(新)湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案-第一讲-力和平衡(含学生版和教师版)

湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案第一讲 力和平衡知识要点：力学中常见的几种力。

摩擦力。

弹性力。

胡克定律。

万有引力定律。

均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）。

共点力作用下物体的平衡。

力矩。

刚体的平衡。

重心。

物体平衡的种类。

物体相对于地球静止或匀速直线运动的状态叫平衡；物体与物体之间的相互作用称之为力；物体受力都要发生形变，在研究力对物体的运动效应之前，可把物体简化为各点间距离保持不变的刚体。

研究平衡系统的主要任务是：首先把平衡物体从其所在位置隔离出来，用力取代其它物体(或场)对它的作用，把它简化为受力的平衡刚体；其次，研究作用在平衡刚体上的平衡力系，从基本的二力平衡原理出发，运用矢量方法，导出它所满足的平衡条件；然后针对具体问题，直接运用相应力系的平衡条件进行数学求解，求出物体所受的全部未知力或平衡的几何位置。

一、矢量的运算 1、加法表达：a + b = c。

名词：c为“和矢量”。

法则：平行四边形法则。

如图所示。

和矢量大小：c =α++cos ab 2b a 22 ，其中α为a 和b的夹角。

和矢量方向：c 在a 、b 之间，和a夹角β= arcsinα++αcos ab 2b a sin b 222、减法表达：a = c －b 。

名词：c为“被减数矢量”，b为“减数矢量”，a为“差矢量”。

法则：三角形法则。

如图所示。

将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。

差矢量大小：a =θ-+cos bc 2c b 22 ，其中θ为c 和b 的夹角。

差矢量的方向可以用正弦定理求得。

一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。

b对于曲线上矢量的合成也同样可以进行。

如：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R ，周期为T ，求它在41T 内和在21T 内的平均加速度大小。

解析：如图所示，A 到B 点对应41T 的过程，A 到C 点对应21T 的过程。

这三点的速度矢量分别设为A v 、B v 和C v。

根据加速度的定义 a = tv v t 0 -得：AB a = AB A B t v v -，AC a = ACAC t v v -由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 1v ∆= B v －A v ，2v ∆= C v－A v ，根据三角形法则，它们在图中的大小、方向已绘出（2v∆的“三角形”已被拉伸成一条直线）。

本题只关心各矢量的大小，显然：A v =B v =C v =TRπ2 ，且：1v ∆ = 2A v =TRπ22 ，2v ∆ = 2A v = T R π4所以：AB a =AB1t v ∆ = 422T T Rπ = 228T R π ，AC a =AC2t v ∆ = 24T T Rπ = 2T R8π 。

观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动？ 答：否；不是。

3、乘法矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。

⑴ 叉乘表达：a ×b = c名词：c称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量。

叉积的大小：c = absinα，其中α为a和b的夹角。

意义：c 的大小对应由a和b作成的平行四边形的面积。

叉积的方向：垂直a 和b确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图所示。

显然，a ×b ≠b ×a ，但有：a ×b = －b ×a⑵ 点乘表达：a ·b = cA B OR v Av v B△v2v Av C名词：c 称“矢量的点积”，它不再是一个矢量，而是一个标量。

点积的大小：c = abcosα，其中α为a和b的夹角。

如功的定义为：W=S F⋅=FScos θ 二、力、刚体、五个静力学公理1、力—物体间的相互作用，是物体产生加速度和形变原因。

力系是作用在物体上的一群力，根据其力的作用线在空间的几何位置关系，分为空间、平面、汇交、平衡力系等。

在研究力对刚体的运动效应时，由力的等效原理可知，力对刚体是滑移矢量，作用点沿力的作用线滑移。

如如图所示。

注：力可沿一个刚体滑移，但不可从一个刚体滑移到另一个刚体上，也不要在一个变形体上滑移。

2、刚体—不因力的作用而发生形变的物体就叫做刚体。

刚体是一种理想化的力学模型，实际生活中，当物体因受力作用而发生形变足够小时，以至忽略这种形变即不影响问题的正确解决，又能使解决的过程在为简化，这时就能把该物体当成刚体处理。

3、五个静力学公理 ①二力平衡公理两个力平衡的充分必要条件是：此二力作用于同一个刚体上，并且等大、反向、在同一条直线上。

请注意，一定要：共物、等大、反向、同直线这四个条件缺一不可。

②增减平衡力系公理在作用于刚体的任何一个力系上，增加或减去一组平衡力系，原力系对物体的外效应仍然不变。

③力的平衡四边形定则用一个力等效地代替两个或几个力对物体的共同作用叫力的合成，将一个力化为等效的两个或几个力，叫力的分解。

力的合成与力的分解遵循平行四边形定则。

④牛顿第三定律两个物体间的相互作用力，总是大小相等，方向相反，并且作用在同一条直线上。

⑤刚化公理如果可变形体在已知力系的作用下处于平衡状态，则可将此受力物体看作刚体，其平衡不受影响。

比如，弹簧就是常见一种典型的可变形物，当它的两端受到压力(或拉力)时就会发生压缩(或拉伸)形变，所加的这一对力等大、反向、共轴线时，弹簧必定稳定在相应的压缩(或拉伸)状态，并保持这种形变量不变，好象成了新形状的刚体。

弹簧秤就是凭借这种相应的稳定性来测力和示数的。

三、几种常见的力 1、重力GG=mg ，方向竖直向下。

注意：竖直向下是指与当地的静止水平面垂直的方向，也称铅垂线方向。

实际上，重力是地球地物体引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转所需要的向心力。

2、弹力N直接接触的物体，在发生弹性形变时出现的力称为弹力，方向和接触面法线方向相同，作用点在两个物体的接触处。

在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的形变(伸长量或压缩量)成正比：F=-kx式中k 为弹簧的劲度系数，由弹簧本身性质决定(如匝数、材料及弹簧的几何尺寸等)，负号表示弹簧弹力的方向与形变x 的方向相反，弹簧伸长时x 取正。

3、摩擦力f摩擦力分为静摩擦力和滑动摩擦力。

是一个物体在另一个物体表面有相对运动或相对运动趋势时，所产生的阻碍相对运动或相对趋势的力，方向沿接触面的切线且阻碍相对运动或相对运动趋势。

滑动摩擦力的计算式：f=μN 。

其中N 是正压力，μ是动摩擦因数，由接触面的情况和材料决定。

静摩擦力的大小是可变的，范围在0≤f≤f m 之间。

式中f m 为最大静摩擦力，f m =μs N, μ是最大静摩擦力系数，略大于μ，在没有特别说明的情况下可以认为相等。

摩擦角：令摩擦系数μ等于某一角ϕ的正切值，即μ=tan ϕ，这个角ϕ称为摩擦角。

在临界摩擦(将要发生滑动)状态下，f m /N=μs =tan ϕ。

若用f k 表示滑动摩擦力，N 表示正压力，则滑动摩擦角为：ϕ=arctan(f k /N)支持面作用下物体的沿接触面法线方向的弹力N 与最大静摩擦力f m 的合力F(简称全反力)与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图所示。

右图中，当f m =Gsin ϕ，即μGcos ϕ=Gsin ϕ时，μ=tan ϕ，此时ϕ就是摩擦角。

通常情况下，静摩擦力f 未达到最大值，即f s ≤μs N ，即f s /N ≤μs ≤tan ϕ，因此接触面反作用于物体的全反力F'的作用线与面法线的夹角α=arctanf s /N ，不能大于摩擦角，即α≤ϕ，这可作为判断物体不发生滑动的条件。

【例1】如图所示，小木块和水平地面之间的动摩擦因数为μ，用一个与水平方面成多大角度的力拉着小木块做匀速直线运动最省力？解析：m【例2】如图所示，两块固定的木板A 、B 之间夹着一块长方体木块C ，C 重6N ，A 、B 对C 的压力大小都是N=10N ，今对C 施加一个外力F ，将C 从两板间水平拉出，求F 的大小和方向。

已知C 与A 、B 之间的滑动摩擦因数为0.4。

解析：答案：大小为10N ，方向与水平方向夹tan -10.75小结：涉及到二维或三维情况下的相对运动，常用方法是根据相对运动方向与滑动摩擦力方向相反的结论确定滑动摩擦力方向。

【例3】如图所示，有一半径为r 的圆柱绕竖直轴OO'以角速度ω匀速转动，如果用力F 把质量为m 的物体压在圆柱侧面，能使物体以速度v 匀速下滑，求物体m 与圆柱面之间的滑动摩擦系数？(已知物体m 在水平方向受光滑挡板的作用使之不能随圆柱一起转动)解析：【例4】一个质量为m=20kg 的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图所示。

钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m ，钢件与圆柱间的动摩擦因数为μ=0.20。

两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动，角速度为ω=40rad/s 。

若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为v 0=0.050m/s 的匀速运动，推力是多大？设钢件左右受光滑导槽限制(图中未画出)不发生横向运动。

四、共点力作用下物体平衡1、力的运算法则所有的矢量都遵循平行四边形定则。

力的三角形定则：两个矢量相加将两个力首尾相连，连接剩余的两个端点的线段表示合力的大小，合力的方向由第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端；两个矢量相减，将这两个力的始端平移在一起，连接剩余的两个端点的线段即为两个力的差矢量的大小，差矢量的方向指向被减矢量。

2、平行力的合成与分解同向平行力的合成：两个平行力F A和F B相距AB，则合力ΣF的大小为F A+F B，作用点C满足F A×AC=F B×BC的关系。

反向平行力的合成：两个大小不同的反向平行力FA和FB相距AB，则合力ΣF的大小为F A-F B(F A>F B)，作用点满足F A×AC=F B×BC的关系。

3、共点力作用下物体平衡条件平衡条件：合外力等于零。

即ΣF=0，或ΣF x=0，ΣF y=04、三力汇交原理若一个物体受三个非平行力而处于平衡状态，则这三个力必为共点力。

解决三力平衡问题常用的方法有：①正交分解法；②合成与分解法；③相似三角形法；④正弦定律法；⑤图解法等。

【例5】两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N点，M、N两点间的距离为S，如图所示。

已知两绳能承受的最Array大拉力均为T m，则每根绳长度不得短于多少？【例6】如图所示，一轻杆两端固定两个小球A 和B ，A 、B 两球质量分别为4m 和m ，轻绳长为L ，求平衡时OA 、OB 分别为多长？(不计绳与滑轮间的摩擦)解析：【例7】如图所示，质量为m 的均匀细杆，静止在光滑的半球形容器中，设杆与水平方向的夹角为θ，则容器在A 点和B 点给杆的支持力各多大？解析：参考答案：N A ＝mgtan θ；N B =mgcos2θcos θ【例8】如图所示，三个相同的光滑圆柱体，半径为r ，堆放在光滑的圆柱面内，试求下面两个圆柱体不致分开时，圆柱面的半径R 应满足的条件。