概率论ppt2-1
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概率论与数理统计课件(1-2)
频率与概率到底有怎样的关系呢？ 频率与概率到底有怎样的关系呢？
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质 硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
这两个公式的思想贯穿着整个概率问题的求解
可重复排列：从含有n 个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回， 将记录结果排成一列
n n n
n
共有nk 种不同排列方式
无重复排列： 无重复排列：从含有n 个元素的集合中随机抽 每次取一个，取后不放回， 取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元 素排成一列
1.2 概率
从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 发生的可能性大小的量 P（A）应具有何种性质？ （ 应具有何种性质？ 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？
•频率的性质
(1) 0≤ fn(A) ≤1； ≤ ≤ ； (2) fn( )＝1； fn(Φ)=0 ＝ ； Φ (3) 可加性：若AB＝ Φ ，则 可加性： ＝ fn(A∪B)＝ fn(A) ＋fn(B). ＝
二、 概率的公理化定义与性质 注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
[理学]青岛大学概率论课件概率第二章
![[理学]青岛大学概率论课件概率第二章](https://img.taocdn.com/s3/m/a8c4d5a45f0e7cd18525368d.png)
i 1
i 1
随机变量的数学期望。
(i 1,2,)
(1)
29
例3 设 为离散型随机变量，其分布列为
P{
(1)k
2k } k
1 2k
k 1,2,
试问: 的数学期望是否存在？
30
二、常用分布的数学期望
1） 单点分布
E c
2）两点分布
E p
3）二项分布 ~ B(n, p) E np
4）普阿松分布 ~ P( ) 5）几何分布 ~ G( p)
2）几何分布的无记忆性
定理：设 服从几何分布 G( p) ，m为任意整数，则
P( m k m) P( k) pqk1
6. 超几何分布
P(
k)
C
k M
C
nk N -M
CnN
注：背景
, k 0,1,,min( n, M )
9
§2.2 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量及其分布
1. 定义
0, 1, 2，3 1
定义1：设（, F, P）是概率空间, =()是 定义在上的实值函数， 如果x R, 有
{ () x} F
则称为随机变量。
定义2（离散型随机变量）
随机变量
离散型 非离散型奇连异续型型
2
二、离散型随机变量的分布列
1. 定义
定义3: 设离散型随机变量的可能取值为 xi (i 1,2,)
例5 已知随机变量和的分布列为：
~
1 1
0 1
11
4 2 4
~
0 1
1 1
2 2
且P{ =0}=1 (1)求和的联合分布列 (2)问和是否独立？为什么？
19
概率论与数理统计课件完整版.ppt
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质：
性质1. P() 0.
性质2. 若 A1, A2, , An是两两互不相容的事件, 则 P(A1 A2 An)
P(A1) P(A2) P(An). (有限可加性)
性质3. 若A B,则有 P(B A) P(B) P(A);
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 , 两两互不相容, 则
P(Bi | A) P(B i | A).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
A2 , A2 A3 , A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 A3 , A1 A2 A2 A3 A1 A3 .
25
2.概率的性质：
性质1. P() 0.
性质2. 若 A1, A2, , An是两两互不相容的事件, 则 P(A1 A2 An)
P(A1) P(A2) P(An). (有限可加性)
性质3. 若A B,则有 P(B A) P(B) P(A);
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 , 两两互不相容, 则
P(Bi | A) P(B i | A).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
A2 , A2 A3 , A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 A3 , A1 A2 A2 A3 A1 A3 .
概率论 高等院校概率论课件JXHD2-~1
§2.3 连续型随机变量及其分布一. 连续型随机变量的概率分布二. 三种常用分布一. 连续型随机变量及其分布定义2-4 注1：连续型v r .X 的分布函数)(x F 是连续函数。
注2：概率密度)(x f 具有如下性质：（1）0)(≥x f ；（2）⎰∞+∞-=1)(dx x f ；（3）⎰=-=<≤21)()()(}{1221x x dx x f x F x F x X x P ；若v r .X 的分布函数)(x F 可表示成 ⎰∞-=xdu u f x F )()( （2-7）其中)(x f 为一非负可积函数，则称X 为连续型v r .，)(x f 称为X 的概率密度(或概率分布、分布密度)。
（4）若)(x f 在x 点连续，则)()(x f x F ='。
由（2-8）式知，若不计高阶无穷小，则有 xx f x x X x P ∆=∆+<≤)(}{即X 落在小区间),[x x x ∆+上的概率近似等于x x f ∆)(。
注3：若X 是连续型v r .，则R a ∈∀,0}{==a X P 。
结论：若A 是不可能事件，则0)(=A P ，反之不然。
}{b X a P <≤}{b X a P <<= }{b X a P ≤<=}{b X a P ≤≤=几种常用分布：（1）均匀分布:设随机变量X 在有限区间][b a ，内取值,且其分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他，，01)(bx a a b x f ,则称X在有限区间][b a ，上服从均匀分布,记为)(~b a U X ，。
其分布函数为（自行验证）⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤=b x b x a a b ax a x x F ，，，10)(Uniform Distribution⎩⎨⎧≤>-=-0001)(x x e x F x，，λ 一般地,若随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x，，λλ其中0>λ为常数，则称X 服从参数为 λ的指数分布。
概率论 高等院校概率论课件JXHD2-1
第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及其分布函数§2.2 离散型随机变量及概率分布§2.3 连续型随机变量及概率分布§2.4 多维随机变(向)量及其分布§2.5 随机变量的独立性§2.6随机变量函数的分布基本要求重点与难点JXHD2-7概率篇CH2LX基本要求1．理解随机变量、随机变量的分布函数概念及性质。
2．理解概率分布的概念及其性质。
3．会利用概率分布及分布函数计算有关事件的概率。
4．掌握六种常用分布，会查泊松分布、正态分布表。
5．了解多维随机变量的概念。
了解二维随机变量的联合分布函数及其性质,了解二维随机变量的联合概率分布及其性质,并会用它们计算有关事件的概率。
6．知道二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系，了解条件分布。
7．理解随机变量独立性的概念及应用独立性进行有关计算。
8．会求简单随机变量函数的概率分布及两个独立随机变量的函数（和、最大值、最小值）的分布。
重点与难点1．随机变量的分布函数概念及性质。
2．概率分布（离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的概率密度）的概念及性质。
3．概率分布与分布函数的关系及正态分布的有关计算。
4．二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系。
5．随机变量独立性及应用。
6．简单随机变量函数的分布。
1．随机变量的分布函数、概率分布及其关系。
2．二维随机变量的边缘分布及计算。
3．随机变量函数的分布及两个独立随机变量的函数的分布。
§2.1 随机变量及其分布函数掷骰子试验}654321{，，，，，=Ω； 掷硬币试验}{T H ，=Ω 一．随机变量 [引例1] 掷骰子试验，}654321{，，，，，=Ω，令 ），，，，，（654321)(==i i i X 则X 是定义在Ω上的单值实函数，称X 为随机变量。
[引例2] 掷硬币试验，样本空间}{T H ，=Ω，令⎩⎨⎧===Te H e e Y ，，01)(则Y 是定义在Ω上的单值实函数，称 Y 为随机变量。
概率论课件第二章
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P() .
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
2-1离散型随机变量及其分布律
2}
C113C22 C135
1 35
P{ X
1}
C123C21 C135
12 35
每天从石家庄下火车的人数；
Y
昆虫的产卵数；
Z
七月份石家庄的最高温度；
E
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无概率论 关，但我们可以引进一个变量来表示它的各 种结果.也就是说，把试验结果数值化.
正如裁判员在运动 场上不叫运动员的 名字而叫号码一样， 二者建立了一种对 应关系.
二、随机变量的概念
概率论
概率论
第一节 离散型随机变量及其 分布律
一、随机变量 二、离散型随机变量 三、二点分布 四、二项分布 五、泊松分布
概率论
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可以用数 量来表示，由此就产生了随机变量的概念.
概率论
1、有些随机试验结果本身与数值有关 （本身就是一个数）.
例如，掷一颗骰子面上出现的点数； X
X
5000
5)
k6
P(
X
k
)5k0060C5k000(10100)k
( 999 )5000k 1000
或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.
我们先来介绍二项分布的泊松近似， 后面，我们将介绍二项分布的正态近似.
二、泊松分布
概率论
历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .
泊松分布,记作
X ~ P()
概率论
例 设离散型随机变量X服从参数为 的泊松
分布，且已知概率 PX 0 1 ，求：
e
1）参数 值；
2）概率 PX 3.
1
1 0.0613 6e
概率论与数理统计--第二章PPT课件
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
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第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页
《概率论基础》课件
《概率论基础》PPT课件
本课程将为您介绍概率论的基础知识，包括概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及在实际问题中的应用。
课程介绍
欢迎参加《概率论基础》课程！它将帮助您理解概率论的重要性以及其在实 际生活中的应用。
在本课程中，您将学习概率的基本概念、概率的性质，以及如何使用概率模 型解决实际问题。
天气预报
探索概率在天气预报中的应 用。
医学研究
学习如何使用概率在医学研 究中进行数据分析。
总结和回顾
感谢您参加《概率论基础》课程！在本课程中，我们深入学习了概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及概率在实际问题中的应用。 希望您通过本课程的学习，加深对概率论的理解，并能将其应用于实际生活和工作中。
连续概率分布
了解连续概率分布，如 正态分布和指数分布。
混合概率模型
探索混合概率模型和它 们的应用。
概率计算方法
1
排列组合
学习如何使用排列和组合计算概率。
条件概率树
2
掌握使用条件概率树解决复杂问题
的方法。
3
贝叶斯定理
了解贝叶斯定理在概率计算中的重 要性。
概率在实际问题中的应用
股票市场
了解如何使用概率计算股票 行情和投资决策。
概率的基本概念
1 随机事件
了解随机事件的定义和特征。
3 事件的概率
学习如何计算事件的概率。
2 样本空间
掌握样本空间的概念和表示方法。Βιβλιοθήκη 概率的性质互斥事件
研究互斥事件的特性和计算 方法。
独立事件
条件概率
探讨独立事件的概念和性质。
学习如何计算条件概率和应 用。
常见的概率模型
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课程介绍
欢迎参加《概率论基础》课程！它将帮助您理解概率论的重要性以及其在实 际生活中的应用。
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天气预报
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医学研究
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总结和回顾
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连续概率分布
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混合概率模型
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概率计算方法
1
排列组合
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条件概率树
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掌握使用条件概率树解决复杂问题
的方法。
3
贝叶斯定理
了解贝叶斯定理在概率计算中的重 要性。
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股票市场
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1 随机事件
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3 事件的概率
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独立事件
条件概率
探讨独立事件的概念和性质。
学习如何计算条件概率和应 用。
常见的概率模型
概率论第一章ppt课件
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
3
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其性质 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
4
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类：
一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象 成为随机现象。
概率论与数理统计
1
概率论与数理统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建 立有效的统计方法，进行统计推理。
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
概率论ppt课件
先验概率与后验概率
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
概率论与数理统计2-1 一维随机变量及其分布 (3)
第一节 一维随机变量 及其分布(3) 及其分布
五、连续型随机变量 六、典型的连续型 随机变量及其分布
回
停 下
五、连续型随机变量 连续型随机变量
1. 密度函数 对于随机变量X， 定义 对于随机变量 ，若存在非负可积函 使得X 数 p(x) ( x∈R), 使得 的分布函数 ∈
F ( x) = ∫
或概率密度. 数,或概率密度 或概率密度
1 , 2 ≤ x ≤ 5, p( x ) = 3 0, 其它.
表示“ 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”, 即 A={ X >3 }.
由于 P ( A) = P { X > 3} = ∫
51
3
2 dx = , 3 3
进行3次独立观测中 设Y 表示对 X进行 次独立观测中 观测值大于 进行 次独立观测中, 3的次数 的次数, 的次数 则
P {a < X ≤ b} = P { a < X < b } = P{a ≤ X < b}
= P{a ≤ X ≤ b}
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 3º
P( A) = 0 P( A) = 1
A= ∅ A= Ω
的分布函数为： 例1 设连续型随机变量X的分布函数为： F( x) = A+ Barctan x − ∞ < x < ∞
1 x − 1 − e 2000 , F ( x) = 0,
x ≥ 0, x < 0.
(1) P { X > 1000}= 1 − P { X ≤ 1000} = 1 − F (1000)
1 − 1 − e 2000x , x ≥ 0, F ( x) = 0, x < 0.
五、连续型随机变量 六、典型的连续型 随机变量及其分布
回
停 下
五、连续型随机变量 连续型随机变量
1. 密度函数 对于随机变量X， 定义 对于随机变量 ，若存在非负可积函 使得X 数 p(x) ( x∈R), 使得 的分布函数 ∈
F ( x) = ∫
或概率密度. 数,或概率密度 或概率密度
1 , 2 ≤ x ≤ 5, p( x ) = 3 0, 其它.
表示“ 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”, 即 A={ X >3 }.
由于 P ( A) = P { X > 3} = ∫
51
3
2 dx = , 3 3
进行3次独立观测中 设Y 表示对 X进行 次独立观测中 观测值大于 进行 次独立观测中, 3的次数 的次数, 的次数 则
P {a < X ≤ b} = P { a < X < b } = P{a ≤ X < b}
= P{a ≤ X ≤ b}
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 3º
P( A) = 0 P( A) = 1
A= ∅ A= Ω
的分布函数为： 例1 设连续型随机变量X的分布函数为： F( x) = A+ Barctan x − ∞ < x < ∞
1 x − 1 − e 2000 , F ( x) = 0,
x ≥ 0, x < 0.
(1) P { X > 1000}= 1 − P { X ≤ 1000} = 1 − F (1000)
1 − 1 − e 2000x , x ≥ 0, F ( x) = 0, x < 0.
概率论第2章ppt课件
(5) P{恰好2.5分钟}
.
11
第2章 随机变量及其分布
解：
习题19
(1) P{至多3分钟} P { X 3 } F X (3 ) 1 e 0 .4 3 0 .69 (2) P{至少4分钟}
P { X 4 } 1 P { X 4 } 1 F X ( 4 ) e 0 .4 4 0 .20
同理 P{X2}5219 P{X3}4217
36 36
36 36
P{X4}3215 P{X5}2213
36 36
36 36
P{X 6} 1 36
.
3
第2章 随机变量及其分布
习题8
8. 甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。今各投三次。求(1)两人投中次数 相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.
.
9
第2章 随机变量及其分布
习题16
16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为0.0001. 在某天的该时间段内有1000量汽车通过。问出事故的车辆 数不小于2的概率是多少？(利用泊松定理计算)
解：令在该段时间内发生事故的车辆数目为X, 根据题意知：
0
20
22 4
令 y x2
AI1A1 4
I b3/2
.
15
第2章 随机变量及其分布
习题22(2)
22(2) 研究了英格兰在1875年~1951年期间，在矿山
发生导致不少于10人死亡的事故的频繁程度，得知
相继两次事故之间的时间T(日)服从指数分布，其
概率密度为
fT
(t)
1
et
241
, /241
(1) 解：从8杯酒中随机地挑选4杯，共有
2-1连续型随机变量及其分布律(3)
1)曲线关于 x μ 对称; 2) 当x μ时, p( x)取得最大值 1 ;
2 πσ 3) 当 x 时, p( x) 0; 4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
5)曲线以 x 轴为渐近线; 6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, p( x) 图形的形状不变,只是沿 着 x 轴作平移变换;
而 0 P{X c} P{c X c}
lim P{c X c}
0
c
lim p( x)d x 0. 0 c
P{X c} 0.
注. 1º若X为连续型随机变量，则 P{a X b} P{a X b} P{a X b}
第二章
第一节 连续型随机变量 及其分布密度 (3)
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、内容小结
一、概率密度的概念与性质
1.定义 对于随机变量X，若存在非负可积函数
p(x) ( xR), 使得X 的分布函数
y y p( x)
F
(
x)
x
p(t
)
dt
F(x)
o x
(3) 正态分布下的概率计算
原函数不是
初等函数
P{X x} F ( x) 1
e d t x
(
t μ)2 2σ2
2σ
? 方法一:利用MATLAB软件包计算
方法二:转化为标准正态分布查表计算
标准正态分布
当正态分布 N ( μ,σ2 ) 中的 μ 0, σ 1 时,这样 的正态分布称为标准正态分布,记为 N (0, 1).
离 散
{ X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
2 πσ 3) 当 x 时, p( x) 0; 4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
5)曲线以 x 轴为渐近线; 6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, p( x) 图形的形状不变,只是沿 着 x 轴作平移变换;
而 0 P{X c} P{c X c}
lim P{c X c}
0
c
lim p( x)d x 0. 0 c
P{X c} 0.
注. 1º若X为连续型随机变量，则 P{a X b} P{a X b} P{a X b}
第二章
第一节 连续型随机变量 及其分布密度 (3)
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、内容小结
一、概率密度的概念与性质
1.定义 对于随机变量X，若存在非负可积函数
p(x) ( xR), 使得X 的分布函数
y y p( x)
F
(
x)
x
p(t
)
dt
F(x)
o x
(3) 正态分布下的概率计算
原函数不是
初等函数
P{X x} F ( x) 1
e d t x
(
t μ)2 2σ2
2σ
? 方法一:利用MATLAB软件包计算
方法二:转化为标准正态分布查表计算
标准正态分布
当正态分布 N ( μ,σ2 ) 中的 μ 0, σ 1 时,这样 的正态分布称为标准正态分布,记为 N (0, 1).
离 散
{ X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
概率论与随机过程：2-1 随机变量及其分布函数
例3 设有函数 F(x)
F(x)
sin
x 0
0 x
其它
试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.
解： 注意到函数 F(x)在[ 2, ]上下降，
不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.
或者
F() lim F(x) 0 x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数.
练：设连续型随机变量X的分布函数为
第二章教学计划（第1次课）
教学内容：
1.随机变量及其分布函数； 2.离散型随机变量及其分布。 教学目的及目标：
1.理解随机变量、分布函数、分布律的概念； 2.能对实际问题建立适当的随机变量，会求其分布函数； 3.能熟练求离散型随机变量的分布律，熟练掌握三种重要的
离散型分布; 4. 熟练掌握分布函数、分布律的性质及二者间的关系,并能熟
随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大 事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研 究，就由对事件及事件概率的研究转变为对随机变 量及其取值规律的研究.
事件及 事件概率
随机变量及其 取值规律
对于随机试验，要求能够定义适当的随机变量表示 试验结果。
（*）例3: 考虑“测试灯泡寿命”这一试验。试验结 果本身是用数字描述的，令X表示灯泡的寿命 （以小时计），则X是随机变量，定义域为样本 空间 ={t|t≥0}，值域为RX=[0，+∞）。 {X＜500}：“任取出的灯泡的寿命小于500小时”；
随机变量的分布：对一个随机变量的统计规律性
的完整描述。
2、引入随机变量的意义
随机变量实际上就是定义域为事件域，值 域为实数集或其子集的一种实值函数.
ω.
X(ω)
Ω
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第二章 基本定理
2.1 加法定理(Addition formula) 2.2 乘法定理(Multiplication formula) 2.3 贝叶斯定理(Bayesian formula) 小结 课程要求 习题选讲 本章测验
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2.1加法定理(Addition formula )
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例5 (配对问题) 将 n 封写给不同收信人的信件分别编号 1 , 2 , , n , n个信封在分别写明收信人地址、姓名等以后也 今将每封信任意挑一个信封后装入， 对应地编号 1 , 2 , , n 。 求至少有一封信是装对了的概率？
解: 设 A {封、信纸至少有一配对}， A i {第 i 号信纸 恰好装入第 i 号信封}，i 1 , 2 , , n . 则有
n
S1
i 1
n
P ( Ai ) 1
S2
1 n P ( Ai A j ) n ( n 1) 2! 2 1 i j n
n
n
Sk
1 k!
于是，由加法定理，得
P ( A ) P ( Ai )
i 1
P ( Ai )
i 1
1 i j k n
于是,我们有以下推论: 推论1 对任意事件A, 有
P ( A) 1 P ( A)
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A
A
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推论2 对三个事件 A , B , C ，有：
P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) P ( AB )
P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC )
A B A ( B AB )
A
B AB
B
注意到 A 与 B AB 不相容以及 AB B , 有
P ( A B ) P [ A ( B AB )]
P ( A ) P ( B AB ) P ( A ) P ( B ) P ( AB )
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即
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB )
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证毕。
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对任意事件 A 与其对立事件 A ， A A ， A A 且 有
从而
1 P ( ) P ( A A ) P ( A ) P ( A )
第二章 基本定理
对事件确定其概率是概率论基本课题. 除了对一些简单的情况可对事件的概率作出 直接计算外,一般都只能采用间接的方法.这 就是按事件之间的联系,从一些已知其概率 的事件去间接地计算出与之相关的另一事件 的概率的方法.可以这样说,事件的概率计算 基本上就是由这种间接方法的系统构成.这 一章主要介绍概率计算的一些基本定理.
n
P ( Ai A j )
1 i j n
n1 P ( A i A j A k ) ( 1 ) P ( A 1 A 2 A n ). 1 i j k n
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例1 一批产品50件,其中45件是合格品而5件是次品.今从中
P ( A ) P ( B1 B 2 B 3 ) P ( B1 ) P ( B 2 ) P ( B 3 ) P ( B1 B 2 ) P ( B1 B 3 ) P ( B 2 B 3 ) P ( B1 B 2 B 3 )
3 0 .1 3
0 . 2760
1 16
0
5 8
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从而所求概率 P ( A B C )
.
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例4 在所有的两位数10到99中任取一个数,求此数能被 2或3整除的概率 p ?
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பைடு நூலகம்
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例4 在所有的两位数10到99中任取一个数,求此数能被 2或3整除的概率 p ?
解: 设 A {任取一个两位数能被2整除}
45 3 50 3
P ( A) 1 P ( A ) 1
0 . 2760
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例1 一批产品50件,其中45件是合格品而5件是次品.今从中
抽出3件,求这抽出3件中至少有1件是次品的概率是多少?
解: 设 A {抽出3件中至少有1件是次品} 法二: 记 A i {抽出的3件中有 i 件次品}, i 1 , 2 , 3 . 则有
P ( A B ) P ( A AB ) P ( AB ) P ( B AB )
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P ( A B ) P ( A AB ) P ( AB ) P ( B AB )
易知
AB A , AB B
A
从而有
P ( A AB ) P ( A ) P ( AB ) P ( B AB ) P ( B ) P ( AB )
B
{任取一个两位数能被3整除},
p P(A B)
则有
按加法定理,有
p P(A B)
P ( A ) P ( B ) P ( AB )
即能被2和3 的最小公倍 数整除
45 90
30 90
15 90
0 . 6667
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例5 (配对问题) 将 n 封写给不同收信人的信件分别编号 1 , 2 , , n , n个信封在分别写明收信人地址、姓名等以后也 今将每封信任意挑一个信封后装入， 对应地编号 1 , 2 , , n 。 求至少有一封信是装对了的概率？
1 16
,
求事件 A , B , C 全不发生的概率？
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例3（92） 已知
P ( A ) P ( B ) P (C )
1 4
, P ( AB ) 0 ,
P ( AC ) P ( BC )
1 16
,
求事件 A , B , C 全不发生的概率？
解：所求概率
定理1 两事件A和B 之和的概率等于其概率之和减去积 AB的概率. 即 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ). 证明 如图
A
AB
B
复合事件 A B可表示成互不相容事件之和
A B ( A AB ) AB ( B AB )
于是,由概率的可加性,有
( A 1 , A 2 , A 3 不相容)
5 3 50 3
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0 . 2760
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例1 一批产品50件,其中45件是合格品而5件是次品.今从中
抽出3件,求这抽出3件中至少有1件是次品的概率是多少?
解: 设 A {抽出3件中至少有1件是次品} 法三: 记 B i {抽出的第 i 件是次品}, i 1 , 2 , 3 . 则有
A A1 A 2 A 3
于是 P ( A ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 )
5 45 1 2 50 3 5 45 2 1 50 3
P ( Ai A j )
1 i j n
n1 P ( A i A j A k ) ( 1 ) P ( A1 A 2 A n ).
54 50 49
54 3 50 49 48
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例2 已知 P ( A ) 0 . 4 , P ( B ) 0 . 3 , P ( A B ) 0 . 6 , 试求P ( A B ).
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例2 已知 P ( A ) 0 . 4 , P ( B ) 0 . 3 , P ( A B ) 0 . 6 , 试求P ( A B ).
解: (法一) 由减法公式,有
P ( A B ) P ( A ) P ( AB )
又 P ( AB ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
0 .4 0 .3 0 .6 0 .1
于是
P ( A B ) P ( A ) P ( AB )
0 .4 0 .1
P(ABC ) 1 P(ABC ) 1 P(A B C )
又
P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) P ( AB )
P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC )
1 4
1 4
1 4
0 3 8
1 16
0 .3
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例2 已知 P ( A ) 0 . 4 , P ( B ) 0 . 3 , P ( A B ) 0 . 6 , 试求P ( A B ).
解: (法二) 由事件的运算关系,知
A B AB A
故有