数学讲义：相似三角形判定和性质

15、八年级数学培佳班：相似判定和性质姓名一、知识梳理（1）本单元的知识结构数学的单元复习最重要就是梳理知识，穿线结网，形成清晰的知识链，就“相似三角形”这一单元而言，其知识网络大致如图所示：一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）（平行）B （不平行）（二）8字型、反8字型BCB C（蝴蝶型）（平行）（不平行） （三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景一线三等角的变形（五）一线三直角型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展【典型例题】1．已知在平行四边形ABCD 中，AC =2AB ；求证：∠ABD =∠DAC2．已知：如图，在△ABC 中，∠ADE =∠B ，∠BAC =∠DAE ．（1）求证：ACAEAB AD =； （2）当∠BAC =90°时，求证：EC ⊥BC ．3、在Rt ABC ∆中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点,且CE =13AC ,BF =13BC . (1 )求证∶AC BC =CDBD.(2 )求EDF ∠的度数.4、如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．求证：（1）EG CGAD CD =； （2）FD ⊥DG ．EFEDC BA GF E D CBAC【三等角问题】（1）如图已知△ABC 中，AB=AC,∠APQ=∠B ，求证:△ABP ∽△PCQ变式:等边△ABC 的边长为6,点E 在AC 上,AE=2,BE 的中垂线交AB 于点P,交BC 于点F求 :BPBF的值.【重心问题】（重心问题）在∆ABC 中，矩形DEFG 的一边FG 在BC 上，点D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是BC 边上的高，BC=10，AH=6.（1）如图4，若DG=2DE ，求DE 的长；（2）如图5，对角线DF 与EG 的交点过∆ABC 的重心O ，求矩形DEFG 的面积.（面积问题）在平行四边形ABCD 中，AB=5，AD=3，平行四边形面积是10，点P 是AB 上一动点，（点P 不与点A 、点B 重合），过点P 作PQ ∥AD 交BD 于Q ，连结CQ ，设AP 的长为x ，四边形QPBC 的面积为y 。

（1）写出y 关于x 的函数解析式，并指出自变量x 的取值范围；（2）是否存在实数x ，使得BCQ BPQ S S ∆∆=？如果存在，求出x 的值；如果不存在，请说明理由。

F C AB P EQCABPBDACG F E H 图4K H 图5BA CG F E D O KDQC【易错小综合题测试】1．（相似应用）如图，是用手电来测量古城墙高度的示意图, 将水平的平面镜放置在点P 处,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，若AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，则该古城墙的高度约是 米．2. （相似性质综合）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，如果∠B =∠ACD ，AB =6cm ，AC =4cm ， 若S △ABC =36cm 2，则△ACD 的面积是 cm 2．3．（多个知识点综合）如图，在△ABC 中，AC =BC =2，∠C =900，点D 为腰BC 中点，点E 在底边AB 上，且DE ⊥AD ,则BE 的长为 .4、（分类讨论）已知在ABC ∆中，20AB =，12AC =，16BC =，点D 是射线BC 上的一点（不与端点B 重合），联结AD ，如果△ACD 与△ABC 相似，那么BD ＝ ．5、（分类讨论）菱形ABCD 边长为4，点E 在直线．．AD 上，DE =3，联结BE 与对角线AC 交点M ，那么AM:MC 的值是 .6、（相似性质综合）如图3，ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，且DE ∥AB ，DF ∥AC ，若2:1:=DC BD ，ABC ∆的面积为92cm ，则四边形AEDF 的面积为 2cm ． 7．如图4，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，且AD ⊥BD ，若AB =3，CD=1，那么A ∠的正弦值为 ．8．如图5，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DB AD 2=，EC AE =.若设=，=，则= ．（用向量、表示）9．(图形运动)已知△ABC 中，∠C=90°，AB=9，AC=6，把△ABC 绕着点C 旋转，使得点A 落在点A ’，点B 落在点B ’. 若点A ’在边AB 上，则点B 、B ’的距离为 ．P D CB A 第1题 DC B A 第2题第3题D (图3) (图4) A B C D10、（相似性质及重心）已知G 是ABC ∆的重心，点E 、D 分别是边AC AB 、的点，DE ∥BC ，且经过重心G ，如果ABC ∆的周长是30厘米，那么ADE ∆的周长是 厘米．11．（分类讨论）在ABC ∆中，040=∠ABC ，AD 是ABC ∆的高，如果ABD ∆和ACD ∆相似，那么ACB ∠的度数为 ．12．（图形运动）如图5是一张直角三角形的纸片，直角边AC ＝6cm , AB=10现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，那么DE 的 长等于 ．13、（图形运动）在△ABC 中，AB =AC ，把△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N ．如果△CAN 是等腰三角形，则∠B 的度数为___________．【回家作业】1．如图，在△ABC 中，点D、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，）（A ）EC AE DB AD =； （B）AC AEAB AD =； （C ）DB AD BC DE =； (D) ACAEBC DE =．2） （A ）两个等边三角形一定相似；（B ）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；(C)有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似； (D)两个全等三角形一定相似. 3、如图，△ABC 中，高AD 、BE 相交于点F 。

在该图形中，相似三角形共有（ ） A 、3对； B 、4对； C 、5对； D 、6对。

4．如图，△ABC 中，D 是边BC 的中点，BA a =，AD b =，那么BC 等于…（ ）.（A ）a +b； （B ）12（a +b ）； （C ）2（a +b ）； （D ）—（a +b ）．5．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ， 若 3:1:=AC AE ， 则DBC DEC S S ∆∆:等于………………（ ）.（A ）2:1； （B ）3:1； （C ）4:1； （D ）5:1．A B CDE图5(第5题图)A BC E DAD B 第4题6．如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE ⊥AB 于点E ， 将△ADE 沿DE 翻折，点M 与点N 恰好重合，则AE:BE 等于………………（ ） (A) 2:1； (B) 1:2；(C) 3:2； (D) 2:3． 7．如果53x y y +=，那么=yx _________． 9．已知线段=AB 2cm ，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >PB ，则线段AP = ．10．一个钢球沿坡比为3:1=i 的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是_________米． 11．如图，点G 是△ABC 的重心，GH ∥AC 交BC 于点H ，若GH ＝2，那么AC ＝ .12．如图，D 、E 两点分别在AC 、AB 上，且DE 与BC 不平行，请填上一个．．你认为合适的条件： ，使得△ADE ∽△ABC .13．如图，已知E 是矩形ABCD 的边AD 上的点， 3:1:=ED AE ，CE 与BA 的延长线交于点F .如果1=∆AEF S ，那么=ABCD S 四边形 .14．已知△ABC 中，AB=AC ， 1cos 4B =，BC=2B 落在边AB 上的点E 的位置，则 AE = 。

15．如图，ABC Rt ∆中，90=∠ACB ，6=AC ，8=BC ，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上一动点（点P 不与B 、C 重合），若以D 、C 、P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则线段=PC . 16、如图，矩形DEFG 内接于锐角ABC ∆，AH 是BC 边上的高，AH =6，BC =12， （1）若EF GF 2=，求矩形DEFG 的面积；（2）若y S x GF D EFG ==,，求y 与x 的函数解析式，并写出其定义域.CABDG C B A 第11题 AB C DE 21 第12A BD CE F 第13题(第15题图)Q P CBA（22题）17． 如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于点F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．求证：ABF COE △∽△．18．如图：ABC ∆中，AB=5,BC=3,AC=4,PQ ∥AB ，点P 在AC 上，（与点C 不重合），点Q 在BC 上。

（1）PQC ∆的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长（2）PQC ∆的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长19\如图12，△ABC 是等边三角形，且AD ED BD CD ⋅=⋅． （1）求证：△ABD ∽△CED ；（2）若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．20、如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝5，3tan 4DBC ∠=．E 为射线BD 上一动点，过点E作EF ∥DC 交射线BC 于点F ．联结EC ，设BE = x ，ECFBDCS y S ∆∆=． （1）求BD 的长； （2）当点E 在线段BD 上时，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）联结DF ，若△BDF 与△BDA 相似，试求BF 的长．BA DE C OF(第21题图)(图12)【四边形复习】1．已知一个多边形的每个内角都是140度，那么它是_______边形．2. 已知菱形ABCD 中，边长AB =4，∠B =30°，那么该菱形的面积等于_________．3. 梯形的中位线长8cm ，高10cm ，则这个梯形的面积为________cm 2．4. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ,︒=∠90A ，cm AD 10=，cm DC 13=,cm BC 15=,则=AB cm.5. “顺次联结四边形四条边中点的四边形是矩形”是 事件（填“必然”或“随机”）．6. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC ⊥BD ，若AD =2cm ，BC =4cm ，则该梯形的面积为 cm 2．7 如图，平面直角坐标系中，O 为原点，已知正方形OABC ，若点A 的坐标为（3，4）， 则点B 的坐标为_____________．8．已知菱形的边长为10，一条对角线长为16，那么另一条对角线长为 ．9．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD ，那么四边形ABCD的形状是 ．10．如图，有甲乙两张纸条，甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，将这两张纸条随意交叉重叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD ，那么AB 与BC 的数量关系是 .11．已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，那么AED ∠的度数是 ．A DB C(第4题)(第6题)(第7题)B C EF 第25题图ADBA D备用图11．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝45°，将菱形ABCD 绕点A 旋转45°，得到菱形111D C AB ，其中B 、C 、D 的对应点分别是111D C B 、、，那么点1C C 、的距离为 ．12.下列命题中，判断正确的个数为…………………………………………………………（ ） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． （A ） 4个 ； (B)3个 ； (C)2个 ； (D) 1个．13. 如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ， OE ⊥BD 交AD 于E ， 则△ABE 的周长为……………………………………………（ ） (A)10cm ； (B)20cm ；(C)5cm ； (D)15cm ． （第6题图）14 已知：如图，在△ABC 中，M 是边AB 的中点，D 是边BC 延长线上一点，BC DC 21， DN ∥CM ，交边AC 于点N ．（1）求证：MN ∥BC ；（2）当∠ACB 为何值时，四边形BDNM 是等腰梯形？并证明你的猜想．C（第11题图）ABCOEABMN（第14题图）DC（第10题图）（第15题图）15．如图，在平面直角坐标系中，函数122+=x y 的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点．（1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．【二次函数】1．抛物线1-32x y =的顶点坐标为 ；2．二次函数2)2(2--=x y 的图像在对称轴左侧部分是 ；（填“上升”或“下降”）3.写出一个对称轴为直线1-=x 的抛物线解析式是 ；4、如果抛物线2(1)23y k x x =+-+的开口向上，那么k 的取值范围为 ．5、抛物线245y x x =-+的对称轴是直线 ．6．一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，则y 关于x 的函数解析式是 ．（不写定义域）7.若将抛物线2y x =向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式是 .8.如果抛物线2(2)3y a x ax =++-的开口向上，那么a 的取值范围是 .9.若抛物线2()1y x m m =++-的对称轴是直线1x =10. 如图，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为直线1x =， 点A ， B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，若点A 的坐标 为（0，32），则点B 的坐标为 .11. 抛物线234y x x =+-的对称轴是 .12. 抛物线2y ax =(0)a <的图像一定经过第 象限13．把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是14．下列二次函数的图像中经过原点的是（ ）A ．22+=x y ；B ．x x y +=2；C ．2)1(-=x y ；D ．122-+=x x y ；15. 已知抛物线()232y ax x a =++-，a 是常数且0a <，下列选项中可能是它大致图像的是（ ▲ ）（A ） （B ） （C ） （D ）16．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分2分） 已知：抛物线2y x b x c =-++经过A （1-，0）、B （5，0）两点，顶点为P ．求：（1）求b ，c 的值；（2）求△ABP 的面积；（3）若点C （1x ，1y ）和点D （2x ，2y ）在该抛物线上，则当1201x x <<<时，请写出1y 与2y 的大小关系．17（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分已知：如图12，抛物线2445y x mx =-++与y 轴交于点C 与x 轴交于点A 、B ，（点A 在点B 的左侧）且满足OC =4OA ． 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ：（1）求抛物线的解析式及点M 的坐标；（2）联接CM ，点Q 是射线CM 上的一个动点，当△QMB 与△COM 相似时，求直线AQ 的解析式．24．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分解：（1）根据题意：C （0，4）……………………………（∵OC=4OA∴A （1-，0）………………………………………………（1分）把点A 代入得0=445m --+ ……………………………（1分） 解得16=5m………………………………………………（1分） ∴抛物线的解析式2416455y x x =-++…………………（1分） 2416455y x x =-++24362)55x =--+（ ∴ (20)M ，………………………………………………（1分） （2）根据题意得：BM=3，tan ∠CMO= 2，直线CM ：y=2-x+4（i ）当∠COM=∠MBQ=90°时，△COM ∽△QBM∴tan ∠BMQ=2BQ BM= ∴BQ=6即Q （5，6-） ……………………………………（2分）∴AQ ：1y x =-- ……………………………………（1分） （i i ）当∠COM=∠BQM=90°时，△COM ∽△BQM同理Q （13655，-） …………………………………（2分） ∴AQ ：1133y x =-- …………………………………（1分）。