,6)，a －b ＝(－7,2)；(2)a ＋b ＝(1,11)，a －b ＝(7，－5)； (3)a ＋b ＝(0,0)，a －b ＝(4,6)；(4)a ＋b ＝(3,4)，a －b ＝(3，－4)． 2．－2a ＋4b ＝(－6，－8)，4a ＋3b ＝(12,5)．3．(1)AB →＝(3,4)，BA →＝(－3，－4)；(2)AB →＝(9，－1)，BA →＝(－9,1)； (3)AB →＝(0,2)，BA →＝(0，－2)；(4)AB →＝(5,0)，BA →＝(－5,0)． 4．AB ∥CD .证明：AB →＝(1，－1)，CD →＝(1，－1)，所以AB →＝CD →.所以AB ∥CD .点评：本题有两个要求：一是判断，二是证明．通过作图发现规律，提出猜想，然后再证明结论是一个让学生经历数学化的过程．5．(1)(3,2)；(2)(1,4)；(3)(4，－5)．6．(103，1)或(143，－1)．7．解：设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|＝32|PB →|，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝3x －12，2y －6＝3y ＋9.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15)．点评：本题希望通过向量方法求解，培养学生应用向量的意识．课堂小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．作业课本习题2.3 A 组5、6.设计感想1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等．3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、求点P 分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法：根据已知条件直接找到使P 1P →＝λPP 2→的实数λ的值．例1已知点A (－2，－3)，点B (4,1)，延长AB 到P ，使|AP →|＝3|PB →|，求点P 的坐标．解：因为点在AB 的延长线上，P 为AB →的外分点，所以AP →＝λPB →，λ<0，又根据|AP →|＝3|PB →|，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3)．(2)公式法：依据定比分点坐标公式． x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ，结合已知条件求解λ.例2已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，求点P (12，y )分P 1P 2→所成的比λ及y 的值．解：由线段的定比分点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧12＝3＋λ(－8)1＋λ，y ＝2＋λ×31＋λ，解得⎩⎨⎧λ＝517，y ＝4922.二、备用习题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 等于( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1) D ．(7，－1) 答案：B2．已知A (1,1)，B (－1,0)，C (0,1)，D (x ，y )，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标是( ) A ．(－2,0) B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2) 答案：B3．若点A (－1，－1)，B (1,3)，C (x,5)共线，则使AB →＝λBC →的实数λ的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．0 D ．2 答案：D4．若A (2,3)，B (x,4)，C (3，y )，且AB →＝2AC →，则x ＝________，y ＝________.答案：4 725．已知ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)，则CO →的坐标(O 为对角线的交点)为________．答案：(－12，－4)6．向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？答案：解：∵OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )， ∴AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)． ∵AB →∥BC →，∴(4－k )(k －5)＋7×6＝0. ∴k 2－9k －22＝0. 解得k ＝11或k ＝－2.7．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试问：当λ为何值时，点P 在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P 在第三象限内？答案：解：∵AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)， ∴AB →＋λAC →＝(3＋5λ，1＋7λ)，而AP →＝AB →＋λAC →(已知)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)．(1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ⇒λ＝12；(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<04＋7λ<0⇒λ∈(－∞，－1)．。

高中数学复习课件-高中数学必修4课件 2.3.3平面向量的坐标运算

∵AC =3 CB ,∴xy359333yx,,
解得 x=0,y=1.即点 C 的坐标是(0,1). 答案:(0,1)
5 已知点 A(-1,2),B(2,8),及 AC = 1 AB ,DA =- 1 BA ,求点 C,D 和 CD 的坐
3
3
标.
解:设点 C,D 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. 另外解题过程中要注意方程思想的运用.
(2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.
(3)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出待定系数.
∴
x1 1 y1 2
1, 2,
21yx2221.,
∴xy11
0, 4,
xy2202.,
∴点 C,D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0).
因此 CD =(-2,-4).
题型三求点或向量的坐标
【例 3】已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 CM =3 CA ,CN =2 CB ,求点 M,N 及
向量 MN 的坐标. 分析:由 A,B,C 三点的坐标易求得 CA ,CB 的坐标,再根据向量坐标的定义就可
以求出点 M,N 的坐标. 解:∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
A.(-2,-4)
B.(-3,-5)
C.(3,5)
D.(2,4)
解析:BD = AD - AB = BC - AB =(AC - AB )- AB = AC -2 AB =(1,3)-(4,8)=
(-3,-5). 答案:B

人教A版高中数学必修四课件第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算.pptx

a b (2,1) (3, 4) (5, 3); 3a 4b 3(2,1) 4(3, 4)
(6,3) (12,16) (6,19).
例3如图，已知平行四边 ABCD 的三个顶点 A, B,C 的坐标分别是 (2,1),(1,3),(3, 4), 试求顶点D 的坐标.
解法一：设顶点D的坐标为 (x, y),
(x2 , y2 ) (x1, y1) (x2 x1, y2 y1).
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
例2已知 a (2,1),b (3, 4) ，求 a b, a b, 3a 4b, 的坐标.
解： a b (2,1) (3, 4) (1,5);
2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
作业：
习题2.3A组第3，4题
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2.3.3平面向量的坐标运算
回顾：
1.向量的加、减法运算及其几何意义 2.平面向量的正交分解及坐标表示
思考：
已知 a (x1, y1), b (x2, y2 ) ，你能得出 a + b,
a - b,a 的坐标吗？学
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平面向量的坐标运算：
a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
uuur
因为 AB (1 (2), 3 1) (1, 2),
uuur DC (3 x, 4 y), uuur uuur
由 AB DC, 得 (1, 2) (3 x, 4 y),
1 3 x,
所以 2 4 y.
解得
x 2,
y
2.
所以D点的坐标为 (2, 2).

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第八讲向量的坐标表示及其运算一、知识点（一）向量及其表示：1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2向量坐标的有关概念（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解 3.向量的坐标运算：设),(),(),(),,(1121212211y x a y y x x b a y x b y x a λλλλ=±±=±ℜ∈==，，4.向量的摸：22y x a +=（二）向量平行的充要条件：1向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ⇔b =λa （a ≠0）.2设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）则b ∥a ⇔1221y x y x = （三）定比分点公式：1线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）.2中点坐标公式 3三角形重心坐标公式二、典型例题例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少?例2 下列哪些是向量？哪些是标量？（1）浓度（2）年龄（3）风力（4）面积（5）位移（6）人造卫星速度（7）向心力（8）电量（9）盈利（10）动量例3． ∆ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ∆重心，求GA 的坐标例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B ()反向的单位向量求与AB 1()()的坐标，求点，若E BE 522-= ()3若a BD AC a 求,-= ()三点不共线，，求证：C B A 4()CD BD AD AC AB ++来表示，以5 ()()坐标三点共线，求点，，且若P P B A x P 3,6()如图7所示，若点M 分BA 的比λ为3：1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 点的坐标例5若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE 等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21bD.a －21b例6.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于A.0B.－1C.－2D.±1例7.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______.例8 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6例9如图，G 是△ABC 的重心，求证：GA +GB +GC =0.ABCD GE例10设OA 、OB 不共线，点P 在AB 上，求证：OP =λOA +μOB 且λ+μ=1，λ、μ∈R . . 例11若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小? 例12.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有A.a ∥b 且a 、b 方向相同B.a =bC.a =－bD.以上都不对例13.设四边形ABCD 中，有DC =21AB且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形D.菱形例14.l 1、l 2是不共线向量，且a =－l 1+3l 2，b =4l 1+2l 2，c =－3l 1+12l 2，若b 、c 为一组基底，求向量a . 例15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围..例16已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?例17.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC =a ，BD =b ，试用a 、b 分别表示DE 、CE 和MN .AB CDMN E例18在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示AE .A BC MNE例对19任意非零向量a 、b ，求证：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |.三、高考点击试题1.若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于 A.（－3，6） B.（3，－6） C.（6，－3）D.（－6，3）2.已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于 A.43B.－43C.34D.－343已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1D.－3四、练习题1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（）A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH AG +D ．GH BG + 2．下列说法正确的是（）A ．方向相同或相反的向量是平行向量B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（） A ．c b a =+ B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =-6．下列各量中是向量的是（）A ．质量B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e -D ．)35(2112e e -8．若),,(,,,R o b a b a ∈=+μλμλ不共线则（）A ．o b o a ==,B ．o o a ==μ,C ．o b o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于（）A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++11112．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①BC AB = ②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、 B 、D 三点共线，求k 的值.18．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++ 19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 AC AB AP 21λλ+=.。