北京邮电大学高等数学
北京邮电大学 高等数学(全)参考答案
北京邮电大学高等数学答案一、单项选择题（共20道小题，共100.0分）
设的定义域为则的定义域为___________.
函数是定义域内的____________.
A.周期函数
B.单调函数
C.有界函数
D.无界函数
设，则__________.
函数
设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则
时与无穷小
时,与为等价无穷小则__________.
____________.
_________.
M.0
N. 1
下列计算极限的过程，正确的是____________.
设在处连续,则_________.
Q. 2
设 ,则（）
设且可导，则（）
已知，则（）
R. 1
设，则（）
设
设则
曲线处的切线方程为
设存在，则等于（
设函数可导，则（
函数
函数的周期是___________.
是____________.
A.单调函数
B.周期函数
C.
D.
函数是___________.
E.
F.
G.非奇非偶函数
H.既是奇函数又是偶函数
设（为常数），则___________.
设，则__________.
下列各对函数相同的是________.
I.与
J.与
与
设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则
存在是
W.无关的条件
设在处连续，且时，，则_________.
AA.2
设函数，则的连续区间为______________.
设且可导，则（）
设，则（）
设则( )
设，则（）
设,且,则( )
设
设则的定义域为
函数
函数
F.周期函数
G.
H.
函数是___________.
I.
J.
K.
L.既是奇函数又是偶函数
下列函数中为奇函数的是__________.
设（为常数），则___________.
高等数学北邮教材
高等数学北邮教材
高等数学（Advanced Mathematics）是大学本科理工科专业所必修
的一门课程。在北京邮电大学（Beijing University of Posts and Telecommunications）所使用的高等数学教材是经过精心编写和筛选的，旨在帮助学生建立起扎实的数学基础，为他们在未来的专业学习和科
研工作中打下坚实的基础。本文将从教材的内容、特点和使用效果三
个方面对高等数学北邮教材进行介绍。
一、教材的内容
高等数学北邮教材涵盖了以下主要内容：数列与级数、数理统计与
概率论、常微分方程、多元函数微分学、重积分与曲线积分等。每个
章节的内容都经过严格的论证和筛选，既包含了数学理论和推导，又
有大量的例题和习题供学生练习。教材采用了扎实的数学推导，注重
培养学生的逻辑思维和问题解决能力。同时，教材还融入了实际应用
和科技发展的案例，让学生能够将数学理论应用到实际问题中。
二、教材的特点
高等数学北邮教材具有以下几个特点：
1.全面而深入：教材内容全面，既包括了基础概念和定理，又涉及
到了一些前沿和热点的数学问题。教材中的例题和习题设计也足够细致，既有基础训练，又有拓展和应用训练，有助于学生更好地掌握数
学知识。
2.逻辑性强：教材的编写注重逻辑性，每个章节的内容都有循序渐进的推导，帮助学生建立起完整的数学体系。教材中的例题和习题也很有层次感，使学生在解题过程中能够将不同的知识点联系起来，形成完整的思路。
3.应用性强：教材注重将数学理论与实际应用相结合，通过一些实际问题和科技发展的案例，引导学生将数学知识应用到实际问题中，培养学生的应用能力和创新意识。
北邮大一高等数学教材
北邮大一高等数学教材
高等数学是大学数学的一门基础课程，对于计算机科学与技术专业的学生来说尤为重要。北邮是国内知名的信息科学与技术高校之一，其大一高等数学教材的编写是经过精心策划和整理的。下面将对北邮大一高等数学教材的内容进行简要介绍，并探讨其在培养学生数学思维和解决实际问题能力方面的优势。
【第一章：极限与连续】
该章节是高等数学中的重要概念，也是后续学习的基石。从基本的函数极限与趋近性开始，逐渐引入函数的连续性与间断点等内容。此外，该教材在讲解定积分的概念时，强调与极限的联系，为后续章节的学习打好基础。
【第二章：微分学】
微分学是高等数学中的经典部分，也是大学数学中的难点之一。北邮的教材紧密围绕求导原理与法则展开，注重引入相关函数的导数与微分，并着重解释微分的几何意义。通过数学公式的推导和实际问题的应用，教材在培养学生的推理能力和问题解决能力方面具有明显的优势。
【第三章：数值级数与函数级数】
数值级数与函数级数是高等数学中的重要内容之一。北邮的教材着重讲解级数的收敛性和敛散判别法则，并以实际问题为例，引导学生
在解决实际问题时灵活运用级数概念。此外，教材还对一些常用的基本级数进行了详细的介绍，为学生的数学运算提供了便利。
【第四章：多元函数微分学与多重积分】
多元函数的微分学与多重积分是数学中的重要分支。北邮的教材从函数的极限与连续开始，引入了多元函数的偏导数与全微分的定义，为后续的多元函数微分学打下了基础。同时，教材对二重积分和三重积分进行了详细的解释与实例讲解，帮助学生理解积分的几何和物理意义。
北邮829考研参考书目
北邮829考研参考书目
北邮829考研参考书目
北邮829考研参考书目是指北邮研究生考试的推荐参考书目。这些书目主要包含计算机科学、通信工程、电子工程等相关专业的基础知识和专业知识。以下是北邮829考研参考书目的内容：
1.《高等数学》：这是一本高等学校计算机、通信工程、电子工程等专业的基础教材。内容包括数列、极限、微积分、级数等。这本书可以帮助考生夯实数学基础。
2.《线性代数》：线性代数是计算机、通信工程等专业必修的课程，对于考研来说非常重要。这本书包括向量空间、矩阵、行列式、特征值等内容，对于考生来说是必备的。
3.《概率论与数理统计》：这本书主要介绍概率论和数理统计的基本概念和方法。对于计算机、通信工程等专业的考生来说，概率论和数理统计是必备的数学基础。
4.《计算机组成原理》：这本书主要介绍计算机的组成和工作原理，对于计算机专业的考生来说必不可少。内容包括计算机硬件、指令系统、中央处理器、存储器等。
5.《数据结构》：数据结构是计算机专业的基础课程之一，也是考研中的重点。这本书主要介绍数据结构的基本概念和常用数据结构的实现方法，包括数组、链表、栈、队列、树、图等。
6.《操作系统》：操作系统是计算机专业的重点课程，也是考研中的重点。这本书主要介绍操作系统的基本原理和设计方法，包括进程管理、内存管理、文件管理、设备管理等。
7.《计算机网络》：计算机网络是计算机专业的重点课程之一，也是考研中的重点。这本书介绍计算机网络的基本概念和协议，包括网络体系结构、传输层协议、网络层协议、应用层协议等。
北京邮电新编高等数学教材
北京邮电新编高等数学教材北京邮电大学自主研发的新编高等数学教材，是一本专为大学生量身定制的教材。该教材旨在为学生提供一种全面且系统的学习资源，帮助他们更好地掌握高等数学的基本概念、理论和应用技巧。本文将对该教材的特点、内容组织以及应用价值进行详细介绍。
一、教材特点
北京邮电新编高等数学教材具有以下几个显著特点：
1. 知识结构合理且系统性强：教材在内容划分上综合了传统的数学教学思路和现代数学研究的前沿领域，将高等数学的基本概念、理论和应用技巧有机地结合在一起。这样的结构安排有利于学生对数学知识的整体把握和理解。
2. 例题详细且贴近实际应用：教材中的例题设计精心且实用，注重将抽象的数学理论与实际问题相结合。通过大量的实际例子，学生能够更好地理解和应用所学的数学知识。
3. 系统化的习题和解析：教材中的习题数量丰富，并且涵盖了各个难度层次。与每个习题对应的解析详细地讲解了解题思路和方法，能够帮助学生更好地理解和掌握数学的解题技巧。
二、内容组织
北京邮电新编高等数学教材的内容组织结构如下：
1. 微积分学：包括函数与极限、导数与微分以及积分学等内容。
在微积分学部分，教材详细讲解了常见函数的性质、导数与微分的
定义以及微积分学中的基本定理。通过大量的例题和习题，学生能够
熟练运用微积分的知识解决实际问题。
2. 线性代数：包括矩阵与行列式、向量与空间以及特征值与特征向
量等内容。
在线性代数部分，教材重点介绍了矩阵与行列式的运算规则和基本
性质，向量与空间的相关概念以及特征值与特征向量的计算方法。通
过具体的例题和习题，学生能够掌握线性代数的重要概念和运算方法。
高等数学b北京邮电大学教材答案
高等数学b北京邮电大学教材答案高等数学B 北京邮电大学教材答案
[注意：本文所提供的答案仅供参考，具体结果请以教材及教师为准。]
第一章微积分基础
1. 概念与方法
(a) 函数的定义：设A和B是非空实数集合。对于每一个x∈A，一
个确定的实数y与之对应，称之为函数f:X→B，在此情况下，称A为
f的定义域，B是f的值域。y=f(x)（x∈A）表示x与y之间的关系。
(b) 常用函数：
- 常函数：f(x) = C；
- 幂函数：f(x) = x^m（m∈N*）；
- 指数函数：f(x) = a^x（a>0，且a≠1）；
- 对数函数：f(x) = loga x（a>0，且a≠1）；
- 三角函数：正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。
(c) 梯度与导数：函数f(x)在点x=a处的导数（记作f'(a)或
df(x)/dx|x=a）表示函数曲线在该点的切线斜率，反映了函数在该点的
变化率。
2. 极限与连续
(a) 极限的定义：设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如
果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε（ε>0），都存在另一
个正数δ（δ>0），使得当0<|x-a|<δ（0<|x-a|<δ并且x∈D）时，都有
|f(x)-A|<ε，则称数A是函数f(x)在x=a处的极限，记作limf(x)=A
（x→a）。
(b) 连续函数：设函数f(x)在点x=a处有定义，在该点的邻域内有定义。如果limf(x)=f(a)（x→a），则称函数f(x)在点x=a处连续。
北京邮电大学高等数学2-6
例3 设 x 4 xy y 4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
解 方程两边对x求导得
3 4 x y xy 4 y y 0 3
(1)
1 ; 4
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
将方程(1)两边再对x求导得
12 x 2 2 y xy 12 y 2 ( y)2 4 y 3 y 0
(2) 炮弹在 t0时刻沿 x, y轴方向的分速度为
dx vx dt dy vy dt
t t0
(v 0 t cos ) t t 0 v0 cos 1 2 (v 0 t sin gt ) t t 0 v0 sin gt0 2
t t0
在 t0时刻炮弹的速度为
再设函数 x ( t ), y ( t )都可导, 且 ( t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
x ( t ) 若函数 二阶可导, y ( t )
2 sec t ( tan t ) d y d dy ( ) 2 2 3 3 a cos t sin t dx dx dx (a cos t )
北邮高数成绩计算
北邮高数成绩计算
引言概述：
北邮高数成绩计算是指北京邮电大学学生在高等数学课程中所取得的成绩计算方式。高等数学是大学理工科专业中的一门基础课程，对学生的数学素养和综合能力有着重要的影响。北邮高数成绩计算是根据学生的平时表现、考试成绩和其他因素来评定学生在高等数学课程中的学业水平。本文将从五个大点来详细阐述北邮高数成绩计算的相关内容。
正文内容：
1. 平时表现
1.1 课堂参与度：学生在课堂上积极回答问题、提出疑问和与教师进行互动交流的表现。
1.2 作业完成情况：学生按时完成作业并提交，作业质量和准确度的评估。
1.3 实验报告：如果高等数学课程有实验环节，学生完成实验并提交实验报告的质量评估。
2. 考试成绩
2.1 期中考试：学生在高等数学课程的期中考试中所取得的成绩。
2.2 期末考试：学生在高等数学课程的期末考试中所取得的成绩。
2.3 补考成绩：对于未能通过期中或期末考试的学生，可以通过补考来提高成绩。
3. 课程作业
3.1 课堂作业：学生在课堂上完成的小练习或作业，包括课后习题、课堂练习等。
3.2 课程设计：学生根据教师布置的课程设计任务，独立完成并提交的成果。
3.3 实验报告：如果高等数学课程有实验环节，学生根据实验内容撰写的实验报告。
4. 课堂表现
4.1 出勤情况：学生在高等数学课程的出勤率，包括正常出勤、请假和旷课等情况。
4.2 课堂纪律：学生在课堂上的表现，包括不迟到、不早退、不做与课程无关的事情等。
4.3 课堂笔记：学生在课堂上认真记录的笔记，包括关键概念、公式和解题方法等。
5. 课程综合评价
北邮新编高等数学教材答案
北邮新编高等数学教材答案第一章：导数和微分
1.求下列函数的导数：
(1) f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1
(2) f(x) = sin(x) + cos(x)
(3) f(x) = e^x / (1 + e^x)
第二章：定积分
1.计算下列定积分：
(1) ∫(0 to π) sin(x) dx
(2) ∫(-∞ to ∞) e^(-x^2) dx
(3) ∫(1 to 2) ln(x) dx
第三章：多元函数微分学
1.求下列函数的偏导数：
(1) f(x, y) = x^2 + y^2 - xy
(2) f(x, y) = e^x sin(y)
第四章：多元函数的极限与连续性
1.计算下列函数的极限：
(1) lim (x, y)→(0, 0) (x^2 + y^2) / sqrt(x^2 + y^2)
(2) lim (x, y)→(1, 1) (x^2 + y^2) / (x + y - 2)
第五章：一阶常微分方程
1.求解下列一阶常微分方程：
(1) dy/dx + y = x
(2) dy/dx = y/x
第六章：多元函数的极值与条件极值
1.求函数 f(x, y) = x^2 + xy + y^2 在D={(x,y)|x^2 + y^2 ≤ 4} 上的极值。第七章：重积分
1.计算下列二重积分：
(1) ∬(D) x^2 + y^2 dA, D = { (x, y) | x^2 + y^2 ≤ 1 }
(2) ∬(D) e^(-x^2-y^2) dA, D = { (x, y) | x^2 + y^2 ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0 }
高等数学教材北邮
高等数学教材北邮
高等数学是大学数学教育中的一门重要课程，它主要讲授大学数学中的微积分、线性代数等内容。在北邮大学的高等数学教材中，这门课程被精心设计为了帮助学生全面掌握数学基础知识，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
教材整体结构
北邮大学高等数学教材采用分章节的方式组织内容，每章节涵盖了不同的数学知识点。教材的总体结构可以分为以下几个部分：
1. 引言部分：教材开始给出高等数学的概述，介绍本课程的学习目标和意义，让学生对所学内容有一个整体的认识。
2. 知识点讲解：教材深入浅出地阐述了微分、积分、微分方程、多元函数等各个知识点。每个知识点都由简单到复杂地展开，通过具体的例子和图表进行解释，帮助学生理解和掌握。
3. 典型例题：为了帮助学生熟悉和掌握各个知识点的应用，教材特别设置了一些典型例题，这些例题既有基础性的，也有拓展性的。通过这些例题，学生能够更好地理解知识点，并且培养解决实际问题的能力。
4. 习题部分：高等数学习题是学生巩固所学知识、检测学习效果的重要途径。教材提供了大量的习题，分为基础习题、巩固习题和拓展习题。其中，基础习题帮助学生复习和强化基础知识，巩固习题提供了更为复杂的场景，拓展习题则对学生的思维进行拓展。
北邮教材的特点
北邮大学高等数学教材有以下几个特点，使其在教学中备受推崇：
1. 突出应用导向：教材注重将数学知识应用于实际问题的解决中，
通过典型例题和实际场景的引入，培养学生解决实际问题的能力。
2. 着重数学思维：教材旨在培养学生的数学思维和逻辑思维能力，
通过丰富的例题和思考题，激发学生对数学问题的思考和探索。
北邮高等数学教材
北邮高等数学教材
高等数学是人们在大学阶段主要学习的一门数学课程，它是数学学科的重要基础和核心课程之一。作为北邮的高等数学教材，它承载着培养学生数学思维和解决实际问题的能力的重要任务。本文将从教材的结构、内容和特点等方面进行论述。
一、教材结构
1.1 教材整体结构
北邮高等数学教材以系统性、层次性和扩展性为特点，由多个单元组成，每个单元按照一定的学习顺序进行排列。从基础概念到高级应用，逐步深入，形成一个完整的知识体系。
1.2 单元划分
每个单元都包含了相关的数学知识点，以及相应的习题和例题。教材将高等数学的内容分为微分学、积分学和微分方程三个部分，每个部分又进一步划分为多个单元。通过合理的划分，教材使学生能够有条不紊地学习和掌握数学的不同领域。
二、教材内容
2.1 基础概念与定理
北邮高等数学教材详细介绍了微积分的基础概念和定理，如导数、微分、积分等，为学生打下了坚实的数学基础。同时，教材通过大量的例题和习题，帮助学生理解和运用这些基本概念和定理。
2.2 应用领域
教材不仅着重讲解了数学的理论知识，还将数学与实际应用相结合，包括物理、工程、经济等领域。这种应用导向的教学方法既提高了学
生对数学的兴趣，又培养了学生解决实际问题的能力。
2.3 知识拓展
除了基础的数学知识，北邮高等数学教材还包含了一些拓展内容，
使学生在掌握基本知识的基础上，能够更加深入地理解和应用数学。
例如，学习曲线的研究、非线性微分方程的解法等。这些内容兼具学
术和实用价值，培养了学生的创新思维。
三、教材特点
3.1 系统性和完整性
北邮高等数学教材内容丰富、全面，覆盖了高等数学的各个方面。
北京邮电大学高等数学1-6
故假设错误．
18
练 习 题
一、填空题: x3 3 1、 lim __________. x 2 x 3 x 1 2、 lim 3 __________. x 1 x 1 1 1 1 3、 lim (1 )( 2 2 ) __________. x x x x ( n 1)( n 2)( n 3) 4、 lim __________. 3 n 5n 1 2 5、 lim x sin __________. x 0 x cos x 6、 lim x __________. x x e e
( x h) 2 x 2 2、 lim h 0 h
1 3 3、 lim ( ) 3 x 1 1 x 1 x
20
4、 lim
x 8
1 x 3 2 3 x
5、 lim ( x x x x )
x
2x 1 6、 lim x x 4 1 xm xn 7、 lim m xn 2 x 1 x
16
思考题
在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限，那么 f ( x ) g( x ) 是否有极限？为 什么？
17
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x ) g( x ) 有极限， f ( x ) 有极限，
北京邮电大学高等数学大学生教材
北京邮电大学高等数学大学生教材高等数学是大学中的一门基础课程，为了帮助学生更好地理解和掌握该门课程，北京邮电大学编写了一本名为《高等数学》的教材。本教材以简洁明了的语言和逻辑严谨的推导，为学生提供了系统而全面的数学知识。
第一章函数与极限
数学中的函数是一种非常重要的概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。本章主要围绕函数的定义、性质以及各种常见函数的图像进行讲解。通过学习本章，学生可以对函数的基本概念和特性有所了解，并且培养对函数图像分析的能力。
第二章导数与微分
导数是研究函数变化率的重要工具。本章主要介绍了导数的定义、性质以及求导法则。同时，还讲解了利用导数解决相关问题的方法，如求极值、曲线的凹凸性等。学生通过学习本章，可以对导数的概念和应用进行深入了解，并且能够熟练运用导数进行数学建模和问题求解。
第三章积分与不定积分
积分是求解曲线下面积的工具，也是导数的逆运算。本章主要介绍了积分的定义、性质以及基本的积分法则。同时，还讲解了利用积分解决相关问题的方法，如求曲线长度、质量、工作等。学生通过学习
本章，可以对积分的概念和应用进行深入了解，并且能够熟练运用积
分进行数学建模和问题求解。
第四章微分方程
微分方程是描述变化率和变化量之间关系的数学工具。本章主要介
绍了微分方程的基本概念、分类以及求解方法。通过学习本章，学生
可以了解微分方程在各个学科中的应用，如物理、生物、工程等领域。同时，也可以培养学生通过建立微分方程来解决实际问题的能力。
第五章一元函数的级数
级数是数学中重要的数列概念，在一元函数的研究中具有重要应用。本章主要介绍了级数的定义、性质以及判敛方法。同时，还讲解了常
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北京邮电大学高等数学答案一、单项选择题（共20道小题，共100.0分）
设的定义域为则的定义域为___________.
A.
B.
C.
D.
函数是定义域内的____________.
E.周期函数
F.单调函数
G.有界函数
H.无界函数
设，则__________.
I.
J.
K.
L.
函数的定义域是____________.
M.
N.
O.
P.
设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则是____________.
Q.无穷大量
R.无穷小量
下列函数中当时与无穷小相比是高阶无穷小的是_________.
U.
V.
W.
X.
时,与为等价无穷小,则__________.
Y. 1
AA.2
BB.
____________.
CC.
DD.
EE.
FF.1
_________.
GG.
HH.
II.
JJ.1
下列计算极限的过程，正确的是____________.
KK.
LL.
MM.
NN.
设在处连续,则_________.
PP.1
RR.
设 ,则（）
SS.
TT.
UU.
VV.
设且可导，则（）
WW.
XX.
YY.
ZZ.
已知，则（）
AAA.1
DDD.
设，则（）
EEE.
FFF.
设,且,则( ) III.1
JJJ.
设,则( )
MMM.99
NNN.
曲线在点(0,1)处的切线方程为( )
QQQ.
TTT.
设，且存在，则等于（）
WWW.
XXX.
设函数可导，则（）
AAAA.
BBBB.
一、单项选择题（共20道小题，共100.0分）
函数的反函数是____________.
A.
B.
C.
D.
函数的周期是___________.
E.
F.
G.
H.
是____________.
I.单调函数
北京邮电大学高等数学教材英文版
北京邮电大学高等数学教材英文版
Beijing University of Posts and Telecommunications Advanced Mathematics Textbook (English Version)
Introduction
The Beijing University of Posts and Telecommunications (BUPT) is renowned for its comprehensive and cutting-edge curriculum. As part of its commitment to providing a world-class education, BUPT offers an English version of its advanced mathematics textbook. This article will delve into the content, structure, and importance of the BUPT Advanced Mathematics Textbook (English Version).
Content Overview
The BUPT Advanced Mathematics Textbook covers a wide range of topics, including calculus, linear algebra, differential equations, and probability theory. Each chapter provides a comprehensive introduction to the topic, followed by detailed explanations and examples that illustrate the concepts. The textbook also includes exercises and practice problems to reinforce understanding and improve problem-solving skills.
北邮高数成绩计算
北邮高数成绩计算
北邮高数成绩计算是学生们在北邮学习期间最为关注的一个话题。高数是大部分理工科学生的必修课程，也是他们学习过程中最为重要的一门课程之一。北邮高数成绩计算是根据学生在考试中的表现来进行评定的，成绩的好坏直接关系到学生的学业发展和未来的发展方向。
北邮高数成绩计算的方式通常是以平时成绩、考试成绩和作业成绩来进行综合评定。平时成绩一般包括课堂表现、作业完成情况、参与讨论等方面。考试成绩则是最为直接的评定方式，学生在期末考试中的表现直接影响着他们的成绩。作业成绩则是学生平时学习成绩的一个重要组成部分，也是对学生学习情况的一种评价。
在北邮高数成绩计算中，平时成绩所占比重通常在20%-30%左右，考试成绩所占比重在50%-60%左右，作业成绩所占比重在10%-20%左右。这种方式下，学生在学期期间需要保持良好的学习状态，认真完成每一项任务，才能够取得一个较为满意的成绩。
北邮高数成绩计算对学生的学习态度、学习方法、学习能力都提出了很高的要求。学生需要积极参与课堂讨论，认真完成作业，主动与老师进行交流，以便及时解决学习中的问题。同时，学生还需要具备一定的自主学习能力，能够主动查找相关资料，积极思考问题，提高自己的学习效率。
总的来说，北邮高数成绩计算是一个相对公平的方式，能够全面地评价学生的学习情况。学生们应该在学期期间认真对待每一项学习任务，提高自己的学习效率，为自己的未来发展打下坚实的基础。
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lim[
x0
x2
2]
,
得铅直渐近线 x 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
第二步 求出方程 f '( x) 0和 f "( x) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第三步 确定在这些部分区间内 f '( x) 和 f "( x) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论）；
偶函数, 图形关于y轴对称.
( x)
x
x2
e 2,
2
(
x)
(
x
1)(
x
1)
e
x2 2
.
2
令 ( x) 0,
得驻点 x 0,
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e2
0,
得水平渐近线
间 断 点
补充点: (1 3,0), (1 3,0);
A (1,2), 作图
B (1,6), C (2,1). y
6B
1
C
3 2 1 o ห้องสมุดไป่ตู้ 2
x
2
A
3
f
(
x)
4(
x x2
1)
2
例3
作函数 ( x)
1
x2
e2
的图形.
2
解 D : (,), W : 0 ( x) 1 0.4. 2
令 f ( x) 0,
得特殊点 x 1 . 3
补充点: A (1,0),
B (0,1), C (3 , 5). 28
f
(
x)
4(
x x3
2)
,
f
(
x)
8(
x x4
3) .
令 f ( x) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x) 0, 得特殊点 x 3.
lim
x
f (x)
lim[4(
x
x x2
1)
2]
2,
得水平渐近线
y
2;
lim
x0
f
(x)
4( x 1)
(2) lim f ( x) a 存在,但 lim[ f ( x) ax] 不存在,
x x
x
可以断定 y f ( x) 不存在斜渐近线.
例1 求 f ( x) 2( x 2)( x 3) 的渐近线. x1
解 D : (,1) (1,).
lim f ( x) , x1
lim f ( x) ,
x1
x 1 是曲线的铅直渐近线.
又 lim f ( x) lim 2( x 2)( x 3) 2,
x x
x x( x 1)
lim[2( x 2)(x 3) 2x] x x( x 1)
lim 2( x 2)( x 3) 2x( x 1) 4,
那么 y ax b 就是 y f ( x) 的一条斜渐近线.
斜渐近线求法:
lim f ( x) a, lim[ f ( x) ax] b.
x x
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x) 的一条斜渐近线.
注意: 如果
(1) lim f ( x) 不存在; x x
( x)
1
x2
e2
2
例4 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)(x 1), f ( x) 2(3x 1).
令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1. 3
y 0.
x
x 2
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
极大值
1
2
0
拐点
(1, 1 ) 2e
y1
2
1
o
1
x
一、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线 移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x) 的 一条渐近线.
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x)
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
第五步 描出与方程 f '( x) 0 和 f "( x) 0 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
三、作图举例
例2
作函数
f
(
x)
4(
x x2
1)
2
的图形.
解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性.
x
x1
y 2x 4 是曲线的一条斜渐近线.
f ( x) 2( x 2)( x 3) 的两条渐近线如图 x1
二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
第一步 确定函数 y f ( x) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 f '( x) 和二阶导数 f "( x);
x x0
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线.
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条: x 2, x 3.
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
x
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线.
例如 y arctan x,
有水平渐近线两条: y , y .
2
2
3.斜渐近线
如果 lim [ f ( x) (ax b)] 0 x 或 lim [ f ( x) (ax b)] 0 (a,b 为常数) x