高一数学(必修四)期末考试题及答案-新人教A版

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高中数学人教A版必修第一册全册测试卷(含答案)

……○…………学校:_________装…………○…………订绝密★启用前2021-2022学年度XXX 学校测试卷高中数学试卷考试范围：必修第一册；考试时间：120分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则UA =（）A ．∅B ．{}1,3C ．{}2,4,5D ．{}1,2,3,4,52．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．53．定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则（） A ．a ，则如图阴影部分表示的集合为（）A ．{}1x x ≥B ．{}1x x ≤C ．{}01x x <≤D ．{}12x x ≤<5．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（） A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π6．设全集U =R ，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =（） A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{}1D ．{}0,17．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞8．定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（） A ．1 B ．2C ．3D ．12二、多选题9．已知0<a D ．sin a >sin b10．已知0a >，0b >，且222a b +=，则下列不等式中一定成立的是（） A ．1≥ab B ．2a b +≤ C ．lg lg 0a b +≤D ．112a b+≤11．已知(0,)θπ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（） A ．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=12．将函数3tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（）A ．函数()y g x =的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增…………外……………内…………○…………装D ．函数()y g x =的图象关于直线512x π=对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅=________.14．已知命题0:p x ∃∈R ，2000x ax a ++<是假命题，则实数a 的取值范围是________.(用区间表示)15．关于函数()12log 1f x x =-，有以下四个命题：①函数()f x 在区间(),1-∞上是单调增函数；①函数()f x 的图象关于直线1x =对称；①函数()f x 的定义域为()1,+∞；①函数()f x 的值域为R .其中所有正确命题的序号是________.16．设区间[]()1221,x x x x >的长度为21x x -，当函数2x y =的定义域为[,]a b 时，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的和为____________．四、解答题17．（1）计算：2310227-⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋23log 2－34log 9－525log 9；（2）已知角α的终边经过点M (1，－2)，求()5sin()cos()22cos ππααπα+-+的值． 18．已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值． 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35，求cos2sin cos θθθ-⋅的值.（2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.20．（1）求关于x 的一元二次不等式260x x --<的解集；（2）若一元二次不等式20x bx c ++≥的解集为{}21x x x ≥≤-或，求不等式210cx bx ++≥的解集．21．设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（①）求ω；（①）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.22．已知函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数．（1）求实数k 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】【分析】根据补集的定义可得结果. 【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5UA =，故选C.【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 2．B 【解析】【分析】根据题意把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，转化为函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，由题可得()f x 关于1x =对称，由()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，可得()f x 的周期为4，根据函数图像，即可得解. 【详解】由()()2f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，○…………线…………○…___○…………内…………○…………装…………○由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B. 3．C 【解析】【分析】根据函数是偶函数求得参数m ，再结合对数运算求得,,a b c ，即可比较大小. 【详解】①函数f (x )为偶函数，则()()2121x mx mf x f x ---=-=-=-，故m ＝0，①f (x )＝2|x |－1.①a ＝f (log 0.53)＝f (－log 23)＝2log 32－1＝2， b ＝f (log 25)＝2log 52－1＝4， c ＝f (0)＝20－1＝0. ①c <a =<.图中阴影部分所表示的集合为{x x A ∈且}{}12x B x x ∉=≤<. 故选：D. 【点睛】本题考查韦恩图表示的集合的求解，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是弄清楚阴影部分所表示的集合的含义，考查运算求解能力，属于基础题. 5．B 【解析】先由已知求得函数的周期，得到ω，再整体代入正切函数的单调区间，求得函数()f x 的单调区间，可得选项. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以12Tπω==，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()f x 在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆-⎪⎝⎭，得02m π<≤. 故选：B. 【点睛】本题考查正切函数的周期性，单调性，属于基础题. 6．D 【解析】【分析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可. 【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =. 又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤ 所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =. 故选D. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围. 7．D 【解析】【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意；当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k > 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞. 故选：D.…装…………○…………订…………○…………线…………○…___姓名：___________班级：___________考号：___________订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 8．A 【解析】根据函数||2x y =的图像，可知,a b 的长度最小时，此时函数单调，区间长度是1，区间长度最大时，1,1a b =-=，区间长度是2,从而得出答案. 【详解】若函数2xy =单调，则,a b 的长度最小，若函数单调递增，0,1a b ==，此时区间长度是1，若函数单调递减，……○…………线…_________……○…………内…………○…则1,0a b =-=，此时区间长度是1，所以区间,a b 的长度的最小值是1，若函数在区间,a b 不单调，值域又是[]1,2，则区间的最大值1,1a b =-=，此时区间长度是()112--=，则区间,a b 的长度的最大值和最小值的差是211-=.故选：A. 【点睛】本题考查的知识点是区间的概念，函数的定义域和值域，对数函数的单调性，属于基础题型. 9．BD 【解析】【分析】利用函数的单调性判断即可. 【详解】对于A ，c y x =在0,1上是增函数，01a b <<<，cc a b ，故不等式成立，故A 不符合题意；对于B ，1c >，x y c 在0,1上是增函数，01a b <<<，a b c c ，故不等式不成立，故B 符合题意；对于C ，01a b <<<，根据对数函数的性质在同一坐标系下画出log a y x =和log b y x =的图象，可以根据图象判断，当1c >时，log log a b c c >，故不等式成立，故C 不符合题意；………○…………线…………○…：___________…………○…………内…………○…………装…………○对于D ，sin y x =在0,1上是增函数，∴当01a b <<<时，sin sin a b <，故不等式不成立，故D 符合题意. 故选：BD. 【点睛】本题考查指数式、对数式、正弦值的大小判断，利用函数的单调性判断是解决问题的关键，属于基础题. 10．BC 【解析】【分析】对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断【详解】解：对于A ，令2a b ==222a b +=，则12ab ==<，所以A 错误，对于B ，因为22222()22224a b a b ab ab a b +=++=+≤++=，所以2a b +≤，当且仅当1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为22lg lg lg lg lg102a b a b ab ++=≤==，当且仅当1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，令a b ==222a b +=，则11 1.4140.81652a b +=≈+>，所以D 错误，故选：BC 11．ABD 【解析】【分析】对1sin cos 5θθ+=两边平方，利用同角关系化简可得2sin cos θθ，在根据θ范围，确定sin 0θ>，cos 0θ<；根据()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-，求出sin cos θθ-的值，将其与1sin cos 5θθ+=联立，求出sin ,cos θθ，再根据三角函数同角的基本关系，结合各选项，即可得到结果．【详解】1sin cos 5θθ+=①，()221sin cos 5θθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即221sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，242sin cos 25θθ∴=-， (0,)θπ∈，sin 0θ∴>，cos 0θ<，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故A 正确；()249sin cos 12sin cos 25θθθθ∴-=-=， 7sin cos 5θθ∴-=①，故D 正确；①加①得4sin 5θ=，①减①得3cos 5θ=-，故B 正确；4sin 45tan 3cos 35θθθ∴===--，故C 错误.故选：ABD ．【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数同角的基本关系的应用，解题的关键是正确利用平方关系进行化简． 12．AC先根据函数图像的变换求得()g x 的解析式，再求其函数性质即可. 【详解】由题可知，()3tan 23tan 2333g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为06g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；因为()g x 的周期为2T π=，故B 错误；因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故可得2,,33622x πππππ⎡⎤⎛⎫-∈-⊆- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故C 正确；因为正切函数不是轴对称函数，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数图像的变换以及正切型函数的性质，属综合基础题. 13．1；【解析】根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅ 222(lg 2)(lg 5)lg 2lg 5=++⋅ 22(lg 2)(lg 5)2lg 2lg 5=++⋅()2lg 2lg5=+ ()2lg 25=⨯⎡⎤⎣⎦21=1=故答案为：1 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题. 14．[0,4]先得到命题x ∀∈R ，20x ax a ++≥是真命题，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为命题0:p x ∃∈R ，2000x ax a ++<是假命题，所以命题x ∀∈R ，20x ax a ++≥是真命题，即不等式20x ax a ++≥对任意x ∈R 恒成立，所以只需240a a ∆=-≤，解得04a ≤≤，即实数a 的取值范围是[0,4]. 故答案为：[0,4]. 15．①①① 【解析】【分析】利用函数的单调性判断①的正误；利用函数的对称性判断①的正误；求出函数的定义域判断①的正误；由函数的值域判断①的正误. 【详解】函数()12log 1f x x =-在区间(1,)+∞上单调递减，在区间(,1)-∞上单调递增，所以①正确；函数()12log 1f x x =-，函数的图象关于直线1x =对称，所以①正确；函数()12log 1f x x =-的定义域是{}|1x x ≠，所以①不正确；函数()12log 1f x x =-，函数的值域是实数集，所以①正确.故答案为：①①①. 【点睛】本题考查对数型函数的定义域、值域与最值和单调区间，考查对基础知识、基本技能的理解和掌握，属于常考题. 16．2 【解析】【分析】根据函数2x y =的单调性，可求出其值域，再结合其值域为[1,2]，可确定,a b ，从而可求出区间[,]a b 的长度的最大值与最小值. 【详解】因为函数2x y =的定义域为[,]a b ，而函数2x y =在[,]a b 上是单调增函数；所以函数2x y =的值域为[2,2]a b ，由已知函数2x y =的值域为[1,2]，所以2122a b ⎧=⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以函数()f x 的定义域为[0,1]，所以区间[0,1]的长度的最大值和最小值均为1，所以区间[0,1]的长度的最大值与最小值的和为2. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：破解新型定义题的方法是：紧扣新定义的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利解决. 17．（1）－716；（2．【解析】【分析】（1）直接利用分数指数幂的运算和对数的运算求解即可；（2）由三角函数的定义可求得sin α，再对()5sin()cos()22cos ππααπα+-+利用诱导公式化简可得结果【详解】（1）原式＝6427⎛⎫ ⎪⎝⎭－23＋2log 32－2log 323－55log 3＝34⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋2－3＝－716．（2）①角α的终边经过点M (1，－2)， ①sin α，①()5sin()cos()22cos ππααπα+-+ ＝cos sin cos ααα-＝－sin α【点睛】此题考查对数的运算，考查了三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题18．（1）5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）5912π. 【解析】【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式将函数化简得()2sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由最小正周期为π，可求得1ω=，从而可得函数的解析式，然后由222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈可求出函数的增区间；（2）由三角函数图像变换求出()y g x =的解析式，令()0g x =，求出其零点712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈，再由()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，可求出b 的最小值【详解】解：（1）)2()2sin cos 2sin 1f x x x x ωωω=-sin 222sin 23x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由最小正周期为π，得1ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，整理得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，可得到2sin 21y x =+的图像，所以()2sin 21g x x =+．令()0g x =，得712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈，所以在[0,]π上恰好有两个零点，若()y g x =在[]0,b 上至少有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，所以b 的最小值为115941212πππ+=. 19．（1）15（2）13-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义知，3cos 5θ=-，4sin 5θ=，又2cos22cos 1θθ=-，代入即可得到答案；（2）利用公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⋅计算即可.【详解】（1）P 在单位圆上，且点P 的横坐标为35，则3cos 5θ=-，4sin 5θ=，2cos 2sin cos 2cos 1sin cos θθθθθθ∴-⋅=--⋅93412125555⎛⎫=⨯---⨯= ⎪⎝⎭.（2）由题知4παθ=+，则4πθα=-则1tan tan1142tan tan 1431tan tan 142παπθαπα--⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭+⋅+. 【点睛】本题考查二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.20．（1）{}23x x -<<；（2）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）直接解不含参数的一元二次不等式即可；（2）由题意可知2和1-是方程20x bx c ++=的两个实数根，结合韦达定理求出,b c 的值，进而解不含参数的一元二次不等式即可. 【详解】解：（1）因为260x x --<，则(3)(2)0x x -+<，即23x -<<，故260x x --<的解集为{}23x x -<<；（2）不等式的解集为20x bx c ++≥的解集{}21x x x ≥≤-或,∴2和1-是方程20x bx c ++=的两个实数根,即1212bc -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得，1b =-，2c =-,则不等式210cx bx ++≥等价于2210x x --+≥，即2210x x +-≤，因此()()2110x x -+≤，解得112x ≤≤-, 故所求不等式的解集为112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．21．(①) 2ω=. (①) 32-.【解析】【详解】试题分析：（①）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=-由题设知(06f π=及03ω<<可得.（①）由（①）得())3f x x π-从而()))4312g x x x πππ=+-=-. 根据3[,44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值.试题解析：（①）因为()sin()sin(62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=-- 3cos 2x x ωω- 1sin )2x x ωω)3x πω-由题设知(06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.（①）由（①）得())3f x x π-所以()))4312g x x x πππ=+-=-.因为3[,44x ππ∈-，所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.22．（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）209m << 【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件()()0f x f x +-=，求出k 的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明；（3）假设存在,αβ，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为,22m m ln m ln m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()f x 在()1,+∞上递增，程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，可得m的不等式组，解不等式即可得到实数m 的取值范围，即可得到判断存在性. 【详解】（1）因为函数()1ln1kx f x x -=+为奇函数，所以()()0f x f x +-=，即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-对定义域内任意x 恒成立，所以21k =，即1k =±，显然1k ≠-，又当1k =时，1()ln 1x f x x -=+的定义域关于原点对称．所以1k =为满足题意的值．（2）结论：()f x 在(),1-∞，()1,+∞上均为增函数．证明：由（1）知()1ln1x f x x -=+，其定义域为()(),11,-∞-+∞，任取12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则 ()()()()()()11212222111111ln 111ln 1lnx x x x f x f x x x x x --+=+--=++--，因为()()()()()121212111120x x x x x x -+-+-=-<，又()()12110x x +->，所以()()()()1212110111x x x x -+<<+-，所以()()()()()()12121211ln 011x x f x f x x x -+-=<+-，即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,+∞上为增函数．同理，()f x 在(),1-∞上为增函数．（3）由（2）知()f x 在()1,+∞上为增函数，又因为函数()f x 在[],αβ上的值域为11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以0m >，且1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，即,αβ是方程112x mmx x -=-+的两实根，问题等价于方程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，令()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，对称轴1124x m =- 则()201112414102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩，即0205229m m m m >⎧⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎩或，解得209m <<．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定答案第17页，共17页区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.。

【2019-2020高一数学试题】人教A版必修4《正弦函数、余弦函数的性质(1)》试题答案解析

正弦函数、余弦函数的性质(1)——基础巩固类——一、选择题1．下列函数中，最小正周期为π的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin x2D ．y ＝cos2x2．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( )A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数3．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．24．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π12 5．下列四个函数中，是以π为周期的偶函数的是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝|sin2x |C ．y ＝|cos2x |D ．y ＝cos3x6．如果函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为( )A ．3B ．6C ．12D ．24二、填空题7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝ .8．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2 015)＝7，则f (－2 015)＝ . 9．已知函数f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝ .三、解答题10．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．11．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．——能力提升类——12．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，则φ的值可以是( )A ．0B ．－π4 C.π2 D ．π13．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )14．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为 .15．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．正弦函数、余弦函数的性质(1)(答案解析)——基础巩固类——一、选择题1．下列函数中，最小正周期为π的是( D ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin x2D ．y ＝cos2x解析：A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin x2的最小正周期为T ＝2πω＝4π，故C 项不符合题意；D 项，y ＝cos2x 的最小正周期为T ＝2πω＝π，故D 项符合题意．故选D.2．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( A ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数又不是偶函数解析：函数f (x )＝x ＋sin x 的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数．故选A.3．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( B )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：∵T ＝π，且为奇函数．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1. 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( D )A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6D ．x ＝π12解析：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．故选D. 5．下列四个函数中，是以π为周期的偶函数的是( A ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝|sin2x | C ．y ＝|cos2x |D ．y ＝cos3x解析：A 中的函数周期为π.B 中的函数周期为π2.C 中的函数周期为π2.D 中的函数周期为23π.故选A.6．如果函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为( B )A ．3B ．6C ．12D ．24解析：函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，∴T ＝2×π6＝π3，又2πω＝π3，∴ω＝6.选B.二、填空题7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝8. 解析：π4＝2πω，∴ω＝8.8．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2 015)＝7，则f (－2 015)＝－5. 解析：由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7，得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.9．已知函数f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝－1.解析：因为T ＝2，则f (x )＝f (x ＋2)．又f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)，且x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，所以f (－1)＝f (1)＝1－2＝－1.三、解答题10．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．解：由题意知函数定义域为R .f (－x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＝lg 1sin x ＋1＋sin 2x＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )，∴函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )为奇函数． 11．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π)(k ∈Z ).函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的最小正周期是2π.——能力提升类——12．已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，则φ的值可以是( B ) A ．0 B ．－π4 C.π2D ．π解析：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ为奇函数，则只需π4＋φ＝k π，k ∈Z ，从而φ＝k π－π4，k ∈Z .显然当k ＝0时，φ＝－π4满足题意．13．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( B )解析：A 项，由f (－x )＝f (x )知函数f (x )为偶函数，故A 错．B 项，由函数f (x )为偶函数，周期为2，故B 正确．C 项，由函数f (x )为偶函数，故C 错．D 项，由函数f (x )周期为2.故D 错．14．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为±45. 解析：由题意得2πω＝π2， ∴ω＝4，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝3cos α＝95. ∴cos α＝35，∴sin α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝±45. 15．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．解：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32 解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6.又因为g (x )的最小正周期为π.所以g (x )＝32的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .。

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y
sin
(x
)
sin(x
)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来旳A倍
总结: y Asin(x ) b.
A
1f
2
xmax
f
xmin
b
1f
2
xmax
f
xmin
利用T 2 ，求得
图像定义域值域
y sin x
y
1
y cos x
y
1
2
0
2
3 2
2
x[2
2k
,
3 2
2k ]
x[ 2k , 2k ] x[2k , 2k ]
( k , k ),k Z 22
无
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期对称轴对称中心
T=2π
x
2
k
,
k
Z
(k , 0) k Z
T=2π
x k , k Z (2 k , 0) k Z
T=π
无
( k ,0), k Z
实数与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下：
1a
a
2当 0时，a的方向与a的方向相同；
当特别地0时，当，a的0方或向a 与0a时的，方a向相0 .反；
共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有唯一一种实数，使得 b a
定理 (1)有关向量共线问题:
旳应 (2)证明三点共线旳问题:
r
r
x
当点P在单位圆上时，r =1
o
x
r x2 y2

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(18)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 下面关于函数 f (x )=log 12x ，g (x )=(12)x和 ℎ(x )=x −12 在区间 (0,+∞) 上的说法正确的是( ) A ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 B ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越快 C ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 D ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越快2. 甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利 10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中 ( ) A ．甲刚好盈亏平衡 B ．甲盈利 9 元 C ．甲盈利 1 元D ．甲亏本 1.1 元3. 若 a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则 a ，b ，c 三者的大小关系是 ( ) A ． b <c <a B ． b <a <c C ． a <c 1，则方程 f (x )=kx 恰有两个不同的实根时，实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (0,1e )B ． (0,15)C ． [15,1e )D ． [15,1e ]6. 若函数 f (x )=2x +a 2x −2a 的零点在区间 (0,1) 上，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−∞,12)B ． (−∞,1)C ． (12,+∞)D ． (1,+∞)7. 已知定义在 R 上的函数 f (x )={x 2+2,x ∈[0,1)2−x 2,x ∈[−1,0)，且 f (x +2)=f (x )．若方程 f (x )−kx −2=0 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ( )A ． (13,1)B ． (−13,−14)C ． (−1,−13)∪(13,1)D ． (−13,−14)∪(14,13)8. 定义域为 R 的偶函数 f (x )，满足对任意的 x ∈R 有 f (x +2)=f (x )，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18，若函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 R 上至少有六个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√33) B ． (0,√77) C ． (√55,√33)D ． (0,13)9. 方程 log 3x +x =3 的解所在的区间是 ( ) A ． (0,1) B ． (1,2) C ． (2,3) D ． (3,+∞)10. 函数 f (x )=√1−x 2lg∣x∣的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={√4−x 2,x ∈(−2,2]1−∣x −3∣,x ∈(2,4]，满足 f (x −3)=f (x +3)，若在区间 [−4,4] 内关于x 的方程 3f (x )=k (x −5) 恰有 4 个不同的实数解，则实数 k 的取值范围是．12. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+(2m −1)x +m 2=0 有两个实数根 x 1 和 x 2，当 x 12−x 22=0时，m 的值为．13. 已知 A ={x∣ 3x <1}，B ={x∣ y =lg (x +1)}，则 A ∪B = ．14. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是．15. 设函数 f (x )={−4x 2,x <0x 2−x,x ≥0，若 f (a )=−14，则 a = ，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则实数 b 的取值范围是．16. 设函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]= ，若方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是．三、解答题（共6题）17. 如图，直角边长为 2 cm 的等腰直角三角形 ABC ，以 2 cm/s 的速度沿直线向右运动．(1) 求该三角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y （cm 2）与时间 t 的函数关系（设 0≤t ≤3）． (2) 求出 y 的最大值．（写出解题过程）18. 已知函数 f (x )=a x +k 的图象过点 (1,3)，它的反函数的图象过点 (2,0)．(1) 求函数 f (x ) 的解析式； (2) 求 f (x ) 的反函数．19. 已知函数 g (x )=log a x ，其中 a >1．（注：∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1=∣m (x 1)−m (x 0)∣+∣m (x 2)−m (x 1)∣+⋯+∣m (x n )−m (x n−1)∣） (1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，求 a 的取值范围；(2) 设 m (x ) 是定义在 [s,t ] 上的函数，在 (s,t ) 内任取 n −1 个数 x 1，x 2，⋯，x n−2，x n−1，且 x 1<x 2<⋯<x n−2<x n−1，令 x 0=s ，x n =t ，如果存在一个常数 M >0，使得 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，则称函数 m (x ) 在区间 [s,t ] 上具有性质 P ．试判断函数 f (x )=∣g (x )∣ 在区间 [1a ,a 2] 上是否具有性质 P ？若具有性质 P ，请求出 M的最小值；若不具有性质 P ，请说明理由．20. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1)，在区间 [2,3] 上有最大值 4，最小值 1，设f (x )=g (x )x．(1) 求常数 a ，b 的值；(2) 方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的解，求实数 k 的取值范围．21. 已知函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2．(1) 求实数 m ，n 的值；(2) 若不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，求实数 k 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点 (−1,2)．(1) 求 a 的值；(2) 若 g (x )=4−x −2，且 g (x )=f (x )，求满足条件的 x 的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】观察函数f(x)=log12x，g(x)=(12)x和ℎ(x)=x−12在区间(0,+∞)上的图象（图略），由图可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数ℎ(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】C【解析】由题意知甲两次付出为1000元和(1000×1110×910)元，两次收入为(1000×1110)元和(1000×1110×910×910)元，因为1000×1110+1000×1110×910×910−1000−1000×1110×910=1，所以甲盈利1元．【知识点】函数模型的综合应用3. 【答案】B【解析】因为0<a=0.32<0.30=1，b=log20.3<log21=0，c=20.3>20=1，所以b<a<c．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质4. 【答案】B【解析】应用排除法．当m=√2时，画出y=(√2x−1)2与y=√x+√2的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上无交点，排除C，D；当m=3时，画出y=(3x−1)2与y=√x+3的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上恰有一个交点．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】C【解析】因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，所以y=f(x)与y=kx有2个交点，又因为k表示直线y=kx的斜率，x>1时，y=f(x)=lnx，所以yʹ=1x；设切点为(x0,y0)，则k=1x0，所以切线方程为y−y0=1x0(x−x0)，又切线过原点，所以y0=1，x0=e，k=1e，如图所示：结合图象，可得实数k的取值范围是[15,1e )．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】C【解析】因为f(x)单调递增，所以f(0)f(1)=(1−2a)(2+a2−2a)<0，解得a>12．【知识点】零点的存在性定理7. 【答案】C【知识点】函数的零点分布8. 【答案】A【解析】当x∈[2,3]时，f(x)=−2x2+12x−18=−2(x−3)2，图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线．因为函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，令g(x)=log a(∣x∣+1)，因为f(x)≤0，所以g(x)≤0，可得0<a<1．要使函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，如图要求g(2)>f(2)．log a(2+1)>f(2)=−2⇒log a3>−2，可得3<1a2⇒−√33<a<√33，a>0，所以 0<a <√33．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【解析】把方程的解转化为函数 f (x )=log 3x +x −3 对应的零点．令 f (x )=log 3x +x −3，因为 f (2)=log 32−1<0，f (3)=1>0，所以 f (2)f (3)<0，且函数 f (x ) 在定义域内是增函数，所以函数 f (x ) 只有一个零点，且零点 x 0∈(2,3)，即方程 log 3x +x =3 的解所在的区间为 (2,3)．故选C ．【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】B【解析】（1）由 {1−x 2≥0,∣x ∣≠0且∣x ∣≠1, 得 −1<x <0 或 0<x <1，所以 f (x ) 的定义域为 (−1,0)∪(0,1)，关于原点对称．又 f (x )=f (−x )，所以函数 f (x ) 是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除A ；当 0<x <1 时，lg ∣x ∣<0，f (x )<0，排除C ；当 x >0 且 x →0 时，f (x )→0，排除D ，只有B 项符合．【知识点】对数函数及其性质、函数图象、函数的奇偶性二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (−2√217,−38)∪{0}【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 14【解析】由题意得 Δ=(2m −1)2−4m 2=0，解得 m ≤14．由根与系数的关系，得 x 1+x 2=−(2m −1)，x 1x 2=m 2．由 x 12−x 22=0，得 (x 1+x 2)(x 1−x 2)=0．若 x 1+x 2=0，即 −(2m −1)=0，解得 m =12．因为 12>14，可知 m =12 不合题意，舍去；若 x 1−x 2=0，即 x 1=x 2，由 Δ=0，得 m =14．故当 x 12−x 22=0 时，m =14．【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】 R【解析】由 3x <1，解得 x <0，即 A =(−∞,0)．由 x +1>0，解得 x >−1，即 B =(−1,+∞)．所以 A ∪B =R ．【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算14. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1，当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点，若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10，此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点，所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时，只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点，因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点，所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点；② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点，所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点，综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 −14或 12； (−14,0)【解析】若 −4a 2=−14，解得 a =−14；若 a 2−a =−14，解得 a =12，故 a =−14或12；当 x <0 时，f (x )<0；当 x >0 时，f (x )=(x −12)2−14，f (x ) 的最小值是 −14，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则 b =f (x ) 有 3 个交点，故 b ∈(−14,0)．【知识点】函数的零点分布、分段函数16. 【答案】 14； (14,12)【解析】函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]=f (e 0)=f (1)=14．x ≤0 时，f (x )≤1；x >0，f (x )=−x 2+x +14，对称轴为 x =12，开口向下；函数的最大值为 f (12)=12，x →0 时，f (0)→14．方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 (14,12)．【知识点】函数的零点分布、分段函数三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形，此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形，此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形，去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形，此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6，综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．(2) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形，此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形，此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形，去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形，此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6，综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．当 0≤t ≤1 时，y max =2×12=2，当 1<t <2 时，y max =2，当 2≤t ≤3 时，对称轴 t 0=2，则 t =2 时，y max =2，综上：y max =2．【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) f (x )=2x +1．(2) f −1(x )=log 2(x −1)(x >1)．【知识点】反函数、指数函数及其性质19. 【答案】(1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，即 x ∈[0,1] 时，log a (a x +2)>1 恒成立，因为 a >1，所以 a x +2>a 恒成立，即 a −2<a x 在区间 [0,1] 上恒成立，所以 a −2<1，即 a <3，所以 1<a <3，即 a 的取值范围是 (1,3)．(2) 函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ．因为 f (x )=∣g (x )∣ 在 [1,a 2] 上单调递增，在 [1a ,1] 上单调递减，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，当存在某一个整数 k ∈{1,2,3,⋯,n −1}，使得 x k =1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (1a )−f (1)]+[f (a 2)−f (1)]=1+2= 3. 当对于任意的 k ∈{1,2,3,…,n −1}，x k ≠1 时，则存在一个实数 k 使得 x k <1<x k+1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (x 0)−f (x k )]+∣f (x k )−f (x k+1)∣+f (x n )−f (x k+1). ⋯⋯(∗)当 f (x k )>f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k+1)=3−2f (x k+1)<3，当 f (x k )<f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k )=3−2f (x k )<3，当 f (x k )=f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−f (x k )−f (x k+1)=3−f (x k )−f (x k+1)<3，综上，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，均有 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤3，所以存在常数 M ≥3，使 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，所以函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ，此时 M 的最小值为 3．【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质、函数的最大（小）值、对数函数及其性质20. 【答案】(1) 因为 a ≠0，所以 g (x ) 的对称轴为 x =1，所以 g (x ) 在 [2,3] 上是单调函数，所以 {g (2)=1,g (3)=4 或 {g (2)=4,g (3)=1,解得 a =1，b =0 或 a =−1，b =3（舍）．所以 a =1，b =0．(2) f (x )=x 2−2x+1x =x +1x −2．令 ∣2x −1∣=t ，显然 t >0，所以 t +1t −2+k (2t −3)=0 在 (0,1) 上有一解，在 [1,+∞) 上有一解．即 t 2−(2+3k )t +1+2k =0 的两根分别在 (0,1) 和 [1,+∞) 上．令 ℎ(t )=t 2−(2+3k )t +1+2k ，若 ℎ(1)=0，即 1−2−3k +1+2k =0，解得 k =0，则 ℎ(t )=t 2−2t +1=(t −1)2，与 ℎ(t ) 有两解矛盾．所以 {ℎ(0)>0,ℎ(1)<0,即 {1+2k >0,−k <0, 解得 k >0．所以实数 k 的取值范围是 (0,+∞)．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布21. 【答案】(1) 由函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2，可得 {1−3m +n =0,4−6m +n =0, 解得 {m =1,n =2.(2) 由（1）可得 f (x )=x 2−3x +2，由不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可得不等式 f (x )>k 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可将 f (x )=x 2−3x +2 化为 f (x )=(x −32)2−14，所以 f (x )=x 2−3x +2 在 x ∈[0,5] 上的最小值为 f (32)=−14，所以 k <−14．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布22. 【答案】(1) 由已知得 (12)−a=2，解得 a =1．(2) 由（1）知 f (x )=(12)x，又 g (x )=f (x )，所以 4−x −2=(12)x，即 (14)x −(12)x−2=0，即 [(12)x ]2−(12)x−2=0，令 (12)x=t (t >0)，则 t 2−t −2=0，所以 t =−1 或 t =2，又 t >0，所以 t =2，即 (12)x=2，解得 x =−1．【知识点】指数函数及其性质。

高中数学课时跟踪训练1 任意角新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

课时跟踪训练(一)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一任意角的概念 1．给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________(把正确命题的序号都写上)．[解析]①正确；②错，若顺时针旋转终边落在第一象限，则为负角；③错，第二象限角不都是钝角，钝角都是第二象限角；④错，小于180°的角包括负角和零角．[答案]①2．将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．[解析] 时钟拨快20分钟，相当于转了13小时．因为时针转过1小时，分针转－360°，所以时针转13小时，分针转过的度数为13×(－360°)＝－120°.[答案] －120°3．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．[解] 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题组二终边相同的角与象限角4．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z[解析] 因为405°＝360°＋45°，所以与405°终边相同的角为k ·360°＋45°，k ∈Z .[答案] C5．－435°角的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 因为－435°＝－360°－75°，而－75°为第四象限角，所以－435°为第四象限角．[答案] D6．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在( ) A ．x 轴的非负半轴 B ．y 轴的非负半轴 C ．x 轴的非正半轴D ．y 轴的非正半轴[解析]∵角α，β终边相同，∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，∴α－β＝k ·360°(k ∈Z )，故α－β的终边在x 轴的非负半轴上．[答案] A题组三角αn，(n ∈N *)所在象限的确定7．已知α为第一象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第二象限或第三象限[解析] 由于k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，得k ·180°<α2<k ·180°＋45°，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．[答案] B8．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角D ．第一、四角限角[解析] 由题意知k ·360°<2α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，故k ·180°<α<90°＋k ·180°(k ∈Z )，按照k 的奇偶性进行讨论．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α<90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第一象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°<α<270°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．[答案] C综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析]①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°，因为115°为第二象限角，所以475°也为第二象限角，正确；④中－315°＝－360°＋45°，因为45°为第一象限角，所以－315°也为第一象限角，正确．[答案] D2．终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }[解析] 因为直线y ＝－x 为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k ·360°－45°＝2k ·180°－45°，k ∈Z ；终边落到第二象限可表示为k ·360°－180°－45°＝(2k －1)·180°－45°，k ∈Z ，综上可得终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合为{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }．[答案] D3．若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析]∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ， ∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，∴φ2是第一或第三象限角，而－φ是第三象限角， ∴90°－φ是第四象限角，故选B. [答案] B 二、填空题4．与角－1560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________． [解析] 由于－1560°÷360°＝－4×360°－120° 即最大负角为－120°，最小正角为240°. [答案] 240° －120°5．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________. [解析] 由题意知，β角的终边与60°角终边相同，则β＝k ·360°＋60°，k ∈Z . [答案]k ·360°＋60°，k ∈Z 三、解答题6．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．[解] 由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.① ∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β都是锐角，∴{ 0°<α<90°－90°<－β<0°， ∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.7．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解](1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。

高中数学第二章平面向量 2.1向量的加法新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法,)1．问题导航(1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗？(2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何不同？2．例题导读教材P77例1，例2，P78例3.通过此三例的学习，熟悉向量加法运算，学会利用向量加法解决实际生活问题．试一试：教材P81习题2－2 B组T1，T2，T3你会吗？1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知向量a，b，在平面内任取一点A 作法作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→结论向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→图形平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O 作法以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB 结论对角线OC→就是a与b的和图形规定零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a. 2．向量加法的运算律运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( )(2)|a ＋b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是a ∥b .( )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) 解析：(1)正确．根据向量和的定义知该说法正确． (2)错误．条件应为a ∥b ，且a ，b 的方向相同．(3)错误．当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线．答案：(1)√ (2)× (3)×2．若a ，b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析：选B.因为a 与b 方向相反，|a |<|b |，所以a ＋b 与a 的方向相反，故B 不正确． 3．化简下列各向量： (1)AB →＋BC →＝________． (2)PQ →＋OM →＋QO →＝________．解析：根据向量加法的三角形法则及运算律得： (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)PQ →＋OM →＋QO →＝PQ →＋QO →＋OM →＝PO →＋OM →＝PM →.答案：(1)AC → (2)PM →4．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________．解析：由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 答案：01．对向量加法的三角形法则的四点说明 (1)适用X 围：任意向量．(2)注意事项：①两个向量一定首尾相连；②和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点． (3)方法与步骤：第一步，将b (或a )平移，使一个向量的起点与另一个向量的终点相连；第二步：将剩下的起点与终点用有向线段相连，且有向线段的方向指向终点，则该有向线段表示的向量即为向量的和．也称“首尾相连，连首尾”．(4)图示：如图所示2．对向量加法的平行四边形法则的四点说明 (1)适用X 围：任意两个非零向量，且不共线．(2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的起点； ②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量．(3)方法与步骤：第一步：先把两个已知向量a 与b 的起点平移到同一点；第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为a 与b 的和．(4)图示：如图所示已知向量作和向量如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b ＋c .(教材P 81习题2－2 A 组T 3)[解] 法一：如图(1)，在平面内作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ；再作BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c .法二：如图(2)，在平面内作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 与OB 为邻边作平行四边形OADB ，则OD →＝a ＋b ；再作OC →＝c ，以OD 与OC 为邻边作平行四边形ODEC ，则OE →＝a ＋b ＋c .方法归纳已知向量求作和向量的方法(1)用三角形法则，在平面内任取一点，顺次作两个向量等于已知向量，从起点到终点的向量就是两个向量的和．(2)用平行四边形法则，在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以它们为邻边作平行四边形，共起点的对角线对应的向量就是这两个向量的和．1．(1)如图所示，已知向量a 和b ，求作a ＋b .(2)如图，已知a ，b ，c 三个向量，试求作和向量a ＋b ＋c .解：(1)法一：(三角形法则)如图所示．①在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ；②连接OB ，则OB →＝a ＋b .法二：(平行四边形法则)如图所示．①在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；②以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b .(2)作出来的和向量如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →即为所求．向量的加法运算(1)下列等式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．① D ．③(2)设A ，B ，C ，D 是平面上任意四点，试化简： ①AB →＋CD →＋BC →； ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →.(教材P 81习题2－2A 组T 5(1)(2))[解] (1)选B.由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB →＋BA →＝0，故②不正确；DC →＋AB →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →成立，故③正确．(2)①AB →＋CD →＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →＝(DB →＋BD →)＋(AC →＋CA →)＝0＋0＝0.方法归纳向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．2．(1)在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → (2)化简下列各式： ①(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝________． ②AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________．解析：(1)因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →.(2)①(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →＋0＝AD →. ②AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝(AB →＋BC →)＋(DF →＋FA →)＋CD →＝AC →＋DA →＋CD →＝(AC →＋CD →)＋DA →＝AD →＋DA →＝0.答案：(1)C (2)①AD →②0向量加法的应用(1)已知图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N ，则F 1与F 2的合力大小为________N ；方向为________．(2)如图是中国象棋的部分棋盘，“马走日”是象棋中“马”的走法，如果不从原路返回，那么“马”从A 经过B 再走回到A 最少需几步？(教材P 77例1，例2，P 78例3) [解](1)如图，根据向量加法的平行四边形法则，得合力F 1＋F 2＝OC →.在△OAC 中，|F 1|＝24，|AC →|＝12，∠OAC ＝60°，所以∠OCA ＝90°，|OC →|＝123，所以F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为竖直向上．故填123和竖直向上．(2)如图，如果不从原路返回，那么所走路线为A →B →C →D →A ，即AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，所以最少需四步．本例(2)条件不变，若不限步数，那么“马”从A 经过B 再走回A 时，所走的步数有什么特点？解：若不限步数，则“马”从A 经过B 再走回A 时，不论如何走，均需走偶数步，且不少于四步．方法归纳向量加法应用的关键及技巧(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量．(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．3．(1)若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．(2)如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：(1)设OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝a ＋b .又因为|OA →|＝8，|OB →|＝8，所以|OC →|＝|a ＋b |＝8 2. 又因为∠AOC ＝45°，所以a ＋b 的方向是北偏东45°.故填82和北偏东45°.(2)设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2 ＝8002＋8002＝8002(km)．易错警示未能正确理解向量加法致误小船以10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h ，则小船实际航行速度的大小为________km/h.[解析] 如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.[答案] 20[错因与防X] (1)解答本题，易将船的实际速度当成河水的流速与静水速度之和，导致得不到正确的实际航速关系式而出错．(2)①向量的和一般不能直接用模作和；要注意向量的方向的合成，如本例中用两个速度不能直接作和；②船在静水中的航行速度，水流的速度，船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方向不共线时不能直接某某际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求速度的大小．4．(1)一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过3 h ，该船的实际航程为________km.(2)在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：(1)由题意，如图，OA →表示水流速度，OB →表示船在静水中的速度，则OC →表示船的实际速度．因为|OA →|＝2，|OB →|＝4，∠AOB ＝120°，则∠CBO ＝60°，又因为∠AOC ＝∠BCO ＝90°，所以|OC →|＝23，所以船的实际航行速度为2 3 km/h ，则实际航程为23×3＝63(km)．故填6 3. (2)作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt △ACD 中， |CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ，所以cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，所以α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向．1．已知下面的说法：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向与a 或b 的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B.①当a ＋b ＝0时，不成立；②说法正确；③当A ，B ，C 三点共线时，也可以有AB →＋BC →＋CA →＝0，故此说法不正确；④当a ，b 共线时，若a ，b 同向，则|a ＋b |＝|a |＋|b |；若a ，b 反向，则|a ＋b |＝||a |－|b ||；当a ，b 不共线时，|a ＋b |<|a |＋|b |，故此说法不正确．2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中正确的是( )A.FD →＋DA →＝FA →B.FD →＋DE →＋FE →＝0C.DE →＋DA →＝EB →D.DA →＋DE →＝FD →解析：选A.如题图，可知FD →＋DA →＝FA →， FD →＋DE →＋FE →＝FE →＋FE →≠0， DE →＋DA →＝DF →，故A 正确．3．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD 是平行四边形．故选D.2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝( )A.BD →B ．DB → C.BC →D ．CB →解析：选C.BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.3．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.4．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH → B ．OG →C.FO →D ．EO →解析：选C.设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.5．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( ) ①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |； ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．①② B ．①③ C ．①③⑤ D ．③④⑤解析：选C.因为(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →) ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝a ＝0. 所以a∥b ，a ＋b ＝b ，即①③正确，②错误，而a ＝0时，|a ＋b |＝|b |＝|a |＋|b |，故④错误，⑤正确． 6．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角．解析：由平面几何知识知，在平行四边形中，菱形的对角线平分其内角．答案：|a |＝|b |7．矩形ABCD 中，|AB |＝3，|BC →|＝1，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度等于________．解析：因为ABCD 为矩形，所以AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →＝AC →＋AC →，如图，过点C 作CE →＝AC →，则AC →＋AC →＝AE →，所以|AB →＋AD →＋AC →|＝|AE →|＝2|AC →|＝2|AB →|2＋|BC →|2＝4. 答案：48．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________(图形)．解析：如图所示，BC →＋BA →＝BD →，BC →＋AB →＝AC →，又|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，所以|BD →|＝|AC →|，则四边形ABCD 是矩形．答案：矩形9．如图所示，P ，Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明：AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，所以AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.因为PB →与QC →大小相等，方向相反，所以PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →. 10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30°＝150 3 N ，|OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N.所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[B.能力提升] 1．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同的点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选B.根据所给的四个向量的和是一个零向量，即MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0.当A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点确定以后，在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，故选B.2．已知|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝( )A.3B ．3C ．23D ．3 3解析：选D.在平面内任取一点O ，作向量OA →，OB →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →＝OA →＋OB →.由题意知四边形OACB 为菱形，又∠AOB ＝60°，所以|OC →|＝2×3×sin 60°＝3 3.3．已知G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________．解析：如图，连接AG 并延长交BC 于E ，点E 为BC 中点，延长AE 到D ，使GE ＝ED ，则GB →＋GC→＝GD →，GD →＋GA →＝0，所以GA →＋GB →＋GC →＝0.答案：04．若|AB →|＝10，|AC →|＝8，则|BC →|的取值X 围是________．解析：如图，固定AB →，以A 为起点作AC →，则AC →的终点C 在以A 为圆心，|AC →|为半径的圆上，由图可见，当C 在C 1处时，|BC →|取最小值2，当C 在C 2处时，|BC →|取最大值18.答案：[2，18]5．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km ，然后又向西行驶2 km ，你知道此船在整个过程中的位移吗？解：如图，用AC →表示船的第一次位移，用CD →表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知AD →＝AC →＋CD →，所以AD →可表示两次位移的和位移．由题意知，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，所以BC ＝12AC ＝1，AB ＝ 3. 在等腰△ACD 中，AC ＝CD ＝2，所以∠D ＝∠DAC ＝12∠ACB ＝30°，所以∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ＝23，所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°，位移的大小为2 3 km.6．(选做题)在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且|AB →|＝|AD →|＝1，OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，cos ∠DAB ＝12.求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →|.解：因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，所以OA →＝CO →，OB →＝DO →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →|＝1，知四边形ABCD 为菱形．因为cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)，所以∠DAB ＝π3，所以△ABD 为正三角形，所以|DC →＋BC →|＝|AB →＋AD →|＝|AC →|＝2|AO →|＝ 3.|CD →＋BC →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.。

期末复习综合测试题(2)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册

模块一复习测试题二一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是46．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为()A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+-三．填空题（共4小题）13．化简32a b-= （其中0a >,0)b >．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是． 15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为． 16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为．四．参考解答题（共8小题） 17．已知0x >,0y >,且440x y +=．（Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x=>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围; （Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围． 19．解方程（1）231981xx-=（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++20．设函数33()sin cos 2323x x f x ππ=-．（1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．22．已知函数2()3sin 2cos 12xf x x =-+．（Ⅰ）若()23()6f παα=+,求tan α的值;（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围．模块一复习测试题二参考正确答案与试题详细解析一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【详细分析】利用元素与集合的关系直接求解．【参考解答】解:集合{|15}{0A x N x =∈=,1,2,3},a =a A ∴∉．故选:D ．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意元素与集合的关系的合理运用．2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【详细分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质判断即可．【参考解答】解:1a >,1b >, 2log 0a ∴>,2log 0b >,2a b ab +,4a b +,故4ab ,222222222log log log ()log 4log log ()[]()1222a b ab a b +⋅==,反之,取16a =,152b =,则1522224log log log 16log 215a b ⋅=⋅=<, 但4a b +>,故4a b +是22log log 1a b ⋅的充分不必要条件, 故选:A ．【点评】本题考查了充分必要条件,考查基本不等式的性质,是一道基础题．3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞【详细分析】直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果．【参考解答】解:命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则命题“[0x ∃∈,3],使得220x x m --= “成立是真命题, 故222(1)1m x x x =-=--．由于[0x ∈,3],所以[1m ∈-,3]．故选:C ．【点评】本题考查的知识要点:命题的否定的应用,一元二次方程的根的存在性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]【详细分析】判断出在区间[3,5)上单调递增,(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩得出即1090m m -⎧⎨->⎩即可．【参考解答】解:函数2()44f x x x m =--+,对称轴2x =,在区间[3,5)上单调递增在区间[3,5)上有零点,∴(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩即1090m m -⎧⎨->⎩ 解得:19m <, 故选:C ．【点评】本题考查了二次函数的单调性,零点的求解方法,属于中档题． 5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是4【详细分析】直接利用不等式的基本性质和关系式的恒等变换的应用求出结果．【参考解答】解:已知2x >,所以20x ->,故11222(2)2422y x x x x x =+=-++-=--（当3x =时,等号成立）．故选:B ．【点评】本题考查的知识要点:不等式的基本性质,关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题．6．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=【详细分析】设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点,则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,(,)P y x '关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,代入详细解析式变形可得．【参考解答】解:设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点, 则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,又函数()y f x =的图象与函数12x y +=的图象关于直线0x y +=对称,(,)P y x ∴'关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,∴必有12x y -+-=,即12x y -+=-,()y f x ∴=的反函数为:12x y -+=-;故选:C ．【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D 【详细分析】由11sin sin[()]33ααππ=+-,结合已知及两角差的正弦公式即可求解．【参考解答】解:cos()3παα+=为锐角）,∴1sin()3απ+=,则11111sin sin[()]sin())33233ααππαπαπ=+-=++,1(2=-,=故选:C ．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式,诱导公式,难度不大,属于基础题．8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为( )A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 【详细分析】把已知函数详细解析式利用辅助角公式化积,求得函数值域,再由a 的范围可知方程()f x a =有两根1x ,2x ,然后利用对称性得正确答案．【参考解答】解:1()sin 2(sin )2sin()23f x x x x x x π=+=+=+,[0x ∈,2]π,()[2f x ∴∈-,2],又01a <<,∴方程()f x a =有两根1x ,2x ,由对称性得12()()33322x x πππ+++=,解得1273x x π+=．故选:D ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数,考查函数零点的判定及应用,正确理解题意是关键,是基础题．二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆【详细分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解．【参考解答】解:集合M N ⊆,∴在A 中,M N M =,故A 错误;在B 中,M N N =,故B 正确;在C 中,()M M N ⊆,故C 错误;在D 中,M N N N =⊆,故D 正确．故选:BD ．【点评】本题考查了子集、并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题． 10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 【详细分析】结合基本不等式的一正,二定三相等的条件检验各选项即可判断．【参考解答】解:不等式2a b ab +恒成立的条件是0a ,0b ,故A 不正确;当a 为负数时,不等式12a a+成立．故B 正确; 由基本不等式可知C 正确;对于212144()(2)4428y x y x x y x y x y x y x y+=++=+++=, 当且仅当4y x x y =,即12x =,14y =时取等号,故D 正确．故选:BCD ．【点评】本题考查基本不等式的应用,要注意应用条件的检验．11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根【详细分析】根据函数的奇偶性判断A ,根据函数的单调性判断B ,结合图象判断C ,D 即可．【参考解答】解:对于||:()()1x A f x f x x --=≠--+,()f x 不是奇函数,故A 错误; 对于:0B x 时,1()111x f x x x ==-++在[0,)+∞递增,故B 正确; 对于C ,D ,画出函数()f x 和21y x =-的图象,如图示:,显然函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞,故C 正确,()f x 和21y x =-的图象有3个交点,故D 错误;故选:BC ．【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性问题,考查数形结合思想,转化思想,是一道中档题．12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+- 【详细分析】求出11sin()6π-的值．利用二倍角的余弦求值判断A ;利用两角和的余弦求值判断B ;利用二倍角的正弦求值判断C ;利用两角和的正切求值判断D ．【参考解答】解:111sin()sin(2)sin 6662ππππ-=-+==．对于A ,22cos 1531cos30o -=︒=对于B ,1cos18cos42sin18sin 42cos(1842)cos602︒︒-︒︒=︒+︒=︒=; 对于C ,12sin15sin 752sin15cos15sin302︒︒=︒︒=︒=; 对于D ,tan30tan15tan(3015)tan 4511tan30tan15o oo o+=︒+︒=︒=-．∴与11sin()6π-的值相等的是BC ．故选:BC ．【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数,是基础题．三．填空题（共4小题）13．化简32a b -= a （其中0a >,0)b >．【详细分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【参考解答】解1311132322()b b bb ⨯=== 原式2111()3322a b a ---==,故正确答案为:a ．【点评】本题考查了指数幂的运算,属于基础题．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 {1-,0,1} ．【详细分析】先利用分离常数法将函数化为92()51x f x e =-+,进而求出()f x 的值域,再根据[]x 的定义可以求出[()]f x 的所有可能的值,进而得到函数的值域．【参考解答】解:212(1)212192()215151551x x x x x x e e f x e e e e+-=-=-=--=-++++, 0x e >,11x e ∴+>,∴2021x e <<+,∴19295515x e -<-<+, 即19()55f x -<<,①当1()05f x -<<时,[()]1f x =-, ②当0()1f x <时,[()]0f x =,③当91()5f x <<时,[()]1f x =, ∴函数[()]y f x =的值域是:{1-,0,1},故正确答案为:{1-,0,1}．【点评】本题主要考查了新定义运算的求解,关键是能通过分离常数的方式求得已知函数的值域,是中档题．15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 2 ．【详细分析】根据对数的基本运算,结合不等式的解法即可得到结论．【参考解答】解:1lgx lgy +=,1lgxy ∴=,且0x >,0y >,即10xy =, ∴25251022210x y x y +=, 当且仅当25x y =,即2x =,5y =时取等号, 故正确答案为:2【点评】本题主要考查不等式的应用,利用对数的基本运算求出10xy =是解决本题的关键,比较基础．16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 16- ．【详细分析】直接利用三角函数的性质和关系式的恒等变换的应用及二次函数的性质的应用求出结果．【参考解答】解:若42x ππ<<,则tan (1,)x ∈+∞, 另22tan tan 21tan x x x=-, 设tan x t =,(1)t >, 则422222244416111111()()24t y t t t t ===-----,当且仅当t =时,等号成立．故正确答案为:16-．【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,关系式的变换和二次函数的性质,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题．四．参考解答题（共8小题）17．已知0x >,0y >,且440x y +=．（Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值．【详细分析】（1）由已知得,40424x y xy =+=解不等式可求,（2）由题意得,11111()(4)40x y x y x y +=++,展开后结合基本不等式可求．【参考解答】解:（1）0x >,0y >,40424x y xy ∴=+=当且仅当4x y =且440x y +=即20x =,5y =时取等号,解得,100xy ,故xy 的最大值100．（2）因为0x >,0y >,且440x y +=．所以111111419()(4)(5)(540404040y x x y x y x y x y +=++=+++=, 当且仅当2x y =且440x y +=即403x =,203y =时取等号, 所以11x y +的最小值940．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,属于中档题18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x =>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围;（Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围．【详细分析】（Ⅰ）对式子变形后,利用基本不等式即可求得结果;（Ⅱ）先由题设把问题转化为:2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,构造函数2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],利用其最大值求得a 的取值范围;（Ⅲ）由题设把问题转化为:方程21a x =-在[0a ∈,2]有解,解出x 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）当2a =时,2()41111()22212222f x x x y x x x x -+===+-⨯-=-（当且仅当1x =时取“= “),1min y ∴=-;（Ⅱ）由题意知:221x ax a a --+对于任意的[0x ∈,2]恒成立,即2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,令2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],则(0)10(2)340g g a =-⎧⎨=-⎩,解得:34a , a ∴的取值范围为3[4,)+∞; （Ⅲ）由()2f x ax =-可得:210x a -+=,即21a x =-, [0a ∈,2],2012x ∴-,解得:11x -,即x 的取值范围为[1-,1]．【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法,属于中档题．19．解方程（1）231981x x -= （2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++【详细分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可．（2）利用对数运算法则,化简求解方程的解即可．【参考解答】解:（1）231981x x -=,可得232x x -=-,（2分）解得2x =或1x =;（4分）（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++,可得44log (3)log (21)(3)x x x -=++,3(21)(3)x x x ∴-=++,（2分）得4x =-或0x =,经检验0x =为所求．（4分）【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,对数方程的解法,考查计算能力．20．设函数3()cos 323x x f x ππ=-．（1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值．【详细分析】（1）利用辅助角公式化积,再由周期公式求周期;（2）由对称性求得()g x 的详细解析式,再由x 的范围求得函数最值．【参考解答】解:（1）3()cos sin()32333x x f x x ππππ=-=-． ()f x ∴的最小正周期为263T ππ==;（2）函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,()()3sin()33x g x f x ππ∴=-=-． [0x ∈,3]2,∴[333x πππ-∈-,]6π, sin()[33xππ∴-∈,1]2,()[g x ∈,3]2． ∴当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值为32．【点评】本题考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质,考查三角函数最值的求法,是中档题．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．【详细分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A ,B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,可得函数的详细解析式,再根据余弦函数的图象的对称性,得出结论．（Ⅱ）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,得出结论．【参考解答】解:（Ⅰ）由函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象知: 1(3)22A --==,1(3)12B +-==-,72212T πππωω-==⇒=, ()2cos(2)1f x x ϕ∴=+-,把点(,1)12π代入得:cos()16πϕ+=, 即26k πϕπ+=,k Z ∈．又||2πϕ<,∴6πϕ=-,∴()2cos(2)16f x x π=--．由图可知(,1)3π-是其中一个对称中心, 故所求对称中心坐标为:(,1)32k ππ+-,k Z ∈．（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,可得1cos(2)62y x π=--的图象,再向右平移6π个单位,可得11cos(2)sin 2222y x x π=--=- 的图象, 最后将图象向上平移1个单位后得到1()sin 22g x x =+的图象．由22222k x k ππππ-++,k Z ∈,可得增区间是[4k ππ-,]4k ππ+,当3[,]124x ππ∈时,函数的增区间为[,]124ππ．则32[,]62x ππ∈,当22x π=即,4x π=时,()g x 有最大值为32, 当322x π=,即34x π=时,()g x 有最小值为11122-+=-．【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求详细解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A 、B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,余弦函数的图象的对称性．函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,属于中档题．22．已知函数2()2cos 12x f x x =-+．（Ⅰ）若()()6f παα=+,求tan α的值; （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围．【详细分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换,化简()f x 的详细解析式,根据条件,求得tan α的值．（Ⅱ）根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,求得()g x 的详细解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得()g x 的范围,可得m 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）2()2cos 1cos 2sin()26x f x x x x x π-+-=-,()()6f παα=+,∴sin()6παα-=,∴1cos 2ααα-=,即cos αα-=,∴tan α=（Ⅱ）把()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象, 所以函数()g x 的详细解析式为()(2)2sin(2)6g x f x x π==-, 关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解, 等价于求()g x 在[0,]2π上的值域, 因为02x π,所以52666x πππ--, 所以1()2g x -,故m 的取值范围为[1-,2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题．。

高中数学期末检测试卷(B)精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

期末检测试卷(B)C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．设f (x )为偶函数，且x ∈(0,1)时，f (x )＝－x ＋2，则下列说法正确的是( )A ．f (0.5)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6>f (sin 0.5)C ．f (sin 1)<f (cos 1)D ．f (sin 2)>f (cos 2)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下面各式中，正确的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋32cos π4B ．cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos π4cos π3＋64D ．cos π12＝cos π3－cos π4 10．函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么( ) A ．f (x )在(1，＋∞)上递增且无最大值 B ．f (x )在(1，＋∞)上递减且无最小值 C ．f (x )在定义域内是偶函数 D ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称 11．下面选项正确的有( ) A ．存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝π3B ．α，β是锐角△ABC 的内角，是sin α>cos β的充分不必要条件C ．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2是偶函数D ．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象12．若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象不可以是( )三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为________．14．设x >0，y >0，x ＋y ＝4，则1x ＋4y的最小值为________．15．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝3x －1(－3<x ≤0)，f (x )＝f (x ＋3)，则f (2 019)＝________.16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0－x 2－2x ＋1，x <0，函数f (x )有________个零点，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值X 围是________．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)设函数f (x )＝6＋x ＋ln(2－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |2x＞1}． (1)求A ∪B ；(2)若集合{x |a ＜x ＜a ＋1}是A ∩B 的子集，求a 的取值X 围．18.(12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝15，cos (α＋β)＝－13，其中0<α<π2，0<β<π2. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．19．(12分)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≤0，log 2x ＋1，x >0.(1)作出函数f (x )的图象，并写出单调区间；(2)若函数y ＝f (x )－m 有两个零点，某某数m 的取值X 围．期末检测试卷(B)1．解析：因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2xx －2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －2>0＝{x |x <－2或x >2}，B ＝{x |1<2x <8}＝{x |0<x <3}，因此A ∩B ＝{x |2<x <3}．故选A.答案：A2．解析：要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋1≠0，解得x ≥－3，且x ≠－1，∴f (x )的定义域为{x |x ≥－3，且x ≠－1}．答案：A3．解析：sin 140°cos 10°＋cos 40°sin 350° ＝sin 40°cos 10°－cos 40°sin 10° ＝sin (40°－10°)＝sin 30°＝12.答案：C4．解析：∵f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋27－9＝19>0，∴f (2)·f (3)<0，∴函数在区间(2,3)上存在零点．答案：C5．解析：若命题p 是假命题，则“不存在x 0∈R ，使得x 20＋2ax 0＋a ＋2≤0”成立，即“∀x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋a ＋2>0”成立，所以Δ＝(2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)＝4(a ＋1)(a －2)<0，解得－1<a <2，所以实数a 的取值X 围是(－1,2)，故选B. 答案：B6．解析：x ＝ln π>ln e＝1，y ＝log 52<log 55＝12，z ＝1e >14＝12，且z <1，故y <z <x . 答案：C7．解析：因为函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3，因为g (x )为偶函数，所以φ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，因为φ＝π6可以推导出函数g (x )为偶函数，而函数g (x )为偶函数不能推导出φ＝π6，所以“φ＝π6”是“g (x )为偶函数”的充分不必要条件．答案：A8．解析：x ∈(0,1)时，f (x )＝－x ＋2，则f (x )在(0,1)上单调递减，A ：0.5<π6，所以f (0.5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，A 错误；B ：0.5<π6，∴0<sin 0.5<sin π6<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f (sin 0.5)，B 错误；C ：∵0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，C 正确；D ：－1<cos2<0，f (cos 2)＝f (－cos 2)，sin 2－(－cos 2)＝sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2＋π4>0，所以1>sin2>(－cos 2)>0，所以f (sin 2)<f (－cos 2)＝f (cos 2)，D 错误．故选C.答案：C9．解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝sin π4cos π3＋32cos π4，∴A 正确；∵cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝22sin π3－cos π4cos π3，∴B 正确；∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3＝cos π4cos π3＋64，∴C 正确；∵cos π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4≠cos π3－cos π4，∴D 不正确．故选ABC.答案：ABC10．解析：由|x －1|>0得，函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >1－x ＋1，x <1，则g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，D 正确；因为f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，所以a >1，所以f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A 正确，B 错误；又f (－x )＝log a |－x －1|＝log a |x ＋1|≠f (x )，所以C 错误．故选AD. 答案：AD11．解析：A 选项：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则sin x ＋cos x ∈[－2， 2 ]．又－2<π3<2，∴存在x ，使得sin x ＋cos x ＝π3，可知A 正确； B 选项：∵△ABC 为锐角三角形，∴α＋β>π2，即α>π2－β∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，可知B 正确；C 选项：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2＝cos 2x 3，则cos2－x 3＝cos 2x 3，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －7π2为偶函数，可知C 正确；D 选项：y ＝sin 2x 向右平移π4个单位得：y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ，可知D 错误．本题正确选项ABC.答案：ABC12．解析：函数y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，由函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，得0<a <1.当x >1时，函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以通过函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到，结合各选项可知只有D 选项符合题意．故选ABC.答案：ABC13．解析：设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为3π8，半径为1，∴3π8＝12·α·12，∴α＝3π4. 答案：3π414．解析：∵x ＋y ＝4，∴1x ＋4y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ，又x >0，y >0，则y x＋4xy≥2y x ·4x y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝43，y ＝83时取等号，则1x ＋4y ≥14×(5＋4)＝94. 答案：9415．解析：∵f (x )＝f (x ＋3)， ∴y ＝f (x )表示周期为3的函数， ∴f (2 019)＝f (0)＝3－1＝13.答案：1316．解析：作出函数f (x )的图象如下图所示，由图象可知，函数f (x )有且仅有一个零点，要使函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象有且仅有三个交点，则1＜m ＜2.答案：1 (1,2)17．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧6＋x ≥02－x >0得，－6≤x ＜2；由2x＞1得，x ＞0；∴A ＝[－6,2)，B ＝(0，＋∞)；∴A ∪B ＝[－6，＋∞)； (2)A ∩B ＝(0,2)；∵集合{x |a ＜x ＜a ＋1}是A ∩B 的子集； ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0a ＋1≤2；解得0≤a ≤1；∴a 的取值X 围是[0,1]．18．解析：(1)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝22(sin β－cos β)＝15，所以sin β－cos β＝25，所以(sin β－cos β)2＝sin 2β＋cos 2β－2sin βcos β＝1－sin 2β＝225，所以sin 2β＝2325.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝15，cos(α＋β)＝－13，其中0<α<π2，0<β<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝265，sin(α＋β)＝223，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×265＋223×15＝22－615.19．解析：(1)画出函数f (x )的图象，如图所示：由图象得f (x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增． (2)若函数y ＝f (x )－m 有两个零点，则f (x )和y ＝m 有2个交点，结合图象得1<m ≤2. 20．解析：(1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－12.21．解析：(1)由题意可得处理污染项目投放资金为(100－x )百万元，所以N (x )＝0.2(100－x )，所以y ＝50x10＋x ＋0.2(100－x )，x ∈[0,100]．(2)由(1)可得，y ＝50x 10＋x ＋0.2(100－x )＝70－⎝ ⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋x 5＝72－⎝⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋10＋x 5≤72－20＝52，当且仅当50010＋x ＝10＋x5，即x ＝40时等号成立．此时100－x ＝100－40＝60.∴y 的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元．22．解析：(1)若y ＝f k (x )是偶函数，则f k (－x )＝f k (x )，即2－x＋(k －1)·2x ＝2x＋(k －1)·2－x即2－x －2x ＝(k －1)·2－x －(k －1)·2x ＝(k －1)(2－x －2x)，则k －1＝1，即k ＝2； (2)∵f 0(x )＋mf 1(x )≤4，即2x －2－x ＋m ·2x ≤4，即m 2x ≤4－2x ＋2－x，则m ≤4－2x＋2－x2x＝4·2－x ＋(2－x )2－1，设t ＝2－x， ∵1≤x ≤2，∴14≤t ≤12.word- 11 - / 11 设4·2－x ＋(2－x )2－1＝t 2＋4t －1，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5，则函数y ＝t 2＋4t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为增函数， ∴当t ＝12时，函数取得最大值y max ＝14＋2－1＝54，∴m ≤54. 因此，实数m 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54； (3)f 0(x )＝2x －2－x ，f 2(x )＝2x ＋2－x ，则f 2(2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2，则g (x )＝λf 0(x )－f 2(2x )＋4＝λ(2x －2－x )－(2x －2－x )2＋2，设t ＝2x －2－x ，当x ≥1时，函数t ＝2x －2－x 为增函数，则t ≥2－12＝32，若y ＝g (x )在[1，＋∞)有零点，即g (x )＝λ(2x －2－x )－(2x －2－x )2＋2＝λt －t 2＋2＝0在t ≥32上有解，即λt ＝t 2－2，即λ＝t －2t， ∵函数y ＝t －2t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，则y min ＝32－2×23＝16，即y ≥16.∴λ≥16，因此，实数λ的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，＋∞.。

人教A版高中数学必修四测试题及答案全套

人教A 版高中数学必修四测试题及答案全套阶段质量检测（一）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30° 2．若sin α＝33，π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．－63B ．－12C.12D.633．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B.2sin 1C ．2sin 1D ．sin 24．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π25．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( ) A ．sin 2＋cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2－cos 2 D ．±cos 2－sin 26．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝⎛⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( )A.12B ．－12 C.32 D ．－32 8．设α是第三象限的角，且⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32B ．2 C ．0 D.3410．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π611．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π412．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，且f ⎝⎛⎭⎫－14＝－a ，那么f ⎝⎛⎭⎫94等于( ) A ．a B ．2a C ．3a D ．4a二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是________． 14．设f (n )＝cos ⎝⎛⎫n π2＋π4，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于________．15．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤b ），b （a >b ），例如1*2＝1，则函数f (x )＝sin x *cos x 的值域为________．16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝⎛⎭⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 18．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0，1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合．21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，求实数m 的取值范围．22．(12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0，0≤θ⎭⎫≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．答案1. 解析：选B 因为－510°＝－360°³2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.2. 解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，又π2<α<π，sin α＝33，∴cos α＝－63. 3. 解析：选B 如图，由题意知θ＝1，BC ＝1，圆的半径r 满足sin θ＝sin 1＝1r ，所以r ＝1sin 1，弧长AB ＝2θ·r ＝2sin 1.4. 解析：选C f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π4，当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.5. 解析：选C1＋2sin （π－2）·cos （π－2）＝1＋2sin 2·（－cos 2）＝（sin 2－cos 2）2， ∵π2<2<π，∴sin 2－cos 2>0. ∴原式＝sin 2－cos 2.6. 解析：选C 令k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z ，选C.7. 解析：选C ∵⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＝π， ∴3π4－α＝π－⎝⎛⎭⎫π4＋α，∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32. 8. 解析：选B ∵α是第三象限的角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z .∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z . ∴α2在第二或第四象限．又∵⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2是第二象限的角． 9. 解析：选A f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54，∵－π6≤x ≤π6， ∴－12≤sin x ≤12.当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14；当sin x ＝12时，f (x )max ＝54，∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝32.10. 解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x 变为x ＋π3.∴y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6.11. 解析：选C 由图象可知A ＝2，因为π8－⎝⎛⎭⎫－π8＝π4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝⎛⎭⎫－π8·2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝1，又|φ|<π，解得φ＝3π4.故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4.12. 解析：选A 由f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫x ＋12＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－12＝f (x )，即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫94＝f ⎝⎛⎭⎫14＝－f ⎝⎛⎭⎫－14＝a . 13. 解析：因为π2<α<π，所以cos α<0，sin α>0，所以cos α＝－cos 2α＝－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝－11＋tan 2α＝－11＋3＝－12.sin α＝32，所以cos α－sin α＝－1＋32.答案：－1＋3214. 解析：f (n )＝cos ⎝⎛⎭⎫n π2＋π4的周期T ＝4，且f (1)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＝cos 3π4＝－22，f (2)＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－22，f (3)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋π4＝22， f (4)＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4＝22.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－22. 答案：－2215. 解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 16. 解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期是π，则y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝⎛⎭⎫3³7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝⎛⎭⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．答案：①②③17. 解：由tan αtan α－1＝－1，得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3⎝⎛⎭⎫122＋12＋2⎝⎛⎭⎫122＋1＝135.18. 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫13³5π4－π6＝2sin π4＝2(2)令2k π－π2≤13x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以2k π－π3≤13x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，解得6k π－π≤x ≤2π＋6k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的单调递增区间为[6k π－π，2π＋6k π]，k ∈Z .19. 解：(1)列表如下：描点画图如图所示．(2)由图可知，值域为[－3，3]，最小正周期为2π，对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．20. 解：(1)因为函数图象过点(0，1)，所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6≥12，所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z .21. 解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2. 由2³π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为－π<φ<π，所以φ＝π3.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ，则π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(3)由题意知，方程sin ⎝⎛⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎡⎤－π3，π6上有两个根．因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3.所以m －16∈⎣⎡⎭⎫32，1.所以m ∈[33＋1，7)．22. 解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32. ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6.∵T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)∵点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3.∵点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π，∴cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6.∴x 0＝2π3或x 0＝3π4.阶段质量检测（二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在五边形ABCDE 中(如图)，＝( )2．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)3．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，若λa ＋b 与a 垂直，则λ的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．24．若|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2A.12 B ．－12 C.32 D ．－326．已知向量满足：|a |＝2，|b |＝3，|a －b |＝4，则|a ＋b |＝( ) A. 6 B.7 C.10 D.11A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心8．平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2，1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b ∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π4 C.π2 D.3π49．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设＝a ，＝b ，则等于( )A.43a ＋23b B.23a ＋43b C.23a －43b D ．－23a ＋43bA.⎝⎛⎭⎫0，π3B.⎝⎛⎭⎫π3，5π6C.⎝⎛⎭⎫π2，2π3D.⎝⎛⎭⎫2π3，5π611．已知a ＝(－1，3)，＝a －b ，＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB 的面积是( )A. 3 B ．2 C ．2 2 D ．412．已知向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，p ＝(x ，y )，定义新运算m ⊗n ＝(ac ＋bd ，ad ＋bc )，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m 都有m ⊗p ＝m 成立，则向量p 为( )A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(0，－1) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(2x ＋3，2－x )，b ＝(－3－x ，2x )(x ∈R )．则|a ＋b |的取值范围为________． 14．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若a ＝e 1＋λe 2与b ＝－(2e 1－3e 2)共线，则实数λ等于________． 15．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.18．(12分)设向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，且a 与b 不共线．(1)求证：(a ＋b )⊥(a －b )；(2)若向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α. 19．(12分)如图，平行四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，(1)以a ，b 为基底表示向量(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求20．(12分)在边长为1的正△ABC 中，AD 与BE 相交于点F .21．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2.22．(12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求的坐标；(3)已知D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．答案1. 解析：选B ∵＝＝.2. 解析：选B ∵a ∥b ，∴－21＝m2，∴m ＝－4，∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 3. 解析：选A 由题意可知(λa ＋b )·a ＝λa 2＋b ·a ＝0. ∵|a |＝10，a ·b ＝1³4＋(－3)³(－2)＝10， ∴10λ＋10＝0，λ＝－1.4. 解析：选B 由于(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，即|a|2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝|a|2＝2，所以 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b|＝222＝22，即a 与b 的夹角是π4. 5.6. 解析：选C 由题意|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝16， ∴a ·b ＝－32.∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝10， ∴|a ＋b |＝10. 7.∴P 是△ABC 的垂心．8. 解析：选C 由题意知b －c ＝(－3，1－y )，a ＋c ＝(x ＋1，y －3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3x －3（1－y ）＝0，x ＋1＋2（y －3）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴c ＝(1，2)，而b ·c ＝－2³1＋1³2＝0， ∴b ⊥c . 9.10.11. 解析：选D 由题意||＝||且⊥，所以(a －b )2＝(a ＋b )2且(a －b )·(a ＋b )＝0，所以a ·b ＝0，且a 2＝b 2，所以|a |＝|b |＝2，所以S △AOB ＝12||·||＝12（a －b ）2（a ＋b ）2＝12（a 2＋b 2）2＝4. 12. 解析：选A 因为m ⊗p ＝m ，即(a ，b )⊗(x ，y )＝(ax ＋by ，ay ＋bx )＝(a ，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝a ，ay ＋bx ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a （x －1）＋by ＝0，ay ＋b （x －1）＝0. 由于对任意m ＝(a ，b )，都有(a ，b )⊗(x ，y )＝(a ，b )成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0. 所以p ＝(1，0)．故选A.13. 解析：因为a ＋b ＝(x ，x ＋2)，所以|a ＋b |＝x 2＋（x ＋2）2＝2x 2＋4x ＋4 ＝2（x ＋1）2＋2≥2，所以|a ＋b |∈[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)14. 解析：因为a ，b 共线，所以由向量共线定理知，存在实数k ，使得a ＝k b ，即e 1＋λe 2＝－k (2e 1－3e 2)＝－2k e 1＋3k e 2 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2k ，λ＝3k ，解得λ＝－32.答案：－3215. 解析：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则由A (0，0)，B (2，0)，E (2，3)，D (1，3，可得＝1.答案：1 16.答案：[1，4]17. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1³(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1³(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)， ∴a －b ＝(－2，0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)， ∴a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.18. 解：(1)证明：由题意，得a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫cos α－12，sin α＋32，a －b ＝⎝⎛⎭⎫cos α＋12，sin α－32，因为(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝1－1＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )．(2)因为向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，所以(3a ＋b )2＝(a －3b )2，所以|a |2－|b |2＋23a ·b ＝0，因为|a |＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|a |2＝|b |2，所以a ·b ＝0，所以－12cos α＋32sin α＝0，所以tan α＝33，又因为0≤α＜2π，所以α＝π6或α＝7π6.19. 解：(1)∵M 为DC 的中点，(2)由已知得a ·b ＝3³4³cos 120°＝－6，＝12a 2＋⎝⎛⎭⎫1－112a ·b －16b 2 ＝12³32＋1112³(－6)－16³42 ＝－113.20. 解：(1)由题意，D 为BC 边的中点，而△ABC 是正三角形，所以AD ⊥BC ，＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫23b －a ＝13b 2－12a 2－16a ·b ＝13－12－16³1³1³12＝－14.根据平面向量的基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－22（λ＋1）＝－μ，λ2（λ＋1）＝2μ3，解得λ＝4. 21.∴t ＝－2k sin θ＋16.∵t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k ， ∵k ＞4，∴1＞4k＞0，当sin θ＝4k 时，t sin θ取最大值为32k .由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，＝(4，8)，∴·＝(8，0)·(4，8)＝32.22. 解：(1)＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.∵A ，E ，C 三点共线， ∴存在实数k ，使得，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，即点A 的坐标为(10，7)．阶段质量检测（三）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝2cos 2x2＋1的最小正周期是( )A ．4πB ．2πC ．π D.π22．sin 45°²cos 15°＋cos 225°²sin 15°的值为( ) A ．－32B ．－12C.12D.323．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( )A.210B ．－210C.7210D ．－72104．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79B ．－13C.13D.795．已知tan(α＋β)＝14，tan α＝322，那么tan(2α＋β)等于( )A.25B.14C.1318D.1322 6.1－3tan 75°3＋tan 75°的值等于( )A ．2＋3B ．2－3C ．1D ．－17．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．若θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32B ．－32C ．±32D ．±129．若函数g (x )＝a sin x cos x (a >0)的最大值为12，则函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝0B ．x ＝－3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－5π410．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β为( )A.π6 B ．－2π3C.π6或－5π6 D ．－π3或2π311．设a ＝22(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝sin 37°²sin 67°＋sin 53°sin 23°，则( ) A ．c <a －3C ．m <3D ．m >1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________． 14．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是________．15．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值为________． 16．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分 )已知cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6以及tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值． 18．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. 19．(12分)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．20．(12分)已知f (x )＝sin x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2.(1)若f (α)＝22，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求α的值； (2)若sin x 2＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f (x )的值． 21．(12分)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值． 22．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．答案1. 解析：选B ∵y ＝2cos 2x 2＋1＝⎝⎛⎭⎫2cos 2 x 2－1＋2＝cos x ＋2， ∴函数的最小正周期T ＝2π.2. 解析：选C sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12. 3. 解析：选A 由题意，sin α＝45， cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝210. 4. 解析：选A cos(2π3＋2α)＝cos[π－2(π6－α)]＝－cos[2(π6－α)]＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝－79. 5. 解析：选A tan(2α＋β)＝tan （α＋β）＋tan α1－tan （α＋β）tan α＝25. 6. 解析：选D 1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75° ＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°·tan 75°＝tan(30°－75°) ＝tan(－45°)＝－1.7. 解析：选C 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B 2，∴2cos 2A ＋B 2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形．8. 解析：选B 由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin θ>cos θ，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π，因此，cos 2θ＝－32，故选B. 9. 解析：选B g (x )＝a 2sin 2x (a >0)的最大值为12，所以a ＝1，f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，令x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π，k ∈Z .故选B. 10. 解析：选B 由题意得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4>0，所以tan α<0，tan β<0，所以－π2<α<0，－π2<β<0，－π<α＋β<0. 又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3. 所以α＋β＝－2π3.故选B. 11. 解析：选A a ＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17°＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 37°cos 23°＋cos 37°sin 23°＝sin 60°，故c <a 2sin B －1恒成立．∵01.13. 解析：因为sin α＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. 所以tan α＝sin αcos α＝－12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－11－14＝－43. 答案：－4314. 解析：由题意，sin A 2＝14，∴cos A 2＝154， ∴tan A 2＝1515.∴tan A ＝2tan A 21－tan 2A 2＝157. 答案：157 15. 解析：由已知条件可得sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝sin 2θ，又θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，由三角函数图象可知θ＋π4＋2θ＝3π，即θ＝11π12，sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin 13π6＝12. 答案：1216. 解析：因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4＝22³1725＝17250. 答案：1725017. 解：因为cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，所以sin θ＝－513，tan θ＝－512，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6 ＝－513³32－1213³12＝－53＋1226， tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋tanπ41－tan θtan π4＝－512＋11－⎝⎛⎭⎫－512³1＝717. 18. 解：(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0.∵0<α<β≤π2，∴β＝π2. ∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0. 19. 解：(1)由|a|2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1，此时f (x )取得最大值，最大值为32. 20. 解：(1)f (x )＝sin x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2 ＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 由f (α)＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4. ∴α＋π4＝π6，∴α＝－π12. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 又∵sin x 2＝45，∴cos x 2＝35. ∴sin x ＝2sin x 2cos x 2＝2425， cos x ＝－1－sin 2x ＝－725. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2425－725＝1725. 21. 解：(1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3210，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35. 所以sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－1825＝725. 22. 解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最小正周期为π.∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎝⎛⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又∵f (x 0)＝65，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6. 从而cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45. ∴cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6sin π6 ＝3－4310.。

高中数学阶段质量检测(一)(含解析)新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

阶段质量检测（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若角α的终边经过点P (－1,3)，则tan α的值为( ) A ．－13 B ．－3C ．－1010 D.31010解析：选B 由定义，若角α的终边经过点P (－1,3)，∴tan α＝－3.故选B. 2．若sin α＝33，π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．－63 B ．－12C.12 D.63解析：选A ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，又π2<α<π，sin α＝33，∴cos α＝－63. 3．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1C.2π3D ．3 解析：选B 弧长l ＝3r －2r ＝r ，则圆心角α＝lr＝1.4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：选C f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π4，当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 解析：选D 周期为π，排除A ，B ；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，所以选D.6．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：选C 令k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z ，选C.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32 解析：选C ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π，∴3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.8．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选B 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos π2－2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos2x －π3.故选B.9．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32 B ．2C ．0 D.34解析：选A f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤sin x ≤12.当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14；当sin x ＝12时，f (x )max ＝54，∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝32.10．同时具有下列性质的函数可以是( ) ①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立； ②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数． A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选B 依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x ＝π3为对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．对于A 选项，函数周期为4π，因此A 选项不符合；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 选项不符合；对于D 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠±1，即函数图象不以直线x ＝π3为对称轴，因此D 选项不符合．综上可知，应选B.11.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 解析：选C 由图象可知A ＝2，因为π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8·2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝1，又|φ|<π，解得φ＝3π4.故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 12．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a解析：选A 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )，即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是________．解析：因为π2<α<π，所以cos α<0，sin α>0，所以cos α＝－cos 2α＝－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝－11＋tan 2α＝－11＋3＝－12.sin α＝32，所以cos α－sin α＝－1＋32.答案：－1＋3214．函数f (sin x )＝cos 2x ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．解析：令sin x ＝12，得x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π3＝12. 答案：1215．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，b a >b ，例如1*2=1，则函数f （x ）=sin x *cos x的值域为________．解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知tan α＋1tan α＝52，求2sin 2(3π－α)－3cos π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2的值．解：tan α＋1tan α＝52，即2tan 2α－5tan α＋2＝0，解得tan α＝12或tan α＝2.2sin 2(3π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2 ＝2sin 2α－3sin αcos α＋2 ＝2sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＋2. 当tan α＝12时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－3×12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝－45＋2＝65；当tan α＝2时，原式＝2×22－3×222＋1＋2＝25＋2＝125. 18．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2(2)令2k π－π2≤13x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以2k π－π3≤13x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，解得6k π－π≤x ≤2π＋6k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6的单调递增区间为[6k π－π，2π＋6k π]，k ∈Z .19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．解：(1)列表如下：x －π4 π4 3π4 5π4 7π4 x ＋π4π2 π3π2 2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π40 10 －13sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 0 3 0 －3 0描点画图如图所示．(2)由图可知，值域为[－3,3]，最小正周期为2π，对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合．解：(1)因为函数图象过点(0,1)，所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12，所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z .21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，某某数m 的取值X 围．解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为－π<φ<π，所以φ＝π3.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ，则π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(3)由题意知，方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上有两个根．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.所以m －16∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.所以m ∈[33＋1,7)．22．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－b (ω>0,0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是π2.若将f (x )的图象先向右平移π6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象对应的函数g (x )为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的对称轴及单调区间；(3)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)因为2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)－b .又因为函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ－b ＋3为奇函数，且0<φ<π，所以φ＝π3，b ＝3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3. (2)令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得对称轴为直线x ＝π12＋k π2，k ∈Z .令2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，得单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，令2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，得单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以－3≤f (x )≤1－3，所以－1－3≤f (x )－1≤－ 3.因为f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，整理可得m ≤1f x －1＋f (x )－1.由－1－3≤f (x )－1≤－3，得－1－332≤1f x －1＋f (x )－1≤－433，故m ≤－1－332，即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1－332.。

高中数学第二章《平面向量》测试题B卷新人教A版必修4

高中数学必修4 第二章《平面向量》测试题B 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．化简AB →＋BD →－AC →－CD →等于 ( ) A.AD → B ．0 C.BC → D.DA →2．已知MA →＝(－2,4)，MB →＝(2,6)，则12AB →＝ ( )A ．(0,5)B ．(0,1)C ．(2,5)D ．(2,1) 3．下列说法正确的是( )A ．(a ·b )c ＝a (b ·c )B ．a ·c ＝b ·c 且c ≠0，则a ＝bC ．若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0D ．|a ·b |≤|a |·|b |4．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是 ( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b 5．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝ ( )A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD 6．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°7．已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、b 、c 的终点共线，则必有( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－18．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322D ．－31529．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于 ( )A ．2 B. 3 C. 2D ．110．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)，(c ，d∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题（每小题6分，共计24分）.11．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是____________．12．已知向量a ＝(1,1)，b ＝ (2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________． 13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为____________．14．正三角形ABC 边长为2，设BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →＝________.三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1) (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．16.（本题满分12分）设e 1、e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A 、B 、C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m 、n 的值． 17.（本题满分12分）已知a 和b 是两个非零的已知向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时． (1)求t 的值；(2)已知a 与b 成45°角，求证：b 与a ＋t b (t ∈R )垂直．18.（本题满分12分）已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)．(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．19.（本题满分14分）已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．(1)若AC →·BC →＝－1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)若|OA →＋OC →|＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC →的夹角．20.（本题满分14分）如图，已知△ABC 的三个顶点坐标为A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)．(1)求△ABC 的面积；(2)若四边形的ABCD 为平行四边形，求D 点的坐标．高中数学必修4 第二章《平面向量》测试题B 卷参考答案一、选择题1. 【答案】B.【解析】 AB →＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0. 2. 【答案】D.【解析】∵AB →＝MB →－MA →＝(4,2)，∴12AB →＝(2,1)．3. 【答案】D.【解析】对于A ：向量的数量积不满足结合律；对于B ：向量的数量积不满足消去律；对于C ：只要a 与b 垂直时就有a ·b ＝0；对于D ：由数量积定义有|a ·b |＝||a ||b |cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，等号成立． 4. 【答案】C.【解析】 a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，∴|a |＝1，|b |＝14＋14＝22，∴A 错误；∵a ·b ＝1×12＋0×12＝12，∴B 错误；∵a －b ＝(12，－12)，∴(a －b )·b ＝12×12－12×12＝0，∴C 正确；∵1×12－0×12＝12≠0，∴D 错误．5. 【答案】 D【解析】 EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．6.【答案】 C【解析】由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝12|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，∴sin θ＝12⇒θ＝150°. 7.【答案】 C【解析】设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，∵a 、b 、c 的终点共线，∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，∴m ＋n＝1.8. 【答案】 A【解析】本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算．由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →＝10＋5＝15. |CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.9. 【答案】A.【解析】如图，设OA →＝a ， OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .∵|a |＝|b |＝1，∴OA ＝OB ＝1. 又∵a ·b ＝－12， ∴|a |·|b |·cos∠AOB ＝－12， ∴cos∠AOB ＝－12.∴∠AOB ＝120°.又∵〈 a －c ，b －c 〉＝60°，而120°＋60°＝180°，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴Rt △AOC ≌Rt △BOC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°，∴|OA |＝12|OC |，∴|OC |＝2|OA |＝2.10. 【答案】D.【解析】依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有AC →＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ＝2.若C是线段AB 的中点，则有AC →＝12AB →，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立．因此A 不对，同理B 不对．当C ，D 同时在线段AB 上时，由AC →＝λAB →，AD →＝μAB →知0<λ<1,0<μ<1，此时1λ＋1μ>2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C 不对．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则AC →＝λAB →时，λ>1，AD →＝μAB →时，μ>1，此时1λ＋1μ<2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．二、填空题11.【答案】A ，B ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →. 12.【答案】－1【解析】 (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0， ∴k ＝－1. 13.【答案】 12【解析】 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝12.14. 【答案】－2【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →，BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →，∴AD →·BE →＝(AB →＋12BC →)·(13AC →－AB →)＝13AB →·AC →＋16BC →·AC →－12BC →·AB →－AB →2＝13×2×2×12＋16×2×2×12＋12×2×2×12－22＝－2.三、解答题15. 解： (1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向．a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2当x ＝12时，a 、b 同向．∴x >－2且x ≠12(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，(2a －b )＝(2－x,3) (2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0 即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝72或x ＝－2.16. 解：以O 为原点，e 1、e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)，所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A 、B 、C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.17. 解： (1)设a 与b 的夹角为θ，则|a ＋t b |2＝|a |2＋t 2|b |2＋2t ·a ·b ＝|a |2＋t 2·|b |2＋2|a |·|b |·t ·c os θ＝|b |2(t ＋|a ||b |cos θ)2＋|a |2(1－cos 2θ)．∴当t ＝－|a ||b |cos θ时，|a ＋t b |取最小值|a |sin θ.(2)∵a 与b 的夹角为45°，∴cos θ＝22，从而t ＝－|a ||b |·22，b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t ·|b |2＝|a |·|b |·22－22·|a ||b |·|b |2＝0，所以b 与a ＋t b (t ∈R )垂直，即原结论成立． 18. 解： (1)a ·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0. 又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 2－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k 、t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．19. 解：(1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得cos 2＋sin 2α－3(cos α＋sin α)＝－1，∴cos α＋sin α＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23. (2)∵|OA →＋OC →|＝13，∴(3＋cos α)2＋sin 2α＝13，∴cos α＝12，∵α∈(0，π)，∴α＝π3，sin α＝32，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OB →·OC →＝332，设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3323＝32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6即为所求的角.20. 解：如图，(1)作BC 边上的高为AE ，设E (x ，y )，∴AE →＝(x ，y ＋4)，BE →＝(x －4，y )，BC →＝(－10,2)，由AE →⊥BC →，则－10x ＋2(y ＋4)＝0①由于BE →与BC →共线，则2(x －4)＋10y ＝0② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213y ＝813，因此S △ABC ＝12|BC →|·|AE →|＝12·104·122＋602132＝26×122613＝24. (2)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y ＋4)，BC →＝(－10,2)，由题意可知AD →＝BC →，∴(x ，y ＋4)＝(－10,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－10y ＋4＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10y ＝－2，所以，所求点D 的坐标为(－10，－2)．。

新人教A版高中数学必修四同角三角函数的基本关系式测试题(含答案解析)

高一三角同步练习5（同角三角函数的基本关系式）一、选择题1、),0(,54cos παα∈=，则αcot 的值等于（）A ．34B ．43C ．34±D ． 43±2、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 23 ,则这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形 3、已知sin αcos α = 18,则cos α－sin α的值等于（）A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－234、已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，则=θθcos sin （） A ．32 B ． 32- C ． 31 D ． 31- 5、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么θθcot tan +的值是（）A ．1-B ．2-C ．1D ．26、若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan（）A ．1B ． - 1C ．43D ．34-7、已知21cos sin 1-=+x x ，则1sin cos -x x的值是A ．21 B ． 21- C ．2 D ．－2 8、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为 A ．51+B ．51-C ．51±D ．51--二、填空题1、若15tan =α，则=αcos；=αsin．2、若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________．3、已知2cos sin cos sin =-+αααα，则ααcos sin 的值为．4、已知524cos ,53sin +-=+-=m mm m θθ，则m=_________；=αtan ．三、解答题1、：已知51sin =α，求ααtan ,cos 的值． 2、已知22cos sin =+αα，求αα22cos 1sin 1+的值． 3、已知51cos sin =+ββ，且πβ<<0．（1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；（2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．*4、已知：m =αcot ，()0≠m ，求αsin ，αcos 的值．参考答案一、选择题ABBA DAAB 二、填空题1、41±；415±(α在一象限时取正号，在三象限时取负号)．2、2529． 3、103． 4、0=m 或8=m ；43tan -=α或125tan -=α．三、解答题1、562cos ±=α；126tan ±=α(α在一象限时取正号，在二象限时取负号)． 2、由22c o s si n =+αα可得：21cos sin 21cos cos sin 2sin 22=+=++αααααα；于是：41cos sin -=αα，∴16cos sin cos sin cos 1sin 1222222=+=+αααααα． 3、（1）由51cos sin =+ββ可得： 251cos sin 21cos cos sin 2sin22=+=++ββββββ；于是：2512cos sin -=ββ，()2549cos sin 21cos sin 2=-=-ββββ； ∵0cos sin <ββ且πβ<<0，∴0sin >β，0cos <β．于是：57cos sin =-ββ．（2）54sin =β；53cos -=β；34tan -=β． 4、 ∵ m ==αααsin cos cot ，∴ ααsin cos m =，代入：1cos sin 22=+αα可得： ()1sin 122=+αm ∴ 2211sin m +=α；当α在第一、第二象限时，211sin m+=α， 21cot sin cos mm +==ααα；当α在第三、第四象限时，211sin m+-=α，21cot sin cos mm +-==ααα．。

【2019-2020高一数学试卷】人教A版必修4《三角函数》单元测试卷一答题卡及答案解析

必修4《三角函数》单元测试卷一(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．若点(,)P x y 是330︒角终边上异于原点的一点，则yx的值为( )A B ．C D ． 2．已知角α的终边经过点(3,4)-，则cos α的值为( ) A ．34-B ．35C ．45-D ．43-3．若|cos |cos θθ=，|tan |tan θθ=-，则2θ的终边在( )A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上4．如果函数()sin(2)(02)f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T ，且当1x =时取得最大值，那么( ) A ．1T =，2πθ=B ．1T =，θπ=C ．2T =，θπ=D ．2T =，2πθ=5．若sin()2x π-=2x ππ<<，则x 等于( )A ．43π B ．76π C ．53π D ．116π6．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．7．为得到函数sin()6y x π=+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数，则||m n -的最小值是( )A ．3π B ．23π C ．π D ．2π8．若tan 2θ=，则2sin cos sin 2cos θθθθ-+的值为( )A ．0B ．1C ．34D ．549．函数tan 1cos xy x=+的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数10．函数()cos f x x =在(0,)+∞内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点11．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f 对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是( ) A ．[3k ππ-，]()6k k Z ππ+∈ B ．[k π，]()2k k Z ππ+∈C ．[6k ππ+，2]()3k k Z ππ+∈ D ．[2k ππ-，]()k k Z π∈12．函数()3sin f x = (2)3x π- 的图象为C ．①图象C 关于直线1112x π=对称； ②函数()f x 在区间(12π-，5)12π内是增函数； ③由3sin y = 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13．已知2sin()sin()2παπα-=+，则tan()πα-的值是．14．函数y ＝3cos x （0≤x ≤π）的图象与直线3y =-及y 轴围成的图形的面积为． 15．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则ϕ=16．给出下列命题：①函数2cos()32y x π=+是奇函数；②存在实数x ，使sin cos 2x x +=；③若α，β是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；④8x π=是函数5sin(2)4y x π=+的一条对称轴； ⑤函数sin(2)3y x π=+的图象关于点(,0)12π成中心对称．其中正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（10分）已知sin α是方程25760x x --=的根，求333sin()sin()tan (2)22cos()cos()22αππαπαππαα-----+的值．18．（12分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，)x R ∈在一个周期内的图象如图所示，求直线y =()f x 图象的所有交点的坐标．19．（12分）已知3()sin(2)62f x x π=++，x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调减区间；（3）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样变换得到？20．（12分）已知函数sin()(0y A x A ωϕ=+>，0)ω>的图象过点(12P π，0)，图象与P 点最近的一个最高点坐标为(3π，5)．（1）求函数的解析式；（2）求函数的最大值，并写出相应的x 的值；（3）求使y ≤0时，x 的取值范围．21．（12分）已知cos()2sin()22ππαα+=-．（1）求4sin 2cos 3sin 5cos αααα-+的值．（2）求22111sin sin cos cos 432αααα++的值．22．（12分）函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，且过点(0,1)，其中0A >，0ω>，||2πϕ<．（1）求函数的解析式．（2）若函数()f x 的图象向左平移m 个单位所对应的函数()h x 是奇函数，求满足条件的最小正实数m ．（3）设函数()()1g x f x a =++，[0x ∈，]2π，若函数()g x 恰有两个零点，求a 的范围．必修4《三角函数》单元测试卷一答题卡成绩：一、选择题（本题满分60分）二、填空题（本题满分20分）13 . 14.15.16.三、解答题（本题满分70分）班级姓名座号密封装订线必修4《三角函数》单元测试卷一答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．若点P（x，y）是330°角终边上异于原点的一点，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由三角函数的定义知＝tan330°，计算即可．【答案】解：由题意知，＝tan330°＝﹣tan30°＝﹣．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．2．已知角α的终边经过点（3，﹣4），则cosα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．﹣【分析】由条件利用本任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【答案】解：∵角α的终边经过点（3，﹣4），∴x＝3，y＝﹣4，r＝5，则cosα＝＝，故选：B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．若|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝﹣tanθ，则的终边在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或x轴上D．第二、四象限或x轴上【分析】利用已知条件，判断θ所在象限，然后求解即可．【答案】解：|cosθ|＝cosθ，∴θ是第一、四象限或x轴正半轴；|tanθ|＝﹣tanθ，说明θ是二．四象限或x轴；所以θ是第四象限或x轴正半轴，∴k•360°+270°＜θ≤k•360°+360°，k∈Z，则k•180°+135°＜≤k•180°+180°，k∈Z，令k＝2n，n∈Z有n•360°+135°＜≤n•360°+180°，n∈Z；在二象限或x轴负半轴；k＝2n+1，n∈z，有n•360°+315°＜≤n•360°+360°，n∈Z；在四象限或x轴正半轴；故选：D．【点睛】本题考查三角函数的符号，象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限．4．如果函数f（x）＝sin（2πx+θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，且当x＝1时取得最大值，那么（）A．T＝1，θ＝B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝πD．T＝2，θ＝【分析】利用函数的周期公式求出T，通过当x＝1时取得最大值求出θ判断即可．【答案】解：函数f（x）＝sin（2πx+θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，可得T＝＝1；当x＝1时取得最大值，sin（2π+θ）＝1，0＜θ＜2π，可得θ＝．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的周期以及三角函数的最值的求法，考查计算能力．5．若sin（﹣x）＝且π＜x＜2π，则x等于（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式求得cos x的值，结合角x的范围，以及特殊角的三角函数的值，求得x的值．【答案】解：sin（﹣x）＝＝cos x，且π＜x＜2π，则x＝，故选：D．【点睛】本题主要考查诱导公式，特殊角的三角函数的值，属于基础题．6．已知a是实数，则函数f（x）＝1+a sin ax的图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据当a＝0时，y＝1，可判断图象哪个符合，当a≠0时，f（x）周期为，振幅a，分类讨论a＞1时，T＜2π；0＜a≤1，T≥2π利用所给图象判断即可得出正确答案．【答案】解：∵函数f（x）＝1+a sin ax（1）当a＝0时，y＝1，函数图象为：C故C正确（2）当a≠0时，f（x）＝1+a sin ax周期为T＝，振幅为a若a＞1时，振幅为a＞1，T＜2π，当0＜a≤1，T≥2π．∵D选项的图象，振幅与周期的范围矛盾故D错误，故选：D．【点睛】本题考察了三角函数的图象和性质，分类讨论的思想，属于中档题，关键是确定分类的标准，和函数图象的对应．7．为得到函数y＝sin（x+）的图象，可将函数y＝sin x的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数，则|m﹣n|的最小值是（）A．B．C．πD．2π【分析】根据函数左右平移关系，求出m，n的表达式，然后根据绝对值的意义进行求解即可．【答案】解：y＝sin x的图象向左平移+2kπ个单位长度，即可得到函数y＝sin（x+）的图象，此时m＝+2kπ，k∈Z，y＝sin x的图象向右平移+2mπ个单位长度，即可得到函数y＝sin（x+）的图象，此时n＝+2mπ，m∈Z，即|m﹣n|＝|+2kπ﹣﹣2mπ|＝|2（k﹣m）π﹣|，∴当k﹣m＝1时，|m﹣n|取得最小值为2π﹣＝，故选：A．【点睛】本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，利用函数平移关系是解决本题的关键．8．若tanθ＝2，则的值为（）A．0 B．1 C．D．【分析】将所求分子分母同除cosθ，利用同角三角函数基本关系式化简，代入tanθ＝2，即可得到选项．【答案】解：∵tanθ＝2，∴＝＝＝．故选：C．【点睛】本题是基础题，考查同角三角函数基本关系式的应用，已知函数值求表达式的其它函数值，考查计算能力，常考题型．9．函数的奇偶性是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【分析】先考虑函数的定义域关于原点对称，其次判定f（x）与f（﹣x）的关系即可．【答案】解：先考虑函数的定义域关于原点对称，其次，故选：A．【点睛】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件．判定函数奇偶性常见步骤：1、判定其定义域是否关于原点对称；2、判定f（x）与f（﹣x）的关系．10．函数f（x）＝在（0，+∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点【分析】作函数y＝与y＝cos x的图象，从而利用数形结合的思想判断．【答案】解：作函数y＝与y＝cos x的图象如下，∵函数y＝与y＝cos x的图象有且只有一个交点，∴函数f（x）＝在（0，+∞）内有且仅有一个零点，故选：B．【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用．11．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）【分析】由题意求得φ的值，利用正弦函数的性质，求得f（x）的单调递增区间．【答案】解：若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（）为函数的函数的最大值或最小值，即2×+φ＝kπ+，k∈Z，则φ＝kπ+，k∈Z，又f（）＞f（π），sin（π+φ）＝﹣sinφ＞sin（2π+φ）＝sinφ，sinφ＜0．令k＝﹣1，此时φ＝﹣，满足条件sinφ＜0，令2x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，解得：x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）．则f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性，属于基础题．12．函数f（x）＝3sin （2x﹣）的图象为C．①图象C关于直线x＝π对称；②函数f（x）在区间（﹣，）内是增函数；③由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．以上三个论断中，正确论断的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①②由三角函数图象的对称性和单调性判断即可；③根据图象的平移可得．【答案】解：函数f（x）＝3sin （2x﹣）的图象为C．①f（π）＝﹣3，故x＝π是函数的一条称对称轴，故正确；②函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，故在区间（﹣，）内是增函数，故正确；③由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象y＝3sin2（x﹣）的图象，故错误．故选：C．【点睛】考查了三角函数图象的对称性，单调性和函数图象的平移．属于基础题型，应熟练掌握．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．已知，则tan（π﹣α）的值是﹣2 ．【分析】由已知利用诱导公式可得﹣2cosα＝﹣sinα，根据同角三角函数基本关系式可求tanα的值，利用诱导公式化简所求即可得解．【答案】解：∵，∴﹣2cosα＝﹣sinα，可得tanα＝2，∴tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．函数y＝3cos x（0≤x≤π）的图象与直线y＝﹣3及y轴围成的图形的面积为3π．【分析】由题意画出图形，利用定积分表示曲边梯形的面积，然后计算求值．【答案】解：函数y＝3cos x（0≤x≤π）的图象与直线y＝﹣3及y轴围成的图形如图：面积为＝（3sin x+3x）＝3π；故答案为：3π．【点睛】本题考查了定积分的应用；关键是利用定积分表示出所围成的图形面积．15．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ＝﹣【分析】根据三角函数图象和性质，求出函数的周期，即可求出ω和φ的值．【答案】解：由图象得＝＝，则T＝＝，即ω＝，即f（x）＝sin（x+φ），∵f（）＝sin（×+φ）＝1，∴×+φ＝+2kπ，即φ＝﹣+2kπ，∵﹣π≤φ＜π，∴当k＝0时，φ＝﹣，故答案为：﹣．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出ω和φ的值是解决本题的关键．16．给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数x，使sin x+cos x＝2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④是函数的一条对称轴；⑤函数的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为①④．【分析】利用诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【答案】解：①函数＝﹣sin x，而y＝﹣sin x是奇函数，故函数是奇函数，故①正确；②因为sin x，cos x不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sin x+cos x＝2成立，故②错误．③令α＝，β＝，则tanα＝，tanβ＝tan＝tan＝，tanα＞tanβ，故③不成立．④把x＝代入函数y＝sin（2x+），得y＝﹣1，为函数的最小值，故是函数的一条对称轴，故④正确；⑤因为y＝sin（2x+）图象的对称中心在图象上，而点不在图象上，所以⑤不成立．故答案为：①④．【点睛】本题主要考查诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，属于基础题．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6＝0的根，求的值．【分析】由已知求得sinα，然后利用三角函数的诱导公式化简求值．【答案】解：由sinα是方程5x2﹣7x﹣6＝0的根，可得sinα＝或sinα＝2（舍），∴＝＝＝﹣tanα．由sinα＝﹣可知α是第三象限或者第四象限角．∴tanα＝或﹣．即所求式子的值为．【点睛】本题考查一元二次方程根的求法，考查利用诱导公式化简求值，考查计算能力，是基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y＝与函数f（x）图象的所有交点的坐标．【分析】根据函数的最大值，得到A＝2．由函数的周期为4，算出ω＝，再根据当x＝时，函数f（x）有最大值为2，解出φ＝．因此得到f（x）＝2sin（x+），然后解方程2sin（x+）＝，结合正弦函数的图象可得x＝+4kπ或+4kπ（k∈Z），由此即可得到直线y＝与函数f（x）图象的所有交点的坐标．【答案】解：根据题意，得A＝2，T＝＝4π，可得ω＝∵当x＝时，函数f（x）有最大值为2∴ω×+φ＝×+φ＝+2kπ（k∈Z），解之得φ＝+2kπ（k∈Z），取k＝0得φ＝因此，函数表达式为f（x）＝2sin（x+）当f（x）＝时，即2sin（x+）＝，可得sin（x+）＝∴x+＝+2kπ或x+＝+2kπ（k∈Z），可得x＝+4kπ或+4kπ（k∈Z）由此可得，直线y＝与函数f（x）图象的所有交点的坐标为（+4kπ，）或（+4kπ，）（k∈Z）．【点睛】本题给出函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定其解析式并求函数图象与y＝的交点坐标，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，属于基础题．19．（12分）已知f（x）＝sin（2x+）+，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）函数f（x）的图象可以由函数y＝sin2x（x∈R）的图象经过怎样变换得到？【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性，y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【答案】解：（1）对于f（x）＝sin（2x+）+，x∈R，它的周期为T＝＝π．（2）由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以所求的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（3）把y＝sin2x的图象上所有点向左平移个单位，可得y＝sin（2x+）的图象；再向上平移个单位，即得函数f（x）＝sin（2x+）+的图象．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．20．（12分）已知函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点P（，0），图象与P点最近的一个最高点坐标为（，5）．（1）求函数的解析式；（2）求函数的最大值，并写出相应的x的值；（3）求使y≤0时，x的取值范围．【分析】（1）由函数的最大值求A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数取最大值的条件以及函数的最大值，得出结论．（3）由5sin（2x﹣）≤0，可得2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ（k∈Z），由此求得x的取值范围．【答案】解：（1）由题意知＝﹣＝，∴T＝π．∴ω＝＝2，由ω•+φ＝0，得φ＝﹣，又A＝5，∴y＝5sin（2x﹣）．（2）函数的最大值为5，此时，2x﹣＝2kπ+（k∈Z）．∴x＝kπ+（k∈Z）．（3）∵5sin（2x﹣）≤0，∴2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ（k∈Z）．∴x的取值范围是{x|kπ﹣≤x≤kπ+，（k∈Z）}．【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的值域，解三角不等式，属于基础题．21．（12分）已知cos（+α）＝2sin（α﹣）．（1）求的值．（2）求sin2α+sinαcosα+cos2α的值．【分析】（1）直接利用诱导公式化简已知条件，化简所求表达式为正切函数的形式，求解即可．（2）所求表达式的分母通过平方关系式代换，然后化简所求表达式为正切函数的形式，求解即可．【答案】解：cos（+α）＝2sin（α﹣）．可得﹣sinα＝﹣2cosα，∴tanα＝2（1）＝＝＝．（2）sin2α+sinαcosα+cos2α＝＝＝＝．【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．22．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象如图所示，且过点（0，1），其中A＞0，ω＞0，|φ|＜．（1）求函数的解析式．（2）若函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数h（x）是奇函数，求满足条件的最小正实数m．（3）设函数g（x）＝f（x）+a+1，x∈[0，]，若函数g（x）恰有两个零点，求a的范围．【分析】（1）由函数的图象可得T＝（+）解得ω，图象经过（﹣，0），0＝A sin（2×﹣+φ），|φ|＜，解得φ，图象经过（0，1），1＝A sin（2×0+），可得A，从而可求函数的解析式．（2）由条件根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y＝sin（2x+2m+）为奇函数，可得2m+＝kπ，k∈z，由此求得m的最小值．（3）根据正弦函数的单调性，得到当t＝sin（2x+）∈[，1）时，方程g（x）＝0有两个零点，即2t+a+1＝0，t∈[，1），由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．【答案】解：（1）由函数的图象可得T＝（+）＝π，T＝，解得ω＝2．图象经过（﹣，0），0＝A sin（2×﹣+φ），|φ|＜，解得φ＝，图象经过（0，1），1＝A sin（2×0+），可解得A＝2，故f（x）的解析式为y＝2sin（2x+）．（2）把函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数的解析式为：y＝sin[2（x+m）+]＝sin（2x+2m+），再根据y＝sin（2x+2m+）为奇函数，可得2m+＝kπ，k∈z，故m的最小值为．（3）g（x）＝f（x）+a+1＝2sin（2x+）+a+1，∵当x∈[0，]时，且x≠时，存在两个自变量x对应同一个sin x（2x+），即当t＝sin（2x+）∈[，1）时，方程g（x）＝0有两个零点，∵g（x）＝f（x）+a+1在x∈[0，]上有两个零点，即2t+a+1＝0，t∈[，1），∴t ＝∈[，1），解之得a∈（﹣3，﹣2]．【点睛】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，正弦函数的图象和性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．21。

高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第一章章末检测含解析

第一章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是( )A ．终边相同的角一定相等B ．锐角都是第一象限角C ．第一象限角都是锐角D ．小于90°的角都是锐角答案：B2．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( ) A.17 B ．－17C ．－7D ．7答案：A解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝45， ∴sin α＝－45. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴cos α＝1－sin 2α＝35. ∴sin α＋cos αsin α－cos α＝－45＋35－45－35＝－15－75＝17. 3．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4答案：B解析：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π. 4．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( ) A ．2 B.12C ．3 D.13答案：B解析：由y ＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎭⎫ω×2π3＝1，cos ⎝⎛⎭⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合． 5．sin(－1740°)的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案：D解析：sin(－1740°)＝sin60°＝32. 6．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3 答案：B解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 7．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数的偶函数是( ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝|sin2x |C ．y ＝|cos x |D ．y ＝tan x答案：A解析：作图比较可知．8．要得到函数y ＝cos(3x ＋2)的图象，只要将函数y ＝cos3x 的图象( )A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移23个单位 D ．向右平移23个单位答案：C解析：∵y ＝cos(3x ＋2)＝cos3⎝⎛⎭⎫x ＋23， ∴只要将函数y ＝cos3x 的图象向左平移23个单位即可． 9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.32C ．－32 D.12答案：B解析：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 10．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4(a >0)的最小正周期为1，且g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ax (x <0)g (x －1)(x ≥0)，则g ⎝⎛⎭⎫56等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案：C解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π，∴g ⎝⎛⎭⎫56＝g ⎝⎛⎭⎫－16＝sin ⎝⎛⎭⎫－a 6＝ sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32. 11．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] 答案：A解析：因为ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，所以ωπ2＋π4≤ωx ＋π4≤ωπ＋π4，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A. 12．下图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始旋转，15s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 答案：A解析：∵T ＝15，故ω＝2πT ＝2π15，显然y max －y min 的值等于圆O 的直径长，即y max －y min ＝6，故A ＝y max －y min 2＝62＝3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 答案：m解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m . 14．已知f (x )的定义域为(0,1]，则f (sin x )的定义域是________．答案：(2k π，2k π＋π)，k ∈Z解析：由0<sin x ≤1得2k π<x <2k π＋π(k ∈Z )．15．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域为________．答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0cos x ≥12，如图，结合三角函数线知： ⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 (k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }． 16．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________． ①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ②y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ③y ＝f (x )的最小正周期为2π；④y ＝f (x )的图象的一条对称轴为x ＝－π6. 答案：①②解析：4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故①②正确，③④错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．解：(1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α. 由余弦函数的定义得cos α＝45，故所求式子的值为54. 18．(12分)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－2 2ax ＋a ＝0的两个根．(1)求实数a 的值；(2)若θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin θ－cos θ的值．解：(1)∵(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，又∵⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝2 2a ，sin θ·cos θ＝a ， ∴a ＝12或a ＝－14，经检验Δ≥0都成立， ∴a ＝12或a ＝－14.(2)∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴a <0， ∴a ＝－14且sin θ－cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝－62. 19．(12分)若函数f (x )＝a －b cos x 的最大值为52，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．解：当b ＞0时，⎩⎨⎧ a ＋b ＝52a －b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝32， g (x )＝－4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 当b ＜0时，⎩⎨⎧ a －b ＝52a ＋b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32， g (x )＝－4sin(－32x )＝4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. b ＝0时不符合题意．综上所述，函数g (x )的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 20．(12分)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系是s ＝A sin(ω t ＋φ)，0<φ<π2，根据图象，求：(1)函数解析式；(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(3)单摆来回摆动一次需要多长时间？解：(1)由图象知，34T ＝1112－16＝34，所以T ＝1.所以ω＝2πT＝2π. 又因为当t ＝16时取得最大值，所以令2π·16＋φ＝π2＋2k π， ∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以φ＝π6.又因为当t ＝0时，s ＝3，所以3＝A sin π6，所以A ＝6，所以函数解析式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (2)因为A ＝6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.(3)因为T ＝1，所以单摆来回摆动一次需要 1s.21．(12分)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期． (1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫ω×0＋π6＝3sin π6＝32. (2)∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，所以f (x )的解析式为：f (x )＝3sin(4x ＋π6)． (3)由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95得3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6＝95，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝35，∴cos α＝35， ∴sin α＝±1－cos 2α＝± 1－⎝⎛⎭⎫352＝±45. 22．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围； (3)将函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移m (m >0)个单位后所得函数g (x )的图象关于原点中心对称，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，故函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )； (2)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上为减函数又f ⎝⎛⎭⎫－π8＝0，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－2cos π4＝－1， ∴当k ∈[0，2)时方程f (x )＝k 恰有两个不同实根．(3)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ∴g (x )＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－m ＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2m 由题意得π4－2m ＝2k π，∴m ＝－k π＋π8，k ∈Z 当k ＝0时，m ＝π8，此时g (x )＝2sin2x 关于原点中心对称．。

人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)

高一数学试题（必修4）（特别适合按14523顺序的省份）必修4 第一章三角函数(1)一、选择题：1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C2 等于（）A B C D3.已知的值为（）A．－2 B．2 C．D．－4．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A.y=sin2xB.y=cos C .sin2x+cos2x D. y=5 若角的终边上有一点，则的值是（）A B C D6．要得到函数y=cos()的图象，只需将y=sin的图象（）A．向左平移个单位 B.同右平移个单位C．向左平移个单位 D.向右平移个单位7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx的图象则y=f(x)是（）A．y= B.y=C.y=D.8. 函数y=sin(2x+)的图像的一条对轴方程是（）A.x=-B. x=- C .x=D.x=9．若，则下列结论中一定成立的是（）A. B． C． D．10.函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（－，0）对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称11.函数是（）A．上是增函数 B．上是减函数C．上是减函数D．上是减函数12.函数的定义域是（）A．B．C． D．二、填空题：13. 函数的最小值是 .14 与终边相同的最小正角是_______________15. 已知则 .16 若集合，，则=_______________________________________三、解答题：17．已知，且．a)求sinx、cosx、tanx的值．b)求sin3x – cos3x的值．18 已知，（1）求的值（2）求的值19. 已知α是第三角限的角，化简20．已知曲线上最高点为（2，），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x的值及单调区间必修4 第一章三角函数(2)一、选择题：1．已知，则化简的结果为（）A． B. C． D. 以上都不对2．若角的终边过点(-3，-2)，则( )A．sin tan＞0 B．cos tan＞0C．sin cos＞0 D．sin cot＞03 已知，，那么的值是（）A B C D4．函数的图象的一条对称轴方程是（）A． B. C. D.5．已知，,则tan2x= ( ) A． B. C. D.6．已知，则的值为（）A． B. 1 C. D. 2 7．函数的最小正周期为（）A．1 B. C. D.8．函数的单调递增区间是（）A． B.C． D.9．函数，的最大值为（）A．1 B. 2 C. D.10．要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位11．已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）A. B. — C. D. —12．若，则（）A. B. C. D.二、填空题13．函数的定义域是14．的振幅为初相为15．求值：=_______________16．把函数先向右平移个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________三、解答题17 已知是关于的方程的两个实根，且，求的值18．已知函数，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间19．已知是方程的两根，且，求的值20．如下图为函数图像的一部分（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线对称的函数解析式必修4 第三章三角恒等变换(1)一、选择题:1.的值为 ( ）A 0BC D2.，，，是第三象限角，则（）A B C D3.设则的值是( )A B C D4. 已知，则的值为（）A B C D5.都是锐角，且，，则的值是（）A B C D6. 且则cos2x的值是（）A B C D7.在中，的取值域范围是 ( )A B C D8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为（）A B C D9.要得到函数的图像，只需将的图像（）A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位10. 函数的图像的一条对称轴方程是（）A、 B、 C、 D、11.若是一个三角形的最小内角，则函数的值域是( )A B C D12.在中，，则等于 ( )A B C D二、填空题:13.若是方程的两根，且则等于14. .在中，已知tanA ,tanB是方程的两个实根，则15. 已知，则的值为16. 关于函数，下列命题：①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图像关于点成中心对称图像；④将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17. 化简18. 求的值．19. 已知α为第二象限角，且sinα=求的值.20.已知函数，求（1）函数的最小值及此时的的集合。

新人教A版高中数学必修四全册同步课时练习(附答案)

新人教A 版高中数学必修四全册课时练习任意角(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C .] 2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( ) A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°C [与1 250°角的终边相同的角为α＝1 250°＋k ·360°，k ∈Z ，因为－360°＜α＜0°，所以－16136＜k ＜－12536，因为k ∈Z ，所以k ＝－4，所以α＝－190°.]3．把－1 485°转化为α＋k ·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是( ) A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°D [∵1 485°÷360°＝4.125，∴－1 485°＝－4×360°－45°或写成－1 485°＝－5×360°＋315°.∵0°≤α＜360°，故－1 485°＝315°－5×360°.] 4．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在象限是( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限A [当k ＝0时，α＝45°为第一象限角，当k ＝1时，α＝225°为第三象限角．] 5．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( ) A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称A [α是第一象限角，β是第四象限角且45°＝0°＋45°与360°＋45°终边相同，315°＝360°－45°.]二、填空题6．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．－960° [40分＝23小时，23×360°＝240°，因为时针按顺时针旋转，故形成负角，－360°×2－240°＝－960°.]7．与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．213°－147°[与2 013°角的终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角．]8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________．k·360°＋60°(k∈Z)[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]三、解答题9．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．[解](1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.[解](1)角α终边所在区域如图①所示．(2)角β终边所在区域如图②所示．图① 图②(3)由(1)(2)知A ∩B ＝{γ|k ·360°＋45°＜γ＜k ·360°＋55°，k ∈Z } .[能力提升练]1．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( ) A ．α＋β＝k ·360°，k ∈Z B ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z C ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈Z D ．α－β＝k ·360°，k ∈ZB [法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .]2．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．270° [由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k ·360°.又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°.]弧度制(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关D [ 无论是角度制度量角还是弧度制度量角，都与圆的半径没有关系．] 2.29π6是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [29π6＝4π＋5π6.∵56π是第二象限角，∴29π6是第二象限角．]3．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π3C [与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3，故选C.]4．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z C ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈ZD ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋2k π，k ∈ZD [对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|}α＝k π，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故合在一起即为{α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确．]5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．1或4C [因为扇形的弧长为4 cm ，面积为2 cm 2，所以扇形的面积为12×4×r ＝2，解得r ＝1(cm)，则扇形的圆心角的弧度数为41＝4.故选C.]二、填空题6．把角－274π用角度制表示为________．－1 215° [－274π＝－274×180°＝－1 215°.]7．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________． π5，π3，7π15 [因为A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.]8．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的外边，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．2 3 [设圆的半径为r ，外切正三角形边长为a ，则32a ×13＝r ，则r ＝36a ，又弧长为a ，所以圆心角为：ar＝a36a ＝63＝2 3.]三、解答题9．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [解] (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π＜7π6＜3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π.∴在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . [解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎪⎫2π3－3.[能力提升练]1．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )D [∵α＝2k 1π＋x ＋π4，β＝2k 2π＋x －π4(k 1，k 2∈Z )，∴α－β＝2(k 1－k 2)π＋π2，也即α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )．]2．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________________．[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．]任意角的三角函数(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32D [sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝32.] 2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33C [sin 30°＝12，cos 30°＝32，∴P 点坐标为(1，－3)，r ＝12＋（－3）2＝2，∴sin α＝－32.] 3．已知角α的终边在函数y ＝－|x |的图象上，则cos α的值为( ) A ．22B ．－22C ．22或－22D ．12C [由y ＝－|x |的图象知，α的终边落在第三、四象限的角平分线上，当α终边落在第三象限时，cos α＝－22；当α终边落在第四象限时，cos α＝22.] 4．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θC [∵θ是第二象限角，则θ2一定是第一或第三象限角，这时tan θ2一定为正值，故选C.]5．某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 A [点(1，0)在x 轴正半轴，由题意可知，θ一定在α＝2π3的终边上，∵OQ ＝1，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.] 二、填空题6．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin α·tan β＝．－1613[由任意角的正弦、正切函数的定义知 sin α＝1213，tan β＝45－35＝－43，所以sin α·tan β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1613.]7．点P (tan 2 018°，cos 2 018°)位于第象限．四 [因为2 018°＝5×360°＋218°，所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角，所以tan 2 018°＞0，cos 2 018°＜0，所以点P 位于第四象限．]8．已知角α的终边经过点P (x ，－6)且cos α＝－45，则x ＝．－8 [因为|OP |＝x 2＋（－6）2＝x 2＋36，所以cos α＝xx 2＋36，又cos α＝－45，所以xx 2＋36＝－45，整理得x ＝－8.]三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°. [解] (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解] (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0.由lg cos α有意义，可知cos α>0， ∴角α的终边在第四象限．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.[能力提升练]1．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[]2k π，2k π＋π，k ∈ZB [由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .]2．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．]3．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝．35 [因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ＜0，r ＝（－3cos θ）2＋（4cos θ）2＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.]4．函数y ＝|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域为．{－2，0，2} [已知函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z ，即角x 的终边不能落在坐标轴上，当x 是第一象限角时，cos x ＞0，tan x ＞0，y ＝cos x cos x ＋tan xtan x ＝1＋1＝2；当x 是第二象限角时，cos x ＜0，tan x ＜0，y ＝－cos x cos x ＋－tan xtan x ＝－1－1＝－2；当x 是第三象限角时，cos x ＜0，tan x ＞0，y ＝－cos x cos x ＋tan xtan x ＝－1＋1＝0；当x 是第四象限角时，cos x ＞0，tan x ＜0，y ＝cos x cos x ＋－tan xtan x ＝1－1＝0.综上知原函数的值域是{－2，0，2}．] 5．已知sin θ＜0，tan θ＞0. (1)求角θ的集合； (2)求θ2的终边所在的象限；(3)试判断sin θ2cos θ2tan θ2的符号．[解] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上，因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，所以θ为第三象限角，θ角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(1)可得，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4，k ∈Z .当k 是偶数时，θ2终边在第二象限；当k 是奇数时，θ2终边在第四象限．(3)由(2)可得当k 是偶数时，sin θ2＞0，cos θ2＜0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0；当k 是奇数时sin θ2＜0，cos θ2＞0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0.综上知，sin θ2cos θ2tan θ2＞0.三角函数及其应用(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在D [终边在y 轴上的角的正切线不存在，故A ，C 错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B 错，因此选D .]2．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0C [π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.]3．角α(0＜α＜2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( )A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π4D [由已知得角α的终边应落在直线y ＝－x 上，又0＜α＜2π，所以α＝3π4或7π4.]4．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是( ) A ．cos 1＞cos 2＞cos 3 B ．cos 1＞cos 3＞cos 2 C ．cos 3＞cos 2＞cos 1D ．cos 2＞cos 1＞cos 3A [作出已知三个角的余弦线(如图)，观察图形可知cos 1＞0＞cos 2＞cos 3.] 5．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]A [如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4， sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，由图可得在[－π，π]范围内，－3π4≤x ≤π4.]二、填空题6．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为．AT>MP>OM [如图：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .]7．利用三角函数线写出满足tan x ＜3且x ∈(0，2π)的x 的取值范围为． ⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3 [由tanx ＜3得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，又∵x ∈(0，2π)， ∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3.]8．函数y ＝2cos x －1的定义域为．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) [因为2cos x －1≥0，所以cos x ≥12.如图：作出余弦值等于12的角：－π3和π3，在图中所示的阴影区域内的每一个角x ，其余弦值均大于或等于12，因而满足cos x ≥12的角的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．]三、解答题9．已知－12≤sin θ＜32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．[解] 画出三角函数线如图．由图可知角θ的范围是⎩⎨⎧θ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6≤θ＜2k π＋π3或2k π＋2π3＜α≤2k π＋7π6，k ∈Z . 10．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝sin x ·tan x ； (2)f (x )＝lg sin x ＋9－x 2. [解] (1)∵要使函数f (x )有意义，∴sin x ·tan x ≥0，∴sin x 与tan x 同号或sin x ·tan x ＝0，故x 是第一、四象限的角或终边在x 轴上的角． ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2＜x ＜2k π＋π2或x ＝（2k ＋1）π，k ∈Z .(2)由题意，要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，9－x 2≥0. 由sin x ＞0得2k π＜x ＜2k π＋π(k ∈Z )， ① 由9－x 2≥0得－3≤x ≤3，②由①②得：f (x )的定义域为{x |0＜x ≤3}．[能力提升练]1．在(0，2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2C [|sin x |＞|cos x |可转化为x 的正弦线的长度大于余弦线的长度，观察图形可知：在(0，2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4.]2．点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵56π＜3＜π，作出单位圆如图所示．设MP ，OM 分别为a ，b . sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0，所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |，所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．]同角三角函数的基本关系(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知α是第三象限角，且sin α＝－13，则3cos α＋4tan α＝( )A ．－ 2B ． 2C ．－ 3D ． 3A [因为α是第三象限角，且sin α＝－13，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝122＝24，所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.] 2．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．32C [原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.]3．若α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形D [sin α＋cos α＝23得1＋2sin αcos α＝49，所以sin αcos α＝－518＜0，又因α∈(0，π)，所以α为钝角，故三角形为钝角三角形．]4.⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．1tan xD [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.]5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13B [因为sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，所以两边平方可得：1＋2sin θcos θ＝169，即sin θ·cos θ＝718，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，又因为0＜θ＜π4，所以sin θ＜cos θ，所以sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B .]二、填空题 6．化简11＋tan 220°的结果是．cos 20° [11＋tan 220°＝11＋sin 220°cos 220°＝1cos 220°＋sin 220°cos 220°＝11cos 220°＝|cos 20°|＝cos 20°.] 7．已知sin αcos α＝12，则sin α－cos α＝．0 [(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×12＝0，∴sin α－cos α＝0.]8．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝． 1 [4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1 ＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1.]三、解答题 9．化简下列各式： (1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α； (2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)．[解] (1)原式＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α) ＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α＝sin α.10．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π.求：(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α. [解] (1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α ＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2αtan 2α＋1＝1，即4tan 2α－3tan α－1＝0，解得tan α＝－14或tan α＝1.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π，∴α为第二象限角， ∴tan α＜0，∴tan α＝－14.(2)原式＝2tan α－34tan α－9＝720.[能力提升练]1.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．sin 10°D ．cos 10°B [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.]2．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝．±2 [sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝12，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sinθcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝± 2.]三角函数的诱导公式（1）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限D [sin(π＋θ)＝－sin θ＝45，∴sin θ＝－45＜0，所以θ为第三或第四象限角．]2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．－1 B [原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1 ＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.]3．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33B [由题意得tan 600°＝－3a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°) ＝tan 240°＝tan(180°＋60°) ＝tan 60°＝3，所以－3a＝3，所以a ＝－ 3.]4．已知点(－4，3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)＝( ) A ．35 B ．－35 C ．－45 D ．45A [x ＝－4，y ＝3，∴r ＝（－4）2＋32＝5，∴sin(π－α)＝sin α＝y r ＝35.故选A.]5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32 C [sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.]二、填空题6．若P (－4，3)是角α终边上一点，则cos （α－3π）·tan （α－2π）sin 2（π－α）的值为________．－53 [由条件可知sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34， ∴cos （α－3π）·tan （α－2π）sin 2（π－α）＝－cos α·tan αsin 2α＝－sin αsin 2α＝－1sin α＝－53.] 7．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________．1213[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α) ＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.]8．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，则2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）＝________．－73 [因为sin(α＋π)＝－sin α＝45，且sin αcos α＜0，所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43，所以2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73.] 三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π；(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．[解] (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫6π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋ cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.10．已知f (α)＝sin （π＋α）cos （2π－α）tan （－α）tan （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝－sin αcos α（－tan α）（－tan α）sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.[能力提升练]1．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞bB [a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x ＜0），f （x －1）－1（x ＞0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________．－2 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝⎛⎭⎪⎫116－1－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎪⎫56－1－2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2＝－52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2.]三角函数的诱导公式（2）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＞0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＞0， ∴θ为第二象限角．]2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－12.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－13 B ．13 C ．223 D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )A ．－2a 3B ．－3a 2C ．2a 3D ．3a2B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．化简：sin （θ－5π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin （－θ－4π）＝( )A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θA [原式＝sin （θ－π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos （－θ）cos θsin （－θ）＝（－sin θ）（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ.]二、填空题6．(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3，4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝________． 35 [∵角α的终边经过点P (3，4)，∴sin α＝45，cos α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝35.]7．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos(π＋α)＝________．－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]8．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝________．－425 [由f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得f ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ.又∵cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝－425.]三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan （α－π）sin （α＋π）cos （3π－α）的值．[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，所以|OP |＝1，sin α＝－35.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αtan （α－π）sin （α＋π）cos （3π－α）＝cos αtan α－sin α（－cos α）＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.10．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2θ＝tan （9π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1. [证明] 左边＝－2cos θ·sin θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ ＝－（sin θ＋cos θ）2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan ·（8π＋π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1＝tan （π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，所以左边＝右边，所以等式成立．[能力提升练]1．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C ．892D ．45C [原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]2．已知f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos （－π－α）tan （π－α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3的值为________．－12 [f (α)＝（－sin α）·（－cos α）（－cos α）·（－tan α）＝sin αcos αsin α＝cos α，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π＝cos 263π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π－π3＝－cos π3＝－12.]正弦函数余弦函数的图像(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．用“五点法”作y ＝sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3B [令2x ＝0，π2，π，3π2，2π可得x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.]2．若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 C [当x ＝π2时，y ＝sin π2＝1，故－m ＝1，m ＝－1.]3．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象D [f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ， f (x )图象向右平移π2个单位得到g (x )图象．]4.如图是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]B ．y ＝1＋2sin x ，x ∈[0，2π]C ．y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]D ．y ＝1－2sin x ，x ∈[0，2π]C [根据图象上特殊点进行验证，可知C 正确．]5．将余弦函数y ＝cos x 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数y ＝－sin x 的图象，则m ＝( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．3π4C [根据诱导公式得，y ＝－sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2，故欲得到y ＝－sin x的图象，需将y ＝cos x 的图象向右至少平移3π2个单位长度．]二、填空题6．用“五点法”作函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0) [x 依次取0，π2，π，3π2，2π得五个关键点(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)．]7．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝32的交点个数是________．2 [在同一坐标系内画出y ＝1＋sin x 和y ＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.]8．函数y ＝lg(2－2cos x )的定义域是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z [由2－2cos x ＞0得cos x ＜22，作出y ＝cos x 的图象和直线y ＝22，由图象可知cos x ＜22的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z .] 三、解答题9．用“五点法”画出y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． [解] 列表：10．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．[解] 观察图形可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4. 因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 矩形OABC ＝2×2π＝4π， ∴所求封闭图形的面积为4π.[能力提升练]1．若sin θ＝1－log 2x ，则实数x 的取值范围是( )A ．[1，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1C ．[2，4]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4A [由sin θ∈[－1，1]得－1≤1－log 2x ≤1，解得0≤log 2x ≤2，即1≤x ≤4.]2．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10A [在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根．]3．在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 [在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，2π)与y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4时，sin x >cos x ．]4．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0，2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4.]5．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．[解] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1，3)．正弦余弦函数的周期性与奇偶性(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数A [函数y ＝x 为奇函数且y ＝sin x 也是奇函数，故f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R 是奇函数．] 2．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝cos x2C ．y ＝cos xD ．y ＝cos 2xD [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 3．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 B [由已知得2π|ω|＝π5，又ω＞0，所以2πω＝π5，ω＝10.]4．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )A B C DD [y ＝cos x 为偶函数，y ＝x 为奇函数，∴y ＝－x cos x 为奇函数，排除A 、C ，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时cos x ＞0，x ＞0，∴y ＜0，故排除B ，选D.]5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2B [由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1.]二、填空题6．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中错误的是________(填序号)．①④ [φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数．]7．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为________．6 [T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.]8．函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，观察正弦曲线的形状，结合正弦函数的周期性可知，正弦曲线的对称中心为________．(k π，0)(k ∈Z ) [∵y ＝sin x 是奇函数，∴(0，0)是其对称中心，又正弦函数的周期为2k π，结合正弦曲线可知，对称中心为(k π，0)(k ∈Z )．]三、解答题9．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． [解] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ），0，x ∈[2k π－π，2k π]（k ∈Z ），图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.[能力提升练]1．函数f (x )＝sin x1＋cos x 的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数A [首先1＋cos x ≠0，即x ≠2k π＋π(k ∈Z )，定义域关于原点对称，又y ＝sin x 是奇函数，y ＝1＋cos x 是偶函数，所以f (x )＝sin x1＋cos x是奇函数．]2．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )A ．32 B ．－32C ．0D ． 3 D [∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018) ＝336⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝336×0＋f (1)＋f (2)＝sin π3＋sin 23π＝ 3.]3．已知f (x )是定义在(－3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 [∵f (x )是(－3，3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cosx 是(－3，3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.]4．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0＜x≤π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于________．22 [因为函数f (x )的周期为3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，又∵3π4∈(0，π]，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝sin 3π4＝22.]5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．[解] 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6. 又因为g (x )的最小正周期为π，所以g (x )＝32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .正弦余弦函数的单调性与最值(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2A [对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函。

高一数学下学期期末考试分类汇编综合练习01新人教A版

综合练习01（考试范围：必修二考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为（）A．与互为对立事件B．与互斥C．与相等D．【答案】D【分析】利用互斥事件和对立事件的定义分析判断即可【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，4种情况，其中事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，所以与不互斥，也不对立，也不相等，，所以ABC错误，D正确，故选：D2．下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．梯形可确定一个平面D．圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C【分析】根据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理的理解和运用，属于基础题.3．已知为虚数单位，复数的共轭复数为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用复数的除法可将复数表示为一般形式，利用共轭复数的定义可得出结果.【详解】，因此，复数的共轭复数为.故选：B.【点睛】本题考查共轭复数的计算，解答的关键就是利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.4．已知，是夹角为60°的两个单位向量，，，若，则实数（）A．B．1C．D．【答案】B【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算法则，求出m的值．【详解】∵已知，是夹角为60°的两个单位向量，∴•1•1•cos60°．而，，若，则（）•（m）m m1﹣m，则m＝1，故选：B5．某人从出发点向正东走后到，然后向左转150°再向前走到，测得的面积为，此人这时离出发点的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意可得，再由的面积为，求出的长，然后利用余弦定理求出即可【详解】如图，由题意可得，因为的面积为，，，所以，解得，由余弦定理得，所以，故选：D6．在区域病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的指标的预报簇为（）A．①②B．①③C．③④D．②④【答案】C【分析】通过举反例说明命题不符合题意，或通过根据平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项即可.【详解】①错，举反倒：0，0，0, 0，2， 6，6；其平均数，不符合题意;②错，举反倒：；其平均数且,不符合题意;③对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人，即x≥6,则极差大于故假设不成立，故一定符合上述指标；④对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人,即x≥6, 则极差不小于,与极差小于或等于4相矛盾,故假设不成立,故一定符合上述指标.故选：C7．已知是面积为的等边三角形，其顶点均在球的表面上，当点在球的表面上运动时，三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】作出图形，结合图形知，当点P与球心O以及△ABC外接圆圆心M三点共线且P 与△ABC外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥的高h，并注意到此时该三棱锥为正三棱锥，利用,求出球O的半径R，最后利用球体的表面积公式可求出答案．【详解】如图所示，设点M为外接圆的圆心，当点三点共线时，且分别位于点的异侧时，三棱锥的体积取得最大值.因为的面积为，所以边长为3，由于三棱锥的体积的最大值为，得，易知SM⊥平面ABC，则三棱锥为正三棱锥，的外接圆直径为，所以,设球O的半径为R，则,解得,所以球的表面积为.故选：A8．在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（）A．0B．C．D．1【答案】B【分析】以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设，用数量积的坐标表示求得数量积，然后由二次函数知识得最小值．【详解】由题意等腰梯形的高为，如图，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，设，则，，，所以时，取得最小值．故选：B．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得B．在中，若，则点为边上的中点C ．已知，均为非零向量，若，则D．若且，则【答案】ABC【分析】利用向量共线、向量加法、向量垂直、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，根据向量共线的知识可知，A选项正确，B选项，，根据向量加法的运算可知点为边上的中点，B选项正确.C 选项，由两边平方并化简得，所以，C选项正确.D选项，是一个数量，无法得到两个向量相等，D选项错误.故选：ABC10．一个袋子中装有大小和质地相同的个白球和个红球，从中随机抽取个球，其中结论正确的是（）A．一次抽取个，取出的两个球中恰有一个红球的概率是B．每次抽取个，不放回抽取两次，样本点总数为C．每次抽取个，有放回抽取两次，样本点总数为D．每次抽取个，不放回抽取两次，“第一次取出白球”与“第二次取出红球”相互独立【答案】AC【分析】A应用古典概率求法求概率，B、C应用分步计数及组合数求样本点总数，D根据独立事件的定义及不放回试验的特点判断事件是否独立.【详解】A：取出的两个球中恰有一个红球的概率，正确；B：每次抽取个，不放回抽取两次，样本点总数，错误；C：每次抽取个，有放回抽取两次，样本点总数，正确；D：每次抽取个，不放回抽取两次，“第一次取出白球”与“第二次取出红球”不相互独立，错误.故选：AC11．在中，角，，的对边分别是，，，则能确定为钝角的是（）A．B．C．D．【答案】CD【分析】结合正弦定理、余弦定理、向量运算、三角恒等变换确定正确选项.【详解】A选项，由正弦定理得为锐角.B选项，为锐角.C选项，由余弦定理得，，为钝角.D选项，，由于三角形中，最多只有一个钝角，所以，则，即，为钝角.故选：CD12．将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点，分别为线段，的中点，则（）A．B ．四面体的表面积为C．四面体的外接球的体积为D．过且与平行的平面截四面体所得截面的面积为【答案】BCD【分析】A用非等腰三角形来判断，B求四面体表面积来判断，C求外接球体积来判断，D 作出截面并计算出截面面积来判断.【详解】设是的中点，则两两相互垂直，二面角为之二面角，平面，A选项，连接，，，所以三角形不是等腰三角形，而是的中点，所以与不垂直，A选项错误.B选项，，所以三角形和三角形是等边三角形，所以四面体的表面积为，B选项正确.C选项，由于，所以是四面体外接球的球心，外接球的半径为，体积为，C选项正确.D 选项，设是中点，是中点，画出图象如下图所示，，四点共面.由于平面，平面，所以平面，，由于，所以平面，所以，而，所以，所以截面面积为.D选项正确.故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．设向量，为单位正交基底，若，，且，则______．【答案】2【分析】由条件可得，然后可算出答案.【详解】因为向量，为单位正交基底，，，所以，即所以，即故答案为：214．在中，已知，若，则的面积为______．【答案】【分析】先由求出，然后再利用三角形的面积公式可求得结果【详解】解：因为，，所以，得，所以，故答案为：15．现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径为，从底面圆周上一点处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到点，则所用金色彩线的最短长度为______．【答案】【分析】根据题意，将圆锥侧面展开得最短距离为，再根据几何关系求解即可.【详解】解:如图，将圆锥展开，由题可知最短距离为，因为圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径为，设，所以，即，所以在等腰三角形中，取中点，则为直角三角形，且，，所以，所以.故答案为：16．在平面直角坐标系中，角均以轴正半轴为始边．已知角的终边在直线上，则________；已知角与角的终边关于直线对称，且角与单位圆的交点坐标为，则________．【答案】 2【分析】设角终边上一点的坐标为，根据三角函数的定义，求得，设点关于的对称点为，求得点，结合三角函数的定义，即可求解.【详解】由题意，角均以轴正半轴为始边，且角的终边在直线上，设角终边上一点的坐标为，根据三角函数的定义，可得，又由角与单位圆的交点坐标为，设点关于的对称点为，可得，解得，即角的终边上一点的坐标为，根据三角函数的定义，可得.故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．“自媒体”是指普通大众通过网络等途径向外发布他们本身的事实和新闻的传播方式某“自媒体”作者2020年度在“自媒体”平台A上发布了200条事实和新闻，现对其点击量进行统计，如表格所示：点击量（万次）条数201006020（Ⅰ）现从这200条事实和新闻中采用分层抽样的方式选出10条，求点击量超过50万次的条数；（Ⅱ）为了鼓励作者，平台A在2021年针对每条事实和新闻推出如下奖励措施：点击量（万次）奖金（元）020********若该作者在2021年5月份发布了20条事实和新闻，请估计其可以获得的奖金数．【答案】（Ⅰ）4条；（Ⅱ）7000元．【分析】（Ⅰ）根据样本容量比与总体容量比相等计算；（Ⅱ）利用2020年的频率估计2021的频率，得各范围内的条数，从而可计算奖金．【详解】（Ⅰ）设被抽取的点击量（万次）在的事实和新闻的条数分别为m，n，p，q，则，所以，则点击量超过50万次的条数为4条；（Ⅱ）由题意知，根据2020年度的频率估计得出：奖金（元）02050100条数（元）21062则，所以估计该作者在2021年5月可以得到的奖金为7000元．18．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，.（1）求的值；（2）且，求正实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用余弦定理求出边b的值，再用正弦定理即可作答；(2)由给定条件结合特征求出BD长即可得解.【详解】（1）在中，由余弦定理知，，即，由正弦定理知，；（2）因点D在边BC上，且，则，而，则有为直角三角形，，又，，所以.19．如图，在三棱柱，F为AC中点．（1）求证：平面．（2）若此三棱柱为正三梭柱，且，求的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取中点，连接，，，推导出四边形是平行四边形，进一步得到平面平面，再利用面面平行的性质，证明平面即可．（2）设，则，分别求出，，，利用余弦定理能求出的大小．【详解】（1）证明：取中点，连接，，，在三棱柱中，，是中点，则，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，，是中点，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，，平面平面，平面，平面．（2）设，则，在正中，，在中，，，．的大小为．20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间、、…、、．（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；（3）从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）可根据频率分布直方图得出结果；（2）可通过后三组的频率之和得出结果；（3）本题首先可令5名受访职工依次为、、、、，然后列出随机抽取2人的所有可能情况以及抽取2人的评分都在的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】（1），解得.（2）由频率分布直方图易知：50名受访学生评分不低于70的频率为，故该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率的估计值为.（3）受访学生评分在的有人，依次为、、，受访学生评分在的有人，依次为、，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，依次为：、、、、、、、、、，因为所抽取2人的评分都在的结果有3种，依次为、、，所以此2人评分都在的概率.21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF＝BC.（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；（2）求点F到平面PCD的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据题意可得AE⊥平面PBC，进而可证明平面AEF⊥平面PBC；（2）利用等体积法求点到面的距离.【详解】（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，BC底面ABCD，所以，又因为底面ABCD为正方形，所以，又因为AB平面PBC，PA平面PBC，且，所以BC⊥底面PAB，又因为AE平面PBA，所以，因为PA＝AB，E为PB的中点，所以，又因为PB平面PBC，BC平面PBC，所以AE⊥平面PBC，因为AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC；（2）解：因为，，所以，又，所以，因为，设点B到平面PCD的距离为，所以，由BF＝BC，知点F到平面PCD的距离为.22．某中学在2020年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析.经统计某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数､频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图.（1）估计该班级的平均分；（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格.高校的“强基计划”校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，，四个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校提前录取.已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为，，，；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为，，，，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取.若该班级考分前10名都已经报考了高校的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分.求①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率；②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率.【答案】（1）；（2）① ；② .【分析】（1）根据公式可直接计算平均分；（2）总分大于等于分的同学有人，有3人总分小于等于690分，2人总分大于690分，① 利用对立事件的概率公式和相互独立事件概率的乘法公式即可求得；② 利用相互独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率求出.【详解】（1）由频率分布折线图可知：该班平均分估计为；（2）总分大于等于分的同学有人，由已知，其中有3人总分小于等于690分，2人总分大于690分，① ，总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率；② 设总分高于690分的同学被高校提前录取的事件为，总分不超过690分的同学被高校提前录取的事件为，该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率.。

高中数学必修四同步练习及答案(新课标人教A版)

高中数学必人修教四A版练习册高中数学人教A 版必修4练习册目录导航人教A 版必修4练习1.1任意角和弧度制 ....................................................... 1 1.2任意角的三角函数 ..................................................... 3 1.3三角函数的诱导公式 ................................................... 5 1.4三角函数的图像与性质 . (7)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 .............. 10 第一章三角函数基础过关测试卷 ........................................... 12 第一章三角函数单元能力测试卷 .. (14)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 18 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 20 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ........................................ 22 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 25 第二章平面向量基础过关测试卷 ............................................ 27 第二章平面向量单元能力测试卷 .. (29)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 33 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 36 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 . (38)人教A 版必修4练习答案1.1任意角和弧度制 ...................................................... 42 1.2任意角的三角函数 .................................................... 42 1.3三角函数的诱导公式 .................................................. 43 1.4三角函数的图像与性质 (43)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 .............. 44 第一章三角函数基础过关测试卷 ............................................ 45 第一章三角函数单元能力测试卷 .. (45)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 46 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 46 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ........................................ 46 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 47 第二章平面向量基础过关测试卷 ............................................ 48 第二章平面向量单元能力测试卷 .. (48)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 49 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 49 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 . (50)1.1任意角和弧度制一、选择题（每题5分，共50分）1.四个角中，终边相同的角是（）A.,398- 38 B.,398- 142 C.,398- 1042 D.,14210422.集合α{=A ︱ 90⋅=k α,36-}Z k ∈，β{=B ︱180-180<<β},则B A 等于（）A.,36{- 54} B.,126{- 144} C.,126{-,36-,54144} D.,126{-54}3.设θ{=A ︱θ为锐角}，θ{=B ︱θ为小于90的角}，θ{=C ︱θ为第一象限角}， θ{=D ︱θ为小于 90的正角}，则（） A.B A = B.C B = C.C A = D.D A =4.若角α与β终边相同，则一定有（） A.180=+βα B.0=+βαC.360⋅=-k βα，Z k ∈ D.360⋅=+k βα，Z k ∈ 5.已知α为第二象限的角，则2α所在的象限是（） A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 6.将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是（）A.3π B.3π- C.2π D.32π7.在半径为cm 2的圆中，有一条弧长为cm 3π，它所对的圆心角为（）A.6πB.3πC.2πD.32π 8.已知角α的终边经过点)1,1(--P ,则角α为（）A.)(45Z k k ∈+=ππα B.)(432Z k k ∈+=ππα C.)(4Z k k ∈+=ππα D.)(432Z k k ∈-=ππα 9.角316π化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式 ( )A.35ππ+B.344ππ+C.326ππ-D.373ππ+10.集合α{=A ︱},2Z k k ∈+=ππα，α{=B ︱},)14(Z k k ∈±=πα，则集合A 与B 的关系是（） A.B A = B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A ≠ 二、填空题（每题5分，共20分）11.角a 小于180而大于-180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角a 的集合为__________.12.写满足下列条件的角的集合.1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合__________； 2）终边在坐标轴上的角的集合__________；3）终边在第一、二象限及y 轴上的角的集合__________； 4）终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合__________.13.设扇形的周长为cm 8，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________. 14.已知a {∈θ︱a =+πk },4)1(Z k k∈⋅-π，则角θ的终边落在第__________象限.三、解答题（15、16每题7分，17、18每题8分）15.已知角a 的终边与y 轴的正半轴所夹的角是30，且终边落在第二象限，又720-<a < 0，求角a .16.已知角45=a ，（1）在区间720[-0,)内找出所有与角a 有相同终边的角β；（2）集合x M {=︱ 1802⨯=k x 45+，}Z k ∈,x N {=︱ 1804⨯=kx 45+}Z k ∈ 那么两集合的关系是什么？17.若θ角的终边与3π的终边相同，在]2,0[π内哪些角的终边与3θ角的终边相同？18.已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值.1.2任意角的三角函数一、选择题（每题5分，共40分）1.已知角α的终边过点()αcos ,2,1-P 的值为（）A.55-B.55C.552 D.252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（） A.αsin B.αcos C.αtan D.αtan 13.已知角α的终边过点()()03,4<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值是（）A.52B.52- C.0 D.与α的取值有关 4.(),,0,54cos παα∈=则αtan 1的值等于（）A.34B.43C.34±D.43± 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是（）A.()Z k k k ∈+,)12(,2ππB.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)12(,22πππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)1(,2πππ D.[]Z k k k ∈+,)12(,2ππ 6.若θ是第三象限角，且,02cos<θ则2θ是（） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角7.已知,54sin =α且α是第二象限角，那么αtan 的值为（） A.34- B.43- C.43 D.348.已知点()ααcos ,tan P 在第三象限，则角α在（） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角二、填空题（每题5分，共20分）9.已知,0tan sin ≥αα则α的取值集合为__________. 10.角α的终边上有一点(),5,m P 且(),013cos ≠=m mα则=+ααcos sin __________.11.已知角θ的终边在直线x y 33=上，则=θsin __________，=θtan __________. 12.设(),2,0πα∈点()αα2cos ,sin P 在第三象限，则角α的范围是__________. 三、解答题（第15题20分，其余每题10分，共40分） 13.求43π的角的正弦，余弦和正切值.14.已知,51sin =α求ααtan ,cos 的值.15.已知,22cos sin =+αα求αα22cos 1sin 1+的值.1.3三角函数的诱导公式一、选择题（每题5分，共40分） 1.21)cos(-=+απ，παπ223<<,)2sin(απ-值为 ( ) A.23 B.21C.23±D.23- 2.若,)sin()sin(m -=-++ααπ则)2sin(2)3sin(απαπ-++等于（） A.m 32-B.m 23-C.m 32D.m 233.已知,23)4sin(=+απ则)43sin(απ-值为（） A.21B.21-C.23D.23-4.如果),cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（）A.)](22,22[Z k k k ∈++-ππππB.))(223,22(Z k k k ∈++ππππC.)](223,22[Z k k k ∈++ππππD.))(2,2(Z k k k ∈++-ππππ 5.已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （）A.21||aa + B.21aa +C.21aa +-D.211a+-6.设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于（）A.33B.33-C.3D.－37.若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为（） A.0 B.1C.1-D.238.在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（） A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰或直角三角形D .等腰直角三角形二、填空题（每题5分，共20分）9.求值：︒2010tan 的值为．10.若1312)125sin(=-α,则=+)55sin(α ． 11.=+++++76cos 75cos 74cos 73cos 72cos 7cos ππππππ ．12.设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为．三、解答题（每题10分，共40分） 13.已知3)tan(=+απ,求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．14.若32cos =α,α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．15.已知αtan 、αtan 1是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值．16.记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．1.4三角函数的图像与性质一、选择题(每题5分,共50分)1.)(x f 的定义域为[]1,0则)(sin x f 的定义域为（） A.[]1,0 B.)(2,2222,2Z k k k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ πππππππ C.[])()12(,2Z k k k ∈+ππ D.)(22,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡+πππ2.函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（）A52π B 25π C π2 D π5 3.x x y sin sin -=的值域是（） A ]0,1- B ]1,0 C ]1,1[- D ]0,2[-4.函数)44(tan 1ππ≤≤-=x x y 的值域是 ( ) A.[]1,1- B.(][) +∞-∞-,11, C.[)+∞-,1 D.(]1,∞-5.下列命题正确的是（） A.函数)3sin(π-=x y 是奇函数 B.函数)cos(sin x y =既是奇函数,也是偶函数C.函数x x y cos =是奇函数D.函数x y sin =既不是奇函数,也不是偶函数6.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于（） A 1C.0D.2- 7.函数)3cos(πϖ+=x y 的周期为4π则ϖ值为 ( ) A.8 B.6 C.8± D.48.函数)32sin(π+=x y 的图象 ( )A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6π对称C.关于直线3π=x 对称 D.关于直线6π-=x 对称9.)2sin(θ+=x y 图像关于y 轴对称则 ( ) A.)(,22Z k k ∈+=ππθ B.)(,2Z k k ∈+=ππθC.)(,2Z k k ∈+=ππθD.)(,Z k k ∈+=ππθ 10.满足21)4sin(≥-πx 的x 的集合是 ( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,121321252ππππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,1272122ππππ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,6522πππ 二、填空题(每题5分,共20分) 11.函数)23sin(2x y -=π的单调递增区间是__________.12.函数)21(cos log 2-=x y 的定义域是__________. 13.函数)2sin(x y =的最小正周期为__________.14.若)(x f 为奇函数,且当0>x 时,x x x x f 2cos sin )(+=,则当0<x 时,=)(x f __________.三、解答题(每题10分,共30分) 15.利用“五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图.16.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32tan )(πx x f ，(1)求函数)(x f 的定义域周期和单调区间； (2)求不等式3)(1≤≤-x f 的解集.17.求下列函数的最大值和最小值及相应的x 值. (1)1)42sin(2++=πx y (2)),32cos(43π+-=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,3ππx (3)5cos 4cos 2+-=x x y (4)2sin sin 1-+=x xy1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用一、选择题(每题5分，共35分) 1.函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是 ( )A.13--，πB.13+-，πC.3-，πD.13--，π2 2.若函数)3sin(2πω+=x y 的图像与直线2=y 的相邻的两个交点之间的距离为π,则ω的一个可能值为 ( ) A.3 B.2 C.31 D.21 3.要得到)32sin(π-=x y 的图像,只要将x y 2sin =的图像 ( )A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数1)62sin(2++=πx y 的最大值是（）A.1B.2C.3D.45.已知函数)(x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的解析式可能为（）A.)62sin(2)(π-=x x f B.)44cos(2)(π+=x x fC.)32cos(2)(π-=x x fD.)64sin(2)(π+=x x f6.)23sin(2x y -=π的单调增区间为（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππK K B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,125ππππK K C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππK K D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125ππππK K 7.函数[]),0(),62sin(3ππ∈--=x x y 为增函数的区间是（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0πB.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,6ππD.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,32ππ二、填空题(每题5分，共15分)8.关于))(32sin(4)(R x x x f ∈+=有下列命题： 1）有0)()(31==x f x f 可得21x x -是π的整数倍； 2）表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；3）函数的图像关于点)0,6(π-对称；4）函数的图像关于直线6π-=x 对称；其中正确的命题序号是__________.9.甲乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为45,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲乙两楼的高度分别为__________.10.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ，则)599(πf 的值为__________. 三、解答题(每题25分，共50分) 11.已知函数)421sin(3π-=x y ，1）用“五点法”画函数的图像；2）说出此图像是由x y sin =的图像经过怎样的变换得到的； 3）求此函数的周期、振幅、初相；4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.12.已知函数)32cos(log )(π-=x ax f （其中)1,0≠>a a 且，1）求它的定义域； 2）求它的单调区间； 3）判断它的奇偶性；4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期.第一章三角函数基础过关测试卷一、选择题(每题5分，共40分)1.与240-角终边位置相同的角是（） A.240 B.60 C.150 D.480 2.已知()21cos -=+απ,则()απ+3cos 的值为（） A.21 B.23± C.21- D.233.函数x y sin 1-=的最大值为（） A.1 B.0 C.2 D.1-4.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin x y 的最小正周期是（） A.2πB.πC.π2D.π4 5.在下列各区间上，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 2πx y 单调递增的是（） A.],4[ππB.]4,0[πC.]0,[π-D.]2,4[ππ 6.函数x y cos 1+=的图象（） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线2π=x 轴对称7.使x x cos sin <成立的x 的一个区间是（） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,43ππ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ C.⎪⎭⎫⎝⎛-43,4ππ D.()π,08.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=43sin πx y 的图象，可由x y 3sin =的图象（）A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12π个单位二、填空题（每题5分，共20分）9.已知角β的终边过点()12,5--P ，求=βcos __________．10.函数x y tan lg =的定义域是__________． 11.()R x x y ∈=sin 的对称点坐标为__________． 12.1cos cos -=x xy 的值域是__________．三、解答题(每题10分，共40分) 13.已知2tan =β，求1sin cos sin 2+βββ的值．14.化简：()()()()()()()()πααπαπαπααπααπ6sin sin cos sin 6cos cos cos sin 2222---++---+-++． 15.求证：ααααααααcos sin cos sin 1cos sin 2cos sin 1+=+++++．16.求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+=323cos 2sin 2ππx x x y 的最大值和最小值．第一章三角函数单元能力测试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1.设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于 ( ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列值①)1000sin( -；②)2200cos(-；③)10tan(-；④4sin 是负值的为（）A.①B.②C.③D.④3.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（）A.0 B4π C 2πD π 4.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（） A.43-B.34-C.43D.34 5.若α是第四象限的角，则πα-是（） A 第一象限的角 B 第二象限的角 C 第三象限的角 D 第四象限的角6.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )A.1sin 2y x = B 1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=-7.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是 ( )A.35(,)(,)244ππππ B 5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D 33(,)(,)244ππππ 8.与函数)42tan(π+=x y 的图像不相交的一条直线是 ( )A.2π=x B 2π-=x C 4π=x D 8π=9.在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中,最小正周期为π的函数的个数是（） A.1个 B 2个 C 个 D 4个10.方程1sin 4x x π=的解的个数是（） A B C 7 D 811.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（）A.)45,()2,4(ππππ B.),4(ππ C.)45,4(ππ D.)23,45(),4(ππππ12.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（）A.2π B 4π- C 4πD 34π二、填空题（每小题5分，共20分）13.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________14.若,24παπ<<则αααtan cos sin 、、的大小关系为__________15 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是__________16.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题：①对任意α,()f x 都是非奇非偶函数；②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α,()f x 都是奇函数其中假命题的序号是__________三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.求下列三角函数值: （1）)316sin(π- （2）)945cos( -18.比较大小:（1） 150sin ,110sin ；（2）200tan ,220tan19.化简：（1）)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(x x x x x x --⋅--⋅--（2）xx x sin 1tan 1sin 12-⋅++20.求下列函数的值域：（1）)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ； (2) 2sin cos 2+-=x x y21.求函数)32tan(π-=x y 的定义域、周期和单调区间.22.用五点作图法画出函数)631sin(2π-=x y 的图象(1)求函数的振幅、周期、频率、相位； (2)写出函数的单调递增区间；(3)此函数图象可由函数x y sin =怎样变换得到2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算一、选择题（每题5分，共40分）1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（） A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个孤立点 D.一个圆2.下列说法中，正确的是（）A.>,则b a >B.=，则b a =C.若b a =，则a ∥bD.若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量3.设O 为△ABC 的外心，则AB 、BO 、CO 是（） A.相等向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.起点相等的向量4.已知正方形ABCD 的边长为1，设a AB =，b BC =，c AC =， b ++=（） A.0 B.3 C.22+ D.225.58==，的取值范围是（） A.[]8,3 B.()8,3 C.[]13,3 D.()13,36.如图，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中 A B成立的是A.CA BC AB =+ B.BC AC AB =+C.AD BA AC =+D.DC AD AC =+ D C7.在边长为1的正三角形ABC 中，若向量a BA =，b BC =，+= （） A.7 B.5 C.3 D.28.向量a 、b 皆为非零向量，下列说法不正确的是（）A.向量a 与b >，则向量b a +与a 的方向相同B.向量a 与b <，则向量b a +与a 的方向相同C.向量a 与b 同向，则向量b a +与a 的方向相同D.向量a 与b 同向，则向量b a +与b 的方向相同二、填空题（每题5分，共20分）9.ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是__________.10.已知C B A ,,是不共线的三点，向量m 与向量AB 是平行向量，与BC 是共线向量，则m =__________.11.在菱形ABCD 中，∠DAB ︒=601==+__________.12.化简=++BO OP PB __________.三、解答题（13题16分，其余每题12分，共40分）13.化简：（1)FA BC CD DF AB ++++. (2)PM MN QP NQ +++.14.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且OC AO =，OB DO =. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.15.一艘船以h km /5的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成︒30 角，求水流速度和船的实际速度.2.2向量减法运算与数乘运算一、选择题(每题5分,共40分) 1.在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是（） A.-=AC AB BC B.-=AD BD AB C.-=BD AC BC D.-=BD CD BC2.下列各式中结果为O 的有（） ①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO ③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QP A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③3.下列四式中可以化简为AB 的是（） ①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OA A.①④ B.①② C.②③ D.③④4. ()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ba b a24822131 （）A.2a b -B.2b a -C.b a -D.()b a --5.设两非零向量12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为（） A.1 B.1- C.1± D.06.在△ABC 中，向量BC 可表示为（） ①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CAA.①②③B.①③④C.②③④D.①②④ 7.已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===,,OA a OB b OC c 则EF =( )A.a b +B.b a -C.-c bD.-b c 8.当C 是线段AB 的中点，则AC BC += （） A.AB B.BA C.AC D.O二、填空题(每题5分,共20分)9.化简：AB DA BD BC CA ++--=__________.10.一架飞机向北飞行km 300后改变航向向西飞行km 400，则飞行的总路程为__________，两次位移和的和方向为__________，大小为__________. 11.点C 在线段AB 上，且35AC AB =，则________AC CB =. 12.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________三、解答题(每题10分,共40分)13.已知点C 在线段AB 的延长线上，且2,,BC AB BC CA λλ==则为何值? 14.如图，ABCD 中,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 表示DE 、BF 、CG15.若菱形ABCD 的边长为2，求AB CB CD -+=?16.在平面四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 的形状是什么？AGE F BD2.3平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题（每题5分，共50分）1.已知平面向量),2,1(),1,2(-==b a则向量b a2321-等于（） A.)25,21(-- B.)27,21( C.)25,21(- D.)27,21(-2.若),3,1(),4,2(==AC AB 则BC 等于（） A.)1,1( B.)1,1(-- C.)7,3( D.)7,3(--3.21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是（）A.21e e +和21e e -B.2123e e -和1264e e -C.212e e +和122e e +D.2e 和21e e +4.已知平面向量),,2(),3,12(m b m a =+=且b a //，则实数m 的值等于（） A.2或23-B.23C.2-或23D.72- 5.已知C B A ,,三点共线，且),2,5(),6,3(--B A 若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为 A.13- B.9 C.9- D.13 （） 6.已知平面向量),,2(),2,1(m b a -==且b a //，则b a 32+等于（） A.)10,5(-- B.)8,4(-- C.)6,3(-- D.)4,2(--7.如果21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么（） A.若实数21,λλ使02211=+e e λλ，则021==λλ B.21,e e 可以为零向量C.对实数21,λλ，2211e e λλ+不一定在平面内D.对平面中的任一向量a ，使=a 2211e e λλ+的实数21,λλ有无数对8.已知向量)4,3(),3,2(),2,1(===c b a ，且b a c 21λλ+=，则21,λλ的值分别为 ( ) A.1,2- B.2,1- C.1,2- D.2,1-9.已知),3,2(),2,1(-==b a 若b n a m -与b a 2+共线（其中R n m ∈,且)0≠n ，则nm 等于 ( )A.21-B.2C.21D.2- 10.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,b BD a AC == 则AF 等于（）A.b a 2141+ B.b a 3132+ C.b a 4121+ D.b a 3231+ 二、填空题（每题5分，共20分）11.已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且b a //，则=x __________12.设向量)3,2(),2,1(==b a ，若向量b a +λ与向量)7,4(--=c 共线，则=λ__________13.已知x 轴的正方向与a 的方向的夹角为3π4=，则a 的坐标为__________ 14.已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AD AB ,分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量AC BC AB ++32的坐标为__________三、解答题(第15题6分,其余每题8分,共30分)15.已知向量a 与b 不共线，实数y x ,满足等式b x a x b y a x 2)74()10(3++=-+，求y x ,的值.16.已知向量21,e e 不共线，（1）若,82,2121e e BC e e AB +=+=),(321e e CD -=则B A ,,D 三点是否共线？（2）是否存在实数k ，使21e e k +与21e k e -共线？17.已知三点),10,7(),4,5(),3,2(C B A 点P 满足)(R AC AB AP ∈+=λλ，（1）λ为何值时，点P 在直线x y =上？（2）设点P 在第一象限内，求λ的取值范围.18.平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a ，（1）求c b a 23-+；（2）求满足c n b m a +=的实数n m ,；（3)若)2//()(a b c k a -+，求实数k .2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例一、选择题（每题5分，共50分）1.若b a ,是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A.b a =B.1=⋅b aC.≠D.=2.下面给出的关系始终正确的个数是（）①00=⋅a ②a b b a ⋅=⋅ ③2a = ④()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ b a ⋅≤ A.0 B.1 C.2 D.33.对于非零向量b a ,，下列命题中正确的是（）A.000==⇒=⋅b a b a 或B. b a //a ⇒在bC.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b ac b c a =⇒⋅=⋅4.下列四个命题，真命题的是（） A.在ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是锐角三角形； B.在ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是钝角三角形； C.ABC ∆为直角三角形的充要条件是0=⋅BC AB ； D.ABC ∆为斜三角形的充要条件是.0≠⋅BC AB .5.e ,8=为单位向量，a 与e 的夹角为,60o 则a 在e 方向上的投影为（）A.34B.4C.24D.238+6.若向量b a ,a ,1==与b 的夹角为120，则=⋅+⋅b a a a （）A.21 B.21- C.23 D.23-7.a ,631==与b 的夹角为,3π则b a ⋅的值为（）A.2B.2±C.1D.1±8.已知()(),5,5,0,3-==b a 则a 与b 的夹角为（） A.4π B.3π C.43π D.32π9.若O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()(),02=-+⋅-OA OC OB OC OB 则ABC ∆ 的形状为（） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.A ，B ，C 均不是10.设向量()(),1,,2,1x b a ==当向量b a 2+与b a -2平行时，b a ⋅等于（）A.25 B.2 C.1 D.27二、填空题（每题5分，共20分）11.(),2,1,3==b 且,b a ⊥则a 的坐标是_____________. 12.若(),8,6-=a 则与a 平行的单位向量是_____________.13.设21,e e 为两个不共线的向量，若21e e a λ+=与()2132e e b --=共线，则=λ________.14.有一个边长为1的正方形ABCD ，设,,,c AC b BC a AB ====b __________. 三、解答题（每题10分，共30分）15.()()61232,34=+⋅-==b a b a ，求a 与b的夹角θ.16.,43==且a 与b 不共线，当k 为何值的时，向量b k a +与b k a -互相垂直？17.平面上三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态，121,226,1F N F N F +==与 2F 的夹角为,45o求：①3F 的大小；②3F 与1F 的夹角的大小.第二章平面向量基础过关测试卷一、选择题（每题5分，共55分）1.如图在平行四边形ABCD 中,,b OB a OA ==,,d OD c OC ==则下列运算正确的是（）A.0=+++d c b a B.0 =-+-d c b a C.0 =--+d c b a D.0 =+--d c b a2.已知)1,3(),3,(-==b x a ，且a ∥b ，则x 等于（） A.1- B.9 C.9- D.13.已知a =)1,2(-，b =)3,1(，则－2a +3b 等于（） A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(4.若点P 分有向线段21P P 所成定比为1:3，则点1P 分有向线段P P 2所成的比为（） A.34-B. 32-C.21-D.23- 5.下列命题中真命题是（）A.000 ==⇒=⋅b a b a 或B.a b a b a 上的投影为在⇒//C.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b ac b c a =⇒⋅=⋅6.已知ABCD 的三个顶点C B A ,,的坐标分别为),3,1(),4,3(),1,2(--则第四个顶点D的坐标为 ( ) A.)2,2( B.)0,6(- C.)6,4( D.)2,4(-7.设21,e e 为两不共线的向量，则21e e a λ+=与()1232e e b --=共线的等价条件是 A.23=λ B.32=λ C.32-=λ D.23-=λ （） 8.下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅ ③22a a = ④)()(c b a c b a ⋅=⋅ ⑤||||b a b a⋅≤⋅A.0B.1C.2D.39.下列说法中正确的序号是（） ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底； ②两个非零向量平行，则他们所在直线平行；ACOD③零向量不能作为基底中的向量； ④两个单位向量的数量积等于零.A.①③B.②④C.③D.②③10.已知()()5,0,1,221P P -且点P 在21P P 延长线上，22PP =，则点P 坐标是（） A.)11,2(- B.)3,34( C.)3,32( D.)7,2(-11.若b a k b a b a b a 432,1||||-+⊥==与且也互相垂直，则k 的值为（） A.6- B.6 C.3 D.3- 二、填空题（每题5分，共15分）12.已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是__________.13.若()0,2,122=⋅-==a b a b a，则b a 与的夹角为__________.14.ΔABC 中,)1,3(),2,1(B A 重心)2,3(G ，则C 点坐标为__________. 三、解答题（每题题10分，共30分）15.已知),4,(),1,1(),2,0(--x C B A 若C B A ,,三点共线，求实数x 的值.16.已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a ，求（1）b a b a+⋅,的值；（2）a 与b的夹角的余弦值.17.已知四边形ABCD 的顶点分别为)4,1(),7,2(),4,5(),1,2(-D C B A ,求证：四边形ABCD 为正方形.第二章平面向量单元能力测试卷一、选择题(每题5分，共60分)1.设F E D C B A ,,,,,是平面上任意五点，则下列等式①AB CE AE CB +=+ ②AC BE BC EA +=- ③ED AB EA AD +=+ ④0AB BC CD DE EA ++++= ⑤0AB BC AC +-=其中错误等式的个数是（）A.1B.2C.3D.42.已知正方形ABCD 的边长为1，设c AC b BC a AB ===,,=++b ( ) A.0 B.3 C.22+D.223.设1e 、2e 是两个不共线向量，若向量 a =2153e e +与向量213e e m b -=共线，则m 的值等于（） A.35-B.－59C.53-D.95-4.已知)3,1(),1,2(=-=b a 则b a 32+-等于 ( ) A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(5.设P )6,3(-,Q )2,5(-,R 的纵坐标为9-，且R Q P ,,三点共线，则R 点的横坐标为 A.9-B.6-C.9D.6 （）6.在ΔABC 中,若0)()(=-⋅+CB CA CB CA ，则ΔABC 为 ( ) A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定7.已知向量a ，b ，40-=⋅b a =8,则向量a 与b 的夹角为（） A.60B. 60-C.120D.120-8.已知)0,3(=a ,)5,5(-=b ，则a 与b 的夹角为 ( )A.4πB.43π C.3π D.32π 9.若b a b a⊥==,1||||且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则k 的值为 ( )A.6-B.6C.3D.3-NA BDM C10.已知a =(2,3),b =(4-,7),则a 在b上的投影值为 ( )A.13B.513 C.565 D.6511.若035=+CD AB ,且BC AD =，则四边形ABCD 是 ( ) A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形12.己知)1,2(1-P ,)5,0(2P 且点P 在线段21P P 的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为 ( ) A.)11,2(-B.)3,34(C.(3,32) D.)7,2(- 二、填空题(每题5分，共 20分)13.已知|a |=1,|b |=2,且(a －b )和a 垂直,则a 与b的夹角为__________.14.若向量),2(x a -=,)2,(x b -=,且a 与b 同向，则-a b 2=__________.15.已知向量a )2,3(-=,b )1,2(-,c )4,7(-=,且b a cμλ+=，则λ=__________，μ=__________.16.已知|a |=3,｜b ｜=2，a 与b 的夹角为60，则｜a －b ｜=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD BN 31=，求证：C N M ,,三点共线．18.已知C B A ,,三点坐标分别为),2,1(),1,3(),0,1(--AE =31AC ，BF =31BC ， 1）求点E 、F 及向量EF 的坐标； 2）求证：EF ∥AB ．19.24==夹角为120,求：(1)b a ⋅；(2))()2(b a b a +⋅-；(3)a 3+．20.已知)2,3(),2,1(-==b a，当k 为何值时：（1）b a k +与b a 3-垂直；（2）b a k +与b a3-平行，平行时它们是同向还是反向？21.())sin 3cos ),3(sin(,sin ,cos 2x x x b x x a -+==π,b a x f ⋅=)(，求：(1)函数()x f 的最小正周期； (2))(x f 的值域； (3))(x f 的单调递增区间.22.已知点)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ，（1）若1-=⋅BC AC ，求α2sin 的值；（213=+，且),0(πα∈，求OB 与OC 的夹角.3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题(每题5分,共45分)1. 345cos 的值等于（）A.462- B.426- C.462+ D.462+- 2.195sin 75sin 15cos 75cos -的值为（） A.0 B.21 C.23D.21- 3.已知1312sin -=θ，)0,2(πθ-∈，则)4cos(πθ-的值为（）A.2627-B.2627C.26217-D.26217 4.已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为（）A.2519B.2516C.2514D.257 5.若31sin cos ),,0(-=+∈ααπα且, 则α2cos 等于（）A.917 B.917± C.917- D.317 6.已知函数是则)(,,sin )2cos 1()(2x f R x x x x f ∈+= （）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数7.已知71tan =α，βtan =31，20πβα<<<，则βα2+等于（）A.45πB.4πC.45π或4πD.47π8.ΔABC 中，已知αtan 、βtan 是方程01832=-+x x 的两个根，则c tan 等于 ( ) A.2 B.2- C.4 D.4-9.函数56sin2sin 5cos 2cos )(ππx x x f -=的单调递增区间是（） A.)(53,10Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ B.)(207,203Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C.)(532,102Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(10,52Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 二、填空题(每题5分,共20分)10.已知函数的最小正周期是则)(,,sin )cos (sin )(x f R x x x x x f ∈-=__________. 11.135)6cos(-=+πx ,则)26sin(x -π的值是__________. 12.231tan 1tan +=+-αα,则α2sin =__________. 13.已知函数[]则,,0,sin )(π∈=x x x f )2(3)(x f x f y -+=π的值域为__________.三、解答题(14题11分，15、16题12分，共35分) 14.求值：(1))32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ.(2)已知,71tan ,21)tan(-==-ββα且)0,(,πβα-∈，求βα-2的值.15.设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=，（1)求)(x f 的最大值及最小正周期；（2)若锐角α满足323)(-=αf ，求α54tan 的值.16.已知),,0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-= （1)求)tan(βα+的值；（2)求函数)cos()sin(2)(βα++-=x x x f 的最大值.3.2简单的三角恒等变换一、选择题(每题5分，共40分)1.=-︒︒︒︒16sin 194cos 74sin 14sin （） A .23 B .23-C .21 D .21- 2.下列各式中，最小的是（） A .40cos 22B .6cos 6sin 2 C .37sin 50cos 37cos 50sin - D .41cos 2141sin 23- 3.函数()R x x y ∈+=2cos 21的最小正周期为（） A .2πB .πC .π2D .π4 4.︒︒︒︒-+70tan 50tan 350tan 70tan 的值为（） A .21 B .23 C .21- D .3-5.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos （） A .97-B .31-C .31D .97 6.若函数x x y tan 2sin =，则该函数有（） A .最小值0，无最大值 B .最大值2，无最小值 C .最小值0，最大值2 D .最小值2-，最大值2 7.若παπ223<<，则=++α2cos 21212121 （） A .2cosαB .2sinαC .2cosα- D .2sinα-8.若()x x f 2sin tan =，则()=-1f （） A .1 B .1- C .21D .21-二、填空题（每题5分，共20分）9.计算=-+75tan 175tan 1__________.10.要使mm --=-464cos 3sin θθ有意义,则m 取值范围是__________.11.sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+＝__________. 12.若函数4cos sin 2++=x a x y 的最小值为1，则a =__________.三、解答题（每题10分，共40分） 13.化简：)10tan 31(40cos ︒+︒.14.求值：︒︒︒︒++46cos 16sin 46cos 16sin 22.15.求函数1cos sin 2cos sin +++=x x x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的最值.16.已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 2cos sin 3sin 22,(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的对称轴； (3)求函数最大值及取得最大值时x 的集合.第三章三角恒等变换单元能力测试卷一、选择题（每题5分，共60分）1.︒︒︒︒++15cos 75cos 15cos 75cos 22的值等于（）A.26 B.23 C.45 D.431+2.已知222tan -=θ，πθπ22<<，则θtan 的值为 ( ) A.2 B.22-C.2D.2或22- 3.设︒︒︒︒++=30tan 15tan 30tan 15tan a ，︒︒-=70sin 10cos 22b ，则a ，b 的大小关系 A.b a = B.b a > C.b a < D.b a ≠ （）4.函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值（）A.1B.231+ C.23 D.31+5.函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（） A.π,1 B.π,2 C.π2,1 D.π2,2 6.xx xx sin cos sin cos -+= （）A.)4tan(π-x B.)4tan(π+x C.)4cot(π-x D.)4cot(π+x 7.函数)3cos()33cos()6cos()33sin(ππππ+++-+=x x x x y 的图像的一条对称轴是A.6π=x B.4π=x C.6π-=x D.2π-=x （）8.)24tan 1)(25tan 1)(20tan 1)(21tan 1(++++的值为（） A.2 B.4 C.8 D.169.若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则βαtan tan = （）A.2B.21C.1D.010.函数[]0,(cos 3sin )(π-∈-=x x x x f ）的单调递增区间是（） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--65,ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π 11.已知A 、B 为小于︒90的正角，且31sin =A ，21sin =B ，则)(2sin B A +的值是 A.97B.23C.1832+D.183724+ （）12.若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为（） A.27-B.21-C.21D.27 二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知32tan=θ，则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-=__________.14.函数)2sin()3sin(ππ+⋅+=x x y 的最小正周期T =__________. 15.已知xxx f +-=11)(，若),2(ππα∈则)cos ()(cos αα-+f f 可化简为__________.16.若2cos sin -=+αα，则ααtan 1tan +=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.（1）已知54cos =α，且παπ223<<，求2tan α.（2）已知1cos )cos()22sin(sin 3=⋅+--θθπθπθ，),0(πθ∈，求θ的值.18.已知135)43sin(=+πα，53)4cos(=-βπ，且434,44πβππαπ<<<<-，求)cos(βα-的值.19.已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22，求：（1）函数)(x f 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；（2）函数)(x f 的单调增区间.20.已知α、β),0(π∈，且αtan 、βtan 是方程0652=+-x x 的两根，求：（1）βα+的值；（2）)cos(βα-的值.。

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