抽象函数问题解决举例

有 给 出 函数 的具 体 解 析 式 ， 给 出 了 函 数 满 足 的 一 部 分 性 质 但 或 运 算 法 则 的 函数 ． 象 函 数 是 高 中数 学 函 数 部 分 的 难 点 ． 抽 由于 这 类 试 题 既 能 全 面地 考 查 学 生 对 函数 概 念 及 性 质 的 理 解 ， 能考查学 生的推理论证能力 ， 也 同时 ， 能 综 合 考 查 学 生 又
在 ＿ｘ ）＝ （ 厂 ｙ ， ）＋ （ ） ， （ ， ） 中 令 ＝Ｙ＝３ 得 ， ，
１
１
）＋
咒
）＝ ｊ ， ＿ 一）＝ ．
＾ ２
（） １ （ ２）
ｆ ９ ３ ＋ （ ）＝２ （） ） 厂３ ．
）＋
Ｉ
又 — ） 一 ） 所 不 式 化 ＝ ２， 给 等 可 为 ＿ ｌ 故
一
解 （） １令 ＝Ｙ＝１得 １ ＝２（ ）故 １ ＝０ ， ） ，１ ， ） ． （ ） Ｙ ， 厂 １ ＝ ） ， ） ， ２令 ＝ 得 （） ＋ （ ＝０
、
例 １ 已 知 函 数 ｆ（ 满 足 条 件 ：（ ＋ （ ）＝ ， ） ， ）
则 ｆｘ （ ）＝ ．
的 的取 值 范 围．
分 析 因为 对 于 任 意 ， ０ ＋ 。 都 有 ｆ ｘ ）＝厂 ）＋ Ｙ∈（ ， ｏ） （ｙ － （ ｆ ｙ ， （ ） 用 赋 值 法 解决 ． （）故 １可
数学学习与研究
２ １ ． ０ ０４
佰 已 知 ｆ ｏ ０ ２ （ ）＝ １ （ 。一ｂ ｆ ａ 一ｂ ２ ）＝ （ ） （ ａ—ｂ＋ １ ， ） 求＿ ） 厂 ． （ 解 令 ０＝０ 则 一 ） ，０ 一ｂ 一 ， ｂ ＝ （ ） （ｂ＋１ ＝ｂ 一６＋１ ） ，
再令 一 ， 得 厂 ＝ ＋ ＋１ ｂ＝ 即 （ ） ． 三、 利用 函数 的性 质 求 解 １ 利 用 函数 的 单 调 性 ．
，
对 于 （ ） 欲 化 去 函 数 符 号 “ ’ 应 用 单 调 性 ， 应 把 ３， 厂须 故 不 等 式 两 端 变 形 为 ｆ ｘ ）＞ｆ ｘ） 形 式 ， 键 利 用 已知 条 （ （ 的 关
件 了 ） １ ２化 为 函数 值 的形 式 ． １ ＝－ 把
对 数 学符 号 语 言 的 理 解 和 接 受 能 力 ， 往 也 是 高 考 考 查 的 重 往 点． 文 通 过 几 个 实 例 来 研 究 其 求 解 策 略 ． 本 以供 参 考 ． 直 接 利 用 给 出 函 数 的 对 称 性 求 解
故，÷ ） ） （ ＝ ．
任 取 ｌ ２ ０， 。） 且 ｌ ２ ， Ｅ（ ＋ 。 ， ＜ ，
分析 出
由 于 难 以 判 断 ｆｘ 是 何 种 类 型 函 数 ， 不 可 先 设 （） 故
） 表 达 式 ， 如 果 把 条 件 中 的 换 成 ＿＿ 即 得 － ） 的 但 ｌ， ＿ 厂 （ ＋
单化 、 体化 ， 具 最终 获解 ．
有ｆｘ＋Ｙ ＝ （ ＋ Ｙ ， 当 ＞０时 （ ） ， ） ） 又
） ＜０且， ２ ＝一 ． （） １
试 问 函数 厂 ） 区间 ［ ６ ６ 上是 否 存在 最大 值 与 最小 值 ？若 （ 在 一 ，３ 存 在 ， 出最 大 值 ， 小值 、 不 存 在 ， 说 明理 由． 求 最 若 请
ｆｘ ＋ （） 一２ ９ ， ｘｘ一２ ］≥－ ９ ， ）≥ ）即 （ ） 厂 ） （
ｆ ＞ ０，
（） １ ×２一（ ） 得 ２，
．
） ＝
ｊ பைடு நூலகம்
．
点评
充 分 抓 住 已知 条 件 式 的 结 构 特 征 ， 用 ， 的 对 运 １
所以｛ ２ ０ 一 ＞ ，
解得 ≥ １ ／ ． ＋、ｉ
．
例 ３ 已知 函 数ｆ ｘ 的定 义 域 是 （ ， ） ＞１时 厂 ＞ （） ０＋ ， （ ） ０ 且 ｘ ） ， ） ） ， ｙ ＝（ ＋ ．
（ ） 厂１ ； １ 求 （ ）
（ ） 明ｆｘ 在 定 义 域 上 是 增 函数 ； ２证 （）
（） ３ 如果 １ ）＝一 求满 足 不 等 式 １
分 析 因 为对 于 任 意 ， ∈（ 。，∞） 有 ｆｘ ｙ ＝ （） Ｙ 一 。＋ 都 （ ＋ ） ， ＋ ｙ ， 可 用 赋 值 法 解 决 函数 的奇 偶 性 ， 对 于 条 件 “ ＞０ ）故 又 当 时 ， ） ” 解决 函数 的单 调 性 ． ＜０ 可 解 （） １ 令 ＝ Ｙ＝０ 得 ０ ＝ Ｏ ， ， ） ） 故 ０ ：０ ） ． 令 Ｙ ， ｆ ｘ ） ， ＋ （ ） ， ０ ＝０ ＝ 得 （ 一 ＝ （） ｌ ： （ ） ． 厂 所 以 厂一 ） ｆｘ ， （ ） 奇 函数 ． （ ＝－（ ） 即ｆｘ 是 设 ｌ ２ ， ＥＲ， 且 １ ２贝 ｆｘ 一 ） ． ） ｆ ｘ） ＜ ，０ （２ Ｉ＝厂 ２ 一 （１ （ ． 因 ２ ｌ ， （２ １＜０ 一 ＞０ 由ｆｘ 一 ） ， 故 ｆｘ） ． ） 即 ． 是 减 函数 ， （： ＜厂 ，， 厂 ） （ （ 因此 ． 在 ［６ ＋ ｊ 厂 ） 一 ，６ 上 （
●
酶 ●
解 题 技 巧 与 方法
・
戮・
●
◎赵 福 龙
（ 东省 淄 博 第 四 中学 山
２５０ ） ５ １０
我 们 在 学 习 函数 的 性 质 以 后 ， 常 遇 到 一 类 题 目 ， 有 经 没
解 析 式 ， 没 有 图 像 ， 是 给 出 函数 的部 分 性 质 或 运 算 法 则 ， 也 只 去 讨 论 这 类 函数 的其 他 性 质 ． 类 题 目往 往 给 同 学 们 带 来 一 这 定 困 惑 ， 从 下 手 ． 们 先 把 这 种 函数 称 为 抽 象 函数 ， 无 我 即指 没
，
有最大值和最小值．
） － 一（ 厂
） ２ ≥
最， 值 为ｆ（ ）＝ｆ ４）＋厂 ２）＝３（ Ｊ 、 ６ （ （ ｆ ２）＝一 ３，
最 大 值为 厂一 （ ６）＝ 一厂６ ＝３ （） ． 通 过 前 几 个 实 例 ，不 难 发 现 对 于解 决 抽 象 函数 问 题 ， 关 键 是 用 好 所 给 的 条件 和 运 算 法 则 ， 紧 紧 围 绕 函 数 的单 调 性 、 奇 偶性 、 期 性 等 性 质 解 答 相 关 问 题 ． 周
对 于 （ ） 证 明ｆ ｘ 是 单 调 增 函 数 ， 定 义 证 明 ， ＞ ２要 （） 用 时 （ ，＞ ｘ） 应 充 分 应用 ＞１ ） ｆ（２， 时 ） ＞０这 一 条 件 来 构 造
・ ・
） 厂 ＝（ ‘
ｚ ＝ｆ １） ｆｘ） ） （ ｘ ＋ （２・
，
＞１ ． （ １） ，・ Ｘ） ｆｘ） ’・ ＞０ ・ １ ＞ （２・ ． ｘ ｆ ・
） 为 一 个 整 量 ， 际 上 得 到 了 这 两 作 实
个 量 的方 程 组 ．
解 用 代 换 条 件 方 程 中 的 ， ／ ＿ 得 （Ｉ）＋ ＿
把它与原条件式联立 ， 即得
ｆ
ｊ
） ， ＝
（ 由 ， ＝１ ＝ （ ，厂 ） １ ３ 于 （ 一， ｝）－３ 故 （ ＝． ） ｝） 而 ｆ） ３
） ＝ ， 把 ）
２， １
贝 ： 一 （。 ＝ ： ＋ （ ） 丝 ） Ｕ ） 厂 ） ） ＿ ＝ 厂 ， 由 于 Ｘ ＞１故 堕 ） ， 而 ＿ ） ， ） ２ ， ＞０ 从 厂 ２ ＞ （１ （ ． 所 以 ｆｘ 在 （ ， ） （ ） ０ ＋ 上是 增 函数 ．
１ 一 ２ （ ）≥ ９．
称性求解．
二 、 值 法求 解 赋
因此 ， 取 值 范 围 是 『 ＋、 １ ，。］ 的 １ ／ ０ ＋ 。 ２ 利 用 函 数 的 奇 偶 性 ．
例 ４ 设 函 数 ） 的定 义 域 为 Ｒ， 于 任 意 的 实 数 ， 对 Ｙ都
此 类 题 解 法 依 据 是 ： 果 一 个 函 数 关 系式 中 的 变 量 对 某 如 个 范 围 内 的一 切 都 成 立 ，则 该 范 围 内 的 某 些 特 殊 值 必 成 立 。 结 合 题 设 条 件 的 结 构 特 点 。 变 量 适 当取 值 ， 而 使 问题 简 给 从