2020年高考数学一轮复习：第51课__简单的轨迹方程

第51课 简单的轨迹方程

1. 了解曲线与方程的对应关系.

2. 了解求轨迹方程的一些常见方法：定义法、直接法、相关点法，并能学会运用这些方法求简单轨迹(方程).

1. 阅读：选修21教材第60～65页.

2. 解悟：①求曲线方程的一般步骤是什么？你能用流程图表示出来吗？②建立圆、椭圆、双曲线、抛物线方程的过程，查看教材相应内容；③求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么.

3. 践习：在教材空白处，完成选修21第64页练习1，2.

基础诊断

1. 已知点P(x ，y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(x ＋y ，xy)的轨迹方程为 y 22

解析：因为点P(x ，y)在以原点为圆心的单位圆上，所以x 2＋y 2＝1.设点Q(x 0，y 0)＝(x

＋y ，xy)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋y ，y 0＝xy ，

所以x 20＝x 2＋2xy ＋y 2＝1＋2y 0，即点Q 的轨迹方程为y ＝12x 2－12.因为⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≤

x 2＋y 22＝2

2

，所以x ＋y ∈[－2，2]，即x 0∈[－2，2]，所以点Q 的轨迹方程为y ＝12x 2－1

2

，x ∈[－2，2].

2. 两条直线x －my －1＝0与mx ＋y －1＝0的交点的轨迹方程是 x 2＋y 2－x －y ＝0(x 2

＋y 2≠0) .

解析：设交点坐标为(a ，b)，则坐标满足方程组⎩

⎪⎨⎪⎧a －bm －1＝0，

am ＋b －1＝0，解得

⎩⎨⎧m ＝

a －1

b

，m ＝1－b a ，

即a －1

b

＝1－b a

，则a 2＋b 2－a －b ＝0，故交点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y ＝0(x 2＋y 2≠0).

3. 若分别过点A 1(－1，0)，A 2(1，0)作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是 x 2＋y 2＝1 Ｗ.

解析：交点M 的轨迹是以A 1A 2为直径的圆，所以圆心为(0，0)，半径为1，轨迹方程为x 2＋y 2＝1.

4. 若动圆M 过点P(0，2)且与直线y ＝－2相切，则圆心M 的轨迹方程是 x 2＝8y . 解析：根据题意动圆的圆心M 到点P(0，2)与到直线y ＝－2的距离相等，则M 的轨迹为以P(0，2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，则其轨迹方程为x 2＝8y.

范例导航

考向❶ 直接法求轨迹方程

例1 已知线段AB 长为2，动点M 到A ，B 两点的距离的平方和为10，求点M 的轨迹方程.

解析：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 则点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(1，0). 设动点M 的坐标为(x ，y)，

因为动点M 到A ，B 两点的距离的平方和为10，

所以MA 2＋MB 2＝10，所以(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝10， 化简得x 2＋y 2＝4.

在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A(－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－1

3

，求动点P 的轨迹方程.

解析：因为点B 与点A(－1，1)关于原点O 对称， 所以点B 的坐标为(1，－1). 设点P 的坐标为(x ，y).

因为直线AP 与BP 的斜率之积等于－1

3，

所以y －1x ＋1·y ＋1x －1

＝－13(x ≠±1)，

化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1).

故所求动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1). 考向❷ 相关点法求轨迹方程

例2 已知B 是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1上的动点，A(2a ，0)为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方

程.

解析：设动点M 的坐标为(x ，y)，设点B 的坐标为(x 0，y 0)， 由M 为线段AB 的中点，得⎩⎨⎧x 0＋2a

2

＝x ，y 0

＋0

2＝y ，

所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2a ，y 0

＝2y ， 即点B 的坐标为(2x －2a ，2y).

又B 是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1上的动点，

所以x 20a 2＋y 20

b 2＝1， 将点B 的坐标为(2x －2a ，2y)代入得（2x －2a ）2a 2＋（2y ）2b 2

＝1，整理

得点M 的轨迹方程为4（x －a ）2a 2＋4y 2

b

2＝1.

如图，设λ>0，点A 的坐标为(1，1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，且满足BQ →＝λQA →

，

经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →

，求点P 的轨迹方程.

解析：由QM →＝λMP →

知，Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P(x ，y)，Q(x ，y 0)，M(x ，x 2)，

则x 2－y 0＝λ(y －x 2)， 所以y 0＝(1＋λ)x 2－λy. ①

设点B(x 1，y 1)， 由BQ →＝λQA →

得(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x ，1－y 0)，

从而⎩

⎪⎨⎪⎧x 1＝（1＋λ）x －λ，y 1＝（1＋λ）y 0－λ. ②

将①式代入②式，消去y 0，得

⎩

⎪⎨⎪⎧x 1＝（1＋λ）x －λ，y 1＝（1＋λ）2x 2

－λ（1＋λ）y －λ.③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，将③式代入得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，

化简整理得2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0， 又λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.

自测反馈

1. 已知定点A(3，0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆P 与圆C 相外切，并且过点A ，则动圆圆心P 的轨迹方程为 x 24－y 2

5

＝1(x ≥2) .

解析：设点P 的坐标为(x ，y).因为圆C 与圆P 相外切且圆P 过点A ，所以PC －PA ＝4.因为AC ＝6>4，所以点P 的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的右支.因为a ＝2，c ＝3，所以b 2

＝c 2

－a 2

＝5，所以动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 2

5

＝1(x ≥2).

2. 设F(1，0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →

，当点P 在y 轴上运动时，则点N 的轨迹方程为 y 2＝4x .

解析：设点M(m ，0)，P(0，n)，N(x ，y)，由MN →＝2MP →

得(x －m ，y)＝2(－m ，n)，则

⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＝－2m ，

y ＝2n ，解得⎩

⎪⎨⎪⎧m ＝－x ，

n ＝y 2

.

又因为PM →⊥PF →，PM →＝(m ，－n)，PF →

＝(1，－n)，所以m ＋