2018年东北三省三校【高三二模】理科数学试卷+答案
黑龙江省哈尔滨2018届高考数学二模试卷(理科)Word版含解析
黑龙江省哈尔滨2018届高考二模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．4﹣iD ．4+i2．设a=（sin17°+cos17°），b=2cos 213°﹣1，c=．则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a3．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞x 2；q ：“ab＞1“是“a＞1，b ＞1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．￢p ∧qC ．p ∧￢qD ．￢p ∧￢q4．设变量x ，y 满足约束条件：，则z=|x ﹣2y+1|的取值范围为（ ）A ．[0，4]B ．[0，3]C ．[3，4]D ．[1，3]5．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+1）=f （﹣x ），当x ∈（0，]时，f （x ）=（1﹣x ），则f （x ）在区间（1，）内是（ ）A ．减函数且f （x ）＞0B ．减函数且f （x ）＜0C ．增函数且f （x ）＞0D ．增函数且f （x ）＜06．执行右面的程序框图，如果输出的a 值大于2017，那么判断框内的条件为（ ）A ．k ＜9？B ．k ≥9？C ．k ＜10？D ．k ≥11？7．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2011=﹣2011，a 1012=3，则S 2017等于（ ） A ．1009B ．﹣2017C ．2017D ．﹣10098．现有语文书第一二三册，数学书第一二三册共六本书排在书架上，语文第一册不排在两端，数学书恰有两本相邻的排列方案种数（ ） A ．144 B ．288 C ．216 D ．3609．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．210．已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且的最大值是（）A．B．C．D．11．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（）A．B．C．D．12．已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0二、填空题（本大题共4小题，每题5分.）13．已知f（x）=3cosx﹣4sinx，x∈[0，π]，则f（x）的值域为．14．在二项式（x2+）5的展开式中，含x项的系数是a，则x﹣1dx= ．15．如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，若A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD面积是．16．已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是（写出所以正确命题的编号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n }满足，（n ∈N +）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n }的前n 项和S n ，求证：．18．（12分）哈六中在2017年3月中旬举办了一次知识竞赛，经过层层筛选，最后五名同学进入了总决赛．在进行笔答题知识竞赛中，最后一个大题是选做题，要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答，假设这5位选手选做每一题的可能性均为． （Ⅰ）求其中甲乙2位选手选做同一道题的概率．（Ⅱ）设这5位选手中选做第1题的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，∠A BC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20．（12分）己知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5的两个交点之间的距离为4．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C2交于C，D两点，当k∈[0，1]时，求|AB|•|CD|的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f （1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意x∈（，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=，Tn=1+2[g（）+g（）+g（）+…+g（）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有+++…+＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆ρ=4cosθ与圆ρ=2sinθ交于O，A两点．（Ⅰ）求直线OA的斜率；（Ⅱ）过O点作OA的垂线分别交两圆于点B，C，求|BC|．23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2，；（Ⅱ）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（a）．黑龙江省哈尔滨2018届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】A8：复数求模．【分析】化简复数z，写出z的共轭复数即可．【解答】解：复数=|i+1|+i2016•i=+i=2+i，∴复数z的共轭复数为=2﹣i．故选：A．【点评】本题考查了复数的化简与共轭复数的应用问题，是基础题．2．设a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°﹣1，c=．则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GT：二倍角的余弦．【分析】利用条件以及两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式，化简a、b、c，再利用正弦函数的单调性判断a，b，c的大小关系．【解答】解：∵a=（sin17°+cos17°）=sin17°cos45°+cos17°sin45°=sin62°，b=2cos213°﹣1=cos26°=sin64°，c=sin60°=，再根据函数y=sinx在（0°，90°）上单调递增，∴b＞a＞c，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角的余弦公式，诱导公式，正弦函数的单调性，属于基础题．3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；q：“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】命题p：是假命题，例如取x=2时，2x与x2相等．q：由“a＞1，b＞1”⇒：“ab＞1”；反之不成立，例如取a=10，b=．进而判断出结论．【解答】解：命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；是假命题，例如取x=2时，2x与x2相等．q：由“a＞1，b＞1”⇒：“ab＞1”；反之不成立，例如取a=10，b=．∴“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的必要不充分条件，是假命题．∴下列命题为真命题的是￢p∧（￢q），故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．设变量x，y满足约束条件：，则z=|x﹣2y+1|的取值范围为（）A．[0，4] B．[0，3] C．[3，4] D．[1，3]【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，在平面直角坐标系中画出直线x﹣2y+1=0，由图可知，当x ﹣2y+1≥0时，当直线平移至B函数t=x﹣2y+1有最小值﹣4；当x﹣2y+1＜0时，当直线平移至A函数t=x﹣2y+1有最大值3，取绝对值后再取并集得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），联立，解得B（﹣1，2），作出直线x﹣2y+1=0如图，由图可知，当x﹣2y+1≥0时，当直线平移至B函数t=x﹣2y+1有最小值﹣4；当x﹣2y+1＜0时，当直线平移至A函数t=x﹣2y+1有最大值3．∴z=|x﹣2y+1|的取值范围为[0，4]．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），则f（x）在区间（1，）内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解；因为定义在R上的奇函数满足f（x+1）=f（﹣x），所以f（x+1）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以函数的周期是2，则f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，设x∈（﹣1，﹣），则x+1∈（0，），又当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），所以f（x+1）=（﹣x），由f（x+1）=f（﹣x）得，f（﹣x）=（﹣x），所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x），由x∈（﹣1，﹣）得，f（x）=﹣（﹣x）在（﹣1，﹣）上是减函数，且f（x）＜f （﹣1）=0，所以则f（x）在区间（1，）内是减函数且f（x）＜0，故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．6．执行右面的程序框图，如果输出的a值大于2017，那么判断框内的条件为（）A．k＜9？B．k≥9？C．k＜10？D．k≥11？【考点】EF：程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出判断框内的条件．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；k=1，a=1，满足条件，执行循环体，a=6，k=3 满足条件，执行循环体，a=33，k=5 满足条件，执行循环体，a=170，k=7 满足条件，执行循环体，a=857，k=9 满足条件，执行循环体，a=4294，k=10由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出a 的值为4294． 可得判断框内的条件为：k ＜10？ 故选：C ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．7．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2011=﹣2011，a 1012=3，则S 2017等于（ ） A ．1009B ．﹣2017C ．2017D ．﹣1009【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列{a n }，S 2011=﹣2011，可得S 2011=﹣2011==2011a 1006，再利用求和公式与性质即可得出．【解答】解：由等差数列{a n }，S 2011=﹣2011，∴S 2011=﹣2011==2011a 1006，∴a 1006=﹣1，a 1012=3，则S 2017===2017．故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．现有语文书第一二三册，数学书第一二三册共六本书排在书架上，语文第一册不排在两端，数学书恰有两本相邻的排列方案种数（ ） A ．144 B ．288 C ．216 D ．360【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：1、若语文第一册排在3本数学书之间，分3步进行分析：①、将三本数学书分为1﹣2的两组，将两组全排列，②、将语文第一册安排在数学书的两组之间，③、将3本数学书和语文第一册看成一个整体，与语文第二、三册全排列，2、若语文第一册不排在三本数学书之间，也需要分3步进行分析：①、安排语文第二、三册，将其全排列即可，②、安排3本数学书，先将将三本数学书分为1﹣2的两组，再在语文书的3个空位中，任选2个，安排2组数学书，③、安排语文第一册，分别求出每一步的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：1、若语文第一册排在3本数学书之间，分3步进行分析：1=3种分组方法，考虑2本一组的顺序，有2种情况，①、将三本数学书分为1﹣2的两组，有C32=2种顺序，将两组全排列，有A2②、将语文第一册安排在数学书的两组之间，有1种情况，3=6种情况，③、将3本数学书和语文第一册看成一个整体，与语文第二、三册全排列，有A3此时不同的排法有3×2×2×6=72种排法；2、若语文第一册不排在三本数学书之间，分3步进行分析：2=2种顺序，排好后有3个空位可用，①、将语文第二、三册全排列，有A21=3种分组方法，②、将三本数学书分为1﹣2的两组，有C3考虑2本一组的顺序，有2种情况，2=6种情况，在3个空位中，任选2个，安排2组数学书，有A3则数学书的安排有3×2×6=36种情况，③、数学书和2本语文书排好后，除去2端，有3个空位可选，1=3种情况，在3个空位中，任选1个，安排语文第一册，有C3此时不同的排列方法有2×36×3=216种；综合可得：不同的排列方法有72+216=288种；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，关键是分析题意，确定分步分析的步骤．9．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．2【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为=2，高为，即可求出它的体积．【解答】解：根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为=2，高为；•h=×2=．所以，该棱锥的体积为V=S底面积故选：B．【点评】本题考查了利用三视图求体积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．10．已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且的最大值是（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设P的坐标为（cosθ，sinθ），求出点B的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到x+y=sin（θ+φ）+，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案【解答】解：以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则△ABC外接圆的方程为x2+y2=2.52，设P的坐标为（cosθ，sinθ），过点B作BD垂直x轴，∵sinA=，AB=3∴BD=ABsinA=，AD=AB•cosA=×3=，∴OD=AO﹣AD=2.5﹣=，∴B（﹣，），∵A（﹣，0），C（，0）∴=（，），=（5，0），=（cosθ+，sinθ）∵=x+y∴（cosθ+，sinθ）=x（，）+y（5，0）=（x+5y， x）∴cosθ+=x+5y，sinθ=x，∴y=cosθ﹣sinθ+，x=sinθ，∴x+y=cosθ+sinθ+=sin（θ+φ）+，其中sinφ=，cosφ=，当sin（θ+φ）=1时，x+y有最大值，最大值为+=，故选：B【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．11．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意画出图形，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，可得四棱锥的体积，再利用比例关系结合等积法求出多面体ABCDEF的体积，作出得到四棱锥P﹣DCFE的体积，由测度比为体积比得答案．【解答】解：如图，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，∴．∵PE=2EA，PF=2FB，∴EF∥AB，则EF∥平面ABCD，且F到平面ABCD的距离为，∴，， =．则多面体ABCDEF的体积为．∴．∴M在平面EFCD上方的概率是．故选：B．【点评】本题考查几何概型，考查多面体体积的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．12．已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0【考点】2H：全称命题．【分析】先利用导数求出函数f（x）的最小值，再转化为函数f（x）≥0恒成立，构造函数设g（a）=e2a﹣1+a，再利用导数求出a的值，问题的得以解决【解答】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0，∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x=，函数有最小值，最小值为f（）=e2a﹣1+a∴f（x）≥f（）=e2a﹣1+a，若f（x）≥0恒成立，只要e2a﹣1+a≥0，设g（a）=e2a﹣1+a，∴g′（a）=1﹣e2a﹣1，令g′（a）=0，解得a=当a∈（，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，当x∈（0，）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增∴g（a）＜g（）=0，∴e2a﹣1+a≤0，当且仅当a=时取等号，存在唯一的实数a=，使得对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正确，当a≠时，f（x）＜0，故C错误故选：C【点评】本题考查了利用导数函数恒成立的问题，关键构造函数g（a），属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每题5分.）13．已知f（x）=3cosx﹣4sinx，x∈[0，π]，则f（x）的值域为[﹣5，3] ．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据x∈[0，π]，结合三角函数的性质可得值域．【解答】解：f（x）=3cosx﹣4sinx=5sin（x+θ），其中sinθ=＞0，cosθ=＜0，∴，∵x∈[0，π]，∴x+θ∈（，2π）当x+θ=，则f（x）取得最小值为﹣5，当x=0，则f（x）取得最大值为3，答案为：[﹣5，3]．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．14．在二项式（x2+）5的展开式中，含x项的系数是a，则x﹣1dx= ln10 ．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】根据二项式的展开式中，含x项的系数是a，求出a的值．根据定积分公式求解定积分即可．【解答】解：二项式为，，由通项公式可得：Tr+1=∵含x项，∴r=3，∴含x项的系数为=10．即a=10．那么==lnx|=ln10．故答案为：ln10．【点评】本题主要考查二项式定理通项公式的应用，和定积分的计算．属于基础题．15．如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，若A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD 面积是 10．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】连结BD ，根据余弦定理列出方程解出cosA （或cosC ），进而给出sinA ，sinC ，代入面积公式即可【解答】解：连结BD ，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB •ADcosA=61﹣60cosA ， 在△BCD 中，BD 2=BC 2+CD 2﹣2BC •CDcosC=41﹣40cosC ． ∴61﹣60cosA=41﹣40cosC ， ∵A+C=180°， ∴cosA=﹣cosC ．∴cosA=．∴sinA=sinC=．∴四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △BCD =AB ×AD ×sinA+BC ×CD ×sinC=6×5×+×4×5×=10故答案为：10【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．16．已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是①②（写出所以正确命题的编号）【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆心M（﹣cosθ，sinθ）到直线的距离d==≤1，由此能求出结果．【解答】解：∵圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1恒过定点O（0，0）直线l：y=kx也恒过定点O（0，0），∴①正确；圆心M（﹣cosθ，sinθ）圆心到直线的距离d==≤1，∴对任意实数k和θ，直线l和圆M的关系是相交或者相切，∴②正确，③④都错误．故答案为：①②．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）}满足，17．（12分）（2017•香坊区校级二模）已知数列{an）．（n∈N+}的通项公式；（Ⅰ）求数列{an（Ⅱ）设，数列{b n }的前n 项和S n ，求证：．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】（I ）数列{a n }满足，（n ∈N +）．n ≥2时，a 1+3a 2+ (3)﹣2a n ﹣1=，相减可得：3n ﹣1a n =，可得a n ．n=1时，a 1=．（II），b 1=．n≥2时，b n ==．利用裂项求和方法与数列的单调性即可得出．【解答】（I ）解：数列{a n }满足，（n ∈N +）．∴n ≥2时，a 1+3a 2+…+3n ﹣2a n ﹣1=，相减可得：3n ﹣1a n =，∴a n =．n=1时，a 1=．综上可得：a n =．（II ）证明：，∴b 1==．n ≥2时，b n ==．∴S n =+++…+=+＜．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•香坊区校级二模）哈六中在2017年3月中旬举办了一次知识竞赛，经过层层筛选，最后五名同学进入了总决赛．在进行笔答题知识竞赛中，最后一个大题是选做题，要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答，假设这5位选手选做每一题的可能性均为．（Ⅰ）求其中甲乙2位选手选做同一道题的概率．（Ⅱ）设这5位选手中选做第1题的人数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用相互独立事件的概率公式，求出甲、乙2名学生选做同一道题的概率；（Ⅱ）确定X的取值，求出相应的概率，即可求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“甲选做第1题”，事件B表示“乙选做第1题”，则“甲选做第2题”为，“乙选做第2题”为；∴甲、乙2位选手选做同一道题的事件为“AB+”，且事件A、B相互独立；∴P（AB+）=P（A）P（B）+P（）P（）=×+（1﹣）×（1﹣）=；（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B（5，）；∴P（X=k）=••=•，k=0，1，2，3，4，5；∴变量X的分布列为：X的数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=（或EX=np=5×=）．【点评】本题考查了概率知识的运用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望计算问题，是中档题．19．（12分）（2017•香坊区校级二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知求解三角形可得BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质得BC⊥平面ACFE；（2）建立空间坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦值关于λ的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2，则AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3，∴AB2=AC2+BC2，得BC⊥AC．∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1）．=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1）．设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由，取x=1，得=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量．∴cosθ===．∵0≤λ≤，∴当λ=0时，cosθ有最小值，当λ=时，cosθ有最大值．∴cosθ∈[]．【点评】本题考查平面与平垂直的证明，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的余弦值，是中档题．20．（12分）（2017•香坊区校级二模）己知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5的两个交点之间的距离为4．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C2交于C，D两点，当k∈[0，1]时，求|AB|•|CD|的取值范围．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用圆C1：x2+y2=5与抛物线C2：x2=2py（p＞0）在第一象限内的交点为R（2，m），即可求m的值及抛物线C2的方程；（Ⅱ）直线的方程为y=kx+1，分别于抛物线、圆的方程联立，求出|AB|，|CD|，利用k∈[0，1]时，即可求|AB|•|CD|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5在第一象限内的交点为R（2，m），∴4+m2=5，∵m＞0，∴m=1，将（2，1）代入x2=2py，可得p=2；（Ⅱ）抛物线C1的方程为x2=4y．直线的方程为y=kx+1，联立x2=4y可得x2﹣4kx﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4联立x2+y2=5可得（1+k2）x2+2kx﹣4=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=﹣，x3x4=﹣，∴|AB|=•=4（1+k2），|CD|=，∴|AB||CD|=4=×，∵k∈[0，1]，∴k2∈[0，1]，∴|AB||CD|∈[16，24]．【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2015•龙岩一模）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意x∈（，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=，Tn=1+2[g（）+g（）+g（）+…+g（）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有+++…+＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导数，利用条件列出方程，即可求实数a的值；（Ⅱ）转化条件为对恒成立，即对恒成立，构造函数，求出t（x）最小，即可得到实数m的取值范围．（Ⅲ）通过，推出，化简，推出T=n．然后求解n，取n=2m（m∈N*），利用放缩法推出≥，当m趋向于+∞时，趋向于+∞．然后说明结果．【解答】解：（Ⅰ） =依题意曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．得：，∴a=0，（Ⅱ）对任意的，（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立．等价于xe x﹣m（2x﹣1）≥0对恒成立，即对恒成立令，则m≤t（x）最小∵由t′（x）=0得：x=1或（舍去）当时，t′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0∴t（x）在上递减，在（1，+∞）上递增=t（1）=e，∴t（x）最小∴m≤e．（Ⅲ）=，，∴，因此有由，得2T n =2+2[1+1+…+1]=2+2（n ﹣1）=2n ，∴T n =n ．，取n=2m （m ∈N *），则==，当m 趋向于+∞时，趋向于+∞．所以，不存在正常数M ，对任意给定的正整数n （n ≥2），都有成立．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，构造法以及数列求和，放缩法的应用，难度大，考查知识面广．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22．（10分）（2017•香坊区校级二模）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆ρ=4cosθ与圆ρ=2sinθ交于O ，A 两点． （Ⅰ）求直线OA 的斜率；（Ⅱ）过O 点作OA 的垂线分别交两圆于点B ，C ，求|BC|． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由由，得2cosθ=sinθ，化简即可得出k OA ．（Ⅱ）设A 的极角为θ，tanθ=2，则sinθ=，cosθ=，把B （ρ1，θ﹣）代入ρ=2cosθ得ρ1．把C （ρ2，θ+）代入ρ=sinθ得ρ2，利用|BC|=ρ1+ρ2，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由，得2cosθ=sinθ，tanθ=2，∴k OA =2．（Ⅱ）设A 的极角为θ，tanθ=2，则sinθ=，cosθ=，则B （ρ1，θ﹣），代入ρ=2cosθ得ρ1=2cos （θ﹣）=2sinθ=，C （ρ2，θ+），代代入ρ=sinθ得ρ2=sin （θ+）=cosθ=，∴|BC|=ρ1+ρ2=．【点评】本题考查了极坐标方程的应用、斜率计算、弦长计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2017•香坊区校级二模）已知函数f （x ）=|x ﹣1|． （Ⅰ）解不等式：f （x ）+f （x ﹣1）≤2，；（Ⅱ）若a ＞0，求证：f （ax ）﹣af （x ）≤f （a ）．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a ＞0时，求得f （ax ）﹣af （x ）=|ax ﹣1|﹣|a ﹣ax|，利用绝对值不等式的性质可得|ax ﹣1|﹣|a ﹣ax|≤|ax ﹣1+a ﹣ax|=f （a ），从而可证结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=|x ﹣1|，不等式：f （x ）+f （x ﹣1）≤2，即|x ﹣1|+|x ﹣2|≤2，∴①，或②，或③，解①求得≤x ＜1，解②求得 1≤x ≤2，解③求得2＜x ≤．综合可得，不等式的解集为{x|≤x ≤}．（Ⅱ）证明：若a ＞0，则f （ax ）﹣af （x ）=|ax ﹣1|﹣a|x ﹣1|=|ax ﹣1|﹣|ax ﹣a|≤|（ax ﹣1）﹣（ax ﹣a ）|=|a ﹣1|=f （a ）， 即f （ax ）﹣af （x ）≤f （a ）成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，掌握双绝对值不等式的性质，通过分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。
2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4} 3．（5分）等比数列{a n}中，a3＝﹣2，a11＝﹣8，则a7＝（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣54．（5分）已知向量，，若，则t＝（）A．0B．C．﹣2D．﹣35．（5分）执行如图的程序框图，若输出T的值为，则“？”处可填（）A．n＜6B．n＜5C．n＜4D．n＜36．（5分）将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A．240B．480C．720D．9607．（5分）函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A．B．8πC．6πD．9．（5分）F1，F2是双曲线的左右焦点，过F1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥nD．若α⊥β，且α∩β＝m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β11．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则（）A．甲和乙不可能同时获奖B．丙和丁不可能同时获奖C．乙和丁不可能同时获奖D．丁和甲不可能同时获奖12．（5分）已知当x∈（1，+∞）时，关于x的方程有唯一实数解，则k 值所在的范围是（）A．（3，4）B．（4，5）C．（5，6）D．（6，7）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设随机变量X～B（6，），则P（X＝3）＝．14．（5分）已知递增的等差数列{a n}的前三项和为﹣6，前三项积为10，则前10项和S10＝．15．（5分）函数在闭区间上的最小值是．16．（5分）设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若（a﹣c）（sin A+sin C）＝b（sin A﹣sin B）．（1）求角C；（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值．18．（12分）经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：，，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9～1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06～1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12～1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的 1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形，∠BAD＝120°，AB＝2，E，F为CD，AA1中点．（1）求证：DF∥平面B1AE；（2）若AA1⊥底面ABCD，且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为，求AA1的20．（12分）椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），若椭圆过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B为椭圆的左、右顶点，P（x0，y0）（y0≠0）为椭圆上一动点，设直线AP，BP 分别交直线l：x＝6于点M，N，判断线段MN为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1，曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线经过点（e，0）．（1）证明：f（x）≥0；（2）若当x∈[1，+∞）时，，求p的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝，∴复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}．故选：B．3．（5分）等比数列{a n}中，a3＝﹣2，a11＝﹣8，则a7＝（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣5【解答】解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，∴a7＝﹣＝﹣＝﹣4．故选：A．4．（5分）已知向量，，若，则t＝（）A．0B．C．﹣2D．﹣3【解答】解：∵，，∴，，由，得2（2+2t）+（2﹣t）＝0，即t＝﹣2．故选：C．5．（5分）执行如图的程序框图，若输出T的值为，则“？”处可填（）A．n＜6B．n＜5C．n＜4D．n＜3【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T＝1+ xdx+x2dx+…的值，由题意，T＝1+xdx+x2dx+…+x n dx＝，可得：1+x2|+x3|+…+x n+1|＝，可得：1++…+＝，解得：n＝3，即当n＝3时满足条件，当n＝4时不满足条件，退出循环，可得判断框内的条件为n＜4？故选：C．6．（5分）将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A．240B．480C．720D．960【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个位置，有A44＝24种情况，②，4人排好后有5个空位，在其中任选2个，一个空位安排2个空座位，另一个安排一个空座位，有A52＝20种情况，则恰有两个空位相邻的不同坐法有24×20＝480种；故选：B．7．（5分）函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝e x+＝e x+1﹣，当x→﹣∞时，f（x）→1，故排除A，B，当x＞0时，f′（x）＝e x+，∵f′（1）＝e+，f（2）＝e2+，∴f′（1）＜f′（2），当x＞0时，函数的变化越来越越快，故排除C，故选：D．8．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A．B．8πC．6πD．【解答】解：由几何体的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，底面是等腰直角三角形，斜边长为2，高为1，棱柱的高为：2．四棱锥的外接球的直径是三棱柱面积比较大的侧面的对角线的长度，外接球的半径为：．所以三棱柱外接球的表面积为：4＝8π．故选：B．9．（5分）F1，F2是双曲线的左右焦点，过F1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：解：设F（﹣c，0），则过F作斜率为1的直线为：y＝x+c，而渐近线的方程是：y＝±x，由得：A（﹣，﹣），由得，B（﹣，），∵，则⇒b＝2a，则双曲线的离心率为e＝，故选：B．10．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥nD．若α⊥β，且α∩β＝m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β【解答】解：A选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m⊂α；B选项不正确，因m∥α，n⊂α，则m∥n或异面．C选项正确，因为α∩β＝m，n∥α，n∥β，则画图如下：必有m∥n，D选项不正确，画图如下：故选：C．11．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则（）A．甲和乙不可能同时获奖B．丙和丁不可能同时获奖C．乙和丁不可能同时获奖D．丁和甲不可能同时获奖【解答】解：假设甲、乙、丙获奖，丁没获奖，则甲、丙说的是假话，乙、丁说的是真话，符合题意；假设甲、乙、丁获奖，丙没获奖，则甲、丙、丁说的是真话，乙说的是假话，不符合题意；假设甲、丙、丁获奖，乙没获奖，则甲、乙说的是真话，丙、丁说的是假话，符合题意；假设乙、丙、丁获奖，甲没获奖，则甲、乙、丙说的是假话，丁说的是真话，不符合题意．综上，乙和丁不可能同时获奖．故选：C．12．（5分）已知当x∈（1，+∞）时，关于x的方程有唯一实数解，则k 值所在的范围是（）A．（3，4）B．（4，5）C．（5，6）D．（6，7）【解答】解：由方程，得xlnx+（2﹣k）x＝﹣k即xlnx＝（k﹣2）x﹣k，关于x的方程有唯一实数解，即函数y＝xlnx与y＝（k﹣2）x﹣k的图象有唯一交点，由y＝xlnx，得y′＝lnx+1，由y′＞0，得x＞，由y′＜0，得0＜x＜．∴y＝xlnx在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数．画出函数y＝xlnx与y＝（k﹣2）x﹣k的图象如图：直线y＝（k﹣2）x﹣k过定点P（1，﹣2），设过点P的直线与y＝xlnx相切于（x0，x0lnx0），则切线的斜率为lnx0+1＝k﹣2，∴切线方程为y﹣x0lnx0＝（lnx0+1）（x﹣x0），把（1，﹣2）代入，可得﹣2﹣x0lnx0＝（lnx0+1）（1﹣x0）＝lnx0﹣x0lnx0+1﹣x0，即lnx0+3﹣x0＝0．令g（x）＝lnx+3﹣x，则g′（x）＝﹣1＜0（x＞1），∴g（x）＝lnx+3﹣x在（1，+∞）上为减函数，由g（4）＞0，g（5）＜0，∴x0∈（4，5），则k∈（ln4+3，ln5+3）⊂（4，5），故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设随机变量X～B（6，），则P（X＝3）＝．【解答】解：∵随机变量X服从二项分布B（6，），∴P（X＝3）＝C36（）3×（1﹣）3＝．故答案为：．14．（5分）已知递增的等差数列{a n}的前三项和为﹣6，前三项积为10，则前10项和S10＝85．【解答】解：设此等差数列的公差为d＞0，a2＝a，则a﹣d+a+a+d＝﹣6，（a﹣d）a（a+d）＝10，联立解得：a＝﹣2，d＝3．∴a1＝﹣2﹣3＝﹣5．∴S10＝﹣5×10+＝85．故答案为：85．15．（5分）函数在闭区间上的最小值是﹣．【解答】解：，＝cos x（）﹣，＝，＝，由于：，则：，则函数的取值范围为：，则函数的最小值为：﹣．故答案为：﹣16．（5分）设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝．【解答】解：∵抛物线方程为y2＝2x，∴焦点F的坐标为（，0），准线方程为x＝﹣如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则，|BF|＝x2+＝x2+＝2，∴x2＝把x2＝代入抛物线y2＝2x，得，y2＝﹣，∴直线AB过点与（，﹣）方程为x+（﹣）y﹣3＝0，代入抛物线方程，解得，x1＝2∴|AE|＝2+＝，∵在△AEC中，BN∥AE，∴，＝＝故答案为三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若（a﹣c）（sin A+sin C）＝b（sin A﹣sin B）．（1）求角C；（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得（a﹣c）（a+c）＝b（a﹣b），∴a2﹣c2＝ab﹣b2，∴，即，∵0＜C＜π，∴则．（2）由正弦定理，∴a＝4sin A，b＝4sin B，，∴周长l＝a+b+c＝＝＝＝＝，∵，∴，∴当，即时，，∴当时，△ABC 周长的最大值为．18．（12分）经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：，，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9～1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06～1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12～1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的 1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？【解答】解：（1）由表中数据，可得散点图：（如下）（2）∴回归直线方程为．（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为0.91×70+88.05＝151.75（mmHg）∵∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形，∠BAD＝120°，AB＝2，E，F为CD，AA1中点．（1）求证：DF∥平面B1AE；（2）若AA1⊥底面ABCD，且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为，求AA1的长．【解答】证明：（1）设G为AB1的中点，连EG，GF，因为FG，又DE，所以FG DE，所以四边形DEGF是平行四边形，所以DF∥EG又DF⊄平面B1AE，EG⊂平面B1AE，所以DF∥平面B1AE．解：（2）因为ABCD是菱形，且∠ABD＝60°，所以△ABC是等边三角形取BC中点G，则AG⊥AD，因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AG，AA1⊥AD建立如图的空间直角坐标系，令AA1＝t（t＞0），则A（0，0，0），，，D1（0，2，t），，，，设平面B1AE的一个法向量为，则且，取，设直线AD1与平面B1AE所成角为θ，则，解得t＝2，故线段AA1的长为2．20．（12分）椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），若椭圆过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B为椭圆的左、右顶点，P（x0，y0）（y0≠0）为椭圆上一动点，设直线AP，BP 分别交直线l：x＝6于点M，N，判断线段MN为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．【解答】解：（1）由已知c＝1，∴a2＝b2+1①∵椭圆过点，∴②联立①②得a2＝4，b2＝3，∴椭圆方程为；（2）设P（x0，y0），已知A（﹣2，0），B（2，0），∵y0≠0，∴x0≠±2∴AP，BP都有斜率∴，∴，③∵，∴，④将④代入③得，设AP方程y＝k（x﹣2），∴BP方程，∴，由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x轴上，设该定点为T（t，0），则，∴，∴（6﹣t）2＝24，∴，∴存在定点或以线段MN为直径的圆恒过该定点．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1，曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线经过点（e，0）．（1）证明：f（x）≥0；（2）若当x∈[1，+∞）时，，求p的取值范围．【解答】解：（1）证明：函数f（x）＝x﹣alnx﹣1的导数为f′（x）＝1﹣，曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线为y＝f′（1）（x﹣1），即y＝（1﹣a）（x﹣1）由题意得0＝（1﹣a）（e﹣1），解得a＝1，所以f（x）＝x﹣lnx﹣1，从而，因为当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）在区间（0，1）上是减函数，区间（1，+∞）上是增函数，从而f（x）≥f（1）＝0；（2）由题意知，当x∈[1，+∞）时，p+lnx≠0，所以p＞0，从而当x∈[1，+∞）时，p+lnx＞0，由题意知，即[（p﹣1）x+1]lnx﹣px+p≥0，其中x∈[1，+∞），设g（x）＝[（p﹣1）x+1]lnx﹣px+p，其中x∈[1，+∞）设h（x）＝g'（x），即h（x）＝（p﹣1）lnx+﹣1，其中x∈[1，+∞）则，其中x∈[1，+∞），①当p≥2时，因为x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，所以h（x）是增函数；从而当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）＝0，所以g（x）是增函数，从而g（x）≥g（1）＝0．故当p≥2时符合题意；②当1＜p＜2时，因为时，h'（x）＜0，所以h（x）在区间上是减函数，从而当时，h（x）＜h（1）＝0，所以g（x）在上是减函数，从而，故当1＜p＜2时不符合题意．③当0＜p≤1时，因为x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，所以h（x）是减函数，从而当x∈（1，+∞）时，h（x）＜h（1）＝0，所以g（x）是减函数，从而g（2）＜g（1）＝0，故当0＜p≤1时不符合题意．综上p的取值范围是[2，+∞）．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．【解答】（1）曲线C1的参数方程（θ为参数）可化为普通方程x2+（y﹣1）2＝1，由，可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+cos2θ）＝2．（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的交点A的极径为，射线（ρ＞0）与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m＝1，则a+b+c＝1；则；同理；则；即M≥8．。
2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(理科)-教师用卷
2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】解：，在复平面内对应的点为，故选：D．由题意分子分母同乘以，再进行化简求出实部和虚部即可．本题考查了复数的除法运算以及几何意义，关键利用共轭复数对分母实数化．2.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：集合，集合，，故选：A．分别化简集合A，B，再由交集运算性质得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．3.命题p：“，”的否定￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题即￢：，，故选：A．根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．4.的展开式中常数项是A. 5B.C. 10D.【答案】D【解析】解：的展开式的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故选：D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5.已知数列的前n项和为，执行如图所示的程序框图，则输出的M一定满足A.B.C.D.【答案】C【解析】解：根据程序框图：算法的作用是求中的最小项．故：，故：，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量M的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.设函数的最小正周期为，且，则A. 在单调递减B. 在单调递增C. 在单调递增D. 在单调递减【答案】D【解析】解：函数，函数的最小正周期为，则：，由于，且，解得．故：，令，解得，当时，在单调递增．当时，在单调递增．所以在单调递减．所以A错误．故选：D．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．7.如果实数x，y满足关系，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；设，则z的几何意义是区域内的点到的斜率加上1，由，可得，由，可得；由图象可知，当MA的斜率最小为，MB的斜率最大为，所以的取值范围是：故选：C．画出不等式组表示的平面区域，化目标函数，由z的几何意义求得最优解，计算目标函数的最值即可．本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题．8.A，B是圆O：上两个动点，，，M为线段AB的中点，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，A，B是圆O：上两个动点，，则为等边三角形且，则，，M为线段AB的中点，则，则；故选：B．根据题意，分析可得为等边三角形且，由向量的加法的运算法则可得，进而可得，计算可得答案．本题考查向量的数量积的运算和圆的有关性质，关键是分析的形状．9.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在同一坐标系内作出函数与函数的图象，如图所示，则函数的图象关于点对称，同时点也是函数的对称点；由图象可知，两个函数在上共有4个交点，且两两关于点对称；设对称的两个点的横坐标分别为，，则，个交点的横坐标之和为．故选：A．分别作出两个函数的图象，根据图象的对称性求得所有交点横坐标的和．本题主要考查了两个函数交点横坐标求和的计算问题，根据函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键．10.的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：中，由知，是锐角三角形，由正弦定理可知，，，，，，，，，，则．故选：D．利用二倍角公式化简换成边的关系，求得A的范围，再根据正切函数的单调性求得的取值范围．本题主要考查了正弦定理的应用问题，解题时应把边化成角的问题，利用三角函数的基本性质求解．11.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，该几何体是高为1的三棱锥，且由俯视图可得三菱锥的底为等腰直角三角形，可得，，，为．过PA中点作面PAC垂线与过F作面ABC的垂线交于点M，则M为该棱锥的外接球的球心．设面EMF交AC于H，则，，在中，由余弦定理可得，由正弦定理的四边形MEHF的外接圆直径为，即，，，即该棱锥的外接球的半径．则该棱锥的外接球的表面积为．故选：A．该几何体是高为1的三棱锥，结合图中数据，过PA中点作面PAC垂线与过F作面ABC 的垂线交于点M，则M为该棱锥的外接球的球心设面EMF交AC于H，则，，在中，由余弦定理可得，由正弦定理的四边形MEHF的外接圆直径为，即，即该棱锥的外接球的半径即可求解．本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知S为双曲线上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，若恒成立，则双曲线离心率e的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设与渐近线平行的直线方程为则，与渐近线平行的直线方程为则，，，，，，，要使恒成立，则．双曲线离心率，故选：D．设，与渐近线平行的直线方程为，，则，，，，，，可得，则即可本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等比数列中，，，公比______．【答案】【解析】解：，，，公比．故答案为：．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.利用随机模拟方法计算和所围成图形的面积首先利用计算机产生两组～区间的均匀随机数，，，然后进行平移和伸缩变换，，若共产生了N个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，则所围成图形的面积可估计为______结果用N，表示【答案】【解析】解：由题意，，又，由N个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，则，如图所示；所围成图形的面积可估计为．故答案为：．由题意，计算对应的面积比即可估计所围成图形的面积．本题考查了用模拟实验法求对应面积的比值问题，是基础题．15.设O为抛物线：的顶点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦若，则的面积为______【答案】【解析】解：抛物线的焦点为设弦AB所在直线的方程为，与抛物线联解，得设，，由根与系数的关系得．根据抛物线的定义，得，得．由此可得．，因此，三角形的面积为：．故答案为：．设，，弦AB所在直线的方程为，与抛物线联解，并结合一元二次方程根与系数的关系，得根据抛物线的定义，得，结合抛物线方程化出，可得最后根据三角形面积公式，得到本题的答案．本题给出抛物线过焦点的弦AB的长度，求面积的表达式，着重考查了抛物线的简单性质和直线与抛物线关系等知识，属于中档题．16.是定义在R上的函数，其导函数为若，，则不等式其中e为自然对数的底数的解集为______．【答案】【解析】解：不等式．令，，，函数在R上单调递增，而，，．不等式其中e为自然对数的底数的解集为．故答案为：．不等式令，根据，利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列为正项数列，，且求数列通项公式；若，求的前n项和．【答案】解：由，，，，数列为正项数列，，，，，设，则的前n项和为设，当n为偶数时，的前n项和为，当n为奇数时，的前n项和为，故当n为偶数时，，当n为奇数时，，综上所述为偶数为奇数．【解析】由数列的递推公式可得，即可得到，即可求出数列通项公式；利用分组求和，以及分类讨论即可求出．本题考查了数列的递推公式和数列的前n项和公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．18.交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，早高峰时段，基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵，从市交通指挥中心提供的一天中早高峰市内路段交通拥堵指数数据，绘制直方图如图．据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；某人上班路上遇中度拥堵或严重拥堵则不能按规定时间打卡记为迟到，否则能按时到岗打卡单位规定每周考勤奖的基数为50元，无迟到再给予奖励50元，迟到一次考勤奖为基数，迟到两次及两次以上每次从基数中扣除10元，每周至多扣除40元，根据直方图求该人一周按5天计算所得考勤奖的分布列及数学期望假设每天的交通状况相互独立．【答案】解：的频率为：，据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数6．由频率分布直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的平均数为：．设所得考勤奖为X元，X的所有可能取值为100，50，30，20，10，，，，，，．【解析】求出的频率为，据此直方图能估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数；由频率分布直方图能估算早高峰时段交通拥堵指数的平均数．设所得考勤奖为X元，X的所有可能取值为100，50，30，20，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．本题考查中位数、平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形，，，，．求证：平面平面PBD；若，求二面角的大小．【答案】证明：在梯形ABCD中，过点B作于H，在中，，，又在中，，，，，，面面ABCD，面面，，面PCD，平面ABCD，，，平面PBD，平面PBD，平面PBD，平面PBC，平面平面PBD．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，PD为z轴，建立空间直角坐标系，则1，，2，，0，，0，，1，，2，，1，，，0，，，，，平面PBD，平面PBD的法向量1，，设平面BDQ的法向量y，，则，取，得，设二面角的大小为，则，，二面角的大小为．【解析】过点B作于H推导出，从而平面ABCD，进而，由此能证明平面PBD，从而平面平面PBD．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，PD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知F为椭圆C：的右焦点，，P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且为等边三角形．求椭圆C的方程；过点P的两条互相垂直的直线，与椭圆C分别交于异于点P的点A，B，求证：直线AB过定点；求证：以PA，PB为直径的两个圆的另一个交点H在定圆上，并求此圆的方程．【答案】解：，．，Q分别为椭圆C的上下顶点，且为等边三角形．，，又，解得，，．椭圆C的方程为：．证明：设直线AB的方程为：，，联立，化为：，，．，，，．．解得舍，或．直线AB经过定点．分别取PA，PB的中点，，则分别为两圆的圆心，且交于对S，S为PH的中点，交y轴于点N．，且，点点S的轨迹为以PN为直径的圆：．点H的轨迹方程为：．【解析】由，可得由P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且为等边三角形可得，，又，解得，c，即可得出．设直线AB的方程为：，，联立，化为：，由，可得，由，可得把根与系数的关系代入解得可得直线AB经过定点．分别取PA，PB的中点，，则分别为两圆的圆心，且交于对S，S为PH的中点，交y轴于点由，且，可得点进而得出圆的方程．本题考查了椭圆与圆的标准方程方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数，直线l：，其中e为自然对数的底．当，时，求证：曲线在直线l的上方；若函数的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；对于中的两个交点的横坐标，及对应的a，当时，求证：【答案】解：证明：，时，令，可得的导数为，，当时，，可得递增，可得，即在递增，可得，曲线在直线l的上方；可令，导数为，当时，，递减，不和题意；当时，由，可得，可得在递减，在递增，有两个零点，的最小值为，解得；由，在上有且只有一个零点；由当时，，由可得时，，即有，所以，则在上有且只有一个零点，综上可得，；证明：由条件可得，，所以，要证，即证，即证，方法一、由可得，，，等价为，成立．方法二、可令，则，当时，，在递减，可得时，，成立．【解析】可令，求得二阶导数，可得单调区间，即可得到证明；可令，求得导数，讨论a的符号，以及函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到所求范围；由交点的定义，作差可得a，要证原式成立，即证，，方法一、运用的单调性可得；方法二，可令，求得导数和单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，以及化简整理的变形能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，直线l：为参数，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．求曲线C的直角坐标方程；点，直线l与曲线C交于M，N，求的值．【答案】解：曲线C的极坐标方程为，即．曲线C的直角坐标方程为，即．将直线l：为参数代入曲线，得到：，所以，和为M和N对应的参数，则．故的值为．【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．本题考查曲线的直线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，．23.已知x，y，z为正实数，且．求证：；求证：．【答案】解：在等式两边平方得，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，；由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立．【解析】在等式两边平方，平方后利用基本不等式得，然后移项，合并同类项即可；在原不等式左边每个分式分子利用基本不等式，然后分别提公因式y、z、x，继续利用基本不等式并结合等式可证明原不等式．本题考查利用基本不等式证明不等式，问题的关键在于对代数式进行化简，灵活配凑，考查转化能力与应变能力，属于中等题．。
黑龙江省齐齐哈尔市2018届高考第二次模拟数学(理)试题含答案
齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1M x x =<，{}20N x x x =-<，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{}1M N x x =< D ．{}0M N x x =>2.设(2)(3)3(5)i xi y i +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则x yi +等于（ ）A ．5B ．．23.某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.530，，样本数据分组为[]17.520，，[]2022.5，，[]22.525，，[]2527.5，，[]27.530，.根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（ ）A ．68B ．72C ．76D ．80 4.521(1)(1)x x-+的展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．-15 C.5 D ．-55.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=><F ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，若OM N ∆的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．22128x y -= B ．22148x y -= C.22182x y -= D ．22184x y -=6.某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4+2πB ．2+6π C.4+π D ．2+4π 7.执行如下图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ ）A ．3.2B ．3.6 C. 3.9 D ．4.98.等比例数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若6359,62S S S ==则，1a =（ ）A ．．3 9.已知函数()cos(2.)0,2f x x πωωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移6π个单位后得函数()cos 2.g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线23x π=对称 B ．关于直线6x π=对称 C.关于点2-03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D ．关于点5-012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 10.已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积为194π，1AA ⊥平面,5,12,13ABC AB BC AC ===,则直线1BC 与平面11AB C 所成角的正弦值为（ ）AB26．2611.已知椭圆2222=10)x y a b a a+>>（的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆，点P 为椭圆上的任意一点，则1211+PF PF 的取值范围为（ ）A ．[]12， B．C.⎤⎦D ．[]14，12.已知对任意21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2xa e x >恒成立（其中 2.71828...e =，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A ．02e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．0e （，） C.(,2)e -∞- D ．24(,)e -∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数,x y 满足条件40,220,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩的最小值为-8,则实数=a ．14.若函数()f x 是偶函数0x ≥时,()1(1)f x g x =+,则满足(21)1f x +<的实数x 取值范围是．15. 已知平行四边形ABCD 中,2AD =,120BAD ∠=,点E 是CD 中点，1AE BD ∙= ,则BD BE ∙=．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24a =,4=30S ,2n ≥时,112(1)n n n a a a +-+=+,则{}n a 的通项公式n a =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，已知sin 12sin sin 2cos B A C C*=- (I)求角B 的大小；(Ⅱ)若1,a b =求ABC ∆的面积.18.在四棱锥A DBCE -中，底面DBCE 是等腰梯形,2BC DE =,,BD DE CE ADE ==∆是等边三角形，点F 在AC 上.且3AC AF =. （I ）证明://AD 平面BEF ;(Ⅱ)若平面ADE ⊥平面BCED ,求二面角A BE F --的余弦值.19.近年来,随着科学技术迅猛发展,国内有实力的企业纷纷进行海外布局,如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头,某品牌手机公司一直默默拓展海外市场,在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工,得到数据如下表:(Ⅰ)根据调查的数据,判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”,并说明理由;(Ⅱ)该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名,组成80后组,在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组①求这12 人中,80后组90后组愿意接受外派的人数各有多少?②为方便交流,在80后组、90后组中各选出3人进行交流,记在80后组中选到愿意接受外派的人数为x ,在90 后组中选到愿意接受外派的人数为y ,求x y <的概率. 参考数据:参考公式:2(2=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++），其中n a b c d =+++20. 设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F 在y 轴的正半轴上,点A 是抛物线上的一点，以A 为圆心,2为半径的圆与y 轴相切,切点为F . (I)求抛物线的标准方程:(Ⅱ)设直线m 在y 轴上的截距为6,且与抛物线交于P ,Q 两点,连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ,当直线PR 恰与抛物线相切时,求直线m 的方程. 21.已知函数-1()1x f x k nx x=-,且曲线()y f x =在点1(1))f （，处的切线与y 轴垂直. (I)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若对任意(0,1)(1,)x e ∈ (其中e 为自然对数的底数),都有()11(0)1f x a x x a+>>-恒成立,求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=sin cos ρθθ+，点P 的曲线C 上运动.(I)若点Q 在射线OP 上,且4OP OQ ∙=,求点Q 的轨迹的直角坐标方程;(Ⅱ)设34,4M π⎛⎫⎪⎝⎭,求MOP ∆面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲设0,0a b >>，且222a b ab +=，求证：（Ⅰ）332a b +≥；（Ⅱ）55()()4a b a b ++≥齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题1.B {}{}2001N x x x x x M =-<=<<⊆2.A 2)(3)3(5)i xi y i +-=++（，6(32)3(5)x x i y i ++-=++，4,5y x yi =+=3.B 3200.02+0.07 2.5=72⨯⨯（）. 4.C 24555C C -=.5.A由c a =22222225,5,4b c a a b a a=+==，∴渐近线方程为2y x =±，则(,2)M c c -，-,2)N c c -（，∴14202OMNS C C ∆=⨯⨯=,210,c ∴=222,8a b ==，∴双曲线方程为22128x y -=. 6.D 该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体，体积=22+12=2+4V ππ⨯⨯.7.C 21,122k S ==+=；282,2=33k S ==+；8219=3=+=346k S ，；1921074,6530k S ==+=；1072117=5=+==3.930630k S ，.输出=3.9S . 8.B 显然1q ≠±，由639S S =得31+9q =，38,2q q ∴==，又5151(12)=62212a S a -==-，. 9.D ()cos(2)3f x x π=+.10.C 由222+AB BC AC =知AB BC ⊥,设球半径为1,R AA x =,则由1AA ⊥平面ABC 知22213(2)x R +=，又24194R ππ=，5x ∴=，从而11AB C ∆的面积为，又1ABB ∆面积为252，设点B 到平面11AB C 的距离为d，则1125=12335⨯⨯⨯，d ∴=，113BC =,∴直线1BC 与平面11AB C所成角正弦值为126d BC =11.D 由22222,b a b c ==+，12()22a cb -=2,1,a b c ==1212111122(4)a a PF PF PF PF PF PF ∴+==-,又1PF ≤≤12111+4PF PF ∴≤≤. 12.A 由2x ae x >得12121,x nx nx a a x >>，令21()nx f x x=，则22(11)'()0,0nx f x x e x-=><<， ()f x ∴在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增函数，在2,e e ⎡⎤⎣⎦上是减函数，12()f e a e >=，02e a ∴<<. 二、填空题13.-2 作出约束条件40,220,0,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩表示的可行域,(0,0),(0,1),(2,2),(4,0)OABC O A B C ,y ax z =-+，平移直线y ax =-至点40（，）时，min 4z a =，由48a =-，得2a =-. 14.-54（，）-9219,54x x <+<-<< 15.13 由1AE BD ∙=,得1(+)()12AD AB AD AB ∙-= ,设AB m = ，所以2114+122m m -=，解得3m =，所以22131319()+4+23+13222222BD BE AD AB AD AD AB AB ∙=-=-∙=⨯⨯⨯= .16.2n 由112(1)n n n a a a +-+=+得112n n n n a a a a +--=-+，{}1n n a a +∴-是公差为2的等差数列，又3122(1)10a a a +=+=，412344=1430S a a a a a +++=+=，416a ∴=， 又4232(1)a a a +=+，39a ∴=，11a ∴=，213a a ∴-=， 所以132(2)21n n a a n n --=+-=-， 累加法得2n ≥时，2112211()()...()(21)(23)...1n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=-+-++=，又11a =，所以2n a n =. 三、解答题17.解：（Ⅰ）由sin 12sin sin 2cos B A C C=-及sin sin()A B C =+得2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin B C B C C B C C C =+-=+-，2cos sin sin B C C ∴=，又在ABC ∆KH ,sin 0C ≠，1cos 2B ∴=，0<<,3B B ππ∴= (Ⅱ)在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-21,,713a b B c c π===∴=+-260c c ∴--=0c > ，3c ∴=，ABC ∴∆的面积1sin 24S ac B ==. 18.解：（Ⅰ）连接DC ,交BE 于点G ，连接FG .∵在等腰梯形DBCE D 中，,2BD DE CE BE DE ===,//BC DE ∴,2CG BC DG DE ∴==, 3AC AF = ,2CFAF∴=,CF CG AF DG∴=,//AD FG ∴, 又AD ⊄平面BEF ，FG ⊂平面BEF ,所以//AD 平面BEF . （Ⅱ）取DE 中点O ，取BC 中点H ,连接,AO OH ,显然AO DE ⊥,又平面ADE ⊥平面BCED ,平面ADE 平面BCED DE =,所以，AO ⊥平面BCED . 由于O H 、分别为DE 、BC 中点，且在等腰梯形DBCE 中，2BC DE =,则OH DE ⊥,故以O 为原点，以OD 方向为x 轴，OH 方向为y 轴，以OA 方向为z 轴，建立下图所示空间直角坐标系.设=2(0)BC a a >，可求各点坐标分别为,0,0,0,000,02a B a C a E A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭、、、，可得3,,,0,,,0222222a a AB a a a AE a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭、、BE=224++(2,0,0),-,333BF BC CF BC CA a a a ⎛⎫⎛⎫===-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面ABE 的一个法向量为111(,,)u x y z =，由00AB u AE u ∙=∙= 、可得1111102202ax az a x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩， 令11z =可得1x =13y =，则(u =.设平面FBE 的一个法向量为222(,,)v x y z =，由00BE v BF v ∙=∙=、可得222223-0,240,3a x ax ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令2y =221,3x z =-=-则，()3v =--.从而11cos ,13u v u v u v ∙====∙， 则二面角A BE F --的余弦值为1113. 19.解：（Ⅰ）由22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++可得其观测值2100(20204020)400400100 2.778 2.706604060405760000k ⨯⨯-⨯⨯⨯==≈≥⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关”. （Ⅱ）①由分层抽样知80后组中，愿意接受外派人数为3， 90后组中，愿意接受外派人数为4， ②“x y <”包含“0,1x y ==”“0,2x y ==”“0,3x y ==”“1,2x y ==”“1,3x y ==”“2,3x y ==”六个互斥事件.且031213342(0,1)3310066C C C C P x y C C ===⨯=，0321333420,2)3310066C C C CP x y C C ====⨯=（, 0330133420,3)3310066C C C C P x y C C ====⨯=（，1221273342=1,2)3310066C C C CP x y C C ===⨯=（，123093342=1,3)3310066C C C C P x y C C ===⨯=（，213093342=2,3)3310066C C C CP x y C C ===⨯=（，所以13127991()1002P x y +++++<==.20.解：（Ⅰ）设所求抛物线方程为22(0)x py p =>，由以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ，所以=2p ，即该抛物线的标准方程为24x y =.（Ⅱ）由题知，直线m 的斜率存在，不妨设直线1122:6,(,),(,)m y kx P x y Q x y =+，由264y kx x y =+⎧⎨=⎩，消y 得24240x kx --=，即1212424x x k x x +=⎧⎨∙=-⎩.抛物线在点121(,)4x P x 处的切线方程为1121()42x x y x x -=-，令1y =-，得12412x x x -=，所以241,1)21x Rx --（，而,,Q F R 三点共线，所以QF FR k k =,及01F（，），得212211142412xx x x ---=-，即1222(4)(4)16012x x x x --+=，整理得2212121212)4()216160x x x x x x x x ⎡⎤-+-++=⎣⎦（,将*（）式代入得214k =，即12k =±，故所求直线m 的方程为162y x =+或162y x =-+. 21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，因为2211'()k kx f x x x x-=-=， 由题意知，'(1)=0f ，211,'()x k f x x-∴== ，所以由'()0f x >得1x >，由'()0f x <01x <<，()f x ∴的单调减区间为01（，），单调增区间为(1,)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1()11f x nx x =-+，()111111111(1)1f x nx nx x x x x x x x x ∴+=-++=-----， 法一：设1()1nx m x x =-，则211'()(1)x x nx m x x x --=-， 令()11n x x x nx =--，则'()1111n x nx nx =--=-，1x ∴>时，'()0n x <，()n x ∴在[)1+∞，上递减，()(1)0n x n ∴≤=，(]1,x e ∴∈时，'()0m x <，()m x ∴在(]1e ，上是减函数，(]1,x e ∴∈时，1()()1m x m e e >=-由题意知，111a e ≤-，又0,1a a e >∴≥-， 下证1,01a e x ≥-<<时，111nx x a>-成立， 即证11a nx x <-成立，令)11x a nx x ϕ=-+（，则'()1a a x x x xϕ-=-=， 由1,1a e x x ≥-<<，'()0,()x x ϕϕ∴>∴在(]01，是增函数，(0,1)x ∴∈时，()(1)0x ϕϕ<=，11a nx x ∴<-成立，即111nx x a>-成立，∴正数a 的取值范围是[)1,e -+∞. 法二：①当(0,1)x ∈时，11(0)1nx a x a>>-可化为110(0)a nx x a -+<>， 令()11(0)g x a nx x a =-+>，则问题转化为验证()0g x <对任意(0,1)x ∈恒成立. '()1(0)a a x g x a x x-=-=>，令'()0g x >，得0x a <<，令'()0g x <，得x a >， 所以函数()g x 在(0,)a 上单调递增，在,)a +∞（上单调递减.()i 当01a <<时，下面验证()110((0,1))g a a na a a =-+>∈.设()11(01)T x x nx x x =-+<<，则'()11110(01)T x nx nx x =+-=<<<.所以()T x 在01（，）上单调递减，所以()(1)0T x T >=.即()0((0,1)g a a >∈.故此时不满足()0g x <对任意(0,1)x ∈恒成立；)ii （当1a ≥时，函数()g x 在01)（，上单调递增.故()(1)0g x g <=对任意(0,1)x ∈恒成立，故1a ≥符合题意,综合()i )ii （得1a ≥.②当(1,)x e ∈时，11(0)1nx a x a>>-，则问题转化为验证()0h x >对任意(1,)x e ∈恒成立. '()1(0)a a x h x a x x-=-=>， 令'()0h x >得 0x a <<; 令'()0h x <，得x a >，所以函数()h x 在(0,)a 上单调递增，在,)a +∞（上单调递减.()i 当a e ≥时，()h x 在1,)e （上是增函数，所以()(1)0h x h >=)ii （当1a e <<时，()h x 在1,)a （上单调递增，在(,)a e 上单调递减，所以只需()0h e ≥，即1a e ≥-()iii 当11a <≤时，()h x 在1,)e （上单调递减，则需()0h e ≥.因为()0h e a e =+-<不符合题意.综合()i )ii （()iii ，得1a e ≥-.综合①②，得正数a 的取值范围是[)1,+e -∞22.解：（Ⅰ）设(,),(1,)(>0,10)Q P ρθρθρρ>,则1=sin cos ρθθ+， 又4OP OQ ∙=,14ρρ∴=,14ρρ∴=,4sin cos θθρ∴=+，cos sin 4ρθρθ∴+=将cos ,sin x y ρθρθ==代入得，点Q 轨迹方程为4x y +=（Ⅱ）设(,)(>0)P ρθρ则3=cos sin ,4,4M πρθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，MOP ∴∆的面积134sin 2242S πρθρθθ⎛⎫=⨯-=+ ⎪⎝⎭2cos sin )sin 2)θθθ+=+≤当且仅当sin 21θ=时，取“=”，取=4πθ即可，MOP ∴∆面积的最大值为（用直角坐标方程求解，参照给分）23. 解：（Ⅰ）220,0,2a b a b ab >>+= ，33332222)2()()a b a b a b ab a a b b b a ∴+-=+--=-+-（222=)()()()0a b a b a b a b --=-+≥（，332a b ∴+≥.（Ⅱ）5566553323355()()()2a b a b a b a b ab a b a b a ab ++=+++=+-++ 3324224332222=()(2)()()a b ab a a b b a b ab a b ++-+=++-，330,0,2,a b a b >>+≥ 552)(2=4a b a b ∴++≥（.。
2018届高三二模数学(理)试题 含答案
哈尔滨市第九中学2018届高三第二次模拟数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知i 是虚数单位，复数z 满足()11z i i -=+，则z 的共轭复数是 A. 1 B. -1 C. i D.i -2.设非空集合,P Q 满足PQ P =，则A. ,x Q x P ∀∈∈B. ,x Q x P ∀∉∉ . 00,x Q x P ∃∉∈ D.00,x P x P ∃∈∉3.若221x y+=，则x y +的取值范围是A. []0,2 B. []2,0- C. [)2,-+∞ D.(],2-∞-4.若2sin 3sin 33ππθθ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan θ=A. 2-B. 5C. 3D.5.从12,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为 A.34 B. 58 C. 78 D. 126.以坐标原点为对称中心，两条坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为3π，则双曲线的离心率为A. 2B. 2C.D.2 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 16B. 32C. 48D. 144 8.函数()ln cos f x x x =+的图象为9.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面的面积为 A.169π B. 83π C. 619πD.4π10.若实数,x y 满31x y -≤≤足，则2x yz x y+=+的最小值是 A.53 B. 2 C. 35 D.1211.已知抛物线2:8C y x =的焦为F,准线l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则QF = A.72 B. 52C. 3D. 2 12.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角”.该表由若干数字组成，从第二行起，每一行的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行今有一个数，则这个数为A. 201620172⨯B. 201820172⨯C. 201720162⨯D.201820162⨯二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量()()1,2,4,3a b ==，且()a tab ⊥+，则实数t = .14. 已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中4x 的系数为 .15. 2018年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街。
黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(理)试题含答案
ln | x | x2 的图象大致为 (
)
A．
B．
C．
D．
8．如图所示的程序框图的思路源于数学史上一个著名数列
执行该程序，若输入 n 6 ，则输出 C =( )
“斐波那契数列 ”，
A．5 C． 13
B．8 D ． 21
9．从 A, B,C, D, E 五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有
2
x
C．
4
2
y1 5
2
2
y
D．
x
1
54
4．已知在各项均为正数的等比数列 { an } 中， a1a3 =16 ， a3 + a4 =24 ，则 a5 =( )
A ． 128
B． 108
C ． 64
D ． 32
1
5．已知 是第四象限角，且 sin cos
，则 tan =( )
5
2
1
A．
3
1
B．
3
1
C．
字迹清楚； （ 3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答 题无效； （ 4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题 ：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的 .
的取
值范围是 ( )
A ． (- ∞， 3)
B． (-2 ， 3)
C．(- ∞，- 2)
D． (3，+∞）
3．已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1 (a>0 ， b>0) 的右顶点与抛物线
2018年高三最新 东北三校高三数学第二次联合考试试题 精品
东北三校高三数学第二次联合考试哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟. 参考公式：sin α+sin β=2sin2cos2βαβα-+sin α-sin β=2cos 2sin 2βαβα-+ cos α+cos β=2cos 2cos 2βαβα-+ cos α－cos β=-2sin 2sin 2βαβα-+ 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下面四个函数中，不存在反函数的函数的是 A.ｙ=-x 4 B.ｙ=x 4 C.ｙ=3xD.ｙ=x 21log 2.设α、β为钝角且sin α=55,cos β=-10103,则α+β的值为A.π43B. π45 C. π47D. π45或π47 3.对于直线a 、b 和平面α、β，a ∥b 的一个充分条件是A.a ∥α,b ∥αB.a ∥α,b ∥β,α∥βC.a ⊥α,b ⊥β,α∥βD.α⊥β,a ⊥α,b ∥β 4.函数f (x )=ctg wx (w ＞0)图象的相邻两支截ｙ=8π所得线段长为4π.则f (8π)的值是 A.0 B.-1 C.1 D. 4π5.今有一组实验数据如下t 1.993 3.018 4.001 5.182 6.121S 1.501 4.413 7.498 12.18 17.93现准备下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是 A.S -1=2t -3B.S =t 2log 23C.2S =t 2-1 D.S =-2t -2 6.已知A （0，0），B （a ，b ），P 1是AB 中点，P 2是BP 1中点，P 3是P 1P 2中点，…，P n +2是P n P n +1 中点，则P n 点的极限位置A.)2,2(b aB.)3,3(b aC.)32,32(b aD.)43,43(b a 7.函数f (x )=x 2+x 1 (x ≤-21)的值域是 A.]47,(--∞ B. ]223,(3--∞ C.),47[+∞- D. ),223[3+∞-8.已知|a |≠|b |,m =ba b a n ba b a ++=--,,则m 、n 之间的关系是A.m ＞nB.m ＜nC.m =nD.m ≤n9.如图在正三棱锥A —BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ,且BC =1，则正三棱锥A —BCD 的体积是 A.122 B. 242 C.123 D. 24310.在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，ｙ轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和ｙ轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 A.30个 B.35个 C.20个 D.15个 11.若直线ｙ=kx +1与曲线x =12+y 有两个不同的交点，则k 的取值范围是A.-22kB.-2＜k ＜-1C.1＜k ＜2D.k ＜2或k ＞212.某厂有一批长为2.5 m 的条形钢材，要截成60 cm 长的A 型和43 cm 长的B 型的两种规格的零件毛坯，则下列哪种方案最佳（所剩材料最少）A.A 型4个B.A 型2个，B 型3个C.A 型1个，B 型4个D.B 型5个第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的离心率为21，F 为左焦点，A 为左顶点，B 为上顶点，C 为下顶点，直线CF 与AB 交于D ，则tg BDC =__________.14.已知（x +1）6·(ax -1)2的展开式中，x 3的系数是56，则实数a 的值为______________.15.（理）已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧--=+=1222t y t x (t 为参数)，若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为（-2，π），则点P 到直线l 的距离为______________.（文）函数ｙ=sin x -|sin x |的最小值为______________. 16.在△ABC 中A ＞B ，下列不等式中正确的是①sin A ＞sin B ;②cos A ＜cos B ;③sin2A ＞sin2B ;④cos2A ＜cos2B 其中正确的序号为______________.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知集合A ={x |62)21(--x x ＜1},B ={x |l og 4(x +a )＜1},若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知复数z 满足(z +1)(z +1)=|z 2|,且11+-z z 是纯虚数; (Ⅰ)求z ; (Ⅱ)求arg z .19.（本小题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点， （Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅲ）当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD .20.（本小题满分13分）已知抛物线C ：ｙ=-21x 2+6,点P （2，4），A 、B 在抛物线上，且直线PA 、PB 的倾斜角互补；（Ⅰ）证明：直线AB 的斜率为定值；（Ⅱ）当直线AB 在ｙ轴上的截距为正数时，求△PAB 的面积S 的最大值及此时直线AB 的方程.21.（本小题满分12分）（理）在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A ，一艘机艇以40 km/h 的速度从A 港出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后，先按直线前进，以后又改成正北，但不知 最初的方向和何时改变的方向，如果去营救，用图示表示营救区域（提示：满足不等式ｙ≥ax +b 的点（x ,ｙ）不在ｙ=ax +b 的下方）.（文）国贸城有一个个体户，2001年一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底．获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底所缴的房租和所得税为该月所得金额（含利润）的10%，每月生活费和其他开支为3000元，余款作为资金全部投入再营业，如此继续，问到2001年年底．，这一个体户有现款多少元？（1.1812≈2.5） 22.（本小题满分13分）（理）若{a n }是正项递增的等差数列，n ∈N ,k ≥2,k ∈N ,求证：（Ⅰ）kk k k a a a a 112+++; (Ⅱ)k nk nk nk k k k k k k kk k n a aa a a a a a a a a a 2212132312221211)1(++++++++++++⋅⋅⋅⋅; （文）已知等比数列{x n }的各项为不等于1的正数，数列{ｙn }满足ｙn ·l og xn a =2(a ＞0且a ≠1)，设ｙ3=18,ｙ6=12.(Ⅰ)求数列{ｙn }的前多少项和最大，最大值为多少？（Ⅱ）试判断是否存在自然数M ，使当n ＞M 时，x n ＞1恒成立？若存在，求出相应的M ，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）令a n =l og xn x n +1(n ＞13,n ∈N ),试判断数列{a n }的增减性？。
2018届东北三校高三第二次高考模拟考试理科数学试题及
东北三校2018届高三第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色自己的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|||3}A x x =<，{|B x y ==，则集合A B 为A ．[0,3)B ．[1,3)C ．(1,3)D ．(3,1]-2．“a = 1”是“复数21(1)a a i -++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．以下有关线性回归分析的说法不正确．．．的是 A ．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心(,)x yB ．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使21()niii y bx a =--∑最小的a ,b 的值C ．相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱D ．22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑越接近1，表明回归的效果越好4．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为A ．14B ．34C ．38D ．11165．已知为等比数列，S n 是它的前n 项和。
若，且a 4与a 7的等差中项为98， A ．35B ．33C ．31D ．296．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．1sin(2)4y x π=++D ．22sin y x =7．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A．3+B．8+C．6+D．8+8．已知圆M 过定点(2,1)且圆心M 在抛物线24y x =上运动，若y 轴截圆M 所得的弦长为AB ，则弦长||AB 等于A ．4B ．3C ．2D ．与点M 位置有关的值9．当a > 0时，函数2()(2)xf x x ax e =-的图象大致是10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有相同的焦点(,0)c -和(,0)c ，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为A ．12B ．14CD11．已知函数321()(1)(3)23f x x b x a b x b =+---+-的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组0x ay x by -≥⎧⎨-≥⎩所确定的平面区域在224x y +=内的面积为A ．3π B ．2π C ．π D ．2π12．在底面半径为3，高为4+放入一个半径为3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝{x|x＜1}D．M∪N＝{x|x＞0} 2．（5分）设（2+i）（3﹣xi）＝3+（y+5）i（i为虚数单位），其中x，y是实数，则|x+yi|等于（）A．5B．C．2D．23．（5分）某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）A．68B．72C．76D．804．（5分）（1﹣）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A．15B．﹣15C．5D．﹣55．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）是离心率为，左焦点为F，过点F与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M，N，若△OMN的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2πB．2+6πC．4+πD．2+4π7．（5分）执行如图的程序框图，若输入a的值为2，则输出S的值为（）A．3.2B．3.6C．3.9D．4.98．（5分）等比例数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝（）A．B．2C．D．39．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x+ω）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，将其图象向右平移个单位后得函数g（x）＝cos2x的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（）对称D．关于点（，0）对称10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，球O的表面积为194π，AA1⊥平面ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则直线BC1与平面AB1C1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（）A．[1，2]B．[]C．[]D．[1，4]12．（5分）已知对任意x∈[]不等式＞x2恒成立（其中e＝2.71828…，是自然对数的底数），则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，e）C．（﹣∞，﹣2e）D．（）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x，y满足条件，若z＝ax+y的最小值为﹣8，则实数a＝．14．（5分）若函数f（x）是偶函数x≥0时，f（x）＝lg（x+1），则满足f（2x+1）＜1的实数x取值范围是．15．（5分）已知平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝120°，点E是CD中点，＝1，则＝．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝4，S4＝30，n≥2时，a n+1+a n﹣1＝2（a n+1），则{a n}的通项公式a n＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝1，b＝，求△ABC的面积．18．在四棱锥A﹣DBCE中，底面DBCE是等腰梯形，BC＝2DE，BD＝DE＝CE，△ADE 是等边三角形，点F在AC上．且AC＝3AF．（I）证明：AD∥平面BEF；（Ⅱ）若平面ADE⊥平面BCED，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值．19．近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工，得到数据如表：（Ⅰ）根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”，并说明理由；（Ⅱ）该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名，组成80后组，在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组①求这12 人中，80后组90后组愿意接受外派的人数各有多少？②为方便交流，在80后组、90后组中各选出3人进行交流，记在80后组中选到愿意接受外派的人数为x，在90 后组中选到愿意接受外派的人数为y，求x＜y的概率．参考数据：参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d20．设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F在y轴的正半轴上，点A是抛物线上的一点，以A 为圆心，2为半径的圆与y轴相切，切点为F．（I）求抛物线的标准方程：（Ⅱ）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PQ恰与抛物线相切时，求直线m的方程．21．已知函数f（x）＝klnx﹣，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）∪（1，e）（其中e为自然对数的底数），都有（a ＞0）恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝sinθ+cosθ，点P的曲线C上运动．（I）若点Q在射线OP上，且|OP|•|OQ|＝4，求点Q的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设M（4，），求△MOP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且a2b+ab2＝2，求证：（Ⅰ）a3+b3≥2；（Ⅱ）（a+b）（a5+b5）≥4．2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝{x|x＜1}D．M∪N＝{x|x＞0}【解答】解：∵集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x2﹣x＜0}＝{x|0＜x＜1}，∴N⊆M．故选：B．2．（5分）设（2+i）（3﹣xi）＝3+（y+5）i（i为虚数单位），其中x，y是实数，则|x+yi|等于（）A．5B．C．2D．2【解答】解：∵（2+i）（3﹣xi）＝6+x+（3﹣2x）i＝3+（y+5）i，∴，解得，则|x+yi|＝|﹣3+4y|＝．故选：A．3．（5分）某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）A．68B．72C．76D．80【解答】解：由频率分布直方图得每周的自习时间不足22.5小时的频率为：（0.02+0.07）×2.5＝0.225，∴这320 名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是：0.225×320＝72．故选：B．4．（5分）（1﹣）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A．15B．﹣15C．5D．﹣5【解答】解：（1+x）5的展开式的通项为．取r＝2，得，取r＝4，得．∴（1﹣）（1+x）5的展开式中x2的系数为．故选：C．5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）是离心率为，左焦点为F，过点F与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M，N，若△OMN的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由e＝＝可得c2＝5a2，则b2＝c2﹣a2＝5a2﹣a2＝4a2，即b＝2a，则渐近线方程为y＝x＝±2x，则M（﹣c，2c），N（﹣c，﹣2c），∵△OMN的面积为20，∴S＝＝20，得c2＝10，得a2＝2，b2＝8，则双曲线方程为＝1．故选：A．6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2πB．2+6πC．4+πD．2+4π【解答】解：由题意可知几何体的组合体，上部是三棱柱，底面边长为2，底面三角形的高为1，棱柱的高2，下部是圆柱，高为2，底面半径为：，所以几何体的体积为：＝2+4π，故选：D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入a的值为2，则输出S的值为（）A．3.2B．3.6C．3.9D．4.9【解答】解：执行如图所示的程序框图，若输入a＝2，则k＝1时，S＝1+＝2；k＝2时，S＝2+＝；k＝3时，S＝+＝；k＝4时，S＝+；k＝5时，S＝+＝＝3.9；此时终止循环，输出S＝3.9．故选：C．8．（5分）等比例数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝（）A．B．2C．D．3【解答】解：根据题意，等比例数列{a n}中，若S6＝9S3，则q≠±1，若S6＝9S3，则＝9×，解可得q3＝8，则q＝2，又由S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，解可得a1＝2；故选：B．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x+ω）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，将其图象向右平移个单位后得函数g（x）＝cos2x的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（）对称D．关于点（，0）对称【解答】解：由题意得将g（x）＝cos2x的图象向左平移个单位后得到f（x），即f（x）＝cos2（x+）＝cos（2x+），∵f（）＝cos（2×+）＝cos≠±1，f（）＝cos（2×+）＝cos ≠±1，f（﹣）＝cos（﹣2×+）＝cos（﹣π）＝﹣1≠0，∴A，B，C都不正确，f（）＝cos[2×（）+]＝cos（﹣）＝0，则函数关于点（，0）对称，故选：D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，球O的表面积为194π，AA1⊥平面ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则直线BC1与平面AB1C1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB＝5，BC＝12，AC＝13，∴AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC，设AC，A1C1的中点分别为M，M1，则MM1的中点为球心O，设球半径为R，CC1＝x，则由CC1⊥平面ABC知：x2+132＝4R2，又4πR2＝194π，∴x＝5，∴BC1＝＝13，AB1＝＝5，∵＝＝30，又＝＝，∴＝＝50，设点B到平面AB1C1的距离为d，则＝50，∴d＝，∴直线BC1与平面AB1C1所成角正弦值为＝．故选：C．11．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（）A．[1，2]B．[]C．[]D．[1，4]【解答】解：由2b＝2可得b＝1，即A（0，1），又F（﹣c，0），B（﹣a，0），∴＝＝，又a2﹣c2＝1，∴a＝2，c＝．∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，∴＝＝，∵2﹣≤|PF1|≤2+，|PF1|（4﹣|PF1|）＝﹣（|PF1|﹣2）2+4，∴1≤|PF1|（4﹣|PF1|）≤4．∴1≤≤4．故选：D．12．（5分）已知对任意x∈[]不等式＞x2恒成立（其中e＝2.71828…，是自然对数的底数），则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，e）C．（﹣∞，﹣2e）D．（）【解答】解：由＞x2可得：，即令f（x）＝，则f′（x）＝．显然：0＜x＜e．∴f（x）在x∈[，e]是递增函数，在[e，e2]是递减函数．∴＝．∴故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x，y满足条件，若z＝ax+y的最小值为﹣8，则实数a ＝﹣2．【解答】解：由约束条件作出可行域，化目标函数z＝ax+y为y＝﹣ax+z，若a＞0，可得当直线y＝﹣ax+z过O（0，0）时，z有最小值为0，不合题意；若a＜0，可得当直线y＝﹣ax+z过C（4，0）时，z有最小值为4a，由4a＝﹣8，得a＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）若函数f（x）是偶函数x≥0时，f（x）＝lg（x+1），则满足f（2x+1）＜1的实数x取值范围是（﹣5，4）．【解答】解：∵x≥0时，f（x）＝lg（x+1）；∴1＝f（9），且f（x）在[0，+∞）上单调递增；又f（x）是偶函数；∴由f（2x+1）＜1得：f（|2x+1|）＜f（9）；∵f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x+1|＜9；解得﹣5＜x＜4；∴实数x的取值范围是（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．15．（5分）已知平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝120°，点E是CD中点，＝1，则＝13．【解答】解：设||＝m，AD＝2，∠BAD＝120°，可得•＝2m•cos120°＝﹣m，由＝1，得（+）•（﹣）＝1，即有4﹣m2﹣（﹣m）＝1，解得m＝3，则＝（﹣）•（﹣）＝4+×9﹣×（﹣3）＝13，故答案为：13．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝4，S4＝30，n≥2时，a n+1+a n﹣1＝2（a n+1），则{a n}的通项公式a n＝n2．【解答】解：根据题意，对于a n+1+a n﹣1＝2（a n+1），当n＝1时，有a3+a1＝2（a2+1）＝2×（4+1）＝10，当n＝2时，有a4+a2＝2（a3+1），又由S4＝30，则有a1+a2+a3+a4＝14+a4＝30，则a4＝16，又由a4+a2＝2（a3+1）＝20，解可得a3＝9，则有a1＝1，则a2﹣a1＝3，又由a n+1+a n﹣1＝2（a n+1），变形可得a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1+2，则数列{a n﹣a n﹣1}是公差为2的等差数列，则a n﹣a n﹣1＝3+2（n﹣1）＝2n﹣1，则有a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+……+（a n﹣a n﹣1）＝1+3+5+……+（2n﹣1）＝n2；即a n＝n2；故答案为：n2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝1，b＝，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中a，b，c分别为角A，B，C所对的边，．∴sin A＝sin（B+C），∴2sin B cos C＝2sin（B+C）﹣sin C＝2sin B cos C+2cos B sin C﹣sin C，∴2cos B sin C＝sin C，又在△ABC中，sin C≠0，∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∵a＝1，b＝，B＝，∴7＝1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣6＝0，∵c＞0，∴c＝3，∴△ABC的面积S＝＝．18．在四棱锥A﹣DBCE中，底面DBCE是等腰梯形，BC＝2DE，BD＝DE＝CE，△ADE 是等边三角形，点F在AC上．且AC＝3AF．（I）证明：AD∥平面BEF；（Ⅱ）若平面ADE⊥平面BCED，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接DC，交BE于点G，连接FG．∵在等腰梯形DBCE中，BD＝DE＝CE，BE＝2DE，∴BC∥DE，则，∵AC＝3AF，∴，∴，则AD∥FG，又AD⊄平面BEF，FG⊂平面BEF，∴AD∥平面BEF；（Ⅱ）解：取DE中点O，取BC中点H，连接AO，OH，显然AO⊥DE，又平面ADE⊥平面BCED，平面ADE∩平面BCED＝DE，∴AO⊥平面BCED，由于O、H分别为DE、BC中点，且在等腰梯形DBCE中，BC＝2DE，则OH⊥DE，故以O为原点，以OD方向为x轴，OH方向为y轴，以OA方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设BC＝2a（a＞0），可求各点坐标分别为B（a，，0），C（﹣a，，0），E（，0，0），A（0，0，）．可得，，．＝（﹣2a，0，0）+＝．设平面ABE的一个法向量为，由，令z1＝1，可得．设平面FBE的一个法向量为＝（x2，y2，z2），由，令，可得．从而cos＜＞＝＝，则二面角A﹣BE﹣F的余弦值为．19．近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工，得到数据如表：（Ⅰ）根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”，并说明理由；（Ⅱ）该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名，组成80后组，在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组①求这12 人中，80后组90后组愿意接受外派的人数各有多少？②为方便交流，在80后组、90后组中各选出3人进行交流，记在80后组中选到愿意接受外派的人数为x，在90 后组中选到愿意接受外派的人数为y，求x＜y的概率．参考数据：参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d【解答】解：（Ⅰ）由列联表中的数据，计算其观测值K2＝＝≈2.778≥2.706；所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“是否愿意接受外派与年龄有关”；（Ⅱ）①由分层抽样知80后组中，愿意接受外派人数为3，90后组中，愿意接受外派人数为4，②“x＜y”包含“x＝0，y＝1”，“x＝0，y＝2”，“x＝0，y＝3”，“x＝1，y＝2”，“x＝1，y＝3”，“x＝2，y＝3”六个互斥事件；且P（x＝0，y＝1）＝×＝，P（x＝0，y＝2）＝×＝，P（x＝0，y＝3）＝×＝，P（x＝1，y＝2）＝×＝，P（x＝1，y＝3）＝×＝，P（x＝2，y＝3）＝×＝，所以P（x＜y）＝＝．20．设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F在y轴的正半轴上，点A是抛物线上的一点，以A 为圆心，2为半径的圆与y轴相切，切点为F．（I）求抛物线的标准方程：（Ⅱ）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PQ恰与抛物线相切时，求直线m的方程．【解答】解：（Ⅰ）设所求抛物线方程为x2＝2px（p＞0），由以A为圆心，2为半径的圆与y轴相切，切点为F，所以p＝2，即该抛物线的标准方程为x2＝4y．（Ⅱ）由题知，直线m的斜率存在，不妨设直线m：y＝kx+6，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y得x2﹣4kx﹣24＝0，即 (1)抛物线在点P（）处的切线方程为，令y＝﹣1，得x＝，所以R（），而Q，F，R三点共线，所以k QF＝k FR，及F（0，1），得（）（+16x1x2＝0，整理得﹣4[（x1+x2）2﹣2x1x2]+16+16x1x2]＝0，将（1）式代入得k2＝，即k＝，故所求直线m的方程为y＝或y＝﹣．21．已知函数f（x）＝klnx﹣，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）∪（1，e）（其中e为自然对数的底数），都有（a ＞0）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝，由题意知，f′（1）＝0，∴k＝1，f′（x）＝由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝lnx﹣1+，∴+＝﹣++＝，设m（x）＝，则m′（x）＝，令n（x）＝x﹣1﹣xlnx，则n′（x）＝1﹣lnx﹣1＝﹣lnx，∴x＞1时，n′（x）＜0，∴n（x）在[1，+∞）上递减，∴n（x）≤n（1）＝0，∴x∈（1，e]时，m′（x）＜0，∴m（x）在（1，e]上是减函数，∴x∈（1，e]时，m（x）＞m（e）＝，由题意知，≤，又a＞0，∴a≥e﹣1，下证a≥e﹣1，0＜x＜1时，＞成立，即证alnx＜x﹣1成立，令φ（x）＝alnx﹣x+1，则φ′（x）＝，由a≥e﹣1，0＜x＜1，∴φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1]是增函数，∴x∈（0，1）时，φ（x）＜φ（1）＝0，∴alnx＜x﹣成立，即＞成立，∴正数a的取值范围是[e﹣1，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝sinθ+cosθ，点P的曲线C上运动．（I）若点Q在射线OP上，且|OP|•|OQ|＝4，求点Q的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设M（4，），求△MOP面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设Q（ρ，θ），P（ρ1，θ）（ρ＞0，ρ1＞0），则ρ1＝sinθ+cosθ，又|OP|•|OQ|＝4，∴ρρ1＝4，即，∴＝sinθ+cosθ，∴ρsinθ+ρcosθ＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρsinθ+ρcosθ＝4，得点Q轨迹方程为x+y＝4；（Ⅱ）设P（ρ，θ）（ρ＞0），则ρ＝cosθ+sinθ，∵M（4，），∴△MOP面积＝+sinθ）2＝，当且仅当sin2θ＝1时，取“＝”，取即可，∴△MOP面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且a2b+ab2＝2，求证：（Ⅰ）a3+b3≥2；（Ⅱ）（a+b）（a5+b5）≥4．【解答】证明：（Ⅰ）设a＞0，b＞0，且a2b+ab2＝2，∴（a3+b3）﹣2＝a3+b3﹣a2b﹣ab2＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）≥0，∴a3+b3≥2；（Ⅱ）（a+b）（a5+b5）＝a6+b6+a5b+ab5＝（a3+b3）2﹣2a3b3+a5+ab5＝（a3+b3）2﹣2a3b3+a5b+ab5＝（a3+b3）2+ab（a4﹣2a2b2+b4）＝（a3+b3）2+ab（a2﹣b2）2，∵a＞0，b＞0，a3+b3≥2，∴（a+b）（a5+b5）≥4．。
东北三省三校二模数学理试题
2018东北三省三校二模数学（理）试题第I 卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.* I1. 设是虚数单位，则复数 ■在复平面内所对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D7+i(7 卜 方-29 ' + 4i (3 25l ，所以所对应的点为h--.."5,位于第四象限，选D .2. 设集合 A-{x|x J -x-2<0}|，集合|B-{x|l<x^ 4}，则AUB ()A. (xjl <x<2jB. {x|-l < x -4}C. {x|-l < x< 1}D. {x|2 <x< 4} 【答案】A 【解析】因为|A - [xfx 1 - x - 2 <0} 〔 U ，所以?■■ ■：■ ■■ ;.^|1/< . ./；： : - 1.4；，选 B.3. 等比数列囤J 中，屯九…&，则也・|( )A.罔B. 4C. |-十|D.卜二【答案】A【解析】由等比数列性质得 i 匚【答案】C【解析】因为因为等比数列中air同号，所以M ，选A.4.已知向量紅= （l 」i ，丘=（-12），若（.药+曲， A. 0 B. C.D.【答案】C【解析】因为：扫-仁-■,： !绍, 又因为，所以上乜；•二：：L I ，选C. 5.执行如下的程序框图，若输出|T 的值为：［，则“”处可填（A .B .C .D. < - ■■:【解析】因为所以由，得时终止循环，因此，选C.2 3 4 126•将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A. 240B. 480C. 720D. 960【答案】B【解析】12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择;因此空位共有「4 + 4・2 ■ 20，所以不同坐法有20八；480,选B.7.函数二的部分图象大致是（）【答案】D【解析】当—Y时，，所以去掉A,B;K T X+ 1因为mm 匚心J’：］,所以过，因此去掉c,选D.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由解析式确定函数图象的判断技巧：（i）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复. （2）由实际情景探究函数图象•关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题.8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为"堑堵”，已知某"堑堵”的三视图如图所示,则该"堑堵”的外接球的表面积为（）【答案】B点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解•2 29. 1;是双曲线的左右焦点，过片且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点, 若.也2BF r则双曲线的离心率为（）A.二B. |舅C.孚D.【答案】B【解析】设直线方程为y ■ 乂亠c，与渐近线方程¥■ 土M联立方程组解得y B- n y A- ,因为心迅，a ab P' ba所以九y止2（° y』珥3y『•聋■工工.J+bnw-民选B.b b^a点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于口的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 设匸;上是两条不同的直线，L；卩是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若二•• ©，】：」.；、，则门"|B. 若,则一）1 rC. 若•⑴，，门丫，则皿;：D. 若|；」£,且"II” ：-，点［A：*,直线.心丄门，贝U -转【答案】C【解析】A.若I」丘, ，则:：』或•二；【解析】几何体如图，球心为O半径为- i 表面积为注,选B.B. 若|：晟，，,则D无交点，即平行或异面；C. 若卜「於■:口.，沽詁,匸胡，过作平面与分别交于直线S,t,贝V 丄勺，所以t,再根据线面平行判定定理得函^因为| :::，第匚其,所以，即I； ID. 若|；丿£，且如汕 -，点氐:"，直线7；丄门，当B在平面k内时才有权汀-乩综上选C.11.甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖•甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都;丁说: “乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（) 获奖”；丙说：“我未获奖”A.甲和乙不可能同时获奖B.丙和丁不可能同时获奖C.乙和丁不可能同时获奖D.丁和甲不可能同时获奖【答案】C【解析】若甲乙丙同时获奖，则甲丙的话错，乙丁的话对；符合题意;若甲乙丁同时获奖，则乙的话错，甲丙丁的话对；不合题意；若甲丙丁同时获奖，则丙丁的话错，甲乙的话对；符合题意；；若丙乙丁同时获奖，则甲乙丙的话错，丁的话对；不合题意；因此乙和丁不可能同时获奖，选 C.12. 已知当时，关于的方程X" 心世…【有唯一实数解，则k值所在的范围是（）kA. B. C.恰剧D.【答案】B皿刀叶、□斗xlnx + (2 -k)x xlnx+ 2x 人xlnx 卜k 口局、%-LnxT【解析】因为一-.1，所以-------------- ，令= -------------- 仪宀)，则t(x) - I)，再k x-l x-1 (x-lf令(x) - x-lnx-3(x>1) A S W - 1—>0x■? g⑷ < 0^(5) > 0- 3^ e (4$)居(拓■ 0T- x0* ]ax c-3 - 0vltiy 亠(r ” t-Ay因为关于的方程•有唯一实数解，所以齐肌十攻张（1%十2）k = fg 二------- -- = ------- -- = ----- 丄比€（4,5）,选 B.心T Xfl-1 \>_1点睛：涉聂函致的零点问趣.方程廉的个数问埋、圉数图僅交点个数问題-一般先迪独辱敬研究国数的啟调性、服大值.射也变化迨势齐•再僭助画数的大戏图彖判断零点，方程根、交点的fit况.归楸到底还提研兗函数的性质•如锻调杵、极值，然后適过数形结合的思担找到解题的思路.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ______________________________________ 设随机变量，则3丿.【答案】16【解析】试题分析：因为x-n（ak，满足二项分布，所以巩x■-»Jr M考点：1.二项分布公式；14. ____________________________________________________________________________ 已知递增的等差数列｛%｝的前三项和为M ，前三项积为10，则前10项和弓］ ________________________________ . 【答案】85 ［解析】”'-岂 *认 ■「爲匕声哆■忙:心 g ■ _乂九|二心 --:“ ■-合亠:、-_£点巧■ ■'.所以公差为 J. S |O - 10 -(-5) I -10- 9^3-85.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的 深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具， 应有意识地去应用•但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 •在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法 15.函数 在闭区间［|上的最小值是3JA 4【答案】1 竄yin(2x --)因为x,，所以N — E ［— 一 -］，因此当2貝.一■-时f(x)取最小值-4 41 3 1 6 6 3 2 2点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为 了 Km 洱-復：忙的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征. 16.设抛物线/ 昭的焦点为「过点啦:怂*|的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点 ，【答案】由题意可得抛物线的焦点F 的坐标为(1』)，准线方程为x —如图，设八凶旳)JX 也过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E ，N ，则］ 3IBF'I * + - -2,解得％ - 3°'ABCTP则锐臼曲与的面积之比;tn7Cr &【解析】.1$揪 1 +cos2x)逅 1 弟=ccsx(^5inx + —cosx) -------------------- 亠一=-sin2x —— 2x把 代入抛物线“厂：:苦，解得”■；：.= °• •直线AB 经过点与点(二-石),故直线AB 的方程为，代入抛物线方程解得-彳点睛: 在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。
【数学】黑龙江省齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟数学(理)试题含解析
齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得．选B．2. 设(为虚数单位），其中是实数，则等于（）A. 5B.C.D. 2【答案】A【解析】由，得，∴，解得，∴．选A．3. 某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）A. 68B. 72C. 76D. 80【答案】B【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是人．选B．4. 的展开式中的系数为（）A. 15B.C. 5D.【答案】C【解析】二项式展开式的通项为，故展开式中的系数为．选C．5. 已知双曲线是离心率为，左焦点为，过点与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若的面积为20，其中是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，∴，故．∴双曲线的渐近线方程为，由题意得，，∴，解得，∴，∴双曲线的方程为．选A．6. 某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可得，该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体（如图所示），其体积．7. 执行如下图的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】运行框图中的程序可得①，不满足条件，继续运行；②，不满足条件，继续运行；③，不满足条件，继续运行；④，不满足条件，继续运行；⑤，满足条件，停止运行，输出．选C．8. 等比例数列的前项和为，公比为，若则，（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】由题意得．由得，∴，∴．又，∴．选B．9. 已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】由题意得，故，∴，∴，∴，∴．∵，，∴选项A,B不正确．又，，∴选项C,不正确，选项D正确．选D．10. 已知三棱柱的六个顶点都在球的球面上，球的表面积为，平面,则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，∴．设球半径为，则由⊥平面知为外接球的直径，在中，有，又，∴，∴．∴．设点到平面的距离为，则由，得，∴，又，∴直线与平面所成角正弦值为．选C．点睛：几何法求线面角的步骤（1）找：即找出直线与平面所成的角，具体为：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线，或过斜线上一点作平面的垂线，确定垂足的位置；②连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．（2）算：根据可求得的正弦值，其中θ为线面角，h为点B到平面α的距离，l为斜线段AB的长．11. 已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，故；∵的面积为，∴，∴，又，∴∴，又，∴∴．即的取值范围为．选D．12. 已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得在上恒成立，即在上恒成立．令，则，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减．∴，∴，∴.故实数的取值范围是．选A．点睛：已知不等式恒成立求参数的取值范围时，若参数能分离，则一般采用分离参数的方法进行，将问题转化为或恒成立的形式，然后转化为求函数的最值的问题，即或，若函数的最值不存在，则用函数值域的端点值表示．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数满足条件若的最小值为,则实数__________．【答案】-2.【解析】作出不等式组表示的可行域，为如图所示的四边形，且，．由得，①当时，平移直线，结合图形得当直线经过点时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，且，由，得，符合题意.②当时，平移直线，结合图形得当直线经过点时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，且，不合题意．综上．答案：14. 若函数是偶函数时,,则满足的实数取值范围是________．【答案】(-5,4).【解析】∵函数是偶函数，且时,,∴时,单调递增，∴时,单调递减．又,∴不等式可化为,∴，∴，解得，∴实数取值范围是．答案：15. 已知平行四边形中,,,点是中点，,则_________．【答案】13.【解析】由,得，设，∴，解得．∴.答案：13点睛：给出向量，求的三种方法：(1)若两个向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出的坐标，通过坐标运算求解．16. 已知数列的前项和为,且,,时,,则的通项公式___________．....................................【答案】.【解析】由得．又，，∴．又，∴，∴，∴，∴数列是首项为3，公差为2的等差数列，∴，∴当时，，又满足上式，∴.答案：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中分别为角所对的边，已知(I)求角的大小；(Ⅱ)若,求的面积.【答案】（Ⅰ）.(Ⅱ) .【解析】试题分析：（Ⅰ）由及三角形中三角的关系可得，于是可得，故得．(Ⅱ) 在中，由余弦定理得，可得，解得．然后可求得的面积．试题解析：（Ⅰ）由及，得，，又在中 ,，，．(Ⅱ)在中，由余弦定理得，即，解得，∴的面积.18. 在四棱锥中，底面是等腰梯形,,是等边三角形，点在上.且.（I）证明:平面;(Ⅱ)若平面⊥平面,求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析.(Ⅱ)【解析】试题分析：（Ⅰ）连,交于点，连．在等腰梯形中，可得,故,又可得,故,因此,然后根据线面平行的判定可得结论成立．（Ⅱ）取中点，中点,连,可证得两两垂直，可建立空间直角坐标系．然后令设，进而确定出相关点的坐标，然后求得平面和平面的法向量，由两法向量的夹角可得二面角的余弦值．试题解析：（Ⅰ）连,交于点，连.∵在等腰梯形中，,,,,,,,又平面，平面,∴平面.（Ⅱ）取中点，中点,连,显然.又平面平面,平面平面,所以平面.由于分别为中点，且在等腰梯形中，,则．以为原点建立下图所示空间直角坐标系.设，则∴，∴，设平面的一个法向量为，可得，令，可得，则.设平面的一个法向量为，可得，令，可得，则.∴，由图形知，二面角为锐角，∴二面角的余弦值为.点睛：利用空间向量求二面角的注意点（1）建立空间直角坐标系时，要注意证明得到两两垂直的三条直线．然后确定出相应点的坐标，在此基础上求得平面的法向量．（2）求得两法向量的夹角的余弦值后，还要结合图形确定二面角是锐角还是钝角，然后才能得到所求二面角的余弦值．这一点在解题时容易忽视，解题时要注意．19. 近年来,随着科学技术迅猛发展,国内有实力的企业纷纷进行海外布局,如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头,某品牌手机公司一直默默拓展海外市场,在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工,得到数据如下表:(Ⅰ)根据调查的数据,判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”,并说明理由;(Ⅱ)该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名,组成80后组,在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组①求这12 人中,80后组90后组愿意接受外派的人数各有多少?②为方便交流,在80后组、90后组中各选出3人进行交流,记在80后组中选到愿意接受外派的人数为,在90 后组中选到愿意接受外派的人数为,求的概率.参考数据:参考公式:，其中【答案】（Ⅰ）在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关”. (Ⅱ) ①4. ②.【解析】试题分析：（Ⅰ）由列联表中的数据可得,故可得在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关” （Ⅱ）①由分层抽样知80后组中，愿意接受外派人数为3，在90后组中，愿意接受外派人数为4．②结合题意得到“”的各种情形，分别求的概率后根据互斥事件的概率公式可得结果．试题解析：（Ⅰ）由列联表可得，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关”.（Ⅱ）①由分层抽样知80后组中，愿意接受外派人数为3，在90后组中，愿意接受外派人数为4．②“”包含“”，“”，“”，“”，“”，“”六种情况.且，，，，，．∴．即的概率为．20. 设抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴的正半轴上,点是抛物线上的一点，以为圆心,2为半径的圆与轴相切,切点为.(I)求抛物线的标准方程:(Ⅱ)设直线在轴上的截距为6,且与抛物线交于,两点,连接并延长交抛物线的准线于点,当直线恰与抛物线相切时,求直线的方程.【答案】（Ⅰ）.(Ⅱ) 直线的方程为或.【解析】试题分析：（Ⅰ）设抛物线方程为，由以为圆心，2为半径的圆与轴相切，切点为，可得，故所求方程为．（Ⅱ）由题意设出直线的方程为，并设，由导数的几何意义可得抛物线在点处的切线方程为，令，可得．根据三点共线得，整理得，然后结合根与系数的关系可解得，于是可得直线的方程．试题解析：（Ⅰ）设抛物线方程为，∵以为圆心，2为半径的圆与轴相切，切点为，∴，∴该抛物线的标准方程为.（Ⅱ）由题知直线的斜率存在，设其方程为，由消取整理得，显然，．设，则.抛物线在点处的切线方程为，令，得，可得点，由三点共线得，∴，即，整理得,∴解得，即，∴所求直线的方程为或.点睛：（1）求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为，这样就减少了不必要的讨论．（2）对于开口向上（或向下）的抛物线，在求其切线方程时要结合导数的几何意义进行，可减少大量的计算，提高解题的速度．21. 已知函数,且曲线在点处的切线与轴垂直.(I)求函数的单调区间;(Ⅱ)若对任意(其中为自然对数的底数),都有恒成立,求的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调减区间为，单调增区间为.(Ⅱ) .【解析】试题分析：（Ⅰ）由导数的几何意义及条件可得，解得．然后由导函数大于（小于）零可得函数的单调区间．(Ⅱ)由（Ⅰ）可得，令，结合导数可得时，单调递减，故．由，可得．然后再验证当时，成立即可．本题也可分为和两种情况分别求出的取值范围，然后取其并集即可．试题解析：（Ⅰ）的定义域为，∵，定义域为，∴．由题意知，解得,∴，由，解得；由，解得，的单调减区间为，单调增区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．法一：设，则，令，则，时，，故在上单调递减，，时，，单调递减，时，，由题意知，又.下面证明当时，成立，即证成立，令，则，由，得在是增函数，时，，成立，即成立，故正数的取值范围是.法二：①当时，可化为，令，则问题转化为证明对任意恒成立. 又，令，得，令，得，∴函数在上单调递增，在上单调递减.当时，下面验证.设，则.所以在上单调递减，所以.即.故此时不满足对任意恒成立；当时，函数在上单调递增.故对任意恒成立，故符合题意.综合,得.②当时，，则问题转化为证明对任意恒成立.又，令得；令，得，∴函数在上单调递增，在上单调递减.当时，在上是增函数，所以当时，在上单调递增，在上单调递减，所以只需，即当时，在上单调递减，则需.因为不符合题意.综合可得.由①②得正数的取值范围是．点睛：（1）解答导数综合题时要注意转化思想方法在解题中的灵活利用，要善于将复杂的问题进行转化，化为简单易处理的问题解决．如把函数恒成立的问题转化为求函数的最值的问题处理，把函数单调性的问题化为不等式的问题解决等．（2）解题时对于含有参数的问题要注意分类讨论的运用，通过合理的分类将问题的解决逐步分解，但在对参数的分类时要做到分类合理、不重不漏．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的曲线上运动.(I)若点在射线上,且,求点的轨迹的直角坐标方程;(Ⅱ)设,求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）.(Ⅱ) .【解析】试题分析：（Ⅰ）设，则，由题意得，从而，故，化为直角坐标方程可得．(Ⅱ) 设，则运用极坐标求解可得，可得最大值为．本题也可用直角坐标方程求解．试题解析：（Ⅰ）设，则，又,,,，．将代入上式可得点的直角坐标方程为．（Ⅱ）设，则，的面积，当且仅当，即时等号成立面积的最大值为．（用直角坐标方程求解，参照给分）23. 选修4-5：不等式选讲设，且，求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）见解析.(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）用作差比较法证明即可．（Ⅱ）将条件变形得，然后根据及可得结论成立．试题解析：（Ⅰ），，.（Ⅱ），.2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ，则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--， ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ，由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ，令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ， 则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ， 当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）x a x y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a ，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+= 对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立， 令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xa x x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立， 所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞.（3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x a x a x x -<+， 整理得01ln 000<++-x a x a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--= 因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a a a （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=e a a e e m 解得112-+>e e a . 综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b .（2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ，∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x 解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ，故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立 ⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。
2018年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科)
2018年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在本小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数z=(1−i)(2−i)，则它的共轭复数z的虚部为（）A.3iB.−3iC.3D.−3【答案】C【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵z=(1−i)(2−i)=1−3i，∴z=1+3i．∴z的虚部为（3）2. 已知集合A={x|y=log2(1−x)}，B={y|y=2x, x∈R}，则A∩B=()A.⌀B.(0, 1)C.(0, +∞)D.(1, +∞)【答案】B【考点】交集及其运算【解析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】A={x|x<1}，B={y|y>0}；∴A∩B=(0, 1)．3. 已知数列{a n}为等差数列，S n是它的前n项和，若S4=20，a4=8，则S8=()A.52B.72C.56D.64【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=20，a4=8，∴4a1+4×3d=20，a1+3d=(8)2联立解得a1=d=(2)×2=7(2)则S8=8×2+8×724. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）A.72B.66C.60D.30【答案】 A【考点】由三视图求体积 【解析】本题主要考查三视围及空间几何体的表面积． 【解答】解：由三视图可知{x +y −2=3,x −y +3=2y,解得{x =3,y =2,结合题意可知该几何体是一个直三棱柱，且直三棱柱的底面是以3，4为直角边的直角三角形，直三棱柱的高为5，又底面直角三角形的周长为3+4+5=12，所以S 侧面=12×5=60，又S 底面=2×12×3×4=12，故该几何体的表面积S =60+12=72．故选A ．5. 已知向量a →=(−1, 3)，b →=(2, m)，则“m =−1”是“b →⊥(a →+b →)”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】由b →⊥(a →+b →)”，可得b →⋅(a →+b →)=2+m(3+m)=0，解得m ，即可判断出结论． 【解答】a →+b →=(1, 3+m)．∵ b →⊥(a →+b →)”，∴ b →⋅(a →+b →)=2+m(3+m)=0，解得m =−1或−(2)∴ “m =−1”是“b →⊥(a →+b →)”的充分不必要条件．6. (1−x)6(1−2x)4=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 10x 10，则a 0+a 1+．……+a 10的值为（ ） A.0 B.2 C.−1 D.1 【答案】 A【考点】二项展开式的特定项与特定系数 二项式系数的性质 【解析】在已知二项式定理中，取x =1，即可求得a 0+a 1+……+a 10的值． 【解答】在(1−x)6(1−2x)4=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 10x 10中， 取x =1，可得a 0+a 1+……+a 10=(0)7. 已知α∈(π, 3π2)，sinα=−√55，则tan(α+π4)的值为（ ）A.32B.−32C.3D.−3【答案】 C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角和的正切公式求得tan(α+π4)的值． 【解答】 ∵ α∈(π,3π2)，sinα=−√55，∴ cosα=−√1−sin 2α=−2√55，tanα=sinαcosα=12， 则tan(α+π4)=tanα+11−tanα=3，8. 已知直线ax +by +c −2=0(b >0, c >0)经过双曲线：y 2−x 24=1的上顶点，则4b +1c 的最小值是（ ）A.92B.4C.72D.2【答案】 A双曲线的特性 【解析】利用双曲线的简单性质，写出b 、c 的关系，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可． 【解答】直线ax +by +c −2=0(b >0, c >0)经过双曲线：y 2−x 24=1的上顶点，可得b +c =2，则4b+1c=12(4b+1c)(b +c)=12(5+4c b+b c)≥12(5+2√4c b×b c)=92，当且仅当b =2c 时，等号成立．9. 在如图的程序框图中，任意输入一次x(0≤x ≤2)与y(0≤y ≤2)，则输出“恭喜中奖”的概率为（ ）A.π2B.π4C.π6D.π8【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】根据程序框图转化为几何概型进行计算即可． 【解答】由程序框图知{0≤x ≤20≤y ≤2 ，求y ≤√1−(x −1)2的概率， 作出对应的图象如图： 则对应的概率P =π×1222×2=π8，10. 已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，过右焦点F(2, 0)且在y 轴上的截距为−2的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，以OA 和OB 为邻边作平行四边形OBCA ，其中OC |OC →|=(2√55,−√55)，则椭圆E 的方程为（ ） A.x 212+y 28=1 B.x 25+y 2=1 C.x 26+y 22=1D.x 28+y 24=1D【考点】 椭圆的定义 【解析】设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．直线l 的方程为：y =x −(2)联立{y =x −2x 2a 2+y 2b 2=1，化为：(a 2+b 2)x 2−4a 2x +4a 2−a 2b 2=0，由以OA 和OB 为邻边作平行四边形OBCA ，其中OC |OC →|=(2√55,−√55)，可得OC →=OA →+OB →=(x 1+x 2, y 1+y 2)=(4a 2a 2+b2,−4b 2a 2+b 2)．可得a 2=2b 2，又a 2−b 2=4，联立解得．【解答】设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 直线l 的方程为：y =0−(−2)2−0x −2，化为：y =x −(2)联立{y =x −2x 2a 2+y 2b 2=1，化为：(a 2+b 2)x 2−4a 2x +4a 2−a 2b 2=0，△>0，x 1+x 2=4a 2a 2+b 2，∴ y 1+y 2=x 1+x 2−4，∵ 以OA 和OB 为邻边作平行四边形OBCA ，其中OC |OC →|=(2√55,−√55)， ∴ OC →=OA →+OB →=(x 1+x 2, y 1+y 2)=(4a 2a 2+b 2,−4b 2a 2+b 2)． ∴ a 2=2b 2，又a 2−b 2=4， 解得b 2=4，a 2=(8) ∴ 椭圆的标准方程为：x 28+y 24=(1)故选：D ．11. 甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试．当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”．如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】 B【考点】进行简单的合情推理 【解析】本题主要考查逻辑推理，考查的核心素养是逻辑推理． 【解答】解：若是甲申请了，则甲、乙、丙、丁四人说的都是错的，不符合题意；若是乙申请了，则甲、乙两人说的都是错的，丙、丁两人说的都是对的，符合题意；若是丙申请了，则甲、乙、丙三人说的都是对的，只有丁一人说的是错的，不符合题意；若是丁申请了，则只有甲一人说的是对的，乙、丙、丁三人说的都是错的，不符合题意．综上可知，选B．故选B．12. 函数f(x)=x+e x|x|−e x的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】分类讨论，当x≥0时，根据函数的零点存在定理，可以判断f(x)在[0, +∞)有唯一的零点，再根据导数和函数的最值可以判断f(x)在(−∞, 0)上无零点，即可得到答案．【解答】当x≥0时，f(x)=x+xe x−e x，则f′(x)=1+e x+xe x−e x=1+xe x>0恒成立，∴f(x)在[0, +∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)=0+0−1=−1，∵f(1)=1>0，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)在[0, +∞)有唯一的零点，当x<0时，f(x)=x−xe x−e x，则f′(x)=1−e x−xe x−e x=1−e x(2+x)，设g(x)=1−e x(2+x)，∴g′(x)=−e x(x+3)，令g′(x)=0，解得x=−3，当x∈(−∞, −3)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x∈(−3, 0)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递增减，∴g(x)max=g(−3)=1+e−3>0，∵g(0)=−1，当x→−∞时，g(x)→1，g(−1)=1−1>0e∴存在x0∈(−1, 0)使得g(x0)=0，即1−e x0(2+x0)=0，当x∈(−∞, x0)时，f′(x)=g(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(x0, 0)时，f′(x)=g(x)<0，函数f(x)单调递减，∴f(x)max=f(x0)=x0−x0e x0−e x0=x0−x0+1<0，x0+2∴f(x)在(−∞, 0)上无零点，综上所述，f(x)在R上有唯一的零点，故选：B．二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。