高三数学总复习资料
高三数学新课标总复习数列-等差数列及其前n项和
∴10×20＋ d＝15×20＋ d，
∴d＝－ .
法一：由an＝20＋(n－1)× ＝－ n＋ .
得a13＝0.即当n≤12时，an＞0，n≥14时，an＜0.
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋ × ＝130.
法二：∴Sn＝20n＋ · ＝－ n2＋ n
A．6B．7
C．12D．13
6．(2015·河北唐山一模)Байду номын сангаас项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝()
A. B.
C. D.
二、填空题
7．(2014·江西高考)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
[提醒]要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
[一题多变]
[典型母题]
已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝ .
(1)求证： 是等差数列；
(2)求an的表达式．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝ ，其中A叫做a，b的等差中项．
高中数学总复习系列之函数及其表示
高中数学总复习系列之函数及其表示第页高考调研·高三总复习·数学（理）第二章函数与基本初等函数第1课时函数及其表示第页高考调研·高三总复习·数学（理）…2018考纲下载…1．了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域．了解映射的概念在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．了解简单的分段函数并能简单应用．请注意本节是函数的起始部分以考查函数的概念、三要素及表示法为主同时函数的图像、分段函数的考查是热点另外实际问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像仍是2019年高考考查的重要内容．课前自助餐函数与映射的概念函数映射两集合A设A是两个非空数集设A 是两个非空集合对应关系：A→B 如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中有唯一的数(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则．(3)函数的表示法：解析法、图像法、列表法．(4)两个函定义域和对应法则都分别相同时这两个函数才相同．分段函数在一个函数的定义域中对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系这样的函数叫分段函数分段函数是一个函数而不是几个函数．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)f(x)＝＋(2)A＝R＝R：x→y＝表示从集合A到集合B的映射(也是函数)．(3)函数(x)的图像与直线x＝1的交点最多有2个．(4)y＝2x(x∈{1)的值域是2(5)y＝与y＝2表示同一函数．(6)f(x)＝则f(－x)＝答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√2．2018年是平年假设月份构成集合A每月的天数构成集合B是月份与天数的对应关系其对应如下：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天数 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31对照课本中的函数概念上述从A到B的对应是函数吗？又从B到A的对应是函数吗？答案是不是3．已知(x)＝m(x∈R)则f(m)等于()． D．不确定答案4．已知f(x＋1)＝x－1则(x)＝________答案x－2x5.函数y＝(x)的图像如图所示那么(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．答案[－3]∪[2，3][1][1)∪(4，5]6．(2018·衡水调研卷)函数(x)＝则()＝________；方程f(－x)＝的解是________答案－2－或1解析f()＝＝－2；当x<0时由f(－x)＝(－x)＝解得x＝－当x>0时由f(－x)＝2－x＝解得x＝1.授人以渔题型一函数与映射的概念(1)下列对A到B的映射能否构成函数？A＝N＝N：x→y＝(x－1)；＝N＝R：x→y＝±；＝N＝Q：x→y＝；＝{衡中高三·一班的同学}＝[0]，f：每个同学与其高考数学的分数相对应．【解析】①是映射也是函数．不是映射更不是函数因为从A到B的对应为“一对多”．当x ＝1时值不存在故不是映射更不是函数．是映射但不是函数因为集合A 不是数集．【答案】①是映射也是函数不是映射更不是函数不是映射更不是函数是映射但不是函数(2)下列表格中的x与y能构成函数的是()【解析】中0既是非负数又是非正数；B中0又是偶数；D中自然数也是整数也是有理数．【答案】★状元笔记★映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A 为非空数集时即成为函数．(3)高考对映射的考查往往结合其他思考题1(1)下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是________．【解析】①中：P中元素－3在M中没有象．③中中元素2在M 中有两个不同的元素与之对应．④中中元素1在M中有两个不同的元素与之对应．【答案】②⑤(2)集合A＝{x|0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}下列不表示从A到B的函数的是()：x→y＝．：x→y＝：x→y＝：x→y＝【解析】依据函数概念集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应选项不符合．(2018·湖北宜昌一中月考)已知函数(x)＝|x－1|则下列函数中与(x)相等的函数是()(x)＝(x)＝(x)＝(x)＝x－1【解析】∵g(x)＝与(x)的定义域和对应关系完全一致故选【答案】★状元笔记★判断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时才是相同函数．思考题2下列五组函数中表示同一函数的是________(x)＝x－1与g(x)＝(x)＝与g(x)＝2(x)＝x＋2与g(x)＝x＋2(u)＝与f(v)＝＝(x)与y ＝f(x＋1)【答案】④题型二函数的解析式求下列函数的解析式：(1)已知f()＝求(x)的解析式；(2)已知f(＋)＝x＋求(x)的解析式；(3)已知(x)是二次函数(x＋1)－(x)＝2x＋1且f(0)＝3求(x)的解析式；(4)定义在(0＋∞)上的函数(x)满足(x)＝()·－1求(x)的解析式．【解析】(1)(换元法)设＝t[－1]，∵f(cosx)＝＝1－(t)＝1－t[－1]．即(x)＝1－x[－1]．(2)(凑配法)∵f(＋)＝(＋)－2(x)＝x－2[2，＋∞)．(3)(待定系数法)因为(x)是二次函数可设(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)(x＋1)＋b(x＋1)＋c－(ax＋bx＋c)＝2x＋1.即2ax＋a＋b＝2x＋1解得又∵f(0)＝3＝3(x)＝x＋3.(4)(方程组法)在(x)＝2f()－1中用代替x得f()＝2(x)－1将f()＝－1代入(x)＝2f()－1中可求得(x)＝＋【答案】(1)(x)＝1－x[－1](2)f(x)＝x－2[2，＋∞)(3)f(x)＝x＋3(4)f(x)＝＋★状元笔记★函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝(x)，可将(x)改写成关于g(x)的表达式然后以x替代g(x)便得(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式可用换元法(4)方程思想：已知关于(x)与f()或f(－x)等的表达式可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组通过解方程组求出(x)．思考题3(1)若函数(x)满足f(1＋)＝求(x)的解析式．(2)定义在R上的函数(x)满足f(x＋1)＝2(x)，若当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)当－1≤x≤0时求(x)解析式．(3)已知(x)＋2f()＝x(x≠0)求(x)．【解析】(1)令1＋＝t＝t－1＝－1(t)＝(x)＝(2)当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)当－1≤x≤00≤x＋1≤1(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)而(x)＝(x＋1)＝－－当－1≤x≤0时(x)＝－－(3)∵f(x)＋2f()＝x将原式中的x与互换得f()＋2(x)＝于是得关f(x)的方程组解得(x)＝－(x≠0)．【答案】(1)(x)＝(2)f(x)＝－－(3)f(x)＝(x≠0)题型三分段函数与复合函数(1)已知函数(x)＝(x)＝x＋1则：①g[(x)]＝________；②f[g(x)]＝________．【解析】①x＜0时f(x)＝[f(x)]＝＋1；时(x)＝x[f(x)]＝x＋1.[f(x)]＝由x＋1＜0得x＜－1.由x＋1≥0得x≥－1.∴f[g(x)]＝【答案】①g[(x)]＝[g(x)]＝(2)(2018·南京金陵中学模拟)已知函数(x)＝则使得(x)≤3成立的x的取值范围是________【解析】当x≥0时－1≤3＝2当x<0时－2x≤3－2x－3≤0－1≤x<0.综上可得x∈[－1]．【答案】[－1]★状元笔记★分段函数、复合函思考题4(1)(2018·河北清苑一中模拟)设(x)＝则f(f(－1))＝________(x)的最小值是________【解析】∵f(－1)＝(－1)＋1＝2(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0.当x≥1时(x)在[1]上单调递减在[＋∞)上单调递增(x)min＝f()＝2－3<0.当x<1时(x)min＝1，∴f(x)的最小值为2－3.【答案】02－3(2)(2017·课标全国Ⅲ)设函数(x)＝则满足(x)＋f(x－)>1的x的取值范围是________【解析】当x>0时(x)＝2x恒成立当x－即x>时(x－)＝2－当x－即01恒成立．当x≤0时(x)＋f(x－)＝x＋1＋x＋＝2x＋所以－综上所述的取值范围是(－＋∞)．【答案】(－＋∞)常用结论记心中快速解题特轻松：映射问题允许多对一但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟但不允许一石三鸟！函数问题定义域优先！抽象函数不要怕赋值方法解决它！4．分段函数分段算本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素分段函数函数的解析式．通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面也要教给学生把握复习的尺度教学大纲是高考命题的依据而教材是贯彻大纲的载体研习教材是学生获取知识、能力的重要途径．从近几年的新课标高考试题可以看到高考试题严格遵循教学大纲及《高考大纲》有一定数量的试题直接源自教材这就要求我们在教学过程中要紧扣教材和大纲全面、系统地抓好对基础知识、基本技能、基本思想和方法的教学对各模块的内容要课外阅读抽象函数设函数(x)的定义域为R对于任意实数x都有f(x)＋f(x)＝2f()f()(π)＝－1则(0)＝________．【解析】令x＝x＝则f()＋f()＝2f()f(0)，∴f(0)＝1.【答案】1已知偶函数(x)，对任意的x恒有(x1＋x)＝f(x)＋f(x)＋2x＋1则函数(x)的解析式为________．【解析】取x＝x＝0所以f(0)＝2f(0)＋1.所以f(0)＝－1.因为f[x ＋(－x)]＝(x)＋f(－x)＋2x·(－x)＋1又f(－x)＝(x)，所以(x)＝x－1.【答案】(x)＝x－1【讲评】抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具(2)利用特殊值代入寻求规律和解法。
高三数学知识点教辅推荐
高三数学知识点教辅推荐数学是高中阶段的一门重要学科，对于高三学生来说尤为关键。
在备战高考的道路上，选择合适的数学教辅材料是非常重要的。
本文将向大家推荐几款适合高三学生使用的数学知识点教辅，希望对大家提高数学成绩和备战高考有所帮助。
1.《高中数学必修一》- 北师大版这是一本专门针对高中一年级学生编写的数学教辅，内容覆盖了必修一的所有知识点。
书中每个知识点都有详细的讲解和例题练习，帮助学生理解并巩固基础概念。
此外，书中还含有一些拓展思维和应用题，能够培养学生的数学思维和解决问题的能力。
2.《高中数学必修二》- 人民教育出版社版这本教辅是针对高中二年级学生编写的，同样覆盖了必修二的所有知识点。
与前一本教辅相比，该书的难度适中，引导学生从基础知识向更高层次的应用和推理进行延伸。
此外，书中的习题种类较多，涵盖了各个考点，有助于学生巩固所学知识。
3.《高中数学必修三》- 人民教育出版社版这本教辅适用于高中三年级学生，是必修三知识点的权威指导书。
该书将数学知识点分为不同章节，每个章节都有详细的讲解和大量的训练题，帮助学生全面掌握所学知识。
此外，书中还提供了一些高考真题和模拟试题，帮助学生熟悉考试形式和提高应试能力。
4.《高中数学解题技巧与方法》- 北京教育出版社版这本教辅主要介绍了高中数学中常见的解题技巧和方法，适合用来提高学生的解题能力。
书中通过一些典型例题的解题过程，详细讲解了一些重要的解题思路和技巧，如代入法、逆向思维等。
学生可以通过学习这些技巧，提高解题的效率和准确性。
5.《高考数学一轮复习资料》- 外语教学与研究出版社版这本资料是针对高考数学复习而编写的，涵盖了高中数学的所有知识点。
资料中提供了各个知识点的详细概念、考点分析和解题思路，帮助学生全面回顾所学知识。
此外，资料还包含了大量的典型例题和模拟试题，供学生进行复习和实践。
此外，书中还提供了一些高考数学应试技巧和注意事项，对于备战高考非常有帮助。
函数模型及其应用
研 动 向 考 纲 考 向
【答案】 B
切 脉 搏 核 心 突 破
菜单
高三总复习·数学(理)
提 素 养 满 分 指 导
演 实 战 沙 场 点 兵
课 时 提 升 练
高三总复习·数学(理)
提
素
[命题规律预测]
养 满
分
研
从近几年高考试题分析，对函数的实际应用问题的考 指
动
导
向 考
命题 查多以社会实际生活为背景，涉及一次函数、二次函
纲
考 向
规律 数、分段函数等模型及其最值；题型以解答题为主，
演 实
战
难度中档偏上．
沙 场
切
点
脉
预测2016年高考对函数应用题的考查仍会以二次函
兵
搏 核 心
考向 数、分段函数、指数函数模型为主，将与不等式、导
突 预测
破
数知识交汇命题.
课 时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
考向一 一次函数与二次函数模型的应用
考
演
向 利润分别为f(x)，g(x)万元，由题意可知f(x)＝k1x，g(x)＝
实 战
k2 x，其中k1，k2为常数．
切
沙 场 点
脉 搏
∴根据图象可得f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2 x(x≥0)． 兵
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2 9＝6，
解得ab＝＝－1.50，.2， c＝－2.0.
实 战 沙 场 点 兵
2022高三总复习数学 直线、平面平行的判定与性质(含解析)
直线、平面平行的判定与性质A 级——基础达标1．(2021·宁夏大学高三模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂α，则“α∥β ”是“m ∥β且n ∥β ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂α，则“α∥β ”得“m ∥β且n ∥β ”，根据面面平行的判定定理得“m ∥β且n ∥β ”不能得到“α∥β ”，所以“α∥β ”是“m ∥β且n ∥β ”的充分不必要条件．故选A ．2．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CF FB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .3．下列四个正方体中，A ，B ，C 为所在棱的中点，则能得出平面ABC ∥平面DEF 的是( )解析：选B 在B 中，如图，连接MN ，PN ，∵A ，B ，C 为正方体所在棱的中点，∴AB ∥MN ，AC ∥PN ，∵MN ∥DE ，PN ∥EF ，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF.4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝()A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25解析：选D∵平面α∥平面ABC，∴AB∥平面α.又∵平面α∩平面PAB＝A′B′，∴A′B′∥A B．∵PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴A′B′∶AB＝2∶5，∴S△A′B′C′S△ABC＝⎝⎛⎭⎫A′B′AB2＝425，故选D.5．(多选)(2021·山东济南质检)下列四个命题中正确的是()A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行B．过直线外一点有无数个平面与这条直线平行C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行D．过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行解析：选BC A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行或相交，故A错误；B．过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，过这条直线有无数个平面与已知直线平行，故B正确；C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线在同一平面内，故C 正确；D．过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行，当此点在其中一条直线上时平面最多只能与另一条直线平行，故D错误．故选B、C．6.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是()A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面BC1D1C．FG∥平面BC1D1D．平面EFG∥平面BC1D1解析：选AC连接AD1、A1C1(图略)，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故A项正确；因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故B项错误；因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故C项正确；因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG 与平面BC1D1相交，故D项错误．故选A、C．7.(2021·浙江省镇海中学高三模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC．又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2.答案： 28．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．答案：平行四边形9．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③10．在正四面体S -ABC 中，M ，E ，F 分别是SA ，AB ，AC 的中点，当点P 在线段EF 上运动时，直线MP 与平面SBC 的位置关系是________．解析：连接ME ，MF (图略)，因为M ，E ，F 分别是SA ，AB ，AC 的中点，所以ME ∥SB ，MF ∥SC ，而ME ∩MF ＝M ，SB ∩SC ＝S ，ME ，MF ⊂平面MEF ，SB ，SC ⊂平面SBC ，所以平面MEF ∥平面SBC ，又点P 在线段EF 上，即MP 在平面MEF 内，所以由面面平行的性质定理可得MP ∥平面SBC ，故直线MP 与平面SBC 的位置关系是平行．答案：平行11.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ；(2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ，因为OG綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ，EG ⊄平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ，所以四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12.如图所示，四棱锥A -BCDE 中，BE ∥CD ，BE ⊥平面ABC ，CD＝32BE ，点F 在线段AD 上． (1)若AF ＝2FD ，求证：EF ∥平面ABC ；(2)若△ABC 为等边三角形，CD ＝AC ＝3，求四棱锥A -BCDE 的体积．解：(1)证明：取线段AC 上靠近C 的三等分点G ，连接BG ，GF .因为AG AC ＝AF AD ＝23， 则GF ＝23CD ＝BE . 而GF ∥CD ，BE ∥CD ，故GF ∥BE .故四边形BGFE 为平行四边形，故EF ∥BG .因为EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，故EF ∥平面ABC ．(2)因为BE ⊥平面ABC ，BE ⊂平面BCDE ，所以平面ABC ⊥平面BCDE .所以四棱锥A -BCDE 的高即为△ABC 中BC 边上的高．易求得BC 边上的高为32×3＝332. 故四棱锥A -BCDE 的体积V ＝13×12×(2＋3)×3×332＝1534. B 级——综合应用13．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 则以上说法中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C连接PM(图略)，因为M，P分别为AB，CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以四边形PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P，故①正确．显然A1M与B1Q为异面直线，故②错误．由①知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M既不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，所以A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1，故③④正确．则正确说法的个数为3，故选C．14．(多选)(2021·高密市高三模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1＝1，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个选项，其中正确的为() A．若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个B．若PD＝3，则点P的轨迹是一段圆弧C．若PD∥平面ACB1，则DP长的最小值为2D．若PD∥平面ACB1，且PD＝3，则平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为9π4解析：选ABD如图，∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，∴B1D1＝22，又侧棱AA1＝1，∴DB1＝(22)2＋12＝3，则P与B1重合时PD＝3，此时P点唯一，故A正确；∵PD＝3∈(1,3)，DD1＝1，则PD1＝2，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确；连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值为(2)2＋12＝3，故C错误；由C知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为1222＋22＋12＝32，面积为9π4，故D正确．故选A、B、D.15．(2021·烟台模拟)如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．(1)求证：当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD；(2)“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由．解：(1)证明：在平面图形中，连接MN(图略)，设MN与AB交于点G.当点F，A，D不共线时，如图，MG∥AF，NG∥AD.又MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，∴平面GNM∥平面ADF.又MN⊂平面GNM，∴MN∥平面ADF.故当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.(2)这个结论不正确．要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点．理由如下：当点F，A，D共线时，如题图，∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AD＝AF，∴AD∥BE且AD＝BE，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥D B．又AM＝DN，∴四边形ADNM是平行四边形，∴MN∥AD，∴MN∥FD.当点F，A，D不共线时，由(1)知平面MNG∥平面FDA，则要使MN∥FD 总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可．若要使FD与MN共面，连接FM(图略)，只要FM与DN相交即可．∵FM⊂平面ABEF，DN⊂平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴若FM与DN相交，则交点只能为点B，此时只有M，N分别为AE，DB的中点才满足．由FM∩DN＝B，可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面．∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平面MNG∥平面FDA，∴MN∥FD.C级——迁移创新16.如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析：选C过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN.∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵MQ AQ ＝DD1AD＝2，∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．故选C．。
高三数学基础必考总复习资料大全
高三数学基础必考总复习资料大全高考考查数学知识中蕴含的数学思想与方法和数学知识更高层次的抽象与概括。
下面是小编为大家整理的关于高三数学基础必考总复习资料，希望对您有所帮助!高三数学基础复习1.集合的含义与表示(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系;(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用;2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义;3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二.【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
预测20__年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。
具体题型估计为：(1)题型是1个选择题或1个填空题;(2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用三.【要点精讲】1.集合：某些指定的对象集在一起成为集合(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作;若b不是集合A的元素，记作 ;(2)集合中的`元素必须满足：确定性、互异性与无序性;确定性：设A是一个给定的集合，_是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立;互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素;无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关;(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内;描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
2023年高三数学知识点
2023年高三数学知识点
2023年高三数学知识点包括：
1.函数：复合函数、反函数、奇函数、偶函数、幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等。
2.三角函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等。
3.数列：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
4.概率与统计：概率论、统计学、假设检验等。
5.几何：平面几何、立体几何、解析几何等。
6.复数：复数的实部、虚部、模、共轭复数等。
7.算法与程序：顺序结构、分支结构、循环结构等。
8.导数与微积分：导数的定义、微分、积分等。
9.数据结构：数组、链表、栈、队列、树等。
10.线性代数：矩阵、向量、线性方程组、特征值等。
11.数学证明：逆定理、合情推理、数学归纳法等。
12.其他：数论、组合数学、图论等。
以上是2023年高三数学的主要知识点，每个知识点都有其对应的重点与难点，需要学生在学习过程中逐步深入理解和掌握。
新人教版高三数学专题总复习Word完整版.doc
新人教版高三数学专题总复习Word完整版2018年高考数学复习专题专题一集合、逻辑与不等式集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N* (2)0{－1，1} (3)∈{0}∉∅(4){0} (5){0}∈{0，1} (6){0}{0}∅∉⊆其中正确的关系是______．解答：(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作；N 表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．∅2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，记作：aA．∉3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集．记作：AB 或BA ．⊆⊇如果集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A ，那么，集合A 叫做集合B 的真子集．AB 或BA ．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：AA ；⊆②空集是任何集合的子集：A ；∅⊆提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果AB ，BC ，则AC ；如果AB ，BC ，则AC ．⊆⊆⊆例2 已知全集U ＝{小于10的正整数}，其子集A ，B 满足条件(UA)∩(UB)＝{1，9}，A ∩B ＝{2}，B ∩(UA)＝{4，6，8}．求集合A ，B ．解：根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A ＝{2，3，5，7}，B ＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A 、B ，由既属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集．记作：A ∩B ．对于两个给定的集合A 、B ，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A 、B 的并集．记作：A ∪B ．如果集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合叫做A 在U 中的补集．记作UA ．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a}．若M ∩N ＝，则实数a 的取值范围是______．∅答：(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合，则b －a ＝______．},,0{},,1{b ab a b a =+【分析】因为，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则没有意义)，},,0{},,1{b a ba b a =+a b 所以，a ＋b ＝0，＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a}，a ＝－1，ab 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①；②Q ；③｜－3｜N*；④．其中正确命题的个数是( )R ∈212∉∉Q ∈-|3|(A)1 (B)2 (C)3 (D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( )(A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C)A ＝{0}，B ＝ (D)A ＝{y ｜y ＝x2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x2＋1}∅3．已知M ＝{(x ，y)｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y)｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( )(A)MN (B)NM (C)M ＝N (D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N}，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N}，则下式中正确的关系是( )(A)U ＝A ∪B (B)U ＝(UA)∪B (C)U ＝A ∪(UB) (D)U ＝(UA)∪(UB)二、填空题5．已知集合A ＝{x ｜x ＜－1或2≤x ＜3}，B ＝{x ｜－2≤x ＜4}，则A ∪B ＝______．6．设M ＝{1，2}，N ＝{1，2，3}，P ＝{c ｜c ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N}，则集合P 中元素的个数为______．7．设全集U ＝R ，A ＝{x ｜x ≤－3或x ≥2}，B ＝{x ｜－1＜x ＜5}，则(UA)∩B ＝______.8．设集合S ＝{a0，a1，a2，a3}，在S 上定义运算为：aiaj ＝ak ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0，1，2，3．则a2a3＝______；满足关系式(xx)a2＝a0的x(x ∈S)的个数为______．⊕⊕⊕⊕⊕三、解答题9．设集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，C ＝{2，3，4}，求(A ∩B)∪C ．10．设全集U ＝{小于10的自然数}，集合A ，B 满足A ∩B ＝{2}，(UA)∩B ＝{4，6，8}，(UA)∩(UB)＝{1，9}，求集合A 和B ．11．已知集合A ＝{x ｜－2≤x ≤4}，B ＝{x ｜x ＞a}，①A ∩B ≠，求实数a 的取值范围；∅②A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；③A ∩B ≠，且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．∅§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p 则q ．逆命题：若q 则p ．否命题：若p ，则q ．逆否命题：若q ，则p ．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．⌝⌝⌝⌝4．充要条件如果pq ，则p 叫做q 的充分条件，q 叫做p 的必要条件．⇒如果pq 且qp ，即qp 则p 叫做q 的充要条件，同时，q 也叫做p 的充要条件．⇒⇒⇔5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的复合命题，并判断它们的真假．⌝(1)p：0∈N，q：1N；∉(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．解：(1)p∨q：0∈N，或1N；∉p∧q：0∈N，且1N；p：0N．∉⌝∉因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，p为假．⌝(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，p为真．⌝【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则AB．解：(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若AB，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．评述：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【分析】由定义知，若pq且qp，则p是q的充分不必要条件；⇒若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；⇒若pq且qp，p与q互为充要条件．⇒⇒于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4 设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M ∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件解：条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x ＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}R，所以p是q的必要非充分条件，选B．⊆【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若AB 且BA，则p是q的充分非必要条件；若AB且BA，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．⊆⊆例5 命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0 (D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x ∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)x∈Z，1＜4x＜3 (B)x∈Z，3x－1＝0∃∃(C)x∈R，x2－1＝0 (D)x∈R，x2＋2x＋2＞0∀∀2．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈Ax∈B，则称AB”．那么“A不是B的子集”可用数学语言表达为( )⇒⊆(A)若x∈A但xB，则称A不是B的子集∀∉(B)若x∈A但xB，则称A不是B的子集∃∉(C)若xA但x∈B，则称A不是B的子集∃∉(D)若xA但x∈B，则称A不是B的子集∀∉二、填空题5．“p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件．⌝6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________．7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“AB ”是“UBUA ”的______条件．⊆⊆8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①AB 对任意x ∈A ，有xB ②ABA ∩B ＝⇔∉⇔∅③ABAB ④AB 存在x ∈A ，使得xB ⇔⇔∉ 其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假：(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除；(3)x ∈{x ｜x ∈Z}，log2x ＞0；∃ (4).041,2≥+-∈∀x x x R 10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a2＋b2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．§1－3 不等式(含推理与证明)【知识要点】1．不等式的性质．(1)如果a ＞b ，那么b ＜a ；(2)如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ；(3)如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c(如果a ＋c ＞b ，那么a ＞b －c)；(4)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d ；(5)如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc ；(6)如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd ；(7)如果a ＞b ＞0，那么an ＞bn(n ∈N ＋，n ＞1)；(8)如果a ＞b ＞0，那么；)1,N (>∈>+n x b a n n2．进行不等式关系判断时常用到的实数的性质：若a ∈R ，则．)R (0.0||;02+∈≥≥≥a a a a3．会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式．简单的含参数的不等式．4．均值定理：如果a 、b ∈R ＋，那么当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．.2ab b a ≥+ 其他常用的基本不等式：如果a 、b ∈R ，那么a2＋b2≥2ab ，(a －b)2≥0． 如果a 、b 同号，那么.2≥+b a a b5．合情推理之归纳推理与类比推理；演绎推理；综合法、分析法与反证法．【复习要求】1．运用不等式的性质解决以下几类问题：(1)根据给定的条件，判断给出的不等式能否成立；(2)利用不等式的性质，实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系；(3)利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充分必要关系．2．熟练掌握一元一次不等式，一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式的解法．并会解简单的含参数的不等式．3．了解合情推理和演绎推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．能较为灵活的运用综合法、分析法与反证法证明数学问题．熟练运用比较法比较数与式之间的大小关系．比较法：常有“作差比较法”和“作商比较法”；综合法：从已知推导致结果的思维方法；分析法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法；反证法：由证明pq 转向证明qr …t ，而t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q 为假，进而推出q 为真的方法，叫做反证法．⇒⌝⇒⇒⇒⌝一般来讲，由分析法得到的证明思路往往用综合法的方式来书写．【例题分析】例1 若a ＞b ＞c ，则一定成立的不等式是( )A ．a ｜c ｜＞b ｜c ｜B ．ab ＞acC ．a －｜c ｜＞b －｜c ｜D ．cb a 111<< 【分析】关于选项A ．当c ＝0时，a ｜c ｜＞b ｜c ｜不成立．关于选项B ．当a ＜0时，ab ＞ac 不成立．关于选项C ．因为a ＞b ，根据不等式的性质a －｜c ｜＞b －｜c ｜，正确． 关于选项D ．当a ＞b ＞0＞c 时，不成立．所以，选C ．c b a 111<< 例2 a ，b ∈R ，下列命题中的真命题是( )A ．若a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜B ．若a ＞b ，则b a 11<C ．若a ＞b ，则a3＞b3D ．若a ＞b ，则1>b a 【分析】关于选项A ．当a ＝－1，b ＝－2时，｜a ｜＞｜b ｜不成立． 关于选项B ．当a ＞0，b ＜0时，不成立．ba 11< 关于选项C ．因为a ＞b ，根据不等式的性质a3＞b3，正确． 关于选项D ．当b ＜0时，不成立．所以，选C ．1>b a【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依据，依据相关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法．判断不等式的理论依据参看本节的知识要点，另外，后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法．判断一个不等式是正确的，就应该给出一个合理的证明(或说明)，就像例1、例2对正确的选项判断那样．判断一个不等式是不正确的，应举出反例．例3 解下列不等式：(1)x2－x －1＞0；(2)x2－3x ＋2＞0；(3)2x2－3x ＋1≤0；(4)(5)｜2x －1｜＜3；(6);021>--x x .1212≤--x x 解：(1)方程x2－x －1＝0的两个根是结合函数y ＝x2－x －1的图象，可得不等式x2－x －1＞0的解集为251,21±=x x }.251251|{+>-<x x x 或 (2)不等式x2－3x ＋2＞0等价于(x －1)(x －2)＞0，易知方程(x －1)(x －2)＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，结合函数y ＝x2－3x ＋2的图象，可得不等式x2－3x ＋2＞0的解集为{x ｜x ＜1或x ＞2}．(3)不等式2x2－3x ＋1≤0等价于(2x －1)(x －1)≤0，以下同(2)的解法， 可得不等式的解集为}.121|{≤≤x x(4)等价于(x －1)(x －2)＞0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为{x ｜x ＜1或x ＞2}．021>--x x (5)不等式｜2x －1｜＜3等价于－3＜2x －1＜3，所以－2＜2x ＜4，即－1＜x ＜2，所以不等式｜2x －1｜＜3的解集为{x ｜－1≤x ＜2}．(6)不等式可以整理为1212≤--x x ,021≤-+x x ,021≤-+x x 等价于以下同(4)的解法，可得不等式的解集为{x ｜－1≤x ＜2}．.021021=-+<-+x x x x 或 【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要熟练掌握．其他不等式的解法适当掌握．1．利用不等式的性质可以解一元一次不等式．2．解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，通过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的情况、进而结合相应的二次函数的图象就可以解决一元二次不等式解集的问题了．所以，解一元二次不等式的步骤为：计算二次不等式相应的方程的判别式；求出相应的一元二次方程的根(或根据判别式说明无根)；画出相应的二次函数的简图；根据简图写出二次不等式的解集．3、不等式与(x －a)(x －b)＞0同解；不等式与(x －a)(x －b)＜0同解；0>--bx a x 0<--b x a x 4*、不等式｜f(x)｜＜c 与－c ＜f(x)＜c 同解；不等式｜f(x)｜＞c 与“f(x)＞c 或f(x)＜－c ”同解．在解简单的分式不等式时要注意细节，例如(5)题关于“≤”号的处理．例4 解下列关于x 的不等式；(1)ax ＋3＜2；(2)x2－6ax ＋5a2≤0．解：(1)由ax ＋3＜2得ax ＜－1，当a ＝0时，不等式解集为；∅当a ＞0时，不等式解集为；}1|{ax x -<当a ＜0时，不等式解集为．}1|{a x x -> (2)x2－6ax ＋5a2≤0等价于不等式(x －a)(x －5a)≤0，当a ＝0时，不等式解集为{x ｜x ＝0}；当a ＞0时，不等式解集为{x ｜a ≤x ≤5a}；当a ＜0时，不等式解集为{x ｜5a ≤x ≤a}．【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完全一致的．要注意的是，当进行到某一步骤具有不确定性时，需要进行分类讨论．如(2)的解决过程中，当解出方程(x －a)(x －5a)＝0的两根为x1＝a ，x2＝5a 之后，需要画出二次函数y ＝x2－6ax ＋5a2的草图，这时两根a 与5a 的大小不定，需要讨论，当分a ＝0，a ＞0，a ＜0三种情况之后，就可以在各自情况下确定a 与5a 的大小，画出二次函数y ＝x2－6ax ＋5a2的草图写出解集了．例5 已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，m ＜0．求证：⋅->-db mc a m 证明：方法一(作差比较)由已知b －a ＜0，c －d ＜0，又m ＜0，所以m[(b －a)＋(c －d)]＞0，因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以a －c ＞0，b －d ＞0， 所以，所以0))(()]()[(>---+-d b c a d c a b m ⋅->->---db mc a md b m c a m 即,0 方法二因为c ＜d ＜0，所以c －d ＜0，又a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，所以a －b ＞c －d ，所以a －c ＞b －d ＞0，所以，又因为m ＜0，所以d b c a -<-11⋅->-db mc a m 例6 已知a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，求证：(1)a ＞0；(2).2->a c证明：(1)假设a ≤0，因为a ＞b ＞c ，所以b ＜0，c ＜0．所以a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝0矛盾．(2)因为b ＝－a －c ，a ＞b ，所以，所以2a ＞－c ，又a ＞0，所以，所以a c ->2.2->a c 例7 已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 中至少有一个不大于.41 证明：假设(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 均大于，41 即,41)1(,41)1(,41)1(>->->-a c c b b a 因为a ，b ，c ∈(0，1)，所以1－a ，1－b ，1－c ∈(0，1)，所以，同理(1－b)＋c ＞1，(1－c)＋a ＞1，1)1(2)1(>-≥+-b a b a所以(1－a)＋b ＋(1－b)＋c ＋(1－c)＋a ＞3，即0＞0，矛盾．所以(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 中至少有一个不大于．41 【评析】证明常用的方法有比较法、综合法、分析法与反证法等．证明不等式也是如此．1、例5中的方法一所用到的比较法从思维、书写的角度都较为容易，也相对易于把握，要熟练掌握．2、例5中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法，其书写方法简明、易读，但要注意的是，这样的题的思路常常是分析法．比如，例5中的方法二的思路我们可以认为是这样得到的：欲证只需证明m(b －d)＞m(a －c)(因为b －d ＞0，a －c ＞0)，即只需证明b －d ＜a －c ，即只需证明a －b ＞c －d ，,db mc a m ->- 而由已知a －b ＞0，c －d ＜0，所以可以循着这个思路按照相反的顺序书写．所以，在很多情况下，分析法更是思考问题的方法，而综合法更是一种书写方法．3、适合用反证法证明的常见的命题一般是非常显而易见的问题(如例6(1))、否定式的命题、存在性的命题、含至多至少等字样的命题(如例7)等等．证明的步骤一般是：(1)假设结论的反面是正确的；(2)推出矛盾的结论；(3)得出原来命题正确的结论．例8 根据图中图形及相应点的个数找规律，第8个图形相应的点数为______．【分析】第一个图有1行，每行有1＋2个点；第二个图有2行，每行有2＋2个点；第三个图有3行，每行有3＋2个点；……第八个图有8行，每行有8＋2个点，所以共有8×10＝80个点．答：80．练习1－3一、选择题1．若则下列各式正确的是( )011>>b a (A)a ＞b(B)a ＜b (C)a2＞b2 (D)2211b a < 2．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是( ) (A)a2＜b2 (B)a2b ＜ab2 (C) (D)b a ab 2211<b a a b < 3．已知A ＝{x ｜｜x ｜＜a}，B ＝{x ｜x ＞1}，且A ∩B ＝，则a 的取值范围是( )∅(A){a ｜a ≤1} (B){a ｜0≤a ≤1} (C){a ｜a ＜1} (D){a ｜0＜a ＜1}4．设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk 都是M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的Si ＝{ai ，bi}、Sj ＝{aj ，bj}(i ≠j ，i ，j ∈{1，2，3，…，k})都有，(min{x ，y}表示两个数x ，y 中的较小者)，则k 的最大值是( )},min{},min{j j j j i i i i a b b a a bb a =/ (A)10 (B)11 (C)12 (D)13二、填空题5．已知数列{an}的第一项a1＝1，且，请计算出这个数列的前几项，并据此归纳出这个数列的通项公式an ＝______．),3,2,1(11 =+=+n a aa n n n6．不等式x2－5x ＋6＜0的解集为____________．7．设集合A ＝{x ∈R ｜｜x ｜＜4}，B ＝{x ∈R ｜x2－4x ＋3＞0}，则集合{x ∈R ｜x ∈A ，且xA ∩B}＝____________．∉8．设a ∈R 且a ≠0，给出下面4个式子：①a3＋1；②a2－2a ＋2；③；④a a 1+⋅+221aa 其中恒大于1的是______．(写出所有满足条件式子的序号)三、解答题9．解下列不等式：(1)2x2＋x ＞0；(2)x2＋3x ＋1＜0；(3)；(4)｜2－x ｜＜3；(5).032<-x x 21>-x x 10．已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0．11．解下列关于x 的不等式：(1)x2－2ax －3a2＜0；(2)ax2－x ＞0；习题1一、选择题1．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( )(A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜(C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜ (D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N)∪P (B)(M ∩N)∩P(C)(M ∩N)∪(UP) (D)(M ∩N)∩(UP)3．“”是“对任意的正数”的( )81=a 12,≥+xa x x(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a&b ∈P ”，则运算“&”可以是( )(A)加法 (B)减法 (C)乘法 (D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )(A)ab ＞ac (B)c(b －a)＜0 (C)cb2＜ab2 (D)ac(a －c)＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且UA ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“x ∈A ，但xA ∪B ”的否定是____________．∃∉8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A}，则B ＝____________．9．已知集合A ＝{x ｜x2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a}，若AB ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)三、解答题11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a2＋b2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a2x ＋b2(1－x)≥[ax ＋b(1－x)]2．14．设数集A 满足条件：①AR ；②0A 且1A ；③若a ∈A ，则⊆∉∉.11A a ∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素；(2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题一 集合、逻辑与不等式参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A 表示非负偶数集，集合B 表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(UB)，从而U ＝A ∪(UB)．二、填空题5．{x ｜x ＜4} 6．4个 7．{x ｜－1＜x ＜2} 8．a1；2个(x 为a1或a3)．三、解答题9．(A ∩B)∪C ＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A ＝{0，2，3，5，7}，B ＝{2，4，6，8}．11．答：①a ＜4；②a ≥－2；③－2≤a ＜4提示：画数轴分析，注意a 可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件 6．若｜x ｜≤1，则x ≥－1 7．充要条件 8．④ 提示：8．因为AB ，即对任意x ∈A ，有x ∈B ．根据逻辑知识知，AB ，即为④．⊆ 另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab ＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a ＝0，b ＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab ≠0；是假命题；例如a ＝0，b ＝1逆否命题：若ab ≠0，则a2＋b2≠0；是真命题；因为若a2＋b2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．练习1－3一、选择题1．B 2．C 3．A 4．B二、填空题5． 6．{x ｜2＜x ＜3} 7．{x ∈R ｜1≤x ≤3｜ 8．④n1 三、解答题9．答：(1)；(2)；}210|{-<>x x x 或}253253|{+-<<--x x (3)；(4){x ｜－1＜x ＜5}；(5)．}230|{<<x x }310|{<<x x 10．证明：ab ＋bc ＋ca ＝b(a ＋c)＋ac ＝－(a ＋c)(a ＋c)＋ac ＝－a2－ac －c2所以ab ＋bc ＋ca ≤0．11．解：(1)原不等式(x ＋a)(x －3a)＜0．⇔分三种情况讨论：①当a ＜0时，解集为{x ｜3a ＜x ＜－a}；②当a ＝0时，原不等式x2＜0，解集为；⇔∅③当a ＞0时，解集为{x ｜－a ＜x ＜3a}．(2)不等式ax2－x ＞0x(ax －1)＞0．⇔分三种情况讨论：①当a ＝0时，原不等式－x ＞0，解集为{x ｜x ＜0}；⇔②当a ＞0时，x(ax －1)＞0x(x －)＞0，解集为；⇔a 1}10|{ax x x ><或 ③当a ＜0时，x(ax －1)＞0x(x －)＜0，解集为．⇔a 1}01|{<<x a x 习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③．∀ 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式即21<x ,021,021<-<-xx x 所以，此不等式等价于x(2x －1)＞0，解得x ＜0或，012>-x x 21>x 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或}．21>x 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ， 所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b(2)a2＋b2－b ＝(1－b)2＋b2－b ＝2b2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为，所以121<<b ,081)43(22<--b即a2＋b2＜b ．13．解：原不等式化为(a2－b2)x ＋b2≥(a －b)2x2＋2b(a －b)x ＋b2，移项整理，得(a －b)2(x2－x)≤0．因为a ≠b ，故(a －b)2＞0，所以x2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，，2三个元素．21 (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知，则．即a2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．A a∈-11a a -=11专题二函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数则f(1)＝______；若f(0)＋f(a)＝－2，则a的所有可能值为______．⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则． 所以f(1)＝3．又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，当a ≤0时，由a －1＝－1得a ＝0；当a ＞0时，由－a2＋2a ＋2＝－1，即a2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1(舍)． 综上，a ＝0或a ＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A) (B)22)(,t y x y ==2|,|t y x y ==(C) (D)1,112+=--=x y x x y x x y x y 2,== 【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y ＝｜x ｜及y ＝｜t ｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域(1)(2);11--=x y ;3212-+=x x y (3) (4);)1()3lg(0-+-=x xx y ;2|2|12---=x x y 解：(1)由｜x －1｜－1≥0，得｜x －1｜≥1，所以x －1≥1或x －1≤－1，所以x ≥2或x ≤0．所以，所求函数的定义域为{x ｜x ≥2或x ≤0}．。
高三数学复习总目录
第二章函数的概念、基本初等函数（1）与应用2.1 函数及其表示2.2 函数的单调性与最大（小）值2.3 函数的奇偶性与周期性2.4 二次函数2.5 基本初等函数（1）2.6 函数与方程2.7 函数模型及其应用第三章三角函数（基本初等函数（2））3.1 弧度制及任意角的三角函数3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式3.3 三角函数的图象与性质3.4 三角函数图象的变换3.5 三角函数模型的应用3.6 三角恒等变换3.7 正弦定理、余弦定理及其应用第四章平面向量4.1 平面向量的概念及其线性运算4.2 平面向量的基本定理及坐标表示4.3 平面向量的数量积4.4 平面向量的综合应用第五章数列5.1 数列的概念与简单表示法5.2 等差数列5.3 等比数列5.4 数列求和及其应用第六章不等式6.1 不等关系与不等式6.2 一元二次不等式及其解法6.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题6.4 基本不等式及其应用第七章立体几何7.1 空间几何体的结构、三视图、直观图7.2 空间几何体的表面积与体积7.3 空间点、线、面之间的位置关系7.4 空间中的平行关系7.5 空间中的垂直关系7.6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算7.7 空间向量的坐标表示及运算7.8 空间向量的应用第八章平面解析几何8.1 直线的方程8.2 两条直线的位置关系8.3 圆的方程8.4 直线与圆的位置关系8.5 曲线与方程8.6 椭圆8.7 双曲线8.8 抛物线8.9 直线与圆锥曲线的位置关系第九章导数9.1 导数的概念及运算9.2 导数的应用（一）9.3 导数的应用（二）9.4 定积分第十章算法初步10.1 算法与程序框图10.2 基本算法语句与算法案例第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理11.2 排列与组合11.3 二项式定理11.4 随机事件的概率11.5 古典概型11.6 几何概型11.7 互斥、对立、独立、独立重复试验及其应用11.8 离散型随机变量及其分布列11.9 二项分布及其应用11.10 离散型随机变量的均值与方差11.11 正态分布第十二章统计12.1 随机抽样12.2 用样本估计总体12.3 变量间的相关关系与线性回归方程12.4 统计案例第十三章推理与证明13.1 合情推理与演绎推理13.2 直接证明与间接证明13.3 数学归纳法第十四章数系的扩充与复数的引入14.1 数系的扩充和复数的概念14.2 复数代数形式的四则运算14.3。
高三数学总复习讲义——集合
高三数学总复习讲义——集合一、知识清单：1.元素与集合的关系:用∈或∉表示；2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。
如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；4.集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R;5．集合与集合的关系:用⊆，≠⊂，=表示;A 是B 的子集记为A ⊆B ；A 是B 的真子集记为A ≠⊂B 。
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；空集是任何非空集合的真子集；③如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，A C ⊆那么.④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.6．交集A∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集.7.集合运算中常用结论:①;A B A B A ⊆⇔=A B A B B ⊆⇔=②()()();U U U A B A B =()()()U U U A B A B =③()()card A B card A =+()()card B card A B -二、课前预习1．以下关系式中正确的选项是〔 〕(A){}Φ⊆Φ (B){}0∈Φ (C)0{}Φ= (D)0{}⊆Φ2． 3231x y x y +=⎧⎨-=⎩解集为______. 3．设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,已知{}9A B =,求实数a 的值.4．设{}220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( )(A){a }=M (B)M {a } (C){a }M (D)M ⊇{a } 5．集合A={x |x =3k -2，k ∈Z}，B={y |y=3n +1，n ∈Z}，S={y |y =6m +1，m ∈Z}之间的关系是( )(A)S B A (B)S=B A (C)S B=A (D)S B=A6．用适当的符号()∈∉、、=、、填空： ①π___Q ; ②{3.14}____Q ;③-R ∪R +_____R; ④{x |x =2k +1, k ∈Z}___{x |x =2k －1, k ∈Z}。
高三数学知识点推荐书目
高三数学知识点推荐书目在高三这一年，数学学科的重要性不言而喻。
数学作为一门基础性学科，既能培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力，又是进一步学习其他学科、甚至未来职业发展的基石。
因此，在高三备考期间，选择合适的数学参考书是非常关键的。
下面，我将推荐几本适合高三学生的数学参考书目。
1. 《高三数学一轮复习全程精讲》这本书是为高三学生量身打造的一本全程复习教材。
根据高考数学考试大纲，书中将高中数学的各个知识点进行了系统整理和详尽讲解。
书中的例题和习题分布丰富，既有经典的例题，又有改编的典型题目。
此外，书中还穿插了许多解题技巧和解题方法，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
2. 《数学分册·高中数学》这本书是中国数学教育研究会出版的一本系列教材。
全书内容综合、系统，基本涵盖了高中数学的各个知识点。
书中每个章节都有详细的解题步骤和技巧介绍，能够帮助学生更好地理解并掌握数学知识。
此外，书中的例题和习题数量也非常丰富，适合高三学生进行针对性的练习和复习。
3. 《高中数学考核与培优一轮复习》这本书是针对高考数学而编写的一本复习资料。
书中详细解析了高考数学的各个知识点，介绍了常考的解题方法和技巧。
此外，书中还附有大量的例题和模拟试题，用以训练学生的解题能力和应试技巧。
整本书的风格简明、重点突出，适合高三学生进行重点复习和强化训练。
4. 《高中数学真题详解》这本书是由多位知名的数学教育专家联合编写的一本练习册。
书中详解了近年来的高考数学真题，包括选择题、填空题和解答题等。
通过学习真题解析，学生可以更好地了解高考数学的出题规律，提高应试能力。
同时，书中还提供了一些练习题和思考题，帮助学生巩固和扩展数学知识。
5. 《高中数学知识归纳与考点解析》这本书主要针对高中数学的重难点知识进行了系统整理和解析。
书中对每个知识点进行了详细介绍，并总结了常见的考点和考察方式。
此外，书中还配有大量的例题和习题，供学生练习和巩固所学知识。
高三数学复习资料汇总
高三数学复习资料汇总数学是一个系统化的逻辑体系，它有着明确的结构。
在这个结构的体系中，数学知识具有一定的抽象性和具体性。
下面是小编为大家整理的有关高三数学复习资料，希望对你们有帮助!高三数学复习资料汇总1(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α 180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中.(6)两直线平行与垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.高三数学复习资料汇总21.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
高三数学试卷复习资料
一、复习目标1. 熟练掌握高中数学的基本概念、性质、定理、公式等基础知识；2. 提高数学解题能力，包括逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等；3. 培养良好的数学解题习惯，提高解题速度和准确率；4. 熟悉各类题型和解题方法，为高考数学考试做好充分准备。
二、复习内容1. 代数部分（1）集合与函数- 集合的概念及运算；- 函数的概念、性质及分类；- 基本初等函数；- 函数图象与性质。
（2）三角函数- 三角函数的定义、性质及诱导公式；- 三角恒等变换；- 解三角形。
（3）数列- 数列的概念及性质；- 基本数列；- 数列求和。
（4）不等式- 不等式的性质及解法；- 不等式组；- 应用题。
2. 几何部分（1）平面几何- 平面几何的基本概念及性质；- 线段、角、圆的性质；- 解题方法及技巧。
（2）立体几何- 立体几何的基本概念及性质；- 空间几何体的结构及性质；- 空间几何体的计算及证明。
3. 解析几何（1）解析几何的基本概念及性质；（2）直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的位置关系及性质；（3）解析几何的应用题。
三、复习方法1. 系统复习：按照教材顺序，逐章逐节进行复习，确保全面掌握知识点。
2. 重点突破：针对自己的薄弱环节，有针对性地进行强化训练。
3. 梳理总结：对所学知识进行归纳总结，形成自己的知识体系。
4. 模拟训练：通过历年高考真题、模拟题进行实战演练，提高解题能力。
5. 交流分享：与同学、老师交流解题心得，互相学习，共同进步。
四、复习计划1. 第一阶段（1-3个月）：系统复习基础知识，强化概念、性质、定理、公式等。
2. 第二阶段（4-6个月）：重点突破，针对自己的薄弱环节进行强化训练。
3. 第三阶段（7-9个月）：模拟训练，熟悉各类题型和解题方法。
4. 第四阶段（10-12个月）：查漏补缺，针对错题进行总结，提高解题速度和准确率。
五、注意事项1. 制定合理的复习计划，确保每天有充足的时间进行复习。
2. 保持良好的学习状态，避免熬夜、拖延等不良习惯。
高三数学总复习《正弦定理与余弦定理》课件
答案:C
课时作业(三十) 正弦定理与余弦定理
一、选择题
12 1.(2009 全国Ⅱ已知 ) ABC中, cotA , 则cosA ( 5 12 5 5 12 A. B. C. D. 13 13 13 13 )
12 5 解析 :由cotA 知A为钝角, cosA . 5 13
解析 :由正弦定理 3sinBcosA cosAsinC cosCsinA 3 sin A C sinB,cosA . 3
3 答案 : 3
题型二 余弦定理的应用
例2 1 (2009 广东)在 ABC中, A、B、C的对边 分别为a、b、c, 若a c 6 2 , A 75, 则b ( A.2 B.4 2 3 C.4 2 3 ) D. 6 2
)
A.直角三角形,但不是等腰三角形
B.等腰三角形,但不是直角三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析 :由正弦定理可知 又 a b c sinA sinB sinC
a b c , cosB sinB, cosC sinC, sinA cosB cosC 又B、C为 ABC的内角, B C 45 ABC为等腰直角三角形.
注意:要熟记一些常见结论,如:①三角形三内角A,B,C成等差 数列的充要条件是B=60°;
②若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列;
③△ABC是正三角形的充要条件是三内角A,B,C成等差数列 且对应三边a,b,c成等比数列.
4.已知三角形的两边及一边的对角解三角形
(1)先判断三角形解的情况,在△ABC中,已知a,b,A时,判断方法
)
D.等腰或直角三角形
高三数学总复习讲义——数列概念
高三数学总复习讲义——数列概念 知识清单1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k -=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2022高三总复习数学 空间点、直线、平面之间的位置关系(含解析)
空间点、直线、平面之间的位置关系A级——基础达标1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选D如图①，∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，但OB与O1B1不平行，故排除A、B；如图②，∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，此时OB∥O1B1，故排除C，故选D.2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线α和直线b可能平行或异面或相交，故选A.3．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为() A．30°B．60°C．75°D．90°解析：选D将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接C1D，BD(图略)，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝2，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝23，又因为BC1＝C1D＝6，所以∠BC1D＝90°.4.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．5.(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则()A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直线EF，GH是异面直线D．直线EF，GH是相交直线解析：选BD如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵MH∥A1C1∥AC∥FG，∴M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，∴E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，∵EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，∴EF与GH是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG ＝EM＝MH，∴3EF＝GH，即GH≠2EF.故选B、D.6．(多选)(2021·潍坊模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法错误的是()A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行解析：选ACD A选项，当CD＝2AB时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，则M，N两点能重合，可知A错误；B选项，若M，N重合，则AC∥BD，则AC∥平面β，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项，当AB与CD相交，且AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项，当AB与CD是异面直线时，MN 不可能与l平行，可知D错误．故选A、C、D.7．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：58．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为，平面AEF与平面ABCD的交线是．解析：由题易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD，因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线．答案：平行AD9.如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件时，四边形EFGH为正方形．解析：(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.答案：(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD10.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面为M，则截面M的面积为．解析：如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝52，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝3，PF＝2，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面M为菱形APC1F，∴截面M的面积S＝12AC1·PF＝12×3×2＝62.答案：6 211.如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，求证：P，Q，R三点共线．证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点都是平面α与平面β的公共点．∴点P，Q，R都在平面α与平面β的交线上，故P，Q，R三点共线．12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)EF綊E1F1；(2)∠EA1F＝∠F1CE1.证明：(1)如图，连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綊12BD.同理可证E1F1綊12B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，则BD綊B1D1.所以EF綊E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綊B1C1，又B1C1綊BC，所以MF1綊BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，所以BM∥CF1.因为A1M＝12A1B1，BE＝12AB，且A1B1綊AB，所以A1M綊BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，所以BM∥A1E，所以A1E∥CF1.同理可证A1F∥CE1.因为∠EA1F的两边与∠F1CE1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠F1CE1.B级——综合应用13．(多选)(2021·海南模拟)关于正方体ABCD-A1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的是()A ．若点P 在直线BC 1上运动，则三棱锥A -D 1PC 的体积不变B ．若点P 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则P 点的轨迹是直线A 1D 1 C ．若点P 在线段BC 1(含端点)上运动，则直线AP 与DC 所成角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π3 D ．若点P 在线段BC 1(含端点)上运动，则直线AP 与D 1C 所成的角一定是锐角解析：选AB 对于A ，由BC 1∥AD 1，可得BC 1∥平面AD 1C ， 则点P 到平面AD 1C 的距离不变， 由△AD 1C 的面积为定值，可知点P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A -D 1PC 的体积不变，故A 正确； 对于B ，若点P 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点， 则P 点的轨迹是平面A 1BCD 1与平面A 1B 1C 1D 1的交线A 1D 1，故B 正确；对于C ，直线AP 与DC 所成角即为∠PAB ，当P 与C 1重合时，∠PAB 最大，且tan ∠PAB ＝2，所以∠PAB <π3，故C 错误；对于D ，当P 与C 1重合时，AP 与D 1C 所成的角为π2，故D 错误．所以其中说法正确的是A 、B.14.如图，若P 是△ABC 所在平面外一点，PA ≠PB ，PN ⊥AB ，N 为垂足，M 为AB 的中点，则PN 与MC 之间的位置关系是 ．解析：法一：∵PA ≠PB ，PN ⊥AB ，N 为垂足，M 是AB 的中点，∴点N 与点M 不重合．∵N ∈平面ABC ，P ∉平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，N ∉CM ，∴由异面直线的判定方法可知，直线PN 与MC 为异面直线．法二(反证法)：假设PN 与MC 不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN ⊂α，MC ⊂α，于是P ∈α，C ∈α，N ∈α，M ∈α.∵PA ≠PB ，PN ⊥AB ，N 为垂足，M 是AB 的中点， ∴点M 与点N 不重合．∵M ∈α，N ∈α，∴直线MN ⊂α，∵A ∈MN ，B ∈MN ，∴A ∈α，B ∈α，即A ，B ，C ，P 四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外相矛盾．∴假设不成立．故PN与MC为异面直线．答案：异面直线15.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m.CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD.试证明：EG＝FH.解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面．(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为EHBD ＝AEAE＋EB＝mm＋1，所以EH＝mm＋1BD.同理可得FG＝nn＋1BD.由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB.所以EF∥AC.又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°.从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.C级——迁移创新16.如图，AB，CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．解：如图，设⊙O 的半径为R ，母线VB ＝l ，则圆锥侧面展开图的中心角为2πR l ＝2π，∴R l ＝22，∴sin ∠BVO ＝22， ∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO ＝π4.连接OE ，∵O ，E 分别是AB ，VB 的中点， ∴OE ∥VA .∴∠VOE ＝∠AVO ＝∠BVO ＝π4，∴∠VEO ＝π2，即VE ⊥OE .又∵AB ⊥CD ，VO ⊥CD ，AB ∩VO ＝O ， ∴CD ⊥平面VAB . ∵VE ⊂平面VAB ， ∴VE ⊥CD .又∵OE ∩CD ＝O ，OE ，CD ⊂平面CDE ， ∴VE ⊥平面CDE .∴∠VOE 是截面与轴线的夹角， ∴截面的轴线夹角大小为π4.由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE 与圆锥面的截线为一抛物线．。
高中数学知识点全总结(3篇)
高中数学知识点全总结一、直线与方程高考考试内容及考试要求：考试内容：1.直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式;2.两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;考试要求：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程;2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系;二、直线与方程课标要求：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素;3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系;4.会用代数的方法解决直线的有关问题，包括求两直线的交点，判断两条直线的位置关系，求两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线之间的距离等。
要点精讲：1.直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x 轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。
特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0°.倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.当直线l与x轴垂直时，α=90°.2.直线的斜率：一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是k=tanα（1）当直线l与x轴平行或重合时，α=0°，k=tan0°=0;（2）当直线l与x轴垂直时，α=90°，k不存在。
由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在。
3.过两点p1（x1,y1）,p2（x2,y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式：（若x1=x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°）。
4.两条直线的平行与垂直的判定（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：注：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立。
高三数学复习(文科)立体几何知识点、方法总结
立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
llαββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019高三数学总复习资料
高三数学总复习资料：立体几何
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱：
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.
(2)棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.
(3)棱台：
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成
几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形.
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形.
(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一
周所成
几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形.
(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径.
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)
注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度.
高三数学总复习资料：直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.
当时,;当时,;当时,不存在.
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.
(3)直线方程
①点斜式：直线斜率k,且过点
注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.
②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式：()直线两点,
④截矩式：
其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.
⑤一般式：(A,B不全为0)
注意：各式的适用范围特殊的方程如：
平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);
(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)
(二)垂直直线系
垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)
(三)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;
(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为
(为参数),其中直线不在直线系中.
(6)两直线平行与垂直
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.
高三数学总复习资料：圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.
2、圆的方程
(1)标准方程,圆心,半径为r;
(2)一般方程
当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为
当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.
(3)求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.
看了<2019高三数学总复习资料>的人还看了：
1.2019年高三数学复习重点总结
2.2019高考数学复习资料
3.2019高三数学总复习技巧
4.2019高三数学第一轮复习方法和内容
5.2019高三数学组复习教学计划
6.2019高三数学一轮复习建议。