y=Asin(ωx+φ)的性质

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高中函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质知识点+例题全面

辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅周期频率相位初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.夯实基础训练。

函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(一)

数 y=Asin(ωx+φ)图象与性质的影响?函数 y=Asin(ωx+φ)中含有三个不同的参数,
你认为应该按怎样的思路进行研究?
答案
能.可以先研究 φ 对函数 y=sin(x+φ)图象的影响,再依次研究 ω,A 对函数
y=Asin(ωx+φ)图象的影响.
问题 2:函数 y=sin x 的图象与 y=sin(x+φ)的图象有什么关系?
π
π
3
3
(2)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数 y=sin 的图象,再把函数 y=sin y=sin

3
-
π
3
的图象.
π
3
的图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍,就得到函数
课前预学
方法总结
课堂导学
伸缩变换的解题关键及方法
关键:确定伸缩量.
1
解决方法:已知函数 y=f(x)的图象,作函数 y=f(ωx)(ω>0)的图象, 为伸缩量.
π
6
图象上的一点,则点 G'
1
2
, 与 G″(2x,y)分别
在哪个函数图象上?
答案
G'
1
2
, 是 y=sin 2 +
问题 3:(1)函数 y=sin 2 +
π
6
图象上一点;G″(2x,y)是 y=sin
π
1
2
+
π
6
图象上的一点.
π
,x∈R 的图象,可看作是把 y=sin + ,x∈R 图象上
30
+
π
6
π

函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用课件

函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关： (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)；
(3)由 y＝sin(2x－34π)知，
x
0
π
3π
5π
7π
8
8
8
8
π
2x－34π
－34π
－π2
0
π 2
π
5π 4
y
－
2 2
－1
0
1
0
－
2 2
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是
相位、初相概念理解错误
典例 4 函数 y＝2sin(－2x＋π3)的相位和初相分别是( )
A．－2x＋π3，π3
[解析] (1)由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 得 x＝k2π＋π4－φ2，令k2π＋π4－φ2＝π8，解得 φ＝kπ＋π4，k∈Z． ∵－π<φ<0，∴φ＝－34π． (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－34π)．由 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ＋π2(k∈Z)
解得 kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z) 故函数的单调递增区间是[kπ＋π8，kπ＋58π](k∈Z)．同理可得函数的单调递减区间是[kπ＋58π，kπ＋98π](k∈Z)．当 2x－34π＝2kπ＋π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋58π(k∈Z)时函数有最大值 1；当 2x－34π＝2kπ－π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋π8(k∈Z)时函数有最小值－1．

高中数学函数y=Asin(ωx+φ)的性质

(k∈Z)．取k＝1得1π2，0满足条件． [答案] 1π2，0
[一题多变]
1．[变条件，变设问]将本例中对称中心改为对称轴，其他条
件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程．解：由4x＋23π＝kπ＋π2，得x＝k4π－2π4，取k＝0时，x＝－2π4满足题意． 2．[变条件]将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果
)
A．3π，13，π6
B．6π，13，π6
C．3π，3，－π6
D．6π，3，π6
答案：B
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝
A．5
B．－5
()
C．4
D．－4
答案：C
4．函数f(x案：x＝kπ＋34π，k∈Z
[法二待定系数法]
由图象知A＝3.∵图象过点π3，0和56π，0，
∴5π3πω6ω＋＋φφ＝＝π2，π，
ω＝2，解得φ＝π3.
∴y＝3sin2x＋π3. [法三图象变换法]
由A＝3，T＝π，点－π6，0 在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x向左平移π6个单位长度而得，
B．T＝6，φ＝π3
C．T＝6π，φ＝π6
D．T＝6π，φ＝π3
解析：选A T＝2ωπ＝2ππ＝6，
3
∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.
∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.
由图象确定函数的解析式
[典例] 如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)
A>0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．
三角函数图象的对称性
[典例] 在函数y＝2sin4x＋23π的图象的对称中心中，离原
点最近的一个中心的坐标是________． [解析] 设4x＋23π＝kπ(k∈Z)，得x＝k4π－π6(k∈Z) ∴函数y＝2sin 4x＋23π 图象的对称中心坐标为 k4π－π6，0

函数y=Asin(ωx+φ)的性质

关的
②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调单调
2
与正
区间的方法：采用“换元”法整体代换，将区弦
ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω<0，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间.
间的求解技
例2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图某摩天轮最高点距离地面高度为120m , 转盘直径为110m ，设置有48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的距离进舱。转一周大约需要30 min . (1)游客甲坐上摩天轮的座舱开始转动t min 后距离地面的高度为Hm, 求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；
函数
图
区间－π6，23π上存在零点，求实数 k 的取值范围.
象的特
解（1）f(x)＝ 3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－12 ＝ 23sin 2ωx＋cos 2ω2 x＋1－12
点
＝
3 2 sin
2ωx＋21cos
2ωx＝sin2ωx＋π6，
，因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为π2. 所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝π
令 2x＋π6＝kπ(k∈Z)，则 x＝k2π－1π2(k∈Z)，所以对称中心为k2π－1π2，45(k∈Z).
（3）当 sin2x＋π6＝－1，即 2x＋6π＝－π2＋2kπ(k∈Z)，x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为34，
此时 x 的取值集合是xx＝－π3＋kπ，k∈Z

函数y=Asin(ωx+φ)的性质-三角函数

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填一填
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
定义域
R
值域
1 __[_－___A__，___A__]_____
周期
T＝2ωπ
第3 页
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第4 页
奇偶性 φ＝ 2 kπ，k∈Z 时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；φ＝ 3 kπ＋π2，k∈Z
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第 12 页
类型二函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用(自主探究) 1．若函数 y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，则 φ＝( C )
A．0
π B.4
π C.2
D．π
解析因为函数 y＝sin(ωx＋φ)在 φ＝kπ±2π(k∈Z)时为偶函数，且 0≤φ≤π，所以
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第 20 页
类型三函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用【例】函数 h(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．若把函数 h(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 f(x)的图象． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若函数 y＝f(x＋φ′)0<φ′<2π是奇函数，求函数 g(x)＝cos(2x－φ′)在[0,2π]上的单调递减区间．

函数y=Asin(ωx φ)的图象及性质2

解析由T2＝51π2＋1π2＝π2，得 T＝π，∴ω＝2Tπ＝2. 把点－1π2，2代入 y＝2sin(2x＋φ)，得：sin－π6＋φ＝1，解得：φ＝23π，故选 B. 答案 B
抓住3个考点

突破3个考向
揭秘3年高考
考向三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
【例 3】►(2013·湖州调研)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈
【例2】►(1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是 ( )．
A．A＝3，T＝43π，φ＝－π6 B．A＝1，T＝43π，φ＝34π C．A＝1，T＝43π，φ＝－34π D．A＝1，T＝43π，φ＝－π6
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
小正周期 T 和初相 φ 分别为( )．
A．T＝6π，φ＝π6
B．T＝6π，φ＝π3
C．T＝6，φ＝π6
D．T＝6，φ＝π3
解析由图象知 T＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)
且 A＝2，可得 sinπ3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得 φ＝π6.
答案 C
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为： (1)定点：先确定五点．即令 ωx＋φ 分别等于 0，π2，π，32π， 2π，得对应的五点为_－__ωφ__，__π2_－_ω_φ___，_π__－ω__φ__，__3_2π_ω－__φ___，
2π－φ ____ω_____.
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
又 φ∈0，π2，所以 φ＝π6.
故 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin2x＋π6.

正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质导入新课思路1(情境引入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A 、ω、φ是常数)。

例如，物体做简谐振动时位移y 与时间x 的关系，交流电中电流强度y 与时间x 的关系等，都可用这类函数来表示。

这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象。

揭示课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象。

思路2（直接导入）从解析式来看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响。

一、新知探究提出问题（1）你能用学过的三角函数知识描述大观览车周而复始的运动吗？（2）你能算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度吗？活动：教师可先制作一个大观览车模型，让学生动手画出大观览车的示意图，或先演示课件然后和学生一起探究上述问题。

如图1是大观览车的示意图。

设观览车转轮半径长为R ，转动的角度为ωrad/s.点P 0表示座椅的初始位置.此时∠xoP 0=φ,当转轮转动t 秒后,点P 0P 位置,射线OP 的转角为ωt+φ,由正弦函数的定义,得点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为y=Rsin(ωt+φ).这样，如果已知车轮半径R ，转动的角速度ω和初始的角度φ你就可计算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度了。

在函数y= Rsin(ωt+φ)中，点P 旋转一周所需要的时间 T=ϖπ2，叫做点P 的转动周期。

在一秒内，点P 旋转的周数f=,2π=T 叫做转动的频率。

OP 0与x 轴正向的夹角φ叫做初相。

例如一动点以角速度4πrad/s 做匀速圆周运动，则T=.21,2142Hz Tf s ===ππ形如y=Asin(ωx+φ)（其中A ，ω，φ都是常数)的函数，在物理、工程等科学的研究中经常遇到，这种类型的函数通常叫做正弦函数。

第15讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(学生版)

第15讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质一，基础知识回顾的最小正周期为．的最小正周期为．3．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图4得到：（1）相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，把y ＝sin x 图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y ＝sin (ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上各点的纵坐标______(A >1)或______(0<A <1)到原来的____倍(横坐标不变)．5.确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b.确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝，b ＝ .(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝ .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2.6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)性质（1）单调性：（2）最值：（3）周期：（4）对称性：（5）奇偶性：二，典例精析题型一：五点法作图及图象变换例1：已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到.变式迁移1：(1)要得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D 向左平移π12个单位(2)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2：(1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为(2)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝变式训练2：(1)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相分别是(2)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝题型三：三角函数图象与性质的综合应用例3：设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．变式训练3：已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．题型四：三角函数模型的简单应用例4：如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．变式训练4.：某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？题型五：三角函数背景下的创新问题例5：设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是变式训练5：已知函数f (x )＝2sin x ＋1(x ∈[0，2π])，设h (x )＝|f (x )|－a ，则当1<a <3时，函数h (x )的零点个数为三．方法规律总结1．五点法作函数图象及函数图象变换问题：(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．2．由图象确定函数解析式：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．3．对称问题：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．4．由函数y ＝sin x (x ∈R )的图象经过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x 前面的系数提取出来．5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．6．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性．四、课后练习作业一、选择题1．函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )2．函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为( )A. πB.π4C.π3 D ．π23．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 B 关于直线x ＝π4对称C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 D 关于直线x ＝π3对称 4.要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（）1212个单位 5．将函数y ＝f (x )·sin x 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴对称变换，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )可以是( D )．A ．sin xB ．cos xC ．2sin xD ．2cos x6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( A )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数7．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( C )． A.13B ．3C ．6D ．9 8．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，则φ的一个可能取值是( D ) A.π12 B.π6 C.5π6 D.7π129．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( D )A.π3B.23πC.43πD.π3或43π 10．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是( B )A ．)185,92[ππ B ．]185,92(ππ C ．)185,92(ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡185,92ππ 二、填空题11．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．12．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．13．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.14．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．三、解答题15．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜0)的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．16．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图象，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．17．已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．18．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？。

专题61 高中数学函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用(解析版)

专题61 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质及应用知识点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)中，A ，ω，φ的物理意义(1)简谐运动的振幅就是A . (2)简谐运动的周期T ＝2πω.(3)简谐运动的频率f ＝1T ＝ω2π.(4)ωx ＋φ称为相位．(5) x ＝0时的相位φ称为初相．知识点二函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质题型一已知函数图象求解析式1．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．[解析]解法一：逐一定参法：由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)． ∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上，且是上升趋势的零点，∴－π6×2＋φ＝2k π，得φ＝π3＋2k π(k ∈Z)． ∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解法二：待定系数法由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，且由图象的上升及下降趋势，可得⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解法三：图象变换法由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 2．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6D.π6[解析]由图象知T ＝2πω＝2⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝π，所以ω＝2，2×π6＋φ＝2k π(k ∈Z)，又因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.故选A.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，且图象如图所示，求其解析式．[解析]法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，又由点⎝⎛⎭⎫－π6，0，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－π6×2＋φ＝0得φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二：(方程法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，又图象过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0，－π3＋φ＝k π(k ∈Z)，又因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法三：(变换法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，且f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位而得到的，解析式为f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 4．如图所示为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<|φ|<π2的图象的一部分，则函数的一个解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫1011x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫1011x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析]由图象知A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∵图象过⎝⎛⎭⎫π6，2，∴2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，∴π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又∵0<|φ|<π2，∴φ＝π6.∴函数解析式y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析]由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．[答案] D6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π12等于( )A.12B ．0C ．2D ．－2 [解析]解法一：由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3，∴ω＝2πT＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π4，0代入上式得，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝0，又⎝⎛⎭⎫34π，0是图象上升的趋势的点， ∴3π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，则φ＝2k π－3π4.∴f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π4＋2k π－3π4＝0. 解法二：由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦图象性质可知，若f (x 0)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫x 0＋T 2＝0.∴f ⎝⎛⎭⎫7π12＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝0.[答案] B 7．已知函数f (x )＝|A cos(x ＋φ)＋1|⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝2，φ＝π6B ．A ＝3，φ＝π6C ．A ＝2，φ＝π3D ．A ＝3，φ＝π3[解析]由题图知：A ＝3－（－1）2＝2，又f (0)＝|2cos φ＋1|＝2，所以cos φ＝12或cos φ＝－32(舍)，因为|φ|<π2，即－π2<φ<π2，由图象知φ>0，所以φ＝π3，故选C.8．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.[解析]由图象可得最小正周期为2π3.所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π2＝23. 9．已知函数f (x )＝2cos(ωx －φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若A ⎝⎛⎭⎫π2，2，B ⎝⎛⎭⎫3π2，2，则f (0)＝________．[解析]由函数图象可知函数f (x )的周期T ＝3π2－π2＝π，ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos(π－φ)＝－2cos φ＝2，则cos φ＝－22.因为φ∈[0，π]，所以φ＝3π4，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，则f (0)＝－ 2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6D ．B ＝4[解析]由图象可知，A ＝2，14T ＝5π12－π6＝π4，T ＝π，ω＝2.因为2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6，故选C.11．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＋4B ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋4C ．y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＋2D ．y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋2 [解析]由函数f (x )的最大值和最小值得A ＋B ＝6，－A ＋B ＝2，所以A ＝2，B ＝4，函数f (x )的周期为⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫－π2×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝12，又因为点⎝⎛⎭⎫π2，6在函数f (x )的图象上所以6＝2cos ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＋4，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，所以φ＝2k π－π4，k ∈Z ，又|φ|＜π2所以φ＝－π4，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋4. 12．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－56x ＋3π5B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x －2π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x ＋3π5D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫56x ＋3π5 [解析]T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，排除A 、D.不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，由题图知A ＝1，于是65·π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z)，所以φ＝2k π＋3π5(k ∈Z)，所以φ可以是3π5，故选C.13．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为______________．[解析]由题图得A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，即T ＝π.由ω>0，T ＝2πω＝π得ω＝2. 又当x ＝π3时，ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，即2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝2k π－π6(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝－π6.因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(x ∈R)．14．下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变[解析] 由图象可知A ＝1，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z.∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2k π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得原函数的图象．[答案] A15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式为f (x )＝______________.[解析]由函数图象上相邻最高点和最低点距离为22，得 ⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝2 2.解得T ＝4，∴ω＝2πT ＝π2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ. 又∵函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，∴f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12. 又∵－π2≤φ≤π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 16．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ <π2的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4，且图象经过点⎝⎛⎭⎫0，52，求这个函数的解析式．[解析]由题意知A ＝5，T 2＝π4，所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4，所以y ＝5sin(4x ＋φ)．又因为图象经过点⎝⎛⎭⎫0，52，所以52＝5sin φ，即sin φ＝12，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z)或φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以这个函数的解析式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. 17．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4，且图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫7π12，－3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间．[解析] (1)由函数f (x )的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4，可知函数f (x )的周期为π，所以ω＝2ππ＝2.又函数f (x )图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫7π12，－3，|φ|<π2，所以A ＝3，2×7π12＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，则可得单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π12，⎣⎡⎦⎤7π12，π. 18．已知定义在(－∞，＋∞)上的函数f (x )，对任意x ∈R ，恒有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )成立． (1)求证：函数f (x )是周期函数，并求出它的最小正周期； (2)若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0＜φ＜π2 在一个周期内的图象如图所示，求出f (x )的解析式，并写出它的对称轴方程． [解析] (1)因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π2＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是周期函数，它的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )的最小正周期为π，ω>0，所以2πω＝π，所以ω＝2.由题中图象知A ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，所以它的对称轴方程为x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．19．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，求f (x )的解析式． [解析]由最低点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2. 在x 轴上两相邻交点之间的距离为π2，故T 2＝π2，即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 20．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． [解析] (1)由图象知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2，将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图象上的――――――――――――――――→所有点的横坐标缩小为原来1/2倍纵坐标不变y ＝sin 2x 的图象，再把y ＝sin 2x 的图象,向左平移π12个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象． 21．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围． [解析] (1)由函数图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 22．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，A >0，|φ|<π2的图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的值域．[解析] (1)由图象可知A ＝1，T 4＝2π4ω＝7π12－π3＝π4，所以ω＝2.又由图象知2·π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1. 23．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在x ∈[－1，2]的值域．[解析] (1)由题图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，所以ω＝2πT ＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ.将点(－1，0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ.因为|φ|＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)因为－1≤x ≤2，所以0≤π4x ＋π4≤34π，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4≤1，所以0≤2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4≤2. 所以函数f (x )的值域为[0，2]．24．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ [解析] (1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝25. 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭⎫π4，0，得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0. 又∵|φ|<π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10. (2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25(x ＋m )－π10＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m ＞0)，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2，k ∈Z ∵m ＞0，∴m min ＝3π2. 故把f (x )的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．25．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π2，2，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π2，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数解析式； (2)写出函数的单调区间．[解析] (1)依题意，得A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫3π2－π2＝4π，∵T ＝2π|ω|＝4π，ω＞0，∴ω＝12.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.∵曲线上的最高点为⎝⎛⎭⎫π2，2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝1.∴φ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4. (2)令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z.∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z)．令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z.∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z)．26．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )的图象与f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求函数g (x )的解析式及g (x )的最小正周期．[解析] (1)由图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ.∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4， ∴g (x )的最小正周期为2ππ4＝8.27．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6＋1(ω＞0,0＜φ＜π) 为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间． [解析] (1)∵f (x )为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋2π3(k ∈Z )．又0＜φ＜π，∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π8＋1＝2＋1. (2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＋1. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 28．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一系列对应值如下表：x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1.(答案不唯一) (2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝⎛⎭⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，且k ＞0，∴k ＝3.令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3， ∴t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，如图所示，当sin t ＝s 在⎣⎡⎦⎤－π3，2π3上有两个不同的实数解时，s ∈⎣⎡⎭⎫32，1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，由方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解得m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．题型二三角函数图象与性质的综合应用1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的对称中心是___________，对称轴方程是__________________． [解析] 函数的对称中心：12x ＋π6＝k π，k ∈Z ，∴x ＝2k π－π3，k ∈Z ，即⎝⎛⎭⎫2k π－π3，0(k ∈Z)，对称轴方程：12x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝2k π＋2π3，k ∈Z.2．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6[解析]∵x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.3．将函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫π12，0B.⎝⎛⎭⎫π3，0C.⎝⎛⎭⎫5π12，0D.⎝⎛⎭⎫2π3，0 [解析]由题意g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，令2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝2π3，故函数y ＝g (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫2π3，0. 4．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数g (x )图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫5π12，0B.⎝⎛⎭⎫π4，0C.⎝⎛⎭⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎫π12，0 [解析]将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可以得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫12x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，再向右平移π6个单位可以得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12的图象，因此，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12，由g ⎝⎛⎭⎫5π12＝sin 0＝0，选项A 正确． 5．在函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________． [解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)．取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． 6．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析] 由①知T ＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由②③知x ＝π3时，f (x )取最大值，验证知只有C 符合要求．7．在函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x ＝π6时，有最大值2，当x ＝2π3时，有最小值－2，则ω＝________.[解析]依题意知T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，又T ＝2πω＝π，得ω＝2.8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，以下命题中为假命题的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上是增函数 [解析]令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，当k ＝0时，x ＝π12，即函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项A 正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z)，当k ＝0时，x ＝－π6，即x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，选项B 正确；2x ＋π3＝2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C 错误；若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，则2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上是增函数，选项D 正确．故选C. 9．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号) ①图象C 关于直线x ＝π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称； ③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . [解析] f ⎝⎛⎭⎫π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32.f ⎝⎛⎭⎫23π＝3sin ⎝⎛⎭⎫43π－π3＝0，故①错，②正确．令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π，k ∈Z ，故③正确．函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象，故④错． 10．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则φ的值为________．[解析]由题意知2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，所以φ＝－56π.11．函数f (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向右平移π6个单位后得到的函数是奇函数，则函数f (x )的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称 B ．关于直线x ＝－π6对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于直线x ＝π12对称 [解析]将函数f (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向右平移π6个单位后，可得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令x ＝－π3，求得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－32，故排除A ；令x ＝－π6，求得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝0，故排除B ；令x ＝π12，求得f (x )＝cos 0＝1，为函数的最大值，排除C ，选D.12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)，若f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝( )A.23B.143C.263D.383[解析]因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，所以直线x ＝π6＋π32＝π4是函数f (x )图象的一条对称轴，又因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以当x ＝π4时，f (x )取得最小值．所以π4ω＋π3＝2k π－π2，k ∈Z ，解得ω＝8k －103，(k ∈Z)又因为T ＝2πω≥π3－π6＝π6，所以ω≤12，又因为ω＞0，所以k ＝1，即ω＝8－103＝143.13．已知函数f (x )＝32sin x cos x ＋12cos 2x ＋1. (1)求f (x )的振幅、最小正周期及单调增区间； (2)求f (x )的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求f (x )的最小值及取得最小值时的x 的取值集合．[解析] (1)f (x )＝34sin2x ＋cos2x ＋14＋1＝34sin2x ＋14cos2x ＋54＝12⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x ＋54＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54. 所以函数f (x )的振幅为12，最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． (2)令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．令2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π12(k ∈Z)，所以对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，54(k ∈Z)． (3)当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－1，即2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，所以x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，f (x )的最小值为34，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－π3＋k π，k ∈Z .14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． [解析]由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称， ∴f (x )在x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，即3π4ω＋π2＝k π，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z. 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π.∴ω≤2，又ω＞0， ∴k ＝1时，ω＝23；k ＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.15．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，3π]时，方程f (x )＝m 有唯一实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象． (2)因为x ∈[0，3π]，所以12x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π3， sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6∈[－1，1]，因为当x ∈[0，3π]时，方程f (x )＝m 有唯一实数根，所以函数f (x )的图象和直线y ＝m 只有一个交点，如图所示：故方程f (x )＝m 有唯一实数根m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，12∪{1，－1}．16．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝712π时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 有两个零点，求实数m 的取值范围． [解析] (1)由题意，易知A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎫712π－π12＝π，∴ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z.又∵－π<φ<π，∴φ＝π3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z. (3)由题意知，方程sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝m －16在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π6上有两个实根． ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎭⎫32，1，∴m －16∈⎣⎡⎭⎫32，1，∴m ∈[1＋33，7)． 17．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23sin ωx cos ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值． [解析] (1)f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为[2k π－2π3，2k π＋π3](k ∈Z)．(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos x2，由g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65，得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故π6＜α＋π6＜2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 18．设m 为实常数，已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.(1)求m 的取值范围；(2)求α＋β的值．[解析]作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在区间(0,2π)上的图象如图所示．(1)若方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象与y ＝m 有两个相异的交点．观察图象知，当－2＜m ＜2且m ≠1时有两个相异的交点，即方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m 的取值范围为(－2，1)∪(1，2)．(2)当m ∈(－2，1)时，由图象易知两交点关于直线x ＝5π4对称，∴α＋β2＝5π4，α＋β＝5π2.当m ∈(1，2)时，由图象易知两交点关于直线x ＝π4对称，∴α＋β2＝π4，α＋β＝π2，故α＋β的值为5π2或π2.。

1.6函数y=Asin(wx+φ)的性质与图象

教师辅导讲义()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期.4、⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得ωϕππ-+=2k x对称中心：πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ，))(0,(Z k k ∈-ωϕπ； ⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ；对称中心：2ππϕω+=+k x ，得ωϕππ-+=2k x ，))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0). 6. 五点法作的简图，设，取0、、、、来求相应的值以及对应的y 值再描点作图。

7. )sin(ϕ+ω=x A y 的的图像8. 函数的变换：（1）函数的平移变换)sin(ϕω+=x A y ϕω+=x t 2ππ23ππ2xA ．B ．C ．D ．3．（多选）已知a 是实数，则函数f (x )=1+sin ax 的值可能是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，则ω的值为_______.【本知识点小结1】【例题解析2】探究φ对y=sin(x +φ)的图象的影响1．将函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移4π个单位长度后，所得图像对应的函数解析式可以是（）A ．3sin 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．23sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．53sin 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．3sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2．函数()2sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象如图所示，现将()y f x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（）A ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．2cos2y x = D ．2sin 2y x =3．（多选）要得到函数sin y x =的图象，只需将sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．先将图像向右平移8π，再将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍B ．先将图像向右平移2π，再将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍 C ．先将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图像向右平移4πD ．先将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图像向右平移8π4．在平面直角坐标系中，将曲线:sin 2C y x =上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得新的曲线的方程为______________________________．【巩固练习2】1．将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是（）A ．πsin 24y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．πsin 24y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭C ．πsin 24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．πsin 24y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2．函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的振幅、频率和初相分别为（）A ．2，1π，4πB ．2，12π，4π C ．2，1π，8π D ．2，12π，8π-3．（多选）已知函数()3sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线4x π=-对称B ．()f x 的图象的对称中心是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到3sin3y x =的图象 D ．将()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到3sin3y x =的图象 4．将函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像分别向左､向右各平移6π个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则ω的最小值为___________.C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数4．函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 解析式为__________．【本知识点小结4】四、当堂检测限时（分钟）用时（分钟）难度分值得分得分率一、单选题1．()cos y x ωϕ=+的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（）A ．172,2,Z 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B ．17,,Z 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．172π,2π,Z 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭D ．17π,π,Z 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭2．已知曲线12π:sin 3C y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为π，2:sin C y x =，则下面结论正确的是（） A ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线1CB ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线1CC ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线1CD ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线1C3．已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，给出以下四个论断（）A ．()f x 的图象关于直线5π8x =-对称B ．()f x 的图象的一个对称中心为7π,08⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 在区间π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．()f x 可由3sin 2y x =-向左平移π8个单位4．如图是函数π()3sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则,ωϕ的值是（）A ．2,3ωϕ==πB ．π2,6ωϕ== C ．1π,23ωϕ== D ．1π,26ωϕ==5．（2021秋•渝水区校级月考）若将函数y ＝sin （3x +φ）的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点（π3，0）对称，则|φ|的最小值是（） A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π46．（2021秋•谯城区校级月考）已知函数f(x)=Ksin(ωx +φ)(K ＞0，0＜ω＜10，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A(0，√32)，B(7π24，−1)，则将函数f （x ）图象向左平移π12个单位长度，然后横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式是（）A ．y =sin(2x +5π12) B ．y =sin(8x +5π12)C ．y =sin(2x +2π3)D ．y =sin(8x +2π3)C ．0x ∃∈R 且00x ≠，使得()()00f x f x =-D ．x ∀∈R ，都有()56f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11．（2021秋•湛江月考）函数f （x ）＝3cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为4π，将f （x ）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g （x ）的图象，且g （x ）是奇函数，则（） A ．φ=π3B ．g （x ）在区间[π3，3π2]上的最大值为﹣3C ．φ=π6D ．g （x ）在区间[π3，3π2]的最大值为−3212．（2021秋•湖南月考）已知函数y ＝A sin （ωx +φ）（πA ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图，将该函数的图象向x 轴负方向平移π6个单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍（纵坐标不变），得到函数f （x ）的图象．下列结论正确的是（）A ．当−π5≤x ≤2π3时，f （x ）的取值范围是[﹣1，2] B ．f （−41π6）=√3C ．曲线y ＝f （x ）的对称轴是x ＝k π+π2（k ∈Z ）D ．若|x 1﹣x 2|＜π2，则|f （x 1）﹣f （x 2）|＜4三．填空题 13．已知函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+>≤≤是奇函数，且在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是严格减函数，则ω的最大值为_______________．14．已知函数()y f x =的表达式()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭，()y f x =的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()23m m f x -≥成立，则实数m 的取值范围为______．。

中职函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质

)
sin(x
)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
小结
巩固练习
y sin x y sin x
图像向右平移
个单位
4
y sin(x )
4
纵坐标伸长为原来的3倍
横坐标不变
y 3sin(x )
4
图像向右平移
2 个单位
3
y sin(x 2 )
4
o
23
4
-1
y
sin(x
3
)
的图象可由y=sinx的图象向左平移
3
个单位
y ysi=n(sxin4x)的图象向平可左移由|>y0=|s(个in向x单右的位图<0象) 向右y=平s移in(x4 +个单) 位
2 9 x
4
返回
巩固练习
周期
双基讲解
（2） ω的作用：研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系
例2 画出下列函数的简图：
(1) y sin 2x, x R;
(2) y sin 1 x, x R; 2
y sin 2x
y
●
●
横坐标缩短
1 2
倍
●●
0
●
●
●
2
1
2●
122xx
0
2
3
2
2
x
0
4
22
3
34
4
ssiinn 21 x
2
0
1
0
1 0
横坐标伸长到原来的 2 倍
●
4
x

函数y=Asin(ωx+φ )的图象与性质课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册

)、
4
内的图象，分析它们之间的变化关系。
= sin( −

)在一个周期
4
新知探究|一、函数=sin(+)的图象与性质
可以看出:

4
● = sin( + )的图象可以由 = sin 的图像上每一点的纵坐标不变、横坐

标减去
4
得到。即将 =

sin 的图象向左平移
4
个单位长度得到。
分析周期性、最值与值域之间的关系。
1
sin 在[−2, 2]上的图象，
2
新知探究|一、函数=sin(+)的图象与性质
可以看出:
● = sin 2的图象可以由 = sin 的图像上每一点的纵坐标不变、横坐标
1
2
除以2 ( 即到轴的距离缩短到原来的倍)得到。 = sin 2的值域、最大值和
湘教版高中必修第一册
正弦型函数的图象与性质
教学课件
湘教版高中必修第一册
目
01
新课导入
02
新知探究
03
典型例题
录
04
作业布置
1
新课导入
新课导入
在现实世界中，人们常常用形如 = sin( + ) (其中A、、φ是常数)的函数来
表示各种周期性现象。
简谐振动中，弹簧下悬挂着的小球在位置0处于平衡状态。将小球竖直向下拉到某个
sin 的图像向左( > 0 )或向右( < 0 )平移| | 个单位长度得到。
新知探究| 练一练
试说明 =
3
3sin 的图象是如何由
2
= sin 变化得到的？

函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质

函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径强化训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π33.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象是( )5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π36.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.考点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.12考点二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z)【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6 B.5π6 C.π12 D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用角度1 三角函数模型的应用【例3－1】如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R)，求：①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间； ③函数f (x )图象的对称轴和对称中心.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.【基础巩固题组】一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( )A.－3π4B.－π4C.π4D.5π43.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.64.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.8.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A.－2B.－1C.－ 2D.－ 312.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1100π C.1100D.44013.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________.14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.15.(多填题)已知函数f (x )＝23sinωx2cosωx2＋2cos2ωx2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________.答案 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos 2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.2. 【答案】 C【解析】由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3. 【答案】 y ＝6－cos π2x【解析】设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z)，可取φ＝－π2. 所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .4. 【答案】 A【解析】由y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2，故排除C. 5. 【答案】 D【解析】函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 6. 【答案】π2＋4【解析】相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.【例1】【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z).令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z). 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z)，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 【训练1】【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z，则ω＝6k ＋2，k ∈Z.∴2是ω的一个可能值.【例2】【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2，法一 T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z).又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ).由五点作图法知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2，2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z).∴f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z).【训练2】【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z)【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋2φ＝2.∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z)，则φ＝π12＋k π(k ∈Z).又0<φ<π2，所以φ＝π12.(2)由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6. 又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z). ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z). 【例3－1】【答案】 4【解析】以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，又周期T ＝12，所以θ＝π6t ，则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)，当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×40＝4. 【例3－2】【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z)，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12. 【训练3】【答案】 20.5【解析】因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5. 【答案】见解析【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z).由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z). 【例1】【答案】 B【解析】由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【例2】【答案】 D【解析】令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z)，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3. 又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0. 故32≤ω≤3. 【例3】【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z). 当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω，当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78. 综上，34≤ω≤78. (2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32. 【基础巩固题组】1. 【答案】 A【解析】由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 2. 【答案】 B【解析】将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4. 3. 【答案】 D【解析】由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形.由P (32，－332)，得|MN |＝2×3323×2＝6. ∴该函数的最小正周期T ＝6.4. 【答案】 A【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z.令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增. 5. 【答案】 B【解析】由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6，从而2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0，所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z)时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z)，实数t min ＝724π.6. 【答案】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.7. 【答案】 3【解析】由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.8. 【答案】 143【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z).∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z)，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 9. 【答案】见解析【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8 ＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.10. 【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). 11. 【答案】 B【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z). ∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1. 12. 【答案】 C【解析】 f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3 ＝220⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 100πx －⎝⎛⎭⎪⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －32cos 100πx ＝2203⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 100πx －12cos 100πx ＝2203×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx －π6，则由对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1100(T 为f (x )的最小正周期)，故选C. 13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z)， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.14. 【答案】见解析【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z)，则φ＝2k π－π3(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 15. 【答案】 π31 【解析】函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6. 由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。

函数y=Asin(ωx φ)的性质及应用

[解析]
T 2π 依题意知：A＝ 2 ，＝4，故T＝＝16，ω＝ 4 ω
π π ，∴y＝ 2sin( x＋φ) 8 8 π π π 又由函数最高点(2， 2)得sin( ×2＋φ)＝1，故＋φ＝＋ 8 4 2 2kπ，k∈Z， π ∴φ＝2kπ＋，k∈Z 4 π π 又由|φ|< 得φ＝， 2 4
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
R (1)定义域：____.
－A，A] ． (2)值域：[ _________ π 2kπ＋2－φ 当π x＝___________(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝ ω 2kπ－2－φ __________( k∈Z)时，y取最小值－A. ω
2π (3)周期性：周期函数，周期为 ω .
(4)奇偶性：当且仅当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) π 是奇函数；当且仅当φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) 是偶函数． (5)单调性：单调递增区间是 π π 2kπ－2－φ 2kπ＋2－φ (k∈Z)；， ω ω π 3π 2kπ＋2－φ 2kπ＋ 2 －φ 单调递减区间是 (k∈Z)．， ω ω
3π π 5π 当2xຫໍສະໝຸດ ＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)时函数有最 4 2 8 大值1； 3π π π 当2x－ 4 ＝2kπ－ 2 (k∈Z)，即x＝kπ＋ 8 (k∈Z)时函数有最小值－1.
(2011～2012· 郑州高一检测)已知曲线y＝Asin(ωx＋ π φ)(A>0，ω>0，|φ|<2)上最高点为(2， 2)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在x∈[－6,0]上的值域．

第五节函数y=Asin(ωx+φ )的图象与性质(二)(知识梳理)

第五节函数y=Asin(ωx+φϕ)的图象与性质(二)复习目标学法指导1.会求形如y=Asin(ωx+ϕ)的函数的单调区间、最值、周期.2.能运用三角函数知识分析和处理实际问题. 1.能以复合函数的观点分析与解决函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象与性质问题.2.能用换元法、整体思想将复合函数问题转换为正、余弦函数的图象与性质解决.3.能用建模思想处理与三角函数有关的实际问题.函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的性质1.奇偶性:ϕ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+ϕ)为奇函数; ϕ=kπ+π2 (k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+ϕ)为偶函数.2.周期性:y=Asin(ωx+ϕ)存在周期性,其最小正周期为T=2πω.3.单调性:根据y=sin t和t=ωx+ϕ的单调性来研究,由-π2+2kπ≤ωx+ϕ≤π2+2kπ,k∈Z得单调递增区间;由π2+2kπ≤ωx+ϕ≤3π2+2kπ,k∈Z得单调递减区间.4.对称性:利用y=sin x图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令ωx+ϕ=kπ(k∈Z),求得x.利用y=sin x图象的对称轴为x=kπ+π2(k∈Z)求解,令ωx+ϕ=kπ+π2(k∈Z)得其对称轴.1.性质理解(1)奇偶性:对函数y=Acos(ωx+ϕ),当ϕ=kπ(k∈Z)时,函数为偶函数;当ϕ=kπ+π2(k∈Z)时,函数为奇函数.(2)单调性:对于函数y=Asin(ωx+ϕ),当A<0或ω<0时,欲求函数的增区间,需将ωx+ϕ代入函数y=sin x的减区间,因为函数y=Asin(ωx+ϕ),y=Acos(ωx+ϕ),y=Atan(ωx+ϕ)的单调性的实质是复合函数的单调性.2.与奇偶性、对称性相关的结论(1)若f(x)=Asin(ωx+ϕ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+ϕ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.(2)对于函数y=Asin(ωx+ϕ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(3)三角函数的对称性、奇偶性与周期性一般可以“知二求一”,具体规律结合其图象可以直观的理解,而且注意这些性质的迁移应用.1.将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数解析式为( D )(A)y=2sin(2x+π4)(B)y=2sin(2x+π3)(C)y=2sin(2x-π4)(D)y=2sin(2x-π3)解析:函数y=2sin(2x+π6)的周期为π,将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=2sin[2(x-π4)+π6]=2sin(2x-π3),故选D.2.已知函数f(x)=Acos(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,ϕ∈R),则“f(x)是奇函数”是“ϕ=π2”的( B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若f(x)是奇函数,则f(0)=0,所以cos ϕ=0,所以ϕ=π2+kπ(k∈Z);若ϕ=π2,则f(x)=Acos(ωx+π2)=-Asin ωx,f(x)是奇函数.所以f(x)是奇函数是ϕ=π2的必要不充分条件.故选B.3.设ω>0,函数y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( C )(A)23(B)43(C)32(D)3解析:由题意得2πω·k=4π3(k∈N*),所以ω=32k(k∈N*),所以ωmin=32.4.函数y=-|sin(x+π4)|的单调递减区间是.解析:作出函数y=-|sin(x+π4)|的简图(如图),由图象得函数的单调递减区间为[kπ-π4,kπ+π4](k∈Z).答案:[kπ-π4,kπ+π4](k∈Z)5.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示,则y=f(x+π6)取得最小值时x的取值集合为.解析:根据所给图象,周期T=4×(7π12-π3)=π,故π=2πω,所以ω=2,因此f(x)=sin(2x+ϕ).图象经过点(7π12,0),代入得2×7π12+ϕ=π+2kπ(k∈Z),再由|ϕ|<π2,得ϕ=-π6,所以f(x)=sin(2x-π6),所以f(x+π6)=sin(2x+π6),当2x+π6=-π2+2kπ(k∈Z),即x=-π3+kπ(k∈Z)时,y=f(x+π6)取得最小值.答案:{x|x=k π-π3,k ∈Z}考点一函数y=Asin(ωx+ϕ)的奇偶性、周期性与对称性 [例1] 已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)+1(ω>0,A>0,0<ϕ<π2)的周期为π,f(π4)=3+1,且f(x)的最大值为3,则函数f(x)的对称中心为 ,对称轴方程为 . 解析:因为T=π,所以ω=2, 因为最大值为3,所以A=2. 所以f(x)=2sin(2x+ϕ)+1, 因为f(π4)=3+1,所以2sin(π2+ϕ)+1=3+1,所以cos ϕ=3.因为0<ϕ<π2,所以ϕ=π6. 所以f(x)=2sin(2x+π6)+1. 令2x+π6=k π,k ∈Z, 得x=π2k -π12(k ∈Z),所以对称中心为(π2k -π12,1)(k ∈Z). 由2x+π6=k π+π2,k ∈Z, 得x=π2k +π6(k ∈Z), 所以对称轴方程为x=π2k +π6(k ∈Z). 答案:(π2k -π12,1)(k ∈Z) x=π2k +π6(k ∈Z) (1)求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义;②利用公式:y=Asin(ωx+ϕ)和y=Acos(ωx+ϕ)的最小正周期为2πω,y=tan(ωx+ϕ)的最小正周期为πω;③利用图象:对含绝对值的三角函数的周期问题,通常要画出图象,结合图象进行判断.(2)三角函数的对称性、奇偶性①正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形,正切函数图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心;②若f(x)=Asin(ωx+ϕ)为偶函数,则ϕ=π2+kπ(k∈Z);若f(x)=Asin(ωx+ϕ)为奇函数,则ϕ=kπ(k∈Z);③若求f(x)=Asin(ωx+ϕ)的对称轴,只需令ωx+ϕ=π2+kπ(k∈Z),求x即可;若求f(x)=Asin(ωx+ϕ)的对称中心的横坐标,只需令ωx+ϕ=kπ(k∈Z),求x即可.1.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B )(A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3(B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4(C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3(D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为4解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-1cos22x-+2=32cos 2x+52,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.2.(2019·湖州高三检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)+B(A>0,ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象关于点(π3,3)对称,则m的值可能为( D )(A)π6 (B)π2 (C)7π6 (D)7π12解析:依题意得333A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得3,3A B ⎧⎪⎨⎪⎩ 2T=πω=2π3-π6=π2, 故ω=2,则3ϕ3又f(π63π3+ϕ333故π3+ϕ=π2+2k π(k ∈Z), 即ϕ=π6+2k π(k ∈Z). 因为|ϕ|<π2,故ϕ=π6, 所以3sin(2x+π63将函数f(x)的图象向左平移m 个单位长度后得到3sin(2x+π63的图象,又函数g(x)的图象关于点(π3,3)对称,即h(x)=3sin(2x+π6+2m)的图象关于点(π3,0)对称,故3sin(2π3+π6+2m)=0,即5π6+2m=k π(k ∈Z),故m=π2k -5π12(k ∈Z).令k=2,则m=7π12.故选D.考点二函数y=Asin(ωx+ϕ)的单调性[例2] 已知函数f(x)=-2sin(2x+ϕ)(|ϕ|<π),若(π5,5π8)是f(x)的一个单调递增区间,则ϕ的取值范围为( )(A)[-9π10,-3π10] (B)[4π10,9π10](C)[π10,π4] (D)(-π,π10]∪[π4,π) 解析:令2k π+π2≤2x+ϕ≤2k π+3π2,k ∈Z, 所以k π+π4-2ϕ≤x ≤k π+3π4-2ϕ,k ∈Z, 又因为(π5,5π8)是f(x)的一个单调递增区间,|ϕ|<π, 所以5π8≤k π+3π4-2ϕ,k ∈Z,解得ϕ≤π4, 同理由π5≥k π+π4-2ϕ,k ∈Z,可得ϕ≥π10, 所以π10≤ϕ≤π4.故选C. (1)已知三角函数解析式求单调区间:①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)(其中,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+ϕ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数,先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是 .解析:令π2+2k π≤ωx+π4≤3π2+2k π,k ∈Z,即π4ω+2πk ω≤x ≤5π4ω+2πk ω,k ∈Z, 则5π2ππ,4π2ππ,42k k ωωωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩得12+4k ≤ω≤54+2k,k ∈Z, 因为k>0时上式无解,所以k ≤0, 又因为ω>0,所以k=0,所以12≤ω≤54. 答案:[12,54] 考点三由函数y=Asin(ωx+ϕ)的性质求解析式[例3] 已知函数f(x)=(a+2cos 2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f(π4)=0,其中a ∈R,θ∈(0,π). (1)求a,θ的值;(2)若f(4α)=-25,α∈(π2,π),求sin(α+π3)的值. 解:(1)因为f(x)=(a+2cos 2x)cos(2x+θ)是奇函数, 而y 1=a+2cos 2x 为偶函数, 所以y 2=cos(2x+θ)为奇函数, 又θ∈(0,π),得θ=π2,所以f(x)=-sin 2x ·(a+2cos 2x), 由f(π4)=0得-(a+1)=0,解得a=-1.解:(2)由(1)得f(x)=-12sin 4x,因为f(4α)=-12sin α=-25, 即sin α=45,又α∈(π2,π),从而cos α=-35, 所以sin(α+π3)=sin αcos π3+cos αsin π3=433-. 依据三角函数性质求y=Asin(ωx+ϕ)+B,一是用性质求参数,二是以点的代入求参数,求解过程中注意参数的范围限制.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,-π2≤ϕ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2且过点(2,-12),求函数f(x)的解析式.解:据已知两个相邻的最高点和最低点的距离为222()(11)2T++2解得T=4,故ω=2πT =π2,即f(x)=sin(π2x+ϕ). 又函数图象过点(2,-12), 故f(2)=sin(π2×2+ϕ)=-sin ϕ=-12, 即sin ϕ=12. 又-π2≤ϕ≤π2,解得ϕ=π6,故f(x)=sin(π2x +π6).考点四易错辨析[例4] 设函数f(x)=sin(π4x -π6)-2cos 2π8x +1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x ∈[0,43]时y=g(x)的最大值.解:(1)f(x)=sin π4xcos π6-cos π4xsin π6-cos π4xsin π4x-32cos π4xπ4x-π3). 故f(x)的最小正周期为T=2ππ4=8.解:(2)法一在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于直线x=1的对称点为(2-x,g(x)).由题设条件,知点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上,从而π4(2-x)-π3]π2-π4x-π3]π4x+π3). 当0≤x ≤43时,π3≤π4x+π3≤2π3, 因此y=g(x)在区间[0,43]π3.法二因为区间[0,43]关于x=1的对称区间为[23,2],且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称,故y=g(x)在[0,43]上的最大值就是y=f(x)在[23,2]上的最大值, 由(1)知π4x-π3),当23≤x≤2时,-π6≤π4x-π3≤π6,因此y=g(x)在[0,43]上的最大值为3sin π6=3.易错分析解答该类问题的易错点(1)对三角公式不熟导致三角恒等变换错误.(2)不能正确将x的范围转化为ωx+ 的范围致误.已知函数f(x)=4tan xsin(π2-x)cos(x-π33(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间[-π4,π4]上的单调性.解:(1)f(x)的定义域为(x|x≠π2+kπ,k∈Z).f(x)=4tan xcos xcos(x-π33=4sin xcos(x-π33=4sin x(1233323333=2sin(2x-π3).所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.解:(2)令z=2x-π3,函数y=2sin z的单调递增区间是[-π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z,由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=[-π4,π4],B={x|-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z},易知A∩B=[-π12,π4].所以当x∈[-π4,π4]时,f(x)在区间[-π12,π4]上单调递增,在区间[-π4,-π12]上单调递减.三角函数图象与性质的综合问题[例题] 设3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(π6)的值.解3π-x)sin x-(sin x-cos x)232x-(1-2sin xcos x)333=2sin(2x-π33-1.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z)(或(kπ-π12,kπ+5π12)(k∈Z)).解:(2)由(1)知f(x)=2sin(2x-π33把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(x-π3)+3-1的图象,再把得到的图象向左平移π3个单位,得到y=2sin x+3-1的图象,即g(x)=2sin x+3-1,所以g(π6)=2sin π6+3-1=3.规范要求:(1)三角变换与性质问题的解决依据一般是针对y=Asin(ωx+ϕ)+b的形式,所以化简整理是关键的一步.(2)函数化为asin ωx+bcos ωx是求函数解析式的难点,可借助诱导公式辅助分析确定.(3)求三角函数y=Asin(ωx+ϕ)+b的性质一般利用y=sin x 的性质解决,此时应用复合函数的单调性方法处理.温馨提示:解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步:将f(x)化为asin x+bcos x的形式,构造22a b+ϕ)(其中ϕ为辅助角).第二步:利用22a b+ϕ)研究三角函数的性质.第三步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.[规范训练1] 已知点(5π12,0)是函数f(x)=(asin x+cos x)cos x-12图象的一个对称中心.(1)求实数a的值;(2)求f(x)在闭区间[-π6,π3]上的最大值和最小值及取到最值时对应的x 值.解:(1)由题意得f(x)=(asin x+cos x)cos x-12=2a sin 2x+12cos 2x.因为f(x)的图象关于点(5π12,0)中心对称, 所以f(5π12)=2a sin 5π6+12cos 5π6=0,解得.解:(2)由(1)得sin 2x+12cos 2x=sin(2x+π6), 设t=2x+π6,x ∈[-π6,π3], 则t ∈[-π6,5π6], 所以f(x)min =-12,此时x=-π6. f(x)max =1,此时x=π6. [规范训练2] 设函数f(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2),其中0<ω<3.已知f(π6)=0. (1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-π4,3π4]上的最小值. 解:(1)因为f(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2),所以ωx-12cos ωx-cos ωxsin ωx-32cos ω(12sin ωcos ωx)ωx-π3).由题设知f(π6)=0, 所以π6 -π3=k π,k ∈Z,故ω=6k+2,k ∈Z. 又0<ω<3,所以ω=2. 解:(2)由(1)得f(x)=3sin(2x-π3),所以g(x)=3sin(x+π4-π3)=3sin(x-π12). 因为x ∈[-π4,3π4],所以x-π12∈[-π3,2π3],当x-π12=-π3, 即x=-π4时,g(x)取得最小值-32.类型一函数y=Asin(ωx+ϕ)的奇偶性、周期性与对称性 1.已知曲线3关于点(x 0,0)成中心对称,若x 0∈[0,π2],则x 0等于( C ) (A)π12 (B)π6 (C)π3(D)5π12 解析:由题意可知f(x)=2sin(2x+π3), 其对称中心为(x 0,0), 故2x 0+π3=k π(k ∈Z), 所以x 0=-π6+π2k (k ∈Z), 又x 0∈[0,π2], 所以k=1,x 0=π3,故选C. 2.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=2tan 1tan x x+的最小正周期为( C ) (A)π4 (B)π2(C)π (D)2π解析:由已知得f(x)= 2tan 1tan x x +=2sin cos sin 1cos xx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=222sin cos cos sin cos x x xxα+=sin x ·cos x=12sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.故选C. 3.已知函数sin ωx+cos ωx(ω>0),x ∈R.在曲线 y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f(x)的最小正周期为 . 解析sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+π6)(ω>0).由2sin(ωx+π6)=1,得sin(ωx+π6)=12, 所以ωx+π6=2k π+π6或ωx+π6=2k π+5π6(k ∈Z). 令k=0,得ωx 1+π6=π6,ωx 2+π6=5π6, 所以x 1=0,x 2=2π3ω. 由|x 1-x 2|=π3,得2π3ω=π3, 所以ω=2.故f(x)的最小正周期T=2π2=π. 答案:π类型二函数y=Asin(ωx+ϕ)的单调性4.(2018·天津卷)将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( A ) (A)在区间[3π4,5π4]上单调递增 (B)在区间[3π4,π]上单调递减 (C)在区间[5π4,3π2]上单调递增 (D)在区间[3π2,2π]上单调递减解析:函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度后的图象对应的函数解析式为y=sin[2(x-π10)+π5]=sin 2x,则函数y=sin 2x 的一个单调增区间为[3π4,5π4],一个单调减区间为[5π4,7π4].由此可判断选项A正确.故选A.5.函数y=sin(ωx+ϕ)(ω>0且|ϕ|<π2)在区间[π6,2π3]上单调递减,且函数值从1减小到-1,那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( A ) (A)12(B)2(C)3(D)62+解析:函数y=sin(ωx+ϕ)的最大值为1,最小值为-1,由该函数在区间[π6,2π3]上单调递减,且函数值从1减小到-1,可知2π3-π6=π2=2T ,T=π,ω=2, 则y=sin(2x+ϕ).又由函数y=sin(ωx+ϕ)的图象过点(π6,1), 代入可得ϕ=π6(|ϕ|<π2), 因此函数解析式为y=sin(2x+π6), 令x=0,可得y=12.故选A. 类型三由函数性质求y=Asin(ωx+ϕ)的解析式6.函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示,已知图象经过点A(0,1),B(π3,-1),则 f(x)= .解析:由已知得2T =π3,所以T=2π3, 又T=π2ω,所以ω=3.因为f(0)=1,所以sin ϕ=12,又因为0<ϕ<π2,所以ϕ=π6,所以f(x)=2sin(3x+π6)(经检验满足题意).答案:2sin(3x+π6)7.若向量sin ωx,0),n=(cos ωx,-sin ωx)(ω>0),在函数f(x)=m ·(m+n)+t 的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为π4,且当x ∈[0,π3]时,f(x)的最大值为1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递增区间. 解:(1)由题意得f(x)=m ·(m+n)+t =m 2+m ·n+t =3sin 2ωsin ωx ·cos ωx+t=32-32cos 2ωsin 2ωx+tωx-π3)+32+t. 因为对称中心到对称轴的最小距离为π4, 所以f(x)的最小正周期为T=π,所以2π2ω=π,所以ω=1, 所以sin(2x-π3)+32+t. 当x ∈[0,π3]时,2x-π3∈[-π3,π3], 所以2x-π3=π3,即x=π3时,f(x)取得最大值3+t. 因为f(x)max =1,所以3+t=1, 所以t=-2,所以sin(2x-π3)-12.解:(2)令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+512π,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π12,kπ+512π](k∈Z).。

y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(解析版)

考点30 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质【命题解读】三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主【基础知识回顾】4、与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． (2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)． (3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )【答案】A【解析】：令x ＝0得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B ，D 项，由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C 项，故选A.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度【答案】B【解析】：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象．3、函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )第1题图A . －62B . －32C . －22 D . －1 【答案】D【解析】由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1.故选D .4、(2018苏北四市期末）若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．【答案】、. 4【解析】、由题意得函数f(x)的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.5、(2018镇江期末）函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象两相邻对称轴的距离为________．【答案】、 π2【解析】、由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图象两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2. 6、（2020江苏镇江期中考试）设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______．【答案】3π【解析】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω=，2ω∴=，又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈，23k πϕπ∴=+，k Z ∈，又0ϕπ<<，3πϕ∴=，本题正确结果：3π． 7、已知函数()sin(2)6f x x π=-的图象C 1向左平移π4个单位得到图象C 2，则C 2在[0，π]上的单调减区间是________．【答案】：[π12，712π] 【解析】、：由题设可知C 2的曲线方程sin(2)3y x π=+，令222232k x k ππ3ππ+≤+<π+，得1212k x k π7ππ+≤<π+．令k ＝0得C 2在[0，π]上的单减区间为[π12，712π]．考向一函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及其变换设函数()sin (0)f x x x ωωω=>的周期为π． (1) 求它的振幅、初相；(2) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3) 说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【解析】：(1) ()sin f x x x ωω=12(sin )2x x ωω=+2sin()3x ωπ=+,∵ T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2．∴()2sin()3f x x ωπ=+．∴ 函数(x)sin f x x ωω=的振幅为2，初相为3π．(2) 令X ＝2x ＋π3，则2sin(2)2sin 3y x x π=+=．列表，并描点画出图象：(3) (解法1)把sin y x =的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到sin()3y x π=+的图象；再把sin()3y x π=+的图象上的点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到sin(2)3y x π=+的图象；最后把sin(2)3y x π=+上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到2sin(2)3y x π=+的图象． (解法2)将sin y x =的图象上每一点的横坐标x 变为原来的12，纵坐标不变，得到sin 2y x =的图象；再将sin 2y x =的图象向左平移π6个单位，得到sin 2()sin(2)63y x x ππ=+=+的图象；再将sin(2)3y x π=+的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到2sin(2)3y x π=+的图象．变式1、已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【解析】 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X.(3)(方法1)把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；最后把y＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．(方法2)将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．变式2、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象．于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+，所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ．变式3、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．-1C D ．【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-，sin 42sin 2cos2()cos2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D.变式4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则a 的值可以为（）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π24【答案】C 【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+，其图象向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++，而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+ 5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.方法总结：1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．2．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．考向二求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式例2、下图为函数sin()y A x ωϕ=+的一段图象． (1) 请写出这个函数的一个解析式；(2) 求与(1)中函数图象关于直线2x =π对称的函数图象的解析式．【解析】：(1) 13214,,332T T ωπππ=-=π==又A ＝3，由13sin()2y x ϕ=+的图象过(,0)3π，∴103sin()23ϕπ=⨯+，6ϕπ=- (φ为其中一个值)． ∴13sin()26y x π=-为所求．(2) 设(,)x y 为所求函数图象上任意一点，该点关于直线2x =π的对称点为(4,)x y π-，则点(4,)x y π-必在函数13sin()26y x π=-的图象上． ∴ 13sin[(4)]3sin(2)2626x y x ππππ=--=--，即13sin()26y x π=-+，∴与13sin()26y x π=-的图象关于直线2x =π对称的函数图象的解析式是13sin()26y x π=-+．变式1、(2019苏北四市期末）函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB ＝5，则ω的值为________．【答案】、 π3 【解析】、如图，过点A 作垂直于x 轴的直线AM ，过点B 作垂直于y 轴的直线BM ，直线AM 和直线BM 相交于点M ，在Rt △AMB 中，AM ＝4，BM ＝12·2πω＝πω，AB ＝5，由勾股定理得AM 2＋BM 2＝AB 2，所以16＋⎝⎛⎭⎫πω2＝25，πω＝3，ω＝π3.变式2、(1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋3π4D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4(2)(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________________.【答案】、 (1)B (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6【解析】、(1)由题图可知A ＝2，T ＝2×⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝4π，故2πω＝4π，解得ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.把点⎝⎛⎭⎫－π2，2代入可得2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝1，所以φ－π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋3π4(k ∈Z )．又0<φ<π，所以φ＝3π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4.(2)依题意得22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6.方法总结：确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口考向三三角函数图象与性质的综合问题例3、（多选题）（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图象关于直线1712x π=对称【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移6π得到，故B 错误； ()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点 D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 【答案】D 【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈，因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确；故选：D.变式2、（多选题）（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为【答案】ACD 【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈，所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[24444x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈，所以选项D 正确. 故选：ACD变式3、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（）A ．13B ．16C ．43D ．56【答案】A 【解析】2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1cos 26f x x πω⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，又因为2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于4x π=对称，所以2()46k k Z ππωπ⨯-=∈，即12()3k k Z ω=+∈，因为0>ω，所以ω的最小值为13.故选：A.方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用．函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x 轴(或y ＝a )的交点，即数形之间的转化问题．1、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B．CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin ,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =，∴2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C.2、【2018年高考天津理数】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减C ．在区间53[,]42ππ上单调递增D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.3、【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点【答案】CD【解析】∵函数f （x ）＝sinx ﹣cosx =（x 4π-）∴g （x ）＝f '（x ）＝cosx +sinx =（x 4π+），故函数函数f （x ）的值域与g （x ）的值域相同，且把函数f （x ）的图象向左平移2π个单位，就可以得到函数g （x ）的图象，存在x 0=+,4k k Z ππ-∈，使得函数f （x ）在x 0处取得极值且0x 是函数()g x 的零点，函数f （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，g （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上也为增函数，∴单调性一致，故选：CD ．5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD 【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确.由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.6、【2020江苏南京上学期开学考试】函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3．【解析】由图象知：()max 2f x =，2A ∴=，又()22628T πω==⨯-=，4πω∴=，()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2k ϕπ∴=，k Z ∈，()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，当()f x =时，1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈，181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈；当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈，282x k ∴=+，若n m -最小，则12k k =，()min 3n m ∴-=，本题正确结果：3．7、【2017年高考山东卷理数】设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中.已知π()06f =.（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数的图象，求在π3π[,]44-上的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为.【解析】（1）因为ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，所以03ω<<ω()y f x =()y g x =()g x 2ω=32-1()cos cos 2f x x x x ωωω=--π)3xω=-.由题设知π()06f=，所以πππ63k-=ω，k∈Z.故，k∈Z，又，所以.（2）由（1）得()23f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.所以()4312g x x xπππ⎛⎫⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为π3π[,]44x∈-，所以2,1233xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当123xππ-=-，即4xπ=-时，取得最小值.3cos2x xωω=-1sin cos)22x xωω=-62kω=+03ω<<2ω=()g x32-。

函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用

探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答随堂演练
变式训练 1 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则 f
7π 12
=
.
解析:函数的周期为 T=2
间的距离为π3,
3
5π 4
−
π 4
=23π,则图中相邻两个零点之
又π
4
+
π 3
=
71π2,所以
f
7π 12
=0.
答案:0
探究一
探究二
探究三
所以 φ=π,故选 C.
(3)依题意有2��π�� =4π,
所以 ω=12,即 y=13sin
1 2
��
+
π 6
,
而当 x=-43π时,函数取得最小值-13,故 x=-43π是其图象的一条对称
轴.选 A.
答案:(1)D (2)C (3)A
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答随堂演练
三角函数图象变换的应用
(3)因为1π2≤x≤π2,所以π3≤2x+π6 ≤ 76π,
即-1≤2sin
2��
+
π 6
≤2,
因此-1≤y≤2,故函数 f(x)的值域为[-1,2].
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答随堂演练
例且函数
f5(x已)的知图函象数的f(两x)相=2邻sin对��称��轴+间��的- π6距+离1(0为<π2φ.<π,ω>0)为偶函数,
因为|φ|<π2,所以 φ=π3,故 y=3sin

函数y=Asin(ωx φ)的性质及应用课件

115
90
115
解析:描点、连线并左右扩展得到函数的简图如图所示. (4)此人的收缩压为 115+25=140(mmHg),舒张压为 115-25=90(mmHg).与标
准值 120/80 mmHg 相比较,此人血压偏高.
题型四
易错辨析
易错点求 y=Asin(ωx+φ)的解析式时错求 φ的值
【例 4】函数 y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中|φ|< ,则( ). 2
函数 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用
题型一
图象对称问题
【例 1】
已知函数
f(x)=sin
ωx
3
(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图象
( ).
A.关于点
3
,
0
对称
B.关于直线 x= 对称 4
C.关于点
4
,
0
对称
D.关于直线 x= 对称 3
解析:由 T= 2 =π,解得 ω=2,
正解:由图可得 T=π,
∴ω=2.∴y=sin(2x+φ).
又由图可知 y=sin 2x
∴φ = .∴φ= .故选 A.
2 12 6
y=sin(2x+φ)=sin
2
x
φ 2
,
ω
则
f(x)=sin
2x
3
,
故该函数图象关于点
3
,
0
对称.
答案:A
反思:对于函数 f(x)=Asin(ωx+φ),若 f(m)=0,则(m,0)是 f(x)的对称中心;若 f(m)=A
或 f(m)=-A,则直线 x=m 是 f(x)的对称轴.