高中数学1-4生活中的优化问题举例

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1.4生活中的优化问题举例

例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的、经统计表明，耗油量y（关于行驶速度x（千米/小时小时）耗油量（升）关于行驶速度（千米小时）的函数解析式可以表示为：可以表示为：
1 3 3 y= x − x + 8(0 < x ≤120). 128000 80
若已知甲、乙两地相距千米。若已知甲、乙两地相距100千米。千米千米/小时的速度匀速行驶时（I）当汽车以千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到）当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，乙地要耗油为 17.5 升; 千米/小时（II）若速度为千米小时，则汽车从甲地到乙地需）若速度为x千米小时，行驶
具体的问题：具体的问题：汽油使用效率何时最高
我们知道，单位:L)与汽车的速度我们知道，汽油的消耗量 w (单位与汽车的速度 v 单位 (单位单位:km/h) 之间有一定的关系，汽车的消耗量 w 是汽车之间有一定的关系，单位的函数. 根据实际生活，思考下面两个问题：速度 v 的函数根据实际生活，思考下面两个问题：（1）是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量越大）是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量越大? 如何计算每千米路（2）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是）当汽车的行驶路程一定时，程的汽油消耗量？程的汽油消耗量？车速慢的时候省油呢？车速慢的时候省油呢？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说汽油的使用效率越高（即越省油）。汽油的使用效率越高（即越省油）。越高
思考1 版心面积为定值128dm 思考1：版心面积为定值128dm2，海报的面积是否也为定值？的面积是否也为定值？
128 (x + 4)( + 2) x

1.4生活中的优化问题举例

又V=πR2h(定值),
则h

V
R 2
.
P37A6

S
(R)

2R

V
R
2
2R2

2V R
2R2.
由S ( R)

2V R2
4R 0.
解得R 3
V.
2
当R (0, 3 V )时，S '(R) 0; 当R (3 V ,)时，S'(R) 0;
2
用导数解决数学问题
注：所得结果符合问题的实际意义
解：设两段铁丝的长度分别为x, l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S

s1

s2

( x)2
1 16
(2x2

2lx

l2)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
16
8
令S 0,得x l
n
f (r) R r 2r

2
r(R r)
m n mn
(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
f (r) R r 2r 2 r(R r)
m n mn
(2) 为求f(r)的最大值，先计算 f (r) 0
因此，r 2是f (r)取惟一的极小值点，
也是最小值点，f (6)为最大值。
（1）半径为2时，利润最小。这时 f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；（2）半径为6时，利润最大。

1.4生活中的优化问题举例

§1.4生活中的优化问题举例一、几何中的最值问题【例1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？1-1、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做成一个无盖的方底容器，先在四角分别截去一个小正方形,再然后把四边翻转角再焊接而成，则该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?1-2、要做成一个截面为等腰梯形的水槽，下底长和腰都为a，如图，问斜角为多大时，水槽的流量最大？二、利润最大问题【例2】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r （单位：cm ）是瓶子的半径，已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm .(1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？2-2、某分公司经销某种品牌产品，每件成品的成本为3元，且每件成品需向总公司交元a 元(35)a ≤≤的管理费，预计当每件成品的售价为x 元(911)a ≤≤时，一年销售量为2(12)x -万件.（1）求分公司一年的利润L 与每件成品的售价x （元）的函数关系式；（2）当每件成品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大()Q a .2-1、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加0元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？三、费用最省问题【例3】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平分米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(10)x≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x+（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用/建筑总面积）3-1、已知某厂每天生产x件产品的成本为22500020040xc x=++元，若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？[注] 对于型如)0(>+=ab xb ax y 的函数最值问题，要根据定义域选择恰当的方法，并熟练掌握这些方法的要点。

《1.4 生活中的优化问题举例》高中数学人教A版版选修

4 r3 3
思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位：
分)是多少？
0.24r3 0.8r2
3
思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)，
则函数f(r)的定义域是什么？（0，6]
.
思考4：函数 f(r)0.8(r3r2)(0r6)
3
是否存在最值？若存Hale Waihona Puke ，如何求其最值？f(x)min
f(2)3.2
3
f(x)m axf(6)28.8
2x
512 x
8,x
0
.
思考4：海报四周空白的面积S(x)是否存
在最值？若存在，如何求其最值？
S(x)
2x
512 x
8,x
0
版心高为16dm，宽为8dm时，
思考5：如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ .
.
.
思考1：1mL饮料所占的体积是多少cm3？半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？
.
.
思考1：版心面积为定值128dm2，海报的面积是否也为定值？
(x 4)(1x28 2)
(x 4)(1x28 2) 128
思考2：设版心的高为x，则海报的面积为多少？海报四周空白的面积为多少？
.
思考3：设海报四周空白的面积为S(x)，则S(x)的最简表达式如何？其定义域是什么？
S(x)
(2)确定函数定义域，并求出极值点;
(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，
确定最值或最值点.
.
作业： (1) P37 习题1.4 B组第1题 (2) 练习册
.
.
.
.
.
练习：
.
课堂小结：

1.4生活中的优化问题举例

2
V 解:设桶底面半径为R, 则桶高为h R2
h
R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值
当半径为R
V 时使用材料最省 2
制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积。
解：设容器底面短边的边长为x m,则另一边长为（x+0.5) m
14.8 4 x 4( x 0.5) 高为 =(3. 2－2x) m 4
由 x＞0且3. 2－2x ＞0,得 0＜x＜1.6
设容器的容积为y,则 y=x(x+0.5)(3. 2－2x) ( 0＜x＜1.6 )
解：设容器底面短边的边长为x m,则另一边长为（x+0.5) m 14.8 4 x 4( x 0.5) 高为 =(3. 2－2x) m 4 由 x＞0且3. 2－2x ＞0,得 0＜x＜1.6
设容器的容积为y,则 y=x(x+0.5)(3. 2－2x) ( 0＜x＜1.6 ) y′= -6x2+4.4x+1.6
例2、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
x
60 x 解:设箱底边长为x cm，箱高 h 2 2 3 60 x x 2h (0 x 60) 箱子容积为V=x 2
当x=4时取S(x)极大值，这个极大值就是S(x)的最大值
答：矩形场地的最大面积为32m2
类型一：面积（体积、容积）最大问题
在实际问题中，如果函数区间内只有一个极值点，那么不必与端点比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值.
(所说区间适用于开区间或无穷区间)

1.4生活中的优化问题(带答案)

1。

4生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为() A。

错误!cm B．错误!cm C.错误!cm D．错误!cm ［答案] D2．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4，那么容器容积最大时，高为()A．0.5m B．1m C．0。

8m D．1.5m[答案］ A［解析］设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m,则高为错误!＝错误!(m），容积V＝3x·4x·错误!＝18x2－84x3错误!，V′＝36x－252x2,由V′＝0得x＝1或x＝0（舍去)．x∈错误!时，V′〉0，x∈错误!时，V′<0，7所以在x＝错误!处，V有最大值，此时高为0。

5m。

3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(）A．R B．2R C.错误!R D．错误!R［答案］ C［解析］设圆锥高为h,底面半径为r，则R2＝（h－R）2＋r2，∴r2＝2Rh－h2, ∴V＝错误!πr2h＝错误!h(2Rh－h2)＝错误!πRh2－错误!h3，V′＝错误!πRh－πh2。

令V′＝0得h＝错误!R.当0<h〈错误!R时，V′〉0；当错误!<h〈2R时，V′〈0。

因此当h＝错误!R时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位:℃)为f（x）＝错误!x3－x2＋8(0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8 B．错误!C．－1 D．－8［答案］ C[解析］瞬时变化率即为f′（x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x）＝(x－1）2－1，又x∈[0,5],故x＝1时,f′（x）min＝－1.5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋错误!x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时，产量应定为__________件．[答案］25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝错误!。

1.4生活中的优化问题举例

x
x x
60
x
60
解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
3 2 令V ( x ) 60x x 0 , 解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 2 16000.
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。
例3.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
则 S 2( x 2) 2 2 y 1
2
y
4x 2 y 8
由基本不等式：
4 x 2 y 2 8 xy 2 8 128 64
(当且仅当4 x 2 y 32取" ")
x
x 8, y 16 Smin 64 8 72 （dm 2 )
练习：教材P104 6
课后作业
白皮书P22
例1.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积128dm 2 , 上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？
解：设版心的宽为x dm ，长为y dm则有 ຫໍສະໝຸດ y=128 另设四周空白面积为Ｓ，
方法小结解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示: 优化问题

1.4生活中的优化问题举例

解决数学模型
作答
优化问题解决方案
用导数解决数学问题
这是一个典型的数学建模过程
解决优化问题的一般步骤：
（1）审题（2）建模
（3）解模
（4）回归
温馨提示：用导数解决实际问题，要特
别注意在实际问题中变量的取值范围.
课堂小结
解决优化问题的步骤：
•实际问题转化数学模型；
•求解数学问题； •数学结果还原到实际问题之中
h(x) < 0 ; 当x∈(0,80)时，
h(x) > 0 . 当x∈(80,120)时，
∴在x=80时，取得极小值，也是最小值h(80)=11.25.
1 3 100 1 2 800 15 3 h(x) = ( x - x + 8) = x + 128000 80 x 1280 x 4 0 < x ≤ 120
求函数的导数得： 1 800 x3 - 803 h(x) = x- 2 = 640 x 640x2
令 h(x) = 0 解得：x = 80
3.4
生活中的优化问题举例
例1 海报版面设计
学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求 2 dm 版心面积为128 ，上下两边各空2dm，左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为x dm，则版心的 128 宽为 dm，此时四周空白面积为
x
128 S x = x + 4 + 2 - 128 x 512 = 2x + + 8, x > 0 x
求导数，得
512 S x = 2 - 2 . x

1.4 生活中的优化问题举例

(所说的区间也适用于开区间或无穷区间)
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示: 建立数学模型优化问题
用函数表示数学问题
解决数学模型
求f(x)在闭区间
[a,b]上的最值
的步骤
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常
称为优化问题，通过前面的学习，我们
知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题.
探究点1 海报版面尺寸的设计例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
一、如何判断函数的单调性？
设函数y=f(x) 在某个区间内可导

f´(x)>0 f´(x)<0
f(x)为增函数
f(x)为减函数
二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的
一般步骤
（1）确定定义域（2）求导数f′(x) （3）求f′(x)=0的根（4）列表（5）判断
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值； (2) 将y=f(x)的各极值f(a)、f(b）比较, 从而确定函数的最值
3（10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（A）存在x0∈R,f(x0)=0
（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形
（C）若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区（D）若x0是f（x）的极值点，则 f ' x0 0

1.4生活中的优化问题举例

C
A
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 + x2 = 400 x 2 km.
又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂 C的总运费为 y 5t CD 3t BD 5t 400 x 2 3t (100 x )
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。所以，当版心高为16cm,宽为8cm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16cm,宽为8cm为 8 x 16
解法二：由解法(一)得
512 512 S ( x ) 2x 8 2 2x 8 x x
当 r (0, 2) 时 , f '( r ) 0 当 r (2, 6) 时 , f '( r ) 0
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，即半径越大，利润越低．
1.半径为２cm 时，利润最小，这时 f (2) 0
类型三：利润最大问题
例1 某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为 C 100 4q 1 ,价格p与产量q的函数关系式为 p 25 q 8 求产量 q 为何值时，利润 L 最大？
1 解：利润L pq C (25 q )q (100 4q ) 8 1 2
q 21q 100 1 8 L ' q 21, 令L ' 0, 4
180 （元） x 17，利W 最大房价： 10 17 350
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.

学案7：1.4 生活中的优化问题举例

1.4 生活中的优化问题举例知识梳理知识点：生活中的优化问题举例提出问题某厂家计划用一种材料生产一种盛500 mL溶液的圆柱形易拉罐．问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用得多少呢？问题2：如何制作使用材料才能最省？导入新知1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．用导数解决优化问题的基本思路化解疑难1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．2．在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．例题讲解：题型一：利用导数解决面积、体积最大问题例1：如图①，∠ACB＝45°，|BC|＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折叠，使∠BDC＝90°(如图②所示)．当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大？类题通法利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式y＝f(x)．(2)求函数f(x)的导数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，即求函数可能的极值点．(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值．(4)根据实际问题的意义给出答案．活学活用：如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？题型二：利用导数解决费用最省问题例2：为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值．类题通法解决优化问题应关注两点(1)在列函数解析式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f (x )在给定区间内只有一个极值点或函数f (x )在开区间上只有一个点使f ′(x )＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．活学活用：甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数关系是P ＝119 200v 4－ 1160v 3＋15v . (1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式．(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．题型三：利用导数解决利润最大问题例3：某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (单位：百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (单位：百万元，且0≤t ≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (单位：百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)．类题通法利润最大问题的解决方法利润问题是经济生活中最为常见的问题．一般来说，利润等于总收入减去总成本，而总收入等于产量乘价格．由此可以得到利润与产量的函数关系式，进而用导数求最大利润．活学活用：某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？题型四：导数在实际问题中的应用例4：有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问：供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？课堂检测：1．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )A ．6 mB ．8 mC ．4 mD ．2 m2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．4．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台．5．一个圆柱形圆木的底面半径为1 m ，长为10 m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD (如下图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上)，设∠BOC ＝θ，木梁的体积为V (单位：m 3)，表面积为S (单位：m 2)．(1)求V关于θ的函数表达式．(2)求θ的值，使体积V最大．(3)问：当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．参考答案知识梳理提出问题问题1：答：计算出圆柱的表面积即可．问题2：答：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S ＝2πx 2＋1 000x (x ＞0)，求S 最小时，圆柱的半径、高即可．例题讲解：题型一：利用导数解决面积、体积最大问题例1：解：在如图①所示的△ABC 中，设|BD |＝x (0＜x ＜3)，则|CD |＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以|AD |＝|CD |＝3－x . 由折叠前AD ⊥BC 知，折叠后，如图②所示，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD .又∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝12|BD |·|CD |＝12x (3－x )．于是V A BCD ＝13|AD |·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝16(x 3－6x 2＋9x )．令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )，由f ′(x )＝12(x －1)·(x －3)＝0，且0＜x ＜3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0.所以当x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝23，即V A BCD 取得最大值23.故当|BD |＝1时，三棱锥A BCD 的体积最大．活学活用：解：设广告牌的高和宽分别为x cm 、y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告牌面积为S (x )＝x ⎝⎛⎭⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ， ∴S ′(x )＝18 000[(x －20)－x ](x －20)2＋25＝－360 000(x －20)2＋25.令S ′(x )>0，得x >140；令S ′(x )<0，得20<x <140.∴函数S (x )在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减， ∴S (x )的最小值为S (140)．当x ＝140时，y ＝175，即当x ＝140，y ＝175时，S (x )取得最小值24 500，故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告牌的面积最小. 题型二：利用导数解决费用最省问题例2：解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0＜x ＜5时，f ′(x )＜0；当5＜x ＜10时，f ′(x )＞0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．活学活用：解：(1)Q ＝P ·400v ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v＝⎝⎛⎭⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0＜v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v .令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80. 当0＜v ＜80时，Q ′＜0；当80＜v ≤100时，Q ′＞0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元).题型三：利用导数解决利润最大问题例3：解：(1)设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f (t )百万元，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)， ∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x 百万元，则用于广告促销的资金为(3－x )百万元，又设由此获得的收益是g (x )，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3 ＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2. 当0≤x ＜2时，g ′(x )＞0；当2＜x ≤3时，g ′(x )＜0，故g (x )在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数．∴当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．活学活用：解：依题意，每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．f ′(x )＝－35x 2＋24 000，令f ′(x )＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．当0<x <200时f ′(x )>0，当x >200时f ′(x )<0， ∴x ＝200时，f (x )取最大值，最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000.故该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润为315万元．题型四：导数在实际问题中的应用例4：解：如图所示，依题意，点C 在线段AD 上，设C 点距D 点x km ，则AC ＝50－x ，因为BD ＝40，所以BC ＝BD 2＋CD 2＝402＋x 2.设总的水管费用为y 元，则y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0＜x ＜50)， y ′＝－3a ＋5axx 2＋402.令y ′＝0，解得x 1＝30，x 2＝－30(舍去)．当0＜x ＜30时，y ′＜0；当30＜x ＜50时，y ′＞0，所以当x ＝30时，y 取得最小值，此时AC ＝50－30＝20(km)，即供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．课堂检测：1．【解析】设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．【答案】C2．【解析】因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0＜x ＜9时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9时函数取最大值．【答案】C3．【解析】设圆柱形水桶的表面积为S ，底面半径为r (r >0)，则水桶的高为27r 2，所以S ＝πr 2＋2πr ×27r 2＝πr 2＋54πr (r >0)，求导数，得S ′＝2πr －54πr2，令S ′＝0，解得r ＝3.当0<r <3时，S ′<0；当r >3时，S ′>0，所以当r ＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．【答案】34．【解析】设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6.经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．【答案】65．解：(1)等腰梯形ABCD 的面积S ABCD ＝2cos θ＋22·sin θ＝sin θcos θ＋sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 故木梁的体积V (θ)＝10(sin θcos θ＋sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (2)由(1)知V ′(θ)＝10(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝10(2cos θ－1)·(cos θ＋1)，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 令V ′(θ)＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)．∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π3. 当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，12<cos θ<1，V ′(θ)>0，V (θ)为增函数；当θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2时，0<cos θ<12，V ′(θ)<0，V (θ)为减函数． ∴当θ＝π3时，体积V 最大．(3)∵木梁的侧面积S 侧＝(AB ＋2BC ＋CD )·10 ＝20⎝⎛⎭⎫cos θ＋2sin θ2＋1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴S ＝2S ABCD ＋S 侧＝2()sin θcos θ＋sin θ＋20⎝⎛⎭⎫cos θ＋2sin θ2＋1， θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 设g (θ)＝cos θ＋2sin θ2＋1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∵g (θ)＝－2sin 2 θ2＋2sin θ2＋2，∴当sin θ2＝12，即θ＝π3时，g (θ)最大．又由(2)知θ＝π3时，sin θcos θ＋sin θ取得最大值，∴θ＝π3时，木梁的表面积S 最大．综上可知，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大．。

高中数学第一章1.4 生活中的优化问题举例讲解与例题

1.4 生活中的优化问题举例问题导学一、利润最大问题活动与探究1某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？(2)若年销售量关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润是多少？迁移与应用 1．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品定价为P 元，则销售量Q (单位：件)与定价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2．则该商场定价为__________元时，毛利润L 最大．2．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的关系为P ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x 元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤：第一步，分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )．第二步，求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0．第三步，比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．二、费用最省问题活动与探究2如图所示，设铁路AB ＝50，B ，C 之间距离为10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？迁移与应用某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平⎭⎪⎫均购地费用＝购地总费用建筑总面积(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域．三、面积(体积)最大问题活动与探究3如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S．(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值．迁移与应用1．有一道长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积是__________．2．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．(1)求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解．(2)必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题．答案：课前·预习导学【预习导引】1．利润最大用料最省效率最高2．用函数表示的数学问题用导数解决数学问题预习交流提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：根据题意建立目标函数关系式，利用导数求解．解：(1)由题意得：上年度的利润为(13－10)×5 000＝15 000(万元)；本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x)；本年度年销售量为5 000×(1＋0.4x)，因此本年度的年利润为y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5 000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5 000×(1＋0.4x)＝－1 800x2＋1 500x＋15 000(0＜x＜1)，由－1 800x 2＋1 500x ＋15 000＞15 000，解得0＜x ＜56．所以当0＜x ＜56时，本年度的年利润比上年度有所增加． (2)本年度的年利润为f (x )＝(3－0.9x )×3 240×2523x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭＝3 240×(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)，则f ′(x )＝3 240×(2.7x 2－9.6x ＋4.5)＝972(9x －5)·(x －3)，由f ′(x )＝0，解得59x =，或x ＝3(舍去)，当x ∈50,9⎛⎫⎪⎝⎭时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈5,19⎛⎫⎪⎝⎭时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．所以当59x =时，f (x )取极大值59f ⎛⎫⎪⎝⎭＝20 000万元．因为f (x )在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当59x =时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．迁移与应用 1.30 解析：根据题意得：L ＝P ·Q －20Q ＝－P 3－150P 2＋11 700P －166 000，∴L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700．令L ′(P )＝0，解得P ＝30，或P ＝－130(舍去)．此时L (30)＝23 000．当P ∈(0,30)时，L ′(P )＞0；当P ∈(30，＋∞)时，L ′(P )＜0， ∴L (30)为极大值且为最大值．∴定价为30元时，毛利润最大为23 000元． 2．解：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．活动与探究2 思路分析：可从AB 上任取一点M ，设MB ＝x ，将总费用表示为变量x 的函数，转化为函数的最值求解．解：设MB ＝x ，于是AM 上的运费为2(50－x )，MC 上的运费为4102＋x 2，则由A 到C的总运费为p (x )＝2(50－x )＋4100＋x 2(0≤x ≤50)．p ′(x )＝－2＋4x 100＋x 2，令p ′(x )＝0，解得x 1＝103，x 2＝－103(舍去)．当x ＜103时，p ′(x )＜0；当x ＞103时，p ′(x )＞0，所以当x ＝103时，取得最小值．即在离B 点距离为1033的点M 处筑公路至C 时，由A 至C 的货物运费最省．迁移与应用解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x (x ≥10，x ∈N *)，f ′(x )＝48－10 800x2，令f ′(x )＝0，得x ＝15，或x ＝－15(舍去)，当x ＞15时，f ′(x )＞0；当10≤x ＜15时，f ′(x )＜0，因此当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000．故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．活动与探究3 思路分析：表示面积时，首先要建立适当的平面直角坐标系，借助椭圆的方程，可表示出等腰梯形的高．解：(1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ，满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ＞0)，解得y ＝2r 2－x 2(0＜x ＜r )． S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2，其定义域为{x |0＜x ＜r }．(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2),0＜x ＜r ，则f ′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )．令f ′(x )＝0，得x ＝12r ，或x ＝－r (舍去)．因为当0＜x ＜12r 时，f ′(x )＞0；当12r ＜x ＜r 时，f ′(x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 是f (x )的最大值．因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ＝332r 2，即梯形面积S 的最大值为332r 2．迁移与应用 1．16 m 2解析：设矩形长为x m ，则宽为(8－x ) m ，矩形的面积为S ＝x (8－x )(x ＞0)．令S ′＝8－2x ＝0，得x ＝4．此时S max ＝42＝16(m 2)．2．解：设容器底面短边的边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x (m)．由题意知x ＞0，x ＋0.5＞0，且3.2－2x ＞0， ∴0＜x ＜1.6．设容器的容积为V m 3，则有V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x (0＜x ＜1.6)．∴V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6．令V ′＝0，有15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)．∴当x ∈(0,1)时，V ′(x )＞0，V (x )为增函数， x ∈(1,1.6)时，V ′(x )＜0，V (x )为减函数． ∴V 在x ∈(0,1.6)时取极大值V (1)＝1.8，这个极大值就是V 在x ∈(0,1.6)时的最大值，即V max ＝1.8．这时容器的高为1.2 m ．∴当高为1.2 m 时，容器的容积最大，最大值为1.8 m 3．当堂检测1．一个箱子的容积与底面边长x 的关系为260()2x V x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，x 的值为( )A ．30B ．40C ．50D ．60答案：B 解析：V (x )＝312x -＋30x 2，V ′(x )＝232x -＋60x ．令V ′(x )＝0，得x ＝40(x ＝0舍去)，且当0＜x ＜40时V ′(x )＞0，当40＜x ＜60时V ′(x )＜0，故V (x )在x ＝40时取得最大值．2．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25 D ．50答案：C 解析：设矩形垂直于AB 的一边长为x ，则另一边长为2225x -，于是矩形面积S (x )＝2x ·225x -(0＜x ＜5)，则S ′(x )＝2250425x x--，令S ′(x )＝0得52=2x (52=2x -舍去)，因此当52=2x 时面积取最大值为S 52=252⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 3．把长100 cm 的铁丝分为两段，各围成正方形，使两个正方形的面积之和最小，则两段的长分别为________，________．答案：50 cm 50 cm 解析：设其中一段长为x cm(0＜x ＜100)，则两个正方形面积之和S (x )＝2221001256254482x x x x -⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，S ′(x )＝12542x -，令S ′(x )＝0得x ＝50，故当x ＝50 cm 时两正方形面积之和最小，另一段长也为50 cm ．4．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝313x -＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．答案：9 解析：y ′＝－x 2＋81．令y ′＝0得x ＝9，x ＝－9(舍去)．当0＜x ＜9时，y ′＞0，函数f (x )单调递增；当x ＞9时，y ′＜0，函数f (x )单调递减．故当x ＝9时，y 取最大值．5．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km ．两厂要在此岸边A ，D 之间合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？答案：解：设C 点距D 点x km ，则AC ＝50－x (km)， ∴222240BC BD CD x =+=+(km)．又设总的水管费用为y 元，依题意，得y ＝3a (50－x )＋22540a x +(0＜x ＜50)．y ′＝－3a 2240x +．令y ′＝0，解得x ＝30．在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30 km 处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20(km)．故供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。

1.4生活中的优化问题举例

故
它
就
是
最
大
值
点
，
且
最
大
值
为
：
f(200)
＝
－
1 5
×2003
＋
24000×200－50000＝3150000(元)
答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元．
[点评] 建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方．
问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
例2 某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是 0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.
∴V (x)＝12x2－480x＋3600，
令V (x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)
当0<x<10时，V (x)>0，当10<x<30时，V (x)<0.
∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值．答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大．
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．
解法二：由解法(一)得
S (x) 2x 5128 2 x
2x 5128 x
232872
当且仅当 4 x 2 5 6 ,即 x 8 (x 0 )时 S 取最小值 x

生活中的优化问题举例(含过程)

(1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
▪ [思路分析] 代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求最值．
[解析] (1)设隔热层厚度 xcm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为 C(x)＝ 3x＋k 5(0≤x≤10)，再由 C(0)＝8 得 k＝40，
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
体积面积最值问题
例1 请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A， B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. 点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE ＝FB＝x(cm). 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
自主练习巩固2
某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨) 之间的关系为 P＝24200－15x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x 元．问每月生产多少吨该产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)．
[思路分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝Px，月利润＝月收入－成本＝Px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．
自主练习巩固1
▪ 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
▪ [思路分析] 设截下的小正方形边长为x，用x表示出长方体的边长，根据题意列出关系式，然后利用导数求最值．

高中数学-1-4生活中的优化问题举例例1-检测练习

1 选修2-
2 1.4 生活中的优化问题举例
一、基本说明
1．教学内容所属模块：选修2-2
2．年级：高二下学期
3.所用教材出版社：普通高中课程标准实验教科书-数学，选修2-2，人民教育出版社A 版，
4.所属章节：第一章：导数及其应用。

1.4 生活中的优化问题举例
5.教学时间：45分钟
二、评测练习：
1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为(
) A.3V B.32V C.34V D ．23V
2．用长度为l 的铁丝围成长方形，则围成的长方形的最大面积为( )
A.l 22
B.l 24
C.l 28
D.l 216
3. 拓展提升
少？则圆柱的底面半径为多，且用料最省，
桶，若要使其体积是做一个无盖的圆柱形水 27。

教学设计4：1.4 生活中的优化问题举例

1.4生活中的优化问题举例教学目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．教学知识梳理知识点生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．教学探究类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解∵V(x)＝(2x)2×(60－2x)×2 2＝2x2×(60－2x)＝－22x3＋602x2(0<x<30)．∴V′(x)＝－62x2＋1202x＝－62x(x－20)．令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．∴底面边长为2x＝202(cm)，高为2(30－x )＝102(cm)，即高与底面边长的比值为12.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．跟踪训练1 (1)已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 的值为 ________．(2)将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 【答案】(1)6πS 3π (2)100π4＋π【解析】(1)设圆柱的底面半径为r ，则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ， ∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh . ∴h ＝S －2πr 22πr ，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r 2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32， V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大．又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 为6πS 3π. (2)设弯成圆的一段铁丝长为x (0<x <100)，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝⎛⎭⎫100－x 42(0<x <100)．因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，则问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋π cm 时，面积之和最小．类型二实际生活中的最值问题命题角度1 利润最大问题例2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝6. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0，所以当x ＝9时，W 取得最大值，且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38，当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38，综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．命题角度2 用料、费用最少问题例3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 12x -＝m2x2(32x －512)．令f ′(x )＝0，得32x ＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)上为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)上为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元. 当堂检测1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－8【答案】C【解析】原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为( ) A.1033 cmB.2033 cmC.1633 cmD.33 cm 【答案】B【解析】设圆锥的高为h cm,0<h <20， ∴V 圆锥＝13π(202－h 2)×h ＝13π(400－h 2)h∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′(h )＝0得h ＝2033，当h ∈⎝⎛⎭⎫0，2033时，V ′>0，当h ∈⎝⎛⎭⎫2033，20时，V ′<0，故当h ＝2033时，体积最大．3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元 D ．23 000元【答案】D【解析】毛利润为(P －20)Q ，即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)， f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700 ＝－3(P ＋130)(P －30)．令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)．又P ∈[20，＋∞)，故f (P )max ＝f (P )极大值，故当P ＝30时，毛利润最大，所以f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．【答案】160【解析】设底面长为x ，由题意得底面宽为4x .设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ，即y ＝20x ＋80x＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2.若记商品一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．(2)由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大．。

高中数学生活中的优化问题举例(例题不符)课件

解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 那么两个正方形面积和
S
s1
s2
为( x )2
4
(l
x)2 4
1 (2x2 2lx l 2 ) 16
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
16
8
令S 0,得x l 2
由问题的实际意义可知：
当x l 时, S取最小值 . 最小值为 l 2 .
最小值约为 5/90 L ,即约为 0.056 L.
例2、磁盘的最大存储量问题 (1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？
(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？
问题：现有一张半径为R的磁
R
盘，它的存储区是半径介于r 与R的环行区域。
r
(1)是不是r越小，磁盘的存
练习3、用总长的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边长为xm,那么另一边长为
(x+0.5)m,容器的高为
由-4问x-4题(x的-2实x. 际意义,要求x-2x>0, 解得x的取值范围是0<x<1.6.
2
32
练习2、如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形 ABCD,求这个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2),
y
那么 A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,
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|BC|=2(2-x).
x
故矩形ABCD的面积为:

高中数学1-4生活中的优化问题举例

1.4生活中的优化问题举例

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《1.4 生活中的优化问题举例》高中数学人教A版版选修

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1.4生活中的优化问题(带答案)

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学案7：1.4 生活中的优化问题举例

高中数学 第一章1.4 生活中的优化问题举例讲解与例题

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