一元函数积分学
高数强化第三章《一元函数积分学》(思维导图)
第三章一元函数微分学不定积分基本概念原函数不定积分原函数的存在性连续函数一定有原函数区间上有第一类间断点，在该区间没有原函数存在第二类间断点，可能有，可能无不定积分的性质基本积分公式三种主要积分法第一类换元法（凑微分法）第二类换元法分部积分法三种常见可积函数积分有理函数积分三角有理式积分①万能代换（一般法）②三角变形，换元，分部（特殊法）简单无理函数积分令根号下的一堆=t反常积分（广义积分）无穷区间上的反常积分定义定理1)比较判别法2）比较法的极限形式3）P积分无界函数的反常积分定义定理1)比较判别法2）比较法的极限形式3）P积分定积分应用几何应用平面图形的面积直角坐标系极坐标系空间体体积旋转体体积二重积分、元素横截面面积的体积常用曲线：双纽线摆线星形线心形线（数三）经济学中的应用常见函数边际函数、边际分析弹性函数、弹性分析注意需求价格弹性的正负！定积分概念分匀合精几何意义一重：线与坐标轴围成的面积二重：线与线围成的面积有正负可积性（存在）充分条件函数在[a,b]连续，积分存在在[a,b]有界，且只有有限个间断点，积分存在在[a,b]上只有有限个第一类间断点，积分存在必要条件积分存在，函数在[a,b]有界计算（值）牛顿莱布尼茨公式换元积分分部积分利用奇偶性、周期性公式点火公式∫(0,π)xf（sinx）dx＝π/2∫(0,π)f（sinx）dx变上限积分定积分性质不等式积分中值定理积分中值定理、广义积分中值定理常见题型不定积分计算不定积分不定积分杂例多做，积累题型定积分概念、性质、存在准则定积分概念、性质、几何意义连乘形式：①夹逼②取对数也有不等式和积分中值定理的使用定积分计算先考虑下奇偶性，但有些题可能直接做更简便总结计算方法变上限积分函数及其应用连续性：f（x）在[a,b]可积，则变上限积分在[a,b]连续可导性：变上限积分在区间除x0点外均连续，则在x0处①连续②可去③跳跃的可导性及值理解！！记住！P112奇偶性：第一章函数奇偶性处理变上限积分常用:洛必达、等价无穷小代换、积分中值定理积分不等式定积分不等式性质变量代换积分中值定理变上限积分可以将f（x）与其导数联系起来柯西积分不等式反常积分反常积分的敛散性1)比较判别法2）比较法的极限形式3）P积分反常积分计算核心用法：换元、分部要积累！定积分应用几何应用先画草图！经济学中的应用关联。
一元函数积分学概论
一元函数积分学概论
一元函数积分学指的是对一元函数进行积分的学科，即研究如何求解一元函数的不定积分和定积分。
一元函数是指只有一个自变量的函数，例如$f(x)$，其中$x$是自变量。
一元函数积分学的主要内容包括：定积分的意义、性质和计算方法；不定积分的定义、性质和计算方法；换元积分法、分部积分法、三角函数积分等积分方法；反常积分的概念和判定等。
定积分的意义是求曲线$y=f(x)$和$x$轴之间的面积，其性质包括线性性、可加性、保号性等。
计算方法包括定积分的定义式、图形面积加减法、化成简单积分等方法。
不定积分是指求出函数$f(x)$的原函数$F(x)$，常用的计算方法包括换元积分法、分部积分法、三角函数积分等。
换元积分法是将积分中的自变量用另一个变量代替，使积分式化为更容易求解的形式。
分部积分法是将积分式分解为两部分，然后将其中一部分求导，另一部分积分，最终得到原积分式的解。
三角函数积分是针对含有三角函数的积分进行求解。
反常积分是指积分区间为无限或在有限区间内函数存在无限大或无界时的积分，其判定方法包括比较判别法、极限判别法、积分测试法等。
总的来说，一元函数积分学涉及到多种方法和技巧，需要掌握一定的数学知识和思维方式才能有效求解。
自考高等数学(一)第五章 一元函数积分学.
第五章一元函数积分学5.1 原函数和不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。
例：，sinx是cosx的原函数。
Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。
原函数存在定理：如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。
简言之：连续函数一定有原函数。
问题：（1）原函数是否唯一？（2）若不唯一它们之间有什么联系？例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx（C为任意常数）关于原函数的说明：（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。
（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）=f（x）=f（x）=0∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）不定积分的定义：函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。
,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。
例：求。
【答疑编号11050101】解：例：求。
【答疑编号11050102】解：积分曲线例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。
【答疑编号11050103】解：设曲线方程为y=f（x）,根据题意知即f（x）是2x的一个原函数。
由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为y =x2+1。
函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。
显然，求不定积分得到一积分曲线族。
不定积分的性质结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
5.2 基本积分公式实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。
一元函数积分学
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3.1.1 原函数与不定积分的概念
定义 设f ( x )是区间 I内的函数，若存在函数 F ( x ), 3.1 使得对 ∀x ∈ I , 恒有F ' ( x ) = f ( x )或
dF ( x ) = f ( x )dx，则称 F ( x )是f ( x ) 在区间 I内的一个原函数。
例
(sin x ) = cos x sin x 是 cos x 的原函数.
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3.2.1 换元换元法
1、第一类换元法 问题
∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C ,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 1 1 1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C = 2 sin 2 x + C .
16
在一般情况下： 设 F ′( u) = f ( u), 则
∫ f (u)du = F (u) + C .
如果 u = ϕ ( x )（可导）
( F [ϕ ( x)])' = f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)
∴
∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = F [ϕ ( x )] + C
x
x µ ≠ －1两种情况求。 a x + C (a 0, a ≠ 1); (4) a dx = ln a
x
2
(7)∫
1
1 − x2
dx = arcsin x + C ;
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(8)∫ sin xdx = − cos x + C ;
D第三章一元函数积分学
(1)1 dx arcxsC in arcxc C o； s 1x2
( 1)2 d x arc x tC a n ac rc o x tC ； 1 x 2
(1)3 sh xdxcx hC；
(1)4 cx h dxsx hC.
例 3 求不定积分
1
a
例 1 求 si n3x(2)dx.
解 对照基本积分表，上式与si表 x ndx相 中， 似
如果把 dx 写成了 d(3x + 2)， 那么就可用定理 1 及
sin xdxcox sC, 为此将 dx 写成 dx1d(3x2), 3
代入式中， 那么
sin3(x2)dx 1 sin3x(2)d(x32). 3
令 3x + 2 = u 则
1
3
sinudu 1cosuC1co3sx(2)C.
six n dxcox sC;
(3)因(为 arc x)ta 1 1 n x2或(arccox)t11x2,
所以得
d xarc x tC a n ar cc o x tC ; 1x2
(4)因(为 ex)ex, 所以得
exdxexC.
例2
求不定积分
1 x
dx.
解 被积函 1的 数定义x域 0.为 x
当 x > 0 时，因为(lnx)1, 所以 x
1dxlnxC; x
当 x < 0 时，因l为 n x ()1(1)1,
x x
所以
1dxln( x)C. x
合并以上两种情况，当 x 0 时，得
1dxln| x|C. x
(1)积分曲线族中任意一条曲线， 可由其中某一 条(例如，曲线 y = F(x) ) 沿 y 轴平行移动|C|单位而 得到. 当 C > 0 时，向上移动；当 C < 0 时，向下移动；
第四章一元函数积分知识点梳理
一元函数积分学（1）（第十一周周三）题型•定积分概念（定积分求极限）•定积分性质及其应用（比较定积分大小，估计积分值）•变限定积分函数求导•变限积分函数极限•定积分表示变量的极限•分段求定积分•求解含定积分符号的函数方程•定积分等式与定积分不等式证明3定积分定义求极限其中极限与分点x i 的取法及x i 的取法无关.当函数f (x )在[a , b ]上连续时, 有可用于求某些通项为和式数列的极限，根据积分合式确定被积函数和积分区间→==∑⎰01()d lim ()n b i i a i f x x f x λx ()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n12lim 1cos 1cos 1cos n n n n n n πππ→+∞++++++11011211cos 1cos 1cos 1cos 1lim 1cos 1cos(n i n n i n i n n nn n n i x dx n nππππππ=→∞=++++++=++=+∑∑⎰()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n求极限).21(lim 22222nn n n n n n n ++++++∞→ 原式n n 1lim ∞→=∑=+n i ni 12)(11x x d 11102⎰+=4π=()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：11sin k n n k k n π=<<+∑已知11012lim sin sin d ,n n k k x x n n πππ→∞=⋅==∑⎰利用夹逼准则可知2.I π=∑=⋅+n k nn k n n 11sin 1π∑=⋅nk n n k 11sin π11lim =+∞→n n n 求()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n关于定积分重要性质保号性：()0,f x ≥则有()d 0.ba f x x ≥⎰若f (x )在[a ,b ]上连续, ()0,f x ≥且()0,[,]f x x a b ≡∈/则()d 0.b a f x x >⎰若f (x )在[a , b ]上连续, ≥()0,f x =⎰()d 0,b a f x x 且则()0.f x ≡积分中值定理：若f (x )在[a , b ]上连续, 则至少存在一点(,),a b x ∈使得()d ()().ba f x xb a f x =-⎰第一积分中值定理：若函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, g (x )在[a , b ]上不变号,则在(a , b )内至少存在一点x , 使=⎰⎰()()d ()()d .b b a af xg x x f g x x x 估值定理：若f (x )在[a , b ]上连续，≤≤(),m f x M -≤≤-⎰()()d ()b am b a f x x M b a令,)(x e x f x-=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x e x dx e x ⎰-∴02,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-20.20dx x ⎰-<比较积分值dx e x ⎰-20和dx x ⎰-20的大小.比较定积分大小（积分区间相同，比较函数大小）比较定积分大小（积分区间不同）2222202220cos cos x x x x e dx e dx e xdx e xdx ππππππ---->>⎰⎰⎰⎰22222()2()200cos cos ()cos x u x u x e xdx e u dx e xdx ππππππππ--+-+=-=+=⎰⎰⎰设函数f (x )在[0, 1]上连续, 且单调减少, 试证对任意(0,1),a ∈有≥⎰⎰100()d ()d .a f x x a f x x 证明1：-⎰⎰100()d ()d a f x x a f x x =-⎰⎰00()d ()d a a f x x a f x x -⎰1()d aa f x x=-⎰0(1)()d a a f x x -⎰1()d aa f x x (0,),a α∈(1)()a af α=-(1)()a af β--(,1)a β∈()(1)()()a a f f αβ=--0.≥1100011000()()()01,01()()()()()aa f x dx x at a f at dt a f ax dx a x ax x f ax f x a f x dx a f ax dx f x dx ⇒=⇒=<<<<⇒<⇒≥≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明2：12222200sin cos d d .11x x x x x x ππ<++⎰⎰-+⎰220cos sin d 1x x x x π-=+⎰420cos sin d 1x x x x π-++⎰224cos sin d 1x x x x ππ=-+-++⎰⎰42220411(cos sin )d (cos sin )d 11x x x x x x πππx η0=--≥++2211(21)()011x η,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx xdx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x 估计积分dx x ⎰π+03sin 31的值. 估计积分值大小证明证:令则令得故变限积分求导2(1)2()sin ,(2)x x x f t dt t f π+==⎰22((1))(23)2(2)cos f x x x x f x xππ++-=15(2)2(2)(2)3x f f f ππ=⇒-=-⇒=-()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰sin '0()(sin )(),()xF x x t f t dt F x =-⎰求sin 'sin sin 00sin 0()(sin ()())(sin ())()cos ()x x x xd F x xf t tf t dt dx d d x f t tf t dt dx dx x f t dt=-=-=⎰⎰⎰⎰20cos()x d x t dt dx -=⎰2211211x x d x dt dx x t x x -+=++++⎰1x t u+=解：提示：2解：先求定积分，再求导4030sin lim xdt t x x ⎰→求极限00解：此极限为型414sin lim 330==→x x x 原式变限积分函数极限（洛必达，积分中值，等价无穷小）200cos lim x x t dt x →⎰0|sin |limx x t dt x →+∞⎰(1)00|sin ||sin |sin 2,(1)k kt dt t dt tdt x n n x n ππππππ+===∀∃≤<+⎰⎰⎰(1)000(1)0000|sin ||sin |sin |sin |2,sin 2(1)|sin |22(1)(1)|sin |2lim n x n n n x x x t dt t dt tdt t dt n tdt n t dt n n n x n t dt x πππππππ++→+∞≤<==++≤<+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰周期性.lim 222dx e x n n x n ⎰+-∞→计算)2(lim lim 22222n n e dx e x n n x n -+=-∞→+-∞→⎰x x x 22lim 2x x x e ∞→=.0=定积分表示变量的极限.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 证明,10n nx xx ≤+≤ dx x dx x x n n ⎰⎰≤+≤∴101010,11+=n ,011lim =+∞→n n 且.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 由夹逼准则可知注意:x x +=+∞→∞→⎰1lim 1lim 10nn n n dx x x (01)x ≤≤.0=错误，可用第一积分中值定理=⎰⎰()()d ()()d .bba a f x g x x f g x x x分段求定积分（含有max,min,取整符号，绝对值，被积函数含参变量）10()|()|F x t t x dt =-⎰101010()()3211()()23x x F x t t x dt x x F x t t x dt ≤⇒=-=-≥⇒=--=-⎰⎰10201()()()11323x x x F x t t x dt t t x dt x x <<⇒=--+-=-+⎰⎰=+⎰21()()1()()设连续，，求f x f x x f x dx f x 求解含定积分符号的函数方程212211()()1()(1)3122()12a f x dx f x ax f x dx ax dx a a a f x x=⇒=+⇒=+⇒=+⇒=-⇒=-⎰⎰⎰令已知函数f (x )满足方程=-⎰120()3()d ,f x x f x x 试求f (x ).解令=⎰120()d ,f x x a 则()f x =-3.x a ⎰120()d f x x a =()=-⎰1203d x a x ()=+-⎰122096d x a ax x =-+233,a a ⇒-+=2430,a a 3a ⇒=或=1,a 故=-()33f x x 或=-()31f x x定积分等式与定积分不等式证明(1) 变上限积分;(2) 积分中值定理;(3) 微分中值定理;(4) 常用不等式（柯西-施瓦茨不等式）;(5) 利用Taylor公式;(6) 利用闭区间上连续函数性质.1证明恒等式证:令则因此,)0()(2π<<=x C x f 又4π=故所证等式成立.试证使分析:要证即⎰xaxxg d)(⎰-x a xxf d)(故作辅助函数至少存在一点证明: 令⎰⎰⎰⎰-=ba x ab a x a x x g x x f x x f x x g x F d )(d )(d )(d )()(在上连续,在至少使即0d )()(d )()(=-⎰⎰b a ba x x g f x x f g x x 因在上连续且不为0 ,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点7设解法1:设且试证:t t f x F x a d )()(⎰=⎰x a t f t )(d 则=')(x F )(2a x --⎰⎢⎣⎡=x a )(t f )(t f t d 2⎥⎦⎤-t t f x f t f x f x a d )()()]()([2⎰-=故F (x ) 单调不减,即②成立.②⎰x a t t f d )(⎰x at f t )(d 2)(a x --8设函数f (x )在[0, 1]上是非负、单调减的连续函数,且0 < a < b < 1, 求证≥⎰⎰0()d ()d .a b a a f x x f x x b ⎰0()d af x x ⎰()d ba f x x 1()f a x =2()()fb a x =-1(0,)a x ∈2(,)ab x ∈(),f a a ≥()()f a b a ≤-(),bf a ≤⎰0()d af x x ()f a a ≥≥⎰()d .ba a f x xb 证明由积分中值定理, 得设f 在[0, π]上连续, 在(0, π)内内可导, 且==⎰⎰00()cos d ()sin d 0,f x x x f x x x ππ证明: 存在(0,),x π∈使得()0.f x '=证明因为在(0, π)内, sin x 0,>又=⎰0()sin d 0,f x x x π故f (x )在(0, π)内必有零点α .若在(0, π)内, f (x )恒正, 则>⎰0()sin d 0;f x x x π若在(0, π)内, f (x )恒负, 则<⎰0()sin d 0;f x x x π零点不唯一：若(0,)απ∈是f (x )的唯一零点, 则,(0,),x x απ≠∈f (x )在x = α的两侧异号. 于是sin()()x f x α-必恒正或恒负，从而-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα39-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα-⎰0sin()()d x f x x πα0()(sin cos f x x πα=⎰-cos sin )d x xα=⎰0cos ()sin d f x x x πα-⎰0sin ()cos d f x x x πα0=与上式矛盾.故f (x )在(0, π)内零点不惟一,Rolle 定理：在(0,),x π∈使得()0.f x '='11,[]()[](){(1)(2)...([])}aa x f x dx a f a f f f a >=-+++⎰证明：1'201[0,1],()()0,()()3x f x f x f x dx f ∈<≤⎰二阶可导，证明：222()[,]()cos ()sin [()]b b b a a a f x a b f x kxdx f x kxdx f x dx ∀+≤⎰⎰⎰在连续且非负,证明：k,满足：[][]sin 2'0()(),()xF x f tx dt F x =⎰222sin 2011()()x x u tx dt du xF x f u du x =⇒==⎰提示：考虑X=0？).2212(lim 12121n n n n n n n n n ++++++∞→()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰=-⎰()d ()().b af x x b a f x =⎰⎰()()d ()()d .bb aa f x g x x f g x x x 222[()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰变限积分求导公式：积分中值定理：第一积分中值定理：柯西施瓦茨积分不等式：<<a b x。
(整理)第三章一元函数的积分学
第三章 一元函数的积分学§1 不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.2．掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.3．会求有理函数、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分.一、基本概念1．原函数与不定积分定义若()()F x f x '=，(,)x a b ∈，则称()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数.（一般地，“在区间(,)a b 内”几个字常省略）.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数（其中C 为任意常数），()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()f x x F x C =+⎰.2．不定积分与原函数的关系（1）不定积分与原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素，因此()d ()f x x F x ≠⎰.（2）设()F x ，()G x 是()f x 的任意两个原函数，则()()F x G x C =+（(,)x a b ∈）.（3）原函数的几何意义：称()y F x C =+为()f x 的积分曲线，其上横坐标为x 处的切线互相平行.3．原函数存在定理设()f x 在(,)a b 内连续，则在(,)a b 内必有原函数.4．不定积分的基本性质（1）()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰ (k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）求导与求不定积分互为逆运算① (()d )()f x x f x '=⎰ ，d ()d ()d f x x f x x =⎰；② ()d ()f x x f x C '=+⎰，d ()()f x f x C =+⎰；5．基本积分公式(熟练掌握)（1）d k x kx C =+⎰；（2）11d 1x x x C μμμ+=++⎰； （3）1d ln ||x x C x=+⎰； （4）d ln x x a a x C a=+⎰； （5）e d e x x x C =+⎰；（6）sin d cos x x x C =-+⎰；(7) cos d sin x x x C =+⎰；(8) 2sec d tan x x x C =+⎰；（9）2csc d cot x x x C =-+⎰；；（10）sec tan d sec x x x x C ⋅=+⎰；（11）csc cot d csc x x x x C ⋅=-+⎰；（12）d arcsin xx C =+⎰；（13）2d arc ta n 1x x C x=++⎰； （14）tan d ln |cos |x x x C =-+⎰；（15）cot d ln |sin |x x x C =+⎰；（16）d arcsin xx C a =+⎰； （17）22d 1arctan x x C a x a a=++⎰； （18）sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰；（19）csc d ln |csc cot |x x x x C =-+⎰；（20）22d 1ln 2x a x C a x a a x +=+--⎰；（21）d ln x x C =++⎰； （22）21arcsin 22a x x C a =++⎰. 6．初等函数的原函数初等函数在其定义区间内必有原函数，但它的原函数不一定是初等函数．不能用初等函数来表示（积不出来）的不定积分如下：2e d x x ⎰， 2e d x x -⎰， sin d x x x ⎰， cos d x x x⎰， 2sin d x x ⎰， 2cos d x x ⎰， d ln x x ⎰，e d x x x⎰，e ln d x x x ⎰，ln |sin |d x x ⎰等．二、不定积分的积分法1．公式法 将被积函数变形，直接利用公式．2．换元法 引入新的变量，再积分．第一类换元法(凑微分法)设()f u 的原函数为()F u ，()u x ϕ=有连续的导数，则[()]()d f x x x ϕϕ'⋅⎰ [()]d ()f x x ϕϕ=⎰()u x ϕ=()()d [()][()]u x f u u F u C F x C ϕϕ==+=+⎰凑微分 换元 积分 变量还原常见的凑微分公式（1）1()d ()d()f ax b x f ax b ax b a+=++⎰⎰，0a ≠；（2）11()d ()d()n n n n f x x x f x x n -=⎰⎰； （3）(e )e d (e )d(e )x x x x f x f =⎰⎰；（4）d 1(ln )(ln )d(ln )x f x f x x x n =⎰⎰；（5）21111()d ()d()f x f x x x x=-⎰⎰； （6）12f x f =⎰⎰； （7）(sin )cos d (sin )d(sin )f x x x f x x =⎰⎰；（8）(cos )sin d (cos )d(cos )f x x x f x x =-⎰⎰；（9）2(tan )sec d (tan )d(tan )f x x x f x x =⎰⎰；（10）2(cot )csc d (cot )d(cot )f x x x f x x =-⎰⎰；（11）21(arctan )d (arc tan )d(arc tan )1f x x f x x x ⋅=+⎰⎰； （12）1(arcsin )d (arcsin )d(arcsin )f x x f x x ⋅=⎰⎰； （13）d xf x f ⋅=⎰⎰；（14）()d ()d ln |()|()()f x f x x f x C f x f x '==+⎰⎰． 第二类换元法设()x t ϕ=单调，有连续的导数，且()0t ϕ'≠，如果[()]()d ()f t t t F t C ϕϕ'=+⎰，则()d f x x =⎰ ()x x ϕ=[()]()d f t t t ϕϕ'⎰1()[()]t x F t C ϕ-==+1[()]F x C ϕ-=+.换元 积分 变量还原3．分部积分法 设()u u x =，()v v x =具有连续的导数，则d d uv x uv u v x ''=-⎰⎰ 或 d d u v uv v u=-⎰⎰称为分部积分公式.4．特殊函数类的积分有理函数：先化为多项式与简单分式，再逐项积分．三角函数有理式：令tan 2x u =，化为有理函数的积分．简单无理函数：引入代换去掉根号，化为有理函数的积分．常用的分项公式如下：（1）111(1)1x x x x=-++； （2）111(1)1x x x x=+--； （3）2211(1)1x x x x x=-++； （4）22211111(1)(1)(1)1(1)x x x x x x x x x =-=--+++++； （5）2222111(1)1x x x x=-++. 常用的三角公式如下：（1）21cos 2cos 2x x +=；（2）21cos 2sin 2x x -=；（3）21sin (sin cos )22x x x ±=±三、典型例题题型1 直接积分法 （即将被积函数分解为几个简单函数的代数和再分项积分）例1 求下列不定积分（1） 231d 5x xx x ++⎰； （2）10d (2)x x x +⎰；（3） 42d x x x +⎰； 解 原式2222d 111d arctan (1)1x x x C x x xx x ⎡⎤==-=--+⎢⎥++⎣⎦⎰⎰.（4）2222+sin sec d 1x x x x x ⋅+⎰； 解 原式精品文档()()2222221+sin 11sec d sec d d 11xx x x x x xx x +-=⋅=-++⎰⎰⎰tan arctan x x C =-+.题型2 换元积分法（第一类和第二类）例1 求下列不定积分（1）2sin cos d 1sin x xx x ⋅+⎰； （2）d x⎰解原式ln dln d u x x u ========⎰⎰⎰11d()2arcsin arc 12u u C --==+=⎰ .（3）3xx ⎰；解原式23221122u x x x x x u========⎰⎰⎰32111(1(1)d(1)222u u u u =+-=++-⎰⎰⎰535222212211[(1)(1)](1)(125353u u C x =+-++=+-+ . （4）sin 222esin d exxxx ⋅⎰； 解 原式sin 222sin 22sin11esin d e d(sin 22)e44x xx x x x x x --=⋅=--=-⎰⎰（5）1d (1e )xxx x x ++⎰； （6）ln(tan )d sin cos x x x x ⋅⎰.例2 求x ⎰.解：原式2[ln()3x x =+=+⎰例3 求 342e ed e 2e 1x xx xx +-+⎰. 解：原式2222e (e e )d(e e )1d e (e e )(e e )e ex x x x x x x x x x x x x C -----+-===-+---⎰⎰ 例4 求 241d 1x x x ++⎰.解：原式22221111d()1d arctan 11()2x x x x x C x x x x+--===++-+⎰⎰例5 求下列不定积分（1）xx ⎰；（2）3d x x ⎰； 解 令π323sec ,0,d sec tan d 22x t t x t t t ⎛⎫=<<=⋅ ⎪⎝⎭ ，原式23233tan 34tan 4sec tan d d sin 23sec 33sec 2t t t t t t t t =⋅⋅==⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰241231sin 2arccos 324322t t C x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.（3）d x ⎰.解 令2tan ,d sec d x t x t t ==，原式2222sec d cos d dsin arcta (2tan 1)sec 1sin 1sin t t t t tt t t t ====+++⎰⎰⎰arctanx C =+.注 1ο，令s i n x a t = 或 cos x a t =；2ο，令sec x a t = 或 csc x a t =或 ch x a t =；3ο，令tan x a t = 或 cot x a t =或 sh x a t =；4ο三角代换变量还原时利用辅助三角形． 例6 求下列不定积分（1）d x⎰；解 原式()d31d13xx-==⎰⎰1ln|31|3x C=-++.（2）21d446xx x-+⎰.解原式()()2111212d21arctan221xx C x-=-=⋅+ -+⎰.（注对二次三项式2ax bx c++或其平方根，配方后使用公式）．例7求下列不定积分（1）d x⎰（2）21lnd(ln)xxx x--⎰.（注1xt=称为倒代换，当分母的次数高于分子的次数时，可考虑用此代换）．例8 求e (1e )d x xx +⎰（注 可考虑指数代换e xu =或e sin xt =）．例9 求d x x⎰，（令：t =）解令t =，22tan 1tan d 2tan sec d .t x t x t t t =⇒=+⇒=⋅原式(2222arctan 2sec tan d 2tan d 2sec 1tan t t t t t t t t t t t ⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⎰⎰⎰()222sec 1d 2d(tan )2tan tt t t t t t t t =⋅-=-=⋅-⎰⎰⎰22tan 2ln |cos |t t t t C =⋅+-+212ln ||arctan x=⋅+-+22ln ||arctanx =⋅--+.题型3 分部积分法关键：正确地选择u 和v ，选择u ，v 的原则：1οv 好求； 2οd v u ⎰要比d u v ⎰简单．例1 求下列不定积分（1）2(22)e d xx x x +-⎰； （2）2(1)ln d xx x +⎰；（3）e cos d xx x x ⎰； （4）sin ln d x x ⎰ 解 原式1sinln dsinln sinln cosln d x x x x x x x x xx=-=-⋅⋅⎰⎰sinln cosln d sinln cox x x x x x x ⎡=-=-⋅⎣⎰()()1sinln cosln sinln d x x x x x xx=-+-⎰()sinln cosln sinln d x x x x x =--⎰所以 原式()sinln cosln 2xx x C =-+.（5）22arctan d (1)xx x x +⎰； 解 原式22arctan arctan 1d d arctan d(-)arctan d 1x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰⎰()221111arctan d arctan 12x x x x x x =-+⋅-+⎰()()22221111arctan d arctan 221x x x x x x =-+-+⎰ 22211111arctan d 212x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭⎰()()22111arctan ln ln 122x x x x =-+-+-()22111arctan ln arctan 212x x x x x =-+-+.（6）ln(x x x +⎰.解原式ln(x x x =+⋅⎰dln(x =⋅+-⋅⎰ln(d x x =⋅+-=⎰.例2 求 22sin d (cos sin )xx x x x -⎰. 解 原式2sin sin sin 1d d (cos sin )cos sin x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅= ⎪--⎝⎭⎰⎰sin 11cos sin cos sin x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪--⎝⎭⎰2sin 11s d cos sin (cos x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-=⎪-⎝⎭⎰．例3 求ed xx x ⎰．（先换元，后分部积分） 解： 原式222222d d 12ln(1)d 2[ln(1)2d ]1tt x t t ttt t t t t =++=+-+⎰⎰24arctan C =-++.题型4 分项--分部积分法（将积分分成两项（或多项）的积分和，然后利用分部积分抵消不可积部分）例1 求 2ln 1d ln x x x-⎰； 例2求 22e (tan 1)d x x x +⎰． 题型5 有理函数积分例1 求25d 613x x x x +-+⎰； 例2 求221d (1)x x x +⎰.题型6 三角有理函数积分例1 求 d sin 22sin xx x+⎰ 例2 求d 1sin cos xx x --⎰题型7 简单无理函数积分例1求d x⎰； 例2 求d x⎰.例3求d x⎰(0,0)a b x <<>.解：原式2=⎰2arcsin C =+；题型8 分段函数的积分例1 求|1|ed x x -⎰．例2 求2()max(1,)x x ϕ=的一个原函数()F x ，且(0)1F =．题型9 含有抽象函数的不定积分例1设()d arcsin xf x x x C =+⎰，求1d ()x f x ⎰．例2设()f x 为非负连续函数，当0x ≥时，有20()()d e 1xxf x f x t t ⋅-=-⎰，求()d f x x ⎰. 解 方程化为20()()d ()()d =e 1xxxf x f x t t f x f x t t ⋅-=--⎰⎰，()d ()d u x txxf x t t f u u =--====⎰⎰，代入原方程得()20()d e 1xxf x f u u ⋅=-⎰，令()()()()()20()d exxF x f u u F x f x F x F x ''=⇒=⇒⋅=⎰，两边积分()()()2d e 1d xF x F x x x '⋅=-⎰⎰，得()2211e 22xF x x C =-+， 又()()22100,e 212xF C F x x =⇒=-∴=--，()()(F x F x ∴=≥.()()d f x x F x C =+=⎰.例3设(,)f x y 可微，且(,)ff x y x∂=-∂，e cos xf y y-∂=∂，(0,0)0f =，求(,)d f x x x ⎰. 例4设()f x 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足01()()()d 01xf x f x f t t x '-+=+⎰，求[()()]e d xf x f x x -'''-⎰.四、不定积分常用的计算技巧总结（考生自看）1．加减常数法例1 求 cos d 1cos xx x-⎰. 解：原式2cos 111()d (1)d 1cos 1cos 2sin (/2)x x x x x x x -=+=-+=----⎰⎰.2．加减函数法例2 求 21d 1exx +⎰. 解：原式2222221e e e 1d (1)d ln(1e )1e 1e 2x x xx x xx x x C +-==-=-++++⎰⎰.例3 求 d (1)nxx x +⎰. 解：原式1111d d d ln ||ln |1(1)1nnn n n nx x x x x x x x x x x x n -+-==-=-+++⎰⎰⎰.3．乘除函数法例4 求 d e ex x x-+⎰.解：原式22e d de arctane 1(e )1(e )x xxx x x C ===+++⎰⎰. 4．分母整体化法例5 求 2100d (1)xx x +⎰. 解：原式2219899100100100(1)(1)d d (2)d u xu u u u u u u uu u=+-----=====-+⎰⎰⎰9798991212979899u u u C ---=-+-+.例6 求 2sin d (sin cos )xx x x +⎰.解：原式π4222πsin()sin csin 114d d π2sin 2sin ()4u x u x u x x u u x =+-=====+⎰⎰⎰2d d(sin )()[l n |csc(4sin sin 4u u x u u =-=+⎰⎰.5．依分母分解法例7 求 3cos 4sin d cos 2sin x xx x x-+⎰. 解：因为cos x 与sin x 的导数互相转化，所以 可设3cos 4sin (cos 2sin )(cos 2s x x A x x B x -=+++(2)cos (2)sin A B x A B x =++- 故得：231,224A B A B A B +=⎧⇒=-=⎨-=-⎩. 原式cos 2sin (cos 2sin )d 2d cos 2sin cos 2sin x x x x x x x x x x '++=-+=-++⎰⎰.6．还原法例8 求 11(1)ed x xx x x++-⎰.解：11121ed (1)ed ed d(ex x x x xxx x x x x x+++=+-=+⎰⎰⎰⎰1111ed eed ex x x x xxxxx x x x C ++++=+-=+⎰⎰.7．待定函数法 例9 (上例)解：因为被积函数是一个函数与1ex x+的乘积，它的一个原函数必定也是某一个函数与1e x x+的乘积.令 111(1)ed ()ex x xxx x F x C x +++-=+⎰，其中()F x 为待定函数， 两边求导数11211(1)e[()()(1)]ex x xxx F x F x xx++'+-=+-，22111(1)()()(1)()x F x F x F x x x'∴+-=+-⇒=， 故 原式1ex xx C +=+.8．相关积分法例10 求 221e sin d x I x x =⎰,221e cos d xI x x =⎰.解：221222211e d e ,21e cos2d e (cos2sin 2),4xx x x I I x C I I x x x x C ⎧+==+⎪⎪⎨⎪-==++⎪⎩⎰⎰ 1I ∴=22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =-++； 2I =22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =+++.五、练习题31-1．若()f x 的导函数是e cos xx -+，则()f x 的一个原函数为（ ）.(A) e cos xx -- (B) esin x x --+ (C)ecos xx --- (D) esin xx -+2．若()f x '为连续函数，则(2)d f x x '=⎰（ ）.(A) (2)f x C + (B) ()f x C + (C)1(2)2f x C + (D) 2(2)f x C + 3．若()f x 是以l 为周期的连续函数，则其原函数（ ）.(A) 是以l 为周期的连续函数 (B)是周期函数，但周期不是l(C) 不是周期函数 (D)不一定是周期函数4．设cos x x 是()f x 的一个原函数，求()d xf x x '⎰． 5．2222221sin cos d d sin cos sin cos x x x x x x x x +=⋅⋅⎰⎰. 6. 22e 1e (1)d (e )d sin sin xxxx x x x--=-⎰⎰.7．11e ed d 1e 1e xxx xx x +-=++⎰⎰. 8.45422sincos d sin (1sin )dsin x x x x x x =⋅-⎰⎰.9．1515sin cos d (sin cos )d(sin cos )(sin cos )x xx x x x x x x +=---⎰⎰.10．21111d d d(1)111n n n nnn n n x x x x x x x x x x --⋅+-==++++⎰⎰⎰. 11．cos sin d(sin cos )d cos sin cos sin x x x x x x x x x-+=++⎰⎰.12．321()arctan d arctan d()33x x x x x x x ++=⎰⎰. 13.2d x x⎰. 14．d 1d(3)3xx =⎰⎰ 15．22222d 2ln 2d d 2d 1d 12(14)2(12)ln 2(1)ln 2xxxu x x x x u x x x u u u =========+++⎰⎰⎰.16．22sin d x x x ⎰.17．arcsin 2arcsin x =-⎰⎰.18．2arctan tan 3d sec d 22ed sin d (1)xx ttx t tx x e t t x ==+====⎰⎰. 19.241d 1x x x -+⎰. 20.421d (1)x x x +⎰21. 1183848282821d d d (1)(1)4(1)x x x x x x x x x x ⋅==+++⎰⎰⎰42221d 4(1)x tt t t =+===⎰2tan 24d sec d 1tan sec d 4sec t u t u u u u u u ======⎰.22. 112d d x x x x +-+=⎰⎰22112d[(1)3]2x =-++⎰⎰.23. 2d d d x xx x x =+⎰⎰⎰.24．313(1)4d d x x x x +-+=⎰⎰.25．d 4sin 3cos 5x x x ++⎰（可令tan 2xt =）；26. 3sin 2cos d 2sin 3cos x x x x x ++⎰（可令tan 2xt =或依分母分解法）；27．设(cos )sin f x x '=(0)x π<<，求()f x ． 28．设()F x 是()f x 的一个原函数，且当0x ≥时，有2e()()2(1)xx f x F x x ⋅=+，又(0)1F =， ()0F x >， 求()f x ．29．()d ()f x x F x C =+⎰，且当0x ≥时，有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．30．求2[ln ()ln ()][()()()]d f x f x f x f x f x x ''''++⎰.31．设ln(1)(ln )x f x x +=，计算()d f x x ⎰.32．2()(1)()d exxf x x f x x x '-+⎰. 33．1e (ln )d x x x x +⎰.3-1参考答案1.A2.C3.D 4．2cos sin xx C x--+. 5．tan cot x x C -+.6．e cot xx C ++. 7．ln(1e )xx C -++.8．579111sin sin sin 579x x x C -++9．455(sin cos )4x x C -+.10．1[(1)ln |1|]n nx x C n+-++.11．ln|cos sin|x x C++.12．32arctan36x x xx C+-+.13．arcsin x Cx--+14．1ln|3|3x C++. 15．11(arctan2)ln22xxC-++.16．321sin2cos2sin26448x x xx x x C --++.17．arcsin C-++.18arctan1e+xxC-.1ln C+. 20.311arctan 3x C x x-+++. 21. 44811arctan 881x x C x-⋅++. 22. 2ln |1|x C +-++.23. 1arcsin 22x x C --+. 244ln |1|x C +-++.25. 1tan 22C x -++. 26．125ln |2sin 3cos |1313x x x C -++.27. 1()arcsin 22x f x x C =++. 28．232e()2(1)xx f x x =+.29．2sin 2()xf x =.30．()()[ln ()()1]f x f x f x f x C ''-+. 31．e ln(1e )ln(1e )xxxx C --++-++.32．()ex f x C x +. 33．e ln xx C +.§2 定 积分【考试要求】 1．理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及定积分中值定理.2．掌握定积分的换元积分法和分部积分法.3．理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿 –莱布尼茨公式.4．了解反常(广义)积分的概念，会计算反常（广义）积分.一、基本概念 1．定积分定义设()f x 在[,]a b 上有定义且有界，做下述四步：（1）分割：用1n -个分点分割区间[,]a b011i ia x x x x -=<<<<；（2）作乘积：()i i f x ξ∆，其中1[,]i i i x x ξ-∈，1i i i x x x -∆=-；（3）求和：1()ni i i f x ξ=∆∑；（4）取极限：01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑，其中1max ||i i nx λ≤≤=∆，如果上述极限存在，则称()f x 在[,]a b 上可积，并称上述极限为()f x 在[,]a b 上的定积分，记作1lim ()()d nbi i ai f x f x x λξ→=∆=∑⎰.注 ()d baf x x ⎰的值与对区间[,]a b 的分法无关，与i ξ的取法无关，与积分变量用什么字母表示无关；与[,]a b 有关，与()f x 有关， 即()d ()d bbaaf x x f t t =⎰⎰.2．定积分的存在性定理设()f x 在[,]a b 上连续，或在[,]a b 上有界且只有有限个第一类间断点，则()d ba f x x ⎰一定存在．3．几何意义定积分()d baf x x ⎰表示由曲线()y f x =，,x a x b ==及x 轴所围平面图形面积的代数和．4．定积分的运算性质：（1）()d ()d a abbf x x f x x =-⎰⎰． （4）[()()]d ()d ()d bb baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.（2）()d 0aaf x x =⎰. （5）()d ()d b baakf x x k f x x =⎰⎰.（3）d bax b a =-⎰. （6）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.5．定理定理1 （定积分的比较定理）若在[,]a b 上恒有()()f x g x ≤，则()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰.推论1 若()f x 与()g x 在[,]a b 上连续，()()f x g x ≤，且至少有一点0[,]x a b ∈，使00()()f x g x <，则()d ()d bbaaf x xg x x<⎰⎰.推论2 若在[,]a b 上恒有()0f x ≥，则()d 0baf x x ≥⎰.推论3 ()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰． 定理2（估值定理）若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤，则()()d ()ba mba f x x Mb a -≤≤-⎰．定理3（积分中值定理）（1）若()f x 在[,]a b 上连续，则[,]a b ξ∃∈，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰．（2）若()f x 在[,]a b 上连续，()g x 在[,]a b 上不变号，且在[,]a b 上可积，则[,]a b ξ∃∈，使()()d ()baf xg x x f ξ=⎰⎰.定理4（变上限积分函数及其导数） 设()f x 在[,]a b 上连续，()()d xa F x f t t =⎰称为变上限积分函数，则导数为d ()()d ()()d xt x aF x f t t f t f x x ='===⎰.推论1 设()()()d x aF x f t t ϕ=⎰，则()d ()()d [()]()d x aF x f t t f x x x ϕϕϕ''==⋅⎰.推论2 设21()()()()d x x F x f t t ϕϕ=⎰，则21()2211()d ()()d [()]()[()](d x x F x f t t f x x f x x x ϕϕϕϕϕϕ'''==⋅-⋅⎰.推论3 设()()()()d x aF x f t g x t ϕ=⎰，则()()()()d x a F x g x f t t ϕ'⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦⎰()()()d ()[()](x ag x f t t g x f x ϕϕϕ''=+⎰.定理5（变上限积分函数与不定积分的关系） 设()f x 在[,]a b 上连续，则变上限积分函数()()d xaF x f t t =⎰是()f x 的一个原函数， 即()d ()d xaf x x f t t C =+⎰⎰.注：不定积分()d f x x ⎰只能作为运算符号，不能表示一个具体的原函数，特别当()f x 为一个抽象的函数时，无法用()d f x x ⎰来讨论它的某一原函数的性质；而()d xa f t t ⎰为某一确定的原函数，可以用它来讨论此原函数的性质.定理6（牛顿－莱布尼兹公式）设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()()()bb aaf x x F x F b F a ==-⎰． 6．定积分的计算方法（1） 换元法：设()f x 在[,]a b 上连续，()x t ϕ=在[,]αβ上有连续的导数，且当t 从α变到β时，()t ϕ从()a ϕα=单调地变到()b ϕβ=，则()d [baf x x f βαϕ=⎰⎰要点：换元要换限，变量不还原，不换元则不换限．（2）分部积分法：设()u x ，()v x 在[,]a b 上有连续的导数，则d d bbb aaauv x uv u v x ''=-⎰⎰或 d d b b b aaau v uv v u =-⎰⎰．注：求不定积分时适用的积分法，相应地也适用定积分的求法．7．广义积分的概念与计算 （1）无穷限的广义积分ο1 设()f x 在[,)a +∞上连续，则()d lim()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰；ο2 设()f x 在(,]b -∞上连续，则()d lim()d b baa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰；ο3 设()f x 在(,)-∞+∞上连续，则()d lim()d lim ()d bbaaa b f x x f x x f x x +∞-∞→-∞→+∞=+⎰⎰⎰．仅当等式右边的两个极限都存在时，左边的无穷限广义积分收敛，否则发散.注意： ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则()d f x x +∞-∞⎰发散.（2）无界函数的广义积分（瑕积分） ο1 设()f x 在(,]a b 上连续，lim ()x af x +→=∞， 则()d lim ()d bbaa f x x f x x εε++→=⎰⎰，x a =称为瑕点．ο2 设()f x 在[,)a b 上连续，lim ()x bf x -→=∞， 则0()d lim ()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰，x b =称为瑕点．ο3 设()f x 在[,]a b 上除点c 外均连续，lim ()x cf x →=∞，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰12120lim ()d lim ()d c bac f x x f x x εεεε++-+→→=+⎰⎰．x c =称为瑕点．仅当等式右边的极限存在时，瑕积分收敛，否则发散.注意：ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则瑕积分()d ba f x x ⎰发散.二、重要结论（1）利用定积分定义求n 项和的极限 设()f x 连续，则ο1 1()d lim ()nban k b a b af x x f a k n n →∞=--=+⋅∑⎰.ο2 111()d lim ()nn k k f x x f n n →∞==⋅∑⎰.（2）奇、偶函数的积分ο1 设()f x 连续，若()f x 为偶函数，则()d xf t t ⎰为奇函数；若()f x 为奇函数，则对任意a ，()d xaf t t ⎰为偶函数.ο2 设()f x 在[,]a a -上连续，则()d [()()]d aaaf x x f x f a x-=+-⎰⎰（3）周期函数的积分设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且以T 为周期，则ο1 202()d ()d ()d T a TTT af x x f x x f x x +-==⎰⎰⎰；ο2 0()d ()d nTT a f x x n f x x =⎰⎰；ο3 0()d ()d a nT Taf x x n f x x +=⎰⎰.即：周期函数在每个周期长度区间上的积分均相等，与起点无关．（4）常用结论ο1 ππ22(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰， 令π2x t =-；ο2 ππ00π(sin )d (sin )d 2xf x x f x x =⎰⎰， 令πx t =-；ο3 ππ2(sin )d 2(sin )d f x x f x x =⎰⎰，。
一元函数积分学公式
一元函数积分学公式在一元函数积分学中，最基本的积分公式是不定积分的基本公式和定积分的基本公式。
一、不定积分的基本公式：1.常数的积分公式：∫kdx = kx + C（其中，k为常数，C为任意常数）2.幂函数的积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C（其中，n为不为-1的常数，C 为任意常数）3.指数函数的积分公式：∫e^x dx = e^x + C（其中，C为任意常数）4.三角函数的积分公式：(1) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(2) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(3) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C(4) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C(5) ∫sec(x)*tan(x) dx = sec(x) + C(6) ∫csc(x)*cot(x) dx = -csc(x) + C5.对数函数的积分公式：∫1/x dx = ln，x， + C（其中，C为任意常数）二、定积分的基本公式：1.定积分的基本公式：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)（其中，F(x)为f(x)的一个原函数）2.牛顿—莱布尼兹公式：∫[a,b] f(x)dx = F(x)，[a,b] = F(b) - F(a)（其中，F(x)为f(x)的一个原函数）此外，还有一些特殊的积分公式：1.分部积分法：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx（其中，u(x)和v(x)是具有足够多次可导性的函数）2.替换法（换元积分法）：如果u=f(g(x)) 是g的一个原函数，则有∫f(u)du =∫f(g(x))g'(x)dx3.瑕积分的计算：当函数在积分区间上有瑕点时，可以通过分解为一般积分和瑕积分的和来计算。
4.反常积分：当函数在积分区间上不满足一些条件时，可以通过极限的概念来处理。
第三章一元函数积分学
∴
原式
a sect tan t a tan t
dt
sect d t
ln sec t tan t C1
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
t
(C C1 ln a)
当x a 时, 令 x u , 则 u a , 于是
d u ln u u2 a2
u 2 a2 C1
3.2.1 换元积分法
一、第一类换元积分法（凑微分法）
有一些不定积分, 将积分变量进行一 定的变换后, 积分表达式由于引进中间变 量而变为新的形式, 而新的积分表达式和 新的积分变量可直接由基本积分公式求 出不定积分来.
例如
想到基本积分公式
若令u＝４x, 把４x看成一个整体（新的积分变 量）, 这个积分可利用基本积分公式算出来
除法呢?
不 对, 例 如 f(x) g(x) x
３.２ 不定积分的计算
利用基本积分公式及不定积分的性质 直接计算不定积分, 有时很困难, 因此, 需要引进一些方法和技巧。下面介绍不 定积分的两大积分方法:
换元积分法与分部积分法
３.２ 不定积分的计算 3.2.1 换元积分法 3.2.2 分部积分法 3.2.3* 有理函数积分简介 3.2.4* 积分表的使用
定义2: 若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f(x)的所有原函数 F(x)＋ C 称为f(x)的 不定积分（indefinite integral）,记为
∫ f（x）dx ＝ F（x） ＋ C
其中∫ 称为积分号， x 称为积分变量 f(x)称为被积函数， C 称为积分常数 f(x)dx 称为被积表达式
2
2
x2 1 x2
dx
1 x2 arctan x 1
一元函数积分学(定积分几何应用和物理应用)
此 折 线 的 长|M i 1M i|的 极 限 存 在 ， 则 称 此 极 限 为
i 1
曲 线 弧 A的 B 弧 长 .
1. 直角坐标情形
y
设曲线弧为y f(x)
(a xb)，其中f(x)
dy
在[a,b]上有一阶连续导数
取 积 分 变 量 为 x， 在 [a,b]
o a x xdxb x
上 任 取 小 区 间 [x,xd]x ，
w02Rdw4 3gR3[(1)HR].
例12 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉 击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？
解
设木板对铁钉的阻力为
f(x)kx ,
dw f(x)d xkx, dx
第一次锤击时所作的功为
三、变力沿直线所作的功
变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、 克服阻力作功、万有引力作功、 弹力作功等.
由 物 理 学 知 道 ， 如 果 物 体 在 作 直 线 运 动 的 过 程
中 有 一 个 不 变 的 力 F作 用 在 这 物 体 上 ， 且 这 力 的 方
向 与 物 体 的 运 动 方 向 一 致 ， 那 么 ， 在 物 体 移 动 了 距
d s (d)x 2(d)y 2[2 (t)2 (t)d ])( 2t
2(t)2(t)dt
弧长
s
2(t)2(t)d.t
3. 极坐标情形
曲线弧为
rr() ()
其 中 ()在 [, ]上 具 有 连 续 导 数 .
xyrr(())scions ()
d s (d)x 2(d)y 2r2()r2()d,
《数学分析》第五章 一元函数积分学
“求出”来的．例如
∫e
± x2
dx, ∫
dx sin x ,∫ dx,∫ 1 − k 2 sin 2 x dx(0 < k 2 < 1) ln x x
等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示，因此可以说，初等函数的原函数 不一定是初等函数．即在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函 数可积。这类非初等函数可采用定积分形式来表示。
它在[0，1]上必定不可积，这是因为对任何分割 T，在 T 所属的每个小区间都有有理数与无 理数（据实数的稠密性） ，当取 {ξ i }1 全为有理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ ∆x
I i i =1 i =1
n
n
i
= 1,
当取 {ξ i }1 全为无理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x
b
x
7. 无穷限反常积分： 设函数／定义在无穷区间[ a,+∞ )上，且在任何有限区间[ a, u ]上可 积．如果存在极限
f ( x)dx = J ， u → +∞ ∫a
lim
u
(1)
则称此极限 J 为函数 f 在[ a,+∞ )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
J = ∫a f ( x)dx ，
3. 定积分： 设
f
是定义在
[a, b] 上的一个函数， J 是一个确定的实数．若对任给的正数 [a, b] 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 {ξ i } ，
≺ ε ，则称函数 f 在区间 [a , b ] 上可积或黎曼可
ε
，总存在某一正数 δ ，使得对
只要
T ≺δ
一元函数积分学
.
.
.
.
.
.
()
一元函数积分学
November 14, 2019 16 / 36
曲线的弧长
.
曲. 线的弧长
设曲线 Γ 是由方程 y = f(x)(x ∈ [a, b]) 给出的，其中 f 具有连续导
数，那么它的弧长：
∫ b√
s=
1 + f′2(x)dx
.
a
.
.
.
.
.
.
()
一元函数积分学
November 14, 2019 17 / 36
曲线的弧长
.
曲. 线的弧长
设曲线 Γ 是由极坐标方程 r = r(θ)(θ ∈ [α, β]) 给出的，其中 r(θ)
具有连续导数，那么它的弧长：
∫ β√
s=
r2(θ) + r′2(θ)dθ
.
α
.Байду номын сангаас
.
.
.
.
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()
一元函数积分学
November 14, 2019 19 / 36
曲线的弧长
.
例 (求弧长)
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()
一元函数积分学
November 14, 2019 13 / 36
旋转体的体积
.
旋. 转体的体积
设立体 Ω 是由图形：
{(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
绕 x− 轴旋转一周得到，称为旋转体。它的体积：
∫b
V = π f2(x)dx
.
a
.
.
.
.
一元函数积分学精讲
一元函数积分学精讲在微积分学中，积分是导数的逆运算。
一元函数积分学是微积分学中的一个重要内容，它研究的是单变量函数的积分。
通过学习一元函数积分学，我们可以更好地理解函数与曲线的关系，解决曲线下面积等实际问题。
本文将系统介绍一元函数积分学的基本概念、性质和计算方法。
一、不定积分1. 定义不定积分是对函数的积分常见形式之一，表示为$\\int f(x)dx$，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
不定积分的本质是求函数的一个原函数。
具体地，若F(x)是f(x)的原函数，则$\\int f(x)dx = F(x) + C$，其中C为常数。
2. 基本积分公式常数积分公式： $\\int kdx = kx + C$，其中k为常数。
幂函数积分公式： $\\int x^n dx = \\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，其中n eq−1，n为常数。
二、定积分1. 定义定积分是积分学另一重要形式，表示为$\\int_{a}^{b} f(x)dx$，表示对f(x)从a到b的积分。
定积分可以看做是曲线下面积的计算，是实际问题中常用的工具。
2. 定积分性质•定积分线性性质：$\\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]dx = \\int_{a}^{b} f(x)dx + \\int_{a}^{b} g(x)dx$•定积分区域性质：$\\int_{a}^{b} f(x)dx = -\\int_{b}^{a} f(x)dx$三、积分的应用一元函数积分学在各个领域有着广泛的应用，主要包括但不限于以下几个方面：•曲线下面积的计算•物理学中的功与能量计算•统计学中的概率密度函数与累积分布函数•工程学中的中心质心和惯性矩计算四、积分计算技巧与方法积分计算是一门深奥的学问，有许多技巧和方法可以简化计算过程，常见的包括：•换元积分法•分部积分法•三角代换法•分式分解法细致理解这些计算方法对提高积分计算效率至关重要。
一元函数的积分
一元函数的积分在微积分学中，积分是一个重要的概念，也是微积分的一个基本操作。
根据函数的定义域和性质的不同，积分可以分为定积分和不定积分，本文将着重讨论一元函数的积分。
一、定积分定积分是指确定函数在一定区间上的积分值，其符号表示为∫f(x)dx，其中 f(x) 是被积函数，dx 表示自变量的增量。
定积分的计算需要确定积分区间，并采用不同的方法进行求解。
1. Riemann积分Riemann积分是最基本的定积分方法之一。
它将区间划分成若干小区间，然后在每个小区间内选择代表值，利用这些代表值来逼近积分。
通过将小区间的长度无限逼近于零，在取极限的过程中求得定积分的值。
Riemann积分的计算方法可以采用上确界和下确界的方式，也可以使用定积分的定义进行求解。
在实际应用中，常常结合积分表和基本的积分技巧来求解定积分。
2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，包括线性性、积分下界和上界的比较、定积分的换元法和分部积分法等。
这些性质为定积分的计算提供了便利，也为求解各种实际问题提供了数学工具。
二、不定积分不定积分是指函数的原函数的一般形式。
其符号表示为∫f(x)dx =F(x) + C，其中 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，C 为任意常数。
不定积分可以理解为出现在求导运算的逆运算，即求解函数的原函数。
由定义可知，不定积分的结果还是一个函数，它与原函数相差一个任意常数。
因此，不定积分的结果通常给出一个含有 " + C " 的表达式。
对于一元函数的不定积分，可以使用一些基本的积分公式和性质来求解。
常见的不定积分公式包括幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等，通过将复杂的函数化简为基本的积分形式，再利用基本积分法求解，可以得到结果。
三、应用举例1. 面积计算定积分可以应用于求解曲线所围的面积。
以抛物线 y = ax^2 + bx + c 为例，要求其在区间 [x1, x2] 上所围面积，可以通过求解∫(x1, x2) (ax^2 + bx + c)dx 来得到。
一元函数的积分与应用
一元函数的积分与应用在微积分中，积分是函数的导数的逆运算，用于求解函数的面积、体积、平均值等问题。
本文将讨论一元函数的积分及其在实际问题中的应用。
一、不定积分不定积分是指在求解函数的原函数时所使用的积分方法。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则其不定积分记作∫f(x)dx。
不定积分的结果是一个包含常数项的函数，即可以表示为F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，而C为任意常数。
不定积分主要通过一些基本积分公式和常见的积分技巧来求解。
其中，基本积分公式包括常数函数的积分公式、幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
通过熟练掌握这些公式，可以简化积分运算的过程。
二、定积分定积分是求解函数在一个区间上的面积的方法。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则其定积分记作∫[a,b]f(x)dx。
定积分的结果是一个数值，表示函数曲线下的面积。
定积分的求解可以利用黎曼积分的定义，即将区间[a, b]等分成n个小区间，然后分别取各小区间上的一点，计算出这些小区间上的面积，并将其累加起来，当n趋向于无穷大时，即可得到函数在区间[a, b]上的定积分的近似值。
三、积分应用1. 面积计算定积分可用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
具体方法是将函数曲线下的面积分成若干个小矩形或三角形的面积，然后将这些小面积相加得到总面积。
2. 几何体体积计算通过旋转曲线可得到一些几何体，如旋转曲线所围成的旋转体、圆锥体等。
利用定积分可求解这些几何体的体积。
3. 物理问题分析在物理学中，很多问题可以用积分方法求解。
例如，通过速度函数求位移函数、通过加速度函数求速度函数等。
积分可以帮助我们进一步了解物理规律与过程。
4. 概率密度函数计算统计学中，概率密度函数是描述随机变量的概率分布的函数。
通过对概率密度函数的积分，可以计算出某个区间内随机变量的概率。
除了以上几个方面，积分还有很多实际应用。
总的来说，积分是微积分的重要内容之一，对于解决实际问题具有广泛的应用。
第三章 一元函数积分学
性质1
df ( x) f ( x) C d 即如果不考虑积分常数C, 积分号 与微分号
f ( x)dx
f ( x) C 或
重叠作用时,不论先后次序,都恰好相互抵消.
说明微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
性质2 kf ( x)dx k f ( x)dx ,其中 k 为常数.
3 23 x 3 C. 2 4
x 例11 求 sin dx. 2 1 1 2 x 解 sin dx (1 cos x)dx (1 cos x)dx 2 2 2 1 1 dx cos xdx ( x sin x) C. 2 2 2 cot xdx . 例12 求
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数. ) (2) F ( x) C包括了 f ( x的所有原函数 .
证 (1) 对于任意常数C,
( F ( x) C ) F ( x) f ( x) x I ,
F ( x) C 是f ( x)在区间 I 内的原函数.
1 故 ln x 是 在 (,0) (0,) 上的原函数. x 注意 :关于原函数的三个问题：
一是原函数的存在性 二是原函数的个数 三是原函数之间的关系
原函数存在定理： 定理1 若 f ( x)在区间 I内连续，则f ( x) 在区间 I 内 必定存在原函数。 即连续函数一定有原函数. 定理2 设函数 F ( x)和 f ( x) 定义在同一区间 I内, 则 （1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
其中C为任意常数,称为积分常数.
2 ( x 2) dx. 例1 求
.
一元函数积分学 不定积分 定积分 常数项级数 幂级数
一元函数积分学、不定积分、定积分、常数
项级数和幂级数
一元函数积分学包括不定积分、定积分、常数项级数和幂级数等内容。
1. 不定积分：一元函数的不定积分是指求出该函数在某个区间内的原函数，也就是求出一个原函数F(x)，使得F(x)在x轴上的积分等于f(x)，即∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数。
不定积分也称为原函数或不定积分函数。
2. 定积分：一元函数的定积分是指求出该函数在某个区间内的面积或曲线长度，也就是求出一个定积分值，表示为∫a b f(x)dx，其中a和b为积分区间的端点，f(x)为被积函数。
定积分也称为面积或曲线长度函数。
3. 常数项级数：常数项级数是指由若干个常数项相加组成的级数，一般形式为，其中c n表示第n项，n为自然数。
常数项级数在数学分析中有广泛应用，例如求解定积分的近似值、求解函数的极限等等。
4. 幂级数：幂级数是一类可以表示函数的无穷级数，一般形式为f(x) =，其中a_n为幂级数的系数，x为变量。
幂级数在数学分析中有广泛应用，例如求解函数的泰勒级数展开、逼近函数、函数的插值等等。
一元函数积分学总结
一元函数积分学总结引言积分是微积分学中的重要概念之一，它与微分一样具有重要的应用价值。
一元函数积分学是微积分学的核心内容之一，其研究对象是一元函数的积分与求解。
本文将总结一元函数积分学的基本概念、性质、计算方法以及应用，旨在帮助读者更好地理解和应用一元函数的积分学知识。
一元函数积分的基本概念一元函数积分的基本概念包括不定积分和定积分。
不定积分是指对一元函数进行积分，得到的结果是一个与变量x相关的函数表达式。
定积分是指对一元函数在一个区间内进行积分，得到的结果是一个数值。
不定积分的性质不定积分具有线性性、和式性、常数倍性等性质。
这些性质使得我们可以利用不定积分的基本公式进行积分运算。
此外，不定积分还具有相应的积分表，包括多种函数的不定积分表和常见函数的不定积分表。
定积分的性质定积分具有线性性、和式性、常数倍性等性质。
这些性质使得我们可以通过分割区间，将定积分转化为多个小区间上的定积分，从而进行计算。
定积分还具有保号性、中值定理等重要性质，这些性质在实际应用中起到了重要的作用。
一元函数积分的计算方法一元函数积分的计算方法主要包括换元积分法、分部积分法、有理函数积分法等。
这些方法可以根据具体的积分问题选择合适的方法进行计算，从而简化计算过程。
换元积分法换元积分法是一种通过引入新的变量来进行积分的方法。
通过选择合适的换元公式，可以将原积分化简为简单的标准积分形式，从而进行计算。
分部积分法分部积分法是一种通过对被积函数进行分部积分来进行积分的方法。
通过选择合适的分配律，可以将原积分转化为两个函数的乘积的积分形式，从而进行计算。
有理函数积分法有理函数积分法是一种通过将有理函数进行部分分式分解来进行积分的方法。
通过分解成简单的分式形式，可以利用不定积分的基本公式进行计算。
有理函数积分法适用于有理函数的积分，可以将复杂的积分问题化简为简单的有理函数积分。
一元函数积分的应用一元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。