2015届高考数学总复习第七章 第十一节轨迹方程的求法精讲课件 文
高考数学总复习 第七章 第十一节轨迹方程的求法课件 理
(2)求曲线轨迹方程应注意(zhù yì)的问题． ①要注意(zhù yì)一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方 程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性； ②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性； ③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出 方程，而且要指明曲线的位置、类型．
在直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，如果某曲线C(看作满足 某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的 实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲 线．
A. x2+y2=1
4
B. -xy22=1
4 C. x2+y2=1(x¹±2)
D. -yx422=1(x¹±2)
4
4
解析：依题意有 kPA·kPB＝14，即x＋y 2·x－y 2＝14(x≠±2)，整
理得x42－y2＝1(x≠±2)．故选 D.
答案：D
第十二页，共48页。
考点
用定义(dìngyì)法求点的轨迹方程
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理： 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)，
又|AR|=|PR|= x-42+y2，
所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2)， 即x2+y2-4x-10=0， 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的 轨迹上运动． 设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，
点M的轨迹．
《轨迹方程的求法》课件
THANKS
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05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
2015高考数学一轮总复习课件：9.70 轨迹与轨迹方程的求法
(2)根据抛物线的定义，到直线 x＝－1 的离等于
到点
C(1，0)的距离的点都在抛物线
y2＝2px
上，其中p 2
＝1，∴p＝2，故抛物线方程为 y2＝4x.
由方程组yx22＝－4xx＋，y2＝4，得 x2＋3x－4＝0， 解得 x1＝1，x2＝－4，由于 x≥0，故取 x＝1，此 时 y＝±2.
y)满足 x2＋y2＝1，∴x02－2y0＝1，即 y0＝12x02－12，故 所求轨迹为抛物线．
第四页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
3．已知点 M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆 C 与直线
MN 切于点 B，过 M、N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P，则 P
点的轨迹方程为( C )
A.x92＋y42＝1 B.y92＋x42＝1 C.x92－y42＝1 D.y92－x42＝1
第六页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
【解析】由已知 A1(－3，0)，A2(3，0)，设 P1(x1，y1)，则 P2(x1，－y1)，A1P1 与 A2P2 的交点为 P(x，y)，则x912＋y412＝1，
第 70 讲 轨迹与轨迹方程的求法
第一页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
【学习目标】 1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法． 3．能熟练地运用直接法、定义法、代数法、参数 法等方法求曲线的轨迹方程．
第二页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
第十页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
一、直接法及应用
例1已知点 C(1，0)，点 A、B 是⊙O：x2＋y2＝9 上任意两个不同的点，且满足A→C·B→C＝0，设 P 为弦 AB 的中点．
高中数学-学生-轨迹方程的求法
例1.已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆的焦距等于 ，它的一条弦所在的直线方程是 ，若此弦的中点坐标为 ，求椭圆的方程。
例2已知点 动点 满足条件 ,记动点 的轨迹为 。（1）求 的方程。（2）若 是 上的不同两点， 是坐标原点，求 的最小值。
例3如图,矩形ABCD中, ,以AB边所在的直线为x轴,AB的中点为原点建立直角坐标系,P是x轴上方一点,使PC、PD与线段AB分别交于 、 两点,且 成等比数列,求动点P的轨迹方程
(1)求 两点的横坐标之积和坐标之积；（2）求证：直线 过定点；
（3）求弦 中点 的轨迹方程；（4）求 面积的最小值。
4.设过点 的直线分别与 轴和 轴的正半轴交于 两点，点 与点 关于 轴对称。若 ,且 ,求点 的轨迹方程。
巩固练习
1.已知抛物线 的内接三角形 的垂心在此抛物线的焦点 上， 的面积等于 ，求此抛物线的方程。
（3）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；
（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可
（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。
2.已知双曲线C的两条渐近线经过原点，并且与圆 相切，双曲线 的一个顶点 的坐标是
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知直线 ，在双曲线 的上支求点 ，使点 与直线 的距离等于 。
3.已知抛物线 的顶点在原点，它的准线 经过双曲线 的焦点，且准线 与双曲线 交于 和 两点，求抛物线 和双曲线 的方程。
求曲线的轨迹方程.ppt
解答: 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:____ • 设中点Q(x,y),P(x0,y0),则
x0=2x,y0 =2y+1, 代入y0 =2x02+1得: y=4x2
lity
小
结
• 正确地求曲线得轨迹方程, • 一要熟练的掌握求曲线方程的基本步骤, • 二要记住解题的4条注意事项,对自己的
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
y 2 =12x
[解法二] 定义法 如图，作直线 n：x = -3 m n
y
P（x，y） x
A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是 以A 为焦点，以n 为准线的抛物线。
lity
练习2
• 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:
• ____y_=__4_x_2 ______. • 2.已知三角形三顶点坐标为A(-3,0),B(3,0),
C(0,2),则三角形的AB边中线的方程是: _x_=_0__(0_≤_y_≤_2_)___ • 已知M(1,0),N(-1,0),若kpmkpn=-1,则动点p的 轨迹方程为:_x_2_+_y_2=_1_(_x_≠_±__1_)_
设抛物线：y2 = 2px ，p>0 ,将点M代入解得 p = 4
故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0)
lity
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
轨迹方程的求法PPT课件11 通用
y1 y2 1 x1 x2
所以直线ＡＢ的方程为 y1(x2)
· 轨迹方程的求法
即：y x3
将 y x3代入椭圆方程得: 3 x2 1 2 x 1 8 2 b 2 0 ∵直线与椭圆相交 ∴△﹥0，得b2﹥3
由 A B 2x 1 x 224 2 4 (1 8 3 2 b 2 ) 22 3 0
3
3
y2 6x
已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设
条件确定其系数即可。
例4：已知圆C1的方程为(x2)2(y1)2
20 3
，椭圆C2的方程为ax
2 2
y2 b2
1
（a>b>c），C2离心率为 2 ，若C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰好 2
为圆C1的直径，求直径AB的方程和椭圆C2的方程。
出动点的轨迹方程。
例2：已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，以y轴为右准线，
且过点A（1，2），求此双曲线右焦点F的轨迹方程。
分析：由已知条件得a、b、c之间的关系，再加上隐含条件c2＝a2＋b2得
到双曲线的离心率，最后由双曲线的定义得到动点坐标之间的关系式，化
简得到动点轨迹方程。
解：设F（x，y），∵2a＝b＋c，c2＝a2＋b2
解：设Q点坐标为（1+cosθ，sinθ），
∵P（x，y）的坐标为
x 1 cos 2
消去θ得
y sin
2
(x1)2y21x
2
4
六、交轨法 是两条已知曲线f1(x，y) = 0，f2(x，y) = 0联立，
解出两曲线交点，然后寻找交点横、纵坐标之间的关系式。
例6：如图，F1，2是双曲线
x2 3
∵k≠0，∴动点P的轨迹方程为 x2 y2 1(x2)
2015高考总复习数学(文)课件：12.4 轨迹与方程
3．已知ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|
(x－10)2＋y2＝36(y≠0) ． ＝3，则顶点 A 的轨迹方程为____________________
4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线关于 x 轴对称， y2＝8x 顶点在原点 O，且过点 P(2,4)，则该抛物线的方程是________. 5．动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x＋2＝0 的距离相
考点 2
利用定义法求轨迹方程3)2＋y2＝9，
动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：如图D25，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和 点B，根据两圆外切的充要条件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|， 所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.
解：设点 P 的坐标为(x，y)，A 的坐标为(x0，y0)．
2 因为点 A 在圆 x2＋y2＝16 上，有 x2 0＋y0＝16.
x＝8＋x0， 2 又因为 P 为 MA 的中点， 有 0＋y0 y＝ 2 . 代入圆的方程，得(2x－8)2＋(2y)2＝16， 化简得(x－4)2＋y2＝4 为所求．
图 D26
(2)如图 D26，||MP|－|FP||≤|MF|＝2， 当且仅当 P 为直线 MF 与双曲线的位于线段 MF 的延长线 上的那个交点处时，等号成立．
直线 MF 的方程为 2x＋y－2
5＝0.
将直线方程代入双曲线方程中并整理，得 (3 5x－14)( 5x－6)＝0. 14 6 18 14 ，x2＝ ＝ > . 5 5 3 5 3 5
轨迹方程的求法PPT教学课件
的性质可得 : y0 1 1 , y0 1 2. x0 m,x0 Nhomakorabea22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '( x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m )2 5
4( 2m 5
3)2
4,
整理得2m m 3 0解得m 1或m 3 2
点P的轨迹方程为y 2x 1或y 2x 3 , 2
刷油漆
镀铬
涂油
一.防止金属的腐蚀 二.回收利用废旧金属
三.合理有效开采矿物 四.寻找金属的代用品
P
引直线x y 2的垂线,垂足为N . Q
求线段QN的中点P的轨迹方程.
O
x
人类生活离不开金属
金属元素在自然界中的存在
金属元素在自然界中分布很广，极少数不活泼的
金属（如金、银等）以单质形式存在；
金属元素在地壳中的含量
元素名称 质量分数/% 元素名称 质量分数/%
铝（Al）
7.73
镁（Mg）
例1.如图,已知动圆过定点(1, 0), 且与直线x 1相切。求 动圆圆心轨迹C的方程.
练习：
1.如图,已知定点A(2, 0),定圆 M : ( x 2)2 y2 25, P是M上 的动点, 线段AP的中垂线与MP 交于Q , 求Q的轨迹.
y P
Q MO A
x
2.矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，AD边所在直线的方程 为3x+y+2=0. （1）求矩形ABCD外接圆的方程； （2）若动圆P过点N（-2，0）， 且与矩形ABCD的外接圆外切， 求动圆P的圆心的轨迹方程.
高中数学课件-求轨迹方程
④化简：把方程化成最简形式
⑤证明：证明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上 建系设点---列方程---化简---审查
3.求轨迹方程的常用方法(坐标法)： ⑴直接法(直译法) ⑵定义法 ⑶相关点法(代入法) ⑷参数法 ⑸交轨法
例1.已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0)距离之比为 1
的点的轨迹，求此曲线的方程 2
当 k 1时，点P轨迹方程为 x 1，轨迹为线段OA的中垂线
当k
1 时，点P轨迹方程为
(x
k22k21)2
y2
(k
4k 2 2 1)2
2k 2 轨迹为以点 ( k 2 1,0)
为圆心， 2k k2 1
为半径的圆
阿氏圆
.P
.
O
Ax
例2.已知圆 O：x2 y2 4 和定点A(6,0),点B为圆C上一
动点，求线段AB的中点P的轨迹方程
解法2：取OA的中点Q，连接OB,PQ，因为P为AB的中点
所以PQ为△OAB的中位线 PQ 1 OB 1
定
2 所以点P的轨迹为以Q为圆心，1为半径的圆
义
其方程为 (x 3)2 y2 1
解：(直译法) 设点P(x,y)为所求轨迹上任意一点，则
x2 y2 1 (x 1)2 y2 4 (x 3)2 y2 2
所求曲线的方程为(x 1)2 y2 4
y
M.(x,y)
.
(-1,0) O
A. (3,0)
x
例2.已知圆 O：x2 y2 4 和定点A(6,0),点B为圆C上一
轨迹方程指出轨迹的形状，位置等特征
1.轨迹和轨迹方程的概念：平面上一动点M按一定规则 运动形成的曲线叫做动点M的轨迹，在平面直角坐标系
2015届高考数学基础知识总复习精讲课件：第7章 第11节 轨迹方程的求法
高考总复习•数学（理科） 点评：利用题设条件建立动点坐标x与y的关系，再等价变形
得到轨迹方程F(x，y)＝0.
第四页，编辑于星期五：十点 八分。
高考总复习•数学（理科）
变式探究
1．(2012·襄阳调研)平面内动点 P(x，y)与 A(－2，0)，B(2,0) 两点连线的斜率之积为41，则动点 P 的轨迹方程为( )
曲线，则可以由该曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
第十页，编辑于星期五：十点 八分。
高考总复习•数学（理科） 变式探究 2．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|
的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．
解析：由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知： |PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|， 故动点 P 的轨迹是以定点 F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点， 长轴长为 4 的椭圆，故其方程为x42＋y32＝1. 答案：x42＋y32＝1
高考总复习•数学（理科）
变式探究
3．M是抛物线y2＝x上一动点，以OM为一边(O为原点)，作正方 形MNPO，求动点P的轨迹方程．
解析：设动点 P(x，y)，M(x0，y0)， 因为正方形 MNPO，所以|OM|＝|OP|，OP⊥OM.
x20＋y20＝ x2＋y2， ①
所以有yx·yx00＝－1.
第十四页，编辑于星期五：十点 八分。
高考总复习•数学（理科） 点评：相关点代入法(代入转移法)：动点P(x，y)依
赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在 某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将 x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．
高三数学轨迹方程PPT课件
活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方
程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后
第21页/共29页
4. 点Q为双曲线x2-4y2=16上任意一点，定点A(0，4)， 求内分AQ所成比为12的点P
【解题回顾】此题中动点 P(x,y)是随着动点Q(x1 ,y1) 的运动而运动的，而Q点 在已知曲线C上，因此只
要将x1，y1用x、y表示后
代入曲线C方程中，即可得P点的轨迹方程.这种求 轨迹的方法称为相关点法(又称代入法).
用中点坐标来表示，这种方法在解有关弦中点问题时
较为简便，但是要注意这样的弦的存在性
第24页/共29页
7. 过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA，OB， 求抛物线顶点O在AB上的射影M的轨迹方程.
【解题回顾】本题由题设OM⊥AB、
OA⊥OB及作差法求直线AB的斜率， 来寻找各参数间关系，利用代换及整体性将参数消去 从而获得M点的轨迹方程.
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆 锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹 方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨 迹方程。
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3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
第5页/共29页
常见轨迹方程的求法
动点轨迹方程的常见求法一、待定系数法；它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。
其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。
例1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。
求椭圆和双曲线的方程。
解：如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上，那么可设椭圆方程为22a x +22by = 1，双曲线的方程为22mx －22n y = 1。
Θ2c = 213 , ∴c = 13 .Θa – m = 4 , m c : n c = 73 , ∴a = 7 , m = 3 . Θ b 2 = a 2－c 2 = 36 , n 2 = c 2－ m 2 =4 .∴椭圆方程为492x +362y = 1，双曲线的方程为92x －42y = 1 ； 如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上，同理可得：∴椭圆方程为492y +362x = 1，双曲线的方程为92y －42x = 1 。
二、直译解析法；该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。
它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。
例2、已知两定点A 、B ，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB 成立的动点P 的轨迹方程。
解： 以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立直角坐标系如右图： 则B 点坐标为(3, 0)，设P 点坐标为(x, y),∠PAB = α , 则∠PBA =2αΘ3-x y = K PB = tg(π－2α) = - tg2α =αα212tg tg -- = 2)(1)(2xy x y -- = 222y x xy -- ∴y = 0 (0<x<3) 或31-x = 222y x x --， 即y = 0 (0<x<3) 或（x －1）2－32y = 1 (x ≥2)。
【高中数学课件】轨迹方程的求法
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yp|
易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3
即yp= ±3，将它代入抛物线方程得
故所求P点坐标为
（
9 8
，3
）h 和（
9
x89 p，= -8 3 ）
它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
（2）分析：如图 椭圆、双曲线的右顶点距离为|a-m|，
P为抛物线上的一点， 三角形的高为|yp|，
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yhp|y源自P（x，y） • x•A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是以 A 为焦点，以 n 为准线的抛物线。
h
20
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
a= 12+8 2= 4(3+2 2) =2 3+2 2
高考数学难点：轨迹方程的求法
高考数学难点：轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.●难点磁场(★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.●案例探究［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦ ⑥代入④，得yxy y p -=+214⑧⑥代入⑤，得pyx y y x x y y y y p442111121--=--=+ 所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b由OM ⊥AB ，得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0所以x 1x 2=22kb ,消x ,得ky 2－4py +4pb =0① ② ③ ④ ⑤所以y 1y 2=kpb4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以k pk4=－22kb ,b =－4kp故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y二、填空题3.(★★★★)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.(★★★★★)已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.(★★★★★)已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案难点磁场解：建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0). 设M (x ,y ）是轨迹上任意一点.则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以 (－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a ,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2. 即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
高中高考轨迹方程的求法总结
轨迹方程的求法【方法介绍】方法一:直接法课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标),(y x 后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x 、y 的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。
例题1等腰三角形的顶点为)2,4(A ，底边一个端点是)5,3(B ，求另一个端点C 的轨迹方程。
练习一1.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅→→。
求点P 的轨迹方程。
2. 线段AB 的长等于2a,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？3.动点P （x,y ）到两定点)0,3(-A 和)0,3(B 的距离的比等于2（即：2=PB PA ）。
求动点P 的轨迹方程？4.动点P 到一高为h 的等边△ABC 两顶点A 、B 的距离的平方和等于它到顶点C 的距离平方，求点P 的轨迹？5.点P 与一定点)0,2(F 的距离和它到一定直线8=x 的距离的比是2:1。
求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
6.已知)0,4(P 是圆3622=+y x 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足△APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程。
7.过原点作直线l 和抛物线642+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
方法二：相关点法 利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例题2已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在X 、Y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM : MB=1 : 2，求动点M 的轨迹方程。
练习二1.已知点)(00，y x P 在圆122=+y x 上运动，求点M ),2(0y x 的轨迹方程。
2015届高考数学总复习 第七章 第十一节轨迹方程的求法课时精练 理
第十一节 轨迹方程的求法1．已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足PA →²PB →＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线解析：设点P (x ，y )，则PA →＝(1－x,1－y )，PB →＝(－1－x ，－1－y )， ∴PA →²PB →＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )²(－1－y )＝x 2＋y 2－2. 由已知x 2＋y 2－2＝x 22，即x 24＋y 22＝1，∴点P 的轨迹为椭圆．故选B. 答案：B2．如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分解析：连接PC 1，即为P 到直线C 1D 1的距离．根据题意，在平面BB 1C 1C 内点P 到定点C 1的距离等于到定直线BC 的距离，符合抛物线定义，轨迹两个端点分别为B 1及CC 1的中点，所以P 点的轨迹为抛物线的一部分．答案：D3．(2013²武汉模拟)长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9.①又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②将②代入①式整理可得x 2＋y 24＝1.故选C.答案：C4．以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)．设抛物线方程为y 2＝2p 1x 或x 2＝－2p 2y ，则(－3)2＝2p 1或1＝6p 2，∴2p 1＝9或2p 2＝13.∴抛物线方程为y 2＝9x 或x 2＝－13y ，即y 2＝9x 或y ＝－3x 2.故选D.答案：D5．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0)B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)解析：由已知得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设G 1(x ，y )，P (x 1，y 1)，因为G 是△PF 1F 2的重心，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋x 13，y ＝0＋0＋y 13(y 1≠0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝3y ，代入椭圆方程整理得9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．故选C.答案：C6．(2013²苏州质检)已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1) B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0) D ．x 2－y 210＝1(x >1)解析：设另两个切点为E 、F ，如图所示，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |， 所以P 点的轨迹是以M 、N 为焦点， 实轴长为2的双曲线的右支．又因为a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8. 故方程为x 2－y 28＝1(x >1)．答案：A7．(2013²上海检测)动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，由题意可得x －2＋y 2＝|x ＋2|，化简得y 2＝8x ，即为点P 的轨迹方程．答案：y 2＝8x8．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是__________．答案：x 2＝2y －29．设抛物线C 1的方程为y ＝120x 2，它的焦点F 关于原点的对称点为E .若曲线C 2上的点到E 、F 的距离之差的绝对值等于6，则曲线C 2的标准方程为________．解析：方程y ＝120x 2可化为x 2＝20y ，它的焦点为F (0,5)，所以点E 的坐标为(0，－5)，根据题意，知曲线C 2是焦点在y 轴上的双曲线，设方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝6，a ＝3，又c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，所以曲线C 2的标准方程为y 29－x 216＝1.答案：y29－x216＝110．自抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线与连接焦点F 与Q 的直线交于点R ，求点R 的轨迹方程．解析：设P (x 1，y 1)，R (x ，y )，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， ∴OP 的方程为y ＝y 1x 1x ，①FQ 的方程为y ＝－y 1⎝⎛⎭⎪⎫x －12.②由①②得x 1＝2x 1－2x ，y 1＝2y1－2x，代入y 2＝2x ，可得y 2＝－2x 2＋x .11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,1)，P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k PA .(1)求点P 的轨迹C 的方程．(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ →＝λOA →，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA ＝2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设点P (x ，y )为所求轨迹上的任意一点，则由k OP ＋k OA ＝k PA 得，y x ＋1－1＝y －1x ＋1，整理得轨迹C 的方程为y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1)．(2)设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)， 由PQ →＝λOA →可知直线PQ ∥OA ，则k PQ ＝k OA ，故x 22－x 21x 2－x 1＝1－0－1－0，即x 2＝－x 1－1， 直线OP 方程为y ＝x 1x .①直线QA 的斜率为(－x 1－1)2－1－x 1－1＋1＝－x 1－2，∴直线QA 方程为y －1＝(－x 1－2)(x ＋1)， 即y ＝－(x 1＋2)x －x 1－1.②联立①②，得x ＝－12，∴点M 的横坐标为定值－12.由S △PQA ＝2S △PAM ，得到|QA |＝2|AM |. ∵PQ ∥OA ，∴|OP |＝2|OM |， 由PO →＝2OM →，得x 1＝1，∴点P 的坐标为(1,1)．∴存在点P 满足S △PQA ＝2S △PAM ，点P 的坐标为(1,1)．12．(2013²广州二模)经过点F (0,1)且与直线y ＝－1相切的动圆的圆心轨迹为M ，点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD (两端点除外)上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C.(1)求轨迹M 的方程； (2)证明：∠BAD ＝∠CAD ； (3)若点D 到直线AB 的距离等于22|AD |，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．解析：(1)设圆心坐标为(x ，y )，由题意动圆经过定点F (0,1)，且与定直线：y ＝－1相切，所以有x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，即(y －1)2＋x 2＝(y ＋1)2，即x 2＝4y .故轨迹M 的方程为x 2＝4y .(2)由(1)得y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，设D ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，14x 20，由导数的几何意义得直线l 的斜率为k BC ＝12x 0， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，14x 20，设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，14x 21，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14x 22. 则k BC ＝14x 21－14x 22x 1－x 2＝x 1＋x 24＝12x 0，∴x 1＋x 2＝2x 0.k AC ＝14x 21－14x 20x 1＋x 0＝x 1－x 04，k AB ＝x 2－x 04，所以k AC ＋k AB ＝x 1－x 04＋x 2－x 04＝x 1＋x 2－2x 04＝0，所以k AB ＝－k AC . 所以∠BAD ＝∠CAD .(3)点D 到直线AB 的距离等于22|AD |，可知∠BAD ＝45°，不妨设C 在AD 上方，即x 2＜x 1，直线AB 的方程为：y －14x 20＝－(x ＋x 0)，与x 2＝4y 联立方程组，解得B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－4，14(x 0－4)2， 所以|AB |＝2|x 0－4－(－x 0)|＝22|x 0－2|由(2)知，∠CAD ＝∠BAD ＝45°，同理可得|AC |＝22|x 0＋2|.所以△ABC 的面积为12³22|x 0＋2|³22|x 0－2|＝20.解得x 0＝±3.当x 0＝3时，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，14，k BC ＝32，直线BC 的方程为6x －4y ＋7＝0； 当x 0＝－3时，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，494，k BC ＝－32，直线BC 的方程为6x ＋4y －7＝0.。
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用相关点代入法求轨迹方程
【例 3】 如图所示，已知 P(4,0) 是圆 x2 ＋ y 是 圆 上 两 动 点 ， 且 满 足 ∠ APB ＝ 90° ， 求 矩 形
APBQ的顶点Q的轨迹方程．
思路点拨：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线 的轨迹方程．利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式 建立线段AB中点的轨迹方程．
x0＋12 y02 ＋ 2 2
3 2 1 2 1 1 1 x 0＋ x0＋ ＋ 3－ x0 4 2 4 4 4 1 2 1 1 16x0＋2x0＋1 ＝1＋4x0，
故|OQ|＝r2－r1，即两圆内切．
点评：根据题设条件，可以得出动点的轨迹是某种已知
曲线，则可以由该曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
1 解析：依题意有 kPA· kPB＝4， y y 1 即 · ＝4(x≠± 2)， x＋2 x－2 x2 2 整理得 4 －y ＝1(x≠± 2)．故选 D. 答案：D
用定义法求点的轨迹方程 【例 2】 如图，在平面直角坐标系中， N 为圆 A ： (x ＋
1)2＋y2＝16上的一动点，点B(1,0)，点M是BN的中点，点P在
(2)设点 P(x0，y0)，PB 的中点为 Q，则 |PB|＝ x0－12＋y2 0 ＝ ＝ 3 2 2 x0－2x0＋1＋3－ x0 4 1 2 1 x 0－2x0＋4＝2－ x0， 4 2
x0＋1 y0 ， Q ， 2 2
即以PB为直径的圆的圆心为
，
1 半径为 r1＝1－4x0，又圆 x2＋y2＝4 的圆心为 O(0,0)， 半径 r2＝2， 又|OQ|＝ ＝ ＝
解析：设AB的中点为R，坐标为(x1，y1)， 则在Rt△ABP中，|AR|＝|PR|. 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理： 在Rt△OAR中，|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x21＋y21)， 又|AR|＝|PR|＝
x1－42＋y21 ，
所以有(x1－4)2＋y21＝36－(x21＋y21)， 即x21＋y21－4x1－10＝0，
→· → ＝ 0. 线段AN上，且 MP BN
(1)求动点P的轨迹方程； (2) 试判断以 PB 为直径的圆与圆 x2 ＋ y2 ＝ 4 的位置关系， 并说明理由． 自主解答：
解析：(1)由点 M 是 BN 的中点， →· → ＝0，可知 PM 垂直平分 BN， 又MP BN 所以|PN|＝|PB|，又|PA|＋|PN|＝|AN|， 所以|PA|＋|PB|＝4＞|AB|， 由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆． x2 y2 设椭圆方程为a2＋b2＝1，其中 2a＝4，2c＝2， 可得 a2＝4，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 可知动点 P 的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1.
2 消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d2 － d 2 1＝25，
3x－2y＋32 2x－3y＋22 即 － ＝25. 13 13 化简得(x＋1)2－y2＝65. 即为所求的动点 M 的轨迹方程．
点评：利用题设条件建立动点坐标x与y的关系，再等价变 形得到轨迹方程F(x，y)＝0.
整理得 x2＋y2＝56，这就是所求的轨迹方程．
点评：相关点代入法(代入转移法)：动点P(x，y)依
赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又 在某已知曲线上，则可先用 x ， y 的代数式表示 x0 ， y0 ， 再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．
变式探究
3．M是抛物线y2＝x上一动点，以OM为一边(O为原点)，作
正方形MNPO，求动点P的轨迹方程．
解析：设动点 P(x，y)，M(x0，y0)， 因为正方形 MNPO，所以|OM|＝|OP|，OP⊥OM.
2 2 2 2 x ＋ y ＝ x ＋ y ， 0 0 所以有y y0 x0＝－1. x·
何特征，从而进一步转化为方程．
自主解答：
解析：设动圆的圆心为 M(x，y)， 半径为 r，点 M 到直线 l1，l2 的距离分别为 d1 和 d2. 由弦心距、半径、弦长间的关系得，
2 2
r2－d2 1＝26， r2－d2 2＝24，
2 2 r － d 1＝169， 即 2 2 r －d2＝144，
变式探究
2 ．已知两定点 F1( － 1,0) 、 F2(1,0) ，且 |F1F2| 是 |PF1| 与 |PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．
解析：由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知： |PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|， 故动点 P 的轨迹是以定点 F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点， x2 y2 长轴长为 4 的椭圆，故其方程为 4 ＋ 3 ＝1. x2 y2 答案： 4 ＋ 3 ＝1
第七章
第十一节 轨迹方程的求法
用直接法求点的轨迹方程 【例1】 已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3
＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆 截得的弦长分别是定值26和24，求圆心的轨迹方程． 思路点拨： 弦长通常可与弦心距及半径相联系，因而 可由两个定圆心距与同一个半径的关系而得动圆圆心的几
变式探究
1．(2012· 襄阳调研)平面内动点 P(x，y)与 A(－2，0)，B(2,0) 1 两点连线的斜率之积为4，则动点 P 的轨迹方程为( ) x2 2 A. 4 ＋y ＝1 x2 2 C. 4 ＋y ＝1(x≠± 2) x2 2 B. 4 －y ＝1 x2 2 D. 4 －y ＝1(x≠± 2)
因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，点 Q 即在
所求的轨迹上运动．
设 Q(x，y)，因为 R 是 PQ 的中点， x＋4 y＋0 所以 x1＝ 2 ，y1＝ 2 ， 代入方程 x21＋y21－4x1－10＝0，得
x＋42 y 2 x＋4 ＋ －4· －10＝0， 2 2 2