安徽省合肥市2009年高三第一次教学质量检测(数学理科)

安徽省合肥市2009年高三第一次教学质量检测数学（理科）试题（考试时间：120分钟，满分150分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，） 1．不等式21x <的解集为A ．{|11}x x -<<B ．{|1}x x <C ．{|1}x x >-D ．{|11}x x x <->或2．复数21iz i=+的共轭复数z = A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -3．曲线2242110x y x y +---=上到直线3450x y ++=距离等于1的点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44．已知sin 2cos x x =，则2sin 1x +=A ．65 B ．95 C ．43D ．535．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，100S >并且110S =，若n k S S ≤对n N *∈恒成立，则正整数k 构成集合为A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}6．将A ．B ．C ．D ．Ｅ排成一列，要求A ．B ．C 在排列中顺序为“A ．B ．C ”或“C ．B ．A ”（可以不相邻），这样的排列数有（ ）种。

A ．12B ．20C ．40D ．607．已知命题：“若120k a k b +=则120k k ==”是真命题，则下面对,a b 的判断正确的是A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 一定垂直D ．a 与b8．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是A．3B ．52C ．2D ．32正视图侧视图俯视图19．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为３cm ，把一枚半径为１cm 的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是A ．14 B ．13 C ．12D ．2310．曲线1y x =与直线14x x ==、及x 轴所围成的区域的面积是A ．34B ．ln 2C ．2ln 2D ．ln 21-11．如图，该程序运行后输出的结果为A ．14B ．16C ．18D ．6412．函数221,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，则a 的取值范围是 A．(,(1-∞ B．[1))-+∞ C．D．)+∞二．填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上） 13．18(x 展开式中的常数项为___________. 14．写出命题：“对任意实数m ，关于x 的方程x 2+x+m = 0有实根”的否定为：___________________15．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________. 16．观察下表的第一列，填空三．解答题（本大题共6个小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知函数()2sin cos())cos sin()cos 22f x x x x x x x πππ=-+++（1）求函数()y f x =的最小正周期和最值；（2）()y f x =图像与其上点P 经平移后分别得到函数()y g x =图像与点Q ，并且()y g x =函数是奇函数，当||PQ 取最小值时，求PQ以及()y g x =18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，满足21n n S a =- （1）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）求证：21log (1)4nk k k S a =+<∑某考生参加一所大学自主招生考试，面试时从一道数学题，一道自然科学类题，两道社科类题中任选两道回答，该生答对每一道数学．自然科学．社科类试题的概率依次为0.7．0.8．0.9.（1）求该考生恰好抽到两道社科类试题并都答对的概率； （2）求该考生在这次面试中答对试题个数 的数学期望。

20．（本小题满分12分）如图，O 是半径为2的球的球心，点A ．B ．C 在球面上，OA ．OB ．OC 两两垂直，E ．F 分别是大圆的弧AB 与AC 的中点。

（1） 求证：EF//面OBC ； （2） 求多面体OAEBCF 的体积；（3） 建立适当的空间直角坐标系，求,OF CE的坐标，并求异面直线OF 和CE 的夹角的余弦值。

AOCBEF第20题图已知函数()(x x f x e e x R -=-∈且e 为自然对数的底数）。

（1）求()f x 的导数，并判断函数()f x 的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t ，使不等式33()()0f x t f t x -+-≥对一切(,1]x ∈-∞都成立，若存在，求出t ；若不存在，请说明理由。

22．（本小题满分14分）设A ．B 为椭圆上22143x y +=的两个动点。

（1）若A ．B 满足0OA OB ∙= ，其中O 为坐标原点，求证：2211||||OA OB + 为定值； （2）若过A ．B 的椭圆的两条切线的交点在直线x+2y=5上，求证直线AB 恒过一个定点。

参考答案一．选择题：二．填空题：13．816- 14．存在实数m ，关于x 的方程x 2+x+m = 0没有实根15．21 16．21()nn b b三．解答题：17．解：（1）()yf x =最小正周期T π=()y f x =的最大值为35122+=，最小值为31122-= ………6分（2）设()()g x f x h k =-+，所以(,)PQ h k =，由题意知：3()sin(22)26y f x h k k x h π=-+=++--是奇函数 ∴302k +=且2,()6h m m Z ππ--=∈ ∴,()122||)32m h m Z PQ m Z k ππ⎧=--∈⎪⎪∴=∈⎨⎪=-⎪⎩ ∴当m=0时，||PQ 取最小值，此时3||(,),()sin 2122PQ g x x π=--= ………12分18．（1）当1n =时，11121,1S a a =-=当2n ≥时，11111,21,22,2n n n n n n n n n S a a S S a a a a -----=-=-=-=∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列。

∴1221()12nn n S n N *-==-∈-…6分（2）22log (1)log 2nn S n +==，记2111log (1)2nn n n k k k k S kT a -==+==∑∑∴ 01211232222n n nT -=++++ ①123112322222n n nT =++++ ② ①-②：1231111111112(1)2(1)2222222222n n n n n n n n T -=++++-=--<-<∴12,42n n T T <∴<，即21log (1)4n k k kS a =+<∑ ………12分 19．（1）22240.90.90.135C P C =∙∙= ………4分（2）17(0)600P ξ==， ………6分 同理：176407(1)(2)600600P P ξξ==== ………10分这个考生在这次面试中答对试题的个数ξ的数学期望（均值） 1.65E ξ=………12分 20．(1)过E 作EG ⊥AO 于G ，连结FG ，则FG ⊥AO ，所以EG//BO ；FG//CO ， 又EG∩FG=G ，∴面EFG//面BCO ，∵EF ⊂面EFG ，∴EF//面OBC. ………4分 （2）易求得111(2(2323A EFG V -=∙-= 设CF 的延长线交OA 的延长线于P ，BE 的延长线交OA 的延长线于Q 由对称性知P ，Q 重合，即多面体EFG-BCO 是台体， ………6分11(12)(233EFG BCO V -=+=+，则多面体OAEBCF 的体积是114(2(2333-++=+ ………8分 （3）分别以OB ．OC ．OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则E F∴OF CE ==-………10分∴cos ,||||OF CE OE OF OF CE ∙<>==∙∴异面直线OF 和CE的夹角的余弦值为24- ………12分 21．（1）∵()x x f x e e -=- ∴/()x xf x e e -=+ ∵/1()0xxx xf x e e e e -=+=+>对 x R ∈恒成立，∴()f x 在x R ∈上是增函数又∵()f x 的定义域为R 关于原点对称，()()x x f x e e f x --=-=-∴()f x 是奇函数。

……6分（2）由第（1）题的结论知：()f x 在x R ∈上是奇函数又是增函数。

∴33()()0f x t f t x -+-≥对一切(,1]x ∈-∞都成立，⇔33t t x x -≥-对一切(,1]x ∈-∞都成立，应用导数不难求出函数3y x x =-在(,1]x ∈-∞上的最大值为3((-=33t t x x ∴-≥-对一切(,1]x ∈-∞都成立⇔3t t -≥………10分⇔t ≥t = ……12分 22．证明：（1）①若OA ，OB 的斜率都存在时，设OA 方程为y kx =，代入椭圆方程，得22222221212(1)||4343AA A k x OA x y k k +=∴=+=++ 同理，直线OB 的方程为22222112(1)112(1),||14343k k y x OB k k k++=-==++ 2211||||OA OB += 224312(1)k k +++2243712(1)12k k +=+ ②当直线OA ．OB 的斜率有一条存在另一条不存在时或|||2OA OB ==或||2,||OA OB ==（2）2211||||OA OB +=712也成立。

…………6分 设11(,)A x y ，点/11(,)A x x y y +∆+∆也在椭圆上22112211143()()143x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨+∆+∆⎪+=⎪⎩两式相减得113(2)4(2)x x y x y y +∆∆=∆+∆，令0x ∆→得切线的斜率为1134x y -，切线方程为11113()4xy y x x y -=-- ，再由点A 在椭圆上，得过A 的切线方程为11143xx yy += ……8分 同理过B 22(,)x y 的切线方程为：22143xx yy +=，设两切线的交点坐标为00(,)x y ，则：10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即AB 的方程为：00143x x y y +=，又0025x y +=，消去0x ，得： 直线AB 恒过定点46(,)55。