第5章 波动学基础
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YS u( x dx , t ) u( x , t ) u YS ( S dx ) 2 x x t
2 2 2u 2 u a 0 t 2 x 2
A
化简得 其中
a Y
课堂讨论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (解释方案)
波动学基础·动力学方程 5.2.2 波动动力学方程求解 在无界空间中，动力学方程的解为
x
dx
称微元伸长量与原长之比为相对伸长量
x x+dx B u A C u+du B C x
u( x dx , t ) u( x , t ) u( x , t ) ux dx x
A
x
波动学基础·动力学方程
x x+dx B u A C u+du B C x
由牛顿第二定律，微元满足的动力学方程为
2π T 2π v T
2π k k0
波矢
u( x , t ) A cost kx
波动学基础·机械波概述 讨论
u( x , t ) A cost kx
• 描述一个机械波，需要确定 A，，k，
• 波函数给出任意时刻 t，媒质各质点的振动状态 (相位或振动状态) • 波函数给出了任意时间段 t=t2-t1 媒质各质点振动状态差
1.0 1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
x
-0.5
x
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.5
-1.0
-1.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
t+
t+
波长、频率、相位之间的普适关系
v T
波动学基础·机械波概述 例5.1.1：直线右行平面简谐波 v= 20 m/s，A 点的振动方程 y =3 cos4t 求：(1) 以A为坐标原点的波动方程 (2)以B为坐标原点，写出波动方程
2 2 y 2 y a f ( x, t ) t 2 x 2
(2) 杆中纵波方程
设杆的质量密度为 ，杨氏模量为Y，横截面积为S，t 时刻dx微元两端 点偏离平衡位置的距离分别为 u(x,t) 和 u(x+dx,t)，那么，微元伸长量为
u( x dx , t ) u( x , t ) u( x , t ) dx ux x
v x
振 动 方 向
o
x
u(0, t ) A cos(t )
t 时刻 x 处的质元振动相位
(t x )
v
t 时刻 x 处的质元振动频率应当等于振源的频率
x u( x , t ) A cos t A cos t x v v
u( x , t ) A cos( t x ) A cos ( t x ) v v
验证
2 u( x , t ) 2 x) A cos ( t v t 2
2 2 u( x , t ) x) A cos ( t v x 2 v2
波动学基础·机械波概述 A 波线与波面、波前一定垂直。 B 波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程 课堂讨论：波前的相位等于波源的初相位 证明：设振源的简谐振动为 时刻 t 振源的相位为
x A cos( t 0 )
( t ) t 0
设机械波传到波前所需时间为 t，波前的相位比振源相位落后 t 于是，t 时刻波前的相位为
u(0, t ) A cos[2π ( t t ) π ] 2
u( x , t ) A cos[2π ( t t ) x π ] v 2
(6) 描述机械波的几何参量 波线：波向外传播的方向构成的曲线 波线上任意一点的切线方向与该点波的传播方向相同 波矢：表示波线任意点方向，且具有一定模值的矢量 k 2 π k0 波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面 波前：某时刻介质中刚开始振动的点构成的曲面
A i B
D i
C
(2) 波的反射与折射 课堂讨论：用惠更斯原理证明波的反射与折射定律
波动学基础·波的干涉、驻波 5.5.2 波的叠加原理、波的干涉 (1) 波的叠加原理 • 各列波相遇后它们各自原有的特点独立继续传播； • 在各列波相遇的区域里，质点的振动为各列波在该点引起振动的叠加
2 2 y 2 y v 0 t 2 x 2
a T v
对比
2u a 2 2u 0 t 2 x 2
波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度
波动学基础·动力学方程 绳的微振动横波 杆的纵向微振动波 杆的横向微振动波
a T
T：绳的张力 Y：杨氏弹性模量 G：切变弹性摸量
(2) 以B为坐标原点，写出波动方程
u( x , t ) 3 cos[4π( t AB ) 4π x ] 3 cos(4πt π πx ) v 20 5
波动学基础·机械波概述 (3) 以B为坐标原点，C、D 两点的振动方程及振动速度表达式
u( xc , t ) 3 cos(4πt 13π ) 5 u( x D , t ) 3 cos(4πt 9π ) 5
波动学基础·机械波能量 (5) 简谐波的能流密度 (波的强度)
能流： 单位时间通过介质中与传播速度垂直的某一面积的能量 p v s
平均能流：单位时间通过介质中与传播速度垂直的单位面积的能量 p ( v ) s 能流密度 (坡印亭矢量) 平均能流密度矢量 对平面简谐波
波动学基础·机械波概述 (5) 描述机械波的解析参量 波长 ()：沿波传播直线上两个相邻同相点 (相位差为2) 之间的距离
~)：波长的倒数称为波数或单位长度所包含的完整波的数目 波数 (
频率()：单位时间内给定的完整波的个数
周期(T)：传递一个完整波所需的时间或频率的倒数 波速(v)：单位时间波向4πt 13π ) 5 v( x D , t ) 12π sin(4πt 9π ) 5
例5.1.2：平面波沿 x 轴正向传播，振幅为A，频率为ν，波速为 v ， 设 t=t′时波形如图
1.0
0.5
求：(1) x=0 处质点的振动方程
0.0
(2) 该波的波动方程 解：已知 A
C 8m B 5m A 9m D
(3) 以B为坐标原点，C、D两点的振动方程及振动速度表达式 解： (1) 由 y 3 cos 4πt 依简谐波标准方程 波函数为 A=3，=4，=0， k 4π v 20
u( x , t ) A cost kx
u( x , t ) 3 cos(4πt 4π x ) 3 cos(4πt πx ) 20 5
x
-0.5
-1.0
2π
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t+
u(0, t ) A cos( t ) u(0,0) 0
cos(2π t ) 0 2π t π , 3π 2 2
平面波沿 x 轴正向传播
波动学基础·机械波概述
v dx 2π A sin(2π t ) 0 π 2π t dt 2 k 2 π v
波动学基础·机械波能量 (3) 机械波的能量
1 1 x u 1 2 2 2 2 E k mv V V A sin t 2 2 t 2 v
2
1 1 x 2 2 2 2 E p ( 弹性模量（应变） ) V＝ V A sin ( t ) 2 2 v
平均能量密度
1 1 dt 2 A2 T 0 2
T
波动学基础·机械波能量
平均动能、势能能量密度 讨论： 机械波的能量传输特性 A 关于能量守恒
k p
1 2
• 机械波能量、能量密度是时间的函数，不是守恒量；
• 机械波在一个周期内的平均动能、势能和总能量守恒；
• 机械波能够向外传输； B 关于能量传输特性 • 机械波能量密度传输速度仍为 v，但频率是机械波频率的 2 倍； • 介质微元的动能、势能和能量密度同步传输；
(t ) (t ) t ( t 0 ) t 0
波动学基础·动力学方程 5.2 波动动力学方程 5.2.1 典型波动的动力学方程 (1) 轻质、柔弦的横波方程 由牛顿定律
2 y T2 sin 2 T1 sin 1 ds 2 t
T2 cos 2 T1 cos 1 0
(2) 机械波的势能 弹性模量 Y 类比弹簧
F Y u F Ys u s x x
F kx
1 E p kx 2 2
1 Ys u u2 Y (V ) Ep 2 x 2 x
2
1 1 x 2 E p ( 弹性模量（应变） ) V＝ V 2 A2 sin2 ( t ) 2 2 v
力学 · 波动学基础
授课教师 杨宏春
力学·内容结构 力学的内容结构体系
波动学基础·机械波概述 5.1 机械波概述
(1) 相关概念
机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波 形成条件：存在波源；存在传播波的弹性介质 纵波：振动方向与波的传播方向相同的波 横波：振动方向与波的传播方向互相垂直的波
传输条件：纵波可在固、液、气等媒质中传播，横波只在固态媒质中传播
a Y
a G a B
声音在空气中传播
B：体变模量
波动学基础·机械波能量 5.3 机械波的能量、能量密度和能流密度
x
(1) 机械波的动能 设简谐波
x+dx
x
u( x , t ) A cos(t
v
x)
2
u(x,t)
u(x+dx ,t)
微元动能
1 1 x u 1 E k mv 2 V V 2 A2 sin2 t 2 2 t 2 v
I v
I v
1 2 2 I A v 2
课后作业：练习p180-182，例5.4.1-例5.4.3 5.4 声波、超声波和次声波 (自学章节)
波动学基础·波的干涉、驻波 5.5 波的干涉、驻波
5.5.1 惠更斯原理、波的反射与折射
(1) 惠更斯原理 • 任一时刻波前上各点都可作为子波的波源，向前发出子波； • 后一时刻各子波的包迹，就是该时刻新波的波前；
x E E k E p V 2 A2 sin2 t v
(4) 机械波的能量密度
dE x 1 x 2 A2 sin2 t 2 A2 1 cos 2 t dV v 2 v
波动学基础·机械波概述 (2) 机械波产生的物理机制
波是振动质点带动邻近质点振动，由近及远向外传递振动的结果
结论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (3) 机械波模型 • 振源与观察者保持相对静止 • 弹性介质无阻尼或能量吸收——波在传递过程中振幅不变
波动学基础·机械波概述
y
(4) 机械波的运动学方程 目标：给出距振源任意距离 x 处质点的振动方程 推导：设 t 时刻 x=0 处的质元振动方程为
微振动时
cos 1 cos 2 1
sin 1 y x x sin 2 y x x dx
y 1 T1 x
2 2 y 2 y 2 a 2 0 t x
2
T2
a T
x+dx
x
波动学基础·动力学方程 如果弦在振动过程中还受到力密度 (F/) 为 f(x,t) 的横向外力，则
2 2 2u 2 u a 0 t 2 x 2
A
化简得 其中
a Y
课堂讨论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (解释方案)
波动学基础·动力学方程 5.2.2 波动动力学方程求解 在无界空间中，动力学方程的解为
x
dx
称微元伸长量与原长之比为相对伸长量
x x+dx B u A C u+du B C x
u( x dx , t ) u( x , t ) u( x , t ) ux dx x
A
x
波动学基础·动力学方程
x x+dx B u A C u+du B C x
由牛顿第二定律，微元满足的动力学方程为
2π T 2π v T
2π k k0
波矢
u( x , t ) A cost kx
波动学基础·机械波概述 讨论
u( x , t ) A cost kx
• 描述一个机械波，需要确定 A，，k，
• 波函数给出任意时刻 t，媒质各质点的振动状态 (相位或振动状态) • 波函数给出了任意时间段 t=t2-t1 媒质各质点振动状态差
1.0 1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
x
-0.5
x
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.5
-1.0
-1.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
t+
t+
波长、频率、相位之间的普适关系
v T
波动学基础·机械波概述 例5.1.1：直线右行平面简谐波 v= 20 m/s，A 点的振动方程 y =3 cos4t 求：(1) 以A为坐标原点的波动方程 (2)以B为坐标原点，写出波动方程
2 2 y 2 y a f ( x, t ) t 2 x 2
(2) 杆中纵波方程
设杆的质量密度为 ，杨氏模量为Y，横截面积为S，t 时刻dx微元两端 点偏离平衡位置的距离分别为 u(x,t) 和 u(x+dx,t)，那么，微元伸长量为
u( x dx , t ) u( x , t ) u( x , t ) dx ux x
v x
振 动 方 向
o
x
u(0, t ) A cos(t )
t 时刻 x 处的质元振动相位
(t x )
v
t 时刻 x 处的质元振动频率应当等于振源的频率
x u( x , t ) A cos t A cos t x v v
u( x , t ) A cos( t x ) A cos ( t x ) v v
验证
2 u( x , t ) 2 x) A cos ( t v t 2
2 2 u( x , t ) x) A cos ( t v x 2 v2
波动学基础·机械波概述 A 波线与波面、波前一定垂直。 B 波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程 课堂讨论：波前的相位等于波源的初相位 证明：设振源的简谐振动为 时刻 t 振源的相位为
x A cos( t 0 )
( t ) t 0
设机械波传到波前所需时间为 t，波前的相位比振源相位落后 t 于是，t 时刻波前的相位为
u(0, t ) A cos[2π ( t t ) π ] 2
u( x , t ) A cos[2π ( t t ) x π ] v 2
(6) 描述机械波的几何参量 波线：波向外传播的方向构成的曲线 波线上任意一点的切线方向与该点波的传播方向相同 波矢：表示波线任意点方向，且具有一定模值的矢量 k 2 π k0 波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面 波前：某时刻介质中刚开始振动的点构成的曲面
A i B
D i
C
(2) 波的反射与折射 课堂讨论：用惠更斯原理证明波的反射与折射定律
波动学基础·波的干涉、驻波 5.5.2 波的叠加原理、波的干涉 (1) 波的叠加原理 • 各列波相遇后它们各自原有的特点独立继续传播； • 在各列波相遇的区域里，质点的振动为各列波在该点引起振动的叠加
2 2 y 2 y v 0 t 2 x 2
a T v
对比
2u a 2 2u 0 t 2 x 2
波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度
波动学基础·动力学方程 绳的微振动横波 杆的纵向微振动波 杆的横向微振动波
a T
T：绳的张力 Y：杨氏弹性模量 G：切变弹性摸量
(2) 以B为坐标原点，写出波动方程
u( x , t ) 3 cos[4π( t AB ) 4π x ] 3 cos(4πt π πx ) v 20 5
波动学基础·机械波概述 (3) 以B为坐标原点，C、D 两点的振动方程及振动速度表达式
u( xc , t ) 3 cos(4πt 13π ) 5 u( x D , t ) 3 cos(4πt 9π ) 5
波动学基础·机械波能量 (5) 简谐波的能流密度 (波的强度)
能流： 单位时间通过介质中与传播速度垂直的某一面积的能量 p v s
平均能流：单位时间通过介质中与传播速度垂直的单位面积的能量 p ( v ) s 能流密度 (坡印亭矢量) 平均能流密度矢量 对平面简谐波
波动学基础·机械波概述 (5) 描述机械波的解析参量 波长 ()：沿波传播直线上两个相邻同相点 (相位差为2) 之间的距离
~)：波长的倒数称为波数或单位长度所包含的完整波的数目 波数 (
频率()：单位时间内给定的完整波的个数
周期(T)：传递一个完整波所需的时间或频率的倒数 波速(v)：单位时间波向4πt 13π ) 5 v( x D , t ) 12π sin(4πt 9π ) 5
例5.1.2：平面波沿 x 轴正向传播，振幅为A，频率为ν，波速为 v ， 设 t=t′时波形如图
1.0
0.5
求：(1) x=0 处质点的振动方程
0.0
(2) 该波的波动方程 解：已知 A
C 8m B 5m A 9m D
(3) 以B为坐标原点，C、D两点的振动方程及振动速度表达式 解： (1) 由 y 3 cos 4πt 依简谐波标准方程 波函数为 A=3，=4，=0， k 4π v 20
u( x , t ) A cost kx
u( x , t ) 3 cos(4πt 4π x ) 3 cos(4πt πx ) 20 5
x
-0.5
-1.0
2π
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t+
u(0, t ) A cos( t ) u(0,0) 0
cos(2π t ) 0 2π t π , 3π 2 2
平面波沿 x 轴正向传播
波动学基础·机械波概述
v dx 2π A sin(2π t ) 0 π 2π t dt 2 k 2 π v
波动学基础·机械波能量 (3) 机械波的能量
1 1 x u 1 2 2 2 2 E k mv V V A sin t 2 2 t 2 v
2
1 1 x 2 2 2 2 E p ( 弹性模量（应变） ) V＝ V A sin ( t ) 2 2 v
平均能量密度
1 1 dt 2 A2 T 0 2
T
波动学基础·机械波能量
平均动能、势能能量密度 讨论： 机械波的能量传输特性 A 关于能量守恒
k p
1 2
• 机械波能量、能量密度是时间的函数，不是守恒量；
• 机械波在一个周期内的平均动能、势能和总能量守恒；
• 机械波能够向外传输； B 关于能量传输特性 • 机械波能量密度传输速度仍为 v，但频率是机械波频率的 2 倍； • 介质微元的动能、势能和能量密度同步传输；
(t ) (t ) t ( t 0 ) t 0
波动学基础·动力学方程 5.2 波动动力学方程 5.2.1 典型波动的动力学方程 (1) 轻质、柔弦的横波方程 由牛顿定律
2 y T2 sin 2 T1 sin 1 ds 2 t
T2 cos 2 T1 cos 1 0
(2) 机械波的势能 弹性模量 Y 类比弹簧
F Y u F Ys u s x x
F kx
1 E p kx 2 2
1 Ys u u2 Y (V ) Ep 2 x 2 x
2
1 1 x 2 E p ( 弹性模量（应变） ) V＝ V 2 A2 sin2 ( t ) 2 2 v
力学 · 波动学基础
授课教师 杨宏春
力学·内容结构 力学的内容结构体系
波动学基础·机械波概述 5.1 机械波概述
(1) 相关概念
机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波 形成条件：存在波源；存在传播波的弹性介质 纵波：振动方向与波的传播方向相同的波 横波：振动方向与波的传播方向互相垂直的波
传输条件：纵波可在固、液、气等媒质中传播，横波只在固态媒质中传播
a Y
a G a B
声音在空气中传播
B：体变模量
波动学基础·机械波能量 5.3 机械波的能量、能量密度和能流密度
x
(1) 机械波的动能 设简谐波
x+dx
x
u( x , t ) A cos(t
v
x)
2
u(x,t)
u(x+dx ,t)
微元动能
1 1 x u 1 E k mv 2 V V 2 A2 sin2 t 2 2 t 2 v
I v
I v
1 2 2 I A v 2
课后作业：练习p180-182，例5.4.1-例5.4.3 5.4 声波、超声波和次声波 (自学章节)
波动学基础·波的干涉、驻波 5.5 波的干涉、驻波
5.5.1 惠更斯原理、波的反射与折射
(1) 惠更斯原理 • 任一时刻波前上各点都可作为子波的波源，向前发出子波； • 后一时刻各子波的包迹，就是该时刻新波的波前；
x E E k E p V 2 A2 sin2 t v
(4) 机械波的能量密度
dE x 1 x 2 A2 sin2 t 2 A2 1 cos 2 t dV v 2 v
波动学基础·机械波概述 (2) 机械波产生的物理机制
波是振动质点带动邻近质点振动，由近及远向外传递振动的结果
结论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (3) 机械波模型 • 振源与观察者保持相对静止 • 弹性介质无阻尼或能量吸收——波在传递过程中振幅不变
波动学基础·机械波概述
y
(4) 机械波的运动学方程 目标：给出距振源任意距离 x 处质点的振动方程 推导：设 t 时刻 x=0 处的质元振动方程为
微振动时
cos 1 cos 2 1
sin 1 y x x sin 2 y x x dx
y 1 T1 x
2 2 y 2 y 2 a 2 0 t x
2
T2
a T
x+dx
x
波动学基础·动力学方程 如果弦在振动过程中还受到力密度 (F/) 为 f(x,t) 的横向外力，则