曲边梯形的面积,定积分的概念

n
1 1 1 5 lim 1 1 2 n 3 n 2n 3
O
y
y f ( x)
a b
y f ( x)
x
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。 —— 以直代曲
y
O
a
b
x
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
y
因此, 我们有理由相 信, 这个曲边三角形 的面积为:
S lim S n
n
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
x
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲 边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近 曲边梯形的面积.
y = f ( x) y
A1 O a b x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f ( x) y
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f ( x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
显然， S Si
i 1
n
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间 i 1 i 2 , v t t 2 的值变化很 上，可以认为函数 n n 小， 近似的等于一个常数， 不妨认为它近似的等于左端
i 1 i 1 i 1 点 处的函数值 v 2 ，从物理意义 n n n i 1 i , (i 1, 2 , , n) 上的 上看，即使汽车在时间段 n n i 1 速度变化很小， 不妨认为它近似地以时刻 处的速度 n
12 22 3 3 n n i2 3 n n2 n3
1 2 3 n3
2 2
n
2
4、取极限
S曲边梯形 S黄色部分
1 22 32 3 n
1 2 3 lim S S曲边梯形 n 黄色部分 lim 3 n
2 2
n2
n
2
1 n(n 1)(2n 1) lS曲边梯形 S黄色部分
1 2 3 n 1 3 n
2 2 2
1 2 lim S S曲边梯形 黄色部分 lim
n
n
2
1 2 n 1 1 n 1 n 1 1 6 lim 3 n n
S曲边梯形 lim S黄色部分
n
1 3
思考
y f ( x)
i-1 f( ) n
第 i个 小曲边 梯形
y f ( x)
第i个小 直边 “梯形”
i-1 n
i n
i-1 n
i n
2、近似代替
S第i个黄色矩形
2 1 i i f( ) 3 n n n
i f( ) n
y f ( x)
3 n 1 n3
2
2
1 (n 1)[(n 1) 1][2(n 1) 1] lim 6 3 n n 1 1 1 lim( 2) n 3 2n 6n
1 1 1 1 lim lim lim 2 n 3 n 2n n 6n 3
n
1 n(n 1)(2n 1) lim 6 3 n n 1 1 1 lim( 2) n 3 2n 6n
1 1 1 1 lim lim lim 2 n 3 n 2n n 6n 3
S曲边梯形 lim S黄色部分
n
1 3
i 1 i 1 v 2 作匀速直线运动 n n
2 2
即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速” ，于是的用小矩形的面积 Si 近似的代替 Si ， 则有
2 1 i 1 i 1 Si Si v t 2 n n n
解：1．分割 在时间区间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个点，将区间
0 ,1 等分成 n 个小区间：
1 1 2 n 1 0, ， , ，„， ,1 记第 i 个 区间为 n n n n i i 1 1 i 1 i , (i 1, 2 , , n) ，其长度为 t n n n n n 1 1 2 n 1 ,1 上行 把汽车在时间段 0 , ， , ，„， n n n n 驶的路程分别记作： S1 ， S 2 ，„， S n
S曲边梯形 lim S黄色部分
n
n
lim f ( )x
x 0 i i 1
1 lim f ( i ) n i 1 n
n
i 1 i i为区间[ , ]上任意一点 n n 为了便于计算,一般用左(右)端点
练习
y x2
求曲边梯形的面积；
其中曲边为函数 y=x2
i 1 i 在区间[ , ]上的左端点和 n n 右端点的函数值来计算有和区别
从小于曲边梯形的面积 来无限逼近
从大于曲边梯形的面积 来无限逼近
y f ( x)
f ( i )
S第i个矩形 S第i个矩形
1 f ( i ) n
i i-1 n i n
第i个 小曲边 梯形
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形 1 1 1 f (1 ) f ( 2 ) ... f ( n ) nn n n 1 f ( i ) i 1 n
1 1 1 S第1个黄色矩形 f ( ) 3 n n n 1 2 4 S第2个黄色矩形 f ( ) 3 n n n
S第n个黄色矩形
…
i-1 i n n
1 n 1 f( ) n n n
3、求和
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形
1.5.1曲边梯形的面积
说教学设想
这些图形的面积 该怎样计算？
一. 求曲边梯形的面积 1. 曲边梯形 ：在直角坐标系中，由连
续曲线 y=f(x) ，直线 x=a 、 x=b 及 x 轴所围成的 图形叫做曲边梯形。 ①、只有一边是曲线 ②、其他三边是特殊直线 y y=f (x)
x=a
O a
x=b
b x
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f ( x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
2．曲边梯形的面积
求曲边梯形的面积即 求 y f ( x) 下的面积 f ( x) 0 若“梯形” 很窄， 可近似地用矩形面积代替 在不很窄时怎么办？
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割 （2）求面积的和 （3）取极限 n 把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积S
y
的近似值。 有理由相信，分 点越来越密时，即分 割越来越细时，矩形 面积和的极限即为曲 边形的面积。
o
x
小结
1、分 割 将 区 间 等 分 成n 个 小 区 间 i-1 1 2、以 直 代 曲 对 于 区 间 , 上 小 曲 边 梯 形 ， n n i-1 1 以 f 为 长 ， x= 为 宽 小 矩 形 面 积 近 似 代 n n 小 曲 边 梯 形 面 积 i-1 3、作 和 S= s1+ s2++ sn=sif x n i-1 4、 取 极 限 n +, f xS n
n 2
1 1 1 n 1 1 = 0 2 n n n n n 1 2 2 2 2 = 3 1 2 n 1 n 1 n 1 n 2n 1 1 1 1 2 = 1 1 2 = 3 n 6 3 n 2n
1、分割
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形 “等分” “等分” 分割梯形 分割x轴 分割定义域 “等分” 1 1 2 2 3 n 1 1 [0, ]; [ , ]; [ , ];......;[ ,1] 区间长度： n n n n n n n
2、近似代替
1 i-1 (i 1) S第i个黄色矩形 f ( ) 3 n n n 1 0 S第1个黄色矩形 f ( ) 0 n n i-1 f( ) n 1 1 1 S第2个黄色矩形 f ( ) 3 n n n 1 2 4 i-1 S第3个黄色矩形 f ( ) 3 n n n n 2 1 n-1 (n-1) S第n个黄色矩形 f ( ) 3 n n n




引入
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时 间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果 已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时 间内经过的路程呢？
问题： 汽车以速度 v 组匀速直线运动时， 经过时间 t 所行驶的路程为 S vt ． 如果汽车作变速直线运动， 在时刻 t 的速度为 v t t 2 2 （单位：km/h） ，那 么它在 0≤ t ≤1(单位： h)这段时间内行驶的路程 S （单位：km）是多少？
2
y f ( x)
第i个 小曲边 梯形
i n
…
3、求和
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形 2 2 2 2 2 i 1 n 1 0 1 2

1 22 32 n 1 n3
n
3

n
3

n
3


2
n
3

1 1 1 从而得到 S 的近似值 S S n 1 1 2 3 n 2n
（4）取极限 当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 ， 即 t 趋 向 于 0 时 ，
1 1 1 S n 1 1 2 趋向于 S ， 3 n 2n 1 i 1 从而有 S lim S n lim v n n n n i 1
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代 变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归 为匀速直线运动的路程问题．把区间 [0,1] 分成 n 个小 区间，在每个小区间上，由于 v (t ) 的变化很小，可以 近似的看作汽车作匀速直线运动，从而求得汽车在每 个小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位： km）的近似值，最后让 n 趋近于无穷大就得到 S （单 位：km）的精确值． （思想：用化归为各个小区间上 匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变 速直线运动的路程） ．
i 1 1 2 (i 1, 2, n n n
2
, n) ①
（3）求和
n
由①得，
n
i 1 S n Si v i 1 i 1 n
2
i 1 2 1 2 t i 1 n n n