题根研究 从集1

题根研究从集合{a，b}的子集说起（1）

前言课内寻“根”课外连“系”

问题1：写出二元集合H2={a，b}的所有子集.

对这个“简单”问题，相信高一的学生们可以“一挥而就”，迅速地写出答案：{ }，{a}，{b}，{a，b}，这个答案显然是正确的. 这是课本上的一道例题.

如果将问题1变“复杂”一点呢？如将“二元集合H2”变成“n元集合H n”呢？

问题2：写出H n={x1，x2，…，x n-1，x n}的所有子集.

你还能“一挥而就”吗？如果不能，则说明你对问题1的解答只停留在感性上，还没有上升到理性的高度.

从感性上升到理性，从具体展开到一般，从形象深化到抽象，这正是从初中数学到高中数学要完成的一次“飞跃”.

当这个“飞跃”实现之后，你将发现：问题1和问题2是同一个问题的两个方面：问题1是问题2的“题根”；问题2是问题1的“题系”.

一、由2到3 看清“递推法”

写出H2={a,b}所有子集，是高中数学的第3例，在对应的练习中，要求写出H

={a,b,c}的所有子集.从H2到H3，你考虑过它们的关系吗？

3

［题1］试利用二元集合H2={a，b}的子集集合，写出三元集合H3={a，b，c}的子集集合.

［解析］第1步在已知的二元集合H2的子集三角阵（左）中，依次添入第3个元素c得到一个新的三角阵（右）：

第2步将新的三角阵“下移”一行，与原三角阵错位相并，即得H3={a,b,c}的子集三角阵：

{ }

{a},{b},{c}

{a,b},{a,c},{b,c}（注：黑体所示，为新并上去的三角阵）

{a,b,c}

［答案］三元集合H3={a，b，c}的所有子集是：{ }、{a}，{b}、{a，b}；{c},{a,c}，{b，c}、{a，b，c}一共8个.

［说明］由2到3，用的是“递推法”，即用H2 = {a，b}的所有子集，推出H3={a,b,c}的所有子集，显然，由3到4，由4到5的问题可经过“递推”解决.

［练1］试利用H3={a,b,c}的子集集合，写出H4={a，b，c，d}的子集集合.

［解析］将H3={a，b，c}的子集写成如下的三角阵（左），然后在左边的每一个子集中依次添入第四个元素d，得一新的三角阵（右）：

两三角阵相并，可得H4的所有子集.

［答案］集合H4 = {a，b，c，d}的子集有：{ }、{a}，{b}，{c}、{a，b}，{a，c}，{b，c}、{a，b，c}；{d}、{a，d}，{b，d}，{c，d}、{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}、{a，b，c，d}

共16个子集.

[说明] 按此递推法，可由H k的所有子集，推出H k+1的所有子集.

二、由1到n看清“两分法”

七大数学思想之一的分类思想，是分析事物的基本思想，并由此产生了划分法.划分，到底将事物分成几类？子集扩展的递推给出了“两分法”.

从相反的方向看两分法，则是子集递推的“翻倍法”. 集合中每增加一个元素，其子集集合的个数则翻一倍，因此，有人称用递推法写集合的子集，是“驴子打滚——就地翻番”的操作过程.

［题2］集合H1={x1}的子集有a1=21个，H2={x1,x2}的子集有a2=22个.试求集合H n={x1,x2,…,x n}的子集个数a n.

［解析］a1=21,a2=22,a3=23,猜想a n=2n，

假设H k={x1,x2,…,x k -1，x k}的子集有a k=2 k个.

则可摆成如下的k阶子集三角阵：

在原三角阵的每个子集中，依次添入第k+1个元素，得一新的k阶三角阵.显然，

新三角阵的子集个数也为a k=2k.

将新的k阶三角阵下移一行，与原k阶三角阵错位相并（略），即得

H

={x1,x2,…,x k，x k+1}的子集三角阵.其中子集个数a k+1=a k+a k=2k+2k=2k+1.

k+1

由此可知，H n={x1,x2,…,x n}的子集个数为a n=2n.

［说明］将对象分类，是分析事物的开始，所谓的“划分法”是对事物分

类的方法，其中“两分法”又是“划分法”的基础.对于集合H n={x1,x2,…,x n}的

a

=2n个子集，在划分中用到了两分法，即2n个子集可分作两类：第1类，不含n

x

的子集，有2n-1个；第2类，含有x n的子集，也有2n-1个,并在一起为2n个.

n

［练习2］将集合H5 = {a，b，c，d，e}的子集分成两类，至少有多少种不

同的分法，试分别说明其具体的分类办法.

［解答］将集合将H5 = {a，b，c，d，e}的子集分成两类，方法至少有5种，分别是：

（1）含a的子集和不含a的子集；（2）含b的子集和不含b的子集；（3）含c的子集和不含c的子集；（4）含d的子集和不含d的子集；（5）含e的子集和不含e的子集.

以下是第（5）种分类的具体情况，H5 = {a，b，c，d，e}的子集分两类

第一类，不含e的子集，即H4 = {a，b，c，d}的子集（如下）共16个.

{ }、{a}，{b}，{c}、{a，b}，{a，c}，{b，c}、{a，b，c}；{d}、{a，d}，{b，d}，{c，d}、{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}、{a，b，c，d}

第二类，含e的子集，即在H4 = {a，b，c，d}的每个子集中依次添入第5

个元素e而得（如下）：

{e}、{a，e}，{b，e }，{c，e }、{a，b，e }，{a，c，e }，{b，c，e }、{a，b，c，e }；{d，e }、{a，d，e }，{b，d，e }，{c，d，e }、{a，b，d，e }，{a, c, d, e }，{b，c，d，e }、{a，b，c，d，e }. 共16个.

以上32个子集即是H5 = {a，b，c，d，e}的所有子集.

三、分层划分画出“树干图”

集合H3={a,b,c}的子集形成，可分为三步：第1步考查元素a，分“无和有”两种情况；第2步考查b，也分无、有两种情况；第3步，还是“无、有”两种情况. 由此引出了子集划分的“树干图”.