苏教版必修1§3.4.2 函数模型及其应用(一)教案(优质获奖)
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.2 函数模型及其应用》0
与三角函数有关的一类实际应用题编写：吴梦佳审核：高考常见应用题模型：（1）函数与不等式模型；（2）函数与导数模型；（3）三角函数模型；（4）数列模型。
江苏高考一直坚持以建模为主的应用题的考查，如何由实际问题转化为数学问题（即数学化）是复习的关键。
12年方程模型，13年解不等式模型，14年解析几何背景的条件不等式模型，15年函数与导数模型，16年和17年立体几何为背景。
【目标】：运用三角函数、解三角的相关知识建立三角模型并能解决相关问题。
【典例导析】：典例1某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，的半径为10 cm，设∠BAO＝θ，0<θ<错误!，圆锥的侧面积为S cm21 求S关于θ的函数关系式；2 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．求S取得最大值时腰AB的长度．【反思】解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
典例2一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示.ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α(F在AB的延长线上，α为锐角).圆E与AD，BC都相切，且其半径长为100−80sinα米.EO是垂直于AB 的一个立柱，则当sinα的值设计为多少时，立柱EO最矮？【反思】：典例3如图，直线是湖岸线，O是上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和D），设湖岸BC与直线栈桥CD，D2），∠BO10的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P、Q、R三点分别在⊿ABC的三条边上，且要使⊿PQR的面积最小．现有两种设计方案：方案一：直角顶点Q在斜边AB上，R、P分别在直角边AC、BC上；方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R、P分别在直角边AC、斜边AB上；请问应选用哪一种方案？并说明理由．。
高中数学 3.4.2《函数模型及其应用(1)》教案 苏教版必修1
3.4.2 函数模型及其应用（1）教学目标：1．能根据实际问题的情境建立数学模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答；2．通过实例，理解一次函数、二次函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；3．在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：一次函数、二次函数以及指、对数函数等常见函数的应用．教学难点：从生活实例中抽象出数学模型.教学过程：一、问题情境某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问:（1）写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式;（2）计算10年后该城市的人口数；（3）计算大约多少年后，该城市人口将达到120万?（4）如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少？二、学生活动回答上述问题，并完成下列各题：1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为．2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，其定义域为．三、数学应用例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(元)以及利润L(万元)关于总产量x台的函数关系式．例2 大气温度y(℃)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km为止，大约每上升1 km，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．求：（1） y与x的函数关系式；（2）x＝3.5 km以及x＝12km处的气温．变式：在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度．四、建构数学利用数学某型解决实际问题时，一般按照以下步骤进行：1．审题：理解问题的实际背景，概括出数学实质，尝试将抽象问题函数化；2．引进数学符号，建立数学模型，即根据所学知识建立函数关系式，并确定函数的定义域；3．用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果；4．将数学问题的解代入实际问题进行检验，舍去不合题意的解，并作答.五、巩固练习1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到元．2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务．设由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y(小时)与机器的部数x的函数关系式．3．A，B两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A到B，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A，则汽车离开A地的距离x与时间t的函数关系式为．4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需16min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？5．某产品总成本C(万元)与产量x(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240．若每台产品售价25万元，要使厂家不亏本，则最少应生产多少台？六、要点归纳与方法小结1．利于函数模型解决实际问题的基本方法和步骤；2．一次函数、二次函数等常见函数的应用．七、作业课本P100－练习1，2，3．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
苏教版高中数学必修一函数模型及其应用教案(3)(2)
函数模型及其应用教学三维目标、重点、难点、准备。
1．1教学三维目标（1）知识与技能：使学生学会建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测。
（2）过程与方法：通过例题与作业中的具体实例，让学生了解函数模型的广泛应用。
（3）情感态度与价值观：利用函数模型解决问题前，进行拟合检验，培养学生的负责态度。
1．2教学重点：由面临的实际问题建立函数模型，检验函数模型，并利用得到的函数模型解决问题。
1．3教学难点：如何根据面临的实际问题建立函数模型。
1．4教学准备：PPT制作与几何画板制作。
1教学过程。
（学生）：（对5种基本初等函数进行回顾）（教师）：（打开PPT）函数建模的基本思想与方法：把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述称为数学建模。
数学建模的形式是多样的。
解应用题的关键是建立数学建模，把实际问题通过分析、联想、抽象转化为数学问题。
函数知识内容丰富、应用广泛，不仅数学问题，而且社会生活、生产和自然科学领域中有许多问题都需要用函数知识来解决，如成本最底、利润最高、用料最省、路程最短等常可归纳为函数的最值问题。
现在同学们来回顾一下以前是如何来解应用题的？它的步骤是怎样的？（打开PPT）运用建模思想解函数应用题的一般步骤是：读(阅读材料，审题，找基本量或关系)；建(提取信息，抽象成数学语言，根据相关定义及数学知识建立模型)；求(根据数学思想和方法，求解函数模型，得出结论)；还(把数学结论还原到实际问题中，通过分析、判断、检验得到实际正确解答，写出答案)。
一.由变量之间的依存关系建立函数关系；（学生）：是不是题目中就已经告诉我们几个量之间的函数关系了？（教师）：是的。
而且我们以前所接触的基本上就是这样的题目。
二.由所掌握的数据资料,即根据确定性,随机性数据建立函数关系,这种往往要画散点图。
（学生）：它是不知道函数关系式的。
函数模型及其应用(2)【一等奖教案】 苏教版必修1
3.4.2 函数模型及其应用（2）教学目标：1.能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解.教学难点：对图、表的理解.教学方法：讲授法，尝试法.教学过程：一、情境创设已知矩形的长为4，宽为3，如果长增加x，宽减少0.5x，所得新矩形的面积为S．（1）将S表示成x的函数；（2）求面积S的最大值，并求此时x的值．二、学生活动思考并完成上述问题．三、例题解析系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．练习：1．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截此梯形所得位于l 左方图形的面积为S ，则函数S ＝f (t )的大致图象为( )2．一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ，现在以v cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x (cm)与注入溶液的时间t (s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是( ) 4．某公司将进货单价为10元一个的商品按13元一个销售，每天可卖200个．若这种商品每涨价1元，销售量则减少26个．（1）售价为15元时，销售利润为多少？（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？A CDB hH C D5．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满足：f(t)＝111(020)241(2040)t t t Nt t t N⎧+<∈⎪⎨⎪-+∈⎩≤,≤≤,，销售量g(t)与时间t满足：g(t)＝14333t-+(0≤t≤40，t∈N)，求这种商品日销售金额的最大值．四、小结利用图、表建模；分段建模．五、作业课本P110－10．。
2013版高考数学 3.4.2 函数模型及其应用课件 苏教版必修1
1 求利润函数P x 及边际利润函数 MP x ; 2 利润函数P x 与边际利润函数MP x 是否具有相同的最大
值?
分析：本题为信息题目，应理解题意将本题转化为二次
函数求最值问题，二次函数问题为考试中的热点。
解 由题意知,x 1,100 ,且 x N .
2、某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为 3000元时,可全部租出; 当每辆车的月租金每增加50元时, 未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元.
(1)当每月每辆车的租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益
建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际 问题的意义．
拿一张纸，对折7次就有1厘米厚，如果把这张纸对 折27次（假设可以做到）之后的高度，是否比珠穆朗玛 峰（8848米）高呢？（220 =1048756） 解：设纸张的厚度为k米，则k×27＝0.01m
一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这 段路程前的读数为2004km,试建立行驶这 段路程时汽车里程表读数s km与时间t h 的函数解析式,并作出相应的图象.
90 80 70
v/(km· h-1)
f (x) a (x 1)
a 2a , g (x) (x 2) 2 3
∴x≥1． g（x）≥f（x），
因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩
而x>0,且520-40x>0,即0 x 13
高中数学 26(函数模型及其应用)教案四 苏教版必修1 教案
函数模型及其应用教学目标：使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．教学重点：一是实际问题数学化，二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解.教学难点：实际问题数学化.教学过程：［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．数量（份）价格（元）金额（元）买进30 0.20 6x卖出20x＋10×250 0.30 6x＋750退回10（x－250）0.08 0.8x－200 则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．y在x ［250，400］上是一次函数．∴x＝400元时，y取得最大值870元．答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．点评：自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．答案：当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；当A、B距离在（a，a＋10）时，选择第二种方案；当A、B距离恰好为a＋10时，选择两种方案均可以；当A、B距离大于a＋10时，选择第一种方案．（其中a为起步价内汽车行驶的里程）点评：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）解析：由于d0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D．［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度（1－ba）10·m％总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少 85t 万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？ 解析：（1）设每年销售是x 万件，则每年销售收入为250x 万元，征收附加税金为y ＝250x ·t ％． 依题意，x ＝40－85t ．所求的函数关系式为y ＝250（40－85t ）t ％．（2）依题意，250（40－85 t ）·t ％≥600，即t 2－25t ＋150≤0，∴10≤t ≤15．即税率应控制在10％～15％之间为宜． 注意点：1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为（10＋x ）元，销售的个数为（100－10x ），则利润为y ＝（10＋x ）（100－10x ）－8（100－10x ）＝－10（x －4）2＋360（0≤x ≤10）． 因此x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD （如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC 和CD 上），但不能超过文物保护三角形AEF 的红线EF ．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB ＝CD ＝200m ，BC ＝AD ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m ．解析：设PO ＝x ，则S ＝－23 （x －190）2＋23 ×1902，0＜x ＜200，即x ＝190时，最大面积为24067m 2． 总结：解决函数应用题的流程图是：解决函数应用题的基本步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化．第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解．第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答． 课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ） A ．5～7km B ．9～11km C ．7～9km D ．3～5km 答案：A2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771） A ．5 B ．10 C ．14 D ．15 答案：C3．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）． 解析：设矩形宽为x m ，则矩形长为（200－4x ）m ，则矩形面积为S ＝x （200－4x ）＝－4（x －25）2＋2500（0＜x ＜50），∴x ＝25时，S 有最大值2500m 2．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解答：设两家旅行社的原价为a （a ＞0），家庭孩子个数为x （x ∈N*），甲、乙两家旅行收费分别为f （x ）和g （x ），则f （x ）＝a ＋（x ＋1）·a 2 ＝a2 x ＋32 a （x ∈N*），g （x ）＝（x ＋2）·2a 3 ＝2a 3 x ＋4a3（x ∈N*），g （x ）≥f （x ），得 a 2 x ＋3a 2 ≤2a 3 x ＋4a3，∴x ≥1．因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社．5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：消费金额的范围 ［200，400） ［400，500） ［500，700） ［700，900） … 获得奖券的金额3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价 ．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13 的优惠率？答案：（1）优惠率为33％；（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于13的优惠率．6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．解析：由题意知，当0＜t ≤40，h （t ）＝－112 （t －10.5）2＋3880948；当40＜t ≤100，h （t ）＝16 （t －106.5）2－2524 ；∴t ＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．第30、31课时函数模型及其应用［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少85t万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A．5～7km B．9～11km C．7～9km D．3～5km2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据l g2＝0.3010，l g3＝0.4771）A．5 B．10 C．14 D．153．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价 ．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13 的优惠率？6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．。
函数模型及其应用教案
．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
生：仿照例题的探究方法||，选用具体函数进行研究、论证||，并进行交流总结||，形成结论性报告．
师：对学生的结论进行评析||，借助信息技术手段进行验证演示．
巩
固
与
反
思
尝试练习：
1）教材P116练习1、2||；
2）教材P119练习．
小结与反思：
通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义||，认识数学的价值||，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系||，从而体会数学的实用价值||，享受数学的应用美．
探究：
1）本例涉及了哪几类函数模型？
本例的实质是什么？
2）你能根据问题中的数据||，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？
师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响||，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况．
生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用||，体会它们的增长差异．
(1)求出a、b的值||；
(2)若这种鸟类为赶路程||，飞行的速度不能低于2 m/s||，则其耗氧量至少要多少个单位？
答案与解析
(1)由题意可知||，当这种鸟类静止时||，它的速度为0 m/s||，此时耗氧量为30个单位||，故有 ＝0||，
即a＋b＝0||；当耗氧量为90个单位时||，速度为1 m/s||，故 ＝1||，整理得a＋2b＝1.
苏教版高中数学必修一函数模型及其应用教案(3)
函数模型及其应用一、教学目的1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；2、结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；3、运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；4、以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。
二、教学重点、难点重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学过程第一课时几类不同增长的函数模型1、复习引入师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；……师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。
今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。
2、新课（用幻灯片展示例题）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：1）每天回报40元；2）第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；3）第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）教师提示：1）、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？（回报的累积值）。
2）、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。
设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。
精品2019-2020年最新高中数学苏教版必修一2.6《函数模型及其应用》一等奖教学设计
【学案导学设计】高中数学2.6函数模型及其应用课时作业苏教版必修1课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．1．几种常见的函数模型(1)一次函数：y＝kx＋b(k≠0)(2)二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(3)指数函数：y＝a x(a>0且a≠1)(4)对数函数：y＝log a x(a>0且a≠1)(5)幂函数：y＝xα(α∈R)(6)指数型函数：y＝pq x＋r(7)分段函数2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解释实际问题．一、填空题1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：．2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________．4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)5．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________．7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．二、解答题10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：(1)种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝alog b t；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．能力提升12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：为依据，用函数y＝ax＋b或y＝a x＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．13．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．函数拟合与预测的一般步骤：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．§2.6 函数模型及其应用作业设计1．75解析由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为y＝300·2x(x∈Z)．当x＝－2时，y＝300×2－2＝3004＝75.2．300解析由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y ＝ax＋b，将(1,800)，(2,1300)代入得a＝500，b＝300. 当销售量为x＝0时，y＝300.3．减少7.84%解析设某商品价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，所以四年后的价格与原来价格比较(0.9216－1)a＝－0.0784a，即减少7.84%. 4．①解析由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画．5．23cm2解析设一段长为xcm，则另一段长为(12－x)cm.∴S＝34(x3)2＋34(4－x3)2＝318(x－6)2＋23≥23(当且仅当x＝6时，取“＝”)．6．15,12解析由三角形相似得24－y24－8＝x20，得x＝54(24－y)，∴S＝xy＝－54(y－12)2＋180.∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.7．2250解析设每台彩电的原价为x元，则x(1＋40%)×0.8－x＝270，解得x＝2250(元)．8．400解析由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝100,2000年年底时，x＝15，代入得y＝400.9．2ln2 1024解析当t＝0.5时，y＝2，∴2＝12k e，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，当t＝5时，∴y＝e10ln2＝210＝1024.10．解设每床每夜租金为10＋2n(n∈N)，则租出的床位为100－10n(n∈N且n<10)租金f(n)＝(10＋2n)(100－10n)＝20[－(n－52)2＋2254]，其中n∈N且n<10.所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，若n＝2，则租出床位100－20＝80(张)；若n＝3，则租出床位100－30＝70(张)；综合考虑，n应当取3，即每床每夜租金选择10＋2×3＝16(元)．11．解(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·b t，Q＝alog b t中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，可得：⎩⎨⎧ 150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. 所以，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，芦荟种植成本最低为 Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10kg)． 12．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b或⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b ，52＝a 2＋b.(a>0) 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)．∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x ＋48.当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54；当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝56.由于56与53.9的误差较大，∴选y ＝ax ＋b 较好．13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝12a ，即(1－x)10＝12， 解得x ＝1－11012⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a(1－x)m ＝22a ，即1012m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭，m 10＝12，解得m ＝5， 故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a(1－x)n . 令22a(1－x)n ≥14a ，即(1－x)n ≥24， 1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫ ⎪⎝⎭，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．。
苏教版高中数学必修一第二章函数模型及其应用教案
《函数模型及其应用》教案一．课标要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
二．命题走向函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。
高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。
出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
预测2009年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
三．要点精讲1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解抽象概括还原说明2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.2 函数模型及其应用》
智慧教育背景下的高中建模能力的构建考情分析在近三年的应用题的考查中，2021年考查了解三角形的应用题，2021年考查了直线与圆的位置关系的应用题，2021年以平面图形为载体考查了函数应用题，2021年以空间几何体为载体继续考查函数应用题考查的热点还是函数、导数与不等式模型以及解三角形的实际应用问题学情分析高中数学应用题是历年高考命题的主要题型之一，在高考试卷中占有较高的分值，通常是决定学生成绩的关键。
学生也一直畏惧应用题，畏惧应用题主要有以下三点：1不能理解题意，分不清题目中的量、未知量、常量、变量、新词汇、目标。
2：不熟悉代数建模、几何建模不能正确的选择设边、设角、建系等方法以及定义域的求法。
3：不能保证运算的稳定度，精确度本节课针对审题及建模帮助学生熟悉、理解解决应用题的根本知识和根本技能教学目标1: 文字关：即阅读理解题意，罗列题目的条件，分清题目中的量、未知量、常量、变量、新词汇，分析题目所求，思考可能采用的方法——审题2: 建模关：建立数学模型主要包括代数建模、几何建模代数建模主要利用函数、数列、不等式进行建模，其难度主要在阅读题意，建立等式或不等式关系上；几何建模主要是利用解析几何知识，建立直角坐标系，使实际问题几何化，解决实际问题教学重点1：理解审题的内涵即“审什么〞和“怎么审〞2：等量关系是关键3：定义域的求法即极限位置或代数方法教学难点1：找到影响待解决目标的主要干扰因素，确定解决方案即确定变量是主线2：代数模型或几何模型的选择教学工具多媒体及实物投影教学过程课前热身1如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A、B 及CD的中点, CB =10m ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上〔含边界〕，且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,O ，那么OQ＝10－，所以OA =OB=所求函数关系式为2如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区规划要求:新桥BC与河岸AB垂直; 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C 位于点O正东方向170m处OC为河岸,1求新桥BC的长；2当OM多长时,圆形保护区的面积最大？教师提问:哪些量是变量？哪些量是常量？教师提问：如何建立目标和变量的等量关系？解法一：〔1〕如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由条件知，直线的斜率由因为，所以直线的斜率设点的坐标为，那么解得所以因此新桥的长是150米。
高一数学必修一教案《函数模型及其应用》
精心整理高一数学必修一教案《函数模型及其应用》【篇一】【内容】建立函数模型刻画现实问题量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。
在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。
【教学目标】(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程.态度了解函处理生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本过程中让学生亲身体验函数应用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验这样以.教学前言：函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.教学内容师生活动设计意图探究新知引入：教师：大家觉得我胖吗?学生回答教师：我们在街上见到一个人总是会判断这个人的胖瘦，我们衡来衡量BMI 大于学生说，教师把相关数据填在用PPT展示的一张表格上教师：好，有了这些数据我们就可以来研究了，那接下来我们怎么来处理刚收集到的这些数据呢?学生回答(预期:画散点图——连线——找函数)教师：好，大家按小组先画图连线然后讨论一下你们小组认为哪个函数的图像符合学生活动并回答教师：好，那大家分一下工，你们几个小组来计算这个函数解析呢?教师:那大家来检验一下哪个模型更符合数据情况学生分小组进行检验教师:好了,我们利用刚才收集的数据通过我们的努力得出了一个式子,它也就是符合大家的情况的一个胖瘦的标准,既是我们班的一个标准,能用来衡量其它班的同学吗?那我们来计算一下老师的结果是什么样的.教师:可见用世界肥胖标准对老师的体重进行的评价和所建立的数学模型计算的结果是基本一致的。
高中数学苏教版必修1第3章《3.4.2 函数模型及其应用》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学苏教版必修1第3章《3.4.2 函数模型及其应用》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1. 认识并理解数学建模的含义及实际问题中常见的函数模型;
2. 理解并掌握函数应用问题中的审题及建模方法;
3. 培养学生分析问题,解决问题及应用数学的能力
2教学重点难点
教学重点:1.如何将实际问题数学化;
2.如何对得到的数学模型进行解答,得出数学问题的解
教学难点:审题与建模
3教学方法
启发式、讨论式、诱思探究式教学
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】问题情境
笛卡尔:“对我来说,什么都可以变成数学。
”
华罗庚:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学。
”(师):的确,正如两位前辈所说,数学与我们的生活息息相关,我们身边的很多实际问题都蕴涵着丰富的数学知识,数学思想与和数学方法。
活动2【导入】实例展示
1. 某一天猫旗舰店在双十一期间制定了如下的促销方案:店内所有商品按标价的80%出售,同时当顾客在店内消费满一定金额后,按以下方案获得相应的返现:。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.2 函数模型及其应用》2
函数的应用知识梳理1. 数学模型及数学建模数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学的角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学建模是把实际问题加以抽象概括,建立相应的模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法. 2. 常见的几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x)=ax+b (a,b 为常数,a ≠0) 二次函数模型 f(x)=c bx ax ++2(a,b,c 为常数,a ≠0)反比例函数模型 f(x)=xa+b (k,b 为常数且k ≠0)指数函数模型 f(x)=xba +c(a,b,c 为常数,b ≠0,a>0且a ≠1 对数函数模型 f(x)=x b a log +c(a,b,c 为常数,b ≠0,a>0且a ≠1) 幂函数模型 f(x)=n ax +b(a,b 为常数,a ≠0) 分段函数模型上面两种或多种模型的综合3. 解函数应用题时,要注意四个步骤: 第一步,阅读理解;第二步,引入数学符号,建立数学模型;第三步,利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果; 第四步,将所得结果再转译成具体问题的解答.二次函数模型例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y (单位:万元)与年产量x (单位:t)之间的函数关系式可以近似地表示为y=x 25-48x+8 000, 已知此生产线年产量最大为210 t .(1) 求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本.(2) 若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 【思维引导】(1) 根据函数模型,建立函数解析式;(2) 求函数最值. 【解答】(1) 每吨平均成本为y x(万元),则y x =x 5+8 000x -48≥2√x 5·8 000x -48=32,当且仅当x 5=8 000x,即x=2021取等号,所以年产量为2021t 时,每吨平均成本最低,最低为32万元. (2) 设可获得总利润为R (x )万元,则R (x )=40x-y=40x-x 25+48x-8 000=-x 25+88x-8 000=-15(x-22021+1 680 (0≤x ≤210).因为R (x )在[0,210]上是增函数,所以当x=210时,R (x )有最大值,为-15(210-22021+1 680=1 660, 所以年产量为210 t 时,可获得最大利润1 660万元.【精要点评】二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.在解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的位置关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取得.分段函数模型例2 经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为销售时间t (单位:天)的函数,且日销售量近似地满足g (t )=-13t+1123(1≤t ≤100,t ∈N).前40天价格为f (t )=14t+22(1≤t ≤40,t ∈N),后60天价格为f (t )=-12t+52(41≤t ≤100,t ∈N),试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值.【思维引导】因为不同阶段日销售价格不同,所以确定日销售额S (t )是分段函数,然后在不同分段上利用二次函数知识求解,最后综合分析,确定最值.【解答】当1≤t ≤40,t ∈N 时,S (t )=g (t )f (t ) =(-13t +1123)(14t +22)=-112t 2+2t+112×223=-112(t-12)2+2 5003,所以768=S (40)≤S (t )≤S (12)=2 5003. 当41≤t ≤100,t ∈N 时 ,S (t )=g (t )f (t ) =(-13t +1123)(-12t +52)=16t 2-36t+112×523=16(t-108)2-83,所以8=S (100)≤S (t )≤S (41)=1 4912. 所以S (t )的最大值为2 5003,最小值为8.【精要点评】由于价格函数f (t )是分段函数,所以日销售额S (t )也应分段求出;分别求出S (t )在各段中的最值,通过比较,最后确定S (t )的最值.利用二次函数知识研究最值,要注意定义域对其的影响.“y=x+a x”型函数模型的应用例3 某工厂去年某产品的年销售量为100万只,每只产品的销售价为10元,每只产品固定成本为8元.今年,工厂第一次投入100万元(科技成本),并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本),预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只,第n 次投入后,每只产品的固定成本为g (n )=k√n+1(k>0,k 为常数,n ∈Z 且n ≥0).设产品销售价保持不变,第n 次投入后的年利润为f (n ).(1)求k 的值,并求出f (n )的表达式.(2)若今年是第1年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?【思维引导】(1) 根据每只产品的固定成本g (0)=8知k 的值及f (n )的表达式;(2) 利用基本不等式确定最高利润. 【解答】(1) g (n )=k√n+1,当n=0时,可求得k=8,所以f (n )=(100+10n )10-8√n+1-100n.(2) 由f (n )=(100+10n )10-√n+1-100n=1 000-80(√n+1)=1 000-80(√n +1+√n+1)≤1 000-80×2√9=52021当且仅当√n +1=√n+1,即n=8时取等号.所以第8年工厂的利润最高,最高利润为52021.【精要点评】“y=x+a x ”型函数模型的应用技巧:(1) “y=x+a x”型函数模型在实际问题中会经常出现.解决此类问题,关键是利用已知条件,建立函数模型,然后化简整理函数解析式,必要时通过配凑得到“y=x+a x”型函数模型.(2) 求函数解析式要确定函数的定义域.对于y=x+a x(a>0,x>0)类型的函数最值问题,要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件,如果在定义域内满足等号成立,可考虑用基本不等式求最值,否则要考虑函数的单调性,此时可借用导数来研究函数的单调性.变式 (2021·常州期末)如图,某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m 宽的通道.设矩形温室的室内长为x (单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位:m 2).(1) 求S 关于x 的函数关系式; (2) 求S 的最大值.(变式)【解答】(1) 由题设得S=(x-8)(900x -2)=-2x-7200x+916,x ∈(8,450).(2) 因为8<x<450,所以2x+7200x ≥2 √2x ·7200x=240,当且仅当x=60时等号成立.从而S ≤676.所以,当矩形温室的室内长为60 m 时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,最大为676 m 2.。
精品获奖教案 3.4.2函数模型及其应用(3)教案 苏教版必修1
3.4.2 函数模型及其应用（3）教学目标：1．学会通过数据拟合建立恰当的函数某型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测；2．通过实例了解数据拟合的方法，进一步体会函数模型的广泛应用；3．进一步培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.教学重点：了解数据的拟合，感悟函数的应用.教学难点：通过数据拟合建立恰当函数模型.教学方法：讲授法，尝试法．教学过程：一、情境问题某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c（其中a，b，c为常数）．已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数好？为什么？二、学生活动完成上述问题，并阅读课本第85页至第88页的内容，了解数据拟合的过程与方法．三、数学建构1．数据的拟合：数据拟合就是研究变量之间的关系，并给出近似的数学表达式的一种方式．2．在处理数据拟合(预测或控制)问题时，通常需要以下几个步骤：（1）根据原始数据，在屏幕直角坐标系中绘出散点图；（2）通过观察散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线；（3）根据所学知识，设出拟合曲线的函数解析式——直线型选一次函数y ＝kx ＋b ；对称型选二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ；单调型选指数型函数y ＝ab x ＋c 或反比例型函数y ＝kx ＋a＋b ．（4）利用此函数解析式，根据条件对所给的问题进行预测和控制． 四、数学应用例1 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度为T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )，(0.5)t/h其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用880C 热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20min ，那么降到35℃时，需要多长时间(结果精确到0.1)．例2 在经济学中，函数f (x )的边际函数M f (x )的定义为Mf (x )＝f (x +1)－f (x )，某公司每月最多生长100台报警系统装置，生产x 台（x ∈N*)的收入函数为R (x )＝3000x －20x 2（单位：元），其成本函数为C (x )＝500x ＋4000（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；（2）利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )是否有相同的最大值？ 例3 （见情境问题） 五、巩固练习1．一流的职业高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆．初学者打高尔夫球，通常是开始时进步较快，但进步到某个程度后就不易再出现大幅进步．某球员从入门学起，他练习打高尔夫球的成绩记录如图所示：根据图中各点，请你从下列函数中：（1）y ＝ax 2＋bx ＋c ；（2）y ＝k ·a x＋b ；（3）y ＝kb x a++；判断哪一种函数模型最能反映这位球员练习的进展情况？ 2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y (单位：元/100kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：80（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个描述西红柿的种植成本y与上市时间t的变化关系；y＝at+b，y＝at2+bt+c，y＝ab t，y＝a log b t（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．简答：（1）由提供的数据描述西红柿的种植成本y与上市时间t之间的变化关系不可能是常函数，因此用y＝at+b，y＝ab t，y＝a log b t中的任一个描述时都应有a不等于0，此时这三个函数均为单调函数，这与表中所给数据不符合，所以，选取二次函数y＝at2+bt+c进行描述.（2）略．六、要点归纳与方法小结处理数据拟合(预测或控制)问题时的解题步骤.七、作业课本P104习题3.4（2）－4．2.2.1 圆的方程（1）教学目标：1．理解建系解决轨迹方程的求法；2．能根据已知条件求出圆的标准方程．教材分析及教材内容的定位：培养学生用坐标法研究几何问题的能力，增强学生用代数的方法解决几何问题的意识．圆的方程研究是基础，为后续研究位置关系作下铺垫．在高考考点要求中是C 级要求，是必考内容，也是高考当中的热点和重点，需要掌握基础题型，并有很好的计算能力，才能解决好本节问题，综合体现了新课标下高考的要求，是非常重要的一节内容．教学重点：根据已知条件求出圆的标准方程．教学难点：运用几何法和待定系数法求圆的标准方程．教学方法：例1 求圆心是C(2，－3)，且经过坐标原点和圆的标准方程．例2 已知两点A(6，9)和B(6，3)，求以AB为直径的圆的标准方程，并且判断点M(9，6)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？例3 已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2. 7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？2．练习．求满足下列条件的圆的标准．．方程：（1）经过点(0，4)，(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上；（2）与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x－3y＋5＝0上；。
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高三应用题专题一、【考点概述】∶数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。
近几年江苏高考中一般编制17、18大题中的一题。
解答这类问题的关键是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，江苏高考中，函数，三角，解几，不等式是较为常见的模型，而概率，数列，统计，算法等模型也应在复习时引起注意二、【高考再现】：1、（2021江苏高考题18）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min 在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，12cos13A=，3cos5C=1 求索道AB的长；2 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？3 为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？2．2021江苏高考题18如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处OC为河岸，4 tan3BCO∠=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？3（2021年江苏高考17题）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到的距离分别为5千米和40千米，点N 到的距离分别为2021和千米，以所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系O ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型（1）求a ，b 的值；（2）设公路与曲线C 相切于x24yOxEDC BA103AB =33CD =，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距33，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图【中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？四、【例题分析】：2,A θ∠=现用例1、正余弦定理及不等式的应用：海岸线MAN ，长为l 的拦网围成一养殖场，其中,B MA C NA ∈∈．（1）若BC l =, 求养殖场面积最大值；（2）若B 、C 为定点，BC l <，在折线MBCN 内选点D ，使BD DC l +=，求四边形养殖场DBAC 的最大面积；（3）若2中B 、C 可选择，求四边形养殖场ACDB 面积的最大值例2、函数的应用：某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC ,BD 是过抛物线焦点F 且互相垂直的两条弦,该抛物线的对称轴为EF ，通径长为4．记∠EF A ＝ α, α为锐角． （1）用α表示AF 的长；（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S 关于α的函数关系Sα； （3）为使“蝴蝶形图案”的面积最小，应如何设计α的大小？A EDCBFA ED CB F 图1 图2ACBDF Eα例3、导数的应用：某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径假定拟建体育馆的高米（1）若要求米，米，求与的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；（3）若，求的最大值（参考公式：若，则）。
苏教版高中数学必修一函数模型及其应用教案(5)(1)
函数模型及其应用一、教材分析本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤。
函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功。
本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、以及简单的一次函数类的分段函数。
其中，最重要的是二次函数模型。
二、学习目标分析知识与技能：1、通过社会生活、生产中的例子，使学生体会函数模型的广泛应用；2、让学生学会对数据进行分析、处理，建立模拟函数的方法和步骤，并解决实际问题；3、了解一些简单的数学模型，熟悉数学建模；过程与方法：1、了解数学建摸，掌握根据已知条件建立函数关系式；2、培养学生分析问题、解决问题的能力；3、培养学生应用数学的意识；情感与态度：1、认识数学和生活的相互联系；2、了解数学在实际中的应用。
三、教学重难点：重点：通过仔细审题，建立数学模型，计算并解决实际问题；难点：数学建模的意识；关键：一次函数模型、二次函数模型和分段函数模型的应用。
四、教法分析：通过布置作业的形式让学生阅读课本，完成“自主学习”部分的习题，了解数学模型的概念及数学建模的思想方法。
课堂上通过讨论与学生一起分析得出数学应用题的解决应达到哪些能力要求，再通过“合作探究”与大家一起总结解答应用题的基本步骤；最后留出足够的时间，让学生完成“巩固提高”中的练习题，巩固学生对数学应用题的认识，同时加强对相关知识点的熟悉程度。
五、学法分析：现代教育心理学的研究认为：有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的。
在初中，函数类的应用题已有所知，从直观上接触过函数模型．因此，在设计教案时，通过自主完成课案中的“自主学习”部分，让学生从一些简单的数学模型入手，熟悉函数模型，再通过课堂上的“合作探究”加深函数模型的理解，拓展函数模型，学会建立模拟函数的方法和步骤。
最后通过“巩固提高”题巩固本节内容。
整个学习过程由简入难，循序渐进，逐步提高数学能力。
目的是为了培养学生应用数学的能力。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.2 函数模型及其应用》7
二 次 函 数金沙中学数学组 徐健基础知识 自主学习1二次函数解析式的三种形式1一般式：)(x f =2顶点式：)(x f =3零点式：)(x f =求二次函数解析式的方法：待定系数法根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求2、二次函数的图象和性质 图象函数性质 0>a 定义域R x ∈（个别题目有限制的，由解 析式确定）值域 0>a 0<a 奇偶性0<a单调性 0>a 0<a图象特点3、题型一 二次函数的解析式的求法【例1】已知二次函数)(x f 满足1)2(-=f ,1)1(-=-f , 且)(x f 的最大值是8，求此二次函数的解析式知能迁移1 设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+，且0)(=x f 的两实数根平方和为10，图象过点0,3, 求)(x f 的解析式题型二 二次函数的图象与性质【例2】 已知函数2142+-+-=a ax x y 在区间[]1,0上的最大值是2，求实数a 的值知能迁移2 已知函数x x x f 8)(2+-=,求函数)(x f 在区间[]1,+t t 上的最大值)(t h题型三 二次函数的综合应用【例3】 已知二次函数)(x f y =的图象与x 轴 交于A ，B 两点，且32=AB 它在y 轴上的截距为4,又对任意的x 都有)1()1(x f x f -=+（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线c x y l +=:的下方，求c 的取值范围知能迁移 3 已知二次函数bx ax x f +=2)(b a 、为常数且0≠a 满足条件：)3()5(-=+-x f x f ,且方程x x f =)(有等根（1）求)(x f 的解析式；（2）设tx x f x g +=)()(R t ∈，试求)(x g 在区间[]1,1-上的最小值；（3）是否存在实数nm 、n m <，使)(x f 的定义域 和值域分别是[]n m ,和[]n m 3,3如果存在，求出n m 、的值，若不存在，请说明理由4、巩固练习1方程012=+-mx x 的两根为βα,,且21,0<<>βα则实数m 的取值范围是2若函数3)2(2+++=x a x y ，[]b a x ,∈的图象关于1=x 对称，则b =3设二次函数21)(2++=x x x f 的定义域为[]1,+n n ,*∈N n ，则)(x f 的值域中有 个整数4函数1)12()(2+-+-=x a x x f 的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是5已知函数c bx ax x f ++=2)(),,0(R c R b a ∈∈> （1）若函数)(x f 的最小值0)1(=-f ,且1=c ,⎩⎨⎧<->=0),(0),()(x x f x x f x F ，求)2()2(-+F F 的值； （2）若0,1==c a ,且1)(≤x f 在区间(]1,0恒成立，试求b 的取值范围6已知函数2)(x x f =,1)(-=x x g1若存在R x ∈使)()(x bg x f <，求实数b 的取值范围； 2设21)()()(m m x mg x f x F --+-=,且)(x F 在[]1,0上单调递增，求实数m 的取值范围。
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《二次函数》教学设计盐城市第一中学尤为军一、教材分析本节课以苏教版第一章“二次函数”为主要内容，教材涉及的知识点比较难，对学生积累的数学经验和掌握的基础知识和基本技能要求较高，因此教学时只有紧密结合二次函数的图像，才能对二次函数的最值有一个完整、清晰的认识。
同时本节中用到的数学思想有函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等，可以说本节内容是高中数学知识与思想的集中呈现，是提升数学活动经验、培养数学思想方法的综合课例。
二、学情分析在本节之前，学生已经在初中学习了二次函数的图像和代数表达式，从“数”的方面对二次函数有了浅显的认识，具备了探索本节课的数学基础；本节课通过目标引领、分组讨论、探究式学习，让学生从“数”和“形”两个主要因素出发，用数形结合和分类讨论的思想来认识和理解二次函数最值问题的求解方法。
三、教学目标知识与技能：熟练掌握运用二次函数图像研究最值问题。
过程与方法：设置问题情境，激发学习兴趣。
通过前置学习目标的展示，使学生明确本节课的任务。
在目标的引领下，运用多媒体手段辅助教学，以问题解决为中心，探究知识间的相互联系，体验数学活动的探索与创造，在获取新知的基础上，提升数学活动经验。
情感态度与价值观：1经历探索二次函数最值的过程，体会数形结合的思想方法；2通过二次函数含参最值的求解，使学生体会数学的严谨性，体会分类讨论的思想方法。
四、教学重难点重点：重点：结合二次函数图像研究二次函数的最值；难点：结合二次函数图像对含参最值问题讨论。
五、教学过程1回馈复习、感知目标。
活动内容：回馈复习二次函数的图象和性质1二次函数解析式的三种形式①一般式：f＝；②顶点式：f＝；③两根式：f＝2二次函数的性质已知函数=222,∈D,求此函数在下列各D中的最值：]① [-3,-2]；② [-2,1] ；③ [0,1] ；④[-3,12活动目的：通过回馈复习和课前热身训练，让学生回顾二次函数的解析式，熟练掌握结合二次函数的图像求区间和对称轴双定的最值问题，初步感知感受数形结合思想。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.2 函数模型及其应用》16
函数综合应用
——数形结合思想的应用
启东市汇龙中学 张健
【学习目标】
1．掌握分段函数的图象与性质，会用函数的图象研究分段函数的性质；
2．理解函数的零点与方程根的联系，会解与分段函数有关的零点问题；
3．通过典例研究，培养数形结合和分类讨论的思想方法，提升数学素养．
【学习过程】
一、温故·习新
1．已知函数()lg ,0,3,0,
x x f x x x >⎧=⎨+⎩若()()10+=f a f ，则实数a 的值是 ．
2．函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()2f a f ，
则实数a 的取值范围是 ．
3．已知函数()21,0,,0,x x f x x x +⎧=⎨<⎩
则不等式()2f x 的解集是 ．
二、释疑·拓展
例 已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-，
（1）求()f x 的表达式；
（2）若()f x 在()
15,42a a +上单调递增，求a 的取值范围； （3）求方程()0f x m -=的解的个数；
（4）当[],2x t t ∈+()0t >时，求()f x 的最大值．
三、反馈·提炼
当[],2x t t ∈+时，求()f x 的最小值．
四、归纳·提升
【教者简介】
张健，高一数学备课组长。
曾获“南通市优秀班主任”、“南通市好青年”、“启东市园丁奖”、“启东市骨干教师”等荣誉称号，参与多个课题研究，多篇论文在省级刊物发表。
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§3.4.2 函数模型及其应用（一）教案
【教学目标】
1．通过问题情境中的实际问题的回顾，体验函数与现实世界的密切联系，感受函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型；
2．通过例1的学习，能根据实际问题的情境建立函数模型，体会函数在刻画实际问题中的作用；
3．通过例2，例3的学习，能结合函数的性质解决实际问题，培养数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力．
【教学重、难点】
1．能根据实际问题的情境准确地建立函数模型；
2．能结合函数的性质正确地解决实际问题．
【教学过程】
一、问题情境
从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花．要测定古莲子的年代，可以用放射性碳法(见课本P64) ．经科学测定，若14C的原始含量
y ．已知测得出土的古莲子中14C的残留为1，则经过x年后的残留量为0.999879x
量占原来的87.9％，试推算这些古莲子是多少年前的遗物呢？
[设计意图] 选的课本中的富有实际意义的一个例子来引入，让学生再一次体验函数与现实世界的密切联系，同时，也促使学生复习课本，重视复习学过的知识．
二、数学运用
例1某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元．分别写出总成本C (单位：万元)、单位成本P (单位：万元)、销售收入R (单位：万元)以及利润L (单位：万元)关于总产量x (单位：台)的函数关系式．
[设计意图] 课本例题，是初中学过的一次函数、正(反)比例函数模型，主要是让学生注意建立数学模型的一些细节问题(如单位、定义域等) ．
注意：(1)单位要统一；(2)写出定义域．
再问：至少生产多少台计算机才不亏本？
例2某种海洋生物身体的长度f (t) (单位：米)与生长年限t (单位：年)满足如下的函数关
系：410()2t f t k -+=+(k 为常数) ．设该生物出生时身体的长度为1017
米，问：至少经过多少时间，该生物的身长不小于8米？
[设计意图] 没有选择课本中的例2，主要是课本中的例2的结果需要用计算工具，并且是一个解方程的问题，和问题情境中的问题类似．选了一道相近的例子，让学生会利用已知函数模型解决问题．
注意：(1)理解“出生时”的含义 (目的是求出函数解析式中的系数k )；
(2)准确地求解指数不等式．
例3 销售甲、乙两种商品所得利润分别是P (单位：万元)和Q (单位：万元)，它们与投
入资金t (单位：万元)的关系有经验公式15P t =，Q =3万元资金去全部投入经营甲、乙两种商品，问：甲、乙两种商品应分别投资多少万元，才能使总利润最大？最大利润是多少？
[设计意图] 课本中的例3涉及整数解的问题，安排在下一课时．此题选自课本P104习题
3.4(2)第2题，将问题“写函数关系”改为了“求最大利润” ．让学生能先选择恰当的变量建立函数模型，再利用函数的性质解决问题．
注意：(1)变量的选择要恰当；
(2)建立的函数模型要写完整；
(3)答题要符合要求．
三、本课小结
1．利用数学模型解决实际问题时，一般按照以下步骤进行：
其中建模是关键，求解是基础．
2．从题设条件看，函数的实际问题主要有两类：
(1)已知函数模型解决问题(如例2)；
(2)先建立函数模型再解决问题(如例3) ．
3．从问题设置看，可抽象为：
(1)方程；(2)不等式；(3)最值等问题．
四、巩固练习
1．某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 C .已知山顶的温度是14.6
C ，山脚的温度是26 .问：此山有多高？
2．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间t (单位：天)的函数，且销售量近似地满足g (t )=1109(1100,)3
3
t t t N -+≤≤∈. 前40天价格为f (t )= 122(140,)4t t t N +≤≤∈，后60天价格为f (t )= 522t -+ (41100,t ≤≤ )t N ∈.试写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系.
五、课后作业
1．已知某产品今年年产量是m 件，计划以后每年的产量比上一年增加20％，写出x 年后该产品的年产量y 与x 之间的函数关系式.
2．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2 km ，慢车到终点站需16 min ，快车比慢车晚发车3 min ，且行驶10 min 后到达终点站 . 试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式. 两车在何时相遇? 相遇时距始发站多远?
3．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚得78元.问：这两筐椰子原来共有多少个？
4．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过
一定时间t 后的温度是T ，则01()2t h
a a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，其中a T 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88C 热水冲的速溶咖啡，放在24C 的房间中，如果咖啡降温到
40C 需要20 min ，那么降温到35C 时，需要多少时间 (结果精确到0.1)？。